Готови решения на логаритмични уравнения. Логаритмични уравнения

В този урок ще прегледаме основните теоретични факти за логаритмите и ще разгледаме решаването на най-простите логаритмични уравнения.

Нека си припомним централната дефиниция - дефиницията на логаритъм. Свързано е с решението експоненциално уравнение. Това уравнение има един корен, нарича се логаритъм от b по основа a:

определение:

Логаритъмът от b при основа a е степента, до която трябва да се повдигне основа a, за да се получи b.

Нека ви напомним основно логаритмично тъждество.

Изразът (израз 1) е коренът на уравнението (израз 2). Заместете стойността x от израз 1 вместо x в израз 2 и получете основната логаритмична идентичност:

Така че виждаме, че всяка стойност е свързана със стойност. Означаваме b с x(), c с y и по този начин получаваме логаритмична функция:

Например:

Нека си припомним основните свойства на логаритмичната функция.

Нека отново обърнем внимание тук, тъй като под логаритъма може да има строго положителен израз, като основа на логаритъма.

Ориз. 1. Графика на логаритмична функция в различни основи

Графиката на функцията при е показана в черно. Ориз. 1. Ако аргументът нараства от нула до безкрайност, функцията нараства от минус до плюс безкрайност.

Графиката на функцията при е показана в червено. Ориз. 1.

Свойства на тази функция:

Домейн: ;

Диапазон от стойности: ;

Функцията е монотонна в цялата си област на дефиниция. При монотонно (строго) нарастване по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията. Когато монотонно (стриктно) намалява, по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

Свойствата на логаритмичната функция са ключът към решаването на различни логаритмични уравнения.

Нека разгледаме най-простото логаритмично уравнение, всички останали логаритмични уравнения, като правило, се свеждат до тази форма.

Тъй като основите на логаритмите и самите логаритми са равни, функциите под логаритъма също са равни, но не трябва да пропускаме областта на дефиницията. Под логаритъма може да се появи само положително число, имаме:

Открихме, че функциите f и g са равни, така че е достатъчно да изберете което и да е неравенство, за да се съобразите с ODZ.

Така имаме смесена система, в която има уравнение и неравенство:

По правило не е необходимо да се решава неравенство, достатъчно е да се реши уравнението и да се заменят намерените корени в неравенството, като по този начин се извърши проверка.

Нека формулираме метод за решаване на най-простите логаритмични уравнения:

Изравняване на основите на логаритмите;

Приравняване на сублогаритмични функции;

Извършете проверка.

Нека разгледаме конкретни примери.

Пример 1 - решаване на уравнението:

Основите на логаритмите първоначално са равни, имаме право да приравняваме логаритмични изрази, не забравяйте за ODZ, нека изберем първия логаритъм за съставяне на неравенството:

Пример 2 - решаване на уравнението:

Това уравнение се различава от предишното по това, че основите на логаритмите са по-малки от единица, но това не влияе на решението по никакъв начин:

Нека намерим корена и го заместим в неравенството:

Получихме неправилно неравенство, което означава, че намереният корен не удовлетворява ОДЗ.

Пример 3 - решаване на уравнението:

Основите на логаритмите първоначално са равни, имаме право да приравняваме сублогаритмични изрази, не забравяйте за ODZ, ние избираме втория логаритъм, за да съставим неравенството:

Нека намерим корена и го заместим в неравенството:

Очевидно само първият корен удовлетворява DD.

Алгебра 11 клас

Тема: “Методи за решаване на логаритмични уравнения”

Цели на урока:

образователни: формиране на знания за по различни начинирешаване на логаритмични уравнения, способност за прилагането им във всяка конкретна ситуация и избор на произволен метод за решаване;

развиващи: развиване на умения за наблюдение, сравняване, прилагане на знания в нова ситуация, идентифициране на модели, обобщаване; развиване на умения за взаимен контрол и самоконтрол;

образователни: насърчаване на отговорно отношение към образователната работа, внимателно възприемане на материала в урока и внимателно водене на бележки.

Тип урок: урок за въвеждане на нов материал.

