تحديد إحداثيات مركز ثقل الأشكال المستوية. تحديد مركز ثقل الأشكال المستوية

إن تحديد مركز الثقل لجسم تعسفي عن طريق الجمع المتتالي للقوى التي تعمل على أجزائه الفردية مهمة صعبة ؛ يتم تسهيله فقط للهيئات ذات الشكل البسيط نسبيًا.

دع الجسم يتكون من وزنين فقط من الكتلة ومتصلين بقضيب (الشكل 125). إذا كانت كتلة القضيب صغيرة مقارنة بالجماهير ، فيمكن إهمالها. تتأثر كل كتلة بالجاذبية المتساوية على التوالي ؛ كلاهما موجهان عموديًا إلى الأسفل ، أي موازٍ لبعضهما البعض. كما نعلم ، يتم تطبيق ناتج قوتين متوازيتين عند النقطة ، والتي يتم تحديدها من الشرط

أرز. 125. تحديد مركز الثقل لجسم مكون من حملين

لذلك ، يقسم مركز الثقل المسافة بين حملين في نسبة معكوسة إلى نسبة كتلتهم. إذا تم تعليق هذا الجسم عند نقطة ما ، فسيظل في حالة توازن.

نظرًا لأن كتلتين متساويتين لهما مركز ثقل مشترك عند نقطة تقسم المسافة بين هذه الكتل ، فمن الواضح على الفور ، على سبيل المثال ، أن مركز ثقل قضيب متجانس يقع في منتصف القضيب (الشكل 126) .

نظرًا لأن أي قطر لقرص دائري متجانس يقسمه إلى جزأين متماثلين تمامًا (الشكل 127) ، يجب أن يقع مركز الثقل على كل قطر للقرص ، أي عند نقطة تقاطع الأقطار - في الشكل الهندسي مركز القرص. بالحجة بطريقة مماثلة ، يمكننا أن نجد أن مركز ثقل الكرة المتجانسة يقع في مركزها الهندسي ، ويقع مركز ثقل خط متوازي السطوح المستطيل المتجانس عند تقاطع أقطارها ، وما إلى ذلك. مركز ثقل الطوق أو حلقة تقع في وسطها. يوضح المثال الأخير أن مركز ثقل الجسم يمكن أن يقع خارج الجسم.

أرز. 126- يقع مركز ثقل القضيب المتجانس في وسطه

أرز. 127. يقع مركز القرص المتجانس في مركزه الهندسي

إذا كان للجسم شكل غير منتظم أو إذا كان غير متجانس (على سبيل المثال ، به فراغات) ، فغالبًا ما يكون حساب موضع مركز الثقل صعبًا ويكون هذا الموضع أكثر ملاءمة للعثور عليه من خلال التجربة. دعنا ، على سبيل المثال ، مطلوب إيجاد مركز ثقل قطعة من الخشب الرقائقي. دعونا نعلقها على الخيط (الشكل 128). من الواضح ، في وضع التوازن ، أن مركز ثقل الجسم يجب أن يكمن في استمرار الخيط ، وإلا فإن قوة الجاذبية ستكون لها لحظة بالنسبة لنقطة التعليق ، والتي ستبدأ في تدوير الجسم. لذلك ، رسم خط مستقيم على قطعة الخشب الرقائقي ، يمثل استمرار الخيط ، يمكننا أن نؤكد أن مركز الثقل يقع على هذا الخط المستقيم.

في الواقع ، من خلال تعليق الجسم في نقاط مختلفة ورسم خطوط عمودية ، سنتأكد من أنها تتقاطع جميعًا في نقطة واحدة. هذه النقطة هي مركز ثقل الجسم (حيث يجب أن تقع في نفس الوقت على كل هذه الخطوط). وبطريقة مماثلة ، يمكن تحديد موضع مركز الجاذبية ليس فقط لشكل مسطح ، ولكن أيضًا لجسم أكثر تعقيدًا. يتم تحديد موضع مركز ثقل الطائرة عن طريق دحرجتها بعجلات على منصة الميزان. سيتم توجيه ناتج قوى الوزن على كل عجلة عموديًا ، ويمكنك إيجاد الخط الذي تعمل على طوله بموجب قانون إضافة القوى الموازية.

