طلب

حل المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت على الموقع الإلكتروني للطلاب لتوحيد المواد التي قاموا بتغطيتها. وتدريب مهاراتك العملية. المعادلات التفاضلية على الانترنت. Difurs على الانترنت، حل الرياضيات على الانترنت. الحل خطوة بخطوةمشاكل الرياضيات على الانترنت. النظام أو الدرجة المعادلة التفاضلية- أعلى ترتيب للمشتقات المدرجة فيه. المعادلات التفاضلية على الانترنت. تسمى عملية حل المعادلة التفاضلية بالتكامل. تعتبر مشكلة تكامل المعادلة التفاضلية محلولة إذا كان من الممكن أن يؤدي إيجاد دالة مجهولة إلى التربيع، بغض النظر عما إذا كان التكامل الناتج معبرا عنه في صورته النهائية بدلالة الدوال المعلومة أم لا. حل المعادلات التفاضلية خطوة بخطوة عبر الإنترنت. يمكن تقسيم جميع المعادلات التفاضلية إلى معادلات تفاضلية عادية (ODE)، والتي تتضمن فقط وظائف (ومشتقاتها) لوسيطة واحدة، ومعادلات تفاضلية جزئية (PDE)، حيث تعتمد وظائف الإدخال على العديد من المتغيرات. المعادلات التفاضلية على الانترنت. هناك أيضًا معادلات تفاضلية عشوائية (SDEs) تتضمن عمليات عشوائية. حل المعادلات التفاضلية خطوة بخطوة عبر الإنترنت. اعتمادا على مجموعات المشتقات والدوال والمتغيرات المستقلة، يتم تقسيم المعادلات التفاضلية إلى خطية وغير خطية، مع معاملات ثابتة أو متغيرة، متجانسة أو غير متجانسة. نظرا لأهمية التطبيقات، يتم تصنيف المعادلات التفاضلية الجزئية شبه الخطية (الخطية فيما يتعلق بالمشتقات الأعلى) في فئة منفصلة. تنقسم حلول المعادلات التفاضلية إلى حلول عامة وخاصة. المعادلات التفاضلية على الانترنت. تتضمن الحلول العامة ثوابت غير محددة، وبالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية، هناك دوال عشوائية للمتغيرات المستقلة التي يمكن تنقيحها من شروط إضافيةالتكامل (الشروط الأولية للمعادلات التفاضلية العادية، الشروط الأولية والحدية للمعادلات التفاضلية الجزئية). حل المعادلات التفاضلية خطوة بخطوة عبر الإنترنت. وبعد تحديد نوع الدوال الثابتة وغير المحددة المشار إليها، تصبح الحلول خاصة. أدى البحث عن حلول للمعادلات التفاضلية العادية إلى إنشاء فئة من الوظائف الخاصة - وهي وظائف غالبًا ما يتم مواجهتها في التطبيقات التي لا يمكن التعبير عنها من خلال وظائف أولية معروفة. المعادلات التفاضلية على الانترنت. تمت دراسة خصائصها بالتفصيل، وتم تجميع جداول القيم، وتحديد الروابط المتبادلة، وما إلى ذلك. ويمكن دراسة مجموعة الأرقام المذكورة. أفضل إجابة للمشكلة المحددة. كيفية إيجاد المتجه الخارج إلى منطقة الالتقاء كتقريب أولي حول المعادلات التفاضلية دون معرفة الحد الأعلى الموجود. والخيار واضح للزيادة وظائف رياضية. هناك طريقة تقدمية فوق مستوى البحث. ستساعدك محاذاة الحالة الأولية للمشكلة مع حل المعادلات التفاضلية في العثور على قيمة مختارة بشكل فريد. ربما يمكنه التعرف على المجهول على الفور. كما في المثال السابق للإشارة إلى حل لمشكلة رياضية، فإن المعادلات التفاضلية الخطية هي الإجابة على مشكلة محددة مطروحة في المواعيد النهائية المحددة. لا يتم تحديد صيانة إجراءات البحث محليًا. سيتم العثور على مثال لكل طالب وسيتم تحديد حل المعادلات التفاضلية من قبل الشخص المعين للشخص المسؤول من قيمتين على الأقل. خذ دالة ذات قيمة عامة في مقطع معين وحذر على طول المحور الذي ستكون هناك فجوة. من خلال دراسة المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت، من الممكن إظهار مدى أهمية النتيجة بشكل لا لبس فيه، إذا تم توفيرها من خلال الشروط الأولية. من المستحيل قطع منطقة من تعريف الدالة، حيث لا يوجد تعريف للمهمة محليًا. نظرًا لأنه تم العثور عليه من نظام المعادلات، فإن الإجابة تحتوي على متغير قابل للعد بالمعنى العام، ولكن حل المعادلة التفاضلية عبر الإنترنت سيكون ممكنًا بطبيعة الحال دون هذا الإجراء لتحديد الشرط المذكور. بجانب الفاصل الزمني للمقطع، يمكنك رؤية كيف يمكن لحل المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت أن يؤدي إلى تقدم نتيجة البحث في اتجاه إيجابي في وقت قطع المعرفة عن الطلاب. الأفضل لا يأتي دائمًا من النهج المقبول عمومًا في العمل. على المستوى 2x، من المفيد مراجعة جميع المعادلات التفاضلية الخطية الضرورية في تمثيل طبيعي، ولكن القدرة على حساب القيمة العددية ستؤدي إلى تحسين المعرفة. وفقا لأي طريقة في الرياضيات، هناك معادلات تفاضلية يتم تقديمها في تعبيرات مختلفة في طبيعتها، مثل المتجانسة أو المعقدة. بعد أن أمضى التحليل العاموبفحص الدالة يتبين أن حل التفاضلات كمجموعة من الاحتمالات يمثل خطأ واضحا في القيم. والحقيقة فيه تكمن في الفضاء فوق خطوط الإحداثيات. في مكان ما في مجال تعريف دالة معقدة، في مرحلة ما من تعريفها، ستكون المعادلات التفاضلية الخطية قادرة على تقديم الإجابة في شكل تحليلي. التي هي في منظر عامكالجوهر. لا شيء يتغير عند تغيير المتغير. ومع ذلك، عليك أن تنظر إلى الإجابة باهتمام خاص. في جوهرها، تقوم الآلة الحاسبة بتغيير العلاقة في النهاية، أي كيف يتناسب حل المعادلات التفاضلية مع القيمة العالمية ويتم تحديده ضمن حدود الحل المطلوب. في بعض الحالات، لا يمكن تجنب التحذير من حدوث خطأ كبير. تنفيذ المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت فكرة عامةحول المهمة، ولكن في النهاية عليك تقديمها في أسرع وقت ممكن الجوانب الإيجابيةمنتج ناقلات. في الرياضيات، حالات المفاهيم الخاطئة في نظرية الأعداد ليست غير شائعة. ستكون