المعادلات المثلثية. الدليل الشامل (2019). الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية

عند حل الكثير مسائل حسابية، خاصةً تلك التي تحدث قبل الصف العاشر ، يتم تحديد ترتيب الإجراءات التي ستؤدي إلى الهدف بوضوح. تتضمن هذه المشكلات ، على سبيل المثال ، المعادلات الخطية والتربيعية ، وعدم المساواة الخطية والتربيعية ، معادلات كسريةوالمعادلات التي تختزل إلى التربيعي. مبدأ الحل الناجح لكل مهمة من المهام المذكورة هو كما يلي: من الضروري تحديد نوع المشكلة التي يتم حلها ، وتذكر التسلسل الضروري للإجراءات التي ستؤدي إلى النتيجة المرجوة ، أي أجب واتبع هذه الخطوات.

من الواضح أن النجاح أو الفشل في حل مشكلة معينة يعتمد بشكل أساسي على مدى دقة تحديد نوع المعادلة التي يتم حلها ، ومدى استنساخ تسلسل جميع مراحل حلها بشكل صحيح. بالطبع ، في هذه الحالة ، من الضروري امتلاك المهارات اللازمة لإجراء عمليات تحويل وحسابات متطابقة.

يحدث موقف مختلف مع المعادلات المثلثية.ليس من الصعب إثبات حقيقة أن المعادلة مثلثية. تنشأ الصعوبات عند تحديد تسلسل الإجراءات التي من شأنها أن تؤدي إلى الإجابة الصحيحة.

بواسطة مظهرالمعادلات في بعض الأحيان يكون من الصعب تحديد نوعها. وبدون معرفة نوع المعادلة ، يكاد يكون من المستحيل اختيار المعادلة الصحيحة من عدة عشرات من الصيغ المثلثية.

لحل المعادلة المثلثية ، يجب أن نحاول:

1. إحضار جميع الوظائف المدرجة في المعادلة إلى "نفس الزوايا" ؛
2. إحضار المعادلة إلى "نفس الوظائف" ؛
3. تحليل الجانب الأيسر من المعادلة ، إلخ.

يعتبر الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية.

1. اختزال لأبسط المعادلات المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.عبر عن الدالة المثلثية من حيث المكونات المعروفة.

الخطوة 2ابحث عن وسيطة دالة باستخدام الصيغ:

كوس س = أ ؛ س = ± arccos a + 2πn ، n ЄZ.

الخطيئة س = أ ؛ x \ u003d (-1) n arcsin a + πn ، n Є Z.

تان س = أ ؛ x \ u003d arctg a + πn ، n Є Z.

ctg x = أ ؛ x \ u003d arcctg a + πn، n Є Z.

الخطوه 3ابحث عن متغير غير معروف.

مثال.

2 كوس (3 س - π / 4) = -2.

حل.

1) كوس (3 س - π / 4) = -2 / 2.

2) 3x - π / 4 = ± (π - π / 4) + 2πn ، n Є Z ؛

3x - π / 4 = ± 3π / 4 + 2πn ، n Є Z.

3) 3x = ± 3π / 4 + / 4 + 2πn ، n Є Z ؛

س = ± 3π / 12 + / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z ؛

س = ± π / 4 + / 12 + 2πn / 3 ، ن Є Z.

الجواب: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3 ، n Є Z.

ثانيًا. استبدال متغير

مخطط الحل

الخطوة 1.أحضر المعادلة إلى صيغة جبرية فيما يتعلق بإحدى الدوال المثلثية.

الخطوة 2قم بالإشارة إلى الوظيفة الناتجة بواسطة المتغير t (إذا لزم الأمر ، أدخل قيودًا على t).

الخطوه 3اكتب وحل المعادلة الجبرية الناتجة.

الخطوة 4قم بإجراء استبدال عكسي.

الخطوة الخامسةحل أبسط معادلة مثلثية.

مثال.

2cos 2 (x / 2) - 5sin (x / 2) - 5 = 0.

حل.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5sin (x / 2) - 5 = 0 ؛

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 = 0.

2) دع الخطيئة (x / 2) = t ، حيث | t | ≤ 1.