أرز. 128. نقطة تقاطع الخطوط العمودية المرسومة من خلال نقاط التعليق هي مركز ثقل الجسم

عندما تتغير كتل الأجزاء الفردية من الجسم أو عندما يتغير شكل الجسم ، يتغير موضع مركز الثقل. لذلك ، يتحرك مركز ثقل الطائرة عند استهلاك الوقود من الخزانات ، عند تحميل الأمتعة ، وما إلى ذلك. لإجراء تجربة بصرية توضح حركة مركز الجاذبية عندما يتغير شكل الجسم ، فمن الملائم أخذ قضيبان متطابقان متصلان بمفصلة (الشكل 129). في الحالة التي تشكل فيها القضبان استمرارًا لبعضها البعض ، يقع مركز الثقل على محور القضبان. إذا كانت القضبان مثنية عند المفصلة ، فسيكون مركز الثقل خارج القضبان ، على منصف الزاوية التي تشكلها. إذا تم وضع حمل إضافي على أحد القضبان ، فإن مركز الثقل سيتحرك باتجاه هذا الحمل.

أرز. 129. أ) يقع مركز ثقل القضبان المتصلة بمفصلة ، على خط مستقيم واحد ، على محور القضبان ، ب) يقع مركز ثقل نظام قضبان منحني خارج القضبان

81.1. أين مركز الثقل لقضيبين رفيعين متطابقين طولهما 12 سم ومثبتان على شكل حرف T؟

81.2. إثبات أن النقطه الوسطى للوحة مثلثة موحدة تقع عند تقاطع المتوسطات.

أرز. 130- ممارسة 81.3

81.3. لوح متجانس كتلته 60 كجم يرتكز على دعامتين ، كما هو موضح في الشكل. 130. تحديد القوى المؤثرة على الدعامات.

تعليمات

يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن موضع مركز الكتلة يعتمد بشكل مباشر على كيفية توزيع كتلته على حجم الجسم. قد لا يكون مركز الكتلة حتى في الجسم نفسه ، مثال على مثل هذا الكائن هو حلقة متجانسة ، حيث يقع مركز الكتلة في المركز الهندسي. إنه - . في الحسابات ، يمكن اعتبار مركز الكتلة كنقطة رياضية تتركز فيها كتلة الجسم بأكملها.

هنا R.ts.m. هو متجه نصف القطر لمركز الكتلة ، mi هو كتلة النقطة i ، ri هو متجه نصف قطر النقطة i في النظام. من الناحية العملية ، من السهل في كثير من الحالات العثور على مركز الكتلة إذا كان للجسم شكل هندسي صارم معين. على سبيل المثال ، بالنسبة لقضيب متجانس ، فهو بالضبط في المنتصف. بالنسبة إلى متوازي الأضلاع ، يكون عند تقاطع الأقطار ، ويكون المثلث نقطة ، وبالنسبة إلى المضلع المنتظم ، يكون مركز الكتلة في مركز التناظر الدوراني.

بالنسبة للهيئات الأكثر تعقيدًا ، تصبح مهمة الحساب أكثر تعقيدًا ، وفي هذه الحالة من الضروري تقسيم الكائن إلى أحجام متجانسة. لكل منها على حدة ، مراكز الكتلة ، وبعد ذلك يتم استبدال القيم الموجودة في الصيغ المقابلة ويتم العثور على القيمة النهائية.

في الممارسة العملية ، عادة ما ترتبط الحاجة إلى تحديد مركز الكتلة (مركز الثقل) بأعمال التصميم. على سبيل المثال ، عند تصميم سفينة ، من المهم ضمان استقرارها. إذا كان مركز الجاذبية مرتفعًا جدًا ، فقد ينقلب. كيف تحسب المعلمة المطلوبة لمثل هذا الكائن المعقد مثل السفينة؟ للقيام بذلك ، تم العثور على مراكز الثقل لعناصرها وتجمعاتها الفردية ، وبعد ذلك يتم إضافة القيم الموجودة مع مراعاة موقعها. عند التصميم ، يحاولون عادةً وضع مركز الجاذبية في أدنى مستوى ممكن ، لذلك توجد الوحدات الأثقل في الأسفل.

مصادر:

• مركز الكتلة
• حل المشكلات في الفيزياء

مركز الكتلة هو أهم هندسي و المواصفات الفنيةجسم. بدون حساب إحداثياتها ، من المستحيل تخيل التصميم في الهندسة الميكانيكية وحل مشاكل البناء والعمارة. يتم التحديد الدقيق لإحداثيات مركز الكتلة باستخدام حساب التفاضل والتكامل.

