سلسلة من الأعداد الأولية تبدأ بـ. صيغ الأعداد الأولية

الأعداد الأوليةتمثل إحدى أكثر الظواهر الرياضية إثارة للاهتمام والتي جذبت انتباه العلماء والمواطنين العاديين لأكثر من ألفي عام. على الرغم من حقيقة أننا نعيش الآن في عصر أجهزة الكمبيوتر وأحدث برامج المعلومات ، إلا أن العديد من ألغاز الأعداد الأولية لم يتم حلها بعد ، بل هناك حتى تلك الألغاز التي لا يعرف العلماء كيفية التعامل معها.

الأعداد الأولية ، كما هو معروف من مسار الحساب الأولي ، هي تلك التي تقبل القسمة دون الباقي على واحد فقط بنفسه. بالمناسبة ، إذا كان الرقم الطبيعي قابلاً للقسمة ، بالإضافة إلى الأرقام المذكورة أعلاه ، على رقم آخر ، فإنه يسمى مركب. تنص إحدى أشهر النظريات على أنه يمكن تمثيل أي رقم مركب على أنه المنتج الوحيد الممكن للأعداد الأولية.

بعض الحقائق المثيرة للاهتمام. أولاً ، الوحدة فريدة بمعنى أنها ، في الواقع ، لا تنتمي إلى أي من الأرقام الأولية أو المركبة. في الوقت نفسه ، لا يزال من المعتاد في المجتمع العلمي نسبه إلى المجموعة الأولى ، لأنه رسميًا يلبي متطلباته تمامًا.

ثانيًا ، العدد الزوجي الوحيد الذي تسلل إلى مجموعة "الأعداد الأولية" هو بالطبع اثنان. أي رقم زوجي آخر ببساطة لا يمكن أن يصل إلى هنا ، لأنه بحكم التعريف ، بالإضافة إلى نفسه ورقم واحد ، فإنه أيضًا قابل للقسمة على اثنين.

الأعداد الأولية ، والتي يمكن أن تبدأ القائمة ، كما ذكرنا سابقًا ، برقم واحد ، وهي سلسلة لا نهائية ، لا نهائية مثل سلسلة الأعداد الطبيعية. بناءً على النظرية الحسابية الأساسية ، يمكن للمرء أن يستنتج أن الأعداد الأولية لا تنقطع أبدًا ولا تنتهي أبدًا ، وإلا فإن سلسلة الأعداد الطبيعية ستتقطع حتمًا.

لا تظهر الأعداد الأولية بشكل عشوائي في المتسلسلة الطبيعية ، كما قد يبدو للوهلة الأولى. بعد تحليلها بعناية ، يمكنك على الفور ملاحظة العديد من الميزات ، والتي يرتبط أكثرها فضولًا بما يسمى بالأرقام "المزدوجة". تم استدعاؤهم لأنهم انتهى بهم الأمر إلى جانب بعضهم البعض بطريقة غير مفهومة ، مفصولين فقط بمحدد متساوٍ (خمسة وسبعة وسبعة عشر وتسعة عشر).

إذا نظرت إليها عن كثب ، ستلاحظ أن مجموع هذه الأرقام دائمًا ما يكون من مضاعفات الثلاثة. علاوة على ذلك ، عند القسمة على ثلاثة أضعاف من الزميل الأيسر ، يبقى الباقي دائمًا اثنين ، والأيمن - واحد. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن التنبؤ بتوزيع هذه الأرقام على طول السلسلة الطبيعية إذا تم تقديم هذه السلسلة بأكملها في شكل أشباه الجيوب المتذبذبة ، والتي تتشكل نقاطها الرئيسية عندما يتم تقسيم الأرقام على ثلاثة واثنين.

الأعداد الأولية ليست فقط موضوعًا للتدقيق الدقيق من قبل علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم ، ولكن تم استخدامها بنجاح منذ فترة طويلة في تجميع سلسلة مختلفة من الأرقام ، والتي هي الأساس ، بما في ذلك علم التشفير. في الوقت نفسه ، يجب الاعتراف بأن عددًا كبيرًا من الألغاز المرتبطة بهذه العناصر الرائعة لا تزال تنتظر الحل ، والعديد من الأسئلة ليس لها أهمية فلسفية فحسب ، بل أهمية عملية أيضًا.

• ترجمة

تمت دراسة خصائص الأعداد الأولية لأول مرة من قبل علماء الرياضيات اليونان القديمة. كان علماء الرياضيات في مدرسة فيثاغورس (500-300 قبل الميلاد) مهتمين في المقام الأول بالخصائص الصوفية والرقمية للأعداد الأولية. كانوا أول من طرح أفكارًا حول الأرقام المثالية والودية.

