كيفية التخلص من اللوغاريتم في المعادلة. بعض طرق حل المعادلات اللوغاريتمية

النظر في بعض الأنواع المعادلات اللوغاريتمية، والتي لا يتم أخذها في الاعتبار غالبًا في دروس الرياضيات في المدرسة، ولكنها تستخدم على نطاق واسع في التجميع المهام التنافسية، بما في ذلك الامتحان.

1. حل المعادلات بطريقة اللوغاريتم

عند حل المعادلات التي تحتوي على متغير سواء في الأساس أو في الأس، يتم استخدام طريقة اللوغاريتم. بالإضافة إلى ذلك، إذا كان الأس يحتوي على لوغاريتم، فيجب أن يتم لوغاريتم طرفي المعادلة إلى أساس هذا اللوغاريتم.

مثال 1

حل المعادلة: x log 2 x + 2 = 8.

حل.

نحن نأخذ لوغاريتم الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة في الأساس 2. نحصل عليه

سجل 2 (س سجل 2 × + 2) = سجل 2 8،

(سجل 2 × + 2) سجل 2 × = 3.

دعونا سجل 2 س = ر.

ثم (ر + 2)ر = 3.

ر 2 + 2ر - 3 = 0.

د \u003d 16. ر 1 \u003d 1 ؛ ر 2 \u003d -3.

لذا سجل 2 x \u003d 1 و x 1 \u003d 2 أو سجل 2 x \u003d -3 و x 2 \u003d 1/8

الجواب: 1/8؛ 2.

2. المعادلات اللوغاريتمية المتجانسة.

مثال 2

حل سجل المعادلة 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

حل.

مجال المعادلة

(س 2 - 3س + 4 > 0،
(س + 5 > 0. → س > -5.

سجل 3 (س + 5) = 0 ل س = -4. وبالفحص نحدد ذلك قيمة معينة× لا هو جذر المعادلة الأصلية. لذلك يمكننا قسمة طرفي المعادلة على log 2 3 (x + 5).

نحصل على log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

دع log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. ثم ر 2 - 3 ر + 2 = 0. جذور هذه المعادلة هي 1؛ 2. وبالعودة إلى المتغير الأصلي، نحصل على مجموعة من المعادلتين

ولكن مع الأخذ في الاعتبار وجود اللوغاريتم، ينبغي النظر فقط في قيم (0؛ 9). وهذا يعني أن التعبير على الجانب الأيسر يأخذ أعلى قيمة 2 لـ x = 1. فكر الآن في الدالة y = 2 x-1 + 2 1-x. إذا أخذنا t \u003d 2 x -1، فسوف يأخذ الشكل y \u003d t + 1 / t، حيث t\u003e 0. في ظل هذه الظروف، يكون له نقطة حرجة واحدة t \u003d 1. هذه هي نقطة الحد الأدنى. Y vin \u003d 2. ويتم تحقيقه عند x \u003d 1.

أصبح من الواضح الآن أن الرسوم البيانية للوظائف قيد النظر يمكن أن تتقاطع مرة واحدة فقط عند النقطة (1؛ 2). اتضح أن x \u003d 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة التي يتم حلها.

الجواب: س = 1.

مثال 5. حل سجل المعادلة 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x

حل.

دعونا نحل هذه المعادلة لـ log 2 x. دعونا سجل 2 س = ر. ثم ر 2 + (س - 1) ر - 6 + 2س \u003d 0.

د \u003d (س - 1) 2 - 4 (2س - 6) \u003d (س - 5) 2. ر 1 \u003d -2؛ ر 2 \u003d 3 - س.

نحصل على سجل المعادلة 2 x \u003d -2 أو سجل 2 x \u003d 3 - x.

جذر المعادلة الأولى هو x 1 = 1/4.

سيتم العثور على جذر سجل المعادلة 2 x \u003d 3 - x عن طريق التحديد. هذا الرقم هو 2. هذا الجذر فريد من نوعه، حيث أن الدالة y \u003d log 2 x تتزايد عبر مجال التعريف بأكمله، والدالة y \u003d 3 - x آخذة في التناقص.

من خلال التحقق، من السهل التأكد من أن كلا الرقمين هما جذور المعادلة

الجواب: 1/4؛ 2.

الموقع، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة، مطلوب رابط للمصدر.

المعادلة اللوغاريتميةتسمى معادلة يكون فيها المجهول (x) والعبارات التي معه تحت الإشارة وظيفة لوغاريتمية. يفترض حل المعادلات اللوغاريتمية أنك على دراية بـ و .
كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية؟

أبسط معادلة هي تسجيل س = بحيث a و b عبارة عن أرقام، x غير معروف.
حل المعادلة اللوغاريتميةهو س = أ ب المقدمة: أ > 0، أ 1.

تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان x في مكان ما خارج اللوغاريتم، على سبيل المثال سجل 2 × \u003d x-2، فإن هذه المعادلة تسمى بالفعل مختلطة ويلزم اتباع نهج خاص لحلها.

الحالة المثالية هي عندما تصادف معادلة تكون فيها الأرقام فقط تحت علامة اللوغاريتم، على سبيل المثال x + 2 \u003d log 2 2. هنا يكفي معرفة خصائص اللوغاريتمات لحلها. لكن هذا النوع من الحظ لا يحدث كثيرًا، لذا استعد للأشياء الأكثر صعوبة.

ولكن أولا، دعونا نبدأ مع معادلات بسيطة. لحلها، فمن المستحسن أن يكون أكثر فكرة عامةحول اللوغاريتم.

حل المعادلات اللوغاريتمية البسيطة

وتشمل هذه المعادلات مثل log 2 x \u003d log 2 16. ويمكن أن نرى بالعين المجردة أنه بحذف علامة اللوغاريتم نحصل على x \u003d 16.

من أجل حل معادلة لوغاريتمية أكثر تعقيدًا، عادةً ما يؤدي ذلك إلى حل معادلة جبرية عادية أو إلى حل أبسط معادلة لوغاريتمية log a x = b. وفي أبسط المعادلات يحدث ذلك في حركة واحدة، ولهذا تسمى بالأبسط.

تعد الطريقة المذكورة أعلاه لإسقاط اللوغاريتمات إحدى الطرق الرئيسية لحل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. في الرياضيات، تسمى هذه العملية التقوية. هناك قواعد أو قيود معينة لهذا النوع من العمليات:

• اللوغاريتمات لها نفس القواعد العددية
• اللوغاريتمات في كلا جزأين المعادلة حرة، أي. دون أي معاملات وغيرها نوع مختلفالتعبيرات.

لنفترض أنه في سجل المعادلة 2 x \u003d 2log 2 (1- x) فإن التقوية غير قابلة للتطبيق - المعامل 2 على اليمين لا يسمح بذلك. في المثال التالي log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) أحد القيود غير راضٍ أيضًا - يوجد لوغاريتمان على اليسار. سيكون هذا أمرًا مختلفًا تمامًا!

بشكل عام، يمكنك إزالة اللوغاريتمات فقط إذا كانت المعادلة بالشكل:

سجل أ(...) = سجل أ(...)

بالتأكيد يمكن وضع أي تعبيرات بين قوسين، وهذا لا يؤثر مطلقًا على عملية التقوية. وبعد حذف اللوغاريتمات، ستبقى معادلة أبسط - خطية، تربيعية، أسية، وما إلى ذلك، والتي آمل أن تعرف كيفية حلها بالفعل.