تعليمات

يجب أن تبدأ دائمًا من ، وتنتقل تدريجيًا إلى المزيد المواقف الصعبة. انطلق من حقيقة أن مركز الكتلة للشكل المسطح المستمر D ، الذي ثابت وموزع بشكل موحد ضمن حدوده ، يجب تحديده. تنتقل سعة x من a إلى b ، و y من c إلى d. قسّم الشكل بشبكة عمودية (x = x (i-1) ، x = xi (i = 1،2 ، ... ، n)) والخطوط الأفقية (y = y (j-1) ، y = xj ( j = 1 ، 2 ، ... ، m)) في المستطيلات الأولية ذات القواعد ∆хi = xi-x (i-1) والارتفاعات ∆yj = yj-y (j-1) (انظر الشكل 1). في هذه الحالة ، أوجد منتصف المقطع الابتدائي i كـ ξi = (1/2) ، والارتفاع ∆yj كـ ηj = (1/2). نظرًا لتوزيع الكثافة بالتساوي ، سيتزامن مركز كتلة المستطيل الأولي مع مركزه الهندسي. هذا هو Хцi = ξi ، Yцi = j.

الكتلة M لشكل مسطح (إذا كانت غير معروفة) ، احسب كمنتج للمنطقة. استبدل المنطقة الأولية بـ ds = ∆хi∆yj = dxdy. قم بتمثيل ∆mij كـ dM = ρdS = ρdxdy واحصل على كتلته باستخدام الصيغة الموضحة في الشكل. 2 أ. بزيادات صغيرة ، ضع في اعتبارك أن ∆mij يتركز عند نقطة مادية بالإحداثيات Хцi = ξi ، Yцi = ηj. من المعروف من المشكلات أن كل إحداثي لمركز كتلة نظام النقاط المادية يساوي كسرًا ، بسطه هو مجموع لحظات الكتلة الساكنة م بالنسبة للمحور المقابل ، ويساوي مجموع هذه الكتل. العزم الثابت للكتلة mν ، بالنسبة إلى المحور 0x هو yν * mν ، ونسبة إلى 0y xν * mν.

قم بتطبيق هذا على الحالة قيد النظر واحصل على القيم التقريبية للحظات الثابتة Jx و Jy في النموذج المبالغ الواردة في التعبير الأخير جزء لا يتجزأ. انتقل إلى الحدود منها عند ∆хν → 0 ∆yν → 0 واكتب النهايات (انظر الشكل 2 ب). أوجد إحداثيات مركز الكتلة بقسمة اللحظة الإحصائية المقابلة على الكتلة الكلية للشكل M.

تختلف منهجية الحصول على إحداثيات مركز كتلة الشكل المكاني G فقط في ظهور التكاملات الثلاثية ، وتعتبر اللحظات الثابتة نسبة إلى تنسيق الطائرات. يجب ألا ننسى أن الكثافة ليست بالضرورة ثابتة ، أي ρ (x ، y ، z) ≠ const. لذلك ، الشكل النهائي والأكثر عمومية (انظر الشكل 3).

مصادر:

• بيسكونوف إن إس. حساب التفاضل والتكامل. ت 2 ، م: 1976 ، 576 ص ، ص.

قانون جاذبيةالتي اكتشفها نيوتن عام 1666 ونشرت عام 1687 ، تنص على أن جميع الأجسام ذات الكتلة تجذب بعضها البعض. لا تسمح الصيغة الرياضية بإثبات حقيقة الانجذاب المتبادل للأجسام فحسب ، بل تتيح أيضًا قياس قوتها.

تعليمات

حتى قبل نيوتن ، تكهن الكثيرون حول وجود الجاذبية الكونية. منذ البداية ، كان من الواضح لهم أن التجاذب بين أي جسمين يجب أن يعتمد على كتلتهما ويضعف مع المسافة. يوهانس كبلر ، أول من وصف المدارات الإهليلجية النظام الشمسي، يعتقد أن الشمس تجتذب بقوة تتناسب عكسياً مع المسافة.

أخيرًا ، تمت صياغة قانون الجاذبية العامة على النحو التالي: أي جسمين لهما كتلة ينجذبان بشكل متبادل ، وقوة جاذبيتهما تساوي

F = G * ((m1 * m2) / R ^ 2) ،

حيث m1 و m2 - كتل الأجسام ، R - المسافة ، G - ثابت الجاذبية.

إذا كان الجسم المشارك في الجاذبية له شكل كروي تقريبًا ، فيجب قياس المسافة R ليس من سطحه ، ولكن من مركز الكتلة. نقطة ماديةبنفس الكتلة ، الموجودة بالضبط في المركز ، ستولد نفس القوة الجذابة تمامًا.