هناك حاجة بالتأكيد إلى الشيك. بطبيعة الحال، من الأفضل إعطاء هذا الحق للمحترفين في مجالهم وسوف يساعدونك في حل المعادلة التفاضلية عبر الإنترنت، لأن تجربتهم هائلة وإيجابية. الفرق على أسطح الأشكال والمساحة هو أنه لا يسمح لك برؤية المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت، ولكن مجموعة الكائنات غير المتقاطعة تجعل الخط موازيًا للمحور. ونتيجة لذلك، يمكنك الحصول على ضعف عدد القيم. على الرغم من أن فهمنا لصحة التدوين الرسمي ليس واضحًا، إلا أنه يتضمن معادلات تفاضلية خطية في منطقة العرض وفيما يتعلق بالمبالغة المتعمدة في تقدير جودة النتيجة. تتم مراجعة حلقة نقاش حول موضوع يهم جميع الطلاب عدة مرات. طوال فترة الدراسة دورة كاملةفي المحاضرات، سنركز اهتمامنا الشديد على المعادلات التفاضلية ومجالات الدراسة العلمية ذات الصلة، إذا كان هذا لا يتعارض مع الحقيقة. يمكن تجنب العديد من الخطوات في بداية الرحلة. إذا كان حل المعادلات التفاضلية لا يزال شيئًا جديدًا للطلاب بشكل أساسي، فلن يتم نسيان القديم على الإطلاق، ولكنه يتقدم إلى المستقبل بمعدل مرتفع من التطور. في البداية، تختلف شروط المشكلة في الرياضيات، ولكن يشار إلى ذلك في الفقرة على اليمين. بعد مرور الوقت المحدد حسب التعريف، لا يمكن استبعاد إمكانية وجود نتيجة تعتمد متناسبة على مستويات مختلفة من حركة المتجهات. يمكن تصحيح مثل هذه الحالة البسيطة بنفس الطريقة التي يتم بها وصف المعادلات التفاضلية الخطية على الآلة الحاسبة بشكل عام، وستكون أسرع ولن تؤدي إزاحة الحسابات إلى رأي خاطئ. خمس حالات فقط تم تسميتها وفقًا للنظرية يمكنها أن تتجاوز حدود ما يحدث. سيساعدك حل المعادلات التفاضلية لدينا على حساب القيمة بالأرقام يدويًا بالفعل في المراحل الأولى من تحليل مساحة الوظيفة. في الأماكن الصحيحة من الضروري تمثيل نقطة الاتصال للخطوط الأربعة معنى عام. ولكن إذا كان عليك إزاحة المهمة، فسيكون من السهل مساواة التعقيد. البيانات الأولية كافية لتصميم الساق المجاورة والمعادلات التفاضلية عبر الإنترنت تبدو محاذاة إلى اليسار والسطح أحادي الجانب موجه نحو دوار المتجه. فوق الحد الأعلى، من الممكن وجود قيم عددية تتجاوز الشرط المحدد. من الممكن مراعاة الصيغة الرياضية وحل المعادلة التفاضلية عبر الإنترنت باستخدام ثلاثة مجاهيل في القيمة العامة للنسبة. تم التعرف على طريقة الحساب المحلية على أنها صالحة. نظام الإحداثيات مستطيل في الحركة النسبية للمستوى. يسمح لنا الحل العام للمعادلات التفاضلية عبر الإنترنت باستخلاص نتيجة بشكل لا لبس فيه لصالح التشغيل الحسابي من خلال تعريفات المصفوفة على الخط المستقيم بأكمله الموجود فوق الرسم البياني لوظيفة محددة بوضوح. يكون الحل مرئيًا بوضوح إذا قمت بتطبيق ناقل الحركة على نقطة التلامس بين نصفي الكرة الأرضية الثلاثة. يتم الحصول على الأسطوانة عن طريق تدوير المستطيل حول الجانب وستكون المعادلات التفاضلية الخطية قادرة على إظهار اتجاه حركة النقطة وفقًا للتعبيرات المعطاة لقانون حركتها. البيانات الأولية صحيحة والمسألة في الرياضيات قابلة للتبادل مع واحدة حالة بسيطة. ومع ذلك، بسبب الظروف، وبسبب تعقيد المهمة الفرعية المطروحة، تعمل المعادلات التفاضلية على تبسيط عملية حساب المساحات العددية على مستوى الفضاء ثلاثي الأبعاد. ومن السهل إثبات خلاف ذلك، ولكن يمكن تجنبه، كما في المثال المذكور. في الرياضيات العليا، يتم توفير النقاط التالية: عندما يتم تقليل المشكلة إلى شكل مبسط، يجب بذل أكبر جهد ممكن من جانب الطلاب عليها. تؤخذ في الاعتبار الخطوط المتراكبة على بعضها البعض. حول حل الفروق لا يزال يستأنف الاستفادة من الطريقة المذكورة على خط منحني. إذا تعرفت أولاً على شيء ليس ما تحتاجه، إذن معادلة رياضيةسيتم إنشاء قيمة جديدة للتعبير. الهدف هو النهج الأمثل لحل المهام التي حددها الأستاذ. لا ينبغي أن تفترض أن المعادلات التفاضلية الخطية في صورة مبسطة ستتجاوز النتيجة المتوقعة. نضع ثلاثة نواقل على سطح مركب بشكل محدود. متعامدة مع بعضها البعض. دعونا نحسب المنتج. دعونا نفعل الإضافة أكثرالرموز واكتب جميع متغيرات الدالة من التعبير الناتج. هناك نسبة. العديد من الإجراءات التي تسبق نهاية الحساب لن تعطي إجابة لا لبس فيها لحل المعادلات التفاضلية على الفور، ولكن فقط بعد انقضاء الوقت المخصص على طول المحور الصادي. على يسار نقطة الانقطاع، المحددة ضمنيًا من الدالة، نرسم محورًا متعامدًا مع أفضل متجه متزايد ونضع المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت على طول أصغر قيمة حدودية للوجه السفلي للكائن الرياضي. نقوم بإلحاق الوسيطة الإضافية في منطقة فاصل الوظيفة. على يمين نقاط موقع الخط المنحني، توجد الصيغ التي كتبناها للتقليل إلى القاسم المشترك. سنتخذ النهج الصحيح الوحيد الذي سيسلط الضوء على المشاكل التي لم يتم حلها من النظرية إلى الممارسة، في الحالة العامة بشكل لا لبس فيه. خطوط في اتجاه الإحداثيات نقاط معينةلم نقم أبدًا بإغلاق الموضع الأقصى للمربع، ولكن حل المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت سيساعد الطلاب ونحن والمبتدئين في هذا المجال في دراسة الرياضيات. نحن نتحدث عن إمكانية استبدال وسيطة القيمة في جميع الأسطر المهمة في حقل واحد. من حيث المبدأ، كما هو متوقع، فإن معادلاتنا التفاضلية الخطية هي شيء معزول في مفهوم واحد للمعنى المحدد. لمساعدة الطلاب، واحدة من أفضل الآلات الحاسبة بين الخدمات المماثلة. خذ جميع الدورات واختر الأفضل لنفسك.

