كيفية حل معادلات اللوغاريتم الطبيعي. المعادلات اللوغاريتمية

اليوم سوف نتعلم كيفية حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية، حيث لا يلزم إجراء تحولات أولية واختيار الجذور. ولكن إذا تعلمت كيفية حل هذه المعادلات ، فسيكون الأمر أسهل بكثير.

أبسط معادلة لوغاريتمية هي معادلة النموذج log a f (x) \ u003d b ، حيث a ، b هي أرقام (a \ u003e 0 ، a ≠ 1) ، f (x) هي بعض الوظائف.

السمة المميزة لجميع المعادلات اللوغاريتمية هي وجود المتغير x تحت علامة اللوغاريتم. إذا تم تقديم مثل هذه المعادلة في البداية في المشكلة ، فإنها تسمى أبسطها. يتم تقليل أي معادلات لوغاريتمية أخرى إلى أبسطها عن طريق تحويلات خاصة (انظر "الخصائص الأساسية للوغاريتمات"). ومع ذلك ، يجب أخذ العديد من التفاصيل الدقيقة في الاعتبار: قد تظهر جذور إضافية ، لذلك سيتم النظر في المعادلات اللوغاريتمية المعقدة بشكل منفصل.

كيف تحل هذه المعادلات؟ يكفي استبدال الرقم الموجود على يمين علامة التساوي باللوغاريتم في الأساس نفسه كما هو على اليسار. ثم يمكنك التخلص من علامة اللوغاريتم. نحن نحصل:

سجل a f (x) \ u003d b ⇒ log a f (x) \ u003d log a a b ⇒ f (x) \ u003d a b

حصلنا على المعادلة المعتادة. جذوره هي جذور المعادلة الأصلية.

نطق الدرجات

غالبًا ما يتم حل المعادلات اللوغاريتمية ، التي تبدو خارجية معقدة وخطيرة ، في سطرين فقط دون استخدام صيغ معقدة. سننظر اليوم في مثل هذه المشكلات فقط ، حيث كل ما هو مطلوب منك هو تقليل الصيغة بعناية إلى الشكل الأساسي وعدم الخلط عند البحث عن مجال تعريف اللوغاريتمات.

اليوم ، كما خمنت على الأرجح من العنوان ، سنحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصيغ للانتقال إلى الشكل المتعارف عليه. تتمثل "الحيلة" الرئيسية في درس الفيديو هذا في العمل بالدرجات ، أو بالأحرى أخذ الدرجة من الأساس والحجة. لنلقِ نظرة على القاعدة:

وبالمثل ، يمكنك الحصول على الدرجة من القاعدة:

كما ترى ، إذا كان عند إخراج الدرجة من حجة اللوغاريتم ، فإننا ببساطة لدينا مضاعف إضافيفي المقدمة ، ثم عند إخراج الدرجة من القاعدة - ليس مجرد عامل ، بل عامل مقلوب. يجب تذكر هذا.

أخيرا ، الأكثر إثارة للاهتمام. يمكن دمج هذه الصيغ ، ثم نحصل على:

بالطبع ، عند إجراء هذه التحولات ، هناك بعض المزالق المرتبطة بالتوسع المحتمل لمجال التعريف أو ، على العكس من ذلك ، تضييق مجال التعريف. أحكم لنفسك:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 س

إذا كانت x في الحالة الأولى يمكن أن تكون أي رقم آخر غير 0 ، أي المتطلب x ≠ 0 ، ففي الحالة الثانية سنكتفي بـ x فقط ، والتي ليست فقط ليست متساوية ، ولكنها أكبر من 0 ، لأن مجال تعريف اللوغاريتم هو أن الوسيطة أكبر من 0. لذلك ، سأذكرك بصيغة رائعة من مسار الجبر للصفوف 8-9:

بمعنى ، يجب أن نكتب صيغتنا على النحو التالي:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 | س |

ثم لن يحدث تضييق لمجال التعريف.

ومع ذلك ، في الفيديو التعليمي اليوم لن تكون هناك مربعات. إذا نظرت إلى مهامنا ، فسترى الجذور فقط. لذلك ، لن نطبق هذه القاعدة ، لكن لا يزال يتعين وضعها في الاعتبار حتى في الوقت المناسب عندما ترى وظيفة من الدرجة الثانيةفي الوسيطة أو قاعدة اللوغاريتم ، سوف تتذكر هذه القاعدة وتنفذ جميع التحويلات بشكل صحيح.

إذن المعادلة الأولى هي:

لحل هذه المشكلة ، أقترح النظر بعناية في كل من المصطلحات الموجودة في الصيغة.

دعنا نعيد كتابة الحد الأول كقوة ذات أس كسري:

ننظر إلى الحد الثاني: log 3 (1 - x). لا تحتاج إلى فعل أي شيء هنا ، فكل شيء قد تغير بالفعل.

أخيرًا ، 0 ، 5. كما قلت في الدروس السابقة ، عند حل المعادلات والصيغ اللوغاريتمية ، أوصي بشدة بالانتقال من الكسور العشرية إلى الكسور العادية. هيا بنا نقوم بذلك:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعنا نعيد كتابة صيغتنا الأصلية مع مراعاة الشروط التي تم الحصول عليها:

سجل 3 (1 - س) = 1

الآن دعنا ننتقل إلى الشكل المتعارف عليه:

سجل 3 (1 - س) = سجل 3 3

تخلص من علامة اللوغاريتم بمساواة الحجج:

1 - س = 3

-x = 2

س = −2

هذا كل شيء ، لقد حللنا المعادلة. ومع ذلك ، دعونا لا نزال نلعبها بأمان ونجد مجال التعريف. للقيام بذلك ، دعنا نعود إلى الصيغة الأصلية ونرى:

1 - س> 0

-x> -1

x< 1

جذرنا x = −2 يلبي هذا المطلب ، لذا فإن x = −2 هو حل للمعادلة الأصلية. الآن لدينا تبرير صارم واضح. كل شيء ، تم حل المهمة.

دعنا ننتقل إلى المهمة الثانية:

دعونا نتعامل مع كل مصطلح على حدة.

نكتب الأول:

لقد قمنا بتعديل الفصل الأول. نحن نعمل مع الفصل الثاني:

أخيرًا ، المصطلح الأخير ، وهو على يمين علامة المساواة:

نستبدل التعبيرات الناتجة عن المصطلحات في الصيغة الناتجة:

سجل 3 س = 1

ننتقل إلى الشكل المتعارف عليه:

سجل 3 س = سجل 3 3

نتخلص من علامة اللوغاريتم من خلال مساواة الحجج ، ونحصل على:

س = 3

مرة أخرى ، فقط في حالة ، دعنا نلعبها بأمان ، نعود إلى المعادلة الأصلية ونرى. في الصيغة الأصلية ، المتغير x موجود فقط في الوسيطة ، لذلك ،

x> 0

في اللوغاريتم الثاني ، x تحت الجذر ، ولكن مرة أخرى في الوسيطة ، لذلك ، يجب أن يكون الجذر أكبر من 0 ، أي أن التعبير الجذر يجب أن يكون أكبر من 0. ننظر إلى جذرنا x = 3. من الواضح أنه يلبي هذا المطلب. إذن ، x = 3 هو حل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. كل شيء ، تم حل المهمة.

هناك نقطتان أساسيتان في الفيديو التعليمي اليوم:

1) لا تخف من تحويل اللوغاريتمات ، وعلى وجه الخصوص ، لا تخف من إخراج الدرجات من علامة اللوغاريتم ، مع تذكر صيغتنا الأساسية: عند إخراج الدرجة من الحجة ، يتم إخراجها ببساطة بدون تغييرات كعامل ، وعند إخراج الدرجة من القاعدة ، تنعكس هذه الدرجة.