على وجه الخصوص ، هذا يعني أنه ، على سبيل المثال ، عند حساب القوة التي تجذب بها الأرض شخصًا يقف عليها ، فإن المسافة R لا تساوي صفرًا ، بل نصف القطر. في الواقع ، إنها تساوي المسافة بين مركز الأرض ومركز ثقل الشخص ، ولكن يمكن إهمال هذا الاختلاف دون فقدان الدقة.

دائمًا ما يكون جاذبية الجاذبية متبادلة: لا تجذب الأرض الشخص فحسب ، بل تجذب الأرض بدورها. بسبب الاختلاف الهائل بين كتلة الإنسان على هذا الكوكب ، فإن هذا غير محسوس. وبالمثل ، عند حساب المسارات مركبة فضائيةعادة ما يتم إهمال أن الجهاز يجذب الكواكب والمذنبات إلى نفسه.

ومع ذلك ، إذا كانت كتل العناصر المتفاعلة قابلة للمقارنة ، فإن جاذبيتها المتبادلة تصبح ملحوظة لجميع المشاركين. على سبيل المثال ، من وجهة نظر الفيزياء ، ليس من الصواب القول إن القمر يدور حول الأرض. في الحقيقة ، القمر والأرض يدوران حولهما المركز المشتركبالوزن. نظرًا لأن كوكبنا أكبر بكثير من كوكبنا الطبيعي ، فإن هذا المركز يقع بداخله ، لكنه لا يزال لا يتطابق مع مركز الأرض نفسها.

فيديوهات ذات علاقة

مصادر:

• فيزياء رائعةللفضوليين - قانون الجاذبية

ربما تكون الرياضيات والفيزياء من أروع العلوم المتاحة للإنسان. من خلال وصف العالم من منظور قوانين محددة جيدًا وقابلة للحساب ، يمكن للعلماء "بضغطة زر" الحصول على قيم يبدو للوهلة الأولى أنه من المستحيل قياسها.

تعليمات

أحد القوانين الأساسية للفيزياء هو قانون الجاذبية. تقول أن جميع الأجسام تنجذب لبعضها البعض بقوة تساوي F = G * m1 * m2 / r ^ 2. في هذه الحالة ، G هو ثابت معين (سيشار إليه مباشرة أثناء الحساب) ، و m1 و m2 هما كتلا الأجسام ، و r هي المسافة بينهما.

كتلةيمكن حساب الأراضي بناءً على التجربة. باستخدام البندول وساعة الإيقاف ، يمكنك حساب تسارع السقوط الحر g (سيتم حذف الخطوة باعتبارها غير ذات صلة) ، والتي تساوي 10 م / ث ^ 2. وفقًا لقانون نيوتن الثاني ، يمكن تمثيل F كـ m * a. لذلك ، بالنسبة لجسم ينجذب إلى الأرض: m2 * a2 = G * m1 * m2 / r ^ 2 ، حيث m2 هي كتلة الجسم ، m1 هي كتلة الأرض ، a2 = g. بعد التحولات (اختزال م 2 في كلا الجزأين ، نقل م 1 إلى اليسار ، و 2 إلى اليمين) ، ستأخذ المعادلة الشكل التالي: م 1 = (ع) ^ 2 / ج. يعطي تعويض القيمة m1 = 6 * 10 ^ 27

يعتمد حساب كتلة القمر على القاعدة: من الأجسام إلى مركز كتلة النظام تتناسب عكسياً مع كتل الأجسام. من المعروف أن الأرض والقمر يدوران حول نقطة معينة (Cm) ، والمسافات من المركز إلى هذه النقطة هي 1/81.3. ومن ثم ، Ml \ u003d Mz / 81.3 \ u003d 7.35 * 10 ^ 25.

تستند المزيد من الحسابات إلى قانون كيبلر الثالث ، والذي بموجبه (T1 / T2) ^ 2 * (M1 + Mc) / (M2 + Mc) = (L1 / L2) ^ 3 ، حيث T هي فترة ثورة السماوية حول الجسم شمس، L هي المسافة إلى آخر واحد ، M1 ، M2 و Mc هي كتل اثنين الأجرام السماويةوفي المقابل. عند تجميع المعادلات لنظامين (+ قمر - / أرض - قمر) ، يمكنك أن ترى أن جزءًا واحدًا من المعادلة اتضح أنه شائع ، مما يعني أنه يمكن معادلة الجزء الثاني.

