تحويل التعبيرات اللوغاريتمية. اللوغاريتم الطبيعي ، دالة ln x

الخصائص الرئيسية للوغاريتم الطبيعي ، الرسم البياني ، مجال التعريف ، مجموعة القيم ، الصيغ الأساسية ، المشتق ، التكامل ، التوسع في سلسلة الطاقةوتمثيل الدالة ln x بدلالة الأعداد المركبة.

تعريف

اللوغاريتم الطبيعيهي الوظيفة y = ln x، معكوس الأس ، x \ u003d e y ، وهو لوغاريتم أساس الرقم e: ln x = تسجيل الدخول x.

يستخدم اللوغاريتم الطبيعي على نطاق واسع في الرياضيات لأن مشتقه له أبسط أشكال: (ln x) ′ = 1 / x.

على أساس تعريفات، أساس اللوغاريتم الطبيعي هو الرقم ه:
ه ≅ 2.718281828459045 ...;
.

رسم بياني للدالة y = ln x.

رسم بياني للوغاريتم الطبيعي (الدوال y = ln x) من الرسم البياني للأس عن طريق انعكاس مرآة حول الخط المستقيم y = x.

يتم تعريف اللوغاريتم الطبيعي للقيم الموجبة لـ x. إنه يزيد بشكل رتيب في مجال تعريفه.

كما x → 0 حد اللوغاريتم الطبيعي هو سالب اللانهاية (- ∞).

مثل x → + ∞ ، فإن حد اللوغاريتم الطبيعي هو زائد اللانهاية (+ ∞). بالنسبة إلى x الكبيرة ، يزيد اللوغاريتم ببطء نسبيًا. أي وظيفة الطاقة x a مع الأس الموجب a ينمو أسرع من اللوغاريتم.

خصائص اللوغاريتم الطبيعي

مجال التعريف ، مجموعة القيم ، القيم القصوى ، الزيادة ، النقصان

اللوغاريتم الطبيعي هو دالة متزايدة بشكل رتيب ، لذلك ليس له قيمة قصوى. يتم عرض الخصائص الرئيسية للوغاريتم الطبيعي في الجدول.

قيم ln x

سجل 1 = 0

الصيغ الأساسية للوغاريتمات الطبيعية

الصيغ الناشئة عن تعريف الدالة العكسية:

الخاصية الرئيسية للوغاريتمات وعواقبها

صيغة الاستبدال الأساسية

يمكن التعبير عن أي لوغاريتم من حيث اللوغاريتمات الطبيعية باستخدام صيغة التغيير الأساسي:

يتم تقديم البراهين على هذه الصيغ في قسم "اللوغاريتم".

وظيفة عكسية

مقلوب اللوغاريتم الطبيعي هو الأس.

اذا ثم

اذا ثم .

المشتق ln x

مشتق من اللوغاريتم الطبيعي:
.
مشتق من اللوغاريتم الطبيعي للوضع x:
.
مشتق من الترتيب التاسع:
.
اشتقاق الصيغ>>>

متكامل

يتم حساب التكامل عن طريق التكامل بالأجزاء:
.
وبالتالي،

التعبيرات من حيث الأعداد المركبة

ضع في اعتبارك دالة لمتغير معقد z:
.
دعونا نعبر عن المتغير المركب ضعبر الوحدة صوالحجة φ :
.
باستخدام خصائص اللوغاريتم ، لدينا:
.
أو
.
لم يتم تعريف الحجة φ بشكل فريد. إذا وضعنا
، حيث n هي عدد صحيح ،
ثم سيكون نفس الرقم لن مختلفة.

لذلك ، فإن اللوغاريتم الطبيعي ، كدالة لمتغير معقد ، ليس دالة ذات قيمة واحدة.

توسيع سلسلة الطاقة

ل ، يتم التوسع:

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.