3) 2 طن 2 + 5 طن + 3 = 0 ؛

t = 1 أو e = -3/2 لا يفي بالشرط | t | ≤ 1.

4) الخطيئة (س / 2) = 1.

5) س / 2 = / 2 + 2πn ، n Є Z ؛

س = π + 4πn ، ن Є Z.

الجواب: x = π + 4πn، n Є Z.

ثالثا. طريقة تخفيض ترتيب المعادلة

مخطط الحل

الخطوة 1.استبدل هذه المعادلة بمعادلة خطية باستخدام صيغ تقليل الطاقة:

الخطيئة 2 x \ u003d 1/2 (1 - cos 2x) ؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x) ؛

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

الخطوة 2حل المعادلة الناتجة باستخدام الطريقتين الأولى والثانية.

مثال.

cos2x + cos2x = 5/4.

حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4 ؛

3/2 cos 2x = 3/4 ؛

2x = ± π / 3 + 2πn ، n Є Z ؛

س = ± π / 6 + πn ، ن Є Z.

الإجابة: س = ± π / 6 + n ، n Є Z.

رابعا. معادلات متجانسة

مخطط الحل

الخطوة 1.أحضر هذه المعادلة إلى النموذج

أ) أ الخطيئة س + ب كوس س = 0 ( معادلة متجانسةالدرجة الأولى)

أو وجهة النظر

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

الخطوة 2اقسم طرفي المعادلة على

أ) cos x 0 ؛

ب) cos 2 × ≠ 0 ؛

واحصل على معادلة tg x:

أ) أ tg x + b = 0 ؛

ب) أ tg 2 x + b arctg x + c = 0.

الخطوه 3حل المعادلة بالطرق المعروفة.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0 ؛

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0 ؛

الخطيئة 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \ u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) دع tg x = t ، إذن

ر 2 + 3 طن - 4 = 0 ؛

ر = 1 أو ر = -4 ، إذن

tg x = 1 أو tg x = -4.

من المعادلة الأولى س = π / 4 + πn ، n Є Z ؛ من المعادلة الثانية x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

الإجابة: س = π / 4 + πn ، n Є Z ؛ س \ u003d -arctg 4 + πk ، ك Є Z.

V. طريقة تحويل معادلة باستخدام الصيغ المثلثية

مخطط الحل

الخطوة 1.باستخدام كل الأنواع الصيغ المثلثية، قم بإحضار هذه المعادلة إلى المعادلة التي تم حلها بالطرق الأولى والثانية والثالثة والرابعة.

الخطوة 2حل المعادلة الناتجة باستخدام الطرق المعروفة.

مثال.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

حل.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0 ؛

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) الخطيئة 2x (2cos x + 1) = 0 ؛

الخطيئة 2x = 0 أو 2cos x + 1 = 0 ؛

من المعادلة الأولى 2 س = π / 2 + n ، n Є Z ؛ من المعادلة الثانية cos x = -1/2.

لدينا x = π / 4 + πn / 2 ، n Є Z ؛ من المعادلة الثانية x = ± (π - π / 3) + 2πk، k Є Z.

نتيجة لذلك ، x \ u003d π / 4 + n / 2 ، n Є Z ؛ س = ± 2π / 3 + 2π ك ، ك Є Z.

الإجابة: س \ u003d π / 4 + n / 2 ، n Є Z ؛ س = ± 2π / 3 + 2π ك ، ك Є Z.

القدرة والمهارات على حل المعادلات المثلثية للغاية من المهم أن تطويرهم يتطلب جهدًا كبيرًا ، سواء من جانب الطالب والمعلم.

ترتبط العديد من مشكلات القياس الفراغي والفيزياء وما إلى ذلك بحل المعادلات المثلثية ، وتحتوي عملية حل مثل هذه المشكلات ، كما كانت ، على العديد من المعارف والمهارات التي يتم اكتسابها عند دراسة عناصر علم المثلثات.

تحتل المعادلات المثلثية مكانة مهمة في عملية تدريس الرياضيات وتنمية الشخصية بشكل عام.

هل لديك اسئلة؟ لا أعرف كيف تحل المعادلات المثلثية؟
للحصول على مساعدة مدرس - سجل.
الدرس الأول مجاني!

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك !!!

