المعادلات اللوغاريتمية ذات المعامل، أمثلة على الحلول. حل المعادلات اللوغاريتمية - الدرس الأخير

مقدمة

تم اختراع اللوغاريتمات لتسريع العمليات الحسابية وتبسيطها. فكرة اللوغاريتم، أي فكرة التعبير عن الأعداد كقوى لها نفس الأساس، تعود إلى ميخائيل شتيفل. لكن في زمن ستيفل، لم تكن الرياضيات متطورة إلى هذا الحد ولم تتطور فكرة اللوغاريتم. تم اختراع اللوغاريتمات لاحقًا في وقت واحد وبشكل مستقل عن بعضها البعض من قبل العالم الاسكتلندي جون نابير (1550-1617) والسويسري جوبست بورغي (1552-1632)، وكان نابير أول من نشر هذا العمل في عام 1614. تحت عنوان "وصف جدول اللوغاريتمات المذهل" ، تم تقديم نظرية اللوغاريتمات لنابير في مجلد كامل إلى حد ما ، وتم إعطاء طريقة حساب اللوغاريتمات بطريقة أبسط ، وبالتالي كانت مزايا نابير في اختراع اللوغاريتمات أكبر من مزايا بورجي. عمل بورغي على الجداول في نفس الوقت الذي عمل فيه نابير، لكنه أبقاها سرية لفترة طويلة ولم ينشرها إلا في عام 1620. أتقن نابير فكرة اللوغاريتم حوالي عام 1594. على الرغم من نشر الجداول بعد 20 عامًا. في البداية أطلق على اللوغاريتمات الخاصة به اسم "الأرقام الاصطناعية"، وعندها فقط اقترح تسمية هذه "الأرقام الاصطناعية" في كلمة واحدة "لوغاريتم"، والتي تُترجم من اليونانية وتعني "أرقام مترابطة"، مأخوذة من أحدهما من تقدم حسابي، والآخر من متوالية حسابية. تقدم هندسي تم اختياره خصيصا له. نُشرت الجداول الأولى باللغة الروسية عام 1703. بمشاركة معلم رائع من القرن الثامن عشر. إل إف ماجنيتسكي. في تطوير نظرية اللوغاريتمات أهمية عظيمةكان لديه أعمال الأكاديمي سانت بطرسبرغ ليونارد أويلر. كان أول من اعتبر اللوغاريتمات معكوسًا للرفع إلى قوة، وقدم المصطلحين "قاعدة اللوغاريتم" و"الجزء العشري". قام بريجز بتجميع جداول اللوغاريتمات ذات الأساس 10. الجداول العشرية أكثر ملاءمة للاستخدام العملي، ونظريتهم هي أبسط من لوغاريتمات نابير. ولذلك، تسمى اللوغاريتمات العشرية أحيانًا لوغاريتمات بريجز. تم تقديم مصطلح "التوصيف" بواسطة بريجز.

في تلك الأوقات البعيدة، عندما بدأ الحكماء لأول مرة في التفكير في المساواة التي تحتوي على كميات غير معروفة، ربما لم تكن هناك عملات معدنية أو محافظ. ولكن كانت هناك أكوام، بالإضافة إلى الأواني والسلال، التي كانت مثالية لدور مخابئ التخزين التي يمكن أن تحتوي على عدد غير معروف من العناصر. في المسائل الرياضية القديمة لبلاد ما بين النهرين والهند والصين واليونان، كانت الكميات غير المعروفة تعبر عن عدد الطاووس في الحديقة، وعدد الثيران في القطيع، ومجمل الأشياء التي تؤخذ في الاعتبار عند تقسيم الممتلكات. الكتبة والمسؤولون والكهنة الذين بدأوا في المعرفة السرية، المدربين جيدًا في علم الحسابات، تعاملوا مع مثل هذه المهام بنجاح كبير.

وتشير المصادر التي وصلت إلينا إلى أن العلماء القدماء كان لديهم بعض التقنيات العامة لحل المسائل ذات الكميات غير المعروفة. ومع ذلك، لا تحتوي أي ورقة بردية أو لوح من الطين على وصف لهذه التقنيات. لم يزود المؤلفون حساباتهم الرقمية إلا في بعض الأحيان بتعليقات هزيلة مثل: "انظر!"، "افعل هذا!"، "لقد وجدت الخيار الصحيح". وبهذا المعنى، فإن الاستثناء هو "الحساب" لعالم الرياضيات اليوناني ديوفانتوس السكندري (القرن الثالث) - وهو عبارة عن مجموعة من المسائل لتكوين المعادلات مع عرض منهجي لحلولها.