يمكن إضافة اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

يجب معرفة هذه القواعد - بدونها لا أحد جاد مشكلة لوغاريتمية. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: log أ xوتسجيل أ ذ. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

1. سجل أ x+ سجل أ ذ= سجل أ (x · ذ);
2. سجل أ xسجل أ ذ= سجل أ (x : ذ).

إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي - نفس الأسباب. إذا كانت القواعد مختلفة ، فإن هذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في الحساب تعبير لوغاريتميحتى عندما لا يتم النظر في أجزائه الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة وانظر:

سجل 6 4 + سجل 6 9.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 - log 2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
السجل 2 48 - السجل 2 3 = السجل 2 (48: 3) = السجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3135 - log 3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
السجل 3135 - السجل 3 5 = السجل 3 (135: 5) = السجل 3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. بناء على هذه الحقيقة ، كثير أوراق الاختبار. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

من السهل ملاحظة أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل تذكرها على أي حال - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار العمليات الحسابية.

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: أ > 0, أ ≠ 1, x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس ، أي يمكنك إدخال الأرقام قبل علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

[شرح الشكل]

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 2 4؛ 49 = 72. نملك:

[شرح الشكل]

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نحن نعمل فقط مع المقام. قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".

لنلق نظرة الآن على الكسر الرئيسي. البسط والمقام لهما نفس العدد: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0 ، يمكننا تقليل الكسر - 2/4 سيبقى في المقام. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. والنتيجة هي الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

بالحديث عن قواعد إضافة وطرح اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ماذا لو اختلفت القواعد؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم سجل أ x. ثم لأي رقم جمثل ذلك ج> 0 و ج≠ 1 ، المساواة صحيحة:

[شرح الشكل]

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا ج = x، نحن نحصل:

[شرح الشكل]

ويترتب على الصيغة الثانية أنه من الممكن تبادل الأساس ووسيط اللوغاريتم ، ولكن في هذه الحالة يكون التعبير بالكامل "منقلبًا" ، أي اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند اتخاذ القرار المعادلات اللوغاريتميةوعدم المساواة.

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 5 16 log 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ؛ سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2 سجل 2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

[شرح الشكل]

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

[شرح الشكل]

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

[شرح الشكل]

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

في الحالة الأولى ، الرقم نيصبح الأس للحجة. عدد نيمكن أن يكون أي شيء على الإطلاق ، لأنه مجرد قيمة اللوغاريتم.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. إنها تسمى الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

في الواقع ، ماذا سيحدث إذا كان الرقم برفع إلى السلطة بحيث بإلى هذا الحد يعطي عددًا أ؟ هذا صحيح: هذا هو نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.

مثل صيغ التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

[شرح الشكل]

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - أخرج للتو المربع من القاعدة ووسيطة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد ضرب الأسس بنفس الأساس ، نحصل على:

[شرح الشكل]

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من الامتحان :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بالأحرى ، هذه نتائج من تعريف اللوغاريتم. يتم العثور عليها باستمرار في المشاكل ، والمثير للدهشة أنها تخلق مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. سجل أ أ= 1 هي الوحدة اللوغاريتمية. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس أمن هذه القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
2. سجل أ 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. قاعدة أيمكن أن يكون أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لان أ 0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.

التعبيرات اللوغاريتمية ، حل الأمثلة. في هذه المقالة ، سننظر في المشكلات المتعلقة بحل اللوغاريتمات. تثير المهام مسألة إيجاد قيمة التعبير. وتجدر الإشارة إلى أن مفهوم اللوغاريتم يستخدم في العديد من المهام ومن المهم للغاية فهم معناه. بالنسبة إلى الاستخدام ، يتم استخدام اللوغاريتم في حل المعادلات والمشكلات التطبيقية وأيضًا في المهام المتعلقة بدراسة الوظائف.

فيما يلي أمثلة لفهم معنى اللوغاريتم:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية:

خصائص اللوغاريتمات التي يجب أن تتذكرها دائمًا:

* لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم حاصل القسمة (الكسر) يساوي الفرق في لوغاريتمات العوامل.

