تسمى المعادلات التي تربط المتغير المستقل بالدالة المطلوبة ومشتقاتها التفاضلي .

الشكل العام للمعادلات التفاضلية: F (س, ذ, ذ’, ذ’’.. ذ’’’) = 0

بالقرار المعادلة التفاضلية هي دالة، عند استبدالها في المعادلة، تحولها إلى هوية.

يسمى أعلى ترتيب للمشتق المتضمن في المعادلة التفاضلية مرتب هذه المعادلة.

تسمى عملية إيجاد حل لمشكلة DE باسمها اندماج .

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى تسمى معادلة النموذج F(س، ص، ص")=0، حيث Fهي دالة معروفة لثلاثة متغيرات، س- متغير مستقل، ذ(س) - الوظيفة المطلوبة، ذ"(س) هو مشتق منه. إذا كانت المعادلة F(س، ص، ص")=0 يمكن حلها نسبيًا ذ"، ثم يتم كتابته في النموذج ذ"=F(س، ص)

المعادلة ذ"=F(س، ص) ينشئ اتصال بين إحداثيات نقطة ( س، ص)والمنحدرذ" مماس للمنحنى التكاملي الذي يمر بهذه النقطة.

يمكن كتابة معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى تم حلها بالنسبة للمشتقة شكل تفاضلي :

ص(س; ذ) dx+ س(س; ذ) دي=0,

أين ص(س; ذ) و س(س; ذ) - وظائف معروفة. المعادلة ص(س; ذ) dx+ س(س; ذ) دي=0 إنه مناسب لأن المتغيرات فيه لها حقوق متساوية، أي. ويمكن اعتبار أي منهما بمثابة وظيفة للآخر.

إذا كانت معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ذ"=F(س، ص) ، لديه حل، إذن، بشكل عام، لديه عدد لا نهائي من الحلول ويمكن كتابة هذه الحلول في النموذج ص=φ(س، ج)، أين ج- ثابت تعسفي.

وظيفةص=φ(س، ج) يسمى القرار العام المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى. يحتوي على ثابت اعتباطي واحد ويفي بالشروط:

وظيفةص=φ(س، ج) هو حل لـ DE لكل قيمة ثابتة مع.

مهما كانت الحالة الأولية ذ(س 0 )= ذ 0 ، يمكن للمرء أن يجد مثل هذه القيمة للثابت ج = ج 0 , ماذا وظيفةص=φ(س، ج 0 ) يفي بهذا الشرط الأولي.

قرار خاص الدرجة الأولى DE هي أي وظيفة ص=φ(س، ج 0 ) تم الحصول عليها من الحل العام ص=φ(س، ج) عند قيمة محددة للثابت ج = ج 0 .

مشكلة إيجاد حل للأمر الأول DE ص(س; ذ) dx+ س(س; ذ) دي=0 ، تلبية الشرط الأولي المحدد ذ(س 0 )= ذ 0 ، مُسَمًّى مشكلة كوشي .

نظرية (وجود وتفرد حل لمشكلة كوشي).

إذا كان في مكافئ. ذ"=F(س، ص) وظيفة F(س، ص) ومشتقته الجزئية F" ذ (س، ص) مستمرة في بعض المناطق د, تحتوي على نقطة (س 0 ; ذ 0 ), ثم هنالك القرار الوحيد ص=φ(س)من هذه المعادلة، وتحقيق الشرط الأوليذ(س 0 )= ذ 0 . (لا إثبات)

معادلات قابلة للفصل

أبسط الرتبة الأولى DE هي معادلة من الشكل

ص(س) dx+ س(ذ) دي=0.

مصطلح واحد فيه يعتمد فقط على س, والآخر من ذ. في بعض الأحيان تسمى هذه المعادلات التفاضلية معادلات ذات المتغيرات المنفصلة . بدمج هذه المعادلة حدًا تلو الآخر نحصل على:

∫ ص(س) dx+ ∫ س(ذ) دي=ج –تكاملها العام.

يتم وصف الحالة الأكثر عمومية بواسطة المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل، والتي لها الشكل:

ص 1 (خ) . س 1 (ذ) . دي إكس + ص 2 (خ) . س 2 (ذ) . دي=0.

خصوصية هذه المعادلة هو أن المعاملات هي منتجات وظيفتين، واحدة منها تعتمد فقط على Xالآخر - فقط من ش.

المعادلة ص 1 (س) . س 1 (ذ) . dx+ ص 2 (س) . س 2 (ذ) . دي=0 يقلل بسهولة إلى المعادلة ص(س) dx+ س(ذ) دي=0. بتقسيمه مصطلحًا بعد مصطلح إلى س 1 (ذ) . ص 2 (س)≠0. لقد حصلنا عليه.

I. المعادلات التفاضلية العادية

1.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية

المعادلة التفاضلية هي معادلة تربط بين متغير مستقل س، الوظيفة المطلوبة ذومشتقاته أو تفاضلاته.

رمزياً، تتم كتابة المعادلة التفاضلية على النحو التالي:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

تسمى المعادلة التفاضلية عادية إذا كانت الدالة المطلوبة تعتمد على متغير مستقل واحد.

حل المعادلة التفاضليةتسمى دالة تحول هذه المعادلة إلى هوية.

ترتيب المعادلة التفاضليةهو ترتيب أعلى مشتق مدرج في هذه المعادلة

أمثلة.

1. النظر في معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى

حل هذه المعادلة هو الدالة y = 5 ln x. في الواقع، استبدال ذ"في المعادلة نحصل على الهوية.

وهذا يعني أن الدالة y = 5 ln x– هي حل لهذه المعادلة التفاضلية.

2. النظر في المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية ص" - 5ص" +6ص = 0. الدالة هي الحل لهذه المعادلة

حقًا، .

باستبدال هذه التعبيرات في المعادلة نحصل على: - الهوية.

وهذا يعني أن الدالة هي حل هذه المعادلة التفاضلية.

تكامل المعادلات التفاضليةهي عملية إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية.

الحل العام للمعادلة التفاضليةتسمى وظيفة النموذج ، والذي يتضمن العديد من الثوابت التعسفية المستقلة مثل ترتيب المعادلة.

الحل الجزئي للمعادلة التفاضليةهو الحل الذي تم الحصول عليه من الحل العام للقيم العددية المختلفة للثوابت التعسفية. تم العثور على قيم الثوابت التعسفية عند قيم أولية معينة للوسيطة والوظيفة.

يسمى الرسم البياني لحل معين لمعادلة تفاضلية منحنى متكامل.

أمثلة

1. أوجد حلاً محددًا لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى

xdx + ydy = 0، لو ذ= 4 في س = 3.

حل. بتكامل طرفي المعادلة، نحصل على

تعليق. يمكن تمثيل الثابت التعسفي C الذي تم الحصول عليه نتيجة للتكامل بأي شكل مناسب لمزيد من التحويلات. في هذه الحالة، مع الأخذ في الاعتبار المعادلة القانونية للدائرة، من المناسب تمثيل ثابت تعسفي C في النموذج .

- الحل العام للمعادلة التفاضلية.

حل خاص للمعادلة يستوفي الشروط الأولية ذ = 4 في س = 3 يمكن إيجاده من العام عن طريق استبدال الشروط الأولية في الحل العام: 3 2 + 4 2 = C 2 ; ج = 5.

بالتعويض بـ C=5 في الحل العام، نحصل على × 2 + ص 2 = 5 2 .

هذا حل خاص لمعادلة تفاضلية تم الحصول عليها من حل عام في ظل ظروف أولية معينة.

2. أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية

حل هذه المعادلة هو أي دالة من الشكل حيث C ثابت اختياري. وبالتعويض في المعادلات نحصل على: , .

وبالتالي، فإن هذه المعادلة التفاضلية لها عدد لا حصر له من الحلول، لأنه بالنسبة لقيم مختلفة من الثابت C يتم تحديد المساواة حلول مختلفةالمعادلات

على سبيل المثال، عن طريق الاستبدال المباشر يمكنك التحقق من أن الوظائف هي حلول للمعادلة.

مشكلة تحتاج فيها إلى إيجاد حل معين للمعادلة ص" = و(س، ص)استيفاء الشرط الأولي ص(س 0) = ص 0تسمى مشكلة كوشي.

حل المعادلة ص" = و(س، ص)، استيفاء الشرط الأولي، ص(س 0) = ص 0، ويسمى حل لمشكلة كوشي.