ومع ذلك، فإن الدليل الأول لحل المشكلات الذي أصبح معروفا على نطاق واسع كان عمل عالم بغداد في القرن التاسع. محمد بن موسى الخوارزمي. وتحولت كلمة "الجبر" من الاسم العربي لهذه الرسالة - "كتاب الجابر والمقابلة" ("كتاب الترميم والمعارضة") - مع مرور الوقت إلى الكلمة المعروفة "الجبر"، و"الجبر". كان عمل الخوارزمي نفسه بمثابة نقطة البداية في تطور علم حل المعادلات.

المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات

1. المعادلات اللوغاريتمية

تسمى المعادلة التي تحتوي على مجهول تحت علامة اللوغاريتم أو عند قاعدتها معادلة لوغاريتمية.

أبسط معادلة لوغاريتمية هي معادلة النموذج

سجل أ س = ب . (1)

البيان 1. إذا أ > 0, أ≠ 1، المعادلة (1) لأي حقيقي بلقد القرار الوحيد س = أ ب .

مثال 1. حل المعادلات:

أ) السجل 2 س= 3، ب) سجل 3 س= -1، ج)

حل. باستخدام العبارة 1 نحصل على أ) س= 2 3 أو س= 8؛ ب) س= 3 -1 أو س= 1 / 3 ; ج)

أو س = 1.

دعونا نقدم الخصائص الأساسية للوغاريتم.

ص1. الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

أين أ > 0, أ≠ 1 و ب > 0.

ص2. لوغاريتم منتج العوامل الإيجابية يساوي مجموع لوغاريتمات هذه العوامل:

سجل أ ن 1 · ن 2 = السجل أ ن 1 + سجل أ ن 2 (أ > 0, أ ≠ 1, ن 1 > 0, ن 2 > 0).

تعليق. لو ن 1 · ن 2 > 0، ثم تأخذ الخاصية P2 الشكل

سجل أ ن 1 · ن 2 = السجل أ |ن 1 | + سجل أ |ن 2 | (أ > 0, أ ≠ 1, ن 1 · ن 2 > 0).

ص3. لوغاريتم حاصل قسمة رقمين موجبين يساوي الفرق بين لوغاريتمات المقسوم والمقسوم عليه

(أ > 0, أ ≠ 1, ن 1 > 0, ن 2 > 0).

تعليق. لو

، (وهو ما يعادل ن 1 ن 2 > 0) ثم تأخذ الخاصية P3 النموذج (أ > 0, أ ≠ 1, ن 1 ن 2 > 0).

ص4. لوغاريتم قوة الرقم الموجب يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم هذا الرقم:

سجل أ ن ك = كسجل أ ن (أ > 0, أ ≠ 1, ن > 0).

تعليق. لو ك- رقم زوجي ( ك = 2س)، الذي - التي

سجل أ ن 2س = 2سسجل أ |ن | (أ > 0, أ ≠ 1, ن ≠ 0).

ص5. صيغة للانتقال إلى قاعدة أخرى:

(أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1, ن > 0),

على وجه الخصوص إذا ن = ب، نحن نحصل

(أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1). (2)

باستخدام الخاصيتين P4 وP5، من السهل الحصول على الخصائص التالية

(أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (3) (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (4) (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج ≠ 0), (5)

وإذا كان في (5) ج- رقم زوجي ( ج = 2ن)، يحدث

(ب > 0, أ ≠ 0, |أ | ≠ 1). (6)

دعونا ندرج الخصائص الرئيسية للدالة اللوغاريتمية F (س) = سجل أ س :

1. مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة الأرقام الموجبة.

2. نطاق قيم الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

3. متى أ > 1 وظيفة لوغاريتميةزيادة حادة (0< س 1 < س 2log أ س 1 < logأ س 2) و0< أ < 1, - строго убывает (0 < س 1 < س 2log أ س 1 > سجل أ س 2).

4. سجل أ 1 = 0 وسجل أ أ = 1 (أ > 0, أ ≠ 1).

5. إذا أ> 1، فإن الدالة اللوغاريتمية تكون سالبة عندما س(0؛1) وإيجابية عند س(1;+∞)، وإذا كان 0< أ < 1, то логарифмическая функция положительна при س (0;1) وسالب عند س (1;+∞).

6. إذا أ> 1، فإن الدالة اللوغاريتمية تكون محدبة لأعلى، و if أ(0؛1) - محدب للأسفل.

