نظريات الجمع وضرب الاحتمالات.
أحداث تابعة ومستقلة

العنوان يبدو مخيفًا ، لكنه في الواقع بسيط جدًا. في هذا الدرس ، سوف نتعرف على نظريات جمع ومضاعفة احتمالات الحدث ، وكذلك تحليل المهام النموذجية التي ، جنبًا إلى جنب مع مهمة للتعريف الكلاسيكي للاحتمالستلتقي بالتأكيد أو ، على الأرجح ، قد اجتمعت بالفعل في طريقك. ل التعلم الفعالمواد هذه المقالة ، تحتاج إلى معرفة وفهم المصطلحات الأساسية نظرية الاحتمالاتويكون قادرًا على إجراء عمليات حسابية بسيطة. كما ترى ، مطلوب القليل جدًا ، وبالتالي فإن زيادة الدهون في الأصل مضمونة تقريبًا. لكن من ناحية أخرى ، أحذر مرة أخرى من الموقف السطحي تجاه أمثلة عملية- هناك أيضا ما يكفي من التفاصيل الدقيقة. حظ سعيد:

نظرية الإضافة لاحتمالات الأحداث غير المتوافقة: احتمال حدوث أحدهما غير متوافقأحداث أو (بغض النظر)، يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

حقيقة مماثلة هي أيضا صحيحة ل أكثرأحداث غير متوافقة ، على سبيل المثال ، لثلاثة أحداث غير متوافقة و:

نظرية الحلم =) ومع ذلك ، فإن مثل هذا الحلم يخضع أيضًا للإثبات ، والذي يمكن العثور عليه ، على سبيل المثال ، في دليل الدراسةفي. جمورمان.

دعنا نتعرف على مفاهيم جديدة غير مرئية حتى الآن:

أحداث تابعة ومستقلة

لنبدأ بلا الأحداث التابعة. الأحداث مستقل إذا كان احتمال الحدوث أيا منهم لا تعتمدمن ظهور / عدم ظهور الأحداث الأخرى للمجموعة المدروسة (في جميع المجموعات الممكنة). ... ولكن ما هناك لطحن العبارات الشائعة:

نظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة: احتمال حدوث مشترك لأحداث مستقلة ويساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث:

لنعد إلى أبسط مثال للدرس الأول ، حيث يتم رمي عملتين والأحداث التالية:

- ستسقط الرؤوس على العملة الأولى ؛
- رؤوس على العملة الثانية.

لنجد احتمال وقوع الحدث (ستظهر الصورة على العملة الأولى وسيظهر النسر على العملة الثانية - تذكر كيف تقرأ نتاج الأحداث!) . لا تعتمد احتمالية الحصول على وجه لعملة واحدة على نتيجة رمي عملة أخرى ، وبالتالي فإن الأحداث مستقلة.

بصورة مماثلة:
هو احتمال أن تهبط العملة الأولى وعلى الذيل الثاني
هو احتمال ظهور الوجه على العملة الأولى وعلى الذيل الثاني
هو احتمال هبوط العملة الأولى على ذيول وعلى النسر الثاني.

لاحظ أن شكل الأحداث مجموعة كاملةومجموع احتمالاتهم يساوي واحدًا:.

من الواضح أن نظرية الضرب تمتد إلى عدد أكبر من الأحداث المستقلة ، لذلك ، على سبيل المثال ، إذا كانت الأحداث مستقلة ، فإن احتمال حدوثها المشترك هو:. دعونا نتدرب على أمثلة ملموسة:

المهمة 3

كل صندوق من الصناديق الثلاثة يحتوي على 10 أجزاء. يوجد في المربع الأول 8 أجزاء قياسية ، في المربع الثاني - 7 ، في المربع الثالث - 9. تتم إزالة جزء واحد عشوائيًا من كل صندوق. أوجد احتمال أن تكون كل الأجزاء معيارية.

حل: احتمال استخراج المعيار أو جزء غير قياسيمن أي صندوق لا يعتمد على الأجزاء التي سيتم استخلاصها من المربعات الأخرى ، لذا فإن المشكلة تتعامل مع أحداث مستقلة. تأمل الأحداث المستقلة التالية:

- تمت إزالة الجزء القياسي من الصندوق الأول ؛
- تمت إزالة الجزء القياسي من الصندوق الثاني ؛
- تمت إزالة الجزء القياسي من الدرج الثالث.

حسب التعريف الكلاسيكي:
هي الاحتمالات المقابلة.

حدث نحن مهتمون به (سيتم أخذ الجزء القياسي من الدرج الأول ومن المستوى الثاني ومن المعيار الثالث)عن طريق المنتج.

وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:

هو احتمال استخراج جزء قياسي واحد من ثلاثة مربعات.

إجابة: 0,504

بعد تمارين تنشيط مع الصناديق ، لا تنتظرنا الجرار الأقل إثارة للاهتمام:

المهمة 4

ثلاث جرارات تحتوي على 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. يتم سحب كرة واحدة عشوائيًا من كل جرة. أوجد احتمال: أ) أن الكرات الثلاث كلها بيضاء ؛ ب) ستكون الكرات الثلاث جميعها من نفس اللون.

بناءً على المعلومات الواردة ، خمن كيفية التعامل مع عنصر "be" ؛-) عينة عينةتم تصميم القرار بأسلوب أكاديمي مع وصف مفصل لجميع الأحداث.

الأحداث التابعة. يسمى الحدث متكل إذا كان احتماله يعتمد علىمن واحد أو أكثر من الأحداث التي حدثت بالفعل. لست مضطرًا للذهاب بعيدًا للحصول على أمثلة - ما عليك سوى الانتقال إلى أقرب متجر:

- غدا الساعة 19.00 خبز طازج سيطرح للبيع.

يعتمد احتمال حدوث هذا الحدث على العديد من الأحداث الأخرى: ما إذا كان سيتم توصيل الخبز الطازج غدًا ، وما إذا كان سيتم بيعه قبل الساعة 7 مساءً أم لا ، وما إلى ذلك. يعتمد على ظروف مختلفةيمكن أن يكون حدثًا معينًا مؤكدًا ومستحيلًا. لذا فإن الحدث متكل.

الخبز ... وكما طلب الرومان السيرك:

- في الامتحان سيحصل الطالب على تذكرة بسيطة.