حل مشكلة كوشي له معنى هندسي بسيط. وبالفعل، وبحسب هذه التعريفات، لحل مشكلة كوشي ص" = و(س، ص)بشرط ص(س 0) = ص 0يعني إيجاد المنحنى التكاملي للمعادلة ص" = و(س، ص)الذي يمر عبر نقطة معينة م 0 (× 0,ص 0).

ثانيا. المعادلات التفاضليةالطلب الأول

2.1. مفاهيم أساسية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي معادلة من الشكل F(x,y,y") = 0.

تتضمن المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى المشتق الأول ولا تتضمن مشتقات من الدرجة الأعلى.

المعادلة ص" = و(س، ص)تسمى معادلة من الدرجة الأولى تم حلها بالنسبة للمشتقة.

الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هو دالة من النموذج الذي يحتوي على ثابت اختياري واحد.

مثال.خذ بعين الاعتبار معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى.

حل هذه المعادلة هو الدالة.

وبالفعل، نستبدل هذه المعادلة بقيمتها

إنه 3س=3س

ولذلك، فإن الدالة هي حل عام للمعادلة لأي ثابت C.

أوجد حلاً محددًا لهذه المعادلة يحقق الشرط الأولي ص(1)=1استبدال الشروط الأولية س = 1، ص =1في الحل العام للمعادلة، نصل من أين ج = 0.

وهكذا نحصل على حل خاص من الحل العام عن طريق استبدال القيمة الناتجة في هذه المعادلة ج = 0– الحل الخاص .

2.2. المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل

المعادلة التفاضلية ذات المتغيرات المنفصلة هي معادلة من الشكل: ذ"=و(س)ز(ذ)أو من خلال الفروق، حيث و (خ)و ز (ص)- وظائف محددة.

لأولئك ذ، والتي المعادلة ذ"=و(س)ز(ذ)يعادل المعادلة، فيها المتغير ذيوجد فقط على الجانب الأيسر، والمتغير x موجود فقط على الجانب الأيمن. يقولون: "في المعادلة. y"=f(x)g(yدعونا نفصل بين المتغيرات."

معادلة النموذج تسمى معادلة متغيرة منفصلة.

دمج طرفي المعادلة بواسطة س، نحن نحصل ز(ص) = و(خ) + جهو الحل العام للمعادلة حيث ز(ص)و و(خ)- بعض المشتقات العكسية للوظائف و و (خ), جثابت تعسفي.

خوارزمية لحل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ذات متغيرات قابلة للفصل

مثال 1

حل المعادلة ص" = س ص

حل. مشتق من وظيفة ذ"استبدله ب

دعونا نفصل بين المتغيرات

دعونا ندمج طرفي المساواة:

مثال 2

2yy" = 1- 3x2، لو ص 0 = 3في × 0 = 1

هذه معادلة متغيرة منفصلة. دعونا نتخيل ذلك في الفروق. للقيام بذلك، نعيد كتابة هذه المعادلة في الصورة من هنا

ونجد تكامل طرفي المساواة الأخيرة

استبدال القيم الأولية س 0 = 1، ص 0 = 3سوف نجد مع 9=1-1+ج، أي. ج = 9.

وبالتالي فإن التكامل الجزئي المطلوب هو أو

مثال 3

اكتب معادلة منحنى يمر بنقطة م(2؛-3)ولها مماس مع معامل الزاوي

حل. حسب الحالة

هذه معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل. وبتقسيم المتغيرات نحصل على:

وبتكامل طرفي المعادلة نحصل على:

باستخدام الشروط الأولية س = 2و ص = - 3سوف نجد ج:

وبالتالي فإن المعادلة المطلوبة لها الشكل

2.3. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى

المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى هي معادلة من الشكل ص" = و(س)ص + ز(س)

أين و (خ)و ز (خ)- بعض الوظائف المحددة.

لو ز(س)=0تسمى المعادلة التفاضلية الخطية متجانسة ولها الشكل: ذ" = و(س)ص

إذا كانت المعادلة ص" = و(س)ص + ز(س)يسمى غير متجانسة.

الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذ" = و(س)صيتم إعطاؤه بالصيغة: أين مع- ثابت تعسفي.

على وجه الخصوص، إذا ج = 0،فالحل هو ص = 0إذا كانت المعادلة الخطية المتجانسة لها الشكل ص" = كيأين كبعض الثوابت، فإن حلها العام يكون على الصورة: .

الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة ص" = و(س)ص + ز(س)تعطى بواسطة الصيغة ,

أولئك. يساوي مجموع الحل العام للمعادلة المتجانسة الخطية المقابلة والحل الخاص لهذه المعادلة.

للحصول على معادلة خطية غير متجانسة من النموذج ص" = ك س + ب,

أين كو ب- بعض الأرقام وحل معين سيكون دالة ثابتة. ولذلك فإن الحل العام له الشكل .

مثال. حل المعادلة ص" + 2ص +3 = 0

حل. دعونا نمثل المعادلة في النموذج ص" = -2ص - 3أين ك = -2، ب= -3يتم إعطاء الحل العام بواسطة الصيغة.

لذلك، حيث C هو ثابت تعسفي.

2.4. حل المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى بطريقة برنولي

إيجاد حل عام لمعادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى ص" = و(س)ص + ز(س)يقلل من حل معادلتين تفاضليتين بمتغيرات منفصلة باستخدام الاستبدال ذ = الأشعة فوق البنفسجية، أين شو الخامس- وظائف غير معروفة من س. طريقة الحل هذه تسمى طريقة برنولي.

خوارزمية لحل معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى

ص" = و(س)ص + ز(س)

1. أدخل الاستبدال ذ = الأشعة فوق البنفسجية.

2. التمييز بين هذه المساواة ص" = ش"الخامس + الأشعة فوق البنفسجية"

3. البديل ذو ذ"في هذه المعادلة: ش"الخامس + الأشعة فوق البنفسجية" =و(خ)الأشعة فوق البنفسجية + ز(خ)أو u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. قم بتجميع شروط المعادلة بحيث شأخرجه من بين قوسين:

5. من القوس الذي يساوي الصفر، ابحث عن الدالة

هذه معادلة قابلة للفصل:

نقسم المتغيرات ونحصل على:

أين . .

6. استبدل القيمة الناتجة الخامسفي المعادلة (من الخطوة 4):

وإيجاد الدالة هذه معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل:

7. اكتب الحل العام على الصورة: ، أي. .

مثال 1

أوجد حلًا محددًا للمعادلة ص" = -2ص +3 = 0لو ص =1في س = 0

حل. دعونا نحلها باستخدام الاستبدال ص = الأشعة فوق البنفسجية،.ص" = ش"الخامس + الأشعة فوق البنفسجية"

أستعاض ذو ذ"في هذه المعادلة نحصل على

ومن خلال تجميع الحدين الثاني والثالث في الجانب الأيسر من المعادلة، نخرج العامل المشترك ش خارج الأقواس

نحن نساوي التعبير بين قوسين بالصفر، وبعد حل المعادلة الناتجة، نجد الدالة ت = ت(خ)

نحصل على معادلة ذات متغيرات منفصلة. دعونا ندمج طرفي هذه المعادلة: أوجد الدالة الخامس:

دعونا نستبدل القيمة الناتجة الخامسفي المعادلة نحصل على:

هذه معادلة متغيرة منفصلة. دعونا ندمج طرفي المعادلة: دعونا نجد الوظيفة ش = ش (س، ج) دعونا نجد الحل العام: دعونا نجد حلاً معينًا للمعادلة يحقق الشروط الأولية ص = 1في س = 0:

ثالثا. المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الأعلى

3.1. المفاهيم والتعاريف الأساسية

المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية هي معادلة تحتوي على مشتقات لا تزيد عن الدرجة الثانية. في الحالة العامة، يتم كتابة المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية على النحو التالي: F(x,y,y",y") = 0

الحل العام للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية هو دالة من النموذج الذي يتضمن ثابتين اعتباطيين ج1و ج2.

الحل الخاص لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية هو الحل الذي يتم الحصول عليه من الحل العام لقيم معينة من الثوابت التعسفية ج1و ج2.

3.2. المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة.

معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتةتسمى معادلة النموذج ص" + الحمر" +qy = 0، أين صو س- القيم الثابتة.

خوارزمية لحل المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

1. اكتب المعادلة التفاضلية بالصيغة: ص" + الحمر" +qy = 0.

2. قم بإنشاء معادلتها المميزة بالدلالة ذ"خلال ص 2, ذ"خلال ص, ذفي 1: ص 2 + العلاقات العامة + ف = 0

المعادلة التفاضليةهي معادلة تربط بين المتغير المستقل x والدالة المطلوبة y=f(x) ومشتقاتها y"،y""،\ldots،y^((n))، أي معادلة النموذج

F(x,y,y",y"",\ldots,y^((n)))=0.