تسمى المساواة التي تحتوي على مجهول تحت علامة الدالة المثلثية (`sin x ، cos x ، tg x` أو` ctg x`) بالمعادلة المثلثية ، وسننظر في صيغها بشكل أكبر.

أبسط المعادلات هي `sin x = a ، cos x = a ، tg x = a ، ctg x = a` ، حيث` x` هي الزاوية المطلوب إيجادها ، `a` هو أي رقم. دعنا نكتب صيغ الجذر لكل منهم.

1. المعادلة `sin x = a`.

بالنسبة لـ `| a |> 1` ليس لها حلول.

باستخدام `| a | \ leq 1` له عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n، n \ in Z`

2. المعادلة `cos x = a`

عندما `| a |> 1` - كما في حالة الجيب ، الحلول بين أرقام حقيقيةلا يمتلك.

باستخدام `| a | \ leq 1` له عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n، n \ in Z`

حالات خاصة للجيب وجيب التمام في الرسوم البيانية.

3. المعادلة `tg x = a`

لديه عدد لا حصر له من الحلول لأية قيم لـ `أ`.

صيغة الجذر: `x = arctg a + \ pi n، n \ in Z`

4. المعادلة `ctg x = a`

كما أن لديها عددًا لا نهائيًا من الحلول لأي قيم لـ "أ".

صيغة الجذر: `x = arcctg a + \ pi n، n \ in Z`

صيغ لجذور المعادلات المثلثية في الجدول

للجيوب الأنفية:
لجيب التمام:
للظل والظل:
صيغ حل المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية:

طرق حل المعادلات المثلثية

يتكون حل أي معادلة مثلثية من مرحلتين:

• استخدامها لتحويلها إلى أبسط ؛
• حل المعادلة البسيطة الناتجة باستخدام الصيغ أعلاه للجذور والجداول.

دعنا نفكر في الطرق الرئيسية للحل باستخدام الأمثلة.

الطريقة الجبرية.

في هذه الطريقة ، يتم استبدال المتغير واستبداله بالمساواة.

مثال. حل المعادلة: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

"2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0` ،

استبدل: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y` ، ثم` 2y ^ 2-3y + 1 = 0` ،

نجد الجذور: `y_1 = 1 ، y_2 = 1 / 2` ، والتي تتبع منها حالتان:

1. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`،` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`، `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2. `cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`،` x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`، `x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ فارك \ بي 6 + 2 \ بي ن`.

الإجابة: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n` ،` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

التخصيم.

مثال. حل المعادلة: `sin x + cos x = 1`.

حل. انقل إلى اليسار جميع شروط المساواة: `sin x + cos x-1 = 0`. باستخدام ، نقوم بتحويل وعوامل الجانب الأيسر:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0` ،

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0` ،

"2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) = 0` ،

1. `sin x / 2 = 0` ،` x / 2 = \ pi n` ، `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0` ،` tg x / 2 = 1` ، `x / 2 = arctg 1+ \ pi n` ،` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` ، `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

الإجابة: `x_1 = 2 \ pi n` ،` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

الاختزال إلى معادلة متجانسة

أولاً ، عليك إحضار هذه المعادلة المثلثية إلى أحد الشكلين:

`a sin x + b cos x = 0` (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى) أو` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

ثم قسّم كلا الجزأين على `cos x \ ne 0` للحالة الأولى ، وعلى` cos ^ 2 x \ ne 0` للحالة الثانية. نحصل على معادلات `tg x`:` a tg x + b = 0` و `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0` ، والتي يجب حلها باستخدام الطرق المعروفة.

مثال. حل المعادلة: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

حل. لنكتب الجانب الأيمن كـ `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` sin ^ 2 x + cos ^ 2 x` ،

"2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

هذه معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية ، تقسم جانبيها الأيمن والأيسر على `cos ^ 2 x \ ne 0` ، نحصل على:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. لنقدم البديل `tg x = t` كنتيجة لذلك` t ^ 2 + t - 2 = 0`. جذور هذه المعادلة هي "t_1 = -2" و "t_2 = 1". ثم:

1. `tg x = -2` ،` x_1 = arctg (-2) + \ pi n` ، `n \ in Z`
2. `tg x = 1` ،` x = arctg 1+ \ pi n` ، `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n` ،` n \ in Z`.