إذا لم تذهب إلى البداية ، فسيعتمد الحدث ، لأن احتماله سيعتمد على التذاكر التي رسمها زملاء الدراسة بالفعل.

كيف تحدد التبعية / استقلال الأحداث؟

في بعض الأحيان يتم ذكر ذلك بشكل مباشر في حالة المشكلة ، ولكن في أغلب الأحيان يتعين عليك إجراء تحليل مستقل. لا يوجد دليل واضح هنا ، وحقيقة الاعتماد أو استقلال الأحداث تنبع من التفكير المنطقي الطبيعي.

من أجل عدم رمي كل شيء في كومة واحدة ، المهام للأحداث التابعةسأسلط الضوء على الدرس التالي ، لكن في الوقت الحالي سننظر في مجموعة النظريات الأكثر شيوعًا في الممارسة:

مشاكل في نظريات الجمع للاحتمالات غير المتسقة
وضرب احتمالات الأحداث المستقلة

هذا الترادف ، وفقًا لتقييمي الشخصي ، يعمل في حوالي 80 ٪ من المهام المتعلقة بالموضوع قيد الدراسة. ضرب من الضربات وكلاسيكية حقيقية لنظرية الاحتمالات:

المهمة 5

أطلق اثنان من الرماة رصاصة واحدة على الهدف. احتمال إصابة الرامي الأول هو 0.8 ، والثاني - 0.6. أوجد احتمال أن:

أ) يصيب مطلق نار واحد الهدف ؛
ب) يصيب أحد الرماة على الأقل الهدف.

حل: من الواضح أن احتمال الضربة / الخطأ لأحد الرماة مستقل عن أداء الرامي الآخر.

ضع في اعتبارك الأحداث:
- مطلق النار الأول سيصيب الهدف ؛
- يصيب مطلق النار الثاني الهدف.

حسب الشرط:.

لنجد احتمالات الأحداث المعاكسة - التي ستفقدها الأسهم المقابلة:

أ) ضع في اعتبارك الحدث: - يصيب مطلق نار واحد الهدف. يتكون هذا الحدث من نتيجتين غير متوافقين:

سوف يضرب مطلق النار الأول و 2 يخطئ
أو
الأول سيفتقد وسوف يضرب الثاني.

على اللسان حدث الجبريمكن كتابة هذه الحقيقة على النحو التالي:

أولاً ، نستخدم نظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة ، ثم - نظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:

هو احتمال أن تكون هناك إصابة واحدة فقط.

ب) ضع في اعتبارك الحدث: - سيضرب أحد الرماة على الأقل الهدف.

بادئ ذي بدء ، دعنا نفكر - ماذا يعني الشرط "واحد على الأقل"؟ في هذه الحالة ، هذا يعني أن مطلق النار الأول سيضرب (سيفتقد الثاني) أوالثانية (أول يخطئ) أوكلا السهمين في وقت واحد - ما مجموعه 3 نتائج غير متوافقة.

الطريقة الأولى: بالنظر إلى الاحتمالية المعدة للعنصر السابق ، من الملائم تمثيل الحدث كمجموع للأحداث المنفصلة التالية:

سيحصل المرء (حدث يتكون بدوره من نتيجتين غير متوافقين) أو
إذا ضرب كلا السهمين ، فإننا نشير إلى هذا الحدث بالحرف.

هكذا:

وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال إصابة مطلق النار الأول وسوف يضرب مطلق النار الثاني.

وفقًا لنظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة:
هو احتمال إصابة الهدف بضربة واحدة على الأقل.

الطريقة الثانية: ضع في اعتبارك الحدث المعاكس: - سيفوت كلا الرماة.

وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:

نتيجة ل:

انتبه بشكل خاص للطريقة الثانية - فهي بشكل عام أكثر عقلانية.

بالإضافة إلى ذلك ، هناك طريقة بديلة ثالثة للحل ، تستند إلى نظرية تلخيص الأحداث المشتركة ، والتي كانت صامتة أعلاه.

! إذا كنت تقرأ المادة لأول مرة ، فمن الأفضل تخطي الفقرة التالية لتجنب الالتباس.

الطريقة الثالثة : الأحداث مشتركة ، مما يعني أن مجموعها يعبر عن الحدث "اصطدم مطلق نار واحد على الأقل بالهدف" (انظر الشكل. حدث الجبر). بواسطة نظرية إضافة احتمالات الأحداث المشتركةونظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:

دعنا نتحقق من: الأحداث و (0 ، 1 و 2 على التوالي)يشكلون مجموعة كاملة ، لذا يجب أن يكون مجموع احتمالاتهم مساويًا لواحد:
، والتي كان من المقرر التحقق منها.

إجابة:

من خلال دراسة شاملة لنظرية الاحتمالية ، ستصادف عشرات المهام ذات المحتوى العسكري ، وهو أمر نموذجي ، بعد ذلك لن ترغب في إطلاق النار على أي شخص - المهام تكاد تكون هدية. لماذا لا تجعل القالب أكثر بساطة؟ لنختصر المدخل:

حل: حسب الشرط: هو احتمال إصابة الرماة المناسبين. ثم احتمالات الخطأ لديهم هي:

أ) وفقًا لنظريات إضافة احتمالات عدم التوافق ومضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال أن يصيب مطلق نار واحد الهدف.

ب) وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال أن يفوت كلا الرماة.

إذن: هو احتمال إصابة أحد الرماة على الأقل بالهدف.

إجابة:

في الممارسة العملية ، يمكنك استخدام أي خيار تصميم. بالطبع ، غالبًا ما يذهبون إلى الطريق القصير ، ولكن لا ينبغي لأحد أن ينسى الطريقة الأولى - على الرغم من أنها أطول ، فهي أكثر وضوحًا - فهي أكثر وضوحًا فيها ، ماذا ولماذا ولماذايضيف ويتضاعف. في بعض الحالات ، يكون النمط المختلط مناسبًا عندما بأحرف كبيرةمن الملائم الإشارة إلى بعض الأحداث فقط.