„Изобретяването на логаритмите, макар и да намалява работата на астронома, удължава живота му.“
Френският математик и астроном P.S. Лаплас

По време на часовете

I. Поставяне на целта на урока

Изученото определение за логаритъм, свойствата на логаритмите и логаритмичната функция ще ни позволят да решаваме логаритмични уравнения. Всички логаритмични уравнения, независимо колко сложни са, се решават с помощта на единни алгоритми. Ще разгледаме тези алгоритми в днешния урок. Не са много от тях. Ако ги усвоите, тогава всяко уравнение с логаритми ще бъде изпълнимо за всеки от вас.

Запишете темата на урока в тетрадката си: „Методи за решаване на логаритмични уравнения“. Каня всички за съдействие.

II. Актуализиране на справочните знания

Нека се подготвим за изучаване на темата на урока. Решавате всяка задача и записвате отговора, не е нужно да пишете условието. Работете по двойки.

1) За какви стойности на x функцията има смисъл:

(Отговорите се проверяват за всеки слайд и грешките се сортират)

2) Съвпадат ли графиките на функциите?

3) Препишете равенствата като логаритмични равенства:

4) Запишете числата като логаритми с основа 2:

5) Изчислете:

6) Опитайте се да възстановите или допълните липсващите елементи в тези равенства.

III. Въведение в новия материал

На екрана се показва следното изявление:

„Уравнението е златният ключ, който отваря всички математически сусами.“
Съвременният полски математик С. Ковал

Опитайте се да формулирате дефиницията на логаритмично уравнение. (Уравнение, съдържащо неизвестно под знака на логаритъма).

Нека помислим най-простото логаритмично уравнение:дневникАx = b(където a>0, a ≠ 1). защото логаритмична функциянараства (или намалява) върху множеството от положителни числа и приема всички реални стойности, тогава от теоремата за корена следва, че за всяко b това уравнение има, освен това, само едно решение, и то положително.

Запомнете дефиницията на логаритъм. (Логаритъмът на число x при основа a е показател за степента, на която трябва да се повдигне основата a, за да се получи числото x). От дефиницията на логаритъм веднага следва, че АVе такова решение.

Запишете заглавието: Методи за решаване на логаритмични уравнения

1. По дефиниция на логаритъм.

Така се решават най-простите уравнения от вида.

Нека помислим № 514(a)): Решете уравнението

Как предлагате да го разрешите? (По дефиниция на логаритъм)

Решение. , Следователно 2x - 4 = 4; х = 4.

В тази задача 2x - 4 > 0, тъй като > 0, така че не могат да се появят външни корени и няма нужда да се проверява. Условието 2x - 4 > 0 не е необходимо да се изписва в тази задача.

2. Потенциране(преход от логаритъм на даден израз към самия израз).

Нека помислим № 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Каква функция забелязахте? (Основите са еднакви и логаритмите на двата израза са равни.) Какво може да се направи? (Потенцира).

Трябва да се има предвид, че всяко решение се съдържа сред всички x, за които логаритмичните изрази са положителни.

Решение: ODZ:

X2+8>0 е ненужно неравенство

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Нека потенцираме първоначалното уравнение

получаваме уравнението x2+8= 8x+8

Нека го решим: x2-8x=0

Отговор: 0; 8

Общо взето преминаване към еквивалентна система:

Уравнението

(Системата съдържа излишно условие - едно от неравенствата не трябва да се разглежда).

Въпрос към класа: Кое от тези три решения ви хареса най-много? (Обсъждане на методите).

Имате право да решавате по какъвто и да е начин.

3. Въвеждане на нова променлива.

Нека помислим № 520(g). .

Какво забелязахте? (Това квадратно уравнениеотносно log3x) Вашите предложения? (Въведете нова променлива)

Решение. ODZ: x > 0.

Нека , тогава уравнението приема формата:. Дискриминант D > 0. Корени според теоремата на Виета:.

Да се ​​върнем към замяната: или.

След като решихме най-простите логаритмични уравнения, получаваме:

Отговор: 27;

4. Логаритмирайте двете страни на уравнението.

Решете уравнението:.

Решение: ODZ: x>0, вземете логаритъма на двете страни на уравнението при основа 10:

Нека приложим свойството на логаритъм от степен:

(logx + 3) logx = 4

Нека logx = y, тогава (y + 3)y = 4

, (D > 0) корени съгласно теоремата на Виета: y1 = -4 и y2 = 1.