العدد المثالي له قواسمه الخاصة التي تساوي نفسه. على سبيل المثال ، القواسم الصحيحة للرقم 6 هي: 1 و 2 و 3. 1 + 2 + 3 = 6. قواسم الرقم 28 هي 1 و 2 و 4 و 7 و 14. علاوة على ذلك ، 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

يُطلق على الأرقام مألوفة إذا كان مجموع المقسومات الصحيحة لرقم ما مساويًا لآخر ، والعكس صحيح - على سبيل المثال ، 220 و 284. يمكننا القول أن الرقم المثالي يتناسب مع نفسه.

بحلول وقت ظهور أعمال "بدايات" إقليدس عام 300 قبل الميلاد. تم بالفعل إثبات العديد من الحقائق المهمة حول الأعداد الأولية. في الكتاب التاسع من العناصر ، أثبت إقليدس أن هناك عددًا لا حصر له من الأعداد الأولية. بالمناسبة ، هذا هو أحد الأمثلة الأولى لاستخدام البرهان بالتناقض. لقد أثبت أيضًا النظرية الأساسية للحساب - يمكن تمثيل كل عدد صحيح بطريقة فريدة كمنتج للأعداد الأولية.

وأوضح أيضًا أنه إذا كان الرقم 2 ن -1 عددًا أوليًا ، فسيكون الرقم 2 ن -1 * (2 ن -1) مثاليًا. تمكن عالم رياضيات آخر ، أويلر ، في عام 1747 من إظهار أنه يمكن كتابة جميع الأعداد الكاملة بهذا الشكل. حتى يومنا هذا ، من غير المعروف ما إذا كانت الأعداد المثالية الفردية موجودة.

في عام 200 قبل الميلاد. جاء اليوناني إراتوستينس بخوارزمية للعثور على الأعداد الأولية تسمى غربال إراتوستينس.

ثم حدث انقطاع كبير في تاريخ دراسة الأعداد الأولية المرتبطة بالعصور الوسطى.

تم إجراء الاكتشافات التالية بالفعل في بداية القرن السابع عشر بواسطة عالم الرياضيات فيرمات. لقد أثبت حدس ألبرت جيرارد بأن أي عدد أولي على الشكل 4n + 1 يمكن كتابته بشكل فريد كمجموع مربعين ، وصاغ أيضًا نظرية مفادها أنه يمكن تمثيل أي رقم كمجموع أربعة مربعات.

لقد طور أسلوب جديدتحليل الأعداد الكبيرة إلى عوامل ، وأوضحها على الرقم 2027651281 = 44021 × 46061. كما أثبت أيضًا نظرية فيرما الصغيرة: إذا كان p عددًا أوليًا ، فإن p = a modulo p سيكون صحيحًا لأي عدد صحيح a.

تثبت هذه العبارة نصف ما كان يُعرف باسم "الفرضية الصينية" ويعود تاريخها إلى ما قبل 2000 عام: العدد الصحيح n هو عدد أولي إذا وفقط إذا كان 2n-2 يقبل القسمة على n. تبين أن الجزء الثاني من الفرضية خاطئ - على سبيل المثال ، 2341-2 قابل للقسمة على 341 ، على الرغم من أن الرقم 341 مركب: 341 = 31 × 11.

كانت نظرية فيرما الصغيرة أساسًا للعديد من النتائج الأخرى في نظرية الأعداد وطرق اختبار ما إذا كانت الأعداد أولية ، وكثير منها لا يزال قيد الاستخدام حتى اليوم.

تقابل فيرما على نطاق واسع مع معاصريه ، خاصةً مع راهب يُدعى مارين ميرسين. في إحدى رسائله ، خمن أن الأرقام التي على شكل 2 n + 1 ستكون دائمًا أولية إذا كانت n هي قوة اثنين. لقد اختبر هذا من أجل n = 1 و 2 و 4 و 8 و 16 ، وتأكد من أنه عندما لا تكون n أس اثنين ، فإن الرقم ليس بالضرورة عددًا أوليًا. تسمى هذه الأرقام أرقام فيرمات ، ولم يظهر أويلر إلا بعد 100 عام أن الرقم التالي ، 232 + 1 = 4294967297 ، قابل للقسمة على 641 ، وبالتالي فهو ليس عددًا أوليًا.

كانت الأرقام من الشكل 2 ن - 1 أيضًا موضوعًا للبحث ، لأنه من السهل إظهار أنه إذا كان n مركبًا ، فإن الرقم نفسه مركب أيضًا. تسمى هذه الأرقام أرقام ميرسين لأنه درسها بنشاط.