مهام مماثلة لـ حل مستقل:

المهمة 6

تم تركيب جهازي استشعار يعملان بشكل مستقل لإنذار الحريق. تبلغ احتمالية أن يعمل المستشعر أثناء الحريق 0.5 و 0.7 للمستشعر الأول والثاني على التوالي. أوجد احتمالية حدوث حريق:

أ) سيفشل كلا المستشعرين ؛
ب) سيعمل كلا المستشعرين.
ج) استخدام إضافة نظرية لاحتمالات الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة، أوجد احتمالية أن جهاز استشعار واحد فقط سيعمل أثناء الحريق. تحقق من النتيجة عن طريق الحساب المباشر لهذا الاحتمال (باستخدام نظريات الجمع والضرب).

هنا ، يتم توضيح استقلالية تشغيل الأجهزة بشكل مباشر في الحالة ، والتي ، بالمناسبة ، توضيح مهم. تم تصميم نموذج الحل بأسلوب أكاديمي.

ماذا لو ، في مشكلة مماثلة ، أعطيت نفس الاحتمالات ، على سبيل المثال ، 0.9 و 0.9؟ عليك أن تقرر نفس الشيء بالضبط! (والذي ، في الواقع ، تم توضيحه بالفعل في المثال بعملتين)

المهمة 7

احتمالية إصابة الهدف بالرامي الأول بطلقة واحدة هي 0.8. احتمال عدم إصابة الهدف بعد إطلاق الرماة الأول والثاني طلقة واحدة هو 0.08. ما هو احتمالية إصابة الهدف بالهدف الثاني برصاصة واحدة؟

وهذا لغز صغير ، مؤطر بإيجاز. يمكن إعادة صياغة الشرط بشكل أكثر إيجازًا ، لكنني لن أعيد صياغة الأصل - عمليًا ، يجب أن أتعمق في المزيد من التلفيقات المزخرفة.

قابله - هو الشخص الذي قطع قدرًا غير محسوب من التفاصيل لك =):

المهمة 8

عامل يشغل ثلاث ماكينات. احتمال أن تتطلب الآلة الأولى تعديلًا أثناء التغيير هو 0.3 ، والثاني - 0.75 ، والثالث - 0.4. أوجد الاحتمال أنه خلال التحول:

أ) تتطلب جميع الآلات التعديل ؛
ب) آلة واحدة فقط تتطلب التعديل ؛
ج) سيتطلب جهاز واحد على الأقل التعديل.

حل: لأن الشرط لا يقول شيئا عن واحد العملية التكنولوجية، ثم يجب اعتبار تشغيل كل آلة مستقلاً عن تشغيل الآلات الأخرى.

بالقياس مع المهمة رقم 5 ، يمكنك هنا مراعاة الأحداث التي تتكون من حقيقة أن الآلات المقابلة ستتطلب تعديلًا أثناء التحول ، وتدوين الاحتمالات ، والعثور على احتمالات الأحداث المعاكسة ، وما إلى ذلك. لكن مع ثلاثة أشياء ، لا أريد حقًا أن أرسم المهمة من هذا القبيل - ستصبح طويلة ومملة. لذلك ، من المربح بشكل ملحوظ استخدام النمط "السريع" هنا:

حسب الشرط: - احتمال أن تتطلب الآلات المقابلة ضبطًا أثناء المناوبة. ثم الاحتمالات التي لن تتطلب الانتباه هي:

وجد أحد القراء خطأ مطبعيًا رائعًا هنا ، ولن أصححه حتى =)

أ) وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:
هو احتمال أن تتطلب الآلات الثلاثة تعديلًا أثناء المناوبة.

ب) يتكون الحدث "أثناء التحول ، آلة واحدة فقط تتطلب التعديل" من ثلاث نتائج غير متوافقة:

1) الجهاز الأول سوف يتطلبانتباه والجهاز الثاني لن تتطلب والجهاز الثالث لن تتطلب
أو:
2) الجهاز الأول لن تتطلبانتباه والجهاز الثاني سوف يتطلب والجهاز الثالث لن تتطلب
أو:
3) الجهاز الأول لن تتطلبانتباه والجهاز الثاني لن تتطلب والجهاز الثالث سوف يتطلب.

وفقًا لنظريات إضافة احتمالات عدم التوافق وضرب احتمالات الأحداث المستقلة:

- احتمال أن تتطلب آلة واحدة فقط الضبط أثناء المناوبة.

أعتقد أنه يجب أن يكون واضحًا لك الآن من أين جاء التعبير

ج) احسب احتمال ألا تتطلب الآلات تعديلًا ، ثم احسب احتمال حدوث حدث معاكس:
- حقيقة أن آلة واحدة على الأقل تتطلب التعديل.

إجابة:

يمكن أيضًا حل العنصر "ve" من خلال المجموع ، حيث يُحتمل أن يتطلب تعديل جهازين فقط أثناء المناوبة. يتضمن هذا الحدث ، بدوره ، 3 نتائج غير متوافقة ، والتي تم توقيعها عن طريق القياس مع عنصر "be". حاول أن تجد احتمالية التحقق من المشكلة بأكملها بمساعدة المساواة.

المهمة 9

أطلقت ثلاث بنادق رصاصة واحدة على الهدف. احتمال إصابة طلقة واحدة فقط من المسدس الأول هو 0.7 ، من الثانية - 0.6 ، من الثالثة - 0.8. أوجد احتمال أن: 1) قذيفة واحدة على الأقل تصيب الهدف ؛ 2) مقذوفان فقط سيصيبان الهدف ؛ 3) سيتم إصابة الهدف مرتين على الأقل.

الحل والجواب في نهاية الدرس.

ومرة أخرى حول المصادفات: في حالة تطابق قيمتين أو حتى جميع قيم الاحتمالات الأولية (على سبيل المثال ، 0.7 و 0.7 و 0.7) ، فيجب اتباع نفس خوارزمية الحل بالضبط.

في ختام المقال ، سنحلل لغزًا شائعًا آخر:

المهمة 10

يصيب مطلق النار الهدف بنفس الاحتمال مع كل طلقة. ما هذا الاحتمال إذا كان احتمال إصابة واحدة على الأقل في ثلاث طلقات هو 0.973.

حل: تشير بـ - احتمالية إصابة الهدف مع كل طلقة.
ومن خلال - احتمال الخطأ مع كل طلقة.