* * *

* لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم قاعدته.

* * *

* الانتقال إلى قاعدة جديدة

* * *

المزيد من الخصائص:

* * *

ترتبط اللوغاريتمات الحاسوبية ارتباطًا وثيقًا باستخدام خصائص الأسس.

نسرد بعضًا منهم:

جوهر الملكية المعطاةهو أنه عند نقل البسط إلى المقام والعكس بالعكس ، تتغير علامة الأس إلى العكس. على سبيل المثال:

نتيجة هذه الخاصية:

* * *

عند رفع قوة إلى قوة ، تظل القاعدة كما هي ، لكن الأسس تتضاعف.

* * *

كما ترى ، فإن مفهوم اللوغاريتم ذاته بسيط. الشيء الرئيسي هو ما هو مطلوب ممارسة جيدةمما يعطي مهارة معينة. من المؤكد أن معرفة الصيغ إلزامية. إذا لم يتم تشكيل المهارة في تحويل اللوغاريتمات الأولية ، فعند حل المهام البسيطة ، يمكن للمرء أن يخطئ بسهولة.

تمرن على حل أبسط الأمثلة من دورة الرياضيات أولاً ، ثم انتقل إلى أمثلة أكثر تعقيدًا. في المستقبل ، سأوضح بالتأكيد كيف يتم حل اللوغاريتمات "القبيحة" ، ولن يكون هناك مثل هذه اللوغاريتمات في الامتحان ، لكنها ذات أهمية ، فلا تفوتها!

هذا كل شئ! كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير ، الكسندر كروتسكيخ

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.

دعنا نبدء ب خصائص لوغاريتم الوحدة. صيغته على النحو التالي: لوغاريتم الوحدة يساوي الصفر ، أي ، سجل a 1 = 0لأي أ> 0 ، أ ≠ 1. الدليل واضح: بما أن 0 = 1 لأي ​​أ يفي بالشروط المذكورة أعلاه أ> 0 و أ 1 ، فإن سجل المساواة المثبت أ 1 = 0 يتبع مباشرة من تعريف اللوغاريتم.

دعنا نعطي أمثلة لتطبيق الخاصية المدروسة: log 3 1 = 0 ، lg1 = 0 و.

دعنا ننتقل إلى الخاصية التالية: لوغاريتم عدد يساوي الأساس يساوي واحدًا، هذا هو، تسجيل أ = 1من أجل a> 0 ، a 1. في الواقع ، بما أن 1 = أ لأي أ ، فإن تعريف اللوغاريتم لوغاريتم أ = 1.

أمثلة على استخدام خاصية اللوغاريتمات هي log 5 5 = 1 و log 5.6 5.6 و lne = 1.

على سبيل المثال ، log 2 2 7 = 7 ، log10 -4 = -4 و .

لوغاريتم حاصل ضرب عددين موجبين x و y يساوي حاصل ضرب لوغاريتمات هذه الأرقام: سجل أ (س ص) = سجل أ س + سجل أ ص، أ> 0 ، أ 1. دعونا نثبت خاصية لوغاريتم المنتج. نظرا لخصائص الدرجة a السجل a x + السجل a y = a log a x a log a y، وبما أنه من خلال الهوية اللوغاريتمية الرئيسية ، فإن log a x = x و log a y = y ، ثم log a x a log a y = x y. وبالتالي ، فإن السجل a x + log a y = x y ، ومن هنا تتبع المساواة المطلوبة بتعريف اللوغاريتم.

دعنا نعرض أمثلة على استخدام خاصية لوغاريتم المنتج: log 5 (2 3) = log 5 2 + log 5 3 and .

يمكن تعميم خاصية لوغاريتم الضرب على حاصل ضرب عدد محدد n من الأعداد الموجبة x 1، x 2، ...، x n as سجل a (x 1 x 2 ... x n) = سجل أ س 1 + سجل أ س 2 + ... + سجل أ س ن . يمكن إثبات هذه المساواة بسهولة.