ولكن ليست كل الأعداد التي في الصورة 2 n - 1 ، حيث n عدد أولي ، فهي أعداد أولية. على سبيل المثال ، 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. تم اكتشاف هذا لأول مرة في عام 1536.

لسنوات عديدة ، أعطت أعداد من هذا النوع علماء الرياضيات أكبر الأعداد الأولية المعروفة. تم إثبات الرقم M 19 بواسطة كاتالدي في عام 1588 ، وكان لمدة 200 عام أكبر عدد أولي معروف ، حتى أثبت أويلر أن M 31 هو أيضًا عدد أولي. استمر هذا السجل لمئة عام أخرى ، ثم أظهر لوكاس أن M 127 هو عدد أولي (وهذا بالفعل عدد من 39 رقمًا) ، وبعد ذلك ، استمر البحث مع ظهور أجهزة الكمبيوتر.

في عام 1952 ، تم إثبات أهلية الأرقام M 521 و M 607 و M 1279 و M 2203 و M 2281.

بحلول عام 2005 ، تم العثور على 42 من أعداد ميرسين الأولية. أكبرها ، M 25964951 ، يتكون من 7816230 رقمًا.

كان لعمل أويلر تأثير كبير على نظرية الأعداد ، بما في ذلك الأعداد الأولية. قام بتمديد نظرية فيرما الصغيرة وقدم وظيفة φ. حلل رقم فيرما الخامس 2 32 +1 إلى عوامل ، ووجد 60 زوجًا من الأرقام المألوفة ، وصاغ (لكن فشل في إثبات) القانون التربيعي للمعاملة بالمثل.

كان أول من قدم أساليب التحليل الرياضي وطور النظرية التحليلية للأرقام. لقد أثبت أنه ليس فقط السلسلة التوافقية ∑ (1 / ن) ، ولكن أيضًا سلسلة من الشكل

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

يتم الحصول عليها من خلال مجموع الكميات المقلوبة للأعداد الأولية ، وتتباعد أيضًا. ينمو مجموع n من المتسلسلة التوافقية تقريبًا مثل log (n) ، بينما تتباعد السلسلة الثانية بشكل أبطأ ، مثل log [log (n)]. هذا يعني ، على سبيل المثال ، أن مجموع المعادلات بين جميع الأعداد الأولية التي تم العثور عليها حتى الآن سيعطي 4 فقط ، على الرغم من أن السلسلة لا تزال تتباعد.

للوهلة الأولى ، يبدو أن الأعداد الأولية يتم توزيعها بين الأعداد الصحيحة بشكل عشوائي. على سبيل المثال ، من بين 100 رقم قبل 10000000 مباشرة ، هناك 9 أعداد أولية ، ومن بين 100 رقم بعد هذه القيمة مباشرة ، هناك فقط 2. ولكن في الأجزاء الكبيرة ، يتم توزيع الأعداد الأولية بالتساوي. تعامل Legendre و Gauss مع توزيعهم. أخبر غاوس صديقًا ذات مرة أنه في أي 15 دقيقة مجانية يحسب دائمًا عدد الأعداد الأولية في الألف رقم التالية. بحلول نهاية حياته ، كان قد أحصى جميع الأعداد الأولية حتى 3 ملايين. حسبت Legendre و Gauss بالتساوي أن كثافة الأعداد الأولية هي 1 / log (n). قدر Legendre عدد الأعداد الأولية بين 1 و n كـ

π (ن) = ن / (تسجيل (ن) - 1.08366)

و Gauss - كتكامل لوغاريتمي

π (ن) = / 1 / سجل (ر) دت

مع فاصل تكامل من 2 إلى n.

تُعرف العبارة المتعلقة بكثافة الأعداد الأولية 1 / log (n) باسم نظرية الأعداد الأولية. لقد حاولوا إثبات ذلك طوال القرن التاسع عشر ، وأحرز تشيبيشيف وريمان تقدمًا. قاموا بربطها بفرضية ريمان ، وهي تخمين غير مثبت حتى الآن حول توزيع أصفار دالة زيتا ريمان. تم إثبات كثافة الأعداد الأولية بشكل متزامن بواسطة Hadamard و de la Vallée-Poussin في عام 1896.