دعنا نكتب الأحداث:
- من خلال 3 طلقات ، سيضرب مطلق النار الهدف مرة واحدة على الأقل ؛
- سيفتقد مطلق النار 3 مرات.

حسب الشرط ، فإن احتمال الحدث المعاكس:

من ناحية أخرى ، وفقًا لنظرية مضاعفة احتمالات الأحداث المستقلة:

هكذا:

- احتمالية الخطأ مع كل طلقة.

نتيجة ل:
هو احتمال إصابة كل طلقة.

إجابة: 0,7

بسيط وأنيق.

في المشكلة المدروسة ، يمكن طرح أسئلة إضافية حول احتمال حدوث إصابة واحدة فقط ، وضربتين فقط ، واحتمال حدوث ثلاث ضربات على الهدف. سيكون مخطط الحل هو نفسه تمامًا كما في المثالين السابقين:

ومع ذلك ، فإن الاختلاف الجوهري الأساسي هو أن هناك تكرار الاختبارات المستقلة، والتي يتم إجراؤها بالتتابع ، بشكل مستقل عن بعضها البعض وبنفس احتمالية النتائج.

دع الأحداث أو فيغير متوافقة ، واحتمالات هذه الأحداث معروفة. سؤال: كيف تجد احتمال وقوع أحد هذه الأحداث المنفصلة؟ تتم الإجابة على هذا السؤال بنظرية الإضافة.

نظرية.احتمال وقوع حدث من حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث:

ص(أ + في) = ص(أ) + ص(في) (1.6)

دليل. في الواقع ، دعنا ن – الرقم الإجماليجميع النتائج ممكنة وغير متوافقة (أي الابتدائية) على قدم المساواة. دع الحدث أحسنات م 1 النتائج والحدث في – م 2 النتائج. ثم ، وفقًا للتعريف الكلاسيكي ، فإن احتمالات هذه الأحداث هي: ص(أ) = م 1 / ن, ص(ب) = م 2 / ن .

منذ الأحداث أو فيغير متسقة ، ثم لا شيء من النتائج المواتية لهذا الحدث أ، لا يحبذ الحدث في(انظر الرسم البياني أدناه).

لذلك ، الحدث أ+فيسوف يفضل م 1 + م 2 النتائج. لذلك ، من أجل الاحتمال ص(أ + ب) نحن نحصل:

النتيجة 1. مجموع احتمالات الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة يساوي واحدًا:

ص(أ) + ص(في) + ص(مع) + … + ص(د) = 1.

في الواقع ، دع الأحداث أ,في,مع, … , دتشكيل مجموعة كاملة. وبسبب هذا ، فهي غير متوافقة والوحيدة الممكنة. لذلك الحدث أ + ب + ج + ... +د، والذي يتكون من ظهور (نتيجة الاختبار) لواحد على الأقل من هذه الأحداث ، يمكن الاعتماد عليه ، أي أ + ب + ج + ... +د = و ص(أ + ب + ج + ... +د) = 1.

بسبب عدم توافق الأحداث أ,في,مع, … , دالصيغة الصحيحة هي:

ص(أ + ب + ج + ... +د) = ص(أ) + ص(في) + ص(مع) + … + ص(د) = 1.

مثال.تحتوي الجرة على 30 كرة ، 10 منها حمراء و 5 زرقاء و 15 بيضاء. أوجد احتمال سحب كرة حمراء أو زرقاء بشرط أن يتم سحب كرة واحدة فقط من الجرة.

حل. دع الحدث أ 1 هو استخراج الكرة الحمراء ، والحدث أ 2 - استخراج الكرة الزرقاء. هذه الأحداث غير متوافقة ، و ص(أ 1) = 10 / 30 = 1 / 3; ص(أ 2) = 5/30 = 1/6. من خلال نظرية الجمع ، نحصل على:

ص(أ 1 + أ 2) = ص(أ 1) + ص(أ 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

ملاحظة 1.نؤكد أنه وفقًا لمعنى المشكلة ، من الضروري أولاً تحديد طبيعة الأحداث قيد الدراسة - سواء كانت غير متوافقة. إذا تم تطبيق النظرية أعلاه على الأحداث المشتركة ، فستكون النتيجة غير صحيحة.

نظريات الجمع وضرب الاحتمالات.

نظرية إضافة احتمالات حدثين. إن احتمال مجموع حدثين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين دون احتمال حدوثهما بشكل مشترك:

P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB).

نظرية إضافة احتمالات حدثين غير متوافقين. احتمال مجموع حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالات هذين:

الفوسفور (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب).

مثال 2.16.يطلق مطلق النار على هدف مقسم إلى 3 مناطق. احتمال ضرب المنطقة الأولى هو 0.45 ، والثاني - 0.35. أوجد احتمال أن يصيب مطلق النار المنطقة الأولى أو الثانية برصاصة واحدة.

حل.

الأحداث أ- "ضرب مطلق النار المنطقة الأولى" و في- "ضرب مطلق النار المنطقة الثانية" - غير متسق (الضرب في منطقة يستبعد الدخول إلى منطقة أخرى) ، لذا فإن نظرية الإضافة قابلة للتطبيق.

الاحتمال المطلوب يساوي:

ل (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب) = 0,45+ 0,35 = 0,8.

نظرية الجمع صأحداث غير متوافقة. إن احتمال مجموع n من الأحداث غير المتوافقة يساوي مجموع احتمالات هذه الاحتمالات:

الفوسفور (A 1 + A 2 + ... + A p) \ u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة يساوي واحدًا:

احتمالية الحدث فيعلى افتراض وقوع حدث أ، يسمى الاحتمال الشرطي للحدث فيويتم وضع علامة على هذا النحو: P (B / A) ،أو ص أ (ب).

. إن احتمال حاصل ضرب حدثين يساوي ناتج احتمالية أحدهما بالاحتمال الشرطي للآخر ، بشرط أن يكون الحدث الأول قد حدث:

الفوسفور (AB) = الفوسفور (أ) الفوسفور (ب).

حدث فيلا تعتمد على الحدث أ، لو

الفوسفور أ (ب) \ u003d ف (ب) ،

أولئك. احتمالية الحدث فيلا تعتمد على ما إذا كان الحدث قد وقع أ.