Нека се върнем към замяната, получаваме: lgx = -4,; lgx = 1, .

Отговор: 0,0001; 10.

5. Намаляване до една база.

№ 523(c). Решете уравнението:

Решение: ODZ: x>0. Да преминем към основа 3.

6. Функционално-графичен метод.

№ 509(d).Решете графично уравнението: = 3 - x.

Как предлагате да се реши? (Постройте графики на две функции y = log2x и y = 3 - x с помощта на точки и потърсете абсцисата на точките на пресичане на графиките).

Вижте вашето решение на слайда.

Има начин да избегнете правенето на графики . Тя е следната : ако една от функциите y = f(x) увеличава, а другият y = g(x) намалява на интервала X, след това уравнението f(x)= g(x) има най-много един корен на интервала X.

Ако има корен, значи може да се познае.

В нашия случай функцията нараства за x>0, а функцията y = 3 - x намалява за всички стойности на x, включително за x>0, което означава, че уравнението има не повече от един корен. Обърнете внимание, че при x = 2 уравнението се превръща в истинско равенство, тъй като .

« Правилна употребаметоди могат да бъдат научени
само като ги приложите към различни примери».
Датският историк на математиката G. G. Zeiten

азV. Домашна работа

С. 39 разгледайте пример 3, решете № 514(b), № 529(b), № 520(b), № 523(b)

V. Обобщаване на урока

Какви методи за решаване на логаритмични уравнения разгледахме в клас?

В следващите уроци ще разгледаме повече сложни уравнения. За решаването им ще бъдат полезни изучените методи.

Последен показан слайд:

„Какво е повече от всичко на света?
пространство.
Кое е най-мъдрото нещо?
време.
Коя е най-добрата част?
Постигни това, което искаш."
Талес

Пожелавам на всеки да постигне това, което иска. Благодарим ви за съдействието и разбирането.

Решаване на логаритмични уравнения. Част 1.

Логаритмично уравнениее уравнение, в което неизвестното се съдържа под знака на логаритъма (по-специално в основата на логаритъма).

Най-простият логаритмично уравнениеима формата:

Решаване на всяко логаритмично уравнениевключва преход от логаритми към изрази под знака на логаритми. Това действие обаче разширява обхвата приемливи стойностиуравнение и може да доведе до появата на външни корени. За да избегнете появата на чужди корени, можете да направите един от трите начина:

1. Направете еквивалентен преходот първоначалното уравнение до система, включително

в зависимост от това кое неравенство или по-просто.

Ако уравнението съдържа неизвестно в основата на логаритъма:

след това отиваме в системата:

2. Отделно намерете обхвата на приемливите стойности на уравнението, след това решете уравнението и проверете дали намерените решения удовлетворяват уравнението.

3. Решете уравнението, а след това проверка:заместваме намерените решения в първоначалното уравнение и проверяваме дали получаваме правилното равенство.

Логаритмично уравнение от всяко ниво на сложност винаги в крайна сметка се свежда до най-простото логаритмично уравнение.

Всички логаритмични уравнения могат да бъдат разделени на четири типа:

1 . Уравнения, които съдържат логаритми само на първа степен. С помощта на трансформации и използване те се привеждат във формата

Пример. Нека решим уравнението:

Нека приравним изразите под знака логаритъм:

Нека проверим дали нашият корен на уравнението удовлетворява:

Да, засища.

Отговор: x=5

2 . Уравнения, които съдържат логаритми на степени, различни от 1 (особено в знаменателя на дроб). Такива уравнения могат да бъдат решени с помощта на въвеждане на промяна на променлива.

Пример.Нека решим уравнението:

Нека намерим уравнението на ODZ:

Уравнението съдържа логаритми на квадрат, така че може да бъде решено чрез промяна на променлива.

важно! Преди да въведете замяна, трябва да „разглобите“ логаритмите, които са част от уравнението, на „тухли“, като използвате свойствата на логаритмите.