إجابة. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n` ،` n \ in Z` ، `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n` ،` n \ in Z`.

اذهب إلى Half Corner

مثال. حل المعادلة: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

حل. بتطبيق صيغ الزاوية المزدوجة ، تكون النتيجة: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =" 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

"4 tg ^ 2 x / 2-11 tg x / 2 + 6 = 0`

بتطبيق الطريقة الجبرية الموصوفة أعلاه نحصل على:

1. `tg x / 2 = 2` ،` x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n` ، `n \ in Z` ،
2. `tg x / 2 = 3 / 4` ،` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n` ، `n \ in Z`.

إجابة. `x_1 = 2 arctg 2 + 2 \ pi n، n \ in Z`،` x_2 = arctg 3/4 + 2 \ pi n`، `n \ in Z`.

مقدمة من زاوية مساعدة

في المعادلة المثلثية `a sin x + b cos x = c` ، حيث a ، b ، c معاملات و x متغير ، نقسم كلا الجزأين على` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

"\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +" \ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = "\ frac c (sqrt (a ^ 2) + ب ^ 2)) `.

المعاملات على الجانب الأيسر لها خصائص الجيب وجيب التمام ، أي أن مجموع مربعاتها يساوي 1 ومعاملها ليس أكبر من 1. قم بالإشارة إليها على النحو التالي: `\ frac a (sqrt (a ^ 2 +) ب ^ 2)) = cos \ varphi`، `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi` ،` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C` ، ثم:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على المثال التالي:

مثال. حل المعادلة: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

حل. بقسمة طرفي المعادلة على `` الجذر التربيعي (3 ^ 2 + 4 ^ 2) '' نحصل على:

"\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +" \ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = "\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

"3/5 sin x + 4/5 cos x = 2/5".

تشير إلى `3/5 = cos \ varphi` ،` 4/5 = sin \ varphi`. نظرًا لأن `sin \ varphi> 0` ،` cos \ varphi> 0` ، فإننا نأخذ `\ varphi = arcsin 4 / 5` كزاوية مساعدة. ثم نكتب مساواتنا بالشكل:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

بتطبيق صيغة مجموع زوايا الجيب ، نكتب مساواتنا بالشكل التالي:

"الخطيئة (س + \ فارفي) = 2/5" ،

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n` ،` n \ in Z` ،

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + \ pi n` ، `n \ in Z`.

إجابة. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` arcsin 4/5 + \ pi n` ، `n \ in Z`.

المعادلات المثلثية الكسرية المنطقية

هذه معادلات مع كسور ، في البسط والمقام التي توجد بها دوال مثلثية.

مثال. حل المعادلة. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

حل. اضرب واقسم الجانب الأيمن من المعادلة على `(1 + cos x)`. نتيجة لذلك ، نحصل على:

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x) "

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x) `

"\ frac (sin x) (1 + cos x) =" \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) "

"\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

بالنظر إلى أن المقام لا يمكن أن يكون صفراً ، نحصل على `1 + cos x \ ne 0` ،` cos x \ ne -1` ، `x \ ne \ pi + 2 \ pi n ، n \ in Z`.

مساواة بسط الكسر بالصفر: `sin x-sin ^ 2 x = 0` ،` sin x (1-sin x) = 0`. ثم `sin x = 0` أو` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0` ،` x = \ pi n` ، `n \ in Z`
2. `1-sin x = 0` ،` sin x = -1` ، `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n ، n \ in Z`.

بالنظر إلى أن `x \ ne \ pi + 2 \ pi n ، n \ in Z` ، فإن الحلول هي` x = 2 \ pi n ، n \ in Z` و `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` ، `n \ في Z`.

إجابة. `x = 2 \ pi n`،` n \ in Z`، `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`،` n \ in Z`.

يتم استخدام علم المثلثات والمعادلات المثلثية على وجه الخصوص في جميع مجالات الهندسة والفيزياء والهندسة تقريبًا. تبدأ الدراسة في الصف العاشر ، وهناك دائمًا مهام للاختبار ، لذا حاول أن تتذكر جميع صيغ المعادلات المثلثية - فهي بالتأكيد ستكون في متناول يديك!