إذا كانت الدالة المطلوبة y=y(x) هي دالة لمتغير مستقل واحد x، فإن المعادلة التفاضلية تسمى عادية؛ على سبيل المثال،

\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3) ))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

عندما تكون الدالة المطلوبة y دالة لمتغيرين مستقلين أو أكثر، على سبيل المثال، إذا y=y(x,t) فإن المعادلة تكون على الشكل

F\!\left(x,t,y,\frac(\partial(y))(\partial(x)),\frac(\partial(y))(\partial(t)),\ldots,\ فارك(\جزئي^م(ذ))(\جزئي(x^k)\جزئي(t^l))\يمين)=0

تسمى معادلة تفاضلية جزئية هنا k,l أعداد صحيحة غير سالبة مثل k+l=m ; على سبيل المثال

\frac(\partial(y))(\partial(t))-\frac(\partial(y))(\partial(x))=0, \quad \frac(\partial(y))(\partial (ر))=\frac(\جزئي^2y)(\جزئي(x^2)).

ترتيب المعادلة التفاضليةهو ترتيب المشتقة الأعلى التي تظهر في المعادلة. على سبيل المثال، المعادلة التفاضلية y"+xy=e^x هي معادلة من الدرجة الأولى، المعادلة التفاضلية y""+p(x)y=0، حيث p(x) دالة معروفة، هي دالة ثانية معادلة الرتبة المعادلة التفاضلية y^( (9))-xy""=x^2 - معادلة الرتبة التاسعة.

حل المعادلة التفاضليةالترتيب n على الفاصل الزمني (a,b) هو دالة y=\varphi(x) محددة في الفاصل الزمني (a,b) مع مشتقاتها حتى الترتيب n ضمنًا، بحيث يتم استبدال الدالة y=\ varphi (x) إلى معادلة تفاضلية تحول الأخيرة إلى هوية في x على (a,b) . على سبيل المثال، الدالة y=\sin(x)+\cos(x) هي حل للمعادلة y""+y=0 على الفترة (-\infty,+\infty) . في الواقع، سيكون لدينا اشتقاق الدالة مرتين

Y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x).

باستبدال التعبيرات y"" و y في المعادلة التفاضلية، نحصل على الهوية

-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0

يسمى الرسم البياني لحل المعادلة التفاضلية منحنى متكاملهذه المعادلة.

الشكل العام للمعادلة من الدرجة الأولى

F(x,y,y")=0.

إذا كان من الممكن حل المعادلة (1) بالنسبة لـ y"، فسنحصل على معادلة من الدرجة الأولى تم حلها فيما يتعلق بالمشتقة.

ص"=و(س،ص).

مشكلة كوشي هي مشكلة إيجاد حل y=y(x) للمعادلة y"=f(x,y) التي تحقق الشرط الأولي y(x_0)=y_0 (تدوين آخر y|_(x=x_0)= ص_0).

هندسيًا، هذا يعني أننا نبحث عن منحنى متكامل يمر عبر معطى
النقطة M_0(x_0,y_0) للمستوى xOy (الشكل 1).

نظرية الوجود والتفرد لحل مشكلة كوشي

دع المعادلة التفاضلية y"=f(x,y) تعطى، حيث يتم تعريف الوظيفة f(x,y) في بعض المناطق D من المستوى xOy الذي يحتوي على النقطة (x_0,y_0). إذا كانت الوظيفة f(x) ، ذ) مستوفي الشروط

أ) و (س، ص) هو وظيفة مستمرةمتغيرين x وy في المنطقة D؛

ب) f(x,y) له مشتق جزئي محدود في المجال D، ثم هناك فاصل زمني (x_0-h,x_0+h) يوجد فيه حل فريد y=\varphi(x) لهذه المعادلة يفي بالشرط y(x_0 )=y_0 .

توفر النظرية شروطًا كافية لوجود حل فريد لمشكلة كوشي للمعادلة y"=f(x,y) لكن هذه الشروط ليست كذلك ضروري. أي أنه قد يكون هناك حل فريد للمعادلة y"=f(x,y) يحقق الشرط y(x_0)=y_0، على الرغم من أن الشروط عند النقطة (x_0,y_0) a) أو b) أو كلاهما ليست كذلك راضي.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

1.y"=\frac(1)(y^2) . هنا f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\partial(f))(\partial(y))=-\frac(2)(y^3). عند النقاط (x_0,0) من محور الثور، تكون الشروط a) وb) غير مستوفاة (الدالة f(x,y) ومشتقتها الجزئية \frac(\جزئي(f))(\جزئي(y))متقطعة على محور الثور وغير محدودة عند y\to0)، ولكن من خلال كل نقطة من محور الثور يمر منحنى متكامل واحد y=\sqrt(3(x-x_0)) (الشكل 2).

2. y"=xy+e^(-y). الجانب الأيمن من المعادلة f(x,y)=xy+e^(-y) ومشتقتها الجزئية \frac(\partial(f))(\partial(y))=x-e^(-y)مستمر في x و y في جميع النقاط في المستوى xOy. بحكم نظرية الوجود والتفرد، المنطقة التي يكون فيها لمعادلة معينة حل فريد
هي الطائرة xOy بأكملها.

3. y"=\frac(3)(2)\sqrt(y^2). الجانب الأيمن من المعادلة f(x,y)=\frac(3)(2)\sqrt(y^2)محددة ومستمرة في جميع نقاط المستوى xOy. اشتقاق جزئي \frac(\partial(f))(\partial(y))=\frac(1)(\sqrt(y))يذهب إلى ما لا نهاية عند y=0، أي على محور الثور، بحيث عند y=0 الشرط b) يتم انتهاك نظرية الوجود والتفرد. وبالتالي، في نقاط محور الثور، قد يتم انتهاك التفرد. من السهل التحقق من أن الدالة هي حل لهذه المعادلة. بالإضافة إلى ذلك، للمعادلة حل واضح y\equiv0 . وبالتالي، يمر خطان متكاملان على الأقل عبر كل نقطة من محور الثور، وبالتالي، يتم انتهاك التفرد بالفعل عند نقاط هذا المحور (الشكل 3).

الخطوط المتكاملة لهذه المعادلة ستكون أيضًا خطوطًا مكونة من قطع من القطع المكافئة المكعبة ص=\فارك((س+ج)^3)(8)وأجزاء محور الثور، على سبيل المثال، ABOC_1، ABB_2C_2، A_2B_2x، وما إلى ذلك، بحيث يمر عدد لا نهائي من الخطوط المتكاملة عبر كل نقطة من محور الثور.

حالة ليبشيتز

تعليق. شرط أن يكون المشتق محدودا \جزئي(و)/\جزئي(ذ)، التي تظهر في نظرية الوجود والتفرد في حل مشكلة كوشي، يمكن إضعافها إلى حد ما واستبدالها بما يسمى حالة ليبشيتز.

يقال إن الوظيفة f(x,y) المعرفة في بعض المجالات D تفي بشرط Lipschitz لـ y في D إذا كان هناك مثل هذا الثابت L ( ثابت ليبشيتز) أنه بالنسبة لأي y_1,y_2 من D وأي x من D فإن عدم المساواة التالية يحمل:

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

وجود مشتق محدود في المنطقة D \frac(\جزئي(f))(\جزئي(y))يكفي أن تستوفي الدالة f(x,y) شرط Lipschitz في D. على العكس من ذلك، فإن شرط ليبشيتز لا يعني ضمنا شرط الحدود \frac(\جزئي(f))(\جزئي(y)); هذا الأخير قد لا يكون موجودا حتى. على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة y"=2|y|\cos(x) الدالة f(x,y)=2|y|\cos(x)غير قابلة للتمييز فيما يتعلق بـ y عند هذه النقطة (x_0,0),x_0\ne\frac(\pi)(2)+k\pi,k\in\mathbb(Z)، لكن شرط ليبشيتز يكون متحققًا بالقرب من هذه النقطة. بالفعل،

(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\, ||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)

بسبب ال |\cos(x)|\leqslant1,أ ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. وبذلك تكون حالة ليبشيتز محققة بالقيمة الثابتة L=2.

نظرية. إذا كانت الدالة f(x,y) متصلة وتفي بشرط Lipschitz لـ y في المجال D، فإن مشكلة كوشي

\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D).

لديه حل فريد من نوعه.