نظرية مضاعفة الاحتمالات لحدثين مستقلين.إن احتمال ناتج حدثين مستقلين يساوي ناتج احتمالاتهما:

P (AB) = P (A) P (B).

المثال 2.17.احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق البنادق الأولى والثانية متساوية على التوالي: ص 1 = 0,7; ص 2= 0.8. أوجد احتمالية الضرب بطائرة واحدة (من كلا البنادق) بواحدة على الأقل من البنادق.

حل.

احتمالية إصابة الهدف بكل بندقية لا تعتمد على نتيجة إطلاق النار من البندقية الأخرى ، لذا فإن الأحداث أ- "الضربة الأولى" و في- "الضربة الثانية بالبندقية" مستقلة.

احتمالية الحدث AB- "ضرب كلا البنادق":

الاحتمال المطلوب

الفوسفور (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

نظرية الضرب الاحتمالية صالأحداث.إن احتمالية منتج لـ n من الأحداث تساوي ناتج أحدها من خلال الاحتمالات الشرطية لجميع الأحداث الأخرى ، محسوبة على افتراض أن جميع الأحداث السابقة قد حدثت:

المثال 2.18. تحتوي الجرة على 5 كرات بيضاء و 4 سوداء و 3 كرات زرقاء. يتكون كل اختبار من حقيقة أن كرة واحدة يتم سحبها عشوائيًا دون إعادتها مرة أخرى. أوجد احتمال ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى (الحدث أ) ، وكرة سوداء في التجربة الثانية (الحدث ب) ، وكرة زرقاء في التجربة الثالثة (الحدث ج).

حل.

احتمالية ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى:

احتمال ظهور كرة سوداء في التجربة الثانية ، محسوبًا على افتراض ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى ، أي الاحتمال الشرطي:

احتمال ظهور كرة زرقاء في التجربة الثالثة ، محسوبًا على افتراض ظهور كرة بيضاء في التجربة الأولى وكرة سوداء في التجربة الثانية ، أي الاحتمال الشرطي:

الاحتمال المطلوب يساوي:

نظرية الضرب الاحتمالية صأحداث مستقلة.إن احتمال منتج لـ n من الأحداث المستقلة يساوي ناتج احتمالاتها:

الفوسفور (A 1 A 2 ... A p) \ u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

احتمال وقوع حدث واحد على الأقل. احتمالية حدوث حدث واحد على الأقل من الأحداث A 1 ، A 2 ، ... ، A p ، المستقلة في المجموع ، تساوي الفرق بين الوحدة وحاصل ضرب احتمالات الأحداث المعاكسة:

.

المثال 2.19.فيما يلي احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق النار من ثلاث بنادق: ص 1 = 0,8; ص 2 = 0,7;ص 3= 0.9. أوجد احتمال نتيجة واحدة على الأقل (حدث أ) بضربة واحدة من جميع البنادق.

حل.

احتمالية إصابة الهدف بكل سلاح لا تعتمد على نتائج إطلاق النار من بنادق أخرى ، لذا فإن الأحداث قيد النظر أ 1(ضرب بالبندقية الأولى) ، أ 2(أصابته البندقية الثانية) و أ 3(ضربة من المدفع الثالث) مستقلة في المجموع.

احتمالات الأحداث المعاكسة للأحداث أ 1, أ 2و أ 3(أي الاحتمالات الخاطئة) ، على التوالي ، تساوي:

, , .

الاحتمال المطلوب يساوي:

إذا أحداث مستقلة أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ صلها نفس الاحتمال ص، ثم يتم التعبير عن احتمال حدوث حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث بالصيغة:

Р (А) = 1 - ف ن ،

أين س = 1 ص

2.7. معادلة الاحتمالية الإجمالية. صيغة بايز.

دع الحدث أيمكن أن يحدث في حالة حدوث أحد الأحداث غير المتوافقة ن 1 ، ن 2 ، ... ، إن ص، وتشكيل مجموعة كاملة من الأحداث. نظرًا لأنه من غير المعروف مسبقًا أي من هذه الأحداث سيحدث ، يتم استدعاؤها الفرضيات.

احتمال وقوع حدث أمحسوبة من قبل صيغة الاحتمال الكلي:

P (A) \ u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

لنفترض أنه قد تم إجراء تجربة ، ونتيجة لذلك الحدث أحدث. احتمالات الحدث الشرطي ن 1 ، ن 2 ، ... ، إن صبخصوص الحدث أعازم صيغ بايز:

,

مثال 2.20. في مجموعة مكونة من 20 طالبًا حضروا الامتحان ، كان 6 طلابًا ممتازين ، و 8 جيدون ، و 4 جيدون ، و 2 غير مهيئين بشكل جيد. هناك 30 سؤالا في أوراق الامتحان. يمكن للطالب المُعد جيدًا الإجابة على جميع الأسئلة الثلاثين ، ويمكن للطالب المُعد جيدًا الإجابة على 24 ، ويمكن للطالب المُرضي الإجابة عن 15 سؤالًا ، ويمكن للطالب الفقير الإجابة على 7.

أجاب طالب تم الاتصال به عشوائيًا على ثلاثة أجاب عشوائيًا. طرح الأسئلة. أوجد احتمال أن يكون هذا الطالب مستعدًا: أ) ممتاز ؛ ب) سيئة.

حل.

الفرضيات - "الطالب مستعد بشكل جيد" ؛

- "الطالب مستعد بشكل جيد" ؛

- "تم إعداد الطالب بشكل مرض" ؛

- "الطالب غير مهيأ بشكل جيد".

قبل الخبرة:

; ; ; ;

7. ما يسمى بمجموعة كاملة من الأحداث؟

8. ما هي الأحداث التي تسمى احتمالية متساوية؟ أعط أمثلة على مثل هذه الأحداث.

9. ما يسمى النتيجة الأولية؟

10. ما هي النتائج التي أعتبرها مواتية لهذا الحدث؟

11. ما هي العمليات التي يمكن إجراؤها على الأحداث؟ أعطهم التعريفات. كيف يتم تعيينهم؟ أعط أمثلة.