2) النقطة الثانية تتعلق بالشكل الذاتي المتعارف عليه. أجرينا الانتقال إلى الشكل المتعارف عليه في نهاية تحويل صيغة المعادلة اللوغاريتمية. أذكر الصيغة التالية:

أ = سجل ب ب أ

بالطبع ، من خلال التعبير "أي رقم ب" ، أعني تلك الأرقام التي تفي بالمتطلبات المفروضة على أساس اللوغاريتم ، أي

1 ≠ ب> 0

بالنسبة لمثل ب ، وبما أننا نعرف الأساس بالفعل ، فسيتم استيفاء هذا المطلب تلقائيًا. ولكن بالنسبة لمثل هذا ب - أي الذي يلبي هذا المطلب - يمكن إجراء هذا الانتقال ، ونحصل على شكل أساسي يمكننا من خلاله التخلص من علامة اللوغاريتم.

تمديد مجال التعريف والجذور الإضافية

في عملية تحويل المعادلات اللوغاريتمية ، قد يحدث امتداد ضمني لمجال التعريف. في كثير من الأحيان ، لا يلاحظ الطلاب ذلك ، مما يؤدي إلى أخطاء وإجابات غير صحيحة.

لنبدأ بأبسط التصاميم. أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:

سجل أ و (س) = ب

لاحظ أن x موجود في وسيطة واحدة فقط لوغاريتم واحد. كيف نحل مثل هذه المعادلات؟ نستخدم الصيغة المتعارف عليها. للقيام بذلك ، نمثل الرقم b \ u003d log a a b ، وستتم إعادة كتابة معادلتنا بالشكل التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

هذا التدوين يسمى الشكل المتعارف عليه. يجب تقليل أي معادلة لوغاريتمية ستقابلها ليس فقط في درس اليوم ، ولكن أيضًا في أي عمل مستقل وتحكمي.

كيف نصل إلى الشكل المتعارف عليه ، ما هي التقنيات التي يجب استخدامها - هذه بالفعل مسألة ممارسة. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه: بمجرد استلامك مثل هذا السجل ، يمكننا افتراض أن المشكلة قد تم حلها. لأن الخطوة التالية هي أن تكتب:

و (س) = أ ب

بعبارة أخرى ، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج ببساطة.

لماذا كل هذا الكلام؟ الحقيقة هي أن الشكل المتعارف عليه لا ينطبق فقط على أبسط المشاكل ، ولكن أيضًا على أي مشاكل أخرى. على وجه الخصوص ، إلى أولئك الذين سنخاطبهم اليوم. دعنا نلقي نظرة.

المهمة الأولى:

ما هي مشكلة هذه المعادلة؟ حقيقة أن الوظيفة موجودة في لوغاريتمين في وقت واحد. يمكن اختزال المشكلة إلى أبسطها ببساطة عن طريق طرح لوغاريتم واحد من آخر. لكن هناك مشاكل في مجال التعريف: قد تظهر جذور إضافية. لذلك دعونا ننقل أحد اللوغاريتمات إلى اليمين:

هنا مثل هذا السجل هو بالفعل أكثر شبهاً بالشكل المتعارف عليه. ولكن هناك فارق بسيط آخر: في الشكل القانوني ، يجب أن تكون الحجج هي نفسها. ولدينا لوغاريتم للأساس 3 على اليسار ولوغاريتم للأساس 1/3 على اليمين. كما تعلم ، عليك إحضار هذه القواعد إلى نفس الرقم. على سبيل المثال ، لنتذكر الأسس السالبة:

ثم سنستخدم الأس "-1" خارج السجل كمضاعف:

يرجى ملاحظة: الدرجة التي وقفت عند القاعدة تنقلب وتتحول إلى كسر. حصلنا على تدوين متعارف عليه تقريبًا من خلال التخلص من القواعد المختلفة ، ولكن بدلاً من ذلك حصلنا على عامل "1" على اليمين. دعنا نضع هذا العامل في الحجة بتحويله إلى قوة:

بالطبع ، بعد أن تلقينا الشكل المتعارف عليه ، نشطب بجرأة علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج. في الوقت نفسه ، دعني أذكرك أنه عند رفعه إلى قوة "1" ، يتحول الكسر ببساطة - يتم الحصول على نسبة.

دعنا نستخدم الخاصية الرئيسية للنسبة ونضربها بالعرض:

(س - 4) (2 س - 1) = (س - 5) (3 س - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20

× 2 - 10 × + 16 = 0

أمامنا هو معادلة من الدرجة الثانية، لذلك قمنا بحلها باستخدام صيغ Vieta:

(س - 8) (س - 2) = 0

× 1 = 8 ؛ س 2 = 2

هذا كل شئ. هل تعتقد أن المعادلة قد تم حلها؟ لا! لمثل هذا الحل ، سنحصل على 0 نقطة ، لأنه في المعادلة الأصلية يوجد لوغاريتمان مع المتغير x مرة واحدة. لذلك ، من الضروري مراعاة مجال التعريف.

وهنا تبدأ المتعة. يحتار معظم الطلاب: ما هو مجال اللوغاريتم؟ بالطبع ، يجب أن تكون جميع الحجج (لدينا اثنان) أكبر من الصفر:

(س - 4) / (3 س - 4)> 0

(س - 5) / (2 س - 1)> 0

يجب حل كل من هذه المتباينات ، ووضع علامة على خط مستقيم ، وعبورها - وعندها فقط نرى الجذور التي تقع عند التقاطع.

سأكون صادقًا: هذه التقنية لها الحق في الوجود ، وهي موثوقة ، وستحصل على الإجابة الصحيحة ، ولكن هناك العديد من الخطوات الإضافية فيها. لذلك دعنا ننتقل إلى حلنا مرة أخرى ونرى: أين تريد تحديد النطاق بالضبط؟ بمعنى آخر ، عليك أن تفهم بوضوح متى تظهر الجذور الإضافية بالضبط.

1. في البداية ، كان لدينا لوغاريتمان. ثم نقلنا إحداها إلى اليمين ، لكن هذا لم يؤثر على منطقة التعريف.
2. ثم نزيل القوة من القاعدة ، لكن لا يزال هناك لوغاريتمان ، يحتوي كل منهما على المتغير x.
3. أخيرًا ، قمنا بشطب علامات السجل ونحصل على المعادلة الكسرية المنطقية الكلاسيكية.

في الخطوة الأخيرة يتم توسيع مجال التعريف! بمجرد أن انتقلنا إلى المعادلة المنطقية الكسرية ، وتخلصنا من علامات السجل ، تغيرت متطلبات المتغير x بشكل كبير!

لذلك ، لا يمكن اعتبار مجال التعريف في بداية الحل ، ولكن فقط في الخطوة المذكورة - قبل أن نساوي الحجج مباشرة.

هذا هو المكان الذي تكمن فيه فرصة التحسين. من ناحية ، نحن مطالبون بأن تكون كلتا الوسيطتين أكبر من الصفر. من ناحية أخرى ، نحن نساوي هذه الحجج. لذلك ، إذا كان أحدهما على الأقل إيجابيًا ، فسيكون الثاني إيجابيًا أيضًا!

لذلك اتضح أن طلب تحقيق متباينتين في وقت واحد هو مبالغة. يكفي اعتبار واحد فقط من هذه الكسور. أيها؟ الذي هو أسهل. على سبيل المثال ، لنلقِ نظرة على الكسر الصحيح:

(س - 5) / (2 س - 1)> 0

هذه متباينة عقلانية كسرية نموذجية ، نحلها باستخدام طريقة الفترة:

كيف نضع اللافتات؟ خذ عددًا من الواضح أنه أكبر من كل الجذور. على سبيل المثال ، 1 بليون ونقوم بالتعويض عن كسرها. نحصل على رقم موجب ، أي على يمين الجذر x = 5 ستكون هناك علامة زائد.