=

إما أن تكون قد تم حلها بالفعل فيما يتعلق بالمشتقة، أو يمكن حلها فيما يتعلق بالمشتقة .

الحل العام للمعادلات التفاضلية من النوع على الفترة X، والتي تم تقديمها، يمكن العثور عليها من خلال أخذ تكامل طرفي هذه المساواة.

نحن نحصل .

وإذا نظرنا إلى خواص التكامل غير المحدد نجد الحل العام المطلوب:

ص = و(س) + ج,

أين و(خ)- إحدى الوظائف البدائية و (خ)ما بين أثنين X، أ مع- ثابت تعسفي.

يرجى ملاحظة أنه في معظم المشاكل الفاصل الزمني Xلا تشير. وهذا يعني أنه يجب إيجاد حل للجميع. سوالتي والوظيفة المطلوبة ذوالمعادلة الأصلية منطقية.

إذا كنت بحاجة إلى حساب حل معين لمعادلة تفاضلية تحقق الشرط الأولي ص(س 0) = ص 0ثم بعد حساب التكامل العام ص = و(س) + ج، لا يزال من الضروري تحديد قيمة الثابت ج = ج 0باستخدام الشرط الأولي. وهذا هو ثابت ج = ج 0تحدد من المعادلة و(س 0) + ج = ص 0، والحل الجزئي المطلوب للمعادلة التفاضلية سوف يأخذ الشكل:

ص = و(س) + ج 0.

لنلقي نظرة على مثال:

دعونا نجد حلاً عامًا للمعادلة التفاضلية ونتحقق من صحة النتيجة. دعونا نجد حلاً محددًا لهذه المعادلة يحقق الشرط الأولي.

حل:

وبعد تكامل المعادلة التفاضلية المعطاة نحصل على:

.

لنأخذ هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء:

الذي - التي.، هو الحل العام للمعادلة التفاضلية.

للتأكد من صحة النتيجة، دعونا نجري فحصًا. للقيام بذلك، نعوض بالحل الذي وجدناه في المعادلة التالية:

.

ذلك حين المعادلة الأصلية تتحول إلى هوية:

ولذلك تم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية بشكل صحيح.

الحل الذي توصلنا إليه هو حل عام للمعادلة التفاضلية لكل قيمة حقيقية للوسيطة س.

يبقى حساب حل معين لـ ODE الذي يلبي الشرط الأولي. وبعبارة أخرى، من الضروري حساب قيمة الثابت مع، حيث تكون المساواة صحيحة:

.

.

ثم الاستبدال ج = 2في الحل العام لـ ODE، نحصل على حل معين للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي:

.

المعادلة التفاضلية العادية يمكن حل المشتقة بقسمة طرفي المعادلة على و (خ). سيكون هذا التحول معادلاً إذا و (خ)لا يتحول إلى الصفر تحت أي ظرف من الظروف سمن فترة التكامل للمعادلة التفاضلية X.

هناك حالات محتملة عندما تكون الوسيطة معينة س ∈ Xالمهام و (خ)و ز (خ)في نفس الوقت تصبح صفر لقيم مماثلة سالحل العام للمعادلة التفاضلية هو أي دالة ذ، والذي تم تعريفه فيها، لأن .

إذا كان لبعض قيم الوسيطة س ∈ Xتم استيفاء الشرط، مما يعني أنه في هذه الحالة ليس لدى ODE أي حلول.

للجميع سمن الفاصل Xيتم تحديد الحل العام للمعادلة التفاضلية من المعادلة المحولة.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

مثال 1.

دعونا نجد حلاً عامًا لـ ODE: .

حل.

من الخصائص الرئيسية وظائف أوليةومن الواضح أن الوظيفة اللوغاريتم الطبيعييتم تعريفه لقيم الوسيطة غير السالبة، وبالتالي فإن نطاق التعبير هو قانون الجنسية (س+3)هناك فاصل زمني س > -3 . وهذا يعني أن المعادلة التفاضلية المعطاة منطقية س > -3 . بالنسبة لقيم الوسيطة هذه، التعبير س+3لا يختفي، لذا يمكنك حل ODE للمشتق عن طريق قسمة الجزأين على س + 3.

نحن نحصل .

بعد ذلك، نقوم بدمج المعادلة التفاضلية الناتجة، وحلها بالنسبة للمشتقة: . ولحساب هذا التكامل، نستخدم طريقة إدراجه تحت علامة التفاضل.

دعونا نتذكر المهمة التي واجهتنا عند إيجاد تكاملات محددة:

أو دى = و(س)دكس. الحل لها:

ويتعلق الأمر بحساب التكامل غير المحدد. في الممارسة العملية، يحدث في كثير من الأحيان مهمة صعبة: البحث عن وظيفة ذ، إذا علم أنه يفي بعلاقة من الشكل

ترتبط هذه العلاقة بالمتغير المستقل س، وظيفة غير معروفة ذومشتقاته حتى الأمر نشاملة، تسمى .

تتضمن المعادلة التفاضلية دالة تحت علامة المشتقات (أو التفاضلات) بترتيب أو بآخر. أعلى ترتيب يسمى الترتيب (9.1) .