ولنأخذ مثالاً آخر:

سجل 3 (2س-5) = سجل 3 س

بتطبيق التقوية نحصل على:

سجل 3 (2س-1) = 2

بناءً على تعريف اللوغاريتم، وهو أن اللوغاريتم هو الرقم الذي يجب رفع الأساس إليه للحصول على تعبير يقع تحت إشارة اللوغاريتم، أي. (4x-1) نحصل على:

مرة أخرى، حصلنا على إجابة لطيفة. لقد فعلنا ذلك دون إزالة اللوغاريتمات، ولكن التقوية قابلة للتطبيق هنا أيضًا، لأنه يمكن إنشاء اللوغاريتم من أي رقم، وهو بالضبط الرقم الذي نحتاجه. هذه الطريقة مفيدة جدًا في حل المعادلات اللوغاريتمية وخاصة المتباينات.

دعونا نحل سجل المعادلة اللوغاريتمية 3 (2x-1) = 2 باستخدام التقوية:

لنمثل الرقم 2 على شكل لوغاريتم، على سبيل المثال، سجل 3 9، لأن 3 2 = 9.

ثم log 3 (2x-1) = log 3 9 ومرة ​​أخرى نحصل على نفس المعادلة 2x-1 = 9. أتمنى أن يكون كل شيء واضحًا.

لذا بحثنا في كيفية حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية، والتي تعتبر في الواقع مهمة جدًا، لأنها حل المعادلات اللوغاريتمية، حتى أفظعها وأكثرها انحرافًا، في النهاية يتعلق الأمر دائمًا بحل أبسط المعادلات.

في كل ما فعلناه أعلاه، تجاهلنا واحدًا جدًا نقطة مهمةوالتي سيكون لها دور حاسم في المستقبل. والحقيقة هي أن حل أي معادلة لوغاريتمية، حتى أبسطها، يتكون من جزأين متكافئين. الأول هو حل المعادلة نفسها، والثاني هو العمل مع المنطقة القيم المسموح بها(ODZ). هذا فقط الجزء الأول الذي أتقنناه. في الأمثلة المذكورة أعلاه، لا يؤثر ODD على الإجابة بأي شكل من الأشكال، لذلك لم نأخذها في الاعتبار.

ولنأخذ مثالاً آخر:

سجل 3 (س 2 -3) = سجل 3 (2س)

ظاهريًا، لا تختلف هذه المعادلة عن المعادلة الابتدائية التي تم حلها بنجاح كبير. ولكنه ليس كذلك. لا، بالطبع سنحلها، ولكن على الأرجح سيكون الأمر مخطئًا، لأنه يوجد كمين صغير يقع فيه على الفور طلاب C والطلاب المتفوقون. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ذلك.

لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد جذر المعادلة أو مجموع الجذور، إذا كان هناك عدة:

سجل 3 (س 2 -3) = سجل 3 (2س)

نحن نطبق التقوية، هنا يجوز. ونتيجة لذلك، نحصل على المعتاد معادلة من الدرجة الثانية.

نجد جذور المعادلة:

هناك نوعان من الجذور.

الجواب: 3 و-1

للوهلة الأولى، كل شيء صحيح. لكن دعونا نتحقق من النتيجة ونعوض بها في المعادلة الأصلية.

لنبدأ بـ س 1 = 3:

سجل 3 6 = سجل 3 6

تم التحقق بنجاح، والآن قائمة الانتظار x 2 = -1:

سجل 3 (-2) = سجل 3 (-2)

نعم توقف! خارجيا، كل شيء على ما يرام. لحظة واحدة - لا توجد لوغاريتمات من الأرقام السالبة! وهذا يعني أن الجذر x \u003d -1 غير مناسب لحل معادلتنا. وبالتالي فإن الإجابة الصحيحة ستكون 3 وليس 2 كما كتبنا.

وهنا لعبت ODZ دورها القاتل الذي نسيناه.

اسمحوا لي أن أذكرك أنه ضمن مجال القيم المسموح بها، يتم قبول قيم x المسموح بها أو المنطقية للمثال الأصلي.

بدون ODZ، أي حل، حتى صحيح تماما، لأي معادلة يتحول إلى اليانصيب - 50/50.

كيف يمكن أن يتم القبض علينا أثناء حل مثال يبدو بدائيًا؟ وهنا في لحظة التقوية. لقد اختفت اللوغاريتمات، ومعها كل القيود.

ماذا تفعل في مثل هذه الحالة؟ هل ترفض حذف اللوغاريتمات؟ والتخلي نهائيا عن حل هذه المعادلة؟

لا، نحن فقط، مثل الأبطال الحقيقيين من أغنية مشهورة، سوف نتجول!

قبل الشروع في حل أي معادلة لوغاريتمية، سنكتب ODZ. ولكن بعد ذلك، يمكنك أن تفعل ما يحلو لك مع معادلتنا. بعد تلقي الإجابة، نتخلص ببساطة من تلك الجذور التي لم يتم تضمينها في ODZ لدينا، ونكتب النسخة النهائية.

الآن دعونا نقرر كيفية كتابة ODZ. للقيام بذلك، نقوم بفحص المعادلة الأصلية بعناية ونبحث عن الأماكن المشبوهة فيها، مثل القسمة على x، أو جذر الدرجة الزوجية، وما إلى ذلك. حتى نحل المعادلة، لا نعرف ما يساوي x، لكننا نعرف على وجه اليقين أن مثل هذه x، والتي، عند الاستبدال، ستعطي القسمة على 0 أو استخراج الجذر التربيعي لعدد سالب، من الواضح أنها غير مناسبة للإجابة. ولذلك، فإن مثل هذه العلامات غير مقبولة، في حين أن الباقي سيشكل ODZ.

لنستخدم نفس المعادلة مرة أخرى:

سجل 3 (س 2 -3) = سجل 3 (2س)

سجل 3 (س 2 -3) = سجل 3 (2س)

كما ترون، لا يوجد القسمة على 0، الجذور التربيعيةلا أيضًا، ولكن هناك تعبيرات تحتوي على x في نص اللوغاريتم. نتذكر على الفور أن التعبير داخل اللوغاريتم يجب أن يكون دائمًا > 0. يتم كتابة هذا الشرط في شكل ODZ:

أولئك. لم نحل أي شيء بعد، لكننا كتبنا بالفعل شرطًا إلزاميًا للتعبير اللوغاريتمي بأكمله. ويعني القوس المتعرج أنه يجب استيفاء هذه الشروط في نفس الوقت.

لقد تم كتابة ODZ، ولكن من الضروري أيضًا حل نظام عدم المساواة الناتج، وهو ما سنفعله. نحصل على الجواب x> v3. الآن نحن نعرف على وجه اليقين أي x لن يناسبنا. وبعد ذلك نبدأ في حل المعادلة اللوغاريتمية نفسها، وهو ما فعلناه أعلاه.

بعد تلقي الإجابات x 1 \u003d 3 و x 2 \u003d -1، من السهل أن نرى أن x1 \u003d 3 فقط هو المناسب لنا، ونكتبها كإجابة نهائية.