صيغة الحساب في معظمها نظرة عامةهي Lz ^ 3 / (Tz ^ 2 * (Mc + Mz) = Ll ^ 3 / (Tl ^ 2 * (Mz + Ml). طرق بعد تبسيط واستبدال القيم الضرورية ، ستأخذ المعادلة الشكل: Ms / Ms + Ml \ u003d 329.390. وبالتالي ، السيدة \ u003d 3.3 * 10 ^ 33.

الطاقة الحركية هي طاقة النظام الميكانيكي الذي يعتمد على سرعة حركة كل نقطة من نقاطه. بعبارة أخرى، الطاقة الحركيةيمثل الفرق بين إجمالي الطاقة والطاقة الباقية للنظام قيد الدراسة ، ذلك الجزء من الطاقة الكلية للنظام الناجم عن الحركة. تنقسم الطاقة الحركية إلى طاقةتقدمية و حركة دوارة. وحدة SI للطاقة الحركية هي الجول.

تعليمات

في حالة الحركة الانتقالية ، فإن جميع نقاط النظام (الجسم) لها نفس سرعة الحركة ، والتي تساوي سرعة حركة مركز كتلة الجسم. في هذه الحالة ، النظام الحركي Tpost يساوي:
Tpost =؟ (عضو الكنيست Vс2) / 2 ،
حيث mk كتلة الجسم ، و Vc هو مركز الكتلة. وهكذا ، مع الجسم الانتقالي ، فإن الطاقة الحركية تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم ومربع سرعة مركز الكتلة ، مقسومًا بمقدار اثنين. في هذه الحالة ، لا تعتمد قيمة الحركة على الحركة.

بناءً على الصيغ العامة التي تم الحصول عليها أعلاه ، من الممكن الإشارة إلى طرق محددة لتحديد إحداثيات مراكز جاذبية الأجسام.

1. إذا كان لجسم متجانس مستوى أو محور أو مركز تناظر ، فإن مركز ثقله يقع على التوالي إما في مستوى التناظر أو على محور التناظر أو في مركز التناظر.

افترض ، على سبيل المثال ، أن الجسم المتجانس له مستوى تناظر. بعد ذلك ، من خلال هذا المستوى ، يتم تقسيمه إلى جزأين ، تكون أوزانهما متساوية مع بعضهما البعض ، وتكون مراكز الجاذبية على مسافات متساوية من مستوى التماثل. وبالتالي ، فإن مركز ثقل الجسم كنقطة تمر من خلالها محصلة قوتين متساويتين ومتوازيتين يقع في مستوى التناظر. يتم الحصول على نتيجة مماثلة في الحالات التي يكون فيها الجسم لديه محور أو مركز تناظر.

ويترتب على خصائص التناظر أن مركز الثقل لحلقة دائرية متجانسة ، ولوحة مستديرة أو مستطيلة ، ومتوازي خط مستطيل ، وكرة ، وأجسام أخرى متجانسة بمركز تناظر يقع في المركز الهندسي (مركز التناظر) هذه الهيئات.

2. التقسيم. إذا كان من الممكن تقسيم الجسم إلى عدد محدود من هذه الأجزاء ، ولكل منها موضع مركز الجاذبية ، فيمكن حساب إحداثيات مركز الجاذبية للجسم كله مباشرةً باستخدام الصيغ (59) - (62). في هذه الحالة ، سيكون عدد الحدود في كل مجموع مساويًا لعدد الأجزاء التي يقسم إليها الجسم.

مشكلة 45. حدد إحداثيات مركز الثقل للصفيحة المتجانسة الموضحة في الشكل. 106- جميع القياسات بالسنتيمتر.

حل. نرسم محاور x و y ونقسم اللوحة إلى ثلاثة مستطيلات (خطوط القطع موضحة في الشكل 106). نحسب إحداثيات مراكز الجاذبية لكل من المستطيلات ومساحتها (انظر الجدول).

منطقة لوحة كاملة

استبدال الكميات المحسوبة في الصيغ (61) ، نحصل على:

يظهر في الرسم الموضع الموجود لمركز الثقل C ؛ النقطة C خارج اللوحة.

3. الإضافة. هذه الطريقة هي حالة خاصة لطريقة التقسيم. ينطبق على الأجسام ذات القواطع إذا كانت مراكز ثقل الجسم بدون انقطاع وانقطاع معروفة.