12. ما يسمى الاحتمال؟

13. ما هو احتمال وقوع حدث معين؟

14. ما هو احتمال وقوع حدث مستحيل؟

15. ما هي حدود الاحتمال؟

16. كيف يتم تحديد الاحتمال الهندسي على المستوى؟

17. كيف يتم تعريف الاحتمالية في الفضاء؟

18. كيف يتم تحديد الاحتمال على خط مستقيم؟

19. ما هو احتمال مجموع حدثين؟

20. ما هو احتمال مجموع حدثين غير متوافقين؟

21. ما هو احتمال مجموع n من الأحداث غير المتوافقة؟

22. ما هو الاحتمال الشرطي؟ اعط مثالا.

23. صياغة نظرية الضرب الاحتمالات.

24. كيف تجد احتمال وقوع حدث واحد على الأقل؟

25. ما الأحداث تسمى الفرضيات؟

26. متى يتم استخدام صيغة الاحتمال الكلي وصيغ بايز؟

المحاضرة 7. نظرية الاحتمالات

عواقب نظريات الإضافة والتعدد

نظرية الجمع لاحتمالات الحدث المشترك

نظرية الإضافة لـ غير متوافقالأحداث. هنا سوف نقدم نظرية الإضافة لـ مشتركالأحداث.

يتم استدعاء حدثين مشتركإذا كان مثول أحدهما لا يمنع ظهور الآخر في نفس المحاكمة.

مثال 1 . أ - ظهور أربع نقاط عند رمي النرد ؛ ب - ظهور عدد زوجي من النقاط. الأحداث A و B مشتركة.

دع الأحداث A و B تكون مشتركة ، ويتم إعطاء احتمالات هذه الأحداث واحتمال حدوثها المشترك. كيف يمكن إيجاد احتمال وقوع حدث A + B يتكون من حقيقة أن حدثًا واحدًا على الأقل من الأحداث A و B سيظهر؟ يتم إعطاء الإجابة على هذا السؤال من خلال نظرية الجمع لاحتمالات الأحداث المشتركة.

نظرية. إن احتمال حدوث حدث واحد على الأقل من الحدثين المشتركين يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث دون احتمال حدوثها المشترك: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

دليل . نظرًا لأن الأحداث A و B ، حسب الشرط ، مشتركة ، سيحدث الحدث A + B في حالة حدوث أحد الأحداث غير المتوافقة الثلاثة التالية:. وفقًا لنظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة ، لدينا:

ف (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب) + ف (أب).(*)

سيحدث الحدث أ في حالة حدوث أحد الحدثين غير المتوافقين: أ
أو AV. من خلال نظرية الإضافة لاحتمالات الأحداث غير المتوافقة ، لدينا

P (A) \ u003d P (A) + P (AB).

P (A) \ u003d P (A) - P (AB).(**)

وبالمثل لدينا

الفوسفور (ب) = الفوسفور (B) + الفوسفور (AB).

الفوسفور (ĀB) = الفوسفور (ب) - الفوسفور (أب).(***)

استبدال (**) و (***) في (*) ، نحصل أخيرًا

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).(****)

Q.E.D.

ملاحظة 1. عند استخدام الصيغة الناتجة ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الحدثين A و B يمكن أن يكونا كلاهما مستقل، و متكل.

للأحداث المستقلة

P (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (A) * P (B) ؛

للأحداث التابعة

الفوسفور (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (A) * P A (B).

ملاحظة 2. إذا كانت الأحداث A و B غير متوافق، فإن الجمع بينهما هو حدث مستحيل ، وبالتالي ، P (AB) = 0.

تأخذ الصيغة (****) للأحداث غير المتوافقة الشكل

الفوسفور (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب).

لقد حصلنا مرة أخرى على نظرية الإضافة للأحداث غير المتوافقة. وبالتالي ، فإن الصيغة (****) صالحة لكل من الأحداث المشتركة وغير المشتركة.

مثال 2 احتمالات إصابة الهدف عند إطلاق البنادق الأولى والثانية متساوية على التوالي: p 1 = 0.7 ؛ ع 2 = 0.8. أوجد احتمال الضرب بتسديدة واحدة
(من كلا البنادق) بواحدة على الأقل من البنادق.

حل . لا تعتمد احتمالية إصابة الهدف بكل سلاح على نتيجة إطلاق النار من البندقية الأخرى ، وبالتالي فإن الأحداث A (التي أصابتها البندقية الأولى) و B (إصابة بالمدفع الثاني) مستقلة.

احتمال وقوع الحدث AB (ضرب كلا البنادق)

P (AB) \ u003d P (A) * P (B) = 0.7 * 0.8 = 0.56.

الاحتمال المطلوب P (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (AB) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 0.94.

ملاحظة 3. نظرًا لأن الأحداث A و B في هذا المثال مستقلتان ، كان من الممكن استخدام الصيغة Р = 1 - q 1 q 2

في الواقع ، احتمالات الأحداث المعاكسة للحدثين A و B ، أي احتمالات الخطأ هي:

ف 1 \ u003d 1 - ص 1 \ u003d 1 - 0.7 \ u003d 0.3 ؛

ف 2 \ u003d 1 - ص 2 \ u003d 1 - 0.8 \ u003d 0.2 ؛

الاحتمال المرغوب في أن يضرب سلاح واحد على الأقل في كرة واحدة يساوي

P \ u003d 1 - q 1 q 2 \ u003d 1 - 0.3 * 0.2 \ u003d 1 - 0.06 \ u003d 0.94.

كما هو متوقع ، يتم الحصول على نفس النتيجة.

تبدأ دراسة نظرية الاحتمالات بحل مسائل جمع ومضاعفة الاحتمالات. من الجدير بالذكر على الفور أن الطالب ، عند إتقان هذا المجال المعرفي ، قد يواجه مشكلة: إذا كان من الممكن تصور العمليات الفيزيائية أو الكيميائية وفهمها تجريبياً ، فإن مستوى التجريد الرياضي مرتفع للغاية ، والفهم هنا يأتي فقط مع خبرة.

ومع ذلك ، فإن اللعبة تستحق كل هذا العناء ، لأن الصيغ - سواء تلك المذكورة في هذه المقالة أو الصيغ الأكثر تعقيدًا - تُستخدم في كل مكان اليوم وقد تكون مفيدة في العمل.