ومع ذلك ، لا تحتاج حتى إلى حفظها ، فالشيء الرئيسي هو فهم الجوهر والقدرة على الاستنتاج. الأمر ليس صعبًا كما يبدو. انظر بنفسك من خلال مشاهدة الفيديو.

مفهوم حل المعادلات المثلثية.

• لحل المعادلة المثلثية ، قم بتحويلها إلى واحدة أو أكثر من المعادلات المثلثية الأساسية. ينتهي حل المعادلة المثلثية في النهاية إلى حل المعادلات المثلثية الأساسية الأربعة.

حل المعادلات المثلثية الأساسية.

• هناك 4 أنواع من المعادلات المثلثية الأساسية:
• الخطيئة س = أ ؛ كوس س = أ
• تان س = أ ؛ ctg x = أ
• يتضمن حل المعادلات المثلثية الأساسية النظر إلى مواضع x المختلفة على دائرة الوحدة ، بالإضافة إلى استخدام جدول تحويل (أو آلة حاسبة).
• مثال 1. sin x = 0.866. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) ، تحصل على الإجابة: x = π / 3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: 2π / 3. تذكر: جميع الدوال المثلثية دورية ، أي أن قيمها تتكرر. على سبيل المثال ، دورية كل من sin x و cos x هي 2πn ، ودورية tg x و ctg x هي n. إذن الجواب مكتوب على النحو التالي:
• x1 = π / 3 + 2πn ؛ x2 = 2π / 3 + 2πn.
• مثال 2 cos x = -1/2. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) ، تحصل على الإجابة: x = 2π / 3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: -2π / 3.
• x1 = 2π / 3 + 2π ؛ x2 = -2π / 3 + 2π.
• مثال 3. tg (x - π / 4) = 0.
• الجواب: س \ u003d π / 4 + πn.
• مثال 4. ctg 2x = 1.732.
• الجواب: س \ u003d π / 12 + πn.

التحويلات المستخدمة في حل المعادلات المثلثية.

• لتحويل المعادلات المثلثية ، يتم استخدام التحويلات الجبرية (التحليل ، الاختزال أعضاء متجانسينالخ) والهويات المثلثية.
• مثال 5. باستخدام المتطابقات المثلثية ، يتم تحويل المعادلة sin x + sin 2x + sin 3x = 0 إلى المعادلة 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. وهكذا ، فإن المعادلات المثلثية الأساسية التالية تحتاج إلى حل: cos x = 0 ؛ الخطيئة (3x / 2) = 0 ؛ كوس (س / 2) = 0.

• إيجاد الزوايا بواسطة القيم المعروفةالمهام.

  • قبل أن تتعلم كيفية حل المعادلات المثلثية ، عليك أن تتعلم كيفية إيجاد الزوايا من القيم المعروفة للوظائف. يمكن القيام بذلك باستخدام جدول تحويل أو آلة حاسبة.
  • مثال: cos x = 0.732. ستعطي الآلة الحاسبة الإجابة س = 42.95 درجة. ستعطي دائرة الوحدة زوايا إضافية ، وجيب تمامها يساوي أيضًا 0.732.

• ضع المحلول على دائرة الوحدة جانبًا.

  • يمكنك وضع حلول للمعادلة المثلثية على دائرة الوحدة. حلول المعادلة المثلثية على دائرة الوحدة هي رؤوس المضلع المنتظم.
  • مثال: الحلول x = π / 3 + n / 2 على دائرة الوحدة هي رؤوس المربع.
  • مثال: الحلول x = π / 4 + n / 3 على دائرة الوحدة هي رؤوس شكل سداسي منتظم.

• طرق حل المعادلات المثلثية.