المعادلات التفاضلية:

- الطلب الأول،

الدرجة الثانية

- الترتيب الخامس، الخ.

تسمى الدالة التي تحقق معادلة تفاضلية معينة بحلها , أو لا يتجزأ . وحلها يعني إيجاد كل حلولها. إذا للوظيفة المطلوبة ذتمكنا من الحصول على صيغة تعطي جميع الحلول، فنقول أننا وجدنا حلها العام , أو التكامل العام .

قرار مشترك يتضمن نالثوابت التعسفية ويبدو

إذا تم الحصول على العلاقة التي تتعلق س، صو نالثوابت التعسفية، في شكل غير مسموح به فيما يتعلق ذ -

فإن هذه العلاقة تسمى التكامل العام للمعادلة (9.1).

مشكلة كوشي

كل حل محدد، أي كل دالة محددة تحقق معادلة تفاضلية معينة ولا تعتمد على ثوابت اعتباطية، يسمى حلاً معينًا , أو تكامل جزئي. للحصول على حلول معينة (تكاملات) من الحلول العامة، يجب إعطاء الثوابت قيمًا عددية محددة.

يسمى الرسم البياني لحل معين منحنى متكامل. الحل العام، الذي يحتوي على جميع الحلول الجزئية، هو عائلة منحنيات متكاملة. بالنسبة للمعادلة من الدرجة الأولى، تعتمد هذه العائلة على ثابت اعتباطي واحد للمعادلة ن- الترتيب - من نالثوابت التعسفية.

مسألة كوشي هي إيجاد حل محدد للمعادلة ن-الأمر مرضية نالشروط الأولية:

والتي من خلالها يتم تحديد الثوابت n c 1, c 2,..., c n.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

بالنسبة للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى التي لم يتم حلها فيما يتعلق بالمشتقة، فإن لها الشكل

أو المسموح به نسبيا

مثال 3.46. أوجد الحل العام للمعادلة

حل.التكامل، نحصل عليه

حيث C هو ثابت تعسفي. إذا خصصنا قيم عددية محددة لـ C نحصل على حلول معينة، على سبيل المثال،

مثال 3.47. النظر في زيادة مبلغ الأموال المودعة في البنك مع مراعاة الاستحقاق 100 ص الفائدة المركبة سنويا. دع Yo يكون المبلغ الأولي من المال، وYx - في النهاية سسنين. إذا تم احتساب الفائدة مرة واحدة في السنة، نحصل على

حيث x = 0، 1، 2، 3،.... عندما يتم حساب الفائدة مرتين في السنة، نحصل على

حيث x = 0، 1/2، 1، 3/2،.... عند حساب الفائدة نمرة واحدة في السنة و إذا سيأخذ القيم المتسلسلة 0، 1/n، 2/n، 3/n،...، ثم

قم بتعيين 1/n = h، فستبدو المساواة السابقة كما يلي:

مع التكبير غير محدود ن(في ) في الحد نأتي إلى عملية زيادة مبلغ المال مع الاستحقاق المستمر للفائدة:

ومن هنا يتضح أنه مع التغيير المستمر سقانون التغيير عرض النقوديتم التعبير عنها بواسطة معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى. حيث Y x دالة غير معروفة س- متغير مستقل، ص- ثابت. دعونا نحل هذه المعادلة، وللقيام بذلك نعيد كتابتها على النحو التالي:

أين ، أو حيث تشير P إلى C .

من الشروط الأولية Y(0) = Yo، نجد P: Yo = Pe o، ومن حيث Yo = P. لذلك، يكون الحل على الصورة:

دعونا ننظر في المشكلة الاقتصادية الثانية. يتم وصف نماذج الاقتصاد الكلي أيضًا بواسطة معادلات تفاضلية خطية من الدرجة الأولى، تصف التغيرات في الدخل أو الإنتاج Y كوظائف للوقت.

مثال 3.48. دع الدخل القومي Y يزداد بمعدل يتناسب مع قيمته:

وليكن العجز في الإنفاق الحكومي متناسبًا بشكل مباشر مع الدخل Y مع معامل التناسب س. يؤدي العجز في الإنفاق إلى زيادة الدين القومي د:

الشروط الأولية Y = Yo و D = Do عند t = 0. من المعادلة الأولى Y= Yoe kt. استبدال Y نحصل على dD/dt = qYoe kt . الحل العام له الشكل
D = (q/ k) Yoe kt +С، حيث С = const، والتي يتم تحديدها من الشروط الأولية. باستبدال الشروط الأولية، نحصل على Do = (q/ k)Yo + C. أخيرًا،

D = فعل +(q/ k)Yo (e kt -1)،

ومن هذا يتضح أن الدين الوطني يزداد بنفس القدر السرعة النسبية ك، نفس الدخل القومي.

دعونا نفكر في أبسط المعادلات التفاضلية نالترتيب الرابع، هذه هي معادلات النموذج

ويمكن الحصول على الحل العام باستخدام نمرات التكامل.

مثال 3.49.خذ بعين الاعتبار المثال y """ = cos x.

حل.التكامل نجد

الحل العام له الشكل

المعادلات التفاضلية الخطية

وهي تستخدم على نطاق واسع في الاقتصاد؛ دعونا نفكر في حل مثل هذه المعادلات. إذا كان (9.1) يحتوي على النموذج:

ثم يطلق عليه اسم خطي، حيث يتم إعطاء وظائف χ(x)، σ1(x)،...، χ(x)، f(x). إذا كانت f(x) = 0، فإن (9.2) تسمى متجانسة، وإلا فإنها تسمى غير متجانسة. الحل العام للمعادلة (9.2) يساوي مجموع أي من الحلول الخاصة بها ص (خ)والحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة لها:

إذا كانت المعاملات Р o (x)، п 1 (x)،...، п n (x) ثابتة، إذن (9.2)

(9.4) تسمى معادلة تفاضلية خطية ذات معاملات ترتيب ثابتة ن .