Когато „разглобявате“ логаритми, е важно да използвате свойствата на логаритмите много внимателно:

Освен това тук има още един тънък момент и за да избегнем често срещана грешка, ще използваме междинно равенство: ще напишем степента на логаритъма в тази форма:

по същия начин,

Нека заместим получените изрази в оригиналното уравнение. Получаваме:

Сега виждаме, че неизвестното се съдържа в уравнението като част от . Нека представим замяната: . Тъй като може да приема всяка реална стойност, ние не налагаме никакви ограничения върху променливата.

основни свойства.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

идентични основания

Log6 4 + log6 9.

Сега нека усложним малко задачата.

Примери за решаване на логаритми

Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Намерете значението на израза:

Преход към нова основа

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

Задача. Намерете значението на израза:

Вижте също:

Основни свойства на логаритъма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е равен на 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Николаевич Толстой.

Основни свойства на логаритмите

Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

Примери за логаритми

Логаритмични изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Използвайки свойства 3.5, изчисляваме

2.

3.

4. Където .

Пример 2. Намерете x if

Пример 3. Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всички числа, могат да се добавят, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - нито една сериозна логаритмична задача не може да бъде решена без тях. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са други, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, използваме формулата за сумиране:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много от тях са изградени върху този факт тестови работи. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя.

Логаритмични формули. Логаритми примерни решения.

Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако зададем c = x, получаваме:

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .

Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

1. logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
2. log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Вижте също:

Логаритъмът от b при основа а означава израза. Да се ​​изчисли логаритъм означава да се намери степен x (), при която равенството е изпълнено

Основни свойства на логаритъма

Необходимо е да се знаят горните свойства, тъй като почти всички задачи и примери, свързани с логаритми, се решават на тяхна основа. Останалите екзотични свойства могат да бъдат извлечени чрез математически манипулации с тези формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Когато изчислявате формулата за сбора и разликата на логаритмите (3.4), срещате доста често. Останалите са малко сложни, но в редица задачи са незаменими за опростяване на сложни изрази и изчисляване на техните стойности.

Често срещани случаи на логаритми

Някои от често срещаните логаритми са тези, при които основата е дори десет, експоненциална или две.
Логаритъмът по основа десет обикновено се нарича десетичен логаритъм и се означава просто с lg(x).

От записа става ясно, че в записа не са написани основните неща. Например

Натурален логаритъм е логаритъм, чиято основа е показател (обозначен с ln(x)).

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е равен на 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Николаевич Толстой. Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

И друг важен логаритъм при основа две е означен с

Производната на логаритъма на функция е равна на единица, разделена на променливата

Интегралният или противопроизводният логаритъм се определя от връзката

Даденият материал е достатъчен, за да решите широк клас задачи, свързани с логаритми и логаритми. За да ви помогна да разберете материала, ще дам само няколко общи примера от училищна програмаи университети.

Примери за логаритми

Логаритмични изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Използвайки свойства 3.5, изчисляваме

2.
По свойството разлика на логаритмите имаме

3.
Използвайки свойства 3.5 намираме

4. Където .

Привидно сложен израз се опростява, за да се формира с помощта на редица правила

Намиране на логаритмични стойности

Пример 2. Намерете x if

Решение. За изчисление прилагаме към последния термин 5 и 13 свойства

Записваме го и скърбим

Тъй като основите са равни, приравняваме изразите

Логаритми. Първо ниво.

Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Решение: Нека вземем логаритъм на променливата, за да запишем логаритъма чрез сумата от нейните членове

Това е само началото на нашето запознаване с логаритмите и техните свойства. Практикувайте изчисления, обогатете практическите си умения - скоро ще имате нужда от знанията, които придобивате, за решаване на логаритмични уравнения. След като изучихме основните методи за решаване на такива уравнения, ще разширим знанията ви към друга също толкова важна тема - логаритмичните неравенства...

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всички числа, могат да се добавят, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - нито една сериозна логаритмична задача не може да бъде решена без тях. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са други, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Задача. Намерете стойността на израза: log6 4 + log6 9.

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, използваме формулата за сумиране:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм.

Как се решават логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако зададем c = x, получаваме:

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .

Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

1. logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
2. log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Както знаете, когато се умножават изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b *a c = a b+c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с цели показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където е необходимо да се опрости тромавото умножение чрез просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. На прост и достъпен език.