أصل

الغريب أن الدافع وراء تطوير هذا القسم من الرياضيات كان ... القمار. في الواقع ، يعد النرد ، ورمي العملات المعدنية ، والبوكر ، والروليت أمثلة نموذجية تستخدم الجمع ومضاعفة الاحتمالات. في مثال المهام في أي كتاب مدرسي ، يمكن رؤية ذلك بوضوح. كان الناس مهتمين بتعلم كيفية زيادة فرصهم في الفوز ، ويجب أن أقول ، نجح البعض في ذلك.

على سبيل المثال ، في القرن الحادي والعشرين ، استخدم شخص واحد ، لن نكشف عن اسمه ، هذه المعرفة المتراكمة على مر القرون "لتطهير" الكازينو حرفيًا ، وربح عشرات الملايين من الدولارات في لعبة الروليت.

ومع ذلك ، على الرغم من الاهتمام المتزايد بالموضوع ، إلا أنه بحلول القرن العشرين تم تطوير قاعدة نظرية جعلت "المنظر" كاملاً ، واليوم ، في أي علم تقريبًا ، يمكن للمرء أن يجد حسابات باستخدام الأساليب الاحتمالية.

القابلية للتطبيق

نقطة مهمة عند استخدام الصيغ لإضافة ومضاعفة الاحتمالات ، الاحتمال الشرطي هو مدى إرضاء نظرية الحد المركزي. خلاف ذلك ، على الرغم من أنه قد لا يتحقق من قبل الطالب ، فإن جميع الحسابات ، مهما بدت معقولة ، ستكون غير صحيحة.

نعم ، يميل المتعلم ذو الدوافع العالية إلى استخدام المعرفة الجديدة في كل فرصة. ولكن في هذه الحالة ، ينبغي على المرء أن يتباطأ قليلاً وأن يحدد بدقة نطاق التطبيق.

تتعامل نظرية الاحتمالات مع الأحداث العشوائية ، والتي من الناحية التجريبية هي نتائج التجارب: يمكننا دحرجة قالب من ستة جوانب ، ورسم بطاقة من سطح السفينة ، والتنبؤ بعدد الأجزاء المعيبة في الدفعة. ومع ذلك ، في بعض الأسئلة ، من المستحيل بشكل قاطع استخدام الصيغ من هذا القسم من الرياضيات. سنناقش ميزات النظر في احتمالات حدث ، ونظريات جمع ومضاعفة الأحداث في نهاية المقالة ، ولكن الآن دعنا ننتقل إلى الأمثلة.

مفاهيم أساسية

الحدث العشوائي هو عملية أو نتيجة قد تظهر أو لا تظهر كنتيجة للتجربة. على سبيل المثال ، نرمي شطيرة - يمكن أن تسقط الزبدة أو الزبدة. ستكون أي من النتيجتين عشوائية ، ولا نعرف مسبقًا أيهما سيحدث.

عند دراسة جمع وضرب الاحتمالات ، نحتاج إلى مفهومين آخرين.

الأحداث المشتركة هي مثل هذه الأحداث ، وحدوث أحدها لا يستبعد حدوث الآخر. لنفترض أن شخصين يطلقان النار على هدف في نفس الوقت. إذا أنتج أحدهم ناجحًا ، فلن يؤثر ذلك على قدرة الثانية على ضرب عين الثور أو تفويت.

ستكون مثل هذه الأحداث غير المتسقة ، يكون حدوثها مستحيلًا في نفس الوقت. على سبيل المثال ، بسحب كرة واحدة فقط من الصندوق ، لا يمكنك الحصول على اللونين الأزرق والأحمر معًا.

تعيين

يُشار إلى مفهوم الاحتمال بالحرف اللاتيني الكبير P. بعد ذلك ، بين قوسين ، هناك حجج تشير إلى بعض الأحداث.

في معادلات نظرية الجمع ، الاحتمال الشرطي ، نظرية الضرب ، سترى التعبيرات بين قوسين ، على سبيل المثال: A + B أو AB أو A | B. سوف يحسبون طرق مختلفة، سوف ننتقل الآن إليهم.

إضافة

ضع في اعتبارك الحالات التي يتم فيها استخدام صيغ جمع ومضاعفة الاحتمالات.

بالنسبة للأحداث غير المتوافقة ، الأكثر صلة صيغة بسيطةبالإضافة إلى ذلك: سيكون احتمال أي من النتائج العشوائية مساويًا لمجموع احتمالات كل من هذه النتائج.

افترض أن هناك صندوقًا به 2 كرات زرقاء و 3 حمراء و 5 كرات حمراء صفراء. يوجد إجمالي 10 عناصر في المربع. ما هي نسبة حقيقة القول أننا سنرسم كرة زرقاء أو حمراء؟ سيكون مساويًا لـ 2/10 + 3/10 ، أي خمسين بالمائة.

في حالة الأحداث غير المتوافقة ، تصبح الصيغة أكثر تعقيدًا ، حيث يتم إضافة مصطلح إضافي. سنعود إليها في فقرة واحدة ، بعد التفكير في صيغة أخرى.

عمليه الضرب

يتم استخدام إضافة وضرب احتمالات الأحداث المستقلة في حالات مختلفة. إذا كنا ، وفقًا لظروف التجربة ، راضين عن أي من النتيجتين المحتملتين ، فسنحسب المجموع ؛ إذا أردنا الحصول على نتيجتين معينتين واحدة تلو الأخرى ، فسنلجأ إلى استخدام صيغة مختلفة.

بالعودة إلى المثال السابق ، نريد رسم الكرة الزرقاء أولاً ثم الكرة الحمراء. الرقم الأول الذي نعرفه هو 2/10. ماذا حدث بعد ذلك؟ هناك 9 كرات متبقية ، ولا يزال هناك نفس العدد من الكرات الحمراء - ثلاث قطع. وفقًا للحسابات ، تحصل على 3/9 أو 1/3. لكن ما العمل برقمين الآن؟ الإجابة الصحيحة هي الضرب للحصول على 2/30.

الأحداث المشتركة

الآن يمكننا أن ننتقل مرة أخرى إلى صيغة مجموع الأحداث المشتركة. لماذا نستخرج من الموضوع؟ لمعرفة كيف تتضاعف الاحتمالات. الآن نحن بحاجة إلى هذه المعرفة.