لـ (9.4) له الشكل:

وبدون فقدان العمومية، يمكننا ضبط p o = 1 وكتابة (9.5) في الصورة

سوف نبحث عن الحل (9.6) بالصيغة y = e kx، حيث k ثابت. لدينا: ؛ y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . باستبدال التعبيرات الناتجة في (9.6)، سيكون لدينا:

(9.7) معادلة جبرية مجهولها ك، ويسمى مميزة. المعادلة المميزة لها درجة نو نالجذور، من بينها يمكن أن تكون متعددة ومعقدة. دع k 1 , k 2 ,..., k n يكون حقيقيا ومتميزا، إذن - الحلول الخاصة (9.7)، والعامة

خذ بعين الاعتبار معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة:

معادلتها المميزة لها الشكل

(9.9)

تمييزه D = p 2 - 4q، اعتمادًا على إشارة D، ثلاث حالات ممكنة.

1. إذا كانت D>0، فإن الجذور k 1 وk 2 (9.9) حقيقية ومختلفة، ويكون الحل العام بالشكل:

حل.المعادلة المميزة: k 2 + 9 = 0، حيث k = ± 3i، a = 0، b = 3، الحل العام له الصيغة:

ص = ج 1 كوس 3س + ج 2 خطيئة 3س.

تم استخدام المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية في الدراسة النموذج الاقتصادينوع بيت العنكبوت مع مخزون من السلع، حيث يعتمد معدل التغير في السعر P على حجم المخزون (انظر الفقرة 10). إذا كان العرض والطلب دالتين خطيتين للسعر، فهذا يعني

a هو ثابت يحدد معدل التفاعل، ثم يتم وصف عملية تغير السعر بالمعادلة التفاضلية:

لحل معين يمكننا أن نأخذ ثابتا

سعر التوازن ذو معنى. انحراف يحقق المعادلة المتجانسة

(9.10)

المعادلة المميزة ستكون كما يلي:

في حال كان المصطلح إيجابيا. دعونا نشير . جذور المعادلة المميزة k 1,2 = ± i w، وبالتالي فإن الحل العام (9.10) له الشكل:

حيث C و ثوابت اعتباطية، يتم تحديدها من الشروط الأولية. حصلنا على قانون تغير الأسعار مع مرور الوقت:

أدخل المعادلة التفاضلية الخاصة بك، يتم استخدام الفاصلة العليا "" لإدخال المشتق، اضغط إرسال للحصول على الحل

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. أمثلة على الحلول.
المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل

المعادلات التفاضلية (DE). هاتان الكلمتان عادة ما ترعبان الشخص العادي. يبدو أن المعادلات التفاضلية أمر محظور ويصعب إتقانه بالنسبة للعديد من الطلاب. اووووو... المعادلات التفاضلية كيف أستطيع النجاة من كل هذا؟!

هذا الرأي وهذا الموقف خاطئ في الأساس، لأنه في الواقع المعادلات التفاضلية - إنها بسيطة وممتعة. ما الذي تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على فعله لتتعلم كيفية حل المعادلات التفاضلية؟ لكي تتمكن من دراسة الانتشارات بنجاح، يجب أن تكون جيدًا في التكامل والتفريق. كلما تمت دراسة المواضيع بشكل أفضل مشتق من دالة لمتغير واحدو تكامل غير محددكلما أصبح من الأسهل فهم المعادلات التفاضلية. سأقول المزيد، إذا كانت لديك مهارات تكامل جيدة إلى حد ما، فهذا يعني أن الموضوع قد تم إتقانه تقريبًا! والمزيد من التكاملات أنواع مختلفةأنت تعرف كيف تقرر - ذلك أفضل بكثير. لماذا؟ سيكون عليك دمج الكثير. وتفرق. أيضًا موصى بة بشدةتعلم كيفية العثور على.

في 95% من الحالات الاختباراتهناك ثلاثة أنواع من المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى: معادلات قابلة للفصلوالذي سنتناوله في هذا الدرس؛ معادلات متجانسةو المعادلات الخطية غير المتجانسة. بالنسبة لأولئك الذين بدأوا في دراسة الناشرين، أنصحك بقراءة الدروس بهذا الترتيب بالضبط، وبعد دراسة المادتين الأوليين، لن يضر تعزيز مهاراتك في ورشة عمل إضافية - المعادلات اختزال إلى متجانسة.

هناك أنواع أكثر ندرة من المعادلات التفاضلية: المعادلات التفاضلية الكلية، ومعادلات برنولي، وبعضها الآخر. وأهم النوعين الأخيرين هي المعادلات في إجمالي التفاضلات، إذ أعتبرها بالإضافة إلى هذه المعادلة التفاضلية مواد جديدة – التكامل الجزئي.

إذا لم يبق لك سوى يوم أو يومين، الذي - التي للتحضير فائق السرعةهنالك دورة الهجوم الخاطفبصيغة pdf.

لذلك تم تحديد المعالم - فلنبدأ:

أولا، دعونا نتذكر المعادلات الجبرية المعتادة. أنها تحتوي على المتغيرات والأرقام. أبسط مثال: . ماذا يعني حل معادلة عادية؟ وهذا يعني العثور على مجموعة من الأرقاموالتي تحقق هذه المعادلة. من السهل ملاحظة أن معادلة الأطفال لها جذر واحد: . من أجل المتعة فقط، دعونا نتحقق من الجذر الموجود في المعادلة ونعوض به:

- تم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أنه تم العثور على الحل بشكل صحيح.

تم تصميم الناشرون بنفس الطريقة تقريبًا!

المعادلة التفاضلية الطلب الأولعلى العموم يتضمن:
1) متغير مستقل.
2) المتغير التابع (الوظيفة)؛
3) المشتقة الأولى للدالة : .

في بعض المعادلات من الدرجة الأولى قد لا يكون هناك "x" و/أو "y"، ولكن هذا ليس مهمًا - مهمللذهاب إلى غرفة التحكم كانالمشتقة الأولى، و لم يكن لديمشتقات الطلبات العليا - إلخ.

ماذا يعني ؟حل المعادلة التفاضلية يعني إيجادها مجموعة من جميع الوظائفوالتي تحقق هذه المعادلة. غالبًا ما يكون لهذه المجموعة من الوظائف الشكل (- ثابت اعتباطي)، وهو ما يسمى الحل العام للمعادلة التفاضلية.

مثال 1

حل المعادلة التفاضلية

ذخيرة كاملة. من أين نبدأ حل?

أولًا، عليك إعادة كتابة المشتقة بشكل مختلف قليلًا. ونتذكر هذه التسمية المرهقة، والتي ربما بدا الكثير منكم سخيفًا وغير ضروري. هذا هو ما القواعد في الناشرون!