ثم تتبدل العلامات ، لأنه لا توجد جذور حتى للتعدد في أي مكان. نحن مهتمون بالفترات التي تكون فيها الوظيفة موجبة. ومن ثم س ∈ (−∞ ؛ −1/2) ∪ (5 ؛ + ∞).

الآن دعنا نتذكر الإجابات: x = 8 و x = 2. بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذه ليست إجابات حتى الآن ، ولكنها مرشحة فقط للإجابة. أي واحد ينتمي إلى المجموعة المحددة؟ بالطبع ، x = 8. لكن x = 2 لا تناسبنا من حيث مجال التعريف.

إجمالاً ، ستكون الإجابة على المعادلة اللوغاريتمية الأولى هي x = 8. الآن لدينا حل مناسب ومعقول ، مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف.

دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية:

سجل 5 (س - 9) = سجل 0.5 4 - سجل 5 (س - 5) + 3

أذكرك أنه إذا كان هناك كسر عشري في المعادلة ، فعليك التخلص منه. بعبارة أخرى ، دعونا نعيد كتابة 0.5 في صورة كسر عادي. نلاحظ على الفور أن اللوغاريتم الذي يحتوي على هذه القاعدة يمكن اعتباره بسهولة:

هذه لحظة مهمة جدا! عندما يكون لدينا درجات في كل من الأساس والحجة ، يمكننا إخراج مؤشرات هذه الدرجات باستخدام الصيغة:

نعود إلى معادلتنا اللوغاريتمية الأصلية ونعيد كتابتها:

سجل 5 (س - 9) = 1 - سجل 5 (س - 5)

لقد حصلنا على بناء قريب جدًا من الشكل المتعارف عليه. ومع ذلك ، فإننا مرتبكون من المصطلحات وعلامة الطرح الموجودة على يمين علامة التساوي. دعنا نمثل الوحدة على أنها لوغاريتم للأساس 5:

سجل 5 (س - 9) = سجل 5 5 1 - سجل 5 (س - 5)

اطرح اللوغاريتمات على اليمين (بينما يتم تقسيم وسيطاتهم):

سجل 5 (س - 9) = سجل 5 5 / (س - 5)

رائع. لذلك حصلنا على الشكل المتعارف عليه! نقوم بشطب علامات السجل ونساوي الحجج:

(س - 9) / 1 = 5 / (س - 5)

هذه نسبة يمكن حلها بسهولة عن طريق الضرب التبادلي:

(س - 9) (س - 5) = 5 1

× 2-9 س - 5 س + 45 = 5

x2 - 14x + 40 = 0

من الواضح أن لدينا معادلة تربيعية معينة. يتم حله بسهولة باستخدام صيغ Vieta:

(س - 10) (س - 4) = 0

× 1 = 10

× 2 = 4

لدينا جذور. لكن هذه ليست إجابات نهائية ، ولكنها مرشحة فقط ، لأن المعادلة اللوغاريتمية تتطلب أيضًا التحقق من المجال.

أذكرك: لا تنظر متى كلمن الحجج ستكون أكبر من الصفر. يكفي أن تشترط أن تكون وسيطة واحدة ، إما x - 9 أو 5 / (x - 5) أكبر من الصفر. تأمل الحجة الأولى:

س - 9> 0

x> 9

من الواضح أن س = 10 فقط تفي بهذا المطلب ، وهذه هي الإجابة النهائية. تم حل جميع المشاكل.

مرة أخرى ، الأفكار الرئيسية لدرس اليوم:

1. بمجرد ظهور المتغير x في عدة لوغاريتمات ، تتوقف المعادلة عن كونها أولية ، ومن الضروري حساب مجال التعريف. خلاف ذلك ، يمكنك بسهولة كتابة جذور إضافية ردا على ذلك.
2. يمكن تبسيط العمل مع مجال التعريف نفسه إلى حد كبير إذا لم تتم كتابة المتباينة على الفور ، ولكن بالضبط في الوقت الذي نتخلص فيه من علامات السجل. بعد كل شيء ، عندما تكون الحجج متساوية مع بعضها البعض ، يكفي أن نطلب أن تكون واحدة منها فقط أكبر من الصفر.

بالطبع ، نحن أنفسنا نختار من أي حجة لنصنع متباينة ، لذلك من المنطقي اختيار أبسطها. على سبيل المثال ، في المعادلة الثانية ، اخترنا الوسيطة (x - 9) كدالة خطية ، بدلاً من الوسيطة الثانية المنطقية الكسرية. توافق على أن حل المتباينة x - 9> 0 أسهل بكثير من 5 / (x - 5)> 0. على الرغم من أن النتيجة واحدة.

تعمل هذه الملاحظة على تبسيط البحث عن ODZ بشكل كبير ، ولكن كن حذرًا: يمكنك استخدام متباينة واحدة بدلاً من اثنين فقط عندما تكون الوسيطات دقيقة تعادل بعضها البعض!

بالطبع ، سوف يسأل أحدهم الآن: ما الذي يحدث بشكل مختلف؟ نعم احيانا. على سبيل المثال ، في الخطوة نفسها ، عندما نقوم بضرب وسيطين يحتويان على متغير ، يكون هناك خطر وجود جذور إضافية.

احكم بنفسك: في البداية يجب أن تكون كل وسيطة أكبر من الصفر ، ولكن بعد الضرب يكفي أن يكون ناتجها أكبر من الصفر. نتيجة لذلك ، يتم تفويت الحالة التي يكون فيها كل من هذه الكسور سالبة.

لذلك ، إذا كنت قد بدأت للتو في التعامل مع المعادلات اللوغاريتمية المعقدة ، فلا تقم بأي حال من الأحوال بضرب اللوغاريتمات التي تحتوي على المتغير x - في كثير من الأحيان سيؤدي ذلك إلى جذور إضافية. من الأفضل اتخاذ خطوة إضافية واحدة ، ونقل مصطلح واحد إلى الجانب الآخر ، وتشكيل النموذج المتعارف عليه.

حسنًا ، ماذا تفعل إذا كنت لا تستطيع الاستغناء عن ضرب هذه اللوغاريتمات ، سنناقش في الفيديو التعليمي التالي. :)

مرة أخرى حول القوى في المعادلة

سنقوم اليوم بتحليل موضوع زلق إلى حد ما يتعلق بالمعادلات اللوغاريتمية ، أو بالأحرى إزالة القوى من الحجج وقواعد اللوغاريتمات.

بل أقول نحن سوف نتكلمحول أخذ القوى الزوجية ، لأنه مع القوى الزوجية تنشأ معظم الصعوبات عند حل المعادلات اللوغاريتمية الحقيقية.

لنبدأ بالصيغة المتعارف عليها. لنفترض أن لدينا معادلة مثل log a f (x) = b. في هذه الحالة ، نعيد كتابة الرقم ب وفقًا للصيغة b = log a a b. اتضح ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نساوي الحجج:

و (س) = أ ب

تسمى الصيغة قبل الأخيرة بالشكل المتعارف عليه. بالنسبة لها يحاولون تقليل أي معادلة لوغاريتمية ، بغض النظر عن مدى تعقيدها ورعبها للوهلة الأولى.