في نظرية الأعداد الأولية ، لا يزال هناك العديد من الأسئلة التي لم يتم حلها ، وبعضها عمره مئات السنين:

• الفرضية الأولية المزدوجة - حول عدد لا حصر له من أزواج الأعداد الأولية التي تختلف عن بعضها البعض بمقدار 2
• تخمين جولدباخ: أي عدد زوجي ، يبدأ من 4 ، يمكن تمثيله كمجموع عددين أوليين
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية بالصيغة n 2 + 1؟
• هل من الممكن دائمًا إيجاد عدد أولي بين n 2 و (n + 1) 2؟ (حقيقة أن هناك دائمًا عددًا أوليًا بين n و 2n تم إثباته بواسطة Chebyshev)
• هل يوجد عدد لا حصر له من الأعداد الأولية لفيرمات؟ هل توجد أي أعداد أولية فرما بعد الرابع؟
• هل تتواجد المتوالية العدديةمن الأعداد الأولية المتتالية لأي طول معين؟ على سبيل المثال ، للطول 4: 251 ، 257 ، 263 ، 269. أقصى طول تم العثور عليه هو 26.
• هل هناك عدد لا حصر له من المجموعات المكونة من ثلاثة أعداد أولية متتالية في التقدم الحسابي؟
• n 2 - n + 41 عدد أولي لـ 0 n ≤ 40. هل يوجد عدد لا نهائي من هذه الأعداد الأولية؟ نفس السؤال عن الصيغة n 2 - 79 n + 1601. هذه الأعداد أولية لـ 0 ≤ n ≤ 79.
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على شكل n # + 1؟ (n # هو نتيجة ضرب كل الأعداد الأولية الأقل من n)
• هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية على شكل n # -1؟
• هل يوجد عدد لا حصر له من الأعداد الأولية على شكل n! +1؟
• هل يوجد عدد لا حصر له من الأعداد الأولية على شكل n! - واحد؟
• إذا كان p عددًا أوليًا ، فهل 2 p -1 دائمًا لا يشمل عوامل التربيع الأولي
• هل يحتوي متوالية فيبوناتشي على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية؟

أكبر الأعداد الأولية المزدوجة هي 2003663613 × 2 195000 ± 1. وتتكون من 58711 رقمًا وتم العثور عليها في عام 2007.

أكبر عدد أولي عاملي (على شكل n! ± 1) هو 147855! - 1. يتكون من 142891 رقما ، تم العثور عليه عام 2002.

أكبر عدد أولي (رقم على الشكل n # ± 1) هو 1098133 # + 1.

العلامات: أضف علامات

قائمة القواسم.بحكم التعريف ، الرقم نيكون عددًا أوليًا فقط إذا كان لا يقبل القسمة على 2 وأي أعداد صحيحة بخلاف 1 ونفسه. تزيل الصيغة أعلاه الخطوات غير الضرورية وتوفر الوقت: على سبيل المثال ، بعد التحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 3 ، ليست هناك حاجة للتحقق مما إذا كان قابلاً للقسمة على 9.

• الدالة floor (x) تقرِّب x إلى أقرب عدد صحيح أقل من أو يساوي x.

تعرف على الحساب النمطي.عملية "x mod y" (mod اختصار لـ كلمة لاتينية"modulo" ، أي "module") تعني "قسّم x على y واعثر على الباقي". بعبارة أخرى ، في الحساب النمطي ، عند الوصول إلى قيمة معينة تسمى وحدة، فإن الأرقام "تعود" إلى الصفر. على سبيل المثال ، تقيس الساعة الوقت في المقياس 12: فهي تظهر الساعة 10 و 11 و 12 ثم تعود إلى 1.

• تحتوي العديد من الآلات الحاسبة على مفتاح تعديل. توضح نهاية هذا القسم كيفية حساب هذه الوظيفة يدويًا للأرقام الكبيرة.

رقم اوليهو رقم طبيعي (عدد صحيح موجب) يقبل القسمة بدون باقي على رقمين طبيعيين فقط: بمفرده. بمعنى آخر ، العدد الأولي له قاسمان طبيعيان بالضبط: والرقم نفسه.

بحكم التعريف ، فإن مجموعة جميع قواسم العدد الأولي تتكون من عنصرين ، أي هو عبارة عن مجموعة.

يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد الأولية بالرمز. وهكذا ، بحكم تعريف مجموعة الأعداد الأولية ، يمكننا أن نكتب:.

يبدو تسلسل الأعداد الأولية كما يلي:

النظرية الأساسية في الحساب

النظرية الأساسية في الحسابيؤكد أن كل عدد طبيعي أكبر من واحد يمكن تمثيله كمنتج للأعداد الأولية ، وبطريقة فريدة ، حتى ترتيب العوامل. لذا فإن الأعداد الأولية أولية " اللبنات»مجموعات من الأعداد الطبيعية.