في الخطوة الثانية، دعونا نرى ما إذا كان ذلك ممكنا متغيرات منفصلة؟ماذا يعني فصل المتغيرات؟ تحدث تقريبا، على الجانب الأيسرنحن بحاجة إلى المغادرة "اليونانيون" فقط، أ على الجانب الأيمنتنظم فقط "X". يتم تقسيم المتغيرات باستخدام التلاعبات "المدرسة": إخراجها من الأقواس، ونقل المصطلحات من جزء إلى جزء مع تغيير الإشارة، ونقل العوامل من جزء إلى جزء وفقًا لقاعدة التناسب، وما إلى ذلك.

الفوارق وهي مضاعفات كاملة ومشاركين نشطين في الأعمال العدائية. في المثال قيد النظر، يتم فصل المتغيرات بسهولة عن طريق رمي العوامل وفقا لقاعدة التناسب:

يتم فصل المتغيرات. على الجانب الأيسر يوجد فقط "Y's"، وعلى الجانب الأيمن - فقط "X's".

المرحلة القادمة - تكامل المعادلة التفاضلية. الأمر بسيط، نضع التكاملات على كلا الجانبين:

وبطبيعة الحال، نحن بحاجة إلى اتخاذ التكاملات. في هذه الحالة تكون جدولية:

كما نتذكر، يتم تعيين ثابت لأي مشتق عكسي. يوجد تكاملان هنا، لكن يكفي كتابة الثابت مرة واحدة (بما أن الثابت + الثابت لا يزال يساوي ثابتًا آخر). في معظم الحالات يتم وضعها على الجانب الأيمن.

بالمعنى الدقيق للكلمة، بعد أخذ التكاملات، تعتبر المعادلة التفاضلية محلولة. الشيء الوحيد هو أن "y" الخاص بنا لا يتم التعبير عنه من خلال "x"، أي أن الحل مقدم بشكل ضمنياستمارة. يسمى حل المعادلة التفاضلية في الصورة الضمنية التكامل العام للمعادلة التفاضلية. أي أن هذا تكامل عام.

الجواب في هذا النموذج مقبول تماما، ولكن هل هناك خيار أفضل؟ دعونا نحاول الحصول على قرار مشترك.

لو سمحت، تذكر التقنية الأولى، وهو شائع جدًا ويستخدم غالبًا في المهام العملية: إذا ظهر اللوغاريتم على الجانب الأيمن بعد التكامل، ففي كثير من الحالات (ولكن ليس دائمًا!) يُنصح أيضًا بكتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

إنه، بدلاً منعادة ما تتم كتابة الإدخالات .

لماذا هذا ضروري؟ ولتسهيل التعبير عن "اللعبة". باستخدام خاصية اللوغاريتمات . في هذه الحالة:

الآن يمكن إزالة اللوغاريتمات والوحدات النمطية:

يتم تقديم الوظيفة بشكل صريح. هذا هو الحل العام.

إجابة:قرار مشترك: .

من السهل جدًا التحقق من إجابات العديد من المعادلات التفاضلية. في حالتنا، يتم ذلك بكل بساطة، فنحن نأخذ الحل الموجود ونفرقه:

ثم نعوض بالمشتقة في المعادلة الأصلية:

– يتم الحصول على المساواة الصحيحة مما يعني أن الحل العام يحقق المعادلة وهو ما يجب التحقق منه.

ومن خلال إعطاء قيم مختلفة ثابتة، يمكنك الحصول على عدد لا نهائي من حلول خاصةالمعادلة التفاضلية. ومن الواضح أن أي من الوظائف، وما إلى ذلك. يحقق المعادلة التفاضلية.

في بعض الأحيان يتم استدعاء الحل العام عائلة الوظائف. في في هذا المثالقرار مشترك هي عائلة من الدوال الخطية، أو بتعبير أدق، عائلة من التناسب المباشر.

بعد مراجعة شاملة للمثال الأول، من المناسب الإجابة على عدة أسئلة ساذجة حول المعادلات التفاضلية:

1)في هذا المثال، تمكنا من فصل المتغيرات. هل يمكن القيام بذلك دائمًا؟لا، ليس دائما. وفي كثير من الأحيان، لا يمكن فصل المتغيرات. على سبيل المثال، في معادلات متجانسة من الدرجة الأولى، يجب عليك استبداله أولاً. في أنواع أخرى من المعادلات، على سبيل المثال، في معادلة خطية غير متجانسة من الدرجة الأولى، تحتاج إلى استخدامها تقنيات مختلفةوطرق إيجاد حل عام. المعادلات ذات المتغيرات القابلة للفصل، والتي تناولناها في الدرس الأول، هي أبسط أنواع المعادلات التفاضلية.

2) هل من الممكن دائما تكامل المعادلة التفاضلية؟لا، ليس دائما. من السهل جدًا التوصل إلى معادلة "وهمية" لا يمكن تكاملها، بالإضافة إلى أن هناك تكاملات لا يمكن أخذها. ولكن يمكن حل مثل هذه DE تقريبًا باستخدام طرق خاصة. يضمن دالمبيرت وكوشي... ... آه، كامنًا أكثر. لقراءة الكثير الآن، كدت أن أضيف "من العالم الآخر".

3) في هذا المثال، حصلنا على الحل في صورة تكامل عام . هل من الممكن دائمًا إيجاد حل عام من التكامل العام، أي التعبير عن "y" بشكل صريح؟لا، ليس دائما. على سبيل المثال: . حسنًا، كيف يمكنك التعبير عن "اليونانية" هنا؟! في مثل هذه الحالات، يجب كتابة الإجابة كتكامل عام. بالإضافة إلى ذلك، من الممكن في بعض الأحيان إيجاد حل عام، لكنه مكتوب بشكل مرهق وأخرق لدرجة أنه من الأفضل ترك الإجابة في شكل تكامل عام

4) ...ربما هذا يكفي الآن. في المثال الأول واجهنا واحدة أخرى نقطة مهمة ولكن لكي لا أغطي "الدمى" بسيل من المعلومات الجديدة، سأتركها حتى الدرس التالي.

لن نتعجل. جهاز تحكم عن بعد بسيط آخر وحل نموذجي آخر:

مثال 2

أوجد حلاً معينًا للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي

حل: وفقا للشرط، تحتاج إلى العثور عليها حل خاص DE يفي بشرط أولي معين. وتسمى هذه الصيغة للسؤال أيضًا مشكلة كوشي.