هنا ، دعنا نحاول. لنبدأ بالمهمة الأولى:

ملاحظة أولية: كما قلت ، كل شيء الكسور العشريةفي المعادلة اللوغاريتمية ، من الأفضل ترجمتها إلى معادلات عادية:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعونا نعيد كتابة المعادلة مع وضع هذه الحقيقة في الاعتبار. لاحظ أن كلاً من 1/1000 و 100 هما قوى لـ 10 ، ثم نخرج القوى من أينما كانت: من الحجج وحتى من قاعدة اللوغاريتمات:

وهنا يطرح السؤال للعديد من الطلاب: "من أين أتت الوحدة على اليمين؟" في الواقع ، لماذا لا تكتب فقط (س - 1)؟ بالطبع ، سنكتب الآن (x - 1) ، لكن الحق في مثل هذا السجل يعطينا حساب مجال التعريف. بعد كل شيء ، يحتوي اللوغاريتم الآخر بالفعل على (x - 1) ، وهذا التعبير يجب أن يكون أكبر من الصفر.

لكن عندما نحذف المربع من قاعدة اللوغاريتم ، يجب أن نترك الوحدة في القاعدة. سأشرح لماذا.

الحقيقة هي أنه من وجهة نظر الرياضيات ، فإن الحصول على درجة هو بمثابة تجذير. على وجه الخصوص ، عندما يكون التعبير (x - 1) 2 تربيعًا ، فإننا في الأساس نستخرج جذر الدرجة الثانية. لكن الجذر التربيعي ليس أكثر من مقياس. بالضبط وحدة، لأنه حتى إذا كان التعبير x - 1 سالبًا ، فسيظل احتراقه عند تربيع "ناقص". سيعطينا الاستخراج الإضافي للجذر رقمًا موجبًا - بدون أي عيوب بالفعل.

بشكل عام ، لتجنب الأخطاء الهجومية ، تذكر بشكل نهائي:

لا يساوي جذر الدرجة الزوجية من أي دالة مرفوعة إلى نفس القوة الدالة نفسها ، بل مقياسها:

نعود إلى معادلتنا اللوغاريتمية. بالحديث عن الوحدة ، جادلت بأنه يمكننا إزالتها بدون ألم. هذا صحيح. الآن سوف أشرح لماذا. بالمعنى الدقيق للكلمة ، كان علينا التفكير في خيارين:

1. س - 1> 0 ⇒ | س - 1 | = س - 1
2. س - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

يجب معالجة كل خيار من هذه الخيارات. ولكن هناك مشكلة واحدة: تحتوي الصيغة الأصلية بالفعل على الوظيفة (x - 1) بدون أي معامل. وباتباع مجال تعريف اللوغاريتمات ، يمكننا كتابة x - 1> 0 على الفور.

يجب استيفاء هذا المطلب بغض النظر عن أي وحدات وتحولات أخرى نقوم بها في عملية الحل. لذلك ، من غير المجدي النظر في الخيار الثاني - لن يظهر أبدًا. حتى إذا حصلنا على بعض الأرقام عند حل هذا الفرع من المتباينة ، فلن يتم تضمينها في الإجابة النهائية.

نحن الآن حرفياً على بعد خطوة واحدة من الشكل المتعارف عليه للمعادلة اللوغاريتمية. دعنا نمثل الوحدة على النحو التالي:

1 = تسجيل x - 1 (x - 1) 1

بالإضافة إلى ذلك ، نقدم العامل −4 ، الموجود على اليمين ، في الحجة:

تسجيل x - 1 10 −4 = تسجيل x - 1 (x - 1)

أمامنا الشكل الأساسي للمعادلة اللوغاريتمية. تخلص من علامة اللوغاريتم:

10 −4 = س - 1

ولكن نظرًا لأن الأساس كان دالة (وليس عددًا أوليًا) ، فإننا نطلب أيضًا أن تكون هذه الدالة أكبر من صفر وألا تساوي واحدًا. احصل على النظام:

نظرًا لأن المتطلب x - 1> 0 يتم استيفائه تلقائيًا (لأن x - 1 = 10 −4) ، يمكن حذف إحدى المتباينات من نظامنا. يمكن أيضًا شطب الشرط الثاني لأن x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

س = 1 + 0.0001 = 1.0001

هذا هو الجذر الوحيد الذي يلبي تلقائيًا جميع متطلبات مجال تعريف اللوغاريتم (ومع ذلك ، تم حذف جميع المتطلبات حيث تم الوفاء بها عن علم في ظروف مشكلتنا).

إذن المعادلة الثانية هي:

3 سجل 3 × س = 2 سجل 9 × × 2

كيف تختلف هذه المعادلة اختلافًا جوهريًا عن السابقة؟ بالفعل على الأقل من خلال حقيقة أن قواعد اللوغاريتمات - 3x و 9x - ليست قوى طبيعية لبعضها البعض. لذلك ، فإن الانتقال الذي استخدمناه في الحل السابق غير ممكن.

دعونا على الأقل نتخلص من الدرجات. في حالتنا ، القوة الوحيدة موجودة في الوسيطة الثانية:

3 سجل 3 س س = 2 ∙ 2 سجل 9 س | س |

ومع ذلك ، يمكن إزالة علامة المقياس ، لأن المتغير x موجود أيضًا في القاعدة ، أي س> 0 ⇒ | س | = س. دعونا نعيد كتابة معادلتنا اللوغاريتمية:

3 سجل 3 س س = 4 سجل 9 س س

لدينا اللوغاريتمات التي تكون فيها الحجج هي نفسها ، ولكن أسباب مختلفة. كيفية المضي قدما؟ هناك العديد من الخيارات هنا ، لكننا سننظر في اثنين منها فقط ، وهما الأكثر منطقية ، والأهم من ذلك ، هذه حيل سريعة ومفهومة لمعظم الطلاب.

لقد درسنا بالفعل الخيار الأول: في أي موقف غير مفهوم ، قم بترجمة اللوغاريتمات ذات الأساس المتغير إلى قاعدة ثابتة. على سبيل المثال ، إلى شيطان. صيغة التحويل بسيطة:

بالطبع ، يجب أن يعمل العدد الطبيعي كمتغير c: 1 ≠ c> 0. لنفترض أن c = 2 في حالتنا ، والآن لدينا معادلة منطقية كسرية عادية. نجمع كل العناصر الموجودة على اليسار:

من الواضح أنه من الأفضل إخراج العامل log 2 x ، لأنه موجود في كلا الكسرين الأول والثاني.

سجل 2 × = 0 ؛

3 سجل 2 9x = 4 سجل 2 3x

نقوم بتقسيم كل سجل إلى فترتين:

السجل 2 9x = السجل 2 9 + السجل 2 × = 2 السجل 2 3 + السجل 2 × ؛

سجل 2 3 س = سجل 2 3 + سجل 2 س

دعنا نعيد كتابة جانبي المساواة مع مراعاة هذه الحقائق:

3 (2 سجل 2 3 + سجل 2 س) = 4 (سجل 2 3 + سجل 2 س)

6 سجل 2 3 + 3 سجل 2 س = 4 سجل 2 3 + 4 سجل 2 س

2 سجل 2 3 = سجل 2 س

يبقى الآن إضافة شيطان تحت علامة اللوغاريتم (سيتحول إلى قوة: 3 2 \ u003d 9):

سجل 2 9 = سجل 2 س

أمامنا الشكل الأساسي الكلاسيكي ، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على:

كما هو متوقع ، تبين أن هذا الجذر أكبر من الصفر. يبقى التحقق من مجال التعريف. لنلقِ نظرة على القواعد:

لكن الجذر x = 9 يفي بهذه المتطلبات. لذلك ، هذا هو القرار النهائي.

استنتاج من هذا القراربسيط: لا تخافوا من الحسابات الطويلة! كل ما في الأمر أننا في البداية اخترنا قاعدة جديدة عشوائيًا - وهذا ما أدى إلى تعقيد العملية بشكل كبير.