تعتبر حالة ليبشيتز ضرورية لتفرد الحل لمشكلة كوشي. على سبيل المثال، النظر في المعادلة

\frac(dy)(dx)=\begin(cases)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0 .\end(الحالات)

من السهل أن نرى أن الدالة f(x,y) مستمرة؛ على الجانب الآخر،

F(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Y-y ).

لو ص = ألفا س ^ 2، ~ ص = بيتا س ^ 2،الذي - التي

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta) ^2))|ص-ص|،

وشرط Lipschitz غير راضٍ في أي منطقة تحتوي على الأصل O(0,0) منذ العامل |Y-y| تبين أنه غير محدود عند x\to0 .

يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية ص=C^2-\sqrt(x^4+C^4),حيث C هو ثابت تعسفي. وهذا يوضح أن هناك عدد لا نهائي من الحلول التي تحقق الشرط الأولي y(0)=0.

الحل العامالمعادلة التفاضلية (2) تسمى الدالة

ص =\فارفي (س، ج)،

اعتمادا على ثابت واحد C التعسفي، وهكذا

1) يحقق المعادلة (2) لأي القيم المقبولةثابت ج؛

2) مهما كان الشرط الأولي

\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,

من الممكن تحديد قيمة C_0 للثابت C بحيث يفي الحل y=\varphi(x,C_0) بالشرط الأولي المحدد (4). في هذه الحالة، يفترض أن النقطة (x_0,y_0) تنتمي إلى المنطقة التي تتوفر فيها شروط وجود الحل وتفرده.

قرار خاصالمعادلة التفاضلية (2) هي الحل الذي تم الحصول عليه من الحل العام (3) لقيمة معينة للثابت التعسفي C.

مثال 1. تحقق من أن الدالة y=x+C هي حل عام للمعادلة التفاضلية y"=1، ثم ابحث عن حل معين يحقق الشرط الأولي y|_(x=0)=0. أعط تفسيرًا هندسيًا لـ النتائج.

حل.الدالة y=x+C تحقق هذه المعادلة لأي قيمة للثابت التعسفي C. في الواقع، y"=(x+C)"=1.

لنضع شرطًا أوليًا عشوائيًا y|_(x=x_0)=y_0 . وبوضع x=x_0 و y=y_0 في المساواة y=x+C، نجد أن C=y_0-x_0. باستبدال قيمة C هذه في هذه الدالة، سيكون لدينا y=x+y_0-x_0. تحقق هذه الدالة الشرط الأولي المحدد: بوضع x=x_0، نحصل على y=x_0+y_0-x_0=y_0. لذا فإن الدالة y=x+C هي حل عام لهذه المعادلة.

على وجه الخصوص، بافتراض x_0=0 و y_0=0، نحصل على حل معين y=x.

الحل العام لهذه المعادلة، أي. تحدد الدالة y=x+C في المستوى xOy عائلة من الخطوط المتوازية ذات معامل زاوي k=1. من خلال كل نقطة M_0(x_0,y_0) من المستوى xOy يمر هناك خط متكامل واحد y=x+y_0-x_0. يحدد الحل المعين y=x أحد المنحنيات المتكاملة، أي الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة الأصل (الشكل 4).

مثال 2. تحقق من أن الدالة y=Ce^x هي حل عام للمعادلة y"-y=0 وابحث عن حل معين يحقق الشرط الأولي y|_(x=1)=-1. .

حل.لدينا y=Ce^x,~y"=Ce^x. وباستبدال التعبيرات y وy" في هذه المعادلة، نحصل على Ce^x-Ce^x\equiv0، أي أن الدالة y=Ce^x تحقق هذه المعادلة لأي قيم للثابت C.

لنضع شرطًا أوليًا عشوائيًا y|_(x=x_0)=y_0 . استبدال x_0 و y_0 بدلاً من x و y في الدالة y=Ce^x، سيكون لدينا y_0=Ce^(x_0) ، حيث C=y_0e^(-x_0) . الدالة y=y_0e^(x-x_0) تفي بالشرط الأولي. في الواقع، بافتراض x=x_0، نحصل على ص=y_0e^(x_0-x_0)=y_0. الدالة y=Ce^x هي الحل العام لهذه المعادلة.

بالنسبة إلى x_0=1 و y_0=-1 نحصل على حل معين y=-e^(x-1) .

مع نقطة هندسيةمن وجهة النظر، يحدد الحل العام عائلة المنحنيات التكاملية، وهي رسوم بيانية وظائف الأسي; الحل الخاص هو منحنى متكامل يمر عبر النقطة M_0(1;-1) (الشكل 5).

تسمى العلاقة بالصيغة \Phi(x,y,C)=0، والتي تحدد الحل العام ضمنيًا تكامل عامالمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

تسمى العلاقة التي يتم الحصول عليها من التكامل العام لقيمة محددة للثابت C تكامل جزئيالمعادلة التفاضلية.

مشكلة حل أو تكامل معادلة تفاضلية هي إيجاد الحل العام أو التكامل العام لمعادلة تفاضلية معينة. إذا تم تحديد شرط أولي بالإضافة إلى ذلك، فمن الضروري اختيار حل معين أو تكامل جزئي يلبي الشرط الأولي المحدد.

بما أنه من وجهة نظر هندسية فإن الإحداثيات x و y متساوية، ثم مع المعادلة \frac(dx)(dy)=f(x,y)سننظر في المعادلة \frac(dx)(dy)=\frac(1)(f(x,y)).

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. أمثلة على الحلول.
المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل

المعادلات التفاضلية (DE). هاتان الكلمتان عادة ما ترعبان الشخص العادي. يبدو أن المعادلات التفاضلية أمر محظور ويصعب إتقانه بالنسبة للعديد من الطلاب. اووووو... المعادلات التفاضلية كيف أستطيع النجاة من كل هذا؟!

هذا الرأي وهذا الموقف خاطئ في الأساس، لأنه في الواقع المعادلات التفاضلية - إنها بسيطة وممتعة. ما الذي تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على فعله لتتعلم كيفية حل المعادلات التفاضلية؟ لكي تتمكن من دراسة الانتشارات بنجاح، يجب أن تكون جيدًا في التكامل والتفريق. كلما تمت دراسة المواضيع بشكل أفضل مشتق من دالة لمتغير واحدو تكامل غير محددكلما أصبح من الأسهل فهم المعادلات التفاضلية. سأقول المزيد، إذا كانت لديك مهارات تكامل جيدة إلى حد ما، فهذا يعني أن الموضوع قد تم إتقانه تقريبًا! والمزيد من التكاملات أنواع مختلفةأنت تعرف كيف تقرر - وهذا أفضل بكثير. لماذا؟ سيكون عليك دمج الكثير. وتفرق. أيضًا موصى بة بشدةتعلم كيفية العثور على.

في 95% من الحالات الاختباراتهناك ثلاثة أنواع من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى: معادلات قابلة للفصلوالذي سنتناوله في هذا الدرس؛ معادلات متجانسةو المعادلات الخطية غير المتجانسة. بالنسبة لأولئك الذين بدأوا في دراسة الناشرين، أنصحك بقراءة الدروس بهذا الترتيب بالضبط، وبعد دراسة المادتين الأوليين، لن يضر تعزيز مهاراتك في ورشة عمل إضافية - المعادلات اختزال إلى متجانسة.

هناك أنواع أكثر ندرة من المعادلات التفاضلية: المعادلات التفاضلية الكلية، ومعادلات برنولي، وبعضها الآخر. وأهم النوعين الأخيرين هي المعادلات في إجمالي التفاضلات، إذ أعتبرها بالإضافة إلى هذه المعادلة التفاضلية مواد جديدة – التكامل الجزئي.

إذا لم يبق لك سوى يوم أو يومين، الذي - التي للتحضير فائق السرعةهنالك دورة الهجوم الخاطفبصيغة pdf.

لذلك تم تحديد المعالم - فلنبدأ:

أولا، دعونا نتذكر المعادلات الجبرية المعتادة. أنها تحتوي على المتغيرات والأرقام. أبسط مثال: . ماذا يعني حل معادلة عادية؟ وهذا يعني العثور على مجموعة من الأرقاموالتي تحقق هذه المعادلة. من السهل ملاحظة أن معادلة الأطفال لها جذر واحد: . من أجل المتعة فقط، دعونا نتحقق من الجذر الموجود في المعادلة ونعوض به:

- تم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أنه تم العثور على الحل بشكل صحيح.

تم تصميم الناشرون بنفس الطريقة تقريبًا!

المعادلة التفاضلية الطلب الأولعلى العموم يتضمن:
1) متغير مستقل.
2) المتغير التابع (الوظيفة)؛
3) المشتقة الأولى للدالة : .