على سبيل المثال ، يمكن استبدال اللوغاريتم الطبيعي لمنتج بمجموع ثلاثة اللوغاريتمات الطبيعيةالأرقام 4 و e و.

لوغاريتم حاصل قسمة عددين موجبين x و y يساوي الفرق بين لوغاريتمي هذه الأعداد. تتوافق خاصية لوغاريتم خارج القسمة مع صيغة في النموذج ، حيث أ> 0 و a 1 و x و y هي بعض الأرقام الموجبة. تم إثبات صحة هذه الصيغة مثل معادلة لوغاريتم المنتج: منذ ذلك الحين ثم بتعريف اللوغاريتم.

فيما يلي مثال على استخدام خاصية اللوغاريتم هذه: .

هيا بنا نمضي قدما ل خاصية لوغاريتم الدرجة. لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم مقياس أساس هذه الدرجة. نكتب هذه الخاصية للوغاريتم للدرجة في شكل معادلة: سجل a b p = p log a | b |، حيث a> 0 ، a ≠ 1 ، b ، p هي أرقام بحيث تكون درجة b p منطقية و b p> 0.

نثبت أولاً هذه الخاصية لإيجابية ب. تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم ب على أنه سجل أ ب ، ثم ب ص = (سجل أ ب) ص ، والتعبير الناتج ، بسبب خاصية الطاقة ، يساوي ص لوج أ ب. لذلك نصل إلى المساواة b p = a p log a b ، والتي من خلالها ، من خلال تعريف اللوغاريتم ، نستنتج أن log a b p = p log a b.

يبقى إثبات هذه الخاصية لسالب ب. نلاحظ هنا أن التعبير log a b p عن سالب b منطقي فقط للأسس الزوجية p (لأن قيمة الدرجة b p يجب أن تكون أكبر من الصفر ، وإلا فإن اللوغاريتم لن يكون له معنى) ، وفي هذه الحالة b p = | b | ص. ثم ب ص = | ب | ص = (سجل أ | ب |) ص = سجل ص أ | ب |، من أين سجل a b p = p log a | b | .

على سبيل المثال، و ln (-3) 4 = 4 ln | -3 | = 4 ln3.

يتبع من الممتلكات السابقة خاصية اللوغاريتم من الجذر: لوغاريتم جذر الدرجة n يساوي حاصل ضرب الكسر 1 / n ولوغاريتم التعبير الجذر ، أي ، ، حيث أ> 0 ، أ 1 ، ن - عدد طبيعي، أكبر من واحد ، ب> 0.

يعتمد الدليل على المساواة (انظر) ، والتي تصلح لأي موجب ب ، وخاصية لوغاريتم الدرجة: .

فيما يلي مثال على استخدام هذه الخاصية: .

الآن دعنا نثبت صيغة التحويل إلى الأساس الجديد للوغاريتمعطوف . للقيام بذلك ، يكفي إثبات صحة سجل المساواة c b = log a b log c a. تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b على أنه log a b ، ثم log c b = log c a log a b. يبقى استخدام خاصية لوغاريتم الدرجة: سجل ج أ سجل أ ب = سجل أ ب سجل ج أ. وبالتالي ، تم إثبات المساواة log c b = log a b log c a ، مما يعني أنه تم أيضًا إثبات معادلة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم.

دعنا نعرض بعض الأمثلة لتطبيق خاصية اللوغاريتمات هذه: و .

تسمح لك صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة بالانتقال إلى العمل باستخدام اللوغاريتمات التي لها قاعدة "ملائمة". على سبيل المثال ، يمكن استخدامه للتبديل إلى اللوغاريتمات الطبيعية أو العشرية بحيث يمكنك حساب قيمة اللوغاريتم من جدول اللوغاريتمات. تسمح صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم أيضًا في بعض الحالات بالعثور على قيمة لوغاريتم معين ، عندما تكون قيم بعض اللوغاريتمات ذات القواعد الأخرى معروفة.