ولكن السؤال الذي يطرح نفسه بعد ذلك: ما هو الأساس أفضل؟ سوف أتحدث عن هذا بالطريقة الثانية.

دعنا نعود إلى معادلتنا الأصلية:

3 سجل 3 س س = 2 سجل 9 س س 2

3 سجل 3x س = 2 ∙ 2 سجل 9x | س |

س> 0 ⇒ | س | = س

3 سجل 3 س س = 4 سجل 9 س س

لنفكر الآن قليلاً: ما الرقم أو الوظيفة التي ستكون الأساس الأمثل؟ من الواضح أن الخيار الأفضلسيكون c = x - ما هو موجود بالفعل في الحجج. في هذه الحالة ، ستتخذ الصيغة log a b = log c b / log c a الشكل:

بمعنى آخر ، يتم عكس التعبير ببساطة. في هذه الحالة ، يتم عكس الحجة والأساس.

هذه الصيغة مفيدة للغاية وغالبًا ما تستخدم في حل المعادلات اللوغاريتمية المعقدة. ومع ذلك ، عند استخدام هذه الصيغة ، هناك مأزق خطير للغاية. إذا استبدلنا المتغير x بدلًا من القاعدة ، فسيتم فرض قيود لم تتم ملاحظتها سابقًا:

لم يكن هناك مثل هذا التقييد في المعادلة الأصلية. لذلك ، يجب أن نتحقق من الحالة بشكل منفصل عندما تكون x = 1. استبدل هذه القيمة في المعادلة:

3 سجل 3 1 = 4 سجل 9 1

نحصل على المساواة العددية الصحيحة. إذن ، x = 1 جذر. وجدنا نفس الجذر بالضبط في الطريقة السابقة في بداية الحل.

ولكن الآن ، عندما درسنا هذه الحالة الخاصة بشكل منفصل ، نعتقد بجرأة أن x ≠ 1. ثم ستتم إعادة كتابة معادلتنا اللوغاريتمية بالشكل التالي:

3 سجل x 9x = 4 سجل x 3x

نقوم بفك كلا اللوغاريتمين وفقًا لنفس الصيغة كما في السابق. لاحظ أن السجل x x = 1:

3 (تسجيل x 9 + تسجيل x x) = 4 (تسجيل x 3 + تسجيل x x)

3 سجل × 9 + 3 = 4 سجل × 3 + 4

3 سجل × 3 2-4 سجل × 3 = 4 - 3

2 سجل × 3 = 1

هنا نأتي إلى الشكل المتعارف عليه:

سجل x 9 = سجل x x 1

س = 9

حصلنا على الجذر الثاني. يفي بالمتطلبات x ≠ 1. لذلك ، x = 9 مع x = 1 هي الإجابة النهائية.

كما ترى ، انخفض حجم العمليات الحسابية بشكل طفيف. ولكن عند حل معادلة لوغاريتمية حقيقية ، سيكون عدد الخطوات أقل بكثير أيضًا لأنك لست مطالبًا بوصف كل خطوة بمثل هذه التفاصيل.

القاعدة الأساسية لدرس اليوم هي كما يلي: إذا كانت هناك درجة متساوية في المشكلة ، يتم استخراج جذر الدرجة نفسها منها ، فعند الإخراج سنحصل على وحدة نمطية. ومع ذلك ، يمكن إزالة هذه الوحدة إذا انتبهت إلى مجال تعريف اللوغاريتمات.

لكن كن حذرًا: يعتقد معظم الطلاب بعد هذا الدرس أنهم يفهمون كل شيء. لكن عند حل المشكلات الحقيقية ، لا يمكنهم إعادة إنتاج السلسلة المنطقية بأكملها. نتيجة لذلك ، تكتسب المعادلة جذورًا إضافية ، والإجابة خاطئة.

الجبر الصف 11

الموضوع: "طرق حل المعادلات اللوغاريتمية"

أهداف الدرس:

التعليمية: بناء المعرفة حول طرق مختلفةحل المعادلات اللوغاريتمية والقدرة على تطبيقها في كل حالة محددة واختيار أي طريقة لحلها ؛

النامية: تنمية المهارات لمراقبة المعرفة ومقارنتها وتطبيقها في موقف جديد وتحديد الأنماط والتعميم ؛ تكوين مهارات التحكم المتبادل وضبط النفس ؛

التعليمية: تعليم موقف مسؤول تجاه العمل التربوي ، وإدراك دقيق للمادة في الدرس ، ودقة حفظ السجلات.

نوع الدرس : درس للتعرف على المواد الجديدة.

"اختراع اللوغاريتمات ، بتقصير عمل الفلكي ، أطال عمره".
عالم الرياضيات والفلك الفرنسي ب. لابلاس

خلال الفصول

I. تحديد هدف الدرس

درس تعريف اللوغاريتم وخصائص اللوغاريتمات و دالة لوغاريتميةسيسمح لنا بحل المعادلات اللوغاريتمية. يتم حل جميع المعادلات اللوغاريتمية ، بغض النظر عن مدى تعقيدها ، باستخدام نفس الخوارزميات. سننظر في هذه الخوارزميات اليوم في الدرس. هناك القليل منهم إذا كنت تتقنهم ، فإن أي معادلة مع اللوغاريتمات ستكون مجدية لكل واحد منكم.

اكتب في دفتر ملاحظاتك موضوع الدرس: "طرق حل المعادلات اللوغاريتمية." أدعو الجميع للتعاون.

ثانيًا. تحديث المعرفة الأساسية

دعنا نستعد لدراسة موضوع الدرس. تقوم بحل كل مهمة وتدوين الإجابة ، لا يمكنك كتابة الشرط. العمل في ازواج.

1) ما هي قيم x التي تجعل الدالة منطقية:

أ)

ب)

الخامس)

ه)

(يتم التحقق من الإجابات لكل شريحة ويتم فرز الأخطاء)

2) هل تتطابق الرسوم البيانية الوظيفية؟

أ) ص = س و

ب)و

3) أعد كتابة المساواة على أنها مساواة لوغاريتمية:

4) اكتب الأرقام على شكل لوغاريتمات ذات الأساس 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) احسب :

6) حاول استعادة أو إكمال العناصر المفقودة في هذه المساواة.

ثالثا. مقدمة عن مادة جديدة

يتم عرض البيان على الشاشة:

"المعادلة هي المفتاح الذهبي الذي يفتح كل السمسم الرياضي."
عالم الرياضيات البولندي الحديث س. كوفال

حاول صياغة تعريف المعادلة اللوغاريتمية. (معادلة تحتوي على مجهول تحت علامة اللوغاريتم ).

يعتبرأبسط معادلة لوغاريتمية: سجل أ س = ب (حيث أ> 0 ، أ 1). نظرًا لأن الدالة اللوغاريتمية تزيد (أو تنقص) على مجموعة الأرقام الموجبة وتأخذ جميع القيم الحقيقية ، فإنها تتبع من نظرية الجذر أنه بالنسبة لأي b ، فإن هذه المعادلة لها ، علاوة على ذلك ، حل واحد فقط ، وحل موجب.

تذكر تعريف اللوغاريتم. (لوغاريتم الرقم x للقاعدة a هو الأس الذي يجب رفع القاعدة a إليه للحصول على الرقم x ). يتبع على الفور من تعريف اللوغاريتم ذلكأ الخامس مثل هذا الحل.

اكتب العنوان:طرق حل المعادلات اللوغاريتمية

1. بتعريف اللوغاريتم .

هذه هي طريقة أبسط المعادلات في الصورة.