في بعض المعادلات من الدرجة الأولى قد لا يكون هناك "x" و/أو "y"، ولكن هذا ليس مهمًا - مهمللذهاب إلى غرفة التحكم كانالمشتقة الأولى، و لم يكن لديمشتقات الطلبات العليا - إلخ.

ماذا يعني ؟حل المعادلة التفاضلية يعني إيجادها مجموعة من جميع الوظائفوالتي تحقق هذه المعادلة. غالبًا ما يكون لهذه المجموعة من الوظائف الشكل (- ثابت اعتباطي)، وهو ما يسمى الحل العام للمعادلة التفاضلية.

مثال 1

حل المعادلة التفاضلية

ذخيرة كاملة. من أين نبدأ حل?

أولًا، عليك إعادة كتابة المشتقة بشكل مختلف قليلًا. ونتذكر هذه التسمية المرهقة، والتي ربما بدا الكثير منكم سخيفًا وغير ضروري. هذا هو ما القواعد في الناشرون!

في الخطوة الثانية، دعونا نرى ما إذا كان ذلك ممكنا متغيرات منفصلة؟ماذا يعني فصل المتغيرات؟ تحدث تقريبا، على الجانب الأيسرنحن بحاجة إلى المغادرة "اليونانيون" فقط، أ على الجانب الأيمنتنظم فقط "X". يتم تقسيم المتغيرات باستخدام التلاعبات "المدرسة": إخراجها من الأقواس، ونقل المصطلحات من جزء إلى جزء مع تغيير الإشارة، ونقل العوامل من جزء إلى جزء وفقًا لقاعدة التناسب، وما إلى ذلك.

الفوارق وهي مضاعفات كاملة ومشاركين نشطين في الأعمال العدائية. في المثال قيد النظر، يتم فصل المتغيرات بسهولة عن طريق رمي العوامل وفقا لقاعدة التناسب:

يتم فصل المتغيرات. على الجانب الأيسر يوجد فقط "Y's"، وعلى الجانب الأيمن - فقط "X's".

المرحلة القادمة - تكامل المعادلة التفاضلية. الأمر بسيط، نضع التكاملات على كلا الجانبين:

وبطبيعة الحال، نحن بحاجة إلى اتخاذ التكاملات. في هذه الحالة تكون جدولية:

كما نتذكر، يتم تعيين ثابت لأي مشتق عكسي. يوجد تكاملان هنا، لكن يكفي كتابة الثابت مرة واحدة (بما أن الثابت + الثابت لا يزال يساوي ثابتًا آخر). في معظم الحالات يتم وضعها على الجانب الأيمن.

بالمعنى الدقيق للكلمة، بعد أخذ التكاملات، تعتبر المعادلة التفاضلية محلولة. الشيء الوحيد هو أن "y" الخاص بنا لا يتم التعبير عنه من خلال "x"، أي أن الحل مقدم بشكل ضمنياستمارة. يسمى حل المعادلة التفاضلية في الصورة الضمنية التكامل العام للمعادلة التفاضلية. أي أن هذا تكامل عام.

الجواب في هذا النموذج مقبول تماما، ولكن هل هناك خيار أفضل؟ دعونا نحاول الحصول على قرار مشترك.

لو سمحت، تذكر التقنية الأولى، وهو شائع جدًا ويستخدم غالبًا في المهام العملية: إذا ظهر اللوغاريتم على الجانب الأيمن بعد التكامل، ففي كثير من الحالات (ولكن ليس دائمًا!) يُنصح أيضًا بكتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

إنه، بدلاً منعادة ما تتم كتابة الإدخالات .

لماذا هذا ضروري؟ ولتسهيل التعبير عن "اللعبة". باستخدام خاصية اللوغاريتمات . في هذه الحالة:

الآن يمكن إزالة اللوغاريتمات والوحدات النمطية:

يتم تقديم الوظيفة بشكل صريح. هذا هو الحل العام.

إجابة:قرار مشترك: .

من السهل جدًا التحقق من إجابات العديد من المعادلات التفاضلية. في حالتنا، يتم ذلك بكل بساطة، فنحن نأخذ الحل الموجود ونفرقه:

ثم نعوض بالمشتقة في المعادلة الأصلية:

– يتم الحصول على المساواة الصحيحة مما يعني أن الحل العام يحقق المعادلة وهو ما يجب التحقق منه.

ومن خلال إعطاء قيم مختلفة ثابتة، يمكنك الحصول على عدد لا نهائي من حلول خاصةالمعادلة التفاضلية. ومن الواضح أن أي من الوظائف، وما إلى ذلك. يحقق المعادلة التفاضلية.

في بعض الأحيان يتم استدعاء الحل العام عائلة الوظائف. في في هذا المثالقرار مشترك هي عائلة من الدوال الخطية، أو بتعبير أدق، عائلة من التناسب المباشر.

بعد مراجعة شاملة للمثال الأول، من المناسب الإجابة على عدة أسئلة ساذجة حول المعادلات التفاضلية:

1)في هذا المثال، تمكنا من فصل المتغيرات. هل يمكن القيام بذلك دائمًا؟لا، ليس دائما. وفي كثير من الأحيان، لا يمكن فصل المتغيرات. على سبيل المثال، في معادلات متجانسة من الدرجة الأولى، يجب عليك استبداله أولاً. في أنواع أخرى من المعادلات، على سبيل المثال، في معادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى، تحتاج إلى استخدامها تقنيات مختلفةوطرق إيجاد حل عام. المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل، والتي تناولناها في الدرس الأول، هي أبسط أنواع المعادلات التفاضلية.

2) هل من الممكن دائما تكامل المعادلة التفاضلية؟لا، ليس دائما. من السهل جدًا التوصل إلى معادلة "وهمية" لا يمكن تكاملها، بالإضافة إلى أن هناك تكاملات لا يمكن أخذها. ولكن يمكن حل مثل هذه DE تقريبًا باستخدام طرق خاصة. يضمن دالمبيرت وكوشي... ... آه، كامنًا أكثر. لقراءة الكثير الآن، كدت أن أضيف "من العالم الآخر".

3) في هذا المثال، حصلنا على الحل في صورة تكامل عام . هل من الممكن دائمًا إيجاد حل عام من التكامل العام، أي التعبير عن "y" بشكل صريح؟لا، ليس دائما. على سبيل المثال: . حسنًا، كيف يمكنك التعبير عن "اليونانية" هنا؟! في مثل هذه الحالات، يجب كتابة الإجابة كتكامل عام. بالإضافة إلى ذلك، من الممكن في بعض الأحيان إيجاد حل عام، لكنه مكتوب بشكل مرهق وأخرق لدرجة أنه من الأفضل ترك الإجابة في شكل تكامل عام

4) ...ربما هذا يكفي الآن. في المثال الأول واجهنا واحدة أخرى نقطة مهمة ولكن لكي لا أغطي "الدمى" بسيل من المعلومات الجديدة، سأتركها حتى الدرس التالي.

لن نتعجل. جهاز تحكم عن بعد بسيط آخر وحل نموذجي آخر:

مثال 2

أوجد حلاً معينًا للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي

حل: وفقا للشرط، تحتاج إلى العثور عليها حل خاص DE يفي بشرط أولي معين. وتسمى هذه الصيغة للسؤال أيضًا مشكلة كوشي.

أولا نجد حلا عاما. لا يوجد متغير "x" في المعادلة، لكن هذا لا ينبغي أن يربك، الشيء الرئيسي هو أن لديها المشتقة الأولى.

نعيد كتابة المشتقة إلى بالشكل الصحيح:

من الواضح أنه يمكن فصل المتغيرات، الأولاد على اليسار، والفتيات على اليمين:

دعونا ندمج المعادلة:

يتم الحصول على التكامل العام. لقد رسمت هنا ثابتًا بعلامة النجمة، والحقيقة هي أنه سيتحول قريبًا إلى ثابت آخر.

الآن نحاول تحويل التكامل العام إلى حل عام (اعبر عن "y" صراحة). دعونا نتذكر الأشياء القديمة الجيدة من المدرسة: . في هذه الحالة:

يبدو الثابت في المؤشر غير مقبول إلى حد ما، لذلك عادة ما يتم تخفيضه إلى الأرض. وبالتفصيل، هكذا يحدث. باستخدام خاصية الدرجات، نعيد كتابة الدالة على النحو التالي:

إذا كان ثابتًا، فهو ثابت أيضًا، فلنعيد تسميته بالحرف:

تذكر أن "هدم" الثابت هو التقنية الثانيةوالتي تستخدم غالبًا عند حل المعادلات التفاضلية.