تحليل عنوان رقم طبيعي = "(! LANG: تم التقديم بواسطة QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} العنوان الأساسي:

أين هو عدد أولي و. على سبيل المثال ، يبدو التوسع المتعارف عليه لعدد طبيعي كما يلي:.

يسمى أيضًا تمثيل العدد الطبيعي كمنتج للأعداد الأولية عامل العدد.

خصائص الأعداد الأولية

منخل إراتوستينس

واحدة من أشهر الخوارزميات للبحث عن الأعداد الأولية والتعرف عليها هي غربال إراتوستينس. لذلك سميت هذه الخوارزمية على اسم عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس القيرواني ، الذي يعتبر مؤلف الخوارزمية.

للعثور على جميع الأعداد الأولية الأقل من رقم معين ، باتباع طريقة إراتوستينس ، عليك اتباع الخطوات التالية:

الخطوة 1.اكتب في صف كل الأعداد الطبيعية من اثنين إلى ، أي .
الخطوة 2قم بتعيين قيمة لمتغير ، أي قيمة تساوي أصغر عدد أولي.
الخطوه 3احذف في القائمة جميع الأرقام من إلى مضاعفات ، أي الأرقام:.
الخطوة 4ابحث عن أول رقم غير متقاطع في القائمة أكبر من ، وقم بتعيين قيمة هذا الرقم إلى المتغير.
الخطوة الخامسةكرر الخطوتين 3 و 4 حتى يتم الوصول إلى الرقم.

ستبدو عملية تطبيق الخوارزمية كما يلي:

ستكون جميع الأرقام غير المتقاطعة المتبقية في القائمة في نهاية عملية تطبيق الخوارزمية عبارة عن مجموعة من الأعداد الأولية من إلى.

فرضية جولدباخ

غلاف كتاب "العم بيتروس وتخمين جولدباخ"

على الرغم من حقيقة أن الأعداد الأولية تمت دراستها من قبل علماء الرياضيات لفترة طويلة ، إلا أن العديد من المشكلات ذات الصلة اليوم لا تزال دون حل. واحدة من أشهر المشاكل التي لم يتم حلها هي تخمين جولدباخ، والتي صيغت على النحو التالي:

• هل صحيح أن كل عدد زوجي أكبر من اثنين يمكن تمثيله كمجموع اثنين من الأعداد الأولية (حدسية جولدباخ الثنائية)؟
• هل صحيح أن كل عدد فردي أكبر من 5 يمكن تمثيله كمجموع ثلاثة بسيطةالأرقام (تخمين جولدباخ الثلاثي)؟

يجب أن يقال أن تخمين جولدباخ الثلاثي هو حالة خاصة لتخمين جولدباخ الثنائي ، أو كما يقول علماء الرياضيات ، فإن تخمين جولدباخ الثلاثي أضعف من تخمين جولدباخ الثنائي.

أصبح تخمين جولدباخ معروفًا على نطاق واسع خارج المجتمع الرياضي في عام 2000 بفضل حيلة تسويقية إعلانية من قبل شركات النشر بلومزبري بالولايات المتحدة الأمريكية وفابر وفابر (المملكة المتحدة). بعد أن أصدرت دور النشر هذه كتاب "تخمين العم بيتروس وجولدباخ" ، وعدت بدفع جائزة قدرها مليون دولار أمريكي في غضون عامين من تاريخ نشر الكتاب لمن يثبت تخمين جولدباخ. أحيانًا يتم الخلط بين الجائزة المذكورة من الناشرين وجوائز حل مشكلات جائزة الألفية. لا تخطئ ، فرضية جولدباخ ليست مدرجة على أنها تحدي الألفية من قبل معهد كلاي ، على الرغم من أنها مرتبطة ارتباطًا وثيقًا فرضية ريمانأحد تحديات الألفية.

كتاب "أرقام بسيطة. طريق طويل إلى ما لا نهاية

غلاف كتاب عالم الرياضيات. أرقام بسيطة. طريق طويل إلى ما لا نهاية

بالإضافة إلى ذلك ، أوصي بقراءة كتاب علمي مشهور ، التعليق التوضيحي الذي يقول: "البحث عن الأعداد الأولية هو أحد أكثر المشاكل تناقضًا في الرياضيات. كان العلماء يحاولون حلها منذ آلاف السنين ، ولكن اكتساب إصدارات وفرضيات جديدة ، لا يزال هذا اللغز دون حل. لا يخضع ظهور الأعداد الأولية لأي نظام: فهي تنشأ تلقائيًا في سلسلة من الأعداد الطبيعية ، متجاهلة جميع محاولات علماء الرياضيات لتحديد الأنماط في تسلسلها. سيسمح هذا الكتاب للقارئ بتتبع تطور الأفكار العلمية من العصور القديمة حتى يومنا هذا وتقديم أكثر النظريات فضولًا للبحث عن الأعداد الأولية.