المسألة 46. حدد موضع مركز الثقل لصفيحة مستديرة نصف قطرها R بقطع نصف قطرها (الشكل 107). مسافة

حل. يقع مركز ثقل اللوحة على الخط ، لأن هذا الخط هو محور التناظر. ارسم محاور الإحداثيات. للعثور على الإحداثيات ، نكمل مساحة اللوحة بدائرة كاملة (الجزء 1) ، ثم نطرح مساحة الدائرة المقطوعة من المنطقة الناتجة (الجزء 2). في هذه الحالة ، يجب أخذ مساحة الجزء 2 ، كما تم طرحها ، بعلامة ناقص. ثم

استبدال القيم الموجودة في الصيغ (61) ، نحصل على:

يقع مركز الثقل الموجود C ، كما ترون ، على يسار النقطة

4. التكامل. إذا كان الجسم لا يمكن تقسيمه إلى عدة أجزاء محدودة ، فإن مواقع مراكز الجاذبية معروفة ، ثم يتم تقسيم الجسم أولاً إلى أحجام صغيرة عشوائية تتخذ لها الصيغ (60) الشكل

أين تقع إحداثيات نقطة ما داخل المجلد ، ثم في حالة المساواة (63) ، تنتقل إلى الحد ، وتصل كل شيء إلى الصفر ، أي تقلص هذه الأحجام إلى نقاط. ثم تتحول المجاميع في المساواة إلى تكاملات ممتدة على كامل حجم الجسم ، وتعطي الصيغ (63) الحد:

وبالمثل ، بالنسبة لإحداثيات مراكز ثقل المساحات والخطوط ، نحصل على الحد من الصيغتين (61) و (62):

يتم النظر في مثال على تطبيق هذه الصيغ لتحديد إحداثيات مركز الثقل في الفقرة التالية.

5. الطريقة التجريبية. يمكن تحديد مراكز الجاذبية للأجسام غير المتجانسة ذات التكوين المعقد (الطائرات ، القاطرة البخارية ، إلخ) بشكل تجريبي. تتمثل إحدى الطرق التجريبية الممكنة (طريقة التعليق) في تعليق الجسم على خيط أو كابل في نقاطه المختلفة. اتجاه الخيط الذي تم تعليق الجسم عليه سيعطي في كل مرة اتجاه الجاذبية. تحدد نقطة تقاطع هذه الاتجاهات مركز ثقل الجسم. آخر طريقة حل ممكنةالتحديد التجريبي لمركز الثقل هو طريقة الوزن. الفكرة وراء هذه الطريقة واضحة من المثال أدناه.

– حساب مركز الثقل لشكل محدد مسطح. يفهم العديد من القراء بشكل حدسي ماهية مركز الثقل ، لكن مع ذلك ، أوصي بتكرار المادة من أحد الدروس الهندسة التحليلية، حيث قمت بتفكيكها مشكلة مركز ثقل المثلثو في شكل يمكن الوصول إليهفك شفرة المعنى المادي لهذا المصطلح.

بشكل مستقل و مهام التحكمللحل ، كقاعدة عامة ، يتم اقتراح أبسط حالة - حدود مسطحة متجانسشخصية ، أي شخصية ذات كثافة بدنية ثابتة - ألعاب زجاجية ، خشبية ، من الحديد الزهر ، طفولة صعبة ، إلخ. علاوة على ذلك ، بشكل افتراضي ، سنتحدث فقط عن هذه الأرقام =)

القاعدة الأولى و أبسط مثال : إذا كان الرقم المسطح مركز التناظر، إذن هو مركز ثقل هذا الشكل. على سبيل المثال ، مركز لوحة مستديرة متجانسة. إنه منطقي وواضح - كتلة مثل هذا الرقم "موزعة بشكل عادل في جميع الاتجاهات" بالنسبة إلى المركز. صدق - لا أريد ذلك.

ومع ذلك ، في الواقع القاسي ، من غير المحتمل أن تُلقى بحلاوة لوح شوكولاتة بيضاوي الشكل، لذلك عليك تسليح نفسك بأداة مطبخ جادة:

إحداثيات مركز الثقل لشكل محدود متجانس مسطح تُحسب بالصيغ التالية:

, أو:

، أين هي مساحة المنطقة (الشكل) ؛ أو قصير جدا:

، أين

سوف نسمي التكامل بشكل مشروط التكامل "X" ، والتكامل "Y".

ملاحظة مساعدة : لشقة محدودة غير متجانسةالشكل ، الذي يتم تحديد كثافته بواسطة الوظيفة ، تكون الصيغ أكثر تعقيدًا:
، أين - كتلة الشكلفي حالة الكثافة الموحدة ، يتم تبسيطها إلى الصيغ المذكورة أعلاه.