إذن الحل العام هو : . هذه عائلة جميلة من الدوال الأسية.

في المرحلة النهائية، تحتاج إلى إيجاد حل معين يلبي الشرط الأولي المحدد. وهذا أيضًا بسيط.

ما هي المهمة؟ بحاجة لالتقاط هذهقيمة الثابت حتى يتحقق الشرط .

يمكن تنسيقه بطرق مختلفة، ولكن من المحتمل أن تكون هذه هي الطريقة الأكثر وضوحًا. في الحل العام، بدلاً من "X" نستبدل بصفر، وبدلاً من "Y" نستبدل باثنين:



إنه،

نسخة التصميم القياسية:

الآن نعوض بالقيمة التي وجدناها للثابت في الحل العام:
– هذا هو الحل المحدد الذي نحتاجه.

إجابة:الحل الخاص:

دعونا تحقق. يتضمن التحقق من الحل الخاص مرحلتين:

تحتاج أولاً إلى التحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي بالفعل الشرط الأولي؟ بدلًا من "X" نستبدل بالصفر ونرى ما سيحدث:
- نعم بالفعل تم استلام اثنين مما يعني استيفاء الشرط الأولي.

المرحلة الثانية مألوفة بالفعل. نأخذ الحل المحدد الناتج ونجد المشتقة:

نعوض في المعادلة الأصلية:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة.

الخلاصة: تم العثور على الحل المحدد بشكل صحيح.

دعنا ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا.

مثال 3

حل المعادلة التفاضلية

حل:نعيد كتابة المشتق بالشكل الذي نحتاجه:

نقيم هل من الممكن فصل المتغيرات؟ يستطيع. ننقل الحد الثاني إلى الجانب الأيمن مع تغيير الإشارة:

وننقل المضاعفات وفق قاعدة التناسب:

تم فصل المتغيرات، دعونا ندمج كلا الجزأين:

يجب أن أحذرك، يوم القيامة يقترب. إذا لم تدرس جيداً التكاملات غير المحددة، لقد قمت بحل بعض الأمثلة، فلا يوجد مكان تذهب إليه - سيتعين عليك إتقانها الآن.

من السهل العثور على تكامل الجانب الأيسر، حيث نتعامل مع تكامل ظل التمام باستخدام التقنية القياسية التي تناولناها في الدرس دمج الدوال المثلثيةالعام الماضي:

على الجانب الأيمن لدينا لوغاريتم، ووفقًا لتوصيتي الفنية الأولى، يجب أيضًا كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

والآن نحاول تبسيط التكامل العام. نظرًا لأن لدينا اللوغاريتمات فقط، فمن الممكن (والضروري) التخلص منها. باستخدام خصائص معروفةنحن "نحزم" اللوغاريتمات قدر الإمكان. سأكتبها بتفصيل كبير:

تم الانتهاء من العبوة لتكون ممزقة ببربرية:

هل من الممكن التعبير عن "لعبة"؟ يستطيع. من الضروري تربيع كلا الجزأين.

لكنك لست بحاجة إلى القيام بذلك.

النصيحة الفنية الثالثة:إذا كان الحصول على حل عام لا بد من رفعه إلى قوة أو تجذره، إذن في معظم الحالاتفعليك الامتناع عن هذه التصرفات وترك الإجابة على شكل تكامل عام. الحقيقة هي أن الحل العام سيبدو فظيعًا - مع جذور كبيرة وعلامات وغيرها من القمامة.

ولذلك، نكتب الجواب في صورة تكامل عام. بطريقة جيدةويعتبر تمثيله بالشكل، أي على الجانب الأيمن، إذا أمكن، اترك ثابتًا فقط. ليس من الضروري القيام بذلك، ولكن من المفيد دائمًا إرضاء الأستاذ ;-)

إجابة:التكامل العام:

! ملحوظة: يمكن كتابة التكامل العام لأي معادلة بأكثر من طريقة. وبالتالي، إذا كانت نتيجتك لا تتطابق مع الإجابة المعروفة مسبقًا، فهذا لا يعني أنك حللت المعادلة بشكل غير صحيح.

من السهل أيضًا التحقق من التكامل العام، والشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على العثور عليه مشتق من وظيفة محددة ضمنيا. دعونا نفرق الجواب:

نضرب كلا المصطلحين في:

ونقسم على:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية بشكل صحيح، مما يعني أنه تم العثور على التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 4

أوجد حلاً معينًا للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي. إجراء فحص.

وهذا مثال ل قرار مستقل.

دعني أذكرك أن الخوارزمية تتكون من مرحلتين:
1) إيجاد حل عام.
2) إيجاد الحل المحدد المطلوب.

يتم إجراء الفحص أيضًا في خطوتين (انظر النموذج في المثال رقم 2)، ستحتاج إلى:
1) التأكد من أن الحل المعين الذي تم العثور عليه يفي بالشرط الأولي؛
2) التحقق من أن حل معين يفي بشكل عام بالمعادلة التفاضلية.

الحل الكاملوالإجابة في نهاية الدرس.

مثال 5

أوجد حلاً محددًا للمعادلة التفاضلية ، استيفاء الشرط الأولي. إجراء فحص.

حل:أولا، دعونا نجد حلا عاما، هذه المعادلة تحتوي بالفعل على تفاضلات جاهزة، وبالتالي تم تبسيط الحل. نقوم بفصل المتغيرات:

دعونا ندمج المعادلة:

التكامل الذي على اليسار جدولي، والتكامل الذي على اليمين مأخوذ طريقة إدراج دالة تحت العلامة التفاضلية:

تم الحصول على التكامل العام، فهل من الممكن التعبير عن الحل العام بنجاح؟ يستطيع. نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين. نظرًا لأنها إيجابية، فإن علامات المعامل غير ضرورية:

(أتمنى أن يفهم الجميع هذا التحول، مثل هذه الأشياء يجب أن تكون معروفة بالفعل)

إذن الحل العام هو:

دعونا نجد حلاً معينًا يتوافق مع الشرط الأولي المحدد.
في الحل العام، بدلاً من "X" نستبدل بالصفر، وبدلاً من "Y" نستبدل لوغاريتم اثنين:

تصميم أكثر دراية:

نعوض بالقيمة التي وجدناها للثابت في الحل العام.

إجابة:الحل الخاص:

التحقق: أولاً، دعونا نتحقق من استيفاء الشرط الأولي:
- كل شيء بخير.

الآن دعونا نتحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يفي بالمعادلة التفاضلية على الإطلاق. إيجاد المشتقة:

لننظر إلى المعادلة الأصلية: - يتم تقديمه في الفروق. هناك طريقتان للتحقق. من الممكن التعبير عن التفاضل من المشتق الموجود:

دعونا نعوض بالحل المعين الموجود والتفاضل الناتج في المعادلة الأصلية :

نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أنه تم العثور على الحل المعين بشكل صحيح.

الطريقة الثانية للتحقق معكوسة وأكثر دراية: من المعادلة دعونا نعبر عن المشتقة، للقيام بذلك نقسم جميع القطع على:

وفي DE المحول نستبدل الحل الجزئي الذي تم الحصول عليه والمشتق الموجود. ونتيجة للتبسيط، ينبغي أيضا الحصول على المساواة الصحيحة.

مثال 6

حل المعادلة التفاضلية. تقديم الإجابة في شكل تكامل عام.

هذا مثال يمكنك حله بنفسك، الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ما هي الصعوبات التي تكمن في حل المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل؟

1) ليس من الواضح دائمًا (خاصة بالنسبة إلى "إبريق الشاي") أنه يمكن فصل المتغيرات. دعونا نفكر مثال مشروط: . هنا عليك إخراج العوامل من الأقواس: وفصل الجذور: . من الواضح ما يجب فعله بعد ذلك.

2) صعوبات التكامل نفسه. غالبًا ما لا تكون التكاملات هي الأبسط، وإذا كانت هناك عيوب في مهارات العثور عليها تكامل غير محدد، فسيكون الأمر صعبًا مع وجود العديد من الناشرين. بالإضافة إلى ذلك، فإن المنطق "بما أن المعادلة التفاضلية بسيطة، على الأقل اجعل التكاملات أكثر تعقيدًا" يحظى بشعبية كبيرة بين جامعي المجموعات وأدلة التدريب.

3) التحولات مع ثابت. كما لاحظ الجميع، يمكن التعامل مع الثابت في المعادلات التفاضلية بحرية تامة، وبعض التحولات ليست دائمًا واضحة للمبتدئين. دعونا نلقي نظرة على مثال شرطي آخر: . يُنصح بضرب جميع المصطلحات في 2: . الثابت الناتج هو أيضًا نوع من الثابت، والذي يمكن الإشارة إليه بواسطة: . نعم، وبما أن هناك لوغاريتم على الجانب الأيمن، فمن المستحسن إعادة كتابة الثابت على شكل ثابت آخر: .