  • إذا كانت المعادلة المثلثية تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط ، فقم بحل هذه المعادلة باعتبارها معادلة مثلثية أساسية. إذا تضمنت معادلة معينة وظيفتين أو أكثر من الوظائف المثلثية ، فهناك طريقتان لحل هذه المعادلة (اعتمادًا على إمكانية تحويلها).
    • طريقة 1
  • حول هذه المعادلة إلى معادلة بالشكل: f (x) * g (x) * h (x) = 0 ، حيث f (x) ، g (x) ، h (x) هي المعادلات المثلثية الأساسية.
  • مثال 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • حل. باستخدام صيغة الزاوية المزدوجة sin 2x = 2 * sin x * cos x ، استبدل sin 2x.
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
  • مثال 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية ، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: cos 2x (2cos x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
  • مثال 8. sin x - sin 3x \ u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية ، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. الآن حل معادلتين مثلثيتين أساسيتين: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0.
    • الطريقة الثانية
  • حول المعادلة المثلثية المعطاة إلى معادلة تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط. ثم استبدل هذه الدالة المثلثية ببعضها غير المعروفة ، على سبيل المثال ، t (sin x = t ؛ cos x = t ؛ cos 2x = t ، tg x = t ؛ tg (x / 2) = t ، إلخ).
  • مثال 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • حل. في هذه المعادلة ، استبدل (cos ^ 2 x) بـ (1 - sin ^ 2 x) (حسب الهوية). تبدو المعادلة المحولة كما يلي:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. استبدل sin x بـ t. المعادلة الآن هي: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. هذا هو معادلة من الدرجة الثانية، والتي لها جذران: t1 = -1 و t2 = 9/5. لا يفي الجذر الثاني t2 بنطاق الوظيفة (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • مثال 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
  • حل. استبدل tg x بـ t. أعد كتابة المعادلة الأصلية كما يلي: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. الآن أوجد t ثم أوجد x لـ t = tg x.

عادة ما يتم حل أبسط المعادلات المثلثية بالصيغ. دعني أذكرك أن المعادلات المثلثية التالية تسمى الأبسط:

sinx = أ

كوسكس = أ

tgx = أ

ctgx = أ

x هي الزاوية المطلوب إيجادها ،
أ هو أي رقم.

وإليك المعادلات التي يمكنك من خلالها تدوين حلول أبسط المعادلات على الفور.

للجيوب الأنفية:

لجيب التمام:

س = ± arccos a + 2π n ، n ∈ Z

للظل:

س = arctg a + π n ، n ∈ Z

بالنسبة إلى ظل التمام:

x = arcctg a + n، n ∈ Z

في الواقع ، هذا هو الجزء النظري لحل أبسط المعادلات المثلثية. والكل!) لا شيء على الإطلاق. ومع ذلك ، فإن عدد الأخطاء في هذا الموضوع يتدحرج. على وجه الخصوص ، مع انحراف طفيف للمثال عن النموذج. لماذا؟

نعم ، لأن الكثير من الأشخاص يكتبون هذه الرسائل ، دون فهم معناها على الإطلاق!يكتب مع القلق ، بغض النظر عن كيفية حدوث شيء ما ...) هذا يحتاج إلى تسوية. علم المثلثات للناس ، أو الناس لحساب المثلثات ، بعد كل شيء !؟)

دعونا نكتشف ذلك؟

زاوية واحدة ستكون مساوية ل arccos a ، ثانية: -اركوس أ.

وهذه هي الطريقة التي ستعمل بها دائمًا.لأي أ.

إذا كنت لا تصدقني ، حرك مؤشر الماوس فوق الصورة ، أو المس الصورة على الجهاز اللوحي.) لقد غيرت الرقم أ لبعض السلبية. على أي حال ، لدينا زاوية واحدة arccos a ، ثانية: -اركوس أ.

لذلك ، يمكن دائمًا كتابة الإجابة على شكل سلسلتين من الجذور:

x 1 = arccos a + 2π n، n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n ، n ∈ Z

نجمع هاتين السلسلتين في سلسلة واحدة:

س = ± arccos a + 2π n ، n ∈ Z

وكل الاشياء. لقد حصلنا على صيغة عامة لحل أبسط معادلة مثلثية باستخدام جيب التمام.

إذا فهمت أن هذا ليس نوعًا من الحكمة العلمية الفائقة ، ولكن مجرد سجل مختصر لسلسلتين من الإجابات ،أنت والمهام "ج" ستكون على كتفك. مع المتباينات ، مع اختيار الجذور من فترة معينة ... هناك ، الإجابة التي تحتوي على موجب / ناقص لا تتدحرج. وإذا تعاملت مع الإجابة على أنها عملية ، وقسمتها إلى إجابتين منفصلتين ، فسيتم تحديد كل شيء.) في الواقع ، نحن نفهم هذا. ماذا وكيف واين.