تُستخدم العبارات التالية (انظر، على سبيل المثال) عند الحل المعادلات اللوغاريتمية.

الخصائص الرئيسية.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

أسباب متطابقة

سجل 6 4 + سجل 6 9.

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً.

أمثلة على حل اللوغاريتمات

ماذا لو كانت قاعدة أو وسيطة اللوغاريتم قوة؟ ومن ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من إشارة اللوغاريتم وفق القواعد التالية:

بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: a > 0, a ≠ 1, x >

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

الانتقال إلى أساس جديد

دع اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c بحيث يكون c > 0 و c ≠ 1، تكون المساواة صحيحة:

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

أنظر أيضا:

الخصائص الأساسية للوغاريتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

الأس هو 2.718281828…. لتذكر الأس، يمكنك دراسة القاعدة: الأس يساوي 2.7 ومرتين سنة ميلاد ليو نيكولايفيتش تولستوي.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

بمعرفة هذه القاعدة، ستعرف القيمة الدقيقة للأس وتاريخ ميلاد ليو تولستوي.

أمثلة على اللوغاريتمات

التعبيرات اللوغاريتمية

مثال 1.
أ). س=10أك^2 (أ>0,ج>0).

باستخدام الخصائص 3.5 نحسب

2.

3.

4. أين .

مثال 2. ابحث عن x if

مثال 3. دع قيمة اللوغاريتمات تعطى

احسب السجل (x) إذا

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فهناك قواعد تسمى هنا الخصائص الرئيسية.

أنت بالتأكيد بحاجة إلى معرفة هذه القواعد - فبدونها لا يمكن حل أي مشكلة خطيرة. مشكلة لوغاريتمية. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: logax وlogay. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

إذن، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب، والفرق يساوي لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي أسباب متطابقة. إذا كانت الأسباب مختلفة، فهذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى عندما لا يتم أخذ أجزائه الفردية في الاعتبار (راجع الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألقِ نظرة على الأمثلة وانظر:

بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل6 4 + سجل6 9 = سجل6 (4 9) = سجل6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log2 48 − log2 3.

القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل2 48 - سجل2 3 = سجل2 (48: 3) = سجل2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log3 135 − log3 5.

مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

كما ترون، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة"، والتي لا يتم حسابها بشكل منفصل. ولكن بعد التحويلات يتم الحصول على أرقام طبيعية تماما. كثيرون مبنيون على هذه الحقيقة أوراق الاختبار. نعم، يتم تقديم التعبيرات الشبيهة بالاختبار بكل جدية (أحيانًا بدون أي تغييرات تقريبًا) في امتحان الدولة الموحدة.

استخراج الأس من اللوغاريتم

ومن السهل أن نرى أن القاعدة الأخيرة تتبع القاعدة الأولى والثانية. ولكن من الأفضل أن تتذكرها على أي حال - ففي بعض الحالات سوف تقلل بشكل كبير من حجم العمليات الحسابية.

بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: a > 0, a ≠ 1, x > 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا العكس. ، أي. يمكنك إدخال الأرقام قبل تسجيل اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log7 496.

دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 24؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يتطلب بعض التوضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة نحن نعمل فقط مع القاسم.

صيغ اللوغاريتم. اللوغاريتمات أمثلة الحلول

لقد قدمنا ​​أساس ووسيطة اللوغاريتم الموجود هناك في شكل قوى وأخرجنا الأسس - لقد حصلنا على كسر "من ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log2 7. بما أن log2 7 ≠ 0، يمكننا تبسيط الكسر - سيبقى 2/4 في المقام. ووفقا للقواعد الحسابية، يمكن نقل الأربعة إلى البسط، وهذا ما تم. وكانت النتيجة الجواب: 2.

الانتقال إلى أساس جديد

عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. وماذا لو كانت الأسباب مختلفة؟ ماذا لو لم تكن صلاحيات محددة لنفس العدد؟

تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c بحيث يكون c > 0 و c ≠ 1، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص، إذا وضعنا c = x، نحصل على:

ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل قاعدة اللوغاريتم ووسيطه، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ولكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log5 16 log2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:

وبما أن حاصل الضرب لا يتغير عند إعادة ترتيب العوامل، فقد ضربنا أربعة في اثنين بهدوء، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log9 100 lg 3.

أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة، سوف تساعدنا الصيغ التالية:

في الحالة الأولى، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون الرقم n أي شيء على الإطلاق، لأنه مجرد قيمة لوغاريتمية.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يسمى : .