Дефиниция в математиката

Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) „b“ спрямо основата му „a“ се счита за степен „c“ ”, до която трябва да се повдигне основата „a”, за да се получи в крайна сметка стойността „b”. Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направим някои изчисления наум, получаваме числото 3! И това е вярно, защото 2 на степен 3 дава отговора като 8.

Видове логаритми

За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три отделни типа логаритмични изрази:

1. Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
2. Десетично a, където основата е 10.
3. Логаритъм на произволно число b при основа a>1.

Всяка от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редукция и последваща редукция до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и последователността от действия, когато ги решавате.

Правила и някои ограничения

В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са истината. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече четен корен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да се научите да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:

• Основата „а“ винаги трябва да е по-голяма от нула и да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби значението си, тъй като „1“ и „0“ във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
• ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че „c” също трябва да е по-голямо от нула.

Как се решават логаритми?

Например, дадена е задачата да намерите отговора на уравнението 10 x = 100. Това е много лесно, трябва да изберете степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 = 100.

Сега нека представим този израз в логаритмична форма. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се събират, за да се намери степента, на която е необходимо да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.

За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да се научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:

Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате технически ум и познаване на таблицата за умножение. Въпреки това, за по-големи стойности ще ви е необходима таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степен c, на която е повдигнато числото a. В пресечната точка клетките съдържат числовите стойности, които са отговорът (a c =b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!

Уравнения и неравенства

Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числови изрази могат да бъдат записани като логаритмично равенство. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм с основа 3 от 81, равен на четири (log 3 81 = 4). За отрицателни степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32, записваме го като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения по-долу, веднага след изучаването на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.

Даден е следният израз: log 2 (x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност “x” е под логаритмичния знак. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.

Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм 2 x = √9) предполагат една или повече конкретни числени стойности в отговора, докато при решаване на неравенство, както обхватът на допустимите стойностите​​и точките се определят чрез нарушаване на тази функция. Вследствие на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнение, а непрекъсната серия или набор от числа.

Основни теореми за логаритмите

При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става въпрос за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще разгледаме примери за уравнения; нека първо разгледаме всяко свойство по-подробно.

1. Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само когато a е по-голямо от 0, не е равно на единица, и B е по-голямо от нула.
2. Логаритъмът на произведението може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай задължителното условие е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази логаритмична формула с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, тогава a f1 = s 1, a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства на градуса ), и след това по дефиниция: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
3. Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.

Тази формула се нарича „свойство на степента на логаритъм“. Тя прилича на свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на естествени постулати. Нека да разгледаме доказателството.

Нека log a b = t, оказва се, че a t = b. Ако повдигнем двете части на степен m: a tn = b n ;

но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.

Примери за задачи и неравенства

Най-често срещаните видове задачи за логаритми са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички задачници, а също така са задължителна част от изпитите по математика. За прием в университет или преминаване приемни изпитив математиката трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.

За съжаление, няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или да доведе до общ вид. Можете да опростите дълги логаритмични изрази, ако използвате техните свойства правилно. Нека бързо да ги опознаем.

Когато решаваме логаритмични уравнения, трябва да определим какъв тип логаритъм имаме: примерен израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.

Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че те трябва да определят степента, на която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения естествени логаритмитрябва да приложите логаритмични идентичности или техните свойства. Нека разгледаме решението с примери логаритмични задачиразлични видове.

Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения

И така, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритми.

1. Свойството логаритъм на произведение може да се използва в задачи, където е необходимо разширяване голямо значениечисла b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъм, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Просто трябва да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.

Задачи от Единния държавен изпит

Логаритмите често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-сложните и обемни задачи). Изпитът изисква точни и завършени познания по темата “Натурални логаритми”.

Примерите и решенията на проблемите са взети от официални Опции за единен държавен изпит. Да видим как се решават такива задачи.

Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4, следователно 2x = 17; х = 8,5.

• Най-добре е да намалите всички логаритми до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
• Всички изрази под знака за логаритъм са посочени като положителни, следователно, когато показателят на израз, който е под знака за логаритъм и като негова основа е изваден като множител, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.