يعتبررقم 514 (أ ): حل المعادلة

كيف تقترح حلها؟ (من خلال تعريف اللوغاريتم )

حل . ومن ثم 2x - 4 = 4 ؛ س = 4.

الجواب: 4.

في هذه المهمة ، 2x - 4> 0 ، منذ ذلك الحين> 0 ، لذلك لا يمكن أن تظهر أي جذور دخيلة ، والتحقق ليس ضروريا . الشرط 2x - 4> 0 في هذه المهمة ليس ضروريًا للكتابة.

2. التقوية (الانتقال من لوغاريتم التعبير المحدد إلى هذا التعبير نفسه).

يعتبررقم 519 (ز): سجل 5 ( x 2 +8)- سجل 5 ( x+1)=3 سجل 5 2

ما الميزة التي لاحظتها؟(الأسس هي نفسها ولوغاريتمات التعبيرين متساوية) . ماذا يمكن ان يفعل؟(تقوية).

في هذه الحالة ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن أي حل موجود بين جميع س التي تكون التعبيرات اللوغاريتمية لها موجبة.

حل: ODZ:

X 2 +8> 0 عدم مساواة إضافية

سجل 5 ( x 2 +8) = سجل 5 2 3 + سجل 5 ( x+1)

سجل 5 ( x 2 +8)= سجل 5 (8 x+8)

تقوية المعادلة الأصلية

x 2 +8= 8 x+8

نحصل على المعادلةx 2 +8= 8 x+8

لنحلها:x 2 -8 x=0

س = 0 ، س = 8

الجواب: 0؛ 8

على العمومالانتقال إلى نظام مكافئ :

المعادلة

(يحتوي النظام على شرط زائد - يمكن تجاهل إحدى المتباينات).

سؤال للفصل : أي من هذه الحلول الثلاثة أعجبك أكثر؟ (مناقشة الأساليب).

لديك الحق في أن تقرر بأي شكل من الأشكال.

3. إدخال متغير جديد .

يعتبررقم 520 (ز) . .

ماذا لاحظت؟ (هذه معادلة من الدرجة الثانية لـ log3x) اقتراحاتك؟ (إدخال متغير جديد)

حل . ODZ: x> 0.

يترك، ثم تأخذ المعادلة الشكل:. التمييز D> 0. الجذور حسب نظرية فييتا:.

العودة إلى الاستبدال:أو.

بحل أبسط المعادلات اللوغاريتمية ، نحصل على:

; .

إجابة : 27;

4. لوغاريتم طرفي المعادلة.

حل المعادلة:.

حل : ODZ: x> 0 ، نأخذ لوغاريتم كلا طرفي المعادلة في الأساس 10:

. تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

دع lgx = y ، ثم (y + 3) y = 4

، (D> 0) الجذور وفقًا لنظرية فييتا: y1 = -4 و y2 = 1.

دعنا نعود إلى البديل ، نحصل على: lgx = -4 ،؛ logx = 1 ،. . وهي كالاتي: إذا كانت إحدى الوظائف ص = و (س) يزيد والآخر ص = ز (س) ينخفض ​​في الفترة X ، ثم المعادلة و (س) = ز (س) له جذر واحد على الأكثر في الفترة X .

إذا كان هناك جذر ، فيمكن تخمينه. .

إجابة : 2

« الاستخدام الصحيحيمكن تعلم الأساليب
فقط من خلال تطبيقها على أمثلة مختلفة.
المؤرخ الدنماركي للرياضيات جي جي زيتن

أنا الخامس. العمل في المنزل

ص 39 انظر إلى المثال 3 ، حل رقم 514 (ب) ، رقم 529 (ب) ، رقم 520 (ب) ، رقم 523 (ب)

خامسا تلخيص الدرس

ما هي طرق حل المعادلات اللوغاريتمية التي أخذناها في الاعتبار في الدرس؟

في الدرس التالي ، سنلقي نظرة على المزيد معادلات معقدة. لحلها ، تعتبر الطرق المدروسة مفيدة.

إظهار الشريحة الأخيرة:

"ما هو أكثر من أي شيء في العالم؟
فضاء.
ما هو أحكم؟
وقت.
ما هو أكثر متعة؟
حقق ما تريد ".
طاليس

أريد أن يحقق الجميع ما يريدون. شكرا لكم لتعاونكم والتفاهم.

حل المعادلات اللوغاريتمية. الجزء 1.

المعادلة اللوغاريتميةتسمى معادلة يتم فيها احتواء المجهول تحت علامة اللوغاريتم (على وجه الخصوص ، في قاعدة اللوغاريتم).

الكائنات الاوليه معادلة لوغاريتميةيشبه:

حل أي معادلة لوغاريتميةيتضمن الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات تحت علامة اللوغاريتمات. ومع ذلك ، فإن هذا الإجراء يوسع النطاق القيم المسموح بهاالمعادلات ويمكن أن تؤدي إلى ظهور جذور دخيلة. لتجنب ظهور الجذور الدخيلةيمكنك القيام بذلك بإحدى الطرق الثلاث:

1. قم بإجراء انتقال مكافئمن المعادلة الأصلية إلى نظام بما في ذلك

اعتمادا على أي عدم المساواة أو أسهل.

إذا كانت المعادلة تحتوي على مجهول في قاعدة اللوغاريتم:

ثم نذهب إلى النظام:

2. ابحث بشكل منفصل عن نطاق القيم المقبولة للمعادلة، ثم حل المعادلة وتحقق مما إذا كانت الحلول التي تم العثور عليها تفي بالمعادلة.

3. حل المعادلة ، ثم قم بفحص:استبدل الحلول التي تم العثور عليها في المعادلة الأصلية ، وتحقق مما إذا كنا نحصل على المساواة الصحيحة.

دائمًا ما تختزل المعادلة اللوغاريتمية لأي مستوى من التعقيد في النهاية إلى أبسط معادلة لوغاريتمية.

يمكن تقسيم جميع المعادلات اللوغاريتمية إلى أربعة أنواع:

1 . المعادلات التي تحتوي على لوغاريتمات للقوة الأولى فقط. بمساعدة التحولات والاستخدام ، يتم تقليلها إلى النموذج

مثال. لنحل المعادلة:

مساواة التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم:

دعنا نتحقق مما إذا كان جذر المعادلة يرضي:

نعم ، يرضي.

الجواب: س = 5

2 . المعادلات التي تحتوي على لوغاريتمات لقوة أخرى غير 1 (على وجه الخصوص ، في مقام الكسر). يتم حل هذه المعادلات باستخدام إدخال تغيير في المتغير.

مثال.لنحل المعادلة:

لنجد معادلة ODZ:

تحتوي المعادلة على مربع لوغاريتمات ، لذلك يتم حلها باستخدام تغيير المتغير.

مهم! قبل تقديم البديل ، تحتاج إلى "سحب" اللوغاريتمات التي تشكل جزءًا من المعادلة إلى "قوالب" باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

عند "سحب" اللوغاريتمات ، من المهم تطبيق خصائص اللوغاريتمات بعناية شديدة:

بالإضافة إلى ذلك ، هناك مكان أكثر دقة هنا ، ولتجنب خطأ شائع ، سنستخدم مساواة وسيطة: نكتب درجة اللوغاريتم في هذا النموذج:

على نفس المنوال،

نعوض بالتعبيرات التي تم الحصول عليها في المعادلة الأصلية. نحن نحصل:

الآن نرى أن المجهول موجود في المعادلة كجزء من. نقدم البديل:. نظرًا لأنه يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية ، فإننا لا نفرض أي قيود على المتغير.