بالإضافة إلى ذلك ، سأقتبس بداية الفصل الثاني من هذا الكتاب: "الأعداد الأولية هي واحدة من مواضيع مهمة، التي تعيدنا إلى بدايات الرياضيات ، وبعد ذلك ، على طول طريق التعقيد المتزايد ، تقودنا إلى طليعة العلم الحديث. وبالتالي ، سيكون من المفيد جدًا تتبع ملفات تاريخ معقدنظرية الأعداد الأولية: كيف تطورت بالضبط ، وكيف تم جمع الحقائق والحقائق التي تعتبر الآن مقبولة بشكل عام. سنرى في هذا الفصل كيف قامت أجيال من علماء الرياضيات بدراسة الأعداد الطبيعية بعناية بحثًا عن قاعدة تتنبأ بظهور الأعداد الأولية ، وهي قاعدة أصبحت ، في سياق البحث ، مراوغة أكثر فأكثر. سنلقي أيضًا نظرة فاحصة على السياق التاريخي: في أي ظروف عمل علماء الرياضيات وإلى أي مدى اشتمل عملهم على ممارسات صوفية وشبه دينية لا تشبه على الإطلاق الأساليب العلميةتستخدم اليوم. ومع ذلك ، وببطء وبصعوبة ، تم تجهيز الأرض للمشاهد الجديدة التي ألهمت فيرما وأويلر في القرنين السابع عشر والثامن عشر ".

تتناول المقالة مفاهيم الأعداد الأولية والمركبة. تعاريف هذه الأرقام مع الأمثلة. نعطي دليلًا على أن عدد الأعداد الأولية غير محدود ونقوم بإدخال إدخال في جدول الأعداد الأولية باستخدام طريقة إراتوستينس. سيتم تقديم البراهين حول ما إذا كان الرقم أوليًا أم مركبًا.

Yandex.RTB R-A-339285-1

الأعداد الأولية والمركبة - تعريفات وأمثلة

يتم تصنيف الأرقام الأولية والمركبة على أنها أعداد صحيحة موجبة. يجب أن يكونوا أكبر من واحد. تنقسم المقسومات أيضًا إلى بسيطة ومركبة. لفهم مفهوم الأعداد المركبة ، من الضروري أولاً دراسة مفاهيم القواسم والمضاعفات.

التعريف 1

الأعداد الأولية هي أعداد صحيحة أكبر من واحد ولها قسومان موجبان ، أي نفسها و 1.

التعريف 2

الأعداد المركبة هي أعداد صحيحة أكبر من واحد ولها ثلاثة قواسم موجبة على الأقل.

الوحدة ليست أولية ولا عدد مركب. لها قاسم موجب واحد فقط ، لذا فهي تختلف عن جميع الأعداد الموجبة الأخرى. تسمى جميع الأعداد الصحيحة الموجبة طبيعية ، أي تستخدم في العد.

التعريف 3

الأعداد الأوليةهي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على اثنين فقط من قواسم موجبة.

التعريف 4

عدد مركبهو رقم طبيعي يحتوي على أكثر من اثنين من قواسمه الموجبة.

أي رقم أكبر من 1 يكون إما أوليًا أو مركبًا. من خاصية القابلية للقسمة ، لدينا ذلك 1 والرقم a سيكون دائمًا قواسم على أي رقم a ، أي أنه سيكون قابلاً للقسمة على نفسه وعلى 1. نعطي تعريف الأعداد الصحيحة.

التعريف 5

تسمى الأعداد الطبيعية غير الأولية بالأرقام المركبة.

الأعداد الأولية: 2 ، 3 ، 11 ، 17 ، 131 ، 523. لا يقبلون القسمة إلا على أنفسهم وعلى 1. الأرقام المركبة: 6 ، 63 ، 121 ، 6697. أي أن الرقم 6 يمكن أن يتحلل إلى 2 و 3 ، و 63 إلى 1 ، 3 ، 7 ، 9 ، 21 ، 63 ، و 121 إلى 11 ، 11 ، أي أن قواسمه ستكون 1 ، 11 ، 121. الرقم 6697 سوف يتحلل إلى 37 و 181. لاحظ أن مفاهيم الأعداد الأولية والأعداد الأولية نسبيًا هي مفاهيم مختلفة.