المشكلة هي أنهم غالبًا لا يهتمون بالفهارس ويستخدمون نفس الحرف. ونتيجة لذلك يتخذ سجل القرار الشكل التالي:

أي نوع من الهرطقة؟ هناك أخطاء هناك! بالمعنى الدقيق للكلمة، نعم. ومع ذلك، من وجهة نظر موضوعية، لا توجد أخطاء، لأنه نتيجة لتحويل ثابت متغير، لا يزال يتم الحصول على ثابت متغير.

أو مثال آخر، لنفترض أنه أثناء حل المعادلة تم الحصول على تكامل عام. تبدو هذه الإجابة قبيحة، لذا ينصح بتغيير إشارة كل مصطلح: . رسميًا، هناك خطأ آخر هنا - يجب كتابته على اليمين. لكن بشكل غير رسمي يُفهم ضمنيًا أن "ناقص ce" لا يزال ثابتًا ( والتي يمكن أن تأخذ أي معنى بسهولة!)، لذا فإن وضع علامة "ناقص" ليس له معنى ويمكنك استخدام نفس الحرف.

سأحاول تجنب اتباع نهج مهمل، وسأظل أقوم بتعيين مؤشرات مختلفة للثوابت عند تحويلها.

مثال 7

حل المعادلة التفاضلية. إجراء فحص.

حل:تسمح هذه المعادلة بفصل المتغيرات. نقوم بفصل المتغيرات:

دعونا ندمج:

ليس من الضروري تعريف الثابت هنا على أنه لوغاريتم، لأنه لن يأتي أي شيء مفيد من هذا.

إجابة:التكامل العام:

التحقق من: التمييز بين الإجابة (وظيفة ضمنية):

نتخلص من الكسور عن طريق ضرب كلا الحدين في:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 8

ابحث عن حل معين لـ DE.
,

هذا مثال لك لحله بنفسك. التلميح الوحيد هو أنك هنا سوف تحصل على تكامل عام، وبشكل أكثر دقة، تحتاج إلى تدبير ليس لإيجاد حل معين، ولكن تكامل جزئي. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

المعادلة التفاضليةهي معادلة تربط بين المتغير المستقل x والدالة المطلوبة y=f(x) ومشتقاتها y"،y""،\ldots،y^((n))، أي معادلة النموذج

F(x,y,y",y"",\ldots,y^((n)))=0.

إذا كانت الدالة المطلوبة y=y(x) هي دالة لمتغير مستقل واحد x، فإن المعادلة التفاضلية تسمى عادية؛ على سبيل المثال،

\mathsf(1))~\frac(dy)(dx)+xy=0, \quad \mathsf(2))~y""+y"+x=\cos(x), \quad \mathsf(3) ))~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

عندما تكون الدالة المطلوبة y دالة لمتغيرين مستقلين أو أكثر، على سبيل المثال، إذا y=y(x,t) فإن المعادلة تكون على الشكل

F\!\left(x,t,y,\frac(\partial(y))(\partial(x)),\frac(\partial(y))(\partial(t)),\ldots,\ فارك(\جزئي^م(ذ))(\جزئي(x^k)\جزئي(t^l))\يمين)=0

تسمى معادلة تفاضلية جزئية هنا k,l أعداد صحيحة غير سالبة مثل k+l=m ; على سبيل المثال

\frac(\partial(y))(\partial(t))-\frac(\partial(y))(\partial(x))=0, \quad \frac(\partial(y))(\partial (ر))=\frac(\جزئي^2y)(\جزئي(x^2)).

ترتيب المعادلة التفاضليةهو ترتيب المشتقة الأعلى التي تظهر في المعادلة. على سبيل المثال، المعادلة التفاضلية y"+xy=e^x هي معادلة من الدرجة الأولى، المعادلة التفاضلية y""+p(x)y=0، حيث p(x) دالة معروفة، هي دالة ثانية معادلة الرتبة المعادلة التفاضلية y^( (9))-xy""=x^2 - معادلة الرتبة التاسعة.

حل المعادلة التفاضليةالترتيب n على الفاصل الزمني (a,b) هو دالة y=\varphi(x) محددة في الفاصل الزمني (a,b) مع مشتقاتها حتى الترتيب n ضمنًا، بحيث يتم استبدال الدالة y=\ varphi (x) إلى معادلة تفاضلية تحول الأخيرة إلى هوية في x على (a,b) . على سبيل المثال، الدالة ص=\الخطيئة(س)+\كوس(س)هو حل للمعادلة y""+y=0 على الفترة (-\infty،+\infty). في الواقع، سيكون لدينا اشتقاق الدالة مرتين

y"=\cos(x)-\sin(x), \quad y""=-\sin(x)-\cos(x).

باستبدال التعبيرات y"" و y في المعادلة التفاضلية، نحصل على الهوية

-\sin(x)-\cos(x)+\sin(x)+\cos(x)\equiv0

يسمى الرسم البياني لحل المعادلة التفاضلية منحنى متكاملهذه المعادلة.

الشكل العام للمعادلة من الدرجة الأولى

F(x,y,y")=0.

إذا كان من الممكن حل المعادلة (1) بالنسبة لـ y"، فسنحصل على معادلة من الدرجة الأولى تم حلها فيما يتعلق بالمشتقة.

ذ"=و(س،ص).

مشكلة كوشي هي مشكلة إيجاد حل y=y(x) للمعادلة y"=f(x,y) التي تحقق الشرط الأولي y(x_0)=y_0 (تدوين آخر y|_(x=x_0)= ص_0).

هندسيًا، هذا يعني أننا نبحث عن منحنى متكامل يمر عبر معطى
النقطة M_0(x_0,y_0) للمستوى xOy (الشكل 1).

نظرية الوجود والتفرد لحل مشكلة كوشي

دع المعادلة التفاضلية y"=f(x,y) تعطى، حيث يتم تعريف الوظيفة f(x,y) في بعض المناطق D من المستوى xOy الذي يحتوي على النقطة (x_0,y_0). إذا كانت الوظيفة f(x) ، ذ) مستوفي الشروط

أ) f(x,y) هي دالة مستمرة لمتغيرين x وy في المجال D؛

ب) f(x,y) له مشتق جزئي محدود في المجال D، ثم هناك فاصل زمني (x_0-h,x_0+h) يوجد فيه حل فريد y=\varphi(x) لهذه المعادلة يفي بالشرط y(x_0 )=y_0 .

توفر النظرية شروطًا كافية لوجود حل فريد لمشكلة كوشي للمعادلة y"=f(x,y) لكن هذه الشروط ليست كذلك ضروري. أي أنه قد يكون هناك حل فريد للمعادلة y"=f(x,y) يحقق الشرط y(x_0)=y_0، على الرغم من أن الشروط عند النقطة (x_0,y_0) a) أو b) أو كلاهما ليست كذلك راضي.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

1.y"=\frac(1)(y^2) . هنا f(x,y)=\frac(1)(y^2),~\frac(\partial(f))(\partial(y))=-\frac(2)(y^3). عند النقاط (x_0,0) من محور الثور، تكون الشروط a) وb) غير مستوفاة (الدالة f(x,y) ومشتقتها الجزئية \frac(\جزئي(f))(\جزئي(y))متقطعة على محور الثور وغير محدودة عند y\to0 ) ، ولكن من خلال كل نقطة من محور الثور يوجد منحنى متكامل واحد ص=\sqrt(3(x-x_0))(الصورة 2).

2. y"=xy+e^(-y). الجانب الأيمن من المعادلة f(x,y)=xy+e^(-y) ومشتقتها الجزئية \frac(\partial(f))(\partial(y))=x-e^(-y)مستمر في x و y في جميع النقاط في المستوى xOy. بحكم نظرية الوجود والتفرد، المنطقة التي يكون فيها لمعادلة معينة حل فريد
هي الطائرة xOy بأكملها.

3. y"=\frac(3)(2)\sqrt(y^2). الجانب الأيمن من المعادلة f(x,y)=\frac(3)(2)\sqrt(y^2)محددة ومستمرة في جميع نقاط المستوى xOy. اشتقاق جزئي \frac(\partial(f))(\partial(y))=\frac(1)(\sqrt(y))يذهب إلى ما لا نهاية عند y=0، أي على محور الثور، بحيث عند y=0 الشرط b) يتم انتهاك نظرية الوجود والتفرد. وبالتالي، في نقاط محور الثور، قد يتم انتهاك التفرد. من السهل التحقق من أن الدالة هي حل لهذه المعادلة. بالإضافة إلى ذلك، للمعادلة حل واضح y\equiv0 . وبالتالي، يمر خطان متكاملان على الأقل عبر كل نقطة من محور الثور، وبالتالي، يتم انتهاك التفرد بالفعل عند نقاط هذا المحور (الشكل 3).