غالبًا ما تستخدم حالة خاصة من الصيغة للانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم لـ c = b من النموذج . هذا يدل على أن السجل أ ب والسجل ب أ -. على سبيل المثال، .

غالبًا ما تستخدم الصيغة ، وهو أمر مفيد لإيجاد قيم اللوغاريتم. لتأكيد كلماتنا ، سنبين كيف يتم حساب قيمة لوغاريتم النموذج باستخدامه. نملك . لإثبات الصيغة يكفي استخدام صيغة الانتقال إلى الأساس الجديد للوغاريتم أ: .

يبقى إثبات خصائص المقارنة للوغاريتمات.

دعنا نثبت أنه لأي عدد موجب b 1 و b 2 ، b 1 log a b 2 ، وبالنسبة لـ a> 1 ، المتباينة log a b 1

أخيرًا ، يبقى إثبات آخر خصائص اللوغاريتمات المدرجة. نحن نقتصر على إثبات الجزء الأول ، أي أننا نثبت أنه إذا كان 1> 1 ، و 2> 1 ، و 1 1 هو صحيح لوغاريتم أ 1 ب> سجل أ 2 ب. يتم إثبات البيانات المتبقية لهذه الخاصية من اللوغاريتمات من خلال مبدأ مماثل.

دعنا نستخدم الطريقة المعاكسة. افترض أن 1> 1 و 2> 1 و 1 1 سجل a 1 b≤log a 2 b صحيح. من خلال خصائص اللوغاريتمات ، يمكن إعادة كتابة هذه المتباينات كـ و على التوالي ، ويترتب على ذلك أن السجل b a 1 ≤log b a 2 و log b a 1 ≥log b a 2 ، على التوالي. بعد ذلك ، من خلال خصائص القوى التي لها نفس الأسس ، يجب استيفاء المساواة b log b a 1 ≥b log b a 2 and b log b a 1 ≥b log b a 2 ، أي 1 ≥a 2. وهكذا توصلنا إلى تناقض مع الشرط 1

فهرس.

• كولموغوروف إيه إن ، أبراموف إيه إم ، دودنيتسين يو. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام.
• Gusev V.A.، Mordkovich A.G. الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية).

نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، هذه العملية تسمى اللوغاريتم. أولاً ، سنتعامل مع حساب اللوغاريتمات بالتعريف. بعد ذلك ، فكر في كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك ، سوف نتعمق في حساب اللوغاريتمات من خلال القيم المعطاة في البداية للوغاريتمات الأخرى. أخيرًا ، دعنا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.

التنقل في الصفحة.

حساب اللوغاريتمات بالتعريف

في أبسط الحالات ، من الممكن الأداء بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم بالتعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.

جوهرها هو تمثيل الرقم ب في الشكل أ ج ، ومن هنا ، من خلال تعريف اللوغاريتم ، فإن الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني ، بحكم التعريف ، أن إيجاد اللوغاريتم يتوافق مع سلسلة المساواة التالية: log a b = log a a c = c.

لذلك ، فإن حساب اللوغاريتم ، بالتعريف ، ينخفض ​​إلى إيجاد مثل هذا الرقم c الذي هو c \ u003d b ، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.

بالنظر إلى المعلومات الواردة في الفقرات السابقة ، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم بدرجة معينة من أساس اللوغاريتم ، يمكنك على الفور الإشارة إلى ما يساوي اللوغاريتم - فهو يساوي الأس. دعنا نعرض الأمثلة.

مثال.

أوجد اللوغاريتم 2 2 −3 واحسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي لـ e 5.3.

قرار.

يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن log 2 2 −3 = −3. في الواقع ، الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 أس −3.

وبالمثل ، نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 = 5.3.

إجابه:

سجل 2 2 −3 = 3 و lne 5.3 = 5.3.