كما تعلم ، عند ضرب التعابير ذات القوى ، يتم جمع الأسس دائمًا (أ ب * أ ج = أ ب + ج). اشتق أرخميدس هذا القانون الرياضي ، وفي وقت لاحق ، في القرن الثامن ، أنشأ عالم الرياضيات فيراسن جدولًا لمؤشرات الأعداد الصحيحة. كانوا هم الذين خدموا لمزيد من اكتشاف اللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في كل مكان تقريبًا حيث يلزم تبسيط الضرب المرهق إلى عملية الجمع البسيطة. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال ، فسنشرح لك ماهية اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. لغة بسيطة وسهلة الوصول.

التعريف في الرياضيات

اللوغاريتم هو تعبير عن النموذج التالي: log a b = c ، أي لوغاريتم أي رقم غير سالب (أي ، أي موجب) "b" في قاعدته "a" هي القوة "c" التي يجب رفع القاعدة "a" إليها من أجل الحصول في النهاية على القيمة "b". دعنا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة ، دعنا نقول أن هناك تعبير log 2 8. كيف تجد الإجابة؟ الأمر بسيط للغاية ، تحتاج إلى العثور على الدرجة التي تحصل عليها من 2 إلى الدرجة المطلوبة 8. وبعد إجراء بعض الحسابات في ذهنك ، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح ، لأن 2 أس 3 يعطي الرقم 8 في الإجابة.

أنواع اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب ، يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم ، ولكن في الواقع ، اللوغاريتمات ليست مخيفة جدًا ، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة أنواع مختلفة من التعبيرات اللوغاريتمية:

1. اللوغاريتم الطبيعي ln a ، حيث الأساس هو رقم أويلر (e = 2.7).
2. العلامة العشرية a حيث الأساس هو 10.
3. لوغاريتم أي عدد ب للقاعدة أ> 1.

يتم حل كل منها بطريقة قياسية ، بما في ذلك التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات ، يجب على المرء أن يتذكر خصائصها وترتيب الإجراءات في قراراتهم.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات ، هناك العديد من قيود القواعد المقبولة كبديهية ، أي أنها لا تخضع للنقاش وهي صحيحة. على سبيل المثال ، من المستحيل قسمة الأرقام على صفر ، ومن المستحيل أيضًا استخراج جذر الدرجة الزوجية من الأرقام السالبة. تمتلك اللوغاريتمات أيضًا قواعدها الخاصة ، والتي يمكنك بعدها بسهولة معرفة كيفية العمل حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

• يجب أن تكون القاعدة "a" دائمًا أكبر من الصفر ، وفي نفس الوقت لا تساوي 1 ، وإلا فإن التعبير سيفقد معناه ، لأن "1" و "0" إلى أي درجة تساوي دائمًا قيمهما ؛
• إذا كانت a> 0 ، ثم a b> 0 ، فقد اتضح أن "c" يجب أن تكون أكبر من صفر.

كيف تحل اللوغاريتمات؟

على سبيل المثال ، تم تكليف المهمة للعثور على إجابة المعادلة 10 × \ u003d 100. إنه أمر سهل للغاية ، تحتاج إلى اختيار مثل هذه القوة ، ورفع الرقم عشرة الذي نحصل عليه 100. هذا ، بالطبع ، هو 10 2 \ u003d 100.

الآن لنمثل هذا المقدار على أنه واحد لوغاريتمي. نحصل على log 10 100 = 2. عند حل اللوغاريتمات ، تتقارب جميع الإجراءات عمليًا لإيجاد الدرجة التي يجب إدخال أساس اللوغاريتم عندها للحصول على رقم معين.

لتحديد قيمة الدرجة غير المعروفة بدقة ، يجب أن تتعلم كيفية التعامل مع جدول الدرجات. تبدو هكذا:

كما ترى ، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقلية تقنية ومعرفة بجدول الضرب. ومع ذلك ، ستتطلب القيم الأكبر جدول طاقة. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يفهمون أي شيء على الإطلاق في الموضوعات الرياضية المعقدة. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (القاعدة أ) ، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج ، التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع في الخلايا ، يتم تحديد قيم الأرقام ، وهي الإجابة (أ ج = ب). لنأخذ ، على سبيل المثال ، الخلية الأولى التي تحتوي على الرقم 10 وتربيعها ، نحصل على القيمة 100 ، والتي يشار إليها عند تقاطع خليتينا. كل شيء بسيط للغاية وسهل حتى يفهمه حتى أكثر إنساني حقيقي!

المعادلات وعدم المساواة

اتضح أنه في ظل ظروف معينة ، يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك ، يمكن كتابة أي تعبيرات عددية رياضية كمعادلة لوغاريتمية. على سبيل المثال ، 3 4 = 81 يمكن كتابتها على أنها لوغاريتم 81 للأساس 3 ، وهو أربعة (log 3 81 = 4). بالنسبة للقوى السالبة ، القواعد هي نفسها: 2-5 = 1/32 نكتب كلوغاريتم ، نحصل على log 2 (1/32) = -5. أحد أكثر أقسام الرياضيات روعة هو موضوع "اللوغاريتمات". سننظر في أمثلة وحلول للمعادلات أقل قليلاً ، مباشرة بعد دراسة خصائصها. الآن دعونا نلقي نظرة على شكل المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.

يتم إعطاء تعبير بالصيغة التالية: log 2 (x-1)> 3 - إنها متباينة لوغاريتمية ، لأن القيمة غير المعروفة "x" تحت علامة اللوغاريتم. وأيضًا في التعبير تتم مقارنة كميتين: لوغاريتم الرقم المطلوب في الأساس الثاني أكبر من الرقم ثلاثة.

يتمثل الاختلاف الأكثر أهمية بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات في أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (على سبيل المثال ، لوغاريتم 2 × = √9) تشير إلى قيمة عددية محددة أو أكثر في الإجابة ، بينما عند حل عدم المساواة ، يتم تحديد منطقة القيم المسموح بها ونقاط انقطاع هذه الوظيفة. نتيجة لذلك ، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية ، كما هو الحال في إجابة المعادلة ، ولكنها سلسلة متصلة أو مجموعة من الأرقام.

النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية لإيجاد قيم اللوغاريتم ، قد لا تكون خصائصه معروفة. ومع ذلك ، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة ، فمن الضروري أولاً أن نفهم بوضوح وتطبيق جميع الخصائص الأساسية للوغاريتمات في الممارسة العملية. سنتعرف على أمثلة المعادلات لاحقًا ، دعنا أولاً نحلل كل خاصية بمزيد من التفصيل.

1. تبدو الهوية الأساسية كما يلي: a logaB = B. يتم تطبيقه فقط إذا كان a أكبر من 0 ، ولا يساوي واحدًا ، وكان B أكبر من صفر.
2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج بالصيغة التالية: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. في هذه الحالة ، يكون المتطلب الأساسي: d، s 1 and s 2> 0؛ أ ≠ 1. يمكنك تقديم دليل على صيغة اللوغاريتمات هذه ، مع أمثلة وحل. دع السجل a s 1 = f 1 وسجل a s 2 = f 2 ، ثم f1 = s 1 ، a f2 = s 2. نحصل على s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (خصائص الدرجة) ، وكذلك بالتعريف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ، كمحور مطلوب للإثبات.
3. يبدو لوغاريتم حاصل القسمة على النحو التالي: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. تأخذ النظرية في شكل صيغة الصيغة التالية: log a q b n = n / q log a b.

هذه الصيغة تسمى "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية ، وهذا ليس مفاجئًا ، لأن كل الرياضيات تقوم على افتراضات منتظمة. دعونا نلقي نظرة على الدليل.