أولا نجد حلا عاما. لا يوجد متغير "x" في المعادلة، لكن هذا لا ينبغي أن يربك، الشيء الرئيسي هو أن لديها المشتقة الأولى.

نعيد كتابة المشتقة إلى بالشكل الصحيح:

من الواضح أنه يمكن فصل المتغيرات، الأولاد على اليسار، والفتيات على اليمين:

دعونا ندمج المعادلة:

يتم الحصول على التكامل العام. لقد رسمت هنا ثابتًا بعلامة النجمة، والحقيقة هي أنه سيتحول قريبًا إلى ثابت آخر.

الآن نحاول تحويل التكامل العام إلى حل عام (اعبر عن "y" صراحة). دعونا نتذكر الأشياء القديمة الجيدة من المدرسة: . في هذه الحالة:

يبدو الثابت في المؤشر غير مقبول إلى حد ما، لذلك عادة ما يتم تخفيضه إلى الأرض. وبالتفصيل، هكذا يحدث. باستخدام خاصية الدرجات، نعيد كتابة الدالة على النحو التالي:

إذا كان ثابتًا، فهو ثابت أيضًا، فلنعيد تسميته بالحرف:

تذكر أن "هدم" الثابت هو التقنية الثانيةوالتي تستخدم غالبًا عند حل المعادلات التفاضلية.

إذن الحل العام هو : . هذه عائلة جميلة من الدوال الأسية.

في المرحلة النهائية، تحتاج إلى إيجاد حل معين يلبي الشرط الأولي المحدد. وهذا أيضًا بسيط.

ما هي المهمة؟ بحاجة لالتقاط هذهقيمة الثابت حتى يتحقق الشرط .

يمكن تنسيقه بطرق مختلفة، ولكن من المحتمل أن تكون هذه هي الطريقة الأكثر وضوحًا. في الحل العام، بدلاً من "X" نستبدل بصفر، وبدلاً من "Y" نستبدل باثنين:



إنه،

نسخة التصميم القياسية:

الآن نعوض بالقيمة التي وجدناها للثابت في الحل العام:
– هذا هو الحل المحدد الذي نحتاجه.

إجابة:الحل الخاص:

دعونا تحقق. يتضمن التحقق من الحل الخاص مرحلتين:

تحتاج أولاً إلى التحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يلبي بالفعل الشرط الأولي؟ بدلًا من "X" نستبدل بالصفر ونرى ما سيحدث:
- نعم بالفعل تم استلام اثنين مما يعني استيفاء الشرط الأولي.

المرحلة الثانية مألوفة بالفعل. نأخذ الحل المحدد الناتج ونجد المشتقة:

نعوض في المعادلة الأصلية:

- يتم الحصول على المساواة الصحيحة.

الخلاصة: تم العثور على الحل المحدد بشكل صحيح.

دعنا ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا.

مثال 3

حل المعادلة التفاضلية

حل:نعيد كتابة المشتق بالشكل الذي نحتاجه:

نقيم هل من الممكن فصل المتغيرات؟ يستطيع. ننقل الحد الثاني إلى الجانب الأيمن مع تغيير الإشارة:

وننقل المضاعفات وفق قاعدة التناسب:

تم فصل المتغيرات، دعونا ندمج كلا الجزأين:

يجب أن أحذرك، يوم القيامة يقترب. إذا لم تدرس جيداً التكاملات غير المحددة، لقد قمت بحل بعض الأمثلة، فلا يوجد مكان تذهب إليه - سيتعين عليك إتقانها الآن.

من السهل العثور على تكامل الجانب الأيسر، حيث نتعامل مع تكامل ظل التمام باستخدام التقنية القياسية التي تناولناها في الدرس دمج الدوال المثلثيةالعام الماضي:

على الجانب الأيمن لدينا لوغاريتم، ووفقًا لتوصيتي الفنية الأولى، يجب أيضًا كتابة الثابت تحت اللوغاريتم.

الآن نحاول تبسيط التكامل العام. نظرًا لأن لدينا اللوغاريتمات فقط، فمن الممكن (والضروري) التخلص منها. باستخدام خصائص معروفةنحن "نحزم" اللوغاريتمات قدر الإمكان. سأكتبها بتفصيل كبير:

تم الانتهاء من العبوة لتكون ممزقة ببربرية:

هل من الممكن التعبير عن "لعبة"؟ يستطيع. من الضروري تربيع كلا الجزأين.

لكنك لست بحاجة إلى القيام بذلك.

النصيحة الفنية الثالثة:إذا كان الحصول على حل عام لا بد من رفعه إلى قوة أو تجذره، إذن في معظم الحالاتفعليك الامتناع عن هذه التصرفات وترك الإجابة على شكل تكامل عام. الحقيقة هي أن الحل العام سيبدو فظيعًا - مع جذور كبيرة وعلامات وغيرها من القمامة.

ولذلك، نكتب الجواب في صورة تكامل عام. بطريقة جيدةويعتبر تمثيله بالشكل، أي على الجانب الأيمن، إذا أمكن، اترك ثابتًا فقط. ليس من الضروري القيام بذلك، ولكن من المفيد دائمًا إرضاء الأستاذ ;-)

إجابة:التكامل العام:

! ملحوظة: يمكن كتابة التكامل العام لأي معادلة بأكثر من طريقة. وبالتالي، إذا كانت نتيجتك لا تتطابق مع الإجابة المعروفة مسبقًا، فهذا لا يعني أنك حللت المعادلة بشكل غير صحيح.

من السهل أيضًا التحقق من التكامل العام، والشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على العثور عليه مشتق من وظيفة محددة ضمنيا. دعونا نفرق الجواب:

نضرب كلا المصطلحين في:

ونقسم على:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية بشكل صحيح، مما يعني أنه تم العثور على التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 4

أوجد حلاً معينًا للمعادلة التفاضلية التي تحقق الشرط الأولي. إجراء فحص.

وهذا مثال ل قرار مستقل.

دعني أذكرك أن الخوارزمية تتكون من مرحلتين:
1) إيجاد حل عام.
2) إيجاد الحل المحدد المطلوب.

يتم إجراء الفحص أيضًا في خطوتين (انظر النموذج في المثال رقم 2)، ستحتاج إلى:
1) التأكد من أن الحل المعين الذي تم العثور عليه يفي بالشرط الأولي؛
2) التحقق من أن حل معين يفي بشكل عام بالمعادلة التفاضلية.