في الواقع، ماذا يحدث إذا تم رفع الرقم b إلى قوة بحيث يعطي الرقم b إلى هذه القوة الرقم a؟ هذا صحيح: النتيجة هي نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.

مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

لاحظ أن log25 64 = log5 8 - ببساطة أخذ المربع من قاعدة اللوغاريتم ووسيطه. مع الأخذ بعين الاعتبار قواعد ضرب القوى ذات الأساس نفسه، نحصل على:

إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يظهرون باستمرار في المشاكل، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. اللوغا = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس a لهذا الأساس نفسه يساوي واحدًا.
2. لوغا 1 = 0 هو. الأساس a يمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كان الوسيط يحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفر! لأن a0 = 1 هي نتيجة مباشرة للتعريف.

هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.

أنظر أيضا:

لوغاريتم b للأساس a يشير إلى التعبير. لحساب اللوغاريتم يعني العثور على القوة x () التي تتحقق عندها المساواة

الخصائص الأساسية للوغاريتم

من الضروري معرفة الخصائص المذكورة أعلاه، حيث يتم حل جميع المشاكل والأمثلة المتعلقة باللوغاريتمات تقريبًا على أساسها. يمكن استخلاص بقية الخصائص الغريبة من خلال التلاعب الرياضي بهذه الصيغ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

عند حساب صيغة مجموع وفرق اللوغاريتمات (3.4) تصادفك كثيرًا. الباقي معقد إلى حد ما، ولكن في عدد من المهام لا غنى عنها لتبسيط التعبيرات المعقدة وحساب قيمها.

الحالات الشائعة للوغاريتمات

بعض اللوغاريتمات الشائعة هي تلك التي يكون أساسها عشرة أو أسيًا أو اثنين.
عادةً ما يسمى اللوغاريتم للأساس العشري باللوغاريتم العشري ويُشار إليه ببساطة بـ lg(x).

ويتضح من التسجيل أن الأساسيات غير مكتوبة في التسجيل. على سبيل المثال

اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم قاعدته أس (يُشار إليه بالرمز ln(x)).

الأس هو 2.718281828…. لتذكر الأس، يمكنك دراسة القاعدة: الأس يساوي 2.7 ومرتين سنة ميلاد ليو نيكولايفيتش تولستوي. بمعرفة هذه القاعدة، ستعرف القيمة الدقيقة للأس وتاريخ ميلاد ليو تولستوي.

وهناك لوغاريتم مهم آخر للأساس اثنين يُشار إليه بالرمز

مشتقة لوغاريتم الدالة تساوي واحدًا مقسومًا على المتغير

يتم تحديد اللوغاريتم التكاملي أو العكسي من خلال العلاقة

المواد المقدمة كافية لك لحل فئة واسعة من المسائل المتعلقة باللوغاريتمات واللوغاريتمات. ولمساعدتك على فهم المادة، سأقدم فقط بعض الأمثلة الشائعة منها المنهج المدرسيوالجامعات.

أمثلة على اللوغاريتمات

التعبيرات اللوغاريتمية

مثال 1.
أ). س=10أك^2 (أ>0,ج>0).

باستخدام الخصائص 3.5 نحسب

2.
بواسطة خاصية اختلاف اللوغاريتمات لدينا

3.
باستخدام الخصائص 3.5 نجد

4. أين .

يتم تبسيط التعبير الذي يبدو معقدًا إلى شكل باستخدام عدد من القواعد

إيجاد القيم اللوغاريتمية

مثال 2. ابحث عن x if

حل. للحساب، نطبق على خصائص الحد الأخير 5 و13

نسجله ونحزن

بما أن الأساسات متساوية، فإننا نساوي التعبيرات

اللوغاريتمات. مستوى اول.

دع قيمة اللوغاريتمات تعطى

احسب السجل (x) إذا

الحل: لنأخذ لوغاريتم المتغير لنكتب اللوغاريتم من خلال مجموع حدوده

هذه مجرد بداية للتعرف على اللوغاريتمات وخصائصها. تدرب على العمليات الحسابية، وقم بإثراء مهاراتك العملية - ستحتاج قريبًا إلى المعرفة التي تكتسبها لحل المعادلات اللوغاريتمية. بعد دراسة الطرق الأساسية لحل هذه المعادلات، سنوسع معرفتك إلى موضوع آخر لا يقل أهمية - المتباينات اللوغاريتمية...

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فهناك قواعد تسمى هنا الخصائص الرئيسية.