إذا لم يتم إعطاء الرقم ب الموجود أسفل علامة اللوغاريتم كقوة أساس اللوغاريتم ، فأنت بحاجة إلى التفكير بعناية فيما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم ب في الشكل أ ج. غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا ، خاصةً عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس لقوة 1 أو 2 أو 3 ، ...

مثال.

احسب اللوغاريتمات log 5 25 و.

قرار.

من السهل أن ترى أن 25 = 5 2 ، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.

ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة لـ 7: (انظر إذا لزم الأمر). بالتالي، .

دعونا نعيد كتابة اللوغاريتم الثالث بالشكل التالي. الآن يمكنك رؤية ذلك ، ومن أين نستنتج ذلك . لذلك ، من خلال تعريف اللوغاريتم .

باختصار ، يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

إجابه:

سجل 5 25 = 2 ، و .

عندما يكون عدد طبيعي كبير بدرجة كافية تحت علامة اللوغاريتم ، فلا يضر تحليله إلى عوامل أولية. غالبًا ما يساعد في تمثيل مثل هذا الرقم مثل بعض قوة أساس اللوغاريتم ، وبالتالي ، حساب هذا اللوغاريتم بالتعريف.

مثال.

أوجد قيمة اللوغاريتم.

قرار.

تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. تتضمن هذه الخصائص خاصية لوغاريتم واحد وخاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس: log 1 1 = log a 0 = 0 and log a a = log a 1 = 1. أي عندما يكون الرقم 1 أو الرقم أ تحت علامة اللوغاريتم ، يساوي أساس اللوغاريتم ، ففي هذه الحالات يكون اللوغاريتمات 0 و 1 على التوالي.

مثال.

ما هي اللوغاريتمات و lg10؟

قرار.

منذ ذلك الحين ، فإنه يتبع من تعريف اللوغاريتم .

في المثال الثاني ، يتطابق الرقم 10 الموجود أسفل علامة اللوغاريتم مع قاعدته ، لذا فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحدًا ، أي lg10 = lg10 1 = 1.

إجابه:

و lg10 = 1.

لاحظ أن اللوغاريتمات الحاسوبية بالتعريف (التي ناقشناها في الفقرة السابقة) تعني استخدام سجل المساواة أ ع = ص ، وهي إحدى خصائص اللوغاريتمات.

من الناحية العملية ، عندما يتم تمثيل الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لعدد ما ، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة ، والذي يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد اللوغاريتم ، يوضح استخدام هذه الصيغة.

مثال.

احسب لوغاريتم.

قرار.

إجابه:

.

يتم استخدام خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في الحساب أيضًا ، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.

إيجاد اللوغاريتمات من حيث اللوغاريتمات الأخرى المعروفة

تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات في حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي من حيث لوغاريتم آخر ، تُعرف قيمته. لنأخذ مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعلم أن log 2 3≈1.584963 ، فيمكننا إيجاد ، على سبيل المثال ، log 2 6 بإجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6 = سجل 2 (2 3) = سجل 2 2 + سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

في المثال أعلاه ، كان يكفي لنا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك ، غالبًا ما يتعين عليك استخدام ترسانة أكبر من خصائص اللوغاريتمات من أجل حساب اللوغاريتم الأصلي من حيث اللوغاريتمات المعطاة.

مثال.

احسب لوغاريتم 27 إلى الأساس 60 إذا كان معروفًا أن log 60 2 = a و log 60 5 = b.

قرار.

إذن علينا إيجاد log 60 27. من السهل أن نرى أن 27 = 3 3 ، واللوغاريتم الأصلي ، بسبب خاصية لوغاريتم الدرجة ، يمكن إعادة كتابته على النحو 3 · log 60 3.

لنرى الآن كيف يمكن التعبير عن log 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. تتيح لك خاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس كتابة سجل المساواة 60 60 = 1. من ناحية أخرى ، log 60 60 = log60 (2 2 3 5) = سجل 60 2 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5. هكذا، 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 = 1. بالتالي، السجل 60 3 = 1−2 السجل 60 2 − السجل 60 5 = 1−2 أ − ب.