الحل الكاملوالإجابة في نهاية الدرس.

مثال 5

أوجد حلاً محددًا للمعادلة التفاضلية ، استيفاء الشرط الأولي. إجراء فحص.

حل:أولا، دعونا نجد حلا عاما، هذه المعادلة تحتوي بالفعل على تفاضلات جاهزة، وبالتالي تم تبسيط الحل. نقوم بفصل المتغيرات:

دعونا ندمج المعادلة:

التكامل الذي على اليسار جدولي، والتكامل الذي على اليمين مأخوذ طريقة إدراج دالة تحت العلامة التفاضلية:

تم الحصول على التكامل العام، فهل من الممكن التعبير عن الحل العام بنجاح؟ يستطيع. نعلق اللوغاريتمات على كلا الجانبين. نظرًا لأنها إيجابية، فإن علامات المعامل غير ضرورية:

(أتمنى أن يفهم الجميع هذا التحول، مثل هذه الأشياء يجب أن تكون معروفة بالفعل)

إذن الحل العام هو:

دعونا نجد حلاً معينًا يتوافق مع الشرط الأولي المحدد.
في الحل العام، بدلاً من "X" نستبدل بالصفر، وبدلاً من "Y" نستبدل لوغاريتم اثنين:

تصميم أكثر دراية:

نعوض بالقيمة التي وجدناها للثابت في الحل العام.

إجابة:الحل الخاص:

التحقق: أولاً، دعونا نتحقق من استيفاء الشرط الأولي:
- كل شيء بخير.

الآن دعونا نتحقق مما إذا كان الحل المعين الذي تم العثور عليه يفي بالمعادلة التفاضلية على الإطلاق. إيجاد المشتقة:

لننظر إلى المعادلة الأصلية: - يتم تقديمه في الفروق. هناك طريقتان للتحقق. من الممكن التعبير عن التفاضل من المشتق الموجود:

دعونا نعوض بالحل المعين الموجود والتفاضل الناتج في المعادلة الأصلية :

نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة، مما يعني أنه تم العثور على الحل المعين بشكل صحيح.

الطريقة الثانية للتحقق معكوسة وأكثر دراية: من المعادلة دعونا نعبر عن المشتقة، للقيام بذلك نقسم جميع القطع على:

وفي DE المحول نستبدل الحل الجزئي الذي تم الحصول عليه والمشتق الموجود. ونتيجة للتبسيط، ينبغي أيضا الحصول على المساواة الصحيحة.

مثال 6

حل المعادلة التفاضلية. تقديم الإجابة في شكل تكامل عام.

هذا مثال يمكنك حله بنفسك، الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ما هي الصعوبات التي تكمن في حل المعادلات التفاضلية ذات المتغيرات القابلة للفصل؟

1) ليس من الواضح دائمًا (خاصة بالنسبة إلى "إبريق الشاي") أنه يمكن فصل المتغيرات. دعونا نفكر مثال مشروط: . هنا عليك إخراج العوامل من الأقواس: وفصل الجذور: . من الواضح ما يجب فعله بعد ذلك.

2) صعوبات التكامل نفسه. غالبًا ما لا تكون التكاملات هي الأبسط، وإذا كانت هناك عيوب في مهارات العثور عليها تكامل غير محدد، فسيكون الأمر صعبًا مع وجود العديد من الناشرين. بالإضافة إلى ذلك، فإن المنطق "بما أن المعادلة التفاضلية بسيطة، على الأقل اجعل التكاملات أكثر تعقيدًا" يحظى بشعبية كبيرة بين جامعي المجموعات وأدلة التدريب.

3) التحولات مع ثابت. كما لاحظ الجميع، يمكن التعامل مع الثابت في المعادلات التفاضلية بحرية تامة، وبعض التحولات ليست دائمًا واضحة للمبتدئين. دعونا نلقي نظرة على مثال شرطي آخر: . يُنصح بضرب جميع المصطلحات في 2: . الثابت الناتج هو أيضًا نوع من الثابت، والذي يمكن الإشارة إليه بواسطة: . نعم، وبما أن هناك لوغاريتم على الجانب الأيمن، فمن المستحسن إعادة كتابة الثابت على شكل ثابت آخر: .

المشكلة هي أنهم غالبًا لا يهتمون بالفهارس ويستخدمون نفس الحرف. ونتيجة لذلك يتخذ سجل القرار الشكل التالي:

أي نوع من الهرطقة؟ هناك أخطاء هناك! بالمعنى الدقيق للكلمة، نعم. ومع ذلك، من وجهة نظر موضوعية، لا توجد أخطاء، لأنه نتيجة لتحويل ثابت متغير، لا يزال يتم الحصول على ثابت متغير.

أو مثال آخر، لنفترض أنه أثناء حل المعادلة تم الحصول على تكامل عام. تبدو هذه الإجابة قبيحة، لذا ينصح بتغيير إشارة كل مصطلح: . رسميًا، هناك خطأ آخر هنا - يجب كتابته على اليمين. لكن بشكل غير رسمي يُفهم ضمنيًا أن "ناقص ce" لا يزال ثابتًا ( والتي يمكن أن تأخذ أي معنى بسهولة!)، لذا فإن وضع علامة "ناقص" ليس له معنى ويمكنك استخدام نفس الحرف.

سأحاول تجنب اتباع نهج مهمل، وسأظل أقوم بتعيين مؤشرات مختلفة للثوابت عند تحويلها.

مثال 7

حل المعادلة التفاضلية. إجراء فحص.

حل:تسمح هذه المعادلة بفصل المتغيرات. نقوم بفصل المتغيرات:

دعونا ندمج:

ليس من الضروري تعريف الثابت هنا على أنه لوغاريتم، لأنه لن يأتي أي شيء مفيد من هذا.

إجابة:التكامل العام:

التحقق من: التمييز بين الإجابة (وظيفة ضمنية):

نتخلص من الكسور عن طريق ضرب كلا الحدين في:

تم الحصول على المعادلة التفاضلية الأصلية، مما يعني أنه تم العثور على التكامل العام بشكل صحيح.

مثال 8

ابحث عن حل معين لـ DE.
,

هذا مثال لك لحله بنفسك. التلميح الوحيد هو أنك هنا سوف تحصل على تكامل عام، وبشكل أكثر دقة، تحتاج إلى تدبير ليس لإيجاد حل معين، ولكن تكامل جزئي. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.