في الصيغ ، في الواقع ، تنتهي كل الجدة ، والباقي هو قدرتك حل التكاملات المزدوجةبالمناسبة ، الآن فرصة رائعة لممارسة وتحسين أسلوبك. والكمال كما تعلم لا يوجد حد =)

دعونا نلقي بجزء نشط من القطع المكافئ:

مثال 1

أوجد إحداثيات مركز الجاذبية لشكل مسطح متجانس يحده خطوط.

حل: الخطوط هنا أولية: فهي تحدد محور الإحداثي ، والمعادلة - القطع المكافئ ، والتي يتم بناؤها بسهولة وسرعة باستخدام التحولات الهندسية للرسوم البيانية:

– القطع المكافئ، تحولت 2 وحدة إلى اليسار ووحدة واحدة لأسفل.

سأكمل الرسم بالكامل مرة واحدة بالنقطة النهائية لمركز ثقل الشكل:

القاعدة الثانية: إذا كان الرقم محاور التماثل، إذن يقع مركز ثقل هذا الشكل بالضرورة على هذا المحور.

في حالتنا ، الرقم متماثل حول مستقيم، في الواقع ، نحن نعرف بالفعل إحداثيات "x" للنقطة "em".

لاحظ أيضًا أن مركز الثقل عموديًا قد تم إزاحته بالقرب من المحور السيني ، لأن الرقم أكبر هناك.

نعم ، ربما لم يفهم الجميع تمامًا بعد ما هو مركز الثقل: من فضلك ارفع السبابةووضع "نعل" مظلل عليه عقليًا بنقطة. من الناحية النظرية ، لا ينبغي أن يسقط الرقم.

نحسب إحداثيات مركز ثقل الشكل بالصيغ ، أين .

ترتيب عبور المنطقة (الشكل) واضح هنا:

انتباه!تقرر على الأكثر أمر مواتتجاوز مرة واحدة- واستخدمه للجميعتكاملات!

1) أولاً ، احسب مساحة الشكل. في ضوء البساطة النسبية للتكامل ، يمكن صياغة الحل بشكل مضغوط ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط في الحسابات:

ننظر إلى الرسم ونقدر المنطقة بالخلايا. اتضح عن القضية.

2) تم بالفعل العثور على إحداثيات x لمركز الجاذبية من خلال "الطريقة الرسومية" ، لذا يمكنك الرجوع إلى التناظر والانتقال إلى النقطة التالية. ومع ذلك ، ما زلت لا أنصح بذلك - فمن المحتمل أن يتم رفض الحل بعبارة "استخدم الصيغة".

لاحظ أنه يمكنك هنا الحصول على حسابات شفهية حصرية - في بعض الأحيان ليس من الضروري على الإطلاق تقليل الكسور إلى القاسم المشتركأو تعذيب الآلة الحاسبة.

هكذا:
وهو ما كان المطلوب.

3) أوجد إحداثيات مركز الجاذبية. دعونا نحسب تكامل "اللعبة":

وهنا سيكون الأمر صعبًا بدون آلة حاسبة. فقط في هذه الحالة ، سأعلق أنه نتيجة لضرب كثيرات الحدود ، يتم الحصول على 9 مصطلحات ، وبعضها متشابه. أعطيت مصطلحات مماثلة شفويا (كما يحدث عادة في حالات مماثلة)وكتب على الفور المبلغ النهائي.

نتيجة ل:
وهو قريب جدًا جدًا من الحقيقة.

على المرحلة الأخيرةحدد نقطة على الرسم. وفقًا للشرط ، لم يكن مطلوبًا رسم أي شيء ، ولكن في معظم المشكلات ، نضطر إلى رسم شكل. ولكن هناك ميزة مطلقة - بصرية وهادئة تحقق فعالنتيجة.

إجابة:

المثالان التاليان ل قرار مستقل.

مثال 2

أوجد إحداثيات مركز الجاذبية لشكل مستو متجانس يحده خطوط

بالمناسبة ، إذا تخيلت كيف يقع القطع المكافئ ورأيت النقاط التي يتقاطع عندها مع المحور ، فيمكنك الاستغناء عن الرسم هنا.

وأصعب:

مثال 3

أوجد مركز الجاذبية لشكل مستو متجانس محصور بخطوط

إذا كنت تواجه صعوبة في التخطيط ، فقم بالدراسة (مراجعة) درس عن القطع المكافئو / أو المثال رقم 11 من المقال تكاملات مزدوجة للدمى.

نماذج الحلول في نهاية الدرس.