نحن نعلم بالفعل ما سيكون عليه أول حدين (كما هو الحال في صيغة الجمع المذكورة سابقًا) ، لكننا الآن بحاجة إلى طرح حاصل ضرب الاحتمالات ، الذي تعلمنا للتو كيفية حسابه. من أجل الوضوح ، نكتب الصيغة: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). اتضح أنه في تعبير واحد يتم استخدام كل من الجمع والضرب في الاحتمالات.

لنفترض أنه يتعين علينا حل أي من مشكلتين للحصول على الائتمان. يمكننا حل الأول باحتمال 0.3 ، والثاني - 0.6. الحل: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. لاحظ أن مجرد جمع الأرقام هنا لن يكون كافيًا.

احتمال مشروط

أخيرًا ، هناك مفهوم الاحتمال الشرطي ، حيث يتم توضيح الحجج الخاصة به بين قوسين ومفصولة بشريط عمودي. الإدخال P (A | B) يقرأ كما يلي: "احتمال وقوع حدث A معطى B".

لنلقِ نظرة على مثال: يمنحك أحد الأصدقاء بعض الأجهزة ، فليكن هاتفًا. يمكن كسرها (20٪) أو جيدة (80٪). يمكنك إصلاح أي جهاز يقع في يديك مع احتمال 0.4 أو لا يمكنك القيام بذلك (0.6). أخيرًا ، إذا كان الجهاز في حالة عمل ، فيمكنك الاتصال الشخص المناسبمع احتمال 0.7.

من السهل أن ترى كيف يعمل الاحتمال الشرطي في هذه الحالة: لا يمكنك الوصول إلى الشخص إذا كان الهاتف مكسورًا ، وإذا كان جيدًا ، فلن تحتاج إلى إصلاحه. وبالتالي ، من أجل الحصول على أي نتائج على "المستوى الثاني" ، تحتاج إلى معرفة الحدث الذي تم تنفيذه في البداية.

العمليات الحسابية

ضع في اعتبارك أمثلة لحل مسائل الجمع وضرب الاحتمالات باستخدام البيانات من الفقرة السابقة.

أولاً ، دعنا نجد احتمال قيامك بإصلاح الجهاز الممنوح لك. للقيام بذلك ، أولاً ، يجب أن يكون معيبًا ، وثانيًا ، يجب أن تتعامل مع الإصلاح. هذه مشكلة ضرب نموذجية: نحصل على 0.2 * 0.4 = 0.08.

ما هو احتمال أن تصل على الفور إلى الشخص المناسب؟ أسهل من البساطة: 0.8 * 0.7 = 0.56. في هذه الحالة ، وجدت أن الهاتف يعمل وقمت بإجراء مكالمة بنجاح.

أخيرًا ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: لقد تلقيت هاتفًا مكسورًا ، وقمت بإصلاحه ، ثم اتصلت بالرقم ، والتقط الشخص الموجود على الطرف المقابل الهاتف. هنا ، مطلوب بالفعل مضاعفة ثلاثة مكونات: 0.2 * 0.4 * 0.7 \ u003d 0.056.

ولكن ماذا لو كان لديك هاتفان لا يعملان في نفس الوقت؟ ما مدى احتمالية إصلاح واحد منهم على الأقل؟ عند جمع ومضاعفة الاحتمالات ، حيث يتم استخدام الأحداث المشتركة. الحل: 0.4 + 0.4 - 0.4 * 0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. وبالتالي ، إذا وقع جهازان مكسوران في يديك ، فستتمكن من إصلاحهما في 64٪ من الحالات.

مراعاة الاستخدام

كما ذكر في بداية المقال ، يجب أن يكون استخدام نظرية الاحتمالات متعمدًا وواعيًا.

كلما كانت سلسلة التجارب أكبر ، كلما اقتربت القيمة المتوقعة نظريًا من القيمة التي تم الحصول عليها في الممارسة. على سبيل المثال ، نحن نرمي قطعة نقود. من الناحية النظرية ، مع العلم بوجود صيغ لجمع ومضاعفة الاحتمالات ، يمكننا التنبؤ بعدد المرات التي ستسقط فيها الرؤوس والأطراف إذا أجرينا التجربة 10 مرات. لقد أجرينا تجربة ، وبالمصادفة ، كانت نسبة الجوانب التي سقطت من 3 إلى 7. ولكن إذا أجريت سلسلة من 100 أو 1000 محاولة أو أكثر ، فقد اتضح أن مخطط التوزيع يقترب أكثر فأكثر من النظرية الأولى: من 44 إلى 56 ، ومن 482 إلى 518 ، وهكذا.

تخيل الآن أن هذه التجربة لا تتم بعملة معدنية ، بل بإنتاج قطعة نقدية جديدة المواد الكيميائية، الاحتمال الذي لا نعرفه. سنجري 10 تجارب ، وبدون الحصول على نتيجة ناجحة ، يمكننا التعميم: "لا يمكن الحصول على المادة". لكن من يدري ، لو قمنا بالمحاولة الحادية عشرة ، هل كنا سنصل إلى الهدف أم لا؟

وبالتالي ، إذا كنت تذهب إلى المجهول ، في منطقة غير مستكشفة ، فقد لا تكون نظرية الاحتمالية قابلة للتطبيق. قد تنجح كل محاولة لاحقة في هذه الحالة ، وستكون التعميمات مثل "X غير موجود" أو "X مستحيل" سابقة لأوانها.

كلمة أخيرة

لذلك ، درسنا نوعين من الجمع ، الضرب والاحتمالات الشرطية. مع مزيد من الدراسة لهذا المجال ، من الضروري تعلم كيفية التمييز بين المواقف عند استخدام كل صيغة محددة. بالإضافة إلى ذلك ، تحتاج إلى فهم ما إذا كانت الأساليب الاحتمالية قابلة للتطبيق بشكل عام في حل مشكلتك.

إذا كنت تتدرب ، بعد فترة ستبدأ في تنفيذ جميع العمليات المطلوبة حصريًا في ذهنك. لمن هم مدمنون لعب الورق، يمكن اعتبار هذه المهارة قيّمة للغاية - ستزيد بشكل كبير من فرصك في الفوز ، فقط عن طريق حساب احتمال سقوط بطاقة أو دعوى معينة. ومع ذلك ، يمكن بسهولة تطبيق المعرفة المكتسبة في مجالات النشاط الأخرى.