بالنسبة للمستقبل، من المهم جدًا أن نتذكر ما يلي: نحن نحل أي معادلة لوغاريتمية على مرحلتين. الأول - نحل المعادلة نفسها، والثاني - نحل حالة ODZ. يتم تنفيذ كلتا المرحلتين بشكل مستقل عن بعضهما البعض ولا تتم مقارنتهما إلا عند كتابة الإجابة، أي. نتخلص من كل ما هو غير ضروري ونكتب الإجابة الصحيحة.

لتوحيد المادة، نوصي بشدة بمشاهدة الفيديو:

في الفيديو أمثلة أخرى لحل السجل. المعادلات والعمل على طريقة الفواصل الزمنية في الممارسة العملية.

على هذا الموضوع، كيفية حل المعادلات اللوغاريتميةحتى كل شيء. إذا كان هناك شيء وفقا لقرار السجل. المعادلات ظلت غير واضحة أو غير مفهومة، اكتب أسئلتك في التعليقات.

ملاحظة: أكاديمية التربية الاجتماعية (KSUE) جاهزة لقبول الطلاب الجدد.

لقد بدأت مع هذا الفيديو المدى الطويلدروس حول المعادلات اللوغاريتمية. الآن لديك ثلاثة أمثلة في آن واحد، والتي على أساسها سنتعلم حل أبسط المهام، والتي تسمى هكذا - الكائنات الاوليه.

سجل 0.5 (3س - 1) = -3

إل جي (س + 3) = 3 + 2 إل جي 5

دعني أذكرك أن أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:

سجل و(س) = ب

من المهم أن المتغير x موجود فقط داخل الوسيطة، أي فقط في الدالة f(x). والرقمان a وb هما مجرد أرقام، وليسا بأي حال من الأحوال دوال تحتوي على المتغير x.

طرق الحل الأساسية

هناك طرق عديدة لحل مثل هذه الهياكل. على سبيل المثال، يقترح معظم المعلمين في المدرسة هذه الطريقة: التعبير فورًا عن الدالة f ( x ) باستخدام الصيغة F( س) = أ ب . وهذا هو، عند تلبية أبسط البناء، يمكنك المتابعة على الفور إلى الحل دون إجراءات وإنشاءات إضافية.

نعم بالطبع سيتبين أن القرار صحيح. ومع ذلك، فإن المشكلة في هذه الصيغة هي أن معظم الطلاب لا تفهمومن أين يأتي ولماذا بالضبط نرفع الحرف أ إلى الحرف ب.

ونتيجة لذلك، كثيرا ما ألاحظ أخطاء مسيئة للغاية، عندما، على سبيل المثال، يتم تبادل هذه الحروف. هذه الصيغةتحتاج إما إلى الفهم أو الحشو، والطريقة الثانية تؤدي إلى أخطاء في أكثر اللحظات غير المناسبة والأكثر أهمية: في الامتحانات والاختبارات وما إلى ذلك.

ولهذا السبب أقترح على جميع طلابي التخلي عن الصيغة المدرسية القياسية واستخدام الطريقة الثانية لحل المعادلات اللوغاريتمية، والتي، كما خمنت على الأرجح من الاسم، تسمى الشكل الكنسي.

فكرة الشكل القانوني بسيطة. دعونا نلقي نظرة على مشكلتنا مرة أخرى: على اليسار لدينا سجل a، في حين أن الحرف a يعني الرقم بالضبط، ولا يحتوي بأي حال من الأحوال على الدالة المتغير x. ولذلك فإن هذه الرسالة تخضع لجميع القيود التي تفرض على أساس اللوغاريتم. يسمى:

1 ≠ أ > 0

ومن ناحية أخرى، من نفس المعادلة، نلاحظ أن اللوغاريتم يجب أن يكون كذلك يساوي العددب، ولا توجد قيود على هذه الرسالة، لأنها يمكن أن تأخذ أي قيمة - إيجابية وسلبية. كل هذا يتوقف على القيم التي تأخذها الدالة f(x).

وهنا نتذكر قاعدتنا الرائعة التي تنص على أنه يمكن تمثيل أي رقم b على شكل لوغاريتم في الأساس a من a إلى قوة b:

ب = سجل أ ب

كيف تتذكر هذه الصيغة؟ نعم، بسيط جدا. لنكتب البناء التالي:

ب = ب 1 = ب سجل أ

بالطبع، في هذه الحالة، تنشأ جميع القيود التي كتبناها في البداية. والآن دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للوغاريتم، وندخل العامل b كقوة a. نحن نحصل:

ب = ب 1 = ب سجل أ = سجل أ أ ب

ونتيجة لذلك، سيتم إعادة كتابة المعادلة الأصلية في الشكل التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب → و (س) = أ ب

هذا كل شئ. لم تعد الوظيفة الجديدة تحتوي على لوغاريتم ويتم حلها باستخدام التقنيات الجبرية القياسية.

بالطبع، سوف يعترض شخص ما الآن: لماذا كان من الضروري التوصل إلى نوع من الصيغة الكنسية على الإطلاق، لماذا نقوم بخطوتين إضافيتين غير ضروريتين، إذا كان من الممكن الانتقال على الفور من البناء الأصلي إلى الصيغة النهائية؟ نعم، فقط لأن معظم الطلاب لا يفهمون من أين تأتي هذه الصيغة، ونتيجة لذلك، يرتكبون أخطاء بانتظام عند تطبيقها.

لكن مثل هذا التسلسل من الإجراءات، الذي يتكون من ثلاث خطوات، يسمح لك بحل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية، حتى لو كنت لا تفهم من أين تأتي هذه الصيغة النهائية. بالمناسبة، هذا الإدخال يسمى الصيغة الأساسية:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

تكمن ملاءمة الشكل القانوني أيضًا في حقيقة أنه يمكن استخدامه لحل فئة واسعة جدًا من المعادلات اللوغاريتمية، وليس فقط أبسط المعادلات التي نفكر فيها اليوم.

أمثلة الحل

والآن دعونا نفكر أمثلة حقيقية. لذلك دعونا نقرر:

سجل 0.5 (3س - 1) = -3

دعنا نعيد كتابتها هكذا:

سجل 0.5 (3س − 1) = سجل 0.5 0.5 −3

العديد من الطلاب في عجلة من أمرهم ويحاولون رفع الرقم 0.5 على الفور إلى القوة التي أتت إلينا من المشكلة الأصلية. وبالفعل، عندما تكون مدربًا جيدًا على حل مثل هذه المشكلات، يمكنك تنفيذ هذه الخطوة على الفور.

ومع ذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة هذا الموضوع، فمن الأفضل عدم التسرع في أي مكان حتى لا ترتكب أخطاء هجومية. لذلك لدينا الشكل القانوني. لدينا:

3س - 1 = 0.5 -3

لم تعد هذه معادلة لوغاريتمية، بل معادلة خطية بالنسبة للمتغير x. لحلها، دعونا نتعامل أولًا مع الرقم 0.5 أس −3. لاحظ أن 0.5 هو 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

الجميع الكسور العشريةتحويل إلى عادي عند حل معادلة لوغاريتمية.

نعيد الكتابة ونحصل على:

3س - 1 = 8
3س=9
س = 3

كل ما حصلنا على الجواب. تم حل المهمة الأولى.

المهمة الثانية

لننتقل إلى المهمة الثانية:

كما ترون، هذه المعادلة لم تعد أبسط. فقط لأن الفرق على اليسار، وليس لوغاريتم واحد في قاعدة واحدة.