الخطوط المتكاملة لهذه المعادلة ستكون أيضًا خطوطًا مكونة من قطع من القطع المكافئة المكعبة ص=\فارك((س+ج)^3)(8)وأجزاء محور الثور، على سبيل المثال، ABOC_1، ABB_2C_2، A_2B_2x، وما إلى ذلك، بحيث يمر عدد لا نهائي من الخطوط المتكاملة عبر كل نقطة من محور الثور.

حالة ليبشيتز

تعليق. شرط أن يكون المشتق محدودا \جزئي(و)/\جزئي(ذ)، التي تظهر في نظرية الوجود والتفرد في حل مشكلة كوشي، يمكن إضعافها إلى حد ما واستبدالها بما يسمى حالة ليبشيتز.

يقال إن الوظيفة f(x,y) المعرفة في بعض المجالات D تفي بشرط Lipschitz لـ y في D إذا كان هناك مثل هذا الثابت L ( ثابت ليبشيتز) أنه بالنسبة لأي y_1,y_2 من D وأي x من D فإن عدم المساواة التالية يحمل:

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

وجود مشتق محدود في المنطقة D \frac(\جزئي(f))(\جزئي(y))يكفي أن تستوفي الدالة f(x,y) شرط Lipschitz في D. على العكس من ذلك، فإن شرط ليبشيتز لا يعني ضمنا شرط الحدود \frac(\جزئي(f))(\جزئي(y)); هذا الأخير قد لا يكون موجودا حتى. على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة y"=2|y|\cos(x) الدالة f(x,y)=2|y|\cos(x)غير قابلة للتمييز فيما يتعلق بـ y عند هذه النقطة (x_0,0),x_0\ne\frac(\pi)(2)+k\pi,k\in\mathbb(Z)، لكن شرط ليبشيتز يكون متحققًا بالقرب من هذه النقطة. بالفعل،

(|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos(x)-2|y_1|\cos(x)|=2|\cos(x)|\, ||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.)

بسبب ال |\cos(x)|\leqslant1,أ ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1|. وبذلك تكون حالة ليبشيتز محققة بالقيمة الثابتة L=2.

نظرية. إذا كانت الدالة f(x,y) متصلة وتفي بشرط Lipschitz لـ y في المجال D، فإن مشكلة كوشي

\frac(dy)(dx)=f(x,y), \quad y|_(x=x_0)=y_0, \quad (x_0,y_0)\in(D).

لديه حل فريد من نوعه.

تعتبر حالة ليبشيتز ضرورية لتفرد الحل لمشكلة كوشي. على سبيل المثال، النظر في المعادلة

\frac(dy)(dx)=\begin(cases)\dfrac(4x^3y)(x^4+y^4),&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0 .\end(الحالات)

من السهل أن نرى أن الدالة f(x,y) مستمرة؛ على الجانب الآخر،

f(x,Y)-f(x,y)=\frac(4x^3(x^4+yY))((x^4+y^2)(x^4+Y^2))(Y-y ).

لو ص = ألفا س ^ 2، ~ ص = بيتا س ^ 2،الذي - التي

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac(4)(|x|)\frac(1-\alpha\beta)((1+\alpha^2)(1+\beta) ^2))|ص-ص|،

وشرط Lipschitz غير راضٍ في أي منطقة تحتوي على الأصل O(0,0) منذ العامل |Y-y| تبين أنه غير محدود عند x\to0 .

يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية ص=C^2-\sqrt(x^4+C^4),حيث C هو ثابت تعسفي. وهذا يوضح أن هناك عدد لا نهائي من الحلول التي تحقق الشرط الأولي y(0)=0.

الحل العامالمعادلة التفاضلية (2) تسمى الدالة

ص =\varphi(x,C),

اعتمادا على ثابت واحد C التعسفي، وهكذا

1) أنه يفي بالمعادلة (2) لأي قيم مقبولة للثابت C؛

2) مهما كان الشرط الأولي

\Bigl.(y)\Bigr|_(x=x_0)=y_0,

من الممكن تحديد قيمة C_0 للثابت C بحيث يفي الحل y=\varphi(x,C_0) بالشرط الأولي المحدد (4). في هذه الحالة، يفترض أن النقطة (x_0,y_0) تنتمي إلى المنطقة التي تتوفر فيها شروط وجود الحل وتفرده.

قرار خاصالمعادلة التفاضلية (2) هي الحل الذي تم الحصول عليه من الحل العام (3) لقيمة معينة للثابت التعسفي C.

مثال 1. تحقق من أن الدالة y=x+C هي حل عام للمعادلة التفاضلية y"=1، ثم ابحث عن حل معين يحقق الشرط الأولي y|_(x=0)=0. أعط تفسيرًا هندسيًا لـ النتائج.

حل.الدالة y=x+C تحقق هذه المعادلة لأي قيمة للثابت التعسفي C. في الواقع، y"=(x+C)"=1.

لنضع شرطًا أوليًا عشوائيًا y|_(x=x_0)=y_0 . وبوضع x=x_0 و y=y_0 في المساواة y=x+C، نجد أن C=y_0-x_0. باستبدال قيمة C هذه في هذه الدالة، سيكون لدينا y=x+y_0-x_0. تحقق هذه الوظيفة الشرط الأولي المحدد: بوضع x=x_0، نحصل على ذلك ص=x_0+y_0-x_0=y_0. لذا فإن الدالة y=x+C هي حل عام لهذه المعادلة.

على وجه الخصوص، بافتراض x_0=0 و y_0=0، نحصل على حل معين y=x.

الحل العام لهذه المعادلة، أي. تحدد الدالة y=x+C في المستوى xOy عائلة من الخطوط المتوازية ذات معامل زاوي k=1. من خلال كل نقطة M_0(x_0,y_0) من المستوى xOy يمر هناك خط متكامل واحد y=x+y_0-x_0. يحدد الحل المعين y=x أحد المنحنيات المتكاملة، أي الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة الأصل (الشكل 4).

مثال 2. تحقق من أن الدالة y=Ce^x هي حل عام للمعادلة y"-y=0 وابحث عن حل معين يحقق الشرط الأولي y|_(x=1)=-1. .

حل.لدينا y=Ce^x,~y"=Ce^x. وباستبدال التعبيرات y وy" في هذه المعادلة، نحصل على Ce^x-Ce^x\equiv0، أي أن الدالة y=Ce^x تحقق هذه المعادلة لأي قيم للثابت C.

لنضع شرطًا أوليًا عشوائيًا y|_(x=x_0)=y_0 . استبدال x_0 و y_0 بدلاً من x و y في الدالة y=Ce^x، سيكون لدينا y_0=Ce^(x_0) ، حيث C=y_0e^(-x_0) . الدالة y=y_0e^(x-x_0) تفي بالشرط الأولي. في الواقع، بافتراض x=x_0، نحصل على ص=y_0e^(x_0-x_0)=y_0. الدالة y=Ce^x هي الحل العام لهذه المعادلة.

بالنسبة إلى x_0=1 و y_0=-1 نحصل على حل معين y=-e^(x-1) .

من وجهة نظر هندسية، يحدد الحل العام عائلة من المنحنيات التكاملية، وهي الرسوم البيانية للدوال الأسية؛ الحل الخاص هو منحنى متكامل يمر عبر النقطة M_0(1;-1) (الشكل 5).

تسمى العلاقة بالصيغة \Phi(x,y,C)=0، والتي تحدد الحل العام ضمنيًا تكامل عامالمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

تسمى العلاقة التي يتم الحصول عليها من التكامل العام لقيمة محددة للثابت C تكامل جزئيالمعادلة التفاضلية.

مشكلة حل أو تكامل معادلة تفاضلية هي إيجاد الحل العام أو التكامل العام لمعادلة تفاضلية معينة. إذا تم تحديد شرط أولي بالإضافة إلى ذلك، فمن الضروري اختيار حل معين أو تكامل جزئي يلبي الشرط الأولي المحدد.

بما أنه من وجهة نظر هندسية فإن الإحداثيات x و y متساوية، ثم مع المعادلة \frac(dx)(dy)=f(x,y)سننظر في المعادلة \frac(dx)(dy)=\frac(1)(f(x,y)).