لتسهيل استخدام الأعداد الأولية ، تحتاج إلى استخدام جدول:

يعد جدول جميع الأعداد الطبيعية الموجودة غير واقعي ، نظرًا لوجود عدد لا حصر له منها. عندما تصل الأرقام إلى أحجام 10000 أو 1000000000 ، فعليك التفكير في استخدام غربال إراتوستينس.

ضع في اعتبارك نظرية تشرح العبارة الأخيرة.

نظرية 1

أصغر قاسم موجب لعدد طبيعي غير 1 ، أكبر من واحد، هو عدد أولي.

إثبات 1

افترض أن a عدد طبيعي أكبر من 1 ، وأن b هو أصغر قاسم ليس واحدًا لـ a. يجب أن نثبت أن b عدد أولي باستخدام طريقة التناقض.

لنفترض أن ب هو رقم مركب. من هنا نجد أن هناك قاسمًا لـ b ، والذي يختلف عن 1 وكذلك عن b. يُشار إلى هذا القاسم بالرمز ب 1. من الضروري هذا الشرط 1< b 1 < b اكتمل.

يمكن أن نرى من الشرط أن أ قابل للقسمة على ب ، ب قابل للقسمة على ب 1 ، مما يعني أن مفهوم القسمة يتم التعبير عنه بهذه الطريقة: أ = ب فو ب = ب 1 ف 1 ، من أين أ = ب 1 (ف 1 ف) ، حيث ف و ف 1هي أعداد صحيحة. وفقًا لقاعدة ضرب الأعداد الصحيحة ، لدينا أن حاصل ضرب الأعداد الصحيحة هو عدد صحيح مع المساواة في الشكل a = b 1 · (q 1 · q). يمكن ملاحظة أن ب 1 هو القاسم على. عدم المساواة 1< b 1 < b ليسيطابق ، لأننا حصلنا على أن b هو أصغر عامل موجب غير مقسوم على 1 لـ a.

نظرية 2

هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

إثبات 2

لنفترض أننا أخذنا عددًا محدودًا من الأعداد الطبيعية n ونشير إليه على أنه p 1، p 2،…، p n. لنفكر في متغير لإيجاد عدد أولي مختلف عن الأرقام المشار إليها.

ضع في اعتبارك الرقم p ، الذي يساوي p 1 ، p 2 ، ... ، p n + 1. لا يساوي كل من الأرقام المقابلة للأعداد الأولية بالصيغة p 1، p 2،…، p n. الرقم ص أولي. ثم تعتبر النظرية مثبتة. إذا كان مركبًا ، فعلينا أن نأخذ الرمز p n + 1 وإظهار عدم تطابق القاسم مع أي من p 1، p 2،…، p n.

إذا لم يكن الأمر كذلك ، فعندئذٍ ، بناءً على خاصية القسمة للمنتج p 1، p 2،…، p n , نتوصل إلى أنه يمكن القسمة على p n + 1. لاحظ أن التعبير p n + 1 العدد ص مقسوم على مجموع ص 1 ، ص 2 ، ... ، ف ن + 1. نحصل على هذا التعبير p n + 1 يجب تقسيم الحد الثاني من هذا المجموع ، والذي يساوي 1 ، لكن هذا مستحيل.

يمكن ملاحظة أن أي عدد أولي يمكن العثور عليه بين أي عدد من الأعداد الأولية. ويترتب على ذلك وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

نظرًا لوجود عدد كبير من الأعداد الأولية ، فإن الجداول تقتصر على الأرقام 100 و 1000 و 10000 وما إلى ذلك.

عند تجميع جدول الأعداد الأولية ، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار حقيقة أن مثل هذه المهمة تتطلب فحصًا تسلسليًا للأرقام ، بدءًا من 2 إلى 100. إذا لم يكن هناك قاسم ، يتم تسجيله في الجدول ؛ وإذا كان مركبًا ، فلا يتم إدخاله في الجدول.

دعنا نفكر خطوة بخطوة.

إذا بدأت بالرقم 2 ، فهذا يعني أنه يحتوي على مقسومين فقط: 2 و 1 ، مما يعني أنه يمكن إدخاله في الجدول. أيضا مع الرقم 3. الرقم 4 مركب ، يجب أن يتحلل إلى 2 و 2. الرقم 5 هو عدد أولي ، مما يعني أنه يمكن تثبيته في الجدول. افعل هذا حتى الرقم 100.

هذه الطريقة غير مريحة وتستغرق وقتا طويلا. يمكنك صنع طاولة ، لكن عليك أن تنفق عدد كبير منزمن. من الضروري استخدام معايير القابلية للقسمة ، والتي ستسرع من عملية إيجاد القواسم.