تحتاج بالتأكيد إلى معرفة هذه القواعد - بدونها، لا يمكن حل أي مشكلة لوغاريتمية خطيرة. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: logax وlogay. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

إذن، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب، والفرق يساوي لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي أسباب متطابقة. إذا كانت الأسباب مختلفة، فهذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى عندما لا يتم أخذ أجزائه الفردية في الاعتبار (راجع الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألقِ نظرة على الأمثلة وانظر:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log6 4 + log6 9.

بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل6 4 + سجل6 9 = سجل6 (4 9) = سجل6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log2 48 − log2 3.

القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل2 48 - سجل2 3 = سجل2 (48: 3) = سجل2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log3 135 − log3 5.

مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

كما ترون، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة"، والتي لا يتم حسابها بشكل منفصل. ولكن بعد التحويلات يتم الحصول على أرقام طبيعية تماما. وتستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم، يتم تقديم التعبيرات الشبيهة بالاختبار بكل جدية (أحيانًا بدون أي تغييرات تقريبًا) في امتحان الدولة الموحدة.

استخراج الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت قاعدة أو وسيطة اللوغاريتم قوة؟ ومن ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من إشارة اللوغاريتم وفق القواعد التالية:

ومن السهل أن نرى أن القاعدة الأخيرة تتبع القاعدة الأولى والثانية. ولكن من الأفضل أن تتذكرها على أي حال - ففي بعض الحالات سوف تقلل بشكل كبير من حجم العمليات الحسابية.

بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: a > 0, a ≠ 1, x > 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا العكس. ، أي. يمكنك إدخال الأرقام قبل تسجيل اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه.

كيفية حل اللوغاريتمات

وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log7 496.

دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 24؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يتطلب بعض التوضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة نحن نعمل فقط مع القاسم. لقد قدمنا ​​أساس ووسيطة اللوغاريتم الموجود هناك في شكل قوى وأخرجنا الأسس - لقد حصلنا على كسر "من ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log2 7. بما أن log2 7 ≠ 0، يمكننا تبسيط الكسر - سيبقى 2/4 في المقام. ووفقا للقواعد الحسابية، يمكن نقل الأربعة إلى البسط، وهذا ما تم. وكانت النتيجة الجواب: 2.

الانتقال إلى أساس جديد

عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. وماذا لو كانت الأسباب مختلفة؟ ماذا لو لم تكن صلاحيات محددة لنفس العدد؟

تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c بحيث يكون c > 0 و c ≠ 1، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص، إذا وضعنا c = x، نحصل على:

ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل قاعدة اللوغاريتم ووسيطه، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ولكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log5 16 log2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:

وبما أن حاصل الضرب لا يتغير عند إعادة ترتيب العوامل، فقد ضربنا أربعة في اثنين بهدوء، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log9 100 lg 3.

أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة، سوف تساعدنا الصيغ التالية:

في الحالة الأولى، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون الرقم n أي شيء على الإطلاق، لأنه مجرد قيمة لوغاريتمية.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يسمى : .

في الواقع، ماذا يحدث إذا تم رفع الرقم b إلى قوة بحيث يعطي الرقم b إلى هذه القوة الرقم a؟ هذا صحيح: النتيجة هي نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.

مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

لاحظ أن log25 64 = log5 8 - ببساطة أخذ المربع من قاعدة اللوغاريتم ووسيطه. مع الأخذ بعين الاعتبار قواعد ضرب القوى ذات الأساس نفسه، نحصل على:

إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يظهرون باستمرار في المشاكل، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. اللوغا = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس a لهذا الأساس نفسه يساوي واحدًا.
2. لوغا 1 = 0 هو. الأساس a يمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كان الوسيط يحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفر! لأن a0 = 1 هي نتيجة مباشرة للتعريف.

هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.

التحضير للاختبار النهائي في الرياضيات يشمل قسم مهم- "اللوغاريتمات". يتم تضمين المهام من هذا الموضوع بالضرورة في امتحان الدولة الموحدة. تظهر تجربة السنوات الماضية أن المعادلات اللوغاريتمية تسببت في صعوبات للعديد من أطفال المدارس. لذلك، يجب على الطلاب ذوي مستويات التدريب المختلفة فهم كيفية العثور على الإجابة الصحيحة والتعامل معها بسرعة.

اجتياز اختبار الشهادة بنجاح باستخدام بوابة شكولكوفو التعليمية!

عند التحضير لامتحان الدولة الموحد، يحتاج خريجو المدارس الثانوية إلى مصدر موثوق يوفر المعلومات الأكثر اكتمالا ودقة لاتخاذ قرار ناجح مشاكل الاختبار. ومع ذلك، فإن الكتاب المدرسي ليس في متناول اليد دائمًا، وغالبًا ما يستغرق البحث عن القواعد والصيغ اللازمة على الإنترنت وقتًا.

تتيح لك بوابة شكولكوفو التعليمية الاستعداد لامتحان الدولة الموحدة في أي مكان وفي أي وقت. يقدم موقعنا الطريقة الأكثر ملاءمة لتكرار واستيعاب كمية كبيرة من المعلومات حول اللوغاريتمات، وكذلك مع المجهول الواحد والعديد من المجهولات. ابدأ بالمعادلات السهلة. إذا تعاملت معهم دون صعوبة، انتقل إلى أكثر تعقيدا. إذا كانت لديك مشكلة في حل متباينة معينة، يمكنك إضافتها إلى المفضلة حتى تتمكن من العودة إليها لاحقًا.

يمكنك العثور على الصيغ اللازمة لإكمال المهمة، وتكرار الحالات الخاصة وطرق حساب جذر المعادلة اللوغاريتمية القياسية من خلال النظر في قسم "المساعدة النظرية". قام معلمو شكولكوفو بجمع وتنظيم وتقديم جميع المواد اللازمة للنجاح في أبسط أشكالها وأكثرها مفهومة.

من أجل التعامل بسهولة مع المهام بأي تعقيد، يمكنك على بوابتنا التعرف على حل بعض المعادلات اللوغاريتمية القياسية. للقيام بذلك، انتقل إلى قسم "الكتالوجات". نقدم عدد كبير منأمثلة، بما في ذلك معادلات المستوى الشخصي لامتحان الدولة الموحد في الرياضيات.

يمكن للطلاب من المدارس في جميع أنحاء روسيا استخدام بوابتنا. لبدء الدروس، ما عليك سوى التسجيل في النظام والبدء في حل المعادلات. لتوحيد النتائج ننصحك بالعودة إلى موقع شكولكوفو يومياً.

تعليمات

اكتب التعبير اللوغاريتمي المعطى. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10، فسيتم اختصار تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس له، فاكتب التعبير: ln b - اللوغاريتم الطبيعي. ومن المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

عند إيجاد مجموع دالتين، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";

عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"*v +v"*u;

من أجل العثور على مشتق حاصل قسمة دالتين، من الضروري طرح ناتج مشتقة المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه، ناتج مشتقة المقسوم عليه مضروبًا في دالة المقسوم عليه، ثم القسمة كل هذا بواسطة دالة المقسوم عليها مربعة. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

إذا تم إعطاء دالة معقدة، فمن الضروري ضرب مشتق الدالة الداخلية ومشتق الدالة الخارجية. دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).

باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مشاكل تتعلق بحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى إيجاد قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) احسب قيمة الدالة نقطة معينةص"(1)=8*ه^0=8

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة

تعلم جدول المشتقات الأولية. وهذا سيوفر الوقت بشكل كبير.

مصادر:

• مشتق من ثابت

إذًا، ما الفرق بين المعادلة غير العقلانية والمعادلة العقلانية؟ إذا كان المتغير غير المعروف تحت العلامة الجذر التربيعي، فإن المعادلة تعتبر غير عقلانية.

تعليمات

الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه المعادلات هي طريقة بناء كلا الطرفين المعادلاتفي مربع. لكن. هذا أمر طبيعي، أول شيء عليك فعله هو التخلص من العلامة. هذه الطريقة ليست صعبة من الناحية الفنية، ولكنها قد تؤدي في بعض الأحيان إلى مشاكل. على سبيل المثال، المعادلة هي v(2x-5)=v(4x-7). بتربيع الطرفين تحصل على 2x-5=4x-7. إن حل مثل هذه المعادلة ليس بالأمر الصعب؛ س = 1. ولكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا؟ عوض بواحد في المعادلة بدلا من قيمة x. وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعبيرات لا معنى لها، أي. هذه القيمة غير صالحة للجذر التربيعي. لذلك، 1 هو جذر خارجي، وبالتالي فإن هذه المعادلة ليس لها جذور.

إذن، يتم حل المعادلة غير النسبية باستخدام طريقة تربيع طرفيها. وبعد حل المعادلة، من الضروري قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك، قم بالتعويض بالجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.

النظر في واحد آخر.
2x+vx-3=0
وبالطبع يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. تحرك المركبات المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي، إلى الجانب الأيمن ثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة العقلانية الناتجة والجذور. ولكن أيضًا واحدة أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرا جديدا. vx=y. وبناء على ذلك، سوف تحصل على معادلة بالصيغة 2y2+y-3=0. وهذا هو المعتاد معادلة من الدرجة الثانية. ابحث عن جذوره؛ y1=1 و y2=-3/2. التالي حل اثنين المعادلات vx=1; vx=-3/2. المعادلة الثانية ليس لها جذور، فمن الأولى نجد أن x=1. لا تنس التحقق من الجذور.

حل الهويات بسيط للغاية. للقيام بذلك، من الضروري إجراء تحولات متطابقة حتى يتم تحقيق الهدف المحدد. وهكذا، بمساعدة العمليات الحسابية البسيطة، سيتم حل المشكلة المطروحة.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم.

تعليمات

أبسط هذه التحويلات هي الضربات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق)، فرق المربعات، المجموع (الفرق)، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من و الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.

في الواقع، مربع مجموع حدين يساوي مربع الأول زائد ضعف ناتج الأول في الثاني وزائد مربع الثاني، أي (a+b)^2= (a+ ب)(أ+ب)=أ^2+آب +با+ب ^2=أ^2+2ab+ب^2.

بسّط كلا الأمرين

المبادئ العامة للحل

كرر من كتاب مدرسي عن التحليل الرياضي أو الرياضيات العليا ما هو التكامل المحدد. كما هو معروف الحل تكامل محددهناك دالة يعطي مشتقها التكامل. هذه الوظيفة تسمى المشتق العكسي. وعلى هذا المبدأ يتم بناء التكاملات الرئيسية.
حدد حسب نوع التكامل وأي من تكاملات الجدول مناسب في هذه الحالة. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحويلات لتبسيط التكامل.

طريقة الاستبدال المتغيرة

إذا كان التكامل عبارة عن دالة مثلثية وسيطتها متعددة الحدود، فحاول استخدام طريقة تغيير المتغيرات. من أجل القيام بذلك، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل بمتغير جديد. بناءً على العلاقة بين المتغيرات الجديدة والقديمة، حدد الحدود الجديدة للتكامل. من خلال التمييز بين هذا التعبير، ابحث عن التفاضل الجديد في . لذلك سوف تحصل النوع الجديدالتكامل السابق، قريب أو حتى مطابق لأي تكامل جدولي.

حل التكاملات من النوع الثاني

إذا كان التكامل تكاملًا من النوع الثاني، وهو شكل متجه للتكامل، فستحتاج إلى استخدام قواعد الانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي علاقة أوستروجرادسكي-غاوس. يسمح لنا هذا القانون بالانتقال من التدفق الدوار لوظيفة متجهة معينة إلى التكامل الثلاثي على مدى تباعد مجال متجه معين.

استبدال حدود التكامل

بعد إيجاد المشتقة العكسية، من الضروري التعويض بحدود التكامل. أولًا، عوض بقيمة الحد الأعلى في التعبير الخاص بالمشتق العكسي. سوف تحصل على بعض الرقم. بعد ذلك، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر تم الحصول عليه من الحد الأدنى إلى المشتق العكسي. إذا كانت إحدى حدود التكامل هي اللانهاية، فعند استبدالها في دالة المشتقة العكسية، فمن الضروري الذهاب إلى النهاية والعثور على ما يميل إليه التعبير.
إذا كان التكامل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فسيتعين عليك تمثيل حدود التكامل هندسيًا لفهم كيفية حساب التكامل. في الواقع، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحد من الحجم الجاري تكامله.

المعادلات اللوغاريتمية. نواصل النظر في المسائل الواردة في الجزء ب من امتحان الدولة الموحد في الرياضيات. لقد قمنا بالفعل بدراسة حلول بعض المعادلات في المقالات ""، "". في هذه المقالة سوف ننظر إلى المعادلات اللوغاريتمية. سأقول على الفور أنه لن تكون هناك تحويلات معقدة عند حل مثل هذه المعادلات في امتحان الدولة الموحدة. إنها بسيطة.

يكفي معرفة وفهم الهوية اللوغاريتمية الأساسية، لمعرفة خصائص اللوغاريتم. يرجى ملاحظة أنه بعد حلها، يجب عليك إجراء فحص - استبدال القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية وحسابها، في النهاية يجب أن تحصل على المساواة الصحيحة.

تعريف:

لوغاريتم الرقم للأساس b هو الأس،التي يجب رفع b إليها للحصول على a.