في أبسط معادلة مثلثية

sinx = أ

احصل أيضًا على سلسلتين من الجذور. دائماً. ويمكن أيضًا تسجيل هاتين السلسلتين خط واحد. فقط هذا الخط سيكون أكثر ذكاءً:

x = (-1) n arcsin a + n، n ∈ Z

لكن الجوهر يبقى كما هو. قام علماء الرياضيات ببساطة ببناء معادلة لإنشاء واحدة بدلاً من سجلين لسلسلة من الجذور. وهذا كل شيء!

دعونا نتحقق من علماء الرياضيات؟ وهذا لا يكفي ...)

في الدرس السابق ، تم تحليل الحل (بدون أي صيغ) للمعادلة المثلثية بجيب بالتفصيل:

تبين أن الإجابة هي سلسلتان من الجذور:

س 1 = / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

س 2 = 5π / 6 + 2π ن ، ن ∈ ع

إذا حللنا نفس المعادلة باستخدام الصيغة ، فسنحصل على الإجابة:

س = (-1) ن قوسين 0.5 + ن ، ن ∈ Z

في الواقع ، هذه إجابة نصف مكتملة.) يجب أن يعرف الطالب ذلك أركسين 0.5 = / 6.ستكون الإجابة الكاملة:

س = (-1) ن π / 6+ πn ، n ∈ Z

هنا تنشأ اسأل الفائدة. الرد عبر × 1 ؛ × 2 (هذه هي الإجابة الصحيحة!) وذلك من خلال الوحدة X (وهذا هو الجواب الصحيح!) - نفس الشيء أم لا؟ دعنا نكتشف الآن.)

استبدل استجابة بـ × 1 قيم ن = 0 ؛ 1 ؛ 2 ؛ إلخ ، فنحن نعتبر أننا نحصل على سلسلة من الجذور:

× 1 \ u003d π / 6 ؛ 13π / 6 ؛ 25π / 6 وما إلى ذلك وهلم جرا.

مع نفس الاستبدال ردا على × 2 ، نحن نحصل:

× 2 \ u003d 5π / 6 ؛ 17π / 6 ؛ 29π / 6 وما إلى ذلك وهلم جرا.

والآن نعوض بالقيم ن (0 ؛ 1 ؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ...) في الصيغة العامة للوحدة X . أي نرفع ناقص واحد إلى أس صفر ، ثم إلى الأول ، ثم الثاني ، وهكذا. وبالطبع ، نستبدل 0 في الحد الثاني ؛ 1 ؛ 2 3 ؛ 4 إلخ. ونفكر. نحصل على سلسلة:

س = π / 6 ؛ 5π / 6 ؛ 13π / 6 ؛ 17π / 6 ؛ 25π / 6 وما إلى ذلك وهلم جرا.

هذا كل ما يمكنك رؤيته). تعطينا الصيغة العامة بالضبط نفس النتائجوهما الجوابان بشكل منفصل. كل مرة بالترتيب. علماء الرياضيات لم يخدعوا).

يمكن أيضًا التحقق من الصيغ الخاصة بحل المعادلات المثلثية ذات الظل والتظل. لكن دعونا لا.) هم متواضعون جدا.

لقد رسمت كل هذا الاستبدال والتحقق عن قصد. من المهم أن نفهم شيئًا واحدًا بسيطًا هنا: توجد صيغ لحل المعادلات المثلثية الأولية ، مجرد ملخص للإجابات.لهذا الإيجاز ، كان علي إدخال زائد / ناقص في محلول جيب التمام و (-1) ن في محلول الجيب.

لا تتدخل هذه الإدخالات بأي شكل من الأشكال في المهام حيث تحتاج فقط إلى كتابة إجابة معادلة أولية. ولكن إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة عدم المساواة ، أو إذا كنت بحاجة إلى القيام بشيء ما بالإجابة: تحديد الجذور على فترة زمنية ، والتحقق من وجود ODZ ، وما إلى ذلك ، فإن هذه الإدخالات يمكن أن تزعج شخصًا بسهولة.