دع السجل أ ب \ u003d t ، اتضح أن t \ u003d ب. إذا رفعت كلا الجزأين إلى القوة m: a tn = b n ؛

ولكن بما أن tn = (a q) nt / q = b n ، وبالتالي سجل a q b n = (n * t) / t ، ثم سجل a q b n = n / q log a b. لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع مسائل اللوغاريتم شيوعًا هي أمثلة على المعادلات والمتباينات. تم العثور عليها في جميع الكتب المشكلة تقريبًا ، كما يتم تضمينها أيضًا في الجزء الإلزامي من امتحانات الرياضيات. للقبول في الجامعة أو النجاح امتحانات القبولفي الرياضيات ، تحتاج إلى معرفة كيفية حل هذه المشكلات بشكل صحيح.

لسوء الحظ ، لا توجد خطة أو مخطط واحد لحل وتحديد القيمة غير المعروفة للوغاريتم ، ومع ذلك ، يمكن تطبيق قواعد معينة على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. أولًا ، يجب أن تعرف ما إذا كان التعبير يمكن تبسيطه أم اختزاله إلى نظرة عامة. بسّط طويلاً التعبيرات اللوغاريتميةيمكنك ، إذا كنت تستخدم خصائصهم بشكل صحيح. دعنا نتعرف عليهم قريبا.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية ، من الضروري تحديد نوع اللوغاريتم الموجود أمامنا: مثال للتعبير قد يحتوي على لوغاريتم طبيعي أو لوغاريتم عشري.

فيما يلي أمثلة ln100 ، ln1026. يتلخص حلهم في حقيقة أنك تحتاج إلى تحديد الدرجة التي سيكون عندها الأساس 10 مساويًا لـ 100 و 1026 على التوالي. للحصول على حلول اللوغاريتمات الطبيعية ، يجب على المرء تطبيق الهويات اللوغاريتمية أو خصائصها. دعنا نلقي نظرة على الحل بالأمثلة. مشاكل لوغاريتميةنوع مختلف.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع أمثلة وحلول

لذا ، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الرئيسية في اللوغاريتمات.

1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام التي يكون من الضروري توسيعها أهمية عظيمةالأرقام ب إلى عوامل أبسط. على سبيل المثال ، السجل 2 4 + السجل 2128 = السجل 2 (4 * 128) = السجل 2512. الإجابة هي 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - كما ترون ، باستخدام الخاصية الرابعة لدرجة اللوغاريتم ، تمكنا من حل تعبير معقد وغير قابل للحل للوهلة الأولى. من الضروري فقط تحليل الأساس ثم أخذ قيم الأس من علامة اللوغاريتم.

مهام من الامتحان

غالبًا ما توجد اللوغاريتمات في امتحانات القبول ، خاصةً الكثير من المشكلات اللوغاريتمية في اختبار الدولة الموحدة (امتحان رسمي لجميع خريجي المدارس). عادةً ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أسهل جزء للاختبار من الاختبار) ، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر صعوبة وضخامة). يتضمن الاختبار معرفة دقيقة وكاملة لموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

الأمثلة وحلول المشاكل مأخوذة من المسؤول خيارات الاستخدام. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام.

معطى السجل 2 (2x-1) = 4. الحل:
دعونا نعيد كتابة التعبير ، ونبسطه قليلاً log 2 (2x-1) = 2 2 ، من خلال تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1 = 2 4 ، وبالتالي 2x = 17 ؛ س = 8.5.

• من الأفضل اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس القاعدة بحيث لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
• يشار إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها موجبة ، لذلك ، عند إخراج الأس الأس للتعبير ، الذي يقع تحت علامة اللوغاريتم وكقاعدة له ، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.

في هذا الدرس ، سنكرر الحقائق النظرية الأساسية حول اللوغاريتمات وننظر في حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية.

أذكر التعريف المركزي - تعريف اللوغاريتم. يتعلق بالقرار المعادلة الأسية. هذه المعادلة لها جذر واحد ، وتسمى لوغاريتم b للقاعدة a:

تعريف:

لوغاريتم الرقم b للقاعدة a هو الأس الذي يجب رفع القاعدة a إليه للحصول على الرقم b.

يتذكر الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

التعبير (التعبير 1) هو جذر المعادلة (التعبير 2). نعوض بقيمة x من التعبير 1 بدلاً من x في التعبير 2 ونحصل على المتطابقة اللوغاريتمية الأساسية:

لذلك نرى أن كل قيمة لها قيمة. نشير إلى b لـ x () ، c لـ y ، وبالتالي نحصل على الوظيفة اللوغاريتمية:

على سبيل المثال:

تذكر الخصائص الأساسية للدالة اللوغاريتمية.

دعونا ننتبه مرة أخرى ، هنا ، لأنه تحت اللوغاريتم يمكن أن يكون هناك تعبير موجب تمامًا ، كأساس اللوغاريتم.

أرز. 1. رسم بياني للدالة اللوغاريتمية لقواعد مختلفة

يظهر الرسم البياني للوظيفة في باللون الأسود. أرز. 1. إذا زادت الوسيطة من صفر إلى ما لا نهاية ، تزداد الدالة من سالب إلى زائد ما لا نهاية.

يظهر الرسم البياني للوظيفة في باللون الأحمر. أرز. 1.

خصائص هذه الوظيفة:

اِختِصاص: ؛

مدى من القيم: ؛

الوظيفة رتيبة على كامل مجال تعريفها. عندما تزيد بشكل رتيب (بشكل صارم) ، تتوافق القيمة الأكبر للوسيطة مع القيمة الأكبر للدالة. عندما تنخفض بشكل رتيب (بشكل صارم) ، فإن القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع القيمة الأصغر للدالة.

خصائص الدالة اللوغاريتمية هي المفتاح لحل المعادلات اللوغاريتمية المختلفة.

ضع في اعتبارك أبسط معادلة لوغاريتمية ؛ يتم تقليل جميع المعادلات اللوغاريتمية الأخرى ، كقاعدة عامة ، إلى هذه الصيغة.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات واللوغاريتمات نفسها متساوية ، فإن الوظائف تحت اللوغاريتم متساوية أيضًا ، لكن يجب ألا نفقد مجال التعريف. فقط عدد موجب يمكن أن يقف تحت اللوغاريتم ، لدينا:

اكتشفنا أن الدالتين f و g متساويتان ، لذا يكفي اختيار أي متباينة واحدة للتوافق مع ODZ.

وهكذا حصلنا على نظام مختلط فيه معادلة وعدم مساواة:

عدم المساواة ، كقاعدة عامة ، ليس من الضروري حلها ، يكفي حل المعادلة واستبدال الجذور الموجودة في المتباينة ، وبالتالي إجراء فحص.

دعونا نصيغ طريقة لحل أبسط المعادلات اللوغاريتمية:

معادلة قواعد اللوغاريتمات ؛

تعادل التوابع اللوغاريتمية الفرعية ؛

قم بإجراء فحص.

دعنا نفكر في أمثلة محددة.

مثال 1 - حل المعادلة:

قواعد اللوغاريتمات متساوية في البداية ؛

مثال 2 - حل المعادلة:

تختلف هذه المعادلة عن السابقة في أن قواعد اللوغاريتمات أقل من واحد ، لكن هذا لا يؤثر على الحل بأي شكل من الأشكال:

لنجد الجذر ونستبدله في المتباينة:

لقد حصلنا على متباينة غير صحيحة ، مما يعني أن الجذر الموجود لا يلبي ODZ.

مثال 3 - حل المعادلة:

قواعد اللوغاريتمات متساوية في البداية ؛

لنجد الجذر ونستبدله في المتباينة:

من الواضح أن الجذر الأول فقط يرضي ODZ.