بالإضافة إلى ذلك ، دزينة أمثلة مماثلةيمكن العثور عليها في الأرشيف المقابل على الصفحة حلول جاهزة للرياضيات العليا.

حسنًا ، لا يسعني إلا إرضاء عشاق الرياضيات العليا ، الذين غالبًا ما يطلبون مني حل المشكلات الصعبة:

مثال 4

أوجد مركز الجاذبية لشكل مسطح متجانس تحده خطوط. ارسم الشكل ومركز ثقله على الرسم.

حل: شرط هذه المهمة يتطلب بالفعل بشكل قاطع تنفيذ الرسم. لكن الشرط ليس رسميًا جدًا! - حتى الشخص ذو المستوى المتوسط ​​من التدريب يمكنه تخيل هذا الرقم في ذهنه:

يقطع الخط المستقيم الدائرة إلى جزأين ، وشرط إضافي (سم. المتباينات الخطية) يشير إلى أننا نتحدث عن قطعة صغيرة مظللة.

الشكل متماثل حول خط مستقيم (مرسوم بخط منقط) ، لذا يجب أن يقع مركز الجاذبية على هذا الخط. ومن الواضح أن إحداثياتها هي مودولو. دليل ممتاز يستبعد عمليا إجابة خاطئة!

الآن الأخبار السيئة =) يلوح تكامل غير سار من الجذر في الأفق ، والذي قمنا بتحليله بالتفصيل في المثال رقم 4 من الدرس طرق فعالة لحل التكاملات. ومن يدري ماذا سيتم رسمه هناك. يبدو أنه بسبب الوجود الدوائرمربح ، ولكن ليس كل شيء بهذه البساطة. يتم تحويل معادلة الخط المستقيم إلى النموذج والتكاملات لن تتحول أيضًا إلى سكر (على الرغم من أن المعجبين التكاملات المثلثيةيُقَدِّر). في هذا الصدد ، من الحكمة الإسهاب في الإحداثيات الديكارتية.

ترتيب اجتياز الشكل:

1) احسب مساحة الشكل:

من المنطقي أن تأخذ أول جزء متكامل يندرج تحت علامة التفاضل:

وفي التكامل الثاني ، سنقوم بالاستبدال القياسي:

دعونا نحسب حدود التكامل الجديدة:

2) لنجد.

هنا في التكامل الثاني تم استخدامه مرة أخرى طريقة إحضار دالة تحت علامة تفاضلية. ممارسة وتبني هذه الأمور على النحو الأمثل (في رأيي)طرق حل التكاملات النموذجية.

بعد حسابات صعبة وطويلة ، نحول انتباهنا مرة أخرى إلى الرسم (تذكر أن النقاط لا نعرف بعد! ) ونحصل على رضا أخلاقي عميق من القيمة المكتشفة.

3) بناءً على التحليل الذي تم إجراؤه مسبقًا ، يبقى التأكد من ذلك.

عظيم:

لنرسم نقطة على الرسم. وفقًا لصياغة الشرط ، نكتبه على أنه نهائي إجابة:

مهمة مماثلة لحل مستقل:

مثال 5

أوجد مركز الجاذبية لشكل مسطح متجانس تحده خطوط. تنفيذ الرسم.

هذه المهمة مثيرة للاهتمام لأنها تحتوي على شكل بأحجام صغيرة بدرجة كافية ، وإذا ارتكبت خطأ في مكان ما ، فهناك احتمال كبير بعدم الدخول إلى المنطقة على الإطلاق. وهو بالطبع أمر جيد من حيث التحكم في القرار.

عينة عينةالترتيبات في نهاية الدرس.

مفيد في بعض الأحيان الانتقال إلى الإحداثيات القطبية بتكاملات مزدوجة. ذلك يعتمد على الشكل. بحثت في المنزل مثال جيد، لكنني لم أجدها ، لذا سأوضح الحل في المهمة التجريبية الأولى للدرس أعلاه:


تذكر أنه في هذا المثال ، انتقلنا إلى الإحداثيات القطبية، اكتشف الإجراء الخاص بتجاوز المنطقة وحساب مساحتها

لنجد مركز الثقل لهذا الشكل. المخطط هو نفسه: . تظهر القيمة مباشرة من الرسم ، ويجب إزاحة إحداثيات "x" بشكل أقرب قليلاً إلى المحور y ، حيث يوجد الجزء الأكبر من نصف الدائرة هناك.

في التكاملات ، نستخدم صيغ الانتقال القياسية:

من المحتمل أنهم لم يكونوا مخطئين.