و ما العمل؟ نعم ، إما أن ترسم الإجابة في سلسلتين ، أو تحل المعادلة / عدم المساواة في دائرة مثلثية. ثم تختفي هذه الإدخالات وتصبح الحياة أسهل.)

يمكنك تلخيص.

يوجد لحل أبسط المعادلات المثلثية الصيغ الجاهزةالإجابات. أربع قطع. إنها جيدة لكتابة حل المعادلة على الفور. على سبيل المثال ، تحتاج إلى حل المعادلات:

sinx = 0.3

بسهولة: س = (-1) ن قوسين 0.3 + ن ، ن ∈ Z

كوسكس = 0.2

لا مشكلة: x = ± arccos 0.2 + 2π n ، n ∈ Z

tgx = 1.2

بسهولة: س = arctg 1،2 + n ، n ∈ Z

ctgx = 3.7

بقيت واحده: س = arcctg3،7 + n ، n ∈ Z

كوس س = 1.8

إذا كنت تتألق بالمعرفة ، فاكتب الإجابة على الفور:

x = ± arccos 1.8 + 2π n ، n ∈ Z

ثم تتألق بالفعل ، هذا ... من البركة.) الإجابة الصحيحة هي: لا توجد حلول. لا أفهم لماذا؟ اقرأ ما هو arccosine. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كانت هناك قيم جدولية للجيب وجيب التمام والظل والتظل - على الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية 1; 0; √3; 1/2; √3/2 وما إلى ذلك وهلم جرا. - الجواب من خلال الأقواس سيكون غير مكتمل. يجب تحويل الأقواس إلى راديان.

وإذا صادفت بالفعل عدم مساواة ، مثل

ثم الجواب:

س πn ، ن ∈ Z

هناك هراء نادر ، نعم ...) هنا من الضروري اتخاذ قرار بشأن الدائرة المثلثية. ماذا سنفعل في الموضوع المقابل.

بالنسبة لأولئك الذين قرأوا بشكل بطولي حتى هذه السطور. لا يسعني إلا أن أقدر جهودك العملاقة. لك مكافأة.)

علاوة:

عند كتابة الصيغ في موقف قتالي مقلق ، غالبًا ما يتم الخلط بين المهووسين المتعصبين pn ، و أين 2πn. إليك خدعة بسيطة لك. في الجميعالصيغ ص. باستثناء الصيغة الوحيدة التي بها قوس جيب التمام. إنها تقف هناك 2πn. اثنين pien. الكلمة الرئيسية - اثنين.في نفس الصيغة الفردية اثنينالتوقيع في البداية. زائد وناقص. هنا وهناك - اثنين.

لذلك إذا كتبت اثنينضع علامة أمام قوس جيب التمام ، فمن الأسهل تذكر ما سيحدث في النهاية اثنين pien. والعكس بالعكس يحدث. تخطي علامة الرجل ± ، حتى النهاية ، اكتب بشكل صحيح اثنين pien ، نعم ، واقبض عليه. قبل شيء اثنينلافتة! سيعود الإنسان إلى البداية لكنه سيصحح الخطأ! مثله.)

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب ، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كان لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد أو الاتصال بشخص معين.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقدم طلبًا على الموقع ، فقد نجمع معلومات مختلفة ، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تسمح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها بالاتصال بك وإبلاغك بها عروض فريدةوالعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر ، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إخطارات ورسائل مهمة إليك.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية ، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا دخلت في سحب على جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل ، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة هذه البرامج.

الإفصاح للغير

نحن لا نكشف عن المعلومات التي نتلقاها منك لأطراف ثالثة.

استثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون والنظام القضائي و / أو الإجراءات القانونية و / أو بناءً على طلبات عامة أو طلبات من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. قد نكشف أيضًا عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأمن أو إنفاذ القانون أو لأغراض المصلحة العامة الأخرى.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع ، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الجهة الأخرى التي تخلف الطرف الثالث.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام ، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتعديل والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة ، فإننا ننقل ممارسات الخصوصية والأمان لموظفينا ونطبق ممارسات الخصوصية بصرامة.