أخيرًا ، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 أ − ب) = 3−6 أ − 3 ب.

إجابه:

سجل 60 27 = 3 (1−2 أ − ب) = 3−6 أ − 3 ب.

بشكل منفصل ، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة لوغاريتم النموذج . يسمح لك بالانتقال من اللوغاريتمات مع أي قاعدة إلى لوغاريتمات ذات قاعدة محددة ، وقيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادةً ، من اللوغاريتم الأصلي ، وفقًا لصيغة الانتقال ، يتحولون إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10 ، نظرًا لأن هناك جداول من اللوغاريتمات لهذه القواعد تسمح بحسابها بدرجة معينة من الدقة. في القسم التالي ، سوف نوضح كيف يتم ذلك.

جداول اللوغاريتمات واستخدامها

لحساب تقريبي لقيم اللوغاريتمات ، يمكن للمرء استخدام جداول اللوغاريتم. الأكثر استخدامًا هو جدول اللوغاريتم الأساسي 2 وجدول اللوغاريتم الطبيعي وجدول اللوغاريتم العشري. عند العمل في نظام الأرقام العشري ، من الملائم استخدام جدول اللوغاريتمات للأساس عشرة. بمساعدتها ، سوف نتعلم كيفية إيجاد قيم اللوغاريتمات.

يسمح الجدول المقدم ، بدقة تبلغ واحدًا على عشرة آلاف ، بإيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام من 1.000 إلى 9.999 (بثلاثة منازل عشرية). سنقوم بتحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية باستخدام مثال محدد - إنه أوضح. لنجد lg1،256.

في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256 ، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق للتوضيح). الرقم الثالث من الرقم 1.256 (الرقم 5) موجود في السطر الأول أو الأخير على يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتمات عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المميزة (يتم تمييز هذه الأرقام باللون البرتقالي). يعطي مجموع الأرقام المميزة القيمة المرغوبة للوغاريتم العشري حتى المكان العشري الرابع ، أي ، السجل 1.236≈0.0969 + 0.0021 = 0.0990.

هل من الممكن ، باستخدام الجدول أعلاه ، إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأرقام التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد الفاصلة العشرية ، وكذلك تجاوز الحدود من 1 إلى 9.999؟ نعم تستطيع. دعنا نوضح كيف يتم ذلك بمثال.

لنحسب lg102.76332. أولا تحتاج إلى الكتابة الرقم في الشكل القياسي: 102.76332 = 1.0276332 10 2. بعد ذلك ، يجب تقريب الجزء العشري لأقرب منزلة عشرية ثالثة ، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، في حين أن اللوغاريتم العشري الأصلي يساوي تقريبًا لوغاريتم الرقم الناتج ، أي أننا نأخذ lg102.76332≈lg1.028 · 10 2. الآن قم بتطبيق خصائص اللوغاريتم: lg1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2. أخيرًا ، نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 وفقًا لجدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086 + 0.0034 = 0.012. نتيجة لذلك ، تبدو عملية حساب اللوغاريتم بالكامل كما يلي: lg102.76332 = lg1.0276332 10 2 ميكرو جرام 1.028 10 2 = lg1.028 + lg10 2 = lg1.028 + 2≈0.012 + 2 = 2.012.

في الختام ، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية ، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك ، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية ، والعثور على قيمها في الجدول ، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.

على سبيل المثال ، لنحسب السجل 2 3. وفقًا لصيغة الانتقال إلى أساس جديد للوغاريتم ، لدينا. من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد lg3≈0.4771 و lg2≈0.3010. هكذا، .

فهرس.

• كولموغوروف إيه إن ، أبراموف إيه إم ، دودنيتسين يو. الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من مؤسسات التعليم العام.
• Gusev V.A.، Mordkovich A.G. الرياضيات (دليل للمتقدمين للمدارس الفنية).