لذلك، تحتاج إلى التخلص بطريقة أو بأخرى من هذا الاختلاف. في هذه الحالة، كل شيء بسيط جدا. دعونا نلقي نظرة فاحصة على القواعد: على اليسار يوجد الرقم الموجود تحت الجذر:

توصية عامة: في جميع المعادلات اللوغاريتمية، حاول التخلص من الجذور، أي المدخلات ذات الجذور، وانتقل إلى وظائف الطاقة، وذلك ببساطة لأن أسس هذه القوى يتم إخراجها بسهولة من علامة اللوغاريتم، وفي النهاية، فإن مثل هذا الترميز يبسط العمليات الحسابية ويسرعها إلى حد كبير. لنكتبها هكذا:

الآن نتذكر خاصية اللوغاريتم الرائعة: من الوسيطة، وكذلك من القاعدة، يمكنك الحصول على درجات. وفي حالة القواعد يحدث ما يلي:

سجل أ ك ب = 1/ك سجل ب

بمعنى آخر، يتم تقديم الرقم الذي كان يقف في درجة القاعدة للأمام وفي نفس الوقت ينقلب، أي يصبح رقم عكسي. في حالتنا كانت هناك درجة القاعدة بمؤشر 1/2. لذلك يمكننا إخراجها على أنها 2/1. نحن نحصل:

5 2 سجل 5 x − سجل 5 x = 18
10 سجل 5 س - سجل 5 س = 18

يرجى ملاحظة: لا ينبغي بأي حال من الأحوال التخلص من اللوغاريتمات في هذه الخطوة. فكر مرة أخرى في الرياضيات للصف 4-5 وترتيب العمليات: يتم إجراء الضرب أولاً، وبعد ذلك فقط يتم إجراء الجمع والطرح. في هذه الحالة نطرح أحد العناصر نفسها من 10 عناصر:

9 سجل 5 × = 18
سجل 5 × = 2

والآن تبدو المعادلة كما ينبغي. هذا أبسط تصميم، ونحلها بالشكل القانوني:

سجل 5 س = سجل 5 5 2
س = 5 2
س = 25

هذا كل شئ. تم حل المشكلة الثانية.

المثال الثالث

لننتقل إلى المهمة الثالثة:

إل جي (س + 3) = 3 + 2 إل جي 5

تذكر الصيغة التالية:

سجل ب = سجل 10 ب

إذا كنت مرتبكًا لسبب ما عند الكتابة lg b ، فعند إجراء جميع الحسابات، يمكنك ببساطة كتابة log 10 b . يمكنك التعامل مع اللوغاريتمات العشرية بنفس الطريقة المتبعة مع اللوغاريتمات العشرية الأخرى: قم بإزالة القوى، وإضافة، وتمثيل أي رقم كـ lg 10.

هذه هي الخصائص التي سنستخدمها الآن لحل المشكلة، لأنها ليست أبسط ما كتبناه في بداية درسنا.

في البداية، لاحظ أنه يمكن إدراج العامل 2 قبل lg 5 ويصبح قوة للأساس 5. بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تمثيل الحد الحر 3 على هيئة لوغاريتم - وهذا من السهل جدًا ملاحظته من خلال تدويننا.

احكم بنفسك: يمكن تمثيل أي رقم على أنه سجل للأساس 10:

3 = سجل 10 10 3 = سجل 10 3

لنعد كتابة المشكلة الأصلية مع مراعاة التغييرات المستلمة:

أل جي (س - 3) = إل جي 1000 + إل جي 25
إل جي (س - 3) = إل جي 1000 25
إل جي (س - 3) = إل جي 25000

أمامنا مرة أخرى الشكل القانوني، وقد حصلنا عليه متجاوزين مرحلة التحولات، أي أن أبسط معادلة لوغاريتمية لم تظهر معنا في أي مكان.

هذا ما كنت أتحدث عنه في بداية الدرس. يسمح النموذج القانوني بحل فئة أوسع من المشكلات مقارنة بالصيغة المدرسية القياسية التي يقدمها معظم معلمي المدارس.

هذا كل شيء، نتخلص من علامة اللوغاريتم العشري، ونحصل على بناء خطي بسيط:

س + 3 = 25000
س = 24997

الجميع! تم حل المشكلة.

ملاحظة حول النطاق

وهنا أود أن أبدي ملاحظة هامة حول مجال التعريف. بالتأكيد الآن هناك طلاب ومعلمون سيقولون: "عندما نحل تعبيرات باللوغاريتمات، من الضروري أن نتذكر أن الوسيطة f (x) يجب أن تكون أكبر من الصفر!" وفي هذا الصدد، يطرح سؤال منطقي: لماذا لم نطلب في أي من المشاكل المدروسة تلبية هذا التفاوت؟

لا تقلق. لن تظهر أي جذور إضافية في هذه الحالات. وهذه خدعة رائعة أخرى تسمح لك بتسريع الحل. اعلم فقط أنه إذا كان المتغير x موجودًا في المشكلة في مكان واحد فقط (أو بشكل أكثر دقة، في الوسيطة الوحيدة للوغاريثم الوحيد)، ولم يحدث المتغير x في أي مكان آخر في حالتنا، فاكتب المجال لا حاجةلأنه سيتم تشغيله تلقائيا.

احكم بنفسك: في المعادلة الأولى، حصلنا على 3س - 1، أي أن الوسيطة يجب أن تساوي 8. وهذا يعني تلقائيًا أن 3س - 1 سيكون أكبر من الصفر.

وبنفس النجاح يمكننا أن نكتب أنه في الحالة الثانية يجب أن تكون x مساوية لـ 5 2، أي أنها بالتأكيد أكبر من الصفر. وفي الحالة الثالثة، حيث x + 3 = 25000، أي مرة أخرى، من الواضح أنها أكبر من الصفر. بمعنى آخر، يكون النطاق تلقائيًا، ولكن فقط إذا حدثت x في وسيطة لوغاريتم واحد فقط.

هذا كل ما تحتاج إلى معرفته لحل المشاكل البسيطة. ستسمح لك هذه القاعدة وحدها، إلى جانب قواعد التحويل، بحل فئة واسعة جدًا من المشكلات.

ولكن دعونا نكون صادقين: من أجل فهم هذه التقنية أخيرا، من أجل معرفة كيفية تطبيق الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لا يكفي مجرد مشاهدة درس فيديو واحد. لذا قم بتنزيل الخيارات الآن لـ قرار مستقل، المرفقة بهذا الفيديو التعليمي وابدأ في حل واحد على الأقل من هذين العملين المستقلين.

وسوف يستغرق منك بضع دقائق فقط. لكن تأثير هذا التدريب سيكون أعلى بكثير مقارنة بما إذا كنت قد شاهدت هذا الفيديو التعليمي للتو.

آمل أن يساعدك هذا الدرس على فهم المعادلات اللوغاريتمية. قم بتطبيق النموذج الأساسي، وتبسيط التعبيرات باستخدام قواعد العمل مع اللوغاريتمات - ولن تخاف من أي مهام. وهذا كل ما لدي لهذا اليوم.

النظر في النطاق

الآن دعونا نتحدث عن مجال الدالة اللوغاريتمية، وكذلك كيفية تأثير ذلك على حل المعادلات اللوغاريتمية. النظر في بناء النموذج

سجل و(س) = ب

يسمى هذا التعبير بالأبسط - فهو يحتوي على وظيفة واحدة فقط، والأرقام a و b مجرد أرقام، وليست بأي حال من الأحوال دالة تعتمد على المتغير x. يتم حلها بكل بساطة. تحتاج فقط إلى استخدام الصيغة:

ب = سجل أ ب

هذه الصيغة هي إحدى الخصائص الرئيسية للوغاريتم، وعند التعويض في التعبير الأصلي، نحصل على ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

و(خ) = أ ب

هذه بالفعل صيغة مألوفة من الكتب المدرسية. من المحتمل أن يكون لدى العديد من الطلاب سؤال: نظرًا لأن الدالة f ( x ) في التعبير الأصلي موجودة تحت علامة السجل، فقد تم فرض القيود التالية عليها:

و(خ) > 0

هذا التقييد صالح لأن لوغاريتم الأرقام السالبة غير موجود. لذلك، ربما بسبب هذا القيد، يجب عليك إدخال التحقق من الإجابات؟ ربما يحتاجون إلى استبداله في المصدر؟

لا، في أبسط المعادلات اللوغاريتمية، لا يلزم إجراء فحص إضافي. وهذا هو السبب. ألق نظرة على الصيغة النهائية لدينا:

و(خ) = أ ب

الحقيقة هي أن الرقم a أكبر من 0 على أي حال - وهذا المطلب يفرضه اللوغاريتم أيضًا. الرقم أ هو الأساس في هذه الحالة، لا يتم فرض أي قيود على الرقم ب. لكن هذا لا يهم، لأنه بغض النظر عن الدرجة التي نرفع بها عددًا موجبًا، فإننا سنحصل على عدد موجب عند المخرجات. وبالتالي، يتم استيفاء الشرط f (x) > 0 تلقائيًا.

ما يستحق التحقق حقًا هو نطاق الوظيفة الموجودة أسفل علامة السجل. يمكن أن تكون هناك تصميمات معقدة للغاية، وفي عملية حلها، يجب عليك بالتأكيد متابعتها. دعونا نلقي نظرة.

المهمة الأولى:

الخطوة الأولى: تحويل الكسر الموجود على اليمين. نحن نحصل:

نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على المعادلة غير المنطقية المعتادة:

من الجذور التي تم الحصول عليها، فقط الأول يناسبنا، لأن الجذر الثاني أقل من الصفر. الإجابة الوحيدة ستكون الرقم 9. خلاص تم حل المشكلة. ليست هناك حاجة إلى عمليات تحقق إضافية من أن التعبير تحت علامة اللوغاريتم أكبر من 0، لأنه ليس أكبر من 0 فقط، ولكن وفقًا لشرط المعادلة فهو يساوي 2. لذلك، يتم تطبيق المطلب "أكبر من الصفر" تلقائيًا راضي.

لننتقل إلى المهمة الثانية:

كل شيء هو نفسه هنا. نعيد كتابة البناء ونستبدل الثلاثي:

نتخلص من علامات اللوغاريتم ونحصل على معادلة غير منطقية:

نقوم بتربيع الجزأين مع مراعاة القيود فنحصل على:

4 - 6س - س 2 = (س - 4) 2

4 - 6س - س 2 = س 2 + 8س + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

س2 + 7س + 6 = 0

نحل المعادلة الناتجة من خلال المميز:

د \u003d 49 - 24 \u003d 25

× 1 = -1

س 2 \u003d -6

لكن x = −6 لا يناسبنا، لأننا إذا عوضنا بهذا الرقم في متباينتنا، نحصل على:

−6 + 4 = −2 < 0

في حالتنا، يجب أن يكون أكبر من 0، أو في الحالات القصوى، يساوي. لكن x = −1 يناسبنا:

−1 + 4 = 3 > 0

الجواب الوحيد في حالتنا هو x = −1. هذا كل الحل. دعنا نعود إلى بداية حساباتنا.

الاستنتاج الرئيسي من هذا الدرس هو أنه ليس من الضروري التحقق من حدود الدالة في أبسط المعادلات اللوغاريتمية. لأنه في عملية حل جميع القيود يتم تنفيذها تلقائيا.

ومع ذلك، هذا لا يعني بأي حال من الأحوال أنه يمكنك نسيان التحقق تمامًا. في عملية العمل على معادلة لوغاريتمية، قد تتحول إلى غير عقلانية، والتي سيكون لها حدودها ومتطلباتها الخاصة بالجانب الأيمن، والتي رأيناها اليوم في مثالين مختلفين.

لا تتردد في حل مثل هذه المشاكل وكن حذرًا بشكل خاص إذا كان هناك جذر في الحجة.

المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة

نواصل دراسة المعادلات اللوغاريتمية ونحلل حيلتين أكثر إثارة للاهتمام والتي من المألوف حلها أكثر الهياكل المعقدة. لكن دعونا نتذكر أولاً كيف يتم حل أبسط المهام:

سجل و(س) = ب

في هذا التدوين، a و b مجرد أرقام، وفي الدالة f (x) يجب أن يكون المتغير x موجودًا، وهناك فقط، أي x يجب أن يكون فقط في الوسيطة. سنقوم بتحويل هذه المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصورة الأساسية. ولهذا نلاحظ ذلك

ب = سجل أ ب

وa b مجرد حجة. دعونا نعيد كتابة هذا التعبير على النحو التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

هذا هو بالضبط ما نحاول تحقيقه، بحيث يوجد على اليسار واليمين لوغاريتم للأساس أ. في هذه الحالة، يمكننا، مجازيًا، شطب علامات السجل، ومن وجهة نظر الرياضيات، يمكننا القول أننا ببساطة نساوي الحجج:

و(خ) = أ ب

ونتيجة لذلك، نحصل على تعبير جديد يمكن حله بشكل أسهل بكثير. دعونا نطبق هذه القاعدة على مهامنا اليوم.

إذن التصميم الأول :

أولًا، ألاحظ أن هناك كسرًا على اليمين، مقامه هو اللوغاريتم. عندما ترى تعبيرًا مثل هذا، فمن المفيد أن تتذكر خاصية اللوغاريتمات الرائعة:

وهذا يعني ترجمته إلى اللغة الروسية أنه يمكن تمثيل أي لوغاريتم كحاصل لوغاريتمين مع أي أساس c. بالطبع 0< с ≠ 1.

إذن: هذه الصيغة لها حالة خاصة رائعة عندما يكون المتغير c مساويًا للمتغير ب. في هذه الحالة نحصل على بناء النموذج:

وهذا هو البناء الذي نلاحظه من الإشارة الموجودة على اليمين في المعادلة. لنستبدل هذا البناء بـ log a b، نحصل على:

بمعنى آخر، بالمقارنة مع المهمة الأصلية، قمنا بتبديل الوسيطة وأساس اللوغاريتم. وبدلًا من ذلك، كان علينا أن نقلب الكسر.

ونذكر أنه يمكن إخراج أي درجة من القاعدة وفقا للقاعدة التالية:

بمعنى آخر، يتم إخراج المعامل k، وهو درجة القاعدة، ككسر مقلوب. لنأخذها ككسر مقلوب:

لا يمكن ترك العامل الكسري في المقدمة، لأنه في هذه الحالة لن نتمكن من تمثيل هذا الإدخال كشكل قانوني (بعد كل شيء، في الشكل القانوني لا يوجد مضاعف إضافيلا يستحق أو لا يستحق ذلك). لذلك، دعونا نضع الكسر 1/4 في الوسيطة كقوة:

الآن نحن نساوي بين الحجج التي أسسها متماثلة (ونحن بالفعل لدينا نفس الأساسات)، ونكتب:

س + 5 = 1

س = −4

هذا كل شئ. لقد حصلنا على إجابة المعادلة اللوغاريتمية الأولى. انتبه: في المشكلة الأصلية، يظهر المتغير x في سجل واحد فقط، وهو موجود في الوسيط الخاص به. لذلك، ليست هناك حاجة للتحقق من المجال، ورقمنا x = −4 هو الجواب بالفعل.

والآن ننتقل إلى التعبير الثاني:

سجل 56 = سجل 2 سجل 2 7 − 3 سجل (س + 4)

هنا، بالإضافة إلى اللوغاريتمات المعتادة، سيتعين علينا العمل مع lg f (x). كيفية حل مثل هذه المعادلة؟ قد يبدو للطالب غير المستعد أن هذا نوع من القصدير، ولكن في الواقع يتم حل كل شيء بشكل أساسي.

انظر عن كثب إلى المصطلح lg 2 log 2 7. ماذا يمكننا أن نقول عنه؟ القواعد والوسائط الخاصة بـ log وlg هي نفسها، وهذا من شأنه أن يعطي بعض الأدلة. دعونا نتذكر مرة أخرى كيف يتم إخراج الدرجات من تحت علامة اللوغاريتم:

سجل أ ب ن = نسجل أ ب

بمعنى آخر، ما كانت قوة الرقم b في الوسيطة يصبح عاملاً أمام السجل نفسه. دعونا نطبق هذه الصيغة على التعبير lg 2 log 2 7. لا تخف من lg 2 - هذا هو التعبير الأكثر شيوعًا. يمكنك إعادة كتابتها على النحو التالي:

بالنسبة له، جميع القواعد التي تنطبق على أي لوغاريتم آخر صالحة. على وجه الخصوص، يمكن إدخال العامل الأمامي في قوة الحجة. دعنا نكتب:

في كثير من الأحيان، يشير الطلاب إلى الفراغ ولا يرون هذا الإجراء، لأنه ليس من الجيد إدخال سجل واحد تحت علامة آخر. في الواقع، لا يوجد شيء إجرامي في هذا. علاوة على ذلك، حصلنا على صيغة يسهل حسابها إذا كنت تتذكر قاعدة مهمة:

يمكن اعتبار هذه الصيغة كتعريف وكأحد خصائصها. على أية حال، إذا قمت بتحويل معادلة لوغاريتمية، فيجب أن تعرف هذه الصيغة بنفس طريقة تمثيل أي رقم في شكل سجل.

نعود إلى مهمتنا. نعيد كتابتها مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن الحد الأول على يمين علامة التساوي سيكون ببساطة مساويًا لـ lg 7. لدينا:

إل جي 56 = إل جي 7 - 3 إل جي (س + 4)

لنحرك lg 7 إلى اليسار، فنحصل على:

ال جي 56 - ال جي 7 = -3 ال جي (س + 4)

نطرح التعبيرات الموجودة على اليسار لأنها لها نفس الأساس:

إل جي (56/7) = -3إل جي (س + 4)

الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على المعادلة التي لدينا. إنه الشكل القانوني عمليا، ولكن هناك عامل −3 على اليمين. دعنا نضعها في وسيطة lg الصحيحة:

إل جي 8 = إل جي (س + 4) −3

أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لذلك نقوم بشطب علامات lg ومساواة الحجج:

(س + 4) -3 = 8

س + 4 = 0.5

هذا كل شئ! لقد حللنا المعادلة اللوغاريتمية الثانية. في هذه الحالة، لا يلزم إجراء فحوصات إضافية، لأنه في المشكلة الأصلية كانت x موجودة في وسيطة واحدة فقط.

اسمحوا لي أن ألخص النقاط الرئيسية في هذا الدرس.

الصيغة الرئيسية التي تتم دراستها في جميع الدروس المخصصة لحل المعادلات اللوغاريتمية في هذه الصفحة هي الصيغة القانونية. ولا تنزعج من حقيقة أن معظم الكتب المدرسية تعلمك كيفية حل مثل هذه المشكلات بطريقة مختلفة. تعمل هذه الأداة بكفاءة عالية وتتيح لك حل فئة أكبر بكثير من المشكلات مقارنة بأبسط المشكلات التي درسناها في بداية درسنا.

بالإضافة إلى ذلك، لحل المعادلات اللوغاريتمية، سيكون من المفيد معرفة الخصائص الأساسية. يسمى:

1. معادلة الانتقال إلى قاعدة واحدة وحالة خاصة عندما نقوم بقلب السجل (كان هذا مفيدًا جدًا لنا في المهمة الأولى)؛
2. صيغة جلب وإخراج الصلاحيات من تحت إشارة اللوغاريتم. هنا يتعثر العديد من الطلاب ولا يرون أن الطاقة التي تم إخراجها وإحضارها يمكن أن تحتوي في حد ذاتها على log f (x). لا حرج في ذلك. يمكننا إدخال سجل واحد حسب إشارة الآخر وفي نفس الوقت تبسيط حل المشكلة بشكل كبير، وهو ما نلاحظه في الحالة الثانية.

في الختام، أود أن أضيف أنه ليس من الضروري التحقق من النطاق في كل حالة من هذه الحالات، لأنه في كل مكان يكون المتغير x موجودًا في علامة سجل واحدة فقط، وفي نفس الوقت موجود في حجته. ونتيجة لذلك، يتم استيفاء كافة متطلبات المجال تلقائيًا.

مشاكل مع قاعدة متغيرة

اليوم سننظر في المعادلات اللوغاريتمية، والتي تبدو للعديد من الطلاب غير قياسية، إن لم تكن غير قابلة للحل تمامًا. نحن نتحدث عن التعبيرات التي لا تعتمد على الأرقام، ولكن على المتغيرات وحتى الوظائف. سوف نقوم بحل مثل هذه الإنشاءات باستخدام تقنيتنا القياسية، أي من خلال الشكل القانوني.

في البداية، دعونا نتذكر كيف يتم حل أبسط المسائل، والتي تعتمد على الأعداد العادية. لذلك، يسمى أبسط البناء

سجل و(س) = ب

لحل مثل هذه المشاكل يمكننا استخدام الصيغة التالية:

ب = سجل أ ب

نعيد كتابة التعبير الأصلي ونحصل على:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نساوي بين الحجج، أي نكتب:

و(خ) = أ ب

وهكذا نتخلص من علامة السجل ونحل المشكلة المعتادة. في هذه الحالة، الجذور التي تم الحصول عليها في الحل ستكون جذور المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بالإضافة إلى ذلك، يُطلق على السجل، عندما يكون كل من اليسار واليمين على نفس اللوغاريتم ونفس الأساس، الشكل القانوني. بهذا السجل سنحاول تقليص الإنشاءات الحالية. إذا هيا بنا.

المهمة الأولى:

السجل x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

استبدل 1 ب السجل x − 2 (x − 2) 1 . الدرجة التي نلاحظها في الحجة هي في الواقع الرقم b الذي كان على يمين علامة المساواة. لذلك دعونا نعيد كتابة تعبيرنا. نحن نحصل:

سجل x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = سجل x - 2 (x - 2)

ماذا نرى؟ أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، حتى نتمكن من مساواة الحجج بأمان. نحن نحصل:

2x2 - 13x + 18 = س - 2

لكن الحل لا ينتهي عند هذا الحد، لأن هذه المعادلة لا تعادل المعادلة الأصلية. بعد كل شيء، يتكون البناء الناتج من وظائف محددة على خط الأعداد بأكمله، ولم يتم تعريف اللوغاريتمات الأصلية في كل مكان وليس دائمًا.

ولذلك، يجب علينا أن نكتب مجال التعريف بشكل منفصل. دعونا لا نكون أكثر حكمة ونكتب أولاً جميع المتطلبات:

أولاً، يجب أن تكون وسيطة كل من اللوغاريتمات أكبر من 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

س − 2 > 0

ثانيًا، يجب ألا يكون الأساس أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا أن يكون مختلفًا عن 1:

س − 2 ≠ 1

ونتيجة لذلك نحصل على النظام:

لكن لا تنزعج: عند معالجة المعادلات اللوغاريتمية، يمكن تبسيط هذا النظام إلى حد كبير.

احكم بنفسك: من ناحية، مطلوب منا أن تكون الدالة التربيعية أكبر من الصفر، ومن ناحية أخرى، فإن هذه الدالة التربيعية تعادل بعض التعبيرات الخطية، وهو مطلوب أيضًا أن تكون أكبر من الصفر.

في هذه الحالة، إذا طلبنا أن x − 2 > 0، فإن الشرط 2x 2 − 13x + 18 > 0 سيتم استيفاءه تلقائيًا. لذلك، يمكننا بأمان شطب المتراجحة التي تحتوي على وظيفة من الدرجة الثانية. وبالتالي، سيتم تقليل عدد التعبيرات الموجودة في نظامنا إلى ثلاثة.

بالطبع، من الأفضل أن نقوم بالشطب عدم المساواة الخطية، أي شطب x − 2 > 0 واشترط أن 2x 2 − 13x + 18 > 0. لكن يجب أن توافق على أن حل أبسط المتباينة الخطية أسرع وأسهل بكثير من هذا النظام الذي نحصل فيه على نفس الجذور.

بشكل عام، حاول تحسين الحسابات كلما أمكن ذلك. وفي حالة المعادلات اللوغاريتمية، شطب المتباينات الأكثر صعوبة.

دعونا نعيد كتابة نظامنا:

يوجد هنا نظام مكون من ثلاثة تعبيرات، اثنان منها، في الواقع، اكتشفناهما بالفعل. دعنا نكتب المعادلة التربيعية بشكل منفصل ونحلها:

2x2 - 14x + 20 = 0

س2 - 7س + 10 = 0

أمامنا ثلاثية حدود مربعة مخفضة، وبالتالي يمكننا استخدام صيغ فييتا. نحن نحصل:

(س − 5)(س − 2) = 0

× 1 = 5

×2 = 2

الآن، وبالعودة إلى نظامنا، نجد أن x = 2 لا تناسبنا، لأننا مطالبون بأن يكون x أكبر من 2.

لكن x \u003d 5 يناسبنا تمامًا: الرقم 5 أكبر من 2، وفي نفس الوقت 5 لا يساوي 3. لذلك، الحل الوحيدلهذا النظام سيكون x = 5.

كل شيء، تم حل المهمة، بما في ذلك مراعاة ODZ. دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية. نحن هنا في انتظار حسابات أكثر إثارة للاهتمام وذات مغزى:

الخطوة الأولى: كما فعلنا في المرة الأخيرة، قمنا بإحضار كل هذه الأعمال إلى شكل أساسي. وللقيام بذلك يمكننا كتابة الرقم 9 على النحو التالي:

لا يمكن لمس القاعدة مع الجذر، ولكن من الأفضل تحويل الوسيطة. دعنا ننتقل من الجذر إلى القوة باستخدام الأس العقلاني. دعنا نكتب:

اسمحوا لي ألا أعيد كتابة معادلتنا اللوغاريتمية الكبيرة بأكملها، ولكن فقط سأقوم بمساواة الحجج على الفور:

س 3 + 10س 2 + 31س + 30 = س 3 + 9س 2 + 27س + 27

× 2 + 4س + 3 = 0

أمامنا ثلاثية الحدود المربعة المخفضة مرة أخرى، سنستخدم صيغ فييتا ونكتب:

(س + 3)(س + 1) = 0

× 1 = -3

× 2 = -1

إذن، حصلنا على الجذور، لكن لم يضمن لنا أحد أنها ستناسب المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بعد كل شيء، تفرض علامات السجل قيودًا إضافية (هنا سيتعين علينا كتابة النظام، ولكن نظرًا لثقل البناء بأكمله، قررت حساب مجال التعريف بشكل منفصل).

أولاً، تذكر أن الوسائط يجب أن تكون أكبر من 0، وهي:

هذه هي المتطلبات التي يفرضها مجال التعريف.

نلاحظ على الفور أنه بما أننا نساوي التعبيرين الأولين للنظام مع بعضهما البعض، فيمكننا شطب أي منهما. دعونا نحذف الأول لأنه يبدو أكثر خطورة من الثاني.

بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن حلول المتباينتين الثانية والثالثة ستكون نفس المجموعات (مكعب عدد ما أكبر من الصفر، إذا كان هذا الرقم نفسه أكبر من الصفر؛ وبالمثل مع جذر الدرجة الثالثة - هذه المتباينات متشابهان تمامًا، لذلك يمكننا شطب أحدهما).

لكن مع المتباينة الثالثة، لن ينجح هذا. دعونا نتخلص من علامة الجذر على اليسار، والتي نرفع كلا الجزأين إلى مكعب. نحن نحصل:

لذلك نحصل على المتطلبات التالية:

−2 ≠ س > −3

أي من جذورنا: x 1 = -3 أو x 2 = -1 يلبي هذه المتطلبات؟ من الواضح أن x = −1 فقط، لأن x = −3 لا تحقق المتباينة الأولى (لأن متباينتنا صارمة). في المجمل، بالعودة إلى مشكلتنا، نحصل على جذر واحد: x = −1. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.

مرة أخرى، النقاط الرئيسية لهذه المهمة:

1. لا تتردد في تطبيق وحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام النموذج المتعارف عليه. الطلاب الذين يقومون بمثل هذا السجل، ولا ينتقلون مباشرة من المشكلة الأصلية إلى بناء مثل log a f ( x ) = b ، يرتكبون أخطاء أقل بكثير من أولئك الذين هم في عجلة من أمرهم إلى مكان ما، ويتخطون الخطوات المتوسطة للحسابات؛
2. بمجرد ظهور قاعدة متغيرة في اللوغاريتم، تتوقف المشكلة عن أن تكون الأبسط. لذلك، عند حلها، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار مجال التعريف: يجب أن تكون الحجج أكبر من الصفر، ويجب ألا تكون القواعد أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا ألا تساوي 1.

يمكنك فرض المتطلبات الأخيرة على الإجابات النهائية بطرق مختلفة. على سبيل المثال، من الممكن حل نظام كامل يحتوي على جميع متطلبات المجال. من ناحية أخرى، يمكنك أولا حل المشكلة نفسها، ثم تذكر مجال التعريف، والعمل بشكل منفصل في شكل نظام وتطبيقه على الجذور التي تم الحصول عليها.

إن الطريقة التي تختارها عند حل معادلة لوغاريتمية معينة أمر متروك لك. وفي كل الأحوال فإن الجواب سيكون هو نفسه.

المعادلات اللوغاريتمية. نواصل النظر في المهام من الجزء ب من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. لقد نظرنا بالفعل في حلول بعض المعادلات في المقالات ""، "". في هذه المقالة، سننظر في المعادلات اللوغاريتمية. يجب أن أقول على الفور أنه لن تكون هناك تحويلات معقدة عند حل مثل هذه المعادلات في الاستخدام. إنها بسيطة.

يكفي معرفة وفهم الهوية اللوغاريتمية الأساسية، لمعرفة خصائص اللوغاريتم. انتبه إلى حقيقة أنه بعد القرار، من الضروري إجراء فحص - استبدل القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية واحسب، نتيجة لذلك، يجب الحصول على المساواة الصحيحة.

تعريف:

لوغاريتم الرقم أ للأساس ب هو الأس،الذي يجب رفع b إليه للحصول على a.

على سبيل المثال:

سجل 3 9 = 2 حيث أن 3 2 = 9

خصائص اللوغاريتمات:

حالات خاصة من اللوغاريتمات:

نحن نحل المشاكل. في المثال الأول، سوف نقوم بإجراء فحص. قم بالفحص التالي بنفسك.

أوجد جذر المعادلة: log 3 (4–x) = 4

بما أن السجل b a = x b x = a، إذن

3 4 \u003d 4 - س

س = 4 - 81

س = -77

فحص:

سجل 3 (4–(–77)) = 4

سجل 3 81 = 4

3 4 = 81 صحيح.

الجواب: - 77

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 2 (4 - x) = 7

أوجد جذر معادلة السجل 5(4 + س) = 2

نحن نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

بما أن السجل a b = x b x = a، إذن

5 2 = 4 + س

س = 5 2 - 4

س=21

فحص:

سجل 5 (4 + 21) = 2

سجل 5 25 = 2

5 2 = 25 صحيح.

الجواب: 21

أوجد جذر المعادلة سجل 3 (14 - س) = سجل 3 5.

تحدث الخاصية التالية، معناها كما يلي: إذا كان لدينا على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة لوغاريتمات لها نفس الأساس، فيمكننا مساواة التعبيرات تحت علامات اللوغاريتمات.

14 - س = 5

س = 9

قم بإجراء فحص.

الجواب: 9

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة سجل 5 (5 - س) = سجل 5 3.

أوجد جذر المعادلة: سجل 4 (س + 3) = سجل 4 (4س - 15).

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

س + 3 = 4س - 15

3س = 18

س=6

قم بإجراء فحص.

الجواب: 6

أوجد جذر سجل المعادلة 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - س

8 2 \u003d 13 - س

س = 13 - 64

س = -51

قم بإجراء فحص.

إضافة صغيرة - هنا يتم استخدام الخاصية

درجة().

الجواب: - 51

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: لوغاريتم 1/7 (7 - س) = - 2

أوجد جذر المعادلة سجل 2 (4 - س) = 2 سجل 2 5.

دعونا نحول الجانب الأيمن. استخدم العقار:

سجل أ ب م = م∙ سجل أ ب

سجل 2 (4 - س) = سجل 2 5 2

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

4 - س = 5 2

4 - س = 25

س = -21

قم بإجراء فحص.

الجواب: - 21

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

حل سجل المعادلة 5 (x 2 + 4x) = سجل 5 (x 2 + 11)

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب

س2 + 4س = س2 + 11

4س = 11

س = 2.75

قم بإجراء فحص.

الجواب: 2.75

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة سجل 5 (س 2 + س) = سجل 5 (س 2 + 10).

حل سجل المعادلة 2 (2 - س) = سجل 2 (2 - 3س) +1.

مطلوب مع الجانب الأيمنمعادلات للحصول على تعبير عن النموذج:

السجل 2 (......)

تمثيل 1 كقاعدة لوغاريتم 2:

1 = السجل 2 2

سجل ج (أب) = سجل ج أ + سجل ج ب

سجل 2 (2 - س) = سجل 2 (2 - 3س) + سجل 2 2

نحن نحصل:

سجل 2 (2 - س) = سجل 2 2 (2 - 3س)

إذا كان سجل ج أ = سجل ج ب، ثم أ = ب، ثم

2 - س = 4 - 6س

5س = 2

س=0.4

قم بإجراء فحص.

الجواب: 0.4

تقرر لنفسك: بعد ذلك، عليك حل معادلة من الدرجة الثانية. بالمناسبة،

الجذور هي 6 و -4.

جذر "-"4" ليس حلاً، لأن قاعدة اللوغاريتم يجب أن تكون أكبر من الصفر، ومع "– 4" يساوي " – 5 ". الحل هو جذر 6قم بإجراء فحص.

الجواب: 6.

ر تناول الطعام بنفسك:

حل سجل المعادلة x –5 49 = 2. إذا كانت المعادلة لها أكثر من جذر واحد، أجب عن الجذر الأصغر.

كما ترون، لا توجد تحويلات معقدة مع المعادلات اللوغاريتميةلا. يكفي معرفة خصائص اللوغاريتم والقدرة على تطبيقها. في مهام الاستخدام المتعلقة بالتحويل التعبيرات اللوغاريتمية، يتم إجراء تحولات أكثر جدية ويتطلب الأمر مهارات أعمق في الحل. سننظر في مثل هذه الأمثلة، لا تفوتها!أتمنى لك النجاح!!!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.

التعابير اللوغاريتمية، حل الأمثلة. في هذه المقالة، سننظر في المسائل المتعلقة بحل اللوغاريتمات. تثير المهام مسألة إيجاد قيمة التعبير. تجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام ومن المهم للغاية فهم معناه. أما بالنسبة للاستخدام، يتم استخدام اللوغاريتم في حل المعادلات، في المسائل التطبيقية، وكذلك في المهام المتعلقة بدراسة الوظائف.

فيما يلي أمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمات التي يجب أن تتذكرها دائمًا:

* لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم القسمة (الكسر) يساوي فرق لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته.

* * *

* الانتقال إلى قاعدة جديدة

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

يرتبط حساب اللوغاريتمات ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأسس.

نذكر بعضًا منها:

جوهر خاصية معينةهو أنه عند نقل البسط إلى المقام والعكس تتغير إشارة الأس إلى العكس. على سبيل المثال:

نتيجة هذه الخاصية:

* * *

عند رفع قوة إلى قوة، يظل الأساس كما هو، ولكن يتم ضرب الأسس.

* * *

كما ترون، فإن مفهوم اللوغاريتم بسيط. الشيء الرئيسي هو ما هو مطلوب ممارسة جيدةمما يعطي مهارة معينة. بالتأكيد معرفة الصيغ إلزامية. إذا لم يتم تشكيل مهارة تحويل اللوغاريتمات الأولية، فعند حل المهام البسيطة، يمكن بسهولة ارتكاب خطأ.

تدرب على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً، ثم انتقل إلى الأمثلة الأكثر تعقيدًا. في المستقبل، سأوضح بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "القبيحة"، ولن يكون هناك مثل هذه اللوغاريتمات في الامتحان، لكنها مثيرة للاهتمام، لا تفوتها!

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.