على سبيل المثال:

سجل 3 9 = 2، بما أن 3 2 = 9

خصائص اللوغاريتمات:

حالات خاصة من اللوغاريتمات:

دعونا نحل المشاكل. في المثال الأول سنقوم بإجراء فحص. في المستقبل، تحقق من ذلك بنفسك.

أوجد جذر المعادلة: log 3 (4–x) = 4

بما أن السجل b a = x b x = a، إذن

3 4 = 4 - س

س = 4 - 81

س = – 77

فحص:

سجل 3 (4–(–77)) = 4

سجل 3 81 = 4

3 4 = 81 صحيح.

الجواب: – 77

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 2 (4 - x) = 7

أوجد جذر سجل المعادلة 5(4 + س) = 2

نحن نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

بما أن السجل a b = x b x = a، إذن

5 2 = 4 + س

س = 5 2 - 4

س = 21

فحص:

سجل 5 (4 + 21) = 2

سجل 5 25 = 2

5 2 = 25 صحيح.

الجواب: 21

أوجد جذر المعادلة سجل 3 (14 - س) = سجل 3 5.

تحدث الخاصية التالية، معناها كما يلي: إذا كان لدينا على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة لوغاريتمات لها نفس الأساس، فيمكننا مساواة التعبيرات تحت علامات اللوغاريتمات.

14 - س = 5

س = 9

قم بالفحص.

الجواب: 9

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة سجل 5 (5 - س) = سجل 5 3.

أوجد جذر المعادلة: سجل 4 (س + 3) = سجل 4 (4س – 15).

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

س + 3 = 4س - 15

3س = 18

س=6

قم بالفحص.

الجواب: 6

أوجد جذر سجل المعادلة 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) –2 = 13 – س

8 2 = 13 - س

س = 13 - 64

س = – 51

قم بالفحص.

إضافة صغيرة - يتم استخدام العقار هنا

درجات ().

الجواب: – 51

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: لوغاريتم 1/7 (7 - س) = - 2

أوجد جذر المعادلة سجل 2 (4 – س) = 2 سجل 2 5.

دعونا نحول الجانب الأيمن. دعونا نستخدم الخاصية:

سجل أ ب م = م∙ سجل أ ب

سجل 2 (4 – س) = سجل 2 5 2

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

4 - س = 5 2

4 - س = 25

س = – 21

قم بالفحص.

الجواب :- 21

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

حل سجل المعادلة 5 (x 2 + 4x) = سجل 5 (x 2 + 11)

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

س 2 + 4س = س 2 + 11

4س = 11

س = 2.75

قم بالفحص.

الجواب: 2.75

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة سجل 5 (س 2 + س) = سجل 5 (س 2 + 10).

حل سجل المعادلة 2 (2 – س) = سجل 2 (2 – 3س) +1.

مطلوب مع الجانب الأيمنالمعادلات تحصل على تعبير من النموذج:

السجل 2 (......)

نحن نمثل 1 كقاعدة لوغاريتم 2:

1 = السجل 2 2

سجل ج (أب) = سجل ج أ + سجل ج ب

سجل 2 (2 - س) = سجل 2 (2 - 3س) + سجل 2 2

نحن نحصل:

سجل 2 (2 - س) = سجل 2 2 (2 - 3س)

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب، ثم

2 - س = 4 - 6س

5س = 2

س = 0.4

قم بالفحص.

الجواب: 0.4

تقرر لنفسك: بعد ذلك، عليك حل المعادلة التربيعية. بالمناسبة،

الجذور هي 6 و - 4.

جذر "-"4" ليس حلاً، لأن قاعدة اللوغاريتم يجب أن تكون أكبر من الصفر، ومع "– 4" يساوي " – 5 ". الحل هو جذر 6قم بالفحص.

الجواب: 6.

ر تناول الطعام بنفسك:

حل سجل المعادلة x –5 49 = 2. إذا كانت المعادلة لها أكثر من جذر واحد، أجب بالجذر الأصغر.

كما رأيت، لا توجد تحويلات معقدة مع المعادلات اللوغاريتميةلا. يكفي معرفة خصائص اللوغاريتم والقدرة على تطبيقها. في امتحان الدولة الموحدة المشاكل المتعلقة بالتحول التعبيرات اللوغاريتمية، يتم إجراء تحولات أكثر جدية ويتطلب الأمر مهارات حل أعمق. سننظر في مثل هذه الأمثلة، فلا تفوتها!أتمنى لك النجاح!!!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.