تعتبر الطريقة التي تستخدم منخل إراتوستينس هي الأكثر ملاءمة. دعنا نلقي نظرة على الجداول أدناه. بادئ ذي بدء ، الأرقام 2 ، 3 ، 4 ، ... ، 50 مكتوبة.

أنت الآن بحاجة إلى شطب جميع الأرقام التي تكون من مضاعفات 2. اجعل يتوسطه خط متسلسل. نحصل على جدول بالنموذج:

دعنا ننتقل إلى شطب الأعداد التي تكون من مضاعفات العدد 5. نحن نحصل:

نقوم بشطب الأعداد التي تكون من مضاعفات 7 و 11. أخيرًا يبدو الجدول

دعونا ننتقل إلى صياغة النظرية.

نظرية 3

لا يتجاوز أصغر قاسم موجب وغير 1 للرقم الأساسي a ، حيث a هو الجذر الحسابي للرقم المحدد.

إثبات 3

من الضروري تعيين ب أصغر قاسمرقم مركب أ. يوجد عدد صحيح q ، حيث a = b · q ولدينا ذلك b ≤ q. عدم المساواة في الشكل ب> فلأن الشرط منتهك. يجب ضرب طرفي المتباينة ب ≤ q بأي عدد موجب ب لا يساوي 1. نحصل على b b ≤ b q ، حيث b 2 ≤ a و b a.

يمكن أن نرى من النظرية المثبتة أن حذف الأرقام في الجدول يؤدي إلى حقيقة أنه من الضروري البدء برقم يساوي b 2 ويفي بالتباين b 2 ≤ a. أي إذا قمت بشطب الأرقام التي هي مضاعفات 2 ، فإن العملية تبدأ من 4 ، وتلك التي تعد مضاعفات 3 تبدأ من 9 ، وهكذا حتى 100.

يقول تجميع مثل هذا الجدول باستخدام نظرية إراتوستينس أنه عندما يتم شطب جميع الأرقام المركبة ، ستبقى هناك أرقام أولية لا تتجاوز n. في المثال حيث n = 50 ، لدينا n = 50. من هنا نحصل على أن غربال إراتوستينس يزيل جميع الأرقام المركبة التي لا تزيد قيمتها في القيمة عن قيمة جذر 50. يتم البحث عن الأرقام بالشطب.

قبل الحل ، من الضروري معرفة ما إذا كان الرقم أوليًا أم مركبًا. غالبًا ما تستخدم معايير القسمة. لنلق نظرة على هذا في المثال أدناه.

مثال 1

برهن على أن 898989898989898989 هو رقم مركب.

المحلول

مجموع أرقام العدد المعطى 9 8 + 9 9 = 9 17. لذا فإن الرقم 9 17 قابل للقسمة على 9 ، بناءً على علامة القابلية للقسمة على 9. ويترتب على ذلك أنه مركب.

هذه العلامات ليست قادرة على إثبات أهلية الرقم. إذا كان التحقق مطلوبًا ، يجب اتخاذ خطوات أخرى. أنسب طريقة هي تعداد الأرقام. أثناء العملية ، يمكن العثور على الأرقام الأولية والمركبة. أي أن الأرقام في القيمة يجب ألا تتجاوز أ. وهذا يعني أن الرقم أ يجب أن يتحلل إلى عوامل أولية. إذا كان هذا صحيحًا ، فيمكن اعتبار الرقم أ عددًا أوليًا.

مثال 2

أوجد العدد المركب أو الأولي 11723.

المحلول

أنت الآن بحاجة إلى إيجاد جميع القواسم على الرقم 11723. نحتاج إلى تقييم 11723.

من هنا نرى أن 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 ، و 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

للمزيد من تقييم دقيقالأرقام 11723 ، يجب كتابة التعبير 108 2 \ u003d 11664 ، و 109 2 = 11 881 ، ومن بعد 108 2 < 11 723 < 109 2 . ويترتب على ذلك أن 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

عند التحلل ، نحصل على 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، 101 ، 103 ، 107 كلها أعداد أولية. جميع هذه العمليةيمكن تمثيلها كقسمة بواسطة عمود. أي قسمة 11723 على 19. الرقم 19 هو أحد عوامله ، لأننا نحصل على القسمة دون الباقي. دعنا نصور القسمة على عمود:

ويترتب على ذلك أن 11723 هو رقم مركب ، لأنه بالإضافة إلى نفسه و 1 ، فإنه يحتوي على القاسم 19.

إجابه: 11723 رقم مركب.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter