اللوغاريتمات مع أمثلة الجذور والحلول. التعبيرات اللوغاريتمية. أمثلة

تعليمات

اكتب التعبير اللوغاريتمي المحدد. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10، فسيتم اختصار تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كقاعدة، فسيتم كتابة التعبير: ln b هو اللوغاريتم الطبيعي. ومن المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

عند العثور على دالتين من المجموع، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";

عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين، من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"* v+v"*u;

من أجل إيجاد مشتقة خارج قسمة دالتين، من الضروري، من حاصل ضرب مشتقة المقسوم في دالة المقسوم عليه، طرح حاصل ضرب مشتقة المقسوم عليه في دالة المقسوم عليه، والقسمة كل هذا بواسطة دالة المقسوم عليها مربعة. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

إذا تم إعطاء دالة معقدة، فمن الضروري ضرب مشتق الدالة الداخلية ومشتق الدالة الخارجية. دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).

باستخدام ما تم الحصول عليه أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مهام لحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى إيجاد قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) احسب قيمة الدالة نقطة معينةص"(1)=8*ه^0=8

فيديوهات ذات علاقة

نصائح مفيدة

تعلم جدول المشتقات الأولية. وهذا سيوفر الكثير من الوقت.

مصادر:

• مشتق ثابت

إذن ما الفرق بين المعادلة غير العقلانية والمعادلة العقلانية؟ إذا كان المتغير غير المعروف تحت العلامة الجذر التربيعي، فإن المعادلة تعتبر غير عقلانية.

تعليمات

الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه المعادلات هي طريقة رفع كلا الجزأين المعادلاتفي مربع. لكن. وهذا أمر طبيعي، فالخطوة الأولى هي التخلص من العلامة. من الناحية الفنية، هذه الطريقة ليست صعبة، ولكن في بعض الأحيان يمكن أن تؤدي إلى مشاكل. على سبيل المثال، المعادلة v(2x-5)=v(4x-7). بتربيع الطرفين، تحصل على 2x-5=4x-7. وليس من الصعب حل مثل هذه المعادلة؛ س = 1. ولكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا؟ استبدل الوحدة في المعادلة بدلًا من قيمة x. وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعبيرات لا معنى لها، أي. هذه القيمة غير صالحة للجذر التربيعي. لذلك، 1 هو جذر خارجي، وبالتالي فإن هذه المعادلة ليس لها جذور.

إذن، يتم حل المعادلة غير النسبية باستخدام طريقة تربيع جزأها. وبعد حل المعادلة، من الضروري قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك، قم بالتعويض بالجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.

النظر في واحد آخر.
2x+vx-3=0
وبالطبع يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. نقل المركبات المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي، إلى الجانب الأيمن ثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة العقلانية الناتجة والجذور. لكن واحدة أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرا جديدا. vx=y. وبناء على ذلك، سوف تحصل على معادلة مثل 2y2+y-3=0. وهذا هو المعتاد معادلة من الدرجة الثانية. ابحث عن جذوره؛ y1=1 و y2=-3/2. التالي حل اثنين المعادلات vx=1; vx \u003d -3/2. المعادلة الثانية ليس لها جذور، فمن الأولى نجد أن x=1. لا تنسى ضرورة التحقق من الجذور.

حل الهويات سهل للغاية. وهذا يتطلب إجراء تحولات متطابقة حتى يتحقق الهدف. وبالتالي، بمساعدة أبسط العمليات الحسابية، سيتم حل المهمة.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم.

تعليمات

أبسط هذه التحويلات هي الضربات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق)، فرق المربعات، المجموع (الفرق)، مكعب المجموع (الفرق)). وبالإضافة إلى ذلك، هناك الكثير الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.

في الواقع، مربع مجموع حدين يساوي مربع الأول زائد ضعف حاصل ضرب الأول والثاني زائد مربع الثاني، أي (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

تبسيط كلا

المبادئ العامة للحل

كرر من كتاب مدرسي عن التحليل الرياضي أو الرياضيات العليا، وهو تكامل محدد. كما تعلمون الحل تكامل محددهناك دالة سوف يعطي مشتقها تكاملا. هذه الوظيفة تسمى المشتق العكسي. ووفقا لهذا المبدأ، يتم بناء التكاملات الأساسية.
حدد بشكل التكامل وأي من تكاملات الجدول مناسب في هذه الحالة. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحويلات لتبسيط التكامل.

طريقة الاستبدال المتغيرة

إذا كان التكامل عبارة عن دالة مثلثية وسيطتها متعددة الحدود، فحاول استخدام طريقة تغيير المتغيرات. للقيام بذلك، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل بمتغير جديد. بناءً على النسبة بين المتغير الجديد والقديم، حدد الحدود الجديدة للتكامل. من خلال التمييز بين هذا التعبير، ابحث عن تفاضل جديد في . وهكذا سوف تتلقى النوع الجديدالتكامل السابق، قريب أو حتى مطابق لأي تكامل جدولي.

حل التكاملات من النوع الثاني

إذا كان التكامل تكاملًا من النوع الثاني، وهو الشكل المتجه للتكامل، فستحتاج إلى استخدام قواعد الانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي نسبة أوستروجرادسكي-غاوس. يتيح هذا القانون الانتقال من تدفق الجزء المتحرك لبعض الوظائف المتجهة إلى التكامل الثلاثي عبر انحراف مجال متجه معين.

استبدال حدود التكامل

بعد إيجاد المشتقة العكسية، من الضروري التعويض بحدود التكامل. أولًا، عوض بقيمة الحد الأعلى في التعبير الخاص بالمشتق العكسي. سوف تتلقى بعض الرقم. بعد ذلك، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر، وهو الحد الأدنى الناتج للمشتق العكسي. إذا كانت إحدى حدود التكامل هي اللانهاية، فعند استبدالها في دالة المشتقة العكسية، فمن الضروري الذهاب إلى النهاية والعثور على ما يميل إليه التعبير.
إذا كان التكامل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فسيتعين عليك تمثيل الحدود الهندسية للتكامل لفهم كيفية حساب التكامل. في الواقع، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحد من الحجم المراد تكامله.

اليوم سنتحدث عنه صيغ اللوغاريتموإعطاء مظاهرة أمثلة الحل.

وهي في حد ذاتها تنطوي على أنماط حل وفقًا للخصائص الأساسية للوغاريتمات. قبل تطبيق صيغ اللوغاريتم على الحل، نذكر لك أولاً جميع الخصائص:

الآن، بناء على هذه الصيغ (الخصائص)، نعرض أمثلة على حل اللوغاريتمات.

أمثلة على حل اللوغاريتمات على أساس الصيغ.

اللوغاريتمالرقم الموجب b في الأساس a (يُشار إليه بالسجل a b) هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على b، مع b > 0، وa > 0، و1.

وفقًا لتعريف السجل a b = x، وهو ما يعادل a x = b، لذا سجل a a x = x.

اللوغاريتمات، أمثلة:

سجل 2 8 = 3، لأن 2 3 = 8

سجل 7 49 = 2 لأن 7 2 = 49

سجل 5 1/5 = -1، لأن 5 -1 = 1/5

اللوغاريتم العشريهو لوغاريتم عادي، قاعدته 10. يُشار إليه بـ lg.

سجل 10 100 = 2 لأن 10 2 = 100

اللوغاريتم الطبيعي- أيضًا اللوغاريتم اللوغاريتمي المعتاد ولكن بالقاعدة e (e \u003d 2.71828 ... - رقم غير منطقي). يشار إليها باسم ln.

ومن المستحسن أن نتذكر صيغ أو خصائص اللوغاريتمات، لأننا سنحتاج إليها لاحقا عند حل اللوغاريتمات، المعادلات اللوغاريتميةوعدم المساواة. دعونا نعمل على كل صيغة مرة أخرى مع الأمثلة.

• الهوية اللوغاريتمية الأساسية
  سجل أ ب = ب

  8 2 سجل 8 3 = (8 2 سجل 8 3) 2 = 3 2 = 9

• لوغاريتم المنتج يساوي مجموع اللوغاريتمات
  سجل أ (قبل الميلاد) = سجل أ ب + سجل أ ج

  سجل 3 8.1 + سجل 3 10 = سجل 3 (8.1*10) = سجل 3 81 = 4

• لوغاريتم الحاصل يساوي الفرق بين اللوغاريتمات
  سجل أ (ب / ج) = سجل أ ب - سجل أ ج

  9 سجل 5 50 /9 سجل 5 2 = 9 سجل 5 50- سجل 5 2 = 9 سجل 5 25 = 9 2 = 81

• خصائص درجة الرقم اللوغاريتمي وأساس اللوغاريتم

  أس الرقم اللوغاريتمي log a b m = mlog a b

  أس قاعدة اللوغاريتم log a n b =1/n*log a b

  تسجيل الدخول أ ن ب م = م/ن*تسجيل أ ب،

  إذا م = ن، نحصل على سجل أ ن ب ن = سجل أ ب

  سجل 4 9 = سجل 2 2 3 2 = سجل 2 3

• الانتقال إلى أساس جديد
  سجل أ ب = سجل ج ب / سجل ج أ،

  إذا كان ج = ب، نحصل على سجل ب ب = 1

  ثم سجل أ ب = 1/سجل ب أ

  سجل 0.8 3*سجل 3 1.25 = سجل 0.8 3*سجل 0.8 1.25/سجل 0.8 3 = سجل 0.8 1.25 = سجل 4/5 5/4 = -1

كما ترون، صيغ اللوغاريتم ليست معقدة كما تبدو. والآن بعد أن تناولنا أمثلة على حل اللوغاريتمات، يمكننا الانتقال إلى المعادلات اللوغاريتمية. سننظر في أمثلة حل المعادلات اللوغاريتمية بمزيد من التفصيل في المقالة: "". لا تفوت!

إذا كان لديك أي أسئلة حول الحل، فاكتبها في التعليقات على المقال.

ملاحظة: قررت الحصول على تعليم من فئة أخرى للدراسة في الخارج كخيار.

نواصل دراسة اللوغاريتمات. في هذا المقال سنتحدث عنه حساب اللوغاريتمات، وتسمى هذه العملية اللوغاريتم. أولا، سوف نتعامل مع حساب اللوغاريتمات حسب التعريف. بعد ذلك، فكر في كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات باستخدام خصائصها. بعد ذلك، سنتناول حساب اللوغاريتمات من خلال القيم المعطاة في البداية للوغاريتمات الأخرى. وأخيرًا، دعونا نتعلم كيفية استخدام جداول اللوغاريتمات. يتم تزويد النظرية بأكملها بأمثلة مع حلول مفصلة.

التنقل في الصفحة.

حساب اللوغاريتمات حسب التعريف

في أبسط الحالات، من الممكن التنفيذ بسرعة وسهولة إيجاد اللوغاريتم حسب التعريف. دعونا نلقي نظرة فاحصة على كيفية حدوث هذه العملية.

جوهرها هو تمثيل الرقم ب في النموذج أ ج، حيث، من خلال تعريف اللوغاريتم، الرقم ج هو قيمة اللوغاريتم. وهذا يعني، بحكم التعريف، أن العثور على اللوغاريتم يتوافق مع سلسلة المساواة التالية: log a b=log a a c =c .

لذا، فإن حساب اللوغاريتم، بحكم التعريف، يتلخص في العثور على مثل هذا الرقم c الذي a c \u003d b، والرقم c نفسه هو القيمة المطلوبة للوغاريتم.

بالنظر إلى المعلومات الواردة في الفقرات السابقة، عندما يتم إعطاء الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم بدرجة معينة من قاعدة اللوغاريتم، فيمكنك الإشارة على الفور إلى ما يساوي اللوغاريتم - فهو يساوي الأس. دعونا نعرض الأمثلة.

مثال.

أوجد log 2 2 −3 و احسب أيضًا اللوغاريتم الطبيعي ل e 5.3 .

حل.

يتيح لنا تعريف اللوغاريتم أن نقول على الفور أن السجل 2 2 −3 = −3 . في الواقع، الرقم الموجود تحت إشارة اللوغاريتم يساوي الأساس 2 مرفوعًا للقوة −3.

وبالمثل نجد اللوغاريتم الثاني: lne 5.3 =5.3.

إجابة:

سجل 2 2 −3 = −3 و lne 5.3 =5.3 .

إذا لم يتم إعطاء الرقم b تحت علامة اللوغاريتم كدرجة قاعدة اللوغاريتم، فأنت بحاجة إلى التفكير بعناية فيما إذا كان من الممكن التوصل إلى تمثيل للرقم b في النموذج a c . غالبًا ما يكون هذا التمثيل واضحًا تمامًا، خاصة عندما يكون الرقم الموجود تحت علامة اللوغاريتم مساويًا للأساس أس 1، أو 2، أو 3، ...

مثال.

احسب اللوغاريتمات log 5 25 و .

حل.

من السهل أن ترى أن 25=5 2 ، وهذا يسمح لك بحساب اللوغاريتم الأول: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

ننتقل إلى حساب اللوغاريتم الثاني. يمكن تمثيل الرقم كقوة للرقم 7: (انظر إذا لزم الأمر). لذلك، .

لنعد كتابة اللوغاريتم الثالث بالشكل التالي. الآن يمكنك أن ترى ذلك ، حيث نستنتج ذلك . لذلك، من خلال تعريف اللوغاريتم .

باختصار يمكن كتابة الحل على النحو التالي:

إجابة:

سجل 5 25=2 , و .

عندما تكون هناك قيمة كبيرة بما فيه الكفاية تحت علامة اللوغاريتم عدد طبيعيفلا يضر تحليلها إلى عوامل أولية. غالبًا ما يكون من المفيد تمثيل هذا الرقم كقوة لقاعدة اللوغاريتم، وبالتالي حساب هذا اللوغاريتم حسب التعريف.

مثال.

أوجد قيمة اللوغاريتم.

حل.

تسمح لك بعض خصائص اللوغاريتمات بتحديد قيمة اللوغاريتمات على الفور. تتضمن هذه الخصائص خاصية لوغاريتم واحد وخاصية لوغاريتم رقم يساوي الأساس: log 1 1=log a a 0 =0 و log a a=log a 1 =1 . أي أنه عندما يكون الرقم 1 أو الرقم a تحت علامة اللوغاريتم، يساوي أساس اللوغاريتم، فإن اللوغاريتمات في هذه الحالات تكون 0 و1 على التوالي.

مثال.

ما هي اللوغاريتمات وlg10؟

حل.

منذ ذلك الحين، فإنه يتبع من تعريف اللوغاريتم .

في المثال الثاني، الرقم 10 تحت إشارة اللوغاريتم يتطابق مع قاعدته، وبالتالي فإن اللوغاريتم العشري للعشرة يساوي واحدًا، أي lg10=lg10 1 =1 .

إجابة:

و إل جي10=1 .

لاحظ أن حساب اللوغاريتمات حسب التعريف (الذي ناقشناه في الفقرة السابقة) يعني استخدام سجل المساواة a a p =p ، وهو أحد خصائص اللوغاريتمات.

في الممارسة العملية، عندما يتم تمثيل الرقم الموجود أسفل علامة اللوغاريتم وقاعدة اللوغاريتم بسهولة كقوة لرقم ما، فمن الملائم جدًا استخدام الصيغة وهو ما يتوافق مع إحدى خصائص اللوغاريتمات. فكر في مثال لإيجاد اللوغاريتم، موضحًا استخدام هذه الصيغة.

مثال.

احسب لوغاريتم .

حل.

إجابة:

.

يتم أيضًا استخدام خصائص اللوغاريتمات غير المذكورة أعلاه في الحساب، لكننا سنتحدث عن ذلك في الفقرات التالية.

إيجاد اللوغاريتمات بدلالة اللوغاريتمات الأخرى المعروفة

تستمر المعلومات الواردة في هذه الفقرة في موضوع استخدام خصائص اللوغاريتمات في حسابها. لكن الاختلاف الرئيسي هنا هو أن خصائص اللوغاريتمات تُستخدم للتعبير عن اللوغاريتم الأصلي بدلالة لوغاريتم آخر تكون قيمته معروفة. لنأخذ مثالا للتوضيح. لنفترض أننا نعرف ذلك log 2 3≈1.584963 ، ثم يمكننا إيجاد، على سبيل المثال، log 2 6 عن طريق إجراء تحويل بسيط باستخدام خصائص اللوغاريتم: سجل 2 6=سجل 2 (2 3)=سجل 2 2+سجل 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

في المثال أعلاه، كان يكفينا استخدام خاصية لوغاريتم المنتج. ومع ذلك، في كثير من الأحيان يتعين عليك استخدام ترسانة أوسع من خصائص اللوغاريتمات لحساب اللوغاريتم الأصلي من حيث تلك المعطاة.

مثال.

احسب لوغاريتم 27 للأساس 60 إذا كان معروفا أن log 60 2=a و log 60 5=b .

حل.

لذلك نحن بحاجة إلى العثور على سجل 60 27 . من السهل أن نرى أن 27=3 3 ، واللوغاريتم الأصلي، بسبب خاصية لوغاريتم الدرجة، يمكن إعادة كتابته بالشكل 3·log 60 3 .

الآن دعونا نرى كيف يمكن التعبير عن log 60 3 بدلالة اللوغاريتمات المعروفة. خاصية لوغاريتم الرقم الذي يساوي الأساس تسمح لك بكتابة سجل المساواة 60 60=1 . ومن ناحية أخرى، سجل 60 60=log60(2 2 3 5)= سجل 60 2 2 +سجل 60 3+سجل 60 5= 2 سجل 60 2 + سجل 60 3 + سجل 60 5 . هكذا، 2 سجل 60 2+سجل 60 3+سجل 60 5=1. لذلك، سجل 60 3=1−2 سجل 60 2−سجل 60 5=1−2 أ−ب.

أخيرًا، نحسب اللوغاريتم الأصلي: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 أ−ب)=3−6 أ−3 ب.

إجابة:

سجل 60 27=3 (1−2 أ−ب)=3−6 أ−3 ب.

بشكل منفصل، تجدر الإشارة إلى معنى صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتم النموذج الجديدة . يتيح لك الانتقال من اللوغاريتمات ذات الأساس إلى اللوغاريتمات ذات الأساس المحدد والتي تكون قيمها معروفة أو من الممكن العثور عليها. عادةً ما ينتقلون من اللوغاريتم الأصلي وفقًا لصيغة الانتقال إلى اللوغاريتمات في إحدى القواعد 2 أو e أو 10، نظرًا لوجود جداول لوغاريتمات لهذه القواعد تسمح بحسابها بدرجة معينة من الدقة. وفي القسم التالي، سوف نبين كيف يتم ذلك.

جداول اللوغاريتمات واستخدامها

لحساب تقريبي لقيم اللوغاريتمات يمكن استخدامها جداول اللوغاريتم. الأكثر استخدامًا هي جدول اللوغاريتم ذو الأساس 2، وجدول اللوغاريتم الطبيعي، وجدول اللوغاريتم العشري. عند العمل في نظام الأرقام العشرية، من المناسب استخدام جدول اللوغاريتمات للأساس العشري. بمساعدتها، سوف نتعلم كيفية العثور على قيم اللوغاريتمات.

يتيح الجدول المعروض، بدقة واحد على عشرة آلاف، إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأعداد من 1.000 إلى 9.999 (بثلاث منازل عشرية). سيتم تحليل مبدأ إيجاد قيمة اللوغاريتم باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية مثال محدد- أكثر وضوحا. دعونا نجد lg1,256 .

في العمود الأيسر من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد أول رقمين من الرقم 1.256، أي نجد 1.2 (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأزرق من أجل الوضوح). تم العثور على الرقم الثالث من الرقم 1.256 (رقم 5) في السطر الأول أو الأخير على يسار الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأحمر). الرقم الرابع من الرقم الأصلي 1.256 (الرقم 6) موجود في السطر الأول أو الأخير على يمين الخط المزدوج (هذا الرقم محاط بدائرة باللون الأخضر). الآن نجد الأرقام في خلايا جدول اللوغاريتمات عند تقاطع الصف المحدد والأعمدة المحددة (يتم تمييز هذه الأرقام البرتقالي). مجموع الأرقام المميزة يعطي القيمة المطلوبة للوغاريتم العشري حتى المنزلة العشرية الرابعة، أي: سجل1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

هل من الممكن باستخدام الجدول أعلاه إيجاد قيم اللوغاريتمات العشرية للأعداد التي تحتوي على أكثر من ثلاثة أرقام بعد العلامة العشرية، وتتجاوز أيضاً الحدود من 1 إلى 9.999؟ نعم يمكنك ذلك. دعونا نظهر كيف يتم ذلك مع مثال.

دعونا نحسب lg102.76332 . أولا عليك أن تكتب رقم في النموذج القياسي : 102.76332=1.0276332 10 2 . بعد ذلك، ينبغي تقريب العشري إلى المنزلة العشرية الثالثة، لدينا 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2، في حين أن اللوغاريتم العشري الأصلي يساوي تقريبًا لوغاريتم الرقم الناتج، أي أننا نأخذ lg102.76332≈lg1.028·10 2 . الآن قم بتطبيق خصائص اللوغاريتم: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. وأخيرا نجد قيمة اللوغاريتم lg1.028 وفقا لجدول اللوغاريتمات العشرية lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. ونتيجة لذلك، تبدو عملية حساب اللوغاريتم برمتها كما يلي: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

في الختام، تجدر الإشارة إلى أنه باستخدام جدول اللوغاريتمات العشرية، يمكنك حساب القيمة التقريبية لأي لوغاريتم. للقيام بذلك، يكفي استخدام صيغة الانتقال للانتقال إلى اللوغاريتمات العشرية، والعثور على قيمها في الجدول، وإجراء العمليات الحسابية المتبقية.

على سبيل المثال، دعونا نحسب السجل 2 3 . وفقًا لصيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم، لدينا . من جدول اللوغاريتمات العشرية نجد lg3≈0.4771 و lg2≈0.3010. هكذا، .

فهرس.

• كولموجوروف إيه إن، أبراموف إيه إم، دودنيتسين يو.بي. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 في مؤسسات التعليم العام.
• جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للمتقدمين إلى المدارس الفنية).

خصوصيتك مهمة بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى قراءة سياسة الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• المعلومات الشخصية التي نجمعها تسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ورسائل مهمة إليك.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو حافز مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الإفصاح لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون والنظام القضائي وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب لأسباب أمنية أو إنفاذ القانون أو لأسباب أخرى تتعلق بالمصلحة العامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفنا.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الفقد والسرقة وسوء الاستخدام، وكذلك من الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

الحفاظ على خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل ممارسات الخصوصية والأمان إلى موظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

274. ملاحظات.

أ)إذا كان التعبير المراد تقييمه يحتوي على مجموعأو اختلافالأرقام، فيجب العثور عليها دون مساعدة الجداول عن طريق الجمع أو الطرح العادي. على سبيل المثال:

سجل (35 + 7.24) 5 = 5 سجل (35 + 7.24) = 5 سجل 42.24.

ب)بمعرفة كيفية التعبيرات اللوغاريتمية، يمكننا عكس ذلك هذه النتيجةاللوغاريتم للعثور على التعبير الذي تم الحصول على هذه النتيجة منه؛ حتى إذا

سجل X= سجل أ+سجل ب- 3 سجلات مع,

فمن السهل أن نتصور ذلك

الخامس)قبل الشروع في النظر في بنية الجداول اللوغاريتمية، سنشير إلى بعض خصائص اللوغاريتمات العشرية، أي. تلك التي يتم فيها أخذ الرقم 10 كأساس (يتم استخدام هذه اللوغاريتمات فقط للحسابات).

الفصل الثاني.

خصائص اللوغاريتمات العشرية.

275 . أ) بما أن 10 1 = 10، 10 2 = 100، 10 3 = 1000، 10 4 = 10000، وما إلى ذلك، ثم سجل 10 = 1، سجل 100 = 2، سجل 1000 = 3، سجل 10000 = 4، وما إلى ذلك.

وسائل، لوغاريتم العدد الصحيح الذي يمثله واحد بأصفار هو عدد صحيح موجب يحتوي على عدد من الآحاد يساوي عدد الأصفار في صورة الرقم.

هكذا: سجل 100000 = 5, سجل 1000 000 = 6 ، إلخ.

ب) لأن

سجل 0.1 = -l; سجل 0.01 = - 2؛ سجل 0.001 == -3؛ سجل 0.0001 = - 4،إلخ.

وسائل، لوغاريتم الكسر العشري الذي تمثله وحدة ذات أصفار بادئة هو عدد صحيح سالب يحتوي على عدد من الوحدات السالبة يساوي عدد الأصفار في صورة الكسر، بما في ذلك 0 أعداد صحيحة.

هكذا: سجل 0.00001= - 5، سجل 0.000001 = -6،إلخ.

الخامس)خذ على سبيل المثال عددًا صحيحًا لا يتم تمثيله بوحدة ذات أصفار. 35، أو عدد صحيح مع كسر، على سبيل المثال. 10.7. لا يمكن أن يكون لوغاريتم هذا الرقم عددًا صحيحًا، لأنه من خلال رفع 10 إلى قوة ذات أس عدد صحيح (موجب أو سلبي)، نحصل على 1 بأصفار (تالية أو سابقة 1). لنفترض الآن أن لوغاريتم هذا الرقم يمثل كسرًا ما أ / ب . ثم سيكون لدينا المساواة

لكن هذه المساواة مستحيلة 10أ هو 1 مع الأصفار، في حين القوى 35ب و 10,7ب لا يوجد مؤشر ب لا يمكن إعطاء 1 بالأصفار. وبالتالي، لا يمكن السماح بذلك سجل 35و سجل 10.7كانت مساوية للكسور. ولكن من الخصائص وظيفة لوغاريتميةنحن نعلم () أن كل رقم موجب له لوغاريتم؛ لذلك، فإن كل رقم من الأرقام 35 و10.7 له لوغاريتم خاص به، وبما أنه لا يمكن أن يكون عددًا صحيحًا أو عددًا كسريًا، فهو رقم غير منطقي، وبالتالي لا يمكن التعبير عنه بالضبط بالأرقام. عادة، يتم التعبير عن اللوغاريتمات غير المنطقية تقريبًا ككسر عشري به عدة منازل عشرية. يتم استدعاء العدد الصحيح لهذا الكسر (على الرغم من أنه كان "0 أعداد صحيحة"). صفة مميزةوالجزء الكسري هو الجزء العشري من اللوغاريتم. على سبيل المثال، إذا كان اللوغاريتم 1,5441 ، فخاصيته هي 1 ، والعشري هو 0,5441 .

ز)لنأخذ بعض الأعداد الصحيحة أو المختلطة، على سبيل المثال. 623 أو 623,57 . يتكون لوغاريتم هذا الرقم من خاصية وجزء عشري. وتبين أن اللوغاريتمات العشرية لديها الراحة التي يمكننا دائمًا العثور على خصائصها من خلال نوع واحد من الأرقام . للقيام بذلك، نحسب عدد الأرقام الموجودة في عدد صحيح معين، أو في الجزء الصحيح من عدد مختلط. في الأمثلة التي قدمناها لهذه الأرقام 3 . لذلك، كل من الأرقام 623 و 623,57 أكثر من 100 ولكن أقل من 1000؛ مما يعني أن لوغاريتم كل منهم أكبر سجل 100، أي أكثر 2 ، ولكن أقل سجل 1000، أي أقل 3 (تذكر أن الرقم الأكبر له أيضًا لوغاريتم أكبر). لذلك، سجل 623 = 2،...، و سجل 623.57 = 2،... (النقاط تحل محل الأجزاء العشرية غير المعروفة).

ومثل هذا نجد:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 سجل 56,7 = 1،...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 سجل 8634 = 3،...

بشكل عام، دع عددًا صحيحًا معينًا، أو جزءًا صحيحًا من عدد مختلط معين، يحتوي على م أرقام. بما أن أصغر عدد صحيح يحتوي على م أرقام، هناك 1 مع م - 1 الأصفار الزائدة، ثم (تشير إلى الرقم المحدد ن) يمكننا كتابة عدم المساواة:

وبالتالي

م - 1 < log N < م ,

سجل ن = ( م- 1) + كسر موجب.

لذلك السمة سجل ن = م - 1 .

ونحن نرى بهذه الطريقة أن تحتوي خاصية لوغاريتم العدد الصحيح أو المختلط على عدد من الأرقام الموجبة مثل عدد الأرقام في الجزء الصحيح من الرقم بدون رقم واحد.

ومن هذا المنطلق يمكننا أن نكتب مباشرة:

سجل 7,205 = 0،...; log83 = 1,...; سجل 720.4 = 2،...وما إلى ذلك وهلم جرا.

ه)لنأخذ بعض الكسور العشرية الأصغر من 1 (أي وجود 0 الأعداد الصحيحة): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, وما إلى ذلك وهلم جرا.

وبالتالي، فإن كل من هذه اللوغاريتمات يقع بين عددين صحيحين سالبين يختلفان بواحد؛ لذا فإن كل واحد منهم يساوي أصغر هذه الأعداد السالبة مضافًا إليه كسر موجب. على سبيل المثال، log0.0056= -3 + كسر موجب. لنفترض أن هذا الكسر هو 0.7482. ثم، وهذا يعني:

سجل 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518).

مبالغ مثل - 3 + 0,7482 المكونة من عدد صحيح سالب وكسر عشري موجب، اتفقوا على كتابة مختصرة في الحسابات اللوغاريتمية على النحو التالي: 3 ,7482 (يقرأ هذا الرقم: 3 مع ناقص، 7482 عشرة آلاف.) أي وضعوا علامة الطرح فوق الصفة ليبينوا أنها تشير فقط إلى هذه الصفة، وليس إلى العشرية التي تبقى موجبة. وهكذا من الجدول أعلاه يتبين ذلك

سجل 0.35 == 1 ,....; سجل 0.07 = 2 ,....; سجل 0.0008 = 4،....

دع على الإطلاق . هناك كسر عشري فيه قبل الأول شخصية هامة α التكاليف م الأصفار، بما في ذلك 0 الأعداد الصحيحة. ثم فمن الواضح أن

- م < log A < - (م- 1).

حيث أنه من بين عددين صحيحين:- م و - (م- 1) هناك أقل م ، الذي - التي

سجل أ = - م+ جزء موجب,

وبالتالي السمة سجل أ = - م (مع العشري الإيجابي).

هكذا، تحتوي خاصية لوغاريتم الكسر العشري الأقل من 1 على عدد من الأعداد السالبة مثل وجود أصفار في صورة الكسر العشري أمام أول رقم مهم، بما في ذلك الأعداد الصحيحة الصفرية؛ الجزء العشري لمثل هذا اللوغاريتم إيجابي.

ه)ضرب بعض الأرقام ن(كامل أو كسري - لا يهم) بمقدار 10، أو 100، أو 1000...، بشكل عام بمقدار 1 مع الأصفار. دعونا نرى كيف يتغير هذا سجل ن. وبما أن لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل، إذن

سجل (N 10) = سجل N + سجل 10 = سجل N + 1؛

سجل (N 100) = سجل N + سجل 100 = سجل N + 2؛

سجل (N 1000) = سجل N + سجل 1000 = سجل N + 3؛إلخ.

متى سجل ننضيف بعض الأعداد الصحيحة، ثم يمكننا دائمًا إضافة هذا الرقم إلى الخاصية، وليس إلى الجزء العشري.

لذا، إذا كان السجل N = 2.7804، فإن 2.7804 + 1 = 3.7804؛ 2.7804 + 2 = 4.7801 وما إلى ذلك؛

أو إذا كان السجل N = 3.5649، فإن 3.5649 + 1 = 2.5649؛ 3.5649 + 2 = 1.5649، إلخ.

من ضرب رقم في 10، 100، 1000، ..، عمومًا في 1 مع الأصفار، لا يتغير الجزء العشري من اللوغاريتم، وتزداد الخاصية بعدد الوحدات بقدر وجود أصفار في المضاعف .

وبالمثل، مع الأخذ في الاعتبار أن لوغاريتم حاصل القسمة يساوي لوغاريتم المقسوم دون لوغاريتم المقسوم عليه، نحصل على:

سجل N / 10 = سجل N - سجل 10 = سجل N -1؛

سجل N / 100 = سجل N - سجل 100 = سجل N -2؛

سجل N / 1000 = سجل N - سجل 1000 = سجل N -3؛وما إلى ذلك وهلم جرا.

إذا اتفقنا، عند طرح عدد صحيح من اللوغاريتم، على طرح هذا العدد الصحيح دائمًا من الخاصية، وترك الجزء العشري دون تغيير، فيمكننا أن نقول:

من قسمة رقم على 1 على الأصفار، لا يتغير الجزء العشري من اللوغاريتم، وتتناقص الخاصية بعدد الوحدات بقدر وجود أصفار في المقسوم عليه.

276. العواقب.من الممتلكات ( ه) يمكننا أن نستنتج النتيجتين الطبيعيتين التاليتين:

أ) لا يتغير الجزء العشري من لوغاريتم الرقم العشري من نقله في الرقم بفاصلة لأن تحريك الفاصلة يعادل الضرب أو القسمة على 10، 100، 1000، إلخ. وبالتالي فإن لوغاريتمات الأرقام:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

تختلف فقط في الخصائص، ولكن ليس في الأجزاء العشرية (بشرط أن تكون جميع الأجزاء العشرية إيجابية).

ب) الأجزاء العشرية من الأرقام التي لها نفس الجزء المهم، ولكنها تختلف فقط بالأصفار في النهاية، هي نفسها: لذا فإن لوغاريتمات الأرقام: 23، 230، 2300، 23000 تختلف فقط في الخصائص.

تعليق. من خلال خصائص اللوغاريتمات العشرية هذه، يمكن ملاحظة أنه يمكننا العثور على خاصية لوغاريتم عدد صحيح وكسر عشري دون مساعدة الجداول (هذه هي الراحة الكبيرة للوغاريتمات العشرية)؛ ونتيجة لذلك، يتم وضع جزء عشري واحد فقط في الجداول اللوغاريتمية؛ بالإضافة إلى ذلك، نظرًا لأن العثور على لوغاريتمات الكسور يقتصر على إيجاد لوغاريتمات الأعداد الصحيحة (لوغاريتم الكسر \u003d لوغاريتم البسط دون لوغاريتم المقام)، يتم وضع الأجزاء العشرية من لوغاريتمات الأعداد الصحيحة فقط في الجداول.

الفصل الثالث.

الجهاز واستخدام الجداول المكونة من أربعة أرقام.

277. أنظمة اللوغاريتمات.نظام اللوغاريتمات هو مجموعة من اللوغاريتمات المحسوبة لسلسلة من الأعداد الصحيحة المتتالية في نفس الأساس. يتم استخدام نظامين: نظام اللوغاريتمات العادية أو العشرية، حيث يتم أخذ الرقم كأساس 10 ، ونظام ما يسمى باللوغاريتمات الطبيعية، حيث يتم أخذ العدد غير العقلاني كأساس (لبعض الأسباب المفهومة في فروع الرياضيات الأخرى) 2,7182818 ... بالنسبة للحسابات، يتم استخدام اللوغاريتمات العشرية، وذلك بسبب وسائل الراحة التي أشرنا إليها عندما أدرجنا خصائص هذه اللوغاريتمات.

اللوغاريتمات الطبيعيةيُطلق عليهم أيضًا اسم نيبيرو، نسبة إلى مخترع اللوغاريتمات، وهو عالم رياضيات اسكتلندي نيبيرا(1550-1617)، واللوغاريتمات العشرية - بقلم بريج الذي سمي على اسم الأستاذ بريجا(معاصر وصديق لنابير)، وهو أول من قام بتجميع جداول هذه اللوغاريتمات.

278. تحويل اللوغاريتم السالب إلى لوغاريتم ذو جزء موجب، والتحول العكسي. لقد رأينا أن لوغاريتمات الأعداد الأقل من 1 تكون سالبة. وبالتالي، فهي تتكون من خاصية سلبية وعشرية سلبية. يمكن دائمًا تحويل مثل هذه اللوغاريتمات بحيث تكون العشرية الخاصة بها موجبة وتبقى الخاصية سلبية. للقيام بذلك، يكفي إضافة وحدة إيجابية إلى العشري، ووحدة سلبية إلى الخاصية (والتي، بالطبع، لن تتغير قيمة اللوغاريتم).

على سبيل المثال، إذا كان لدينا اللوغاريتم - 2,0873 ، ثم يمكنك كتابة:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

أو مختصرا:

على العكس من ذلك، يمكن تحويل أي لوغاريتم ذو خاصية سلبية وعشرية إيجابية إلى لوغاريتم سلبي. للقيام بذلك، يكفي إرفاق وحدة سلبية بالجزء العشري الإيجابي، ووحدة إيجابية بخاصية سلبية: لذلك، يمكنك الكتابة:

279. وصف الجداول المكونة من أربعة أرقام.لحل الأغلبية المهام العمليةالجداول المكونة من أربعة أرقام كافية تمامًا، والتعامل معها بسيط للغاية. هذه الجداول (و"لوغاريتماتها" في الأعلى) موضوعة في نهاية هذا الكتاب، وقد طبع في هذه الصفحة جزء صغير منها (لشرح الموقع).

اللوغاريتمات.

اللوغاريتمات لجميع الأعداد الصحيحة من 1 قبل 9999 شاملة، محسوبة إلى أربع منازل عشرية، ويتم زيادة آخر هذه المنازل العشرية 1 في جميع الحالات التي يجب أن تكون فيها العلامة العشرية الخامسة 5 أو أكثر من 5؛ وبالتالي، فإن الجداول المكونة من 4 أرقام تعطي أجزاء تقريبية تصل إلى 1 / 2 جزء من عشرة آلاف (مع نقص أو زيادة).

نظرًا لأننا نستطيع وصف لوغاريتم عدد صحيح أو كسر عشري بشكل مباشر، بناءً على خصائص اللوغاريتمات العشرية، فيجب علينا أن نأخذ فقط الجزء العشري من الجداول؛ يجب أن نتذكر أن موضع الفاصلة في عدد عشريوكذلك عدد الأصفار في نهاية الرقم لا يؤثر على قيمة الجزء العشري. لذلك، عند العثور على الجزء العشري لرقم معين، نتخلص من الفاصلة في هذا الرقم، وكذلك الأصفار الموجودة في نهايته، إن وجدت، ونجد الجزء العشري للعدد الصحيح المتكون بعد ذلك. في هذه الحالة، قد تنشأ الحالات التالية.

1) العدد الصحيح يتكون من 3 أرقام.على سبيل المثال، دعونا نجد الجزء العشري من لوغاريتم الرقم 536. تم العثور على أول رقمين من هذا الرقم، أي 53، في الجداول في العمود الرأسي الأول على اليسار (انظر الجدول). وبعد أن وجدنا الرقم 53 ننتقل منه على طول الخط الأفقي إلى اليمين حتى يتقاطع هذا الخط مع عمود رأسي يمر عبر أحد الأرقام 0، 1، 2، 3، ... 9، الموضوعة في الأعلى (و أسفل) من الجدول، والذي يمثل الرقم الثالث من هذا الرقم، أي في مثالنا، الرقم 6. عند التقاطع نحصل على الجزء العشري 7292 (أي 0.7292)، الذي ينتمي إلى لوغاريتم الرقم 536. وبالمثل، بالنسبة للرقم 508 نجد الجزء العشري 0.7059، وبالنسبة للرقم 500 نجد 0.6990 وما إلى ذلك.

2) يتكون العدد الصحيح من رقمين أو رقم واحد.ثم نخصص عقليًا صفرًا أو صفرين لهذا الرقم ونجد الجزء العشري للرقم المكون من ثلاثة أرقام على هذا النحو. على سبيل المثال، نخصص صفرًا واحدًا للرقم 51، ومنه نحصل على 510 ونجد الجزء العشري 7070؛ نقوم بتعيين صفرين للرقم 5 ونجد الجزء العشري 6990 وما إلى ذلك.

3) يتم التعبير عن عدد صحيح بأربعة أرقام.على سبيل المثال، تحتاج إلى العثور على الجزء العشري من السجل 5436. ثم نجد أولاً في الجداول، كما تمت الإشارة إليه للتو، الجزء العشري للرقم الموضح بالأرقام الثلاثة الأولى من هذا الرقم، أي 543 (سيكون هذا الجزء العشري 7348) ); ثم ننتقل من الجزء العشري الذي تم العثور عليه على طول الخط الأفقي إلى اليمين (إلى الجانب الأيمن من الجدول، الموجود خلف الخط العمودي السميك) حتى التقاطع مع العمود الرأسي مروراً بأحد الأرقام: 1، 2 3، . .. 9، نقف في أعلى (وفي أسفل) هذا الجزء من الجدول، والذي يمثل الرقم الرابع من رقم معين، أي في مثالنا الرقم 6. عند التقاطع نجد التصحيح (الرقم) 5)، والتي يجب تطبيقها في العقل على الجزء العشري 7348 للحصول على الجزء العشري للرقم 5436؛ وبالتالي سوف نحصل على الجزء العشري من 0.7353.

4) يتم التعبير عن العدد الصحيح بخمسة أرقام أو أكثر.ثم نتخلص من جميع الأرقام، باستثناء الأربعة الأولى، ونأخذ رقمًا تقريبيًا مكونًا من أربعة أرقام، ونزيد الرقم الأخير من هذا الرقم بمقدار 1 في ذلك. الحالة التي يكون فيها الرقم الخامس المهمل هو 5 أو أكثر من 5. لذلك، بدلاً من 57842 نأخذ 5784، بدلاً من 30257 نأخذ 3026، بدلاً من 583263 نأخذ 5833، إلخ. بالنسبة لهذا العدد المقرب المكون من أربعة أرقام، نجد الجزء العشري كما تم شرحه الآن.

وبالاسترشاد بهذه التعليمات سنجد على سبيل المثال لوغاريتمات الأعداد التالية:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

أولاً، دون الرجوع إلى الجداول الآن، دعونا نكتب بعض الخصائص، مع ترك مجال للأجزاء العشرية، التي نكتبها بعد ذلك:

سجل 36.5 = 1،... سجل 0.00345 = 3،....

سجل 804.7 = 2،... سجل 7.2634 = 0،....

سجل 0.26 = 1،... سجل 3456.86 = 3،....

سجل 36.5 = 1.5623؛ سجل 0.00345 = 3.5378؛

سجل 804.7 = 2.9057؛ سجل 7.2634 = 0.8611؛

سجل 0.26 = 1.4150؛ سجل 3456.86 = 3.5387.

280. ملاحظة. في بعض الجداول المكونة من أربعة أرقام (على سبيل المثال، في الجداول V. Lorchenko و N. Ogloblin، S. Glazenap، N. Kamenshchikova) لم يتم وضع تصحيحات للرقم الرابع من هذا الرقم. عند التعامل مع مثل هذه الجداول، لا بد من إيجاد هذه التصحيحات باستخدام عملية حسابية بسيطة، يمكن إجراؤها على أساس الحقيقة التالية: إذا كانت الأرقام أكبر من 100، والفروق بينها أقل من 1، فلا حساس خطأ يمكن افتراض ذلك تتناسب الاختلافات بين اللوغاريتمات مع الاختلافات بين الأرقام المقابلة . دعونا، على سبيل المثال، نحتاج إلى العثور على الجزء العشري المطابق للرقم 5367. هذا الجزء العشري، بالطبع، هو نفسه بالنسبة للرقم 536.7. نجد الجزء العشري 7292 في الجداول للرقم 536. وبمقارنة هذا الجزء العشري مع الجزء العشري 7300 المجاور لليمين، الموافق للرقم 537، نلاحظ أنه إذا زاد العدد 536 بمقدار 1، فإن الجزء العشري الخاص به سيزيد بمقدار 8 عشرة. -الألف (8 هو ما يسمى الفرق الجدوليبين اثنين من الأجزاء العشرية المتجاورة)؛ إذا زاد الرقم 536 بمقدار 0.7، فإن الجزء العشري الخاص به لن يزيد بمقدار 8 أجزاء من عشرة آلاف، ولكن بمقدار عدد أصغر X عشرة آلاف، والتي، وفقًا للتناسب المسموح به، يجب أن تستوفي النسبة:

X :8=0.7:1; أين X = 8 07 = 5,6,

والذي يتم تقريبه إلى 6 أجزاء من عشرة آلاف. هذا يعني أن الجزء العشري للرقم 536.7 (وبالتالي للرقم 5367) سيكون: 7292 + 6 = 7298.

لاحظ أن العثور على رقم وسطي بواسطة رقمين متجاورين في الجداول يسمى إقحام.الاستيفاء الموصوف هنا يسمى متناسبلأنه يقوم على افتراض أن التغير في اللوغاريتم يتناسب مع التغير في الرقم. ويسمى أيضًا خطيًا، لأنه يفترض أنه يتم التعبير عن التغير في الدالة اللوغاريتمية بيانيًا بخط مستقيم.

281. حد الخطأ في اللوغاريتم التقريبي.إذا كان الرقم الذي يتم البحث عن لوغاريتمه هو رقم دقيق، فبالنسبة لحد الخطأ في اللوغاريتم الخاص به الموجود في الجداول المكونة من 4 أرقام، يمكننا، كما قلنا في ذلك، أن نأخذ 1 / 2 حصة العشرة آلاف. إذا لم يكن الرقم المحدد دقيقًا، فيجب أيضًا إضافة إلى هامش الخطأ هذا حد خطأ آخر ينشأ عن عدم دقة الرقم نفسه. لقد ثبت (نحن نحذف هذا الدليل) أنه في ظل هذا الحد يمكن للمرء أن يأخذ المنتج

أ(د +1) عشرة آلاف،

بحيث أ هو هامش الخطأ للرقم الأكثر دقة، على افتراض ذلك يتم أخذ 3 أرقام في الجزء الصحيح، أ د الفرق الجدولي بين الأجزاء العشرية المقابلة لرقمين متتاليين مكونين من ثلاثة أرقام يقع بينهما هذا الرقم غير الدقيق. وبالتالي، سيتم التعبير عن حد الخطأ النهائي للوغاريتم بالصيغة:

1 / 2 + أ(د +1) عشرة آلاف

مثال. البحث عن السجل π ، أخذ ل π الرقم التقريبي 3.14، دقيق ل 1 / 2 مائة.

عن طريق تحريك الفاصلة بعد الرقم الثالث في الرقم 3.14، عد من اليسار، نحصل على رقم مكون من ثلاثة أرقام 314، دقيق ل 1 / 2 وحدات؛ وهذا يعني أن هامش الخطأ هو رقم غير دقيق، أي ما أشرنا إليه بالحرف أ ، لو 1 / 2 ومن الجداول نجد:

سجل 3.14 = 0.4969.

الفرق الجدولي د بين الأجزاء العشرية من الأرقام 314 و 315 هو 14، وبالتالي فإن خطأ اللوغاريتم الموجود سيكون أقل

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 جزء من عشرة آلاف.

وبما أننا لا نعرف ما إذا كان لوغاريتم 0.4969 أقل أم أعلى، فلا يمكننا إلا أن نضمن أن اللوغاريتم الدقيق π بين 0.4969 - 0.0008 و 0.4969 + 0.0008 أي 0.4961< log π < 0,4977.

282. العثور على رقم من لوغاريتم معين. للعثور على رقم وفقًا لوغاريتم معين، يمكنك استخدام نفس الجداول التي يتم من خلالها العثور على الأجزاء العشرية لهذه الأرقام؛ ولكن من الأنسب استخدام جداول أخرى يتم فيها وضع ما يسمى بمضادات اللوغاريتمات، أي الأرقام المقابلة للأجزاء العشرية المحددة. هذه الجداول التي تحمل عنوان "اللوغاريتمات المضادة" في الأعلى، موضوعة في نهاية هذا الكتاب، تتبع جداول اللوغاريتمات، وقد وضع جزء بسيط منها في هذه الصفحة (للتوضيح).

اسمح بإعطاء الرقم العشري 2863 المكون من 4 أرقام (نحن لا ننتبه إلى الخاصية) وهو مطلوب للعثور على العدد الصحيح المقابل. بعد ذلك، بوجود جداول اللوغاريتمات المضادة، يجب أن نستخدمها تمامًا بنفس الطريقة التي تم شرحها مسبقًا للعثور على الجزء العشري لرقم معين، أي: نجد أول رقمين من الجزء العشري في العمود الأيسر الأول. ثم ننتقل من هذه الأرقام على طول الخط الأفقي إلى اليمين حتى التقاطع مع العمود الرأسي القادم من الرقم الثالث من العشري، والذي يجب البحث عنه في السطر العلوي (أو السفلي). عند التقاطع نجد الرقم المكون من أربعة أرقام 1932، الموافق للجزء العشري 286. ثم من هذا الرقم نتحرك أكثر على طول الخط الأفقي إلى اليمين حتى التقاطع مع العمود العمودي القادم من الرقم الرابع للجزء العشري، والذي يجب أن يمكن العثور عليها في الأعلى (أو الأسفل) بين الأرقام 1، 2 الموضوعة هناك، 3،... 9. عند التقاطع نجد التصحيح 1، والذي يجب تطبيقه (في العقل) على الرقم 1032 الموجود سابقاً من أجل الحصول على الرقم المقابل للجزء العشري 2863.

وبالتالي فإن الرقم سيكون 1933. وبعد ذلك، مع الاهتمام بالخاصية، من الضروري وضع المشغول في المكان المناسب في الرقم 1933. على سبيل المثال:

لو سجل س = 3.2863 إذن X = 1933,

„ سجل س= 1,2863, „ X = 19,33,

, سجل س = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ سجل س = 2 ,2863, „ X = 0,01933

فيما يلي المزيد من الأمثلة:

سجل س = 0,2287, X = 1,693,

سجل س = 1 ,7635, X = 0,5801,

سجل س = 3,5029, X = 3184,

سجل س = 2 ,0436, X = 0,01106.

إذا كان الجزء العشري يحتوي على 5 أرقام أو أكثر، فإننا نأخذ الأرقام الأربعة الأولى فقط، ونتخلص من الباقي (ونزيد الرقم الرابع بمقدار 1 إذا كان الرقم الخامس خمسة أو أكثر). على سبيل المثال، بدلاً من الجزء العشري 35478 نأخذ 3548، بدلاً من 47562 نأخذ 4756.

283. ملاحظة.يمكن أيضًا العثور على تصحيح الرقم الرابع والرقم التالي من الجزء العشري عن طريق الاستيفاء. لذلك، إذا كان الجزء العشري هو 84357، فبعد العثور على الرقم 6966 المطابق للجزء العشري 843، يمكننا التفكير أكثر على النحو التالي: إذا زاد الجزء العشري بمقدار 1 (ألف)، أي تم 844، فإن الرقم كما يمكن أن يكون كما يتضح من الجداول، سيزيد بمقدار 16 وحدة؛ إذا زاد الجزء العشري ليس بمقدار 1 (ألف)، ولكن بمقدار 0.57 (ألف)، فسيزيد العدد بمقدار X الوحدات، و X يجب أن تستوفي النسب:

X : 16 = 0.57: 1، من أين س = 16 0,57 = 9,12.

وهذا يعني أن الرقم المطلوب سيكون 6966 + 9.12 = 6975.12 أو (يقتصر على أربعة أرقام فقط) 6975.

284. حد الخطأ في الرقم الموجود.ثبت أنه في حالة وجود الفاصلة في الرقم الموجود بعد الرقم الثالث من اليسار، أي عندما تكون خاصية اللوغاريتم 2، يمكن اعتبار المجموع هامش الخطأ

أين أ هو هامش الخطأ في اللوغاريتم (معبرًا عنه بعشرة آلاف) الذي تم العثور على الرقم من خلاله، و د - الفرق بين الأجزاء العشرية المكونة من رقمين متتاليين مكونين من ثلاثة أرقام وبينهما الرقم الموجود (مع فاصلة بعد الرقم الثالث من اليسار). عندما لا تكون الخاصية 2، ولكن بعض الخصائص الأخرى، في الرقم الذي تم العثور عليه، يجب نقل الفاصلة إلى اليسار أو اليمين، أي تقسيم الرقم أو ضربه بقوة معينة تبلغ 10. في هذه الحالة، خطأ سيتم أيضًا تقسيم النتيجة أو ضربها بنفس القوة 10.

لنفترض، على سبيل المثال، أن نجد رقمًا باللوغاريتم 1,5950 ، والذي يُعرف بأنه دقيق حتى 3 أجزاء من عشرة آلاف؛ وماذا بعد أ = 3 . الرقم المقابل لهذا اللوغاريتم الموجود في جدول اللوغاريتمات المضادة هو 39,36 . بتحريك الفاصلة بعد الرقم الثالث على اليسار، سيكون لدينا رقم 393,6 بين 393 و 394 . من جداول اللوغاريتمات، نرى أن الفرق بين الأجزاء العشرية المقابلة لهذين الرقمين هو 11 عشرة آلاف؛ وسائل د = 11 . سيكون خطأ الرقم 393.6 أقل

لذلك خطأ الرقم 39,36 سيكون أقل 0,05 .

285. الإجراءات على اللوغاريتمات ذات الخصائص السلبية.إن جمع وطرح اللوغاريتمات ليس بالأمر الصعب، كما يتبين من ذلك الأمثلة التالية:

كما لا توجد صعوبة في ضرب اللوغاريتم بعدد موجب، على سبيل المثال:

في المثال الأخير، يتم ضرب الجزء العشري الموجب بشكل منفصل في 34، إذن خاصية سلبيةفي 34.

إذا تم ضرب لوغاريتم الخاصية السالبة والأجزاء العشرية الموجبة بعدد سالب، فإنهما يتصرفان بطريقتين: إما أن يتحول اللوغاريتم المعطاة مسبقًا إلى سالب، أو يتم ضرب السرعوف والخصائص بشكل منفصل ويتم دمج النتائج معًا، من أجل مثال:

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

عند القسمة هناك حالتان: 1) السمة السلبية مقسمة و 2) لا يقبل القسمة على المقسوم عليه. في الحالة الأولى، يتم فصل الخاصية والجزء العشري بشكل منفصل:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

في الحالة الثانية، تتم إضافة العديد من الوحدات السالبة إلى الخاصية بحيث يكون الرقم الناتج قابلاً للقسمة على المقسوم عليه؛ تتم إضافة نفس العدد من الوحدات الإيجابية إلى الجزء العشري:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

وهذا التحول يجب أن يتم في العقل، فيرتب الفعل على النحو التالي:

286. استبدال اللوغاريتمات المطروحة بالمصطلحات.عند حساب بعض التعبيرات المعقدة باستخدام اللوغاريتمات، عليك إضافة بعض اللوغاريتمات وطرح البعض الآخر؛ في هذه الحالة، متى طريقة عاديةعند تنفيذ الإجراءات، يجدون بشكل منفصل مجموع شروط اللوغاريتمات، ثم مجموع الطرح وطرح الثاني من المجموع الأول. على سبيل المثال، إذا كان لدينا:

سجل X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

عندها سيتم تحديد موقع التنفيذ المعتاد للإجراءات على النحو التالي:

ومع ذلك، من الممكن استبدال الطرح بالإضافة. لذا:

الآن يمكنك ترتيب الحساب على النحو التالي:

287. أمثلة على العمليات الحسابية.

مثال 1. تقييم التعبير:

لو أ \u003d 0.8216، ب \u003d 0.04826، ج \u003d 0.005127و د = 7.246.

نحن لوغاريتم هذا التعبير:

سجل X= 1/3 سجل A + 4 سجل B - 3 سجل C - 1/3 سجل D

الآن، لتجنب ضياع الوقت غير الضروري وتقليل احتمالية حدوث أخطاء، نقوم أولاً بترتيب جميع الحسابات دون تنفيذها بعد ودون الرجوع إلى الجداول:

بعد ذلك نأخذ الجداول ونضع اللوغاريتمات في الأماكن الفارغة اليسرى:

حد الخطأ.أولاً، دعونا نجد حد الخطأ للرقم س 1 = 194,5 ، يساوي:

لذلك، أولا وقبل كل شيء، عليك أن تجد أ ، أي هامش الخطأ في اللوغاريتم التقريبي، معبرًا عنه بعشرة آلاف. لنفترض أن هذه الأرقام أ، ب، جو دكلها دقيقة. عندها ستكون الأخطاء في اللوغاريتمات الفردية كما يلي (بعشرة آلاف):

الخامس سجل أ.......... 1 / 2

الخامس 1/3 سجل أ......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 تمت إضافتها لأنه عند القسمة على 3 لوغاريتمات 1.9146، قمنا بتقريب الناتج عن طريق تجاهل الرقم الخامس، وبالتالي ارتكبنا خطأ آخر، أقل 1 / 2 عشرة آلاف).

الآن نجد هامش الخطأ في اللوغاريتم:

أ = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (عشرة آلاف).

دعونا نحدد المزيد د . لأن س 1 = 194,5 ، ثم عددين صحيحين متتاليين بينهما هو س 1 سوف 194 و 195 . الفرق الجدولي د بين الأجزاء العشرية المقابلة لهذه الأرقام 22 . وبالتالي فإن هامش الخطأ في الرقم س 1 هنالك:

لأن س = س 1 : 10، ثم هامش الخطأ في الرقم س يساوي 0,3:10 = 0,03 . وهكذا الرقم الذي وجدناه 19,45 يختلف عن العدد الدقيق بأقل من 0,03 . وبما أننا لا نعرف ما إذا كان تقريبنا قد وجد بنقص أم بزيادة، فلا يسعنا إلا أن نضمن ذلك

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 ، أي.

19,48 > X > 19,42 ,

وبالتالي، إذا قبلنا X =19,4 ، سيكون لدينا تقريب مع عيب يصل إلى 0.1.

مثال 2احسب:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

بما أن الأعداد السالبة لا تحتوي على لوغاريتمات، فإننا نجد أولًا:

X" = (2,31) 3 5 √72

عن طريق التحلل:

سجل X"= 3 سجل 2.31 + 1/5 سجل 72.

بعد الحساب سيكون:

X" = 28,99 ;

لذلك،

س = - 28,99 .

مثال 3. احسب:

لا يمكن تطبيق اللوغاريتم المستمر هنا، لأنه تحت علامة الجذر يوجد ym ma. في مثل هذه الحالات، يتم حساب الصيغة في أجزاء.

أولا نجد ن = 5 √8 ، ثم ن 1 = 4 √3 ; ثم، عن طريق إضافة بسيطة، نحدد ن+ ن 1 ، وأخيرًا احسب 3 √ن+ ن 1 ; سوف تتحول:

ن = 1.514, ن 1 = 1,316 ; ن+ ن 1 = 2,830 .

سجل س= سجل 3 √ 2,830 = 1 / 3 سجل 2830 = 0,1506 ;

س = 1,415 .

الفصل الرابع.

المعادلات الأسية واللوغاريتمية.

288. المعادلة الأسية هي تلك التي يتم فيها تضمين المجهول في الأس، و لوغاريتمي- تلك التي يدخل فيها المجهول تحت العلامة سجل. لا يمكن حل مثل هذه المعادلات إلا في حالات خاصة، ويجب الاعتماد على خصائص اللوغاريتمات وعلى مبدأ أنه إذا كانت الأرقام متساوية، فإن اللوغاريتمات الخاصة بها متساوية، وعلى العكس، إذا كانت اللوغاريتمات متساوية، فإن اللوغاريتمات المقابلة لها الأرقام متساوية.

مثال 1حل المعادلة: 2 س = 1024 .

نحن لوغاريتم طرفي المعادلة:

مثال 2حل المعادلة: أ 2x - أ س = 1 . وضع أ س = في ، نحصل على معادلة تربيعية:

ذ 2 - في - 1 = 0 ,

لأن 1-√5 < 0 فإن المعادلة الأخيرة مستحيلة (function أ س هناك دائمًا رقم موجب)، والأول يعطي:

مثال 3حل المعادلة:

سجل( أ + س) + سجل ( ب + س) = سجل ( ج + س) .

يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:

سجل[( أ + س) (ب + س)] = سجل ( ج + س) .

ومن مساواة اللوغاريتمات نستنتج عن مساواة الأعداد:

(أ + س) (ب + س) = ج + س .

هذه معادلة تربيعية وحلها ليس صعبا.

الفصل الخامس.

الفوائد المركبة والمدفوعات لأجل والمساهمات العاجلة.

289. المشكلة الرئيسية للفائدة المركبة.ما هو حجم رأس المال أ روبل، نظرا للنمو من قبل ر الفائدة المركبة بعد ر سنين ( ر هو عدد صحيح)؟

يقال أن رأس المال يعطى بفائدة مركبة إذا أخذ في الاعتبار ما يسمى "الفائدة على الفائدة"، أي إذا أضيفت أموال الفائدة المستحقة على رأس المال في نهاية كل سنة إلى رأس المال من أجل زيادتها مع الفائدة في السنوات اللاحقة.

كل روبل من رأس المال المعطى ر ٪، في غضون عام واحد سوف يحقق الربح ص / 100 الروبل، وبالتالي، كل روبل من رأس المال في سنة واحدة سوف يتحول إلى 1 + ص / 100 الروبل (على سبيل المثال، إذا تم إعطاء رأس المال ل 5 ٪، فإن كل روبل في السنة سوف يتحول إلى 1 + 5 / 100 ، أي في 1,05 روبل).

دلالة على اختصار الكسر ص / 100 حرف واحد مثلا ص يمكننا القول أن كل روبل من رأس المال سيتحول إلى 1 + ص روبل. لذلك، أ سوف يتحول الروبل خلال عام واحد إلى أ (1 + ص ) فرك. وبعد مرور عام، أي بعد عامين من بدء النمو، كل روبل منها أ (1 + ص ) فرك. سوف يعود إلى 1 + ص فرك.؛ وهذا يعني أنه سيتم تحويل كل رأس المال إلى أ (1 + ص ) 2 فرك. وبنفس الطريقة نجد أنه بعد ثلاث سنوات سيكون رأس المال أ (1 + ص ) 3 ، في أربع سنوات سيكون أ (1 + ص ) 4 ،... بشكل عام من خلال ر سنوات إذا ر هو عدد صحيح، وسوف يتحول إلى أ (1 + ص ) رفرك. وهكذا يدل أرأس المال النهائي، سيكون لدينا صيغة الفائدة المركبة التالية:

أ = أ (1 + ص ) رأين ص = ص / 100 .

مثال.يترك أ =2300 روبل، ص = 4, ر=20 سنين؛ ثم تعطي الصيغة:

ص = 4 / 100 = 0,04 ; أ \u003d 2300 (1.04) 20.

لكي يحسب أنستخدم اللوغاريتمات:

سجل أ = سجل 2300 + 20 سجل 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017.

أ = 5031روبل.

تعليق.في هذا المثال، كان لدينا سجل 1.04اضرب بها 20 . منذ الرقم 0,0170 هناك تقريب سجل 1.04يصل إلى 1 / 2 جزء من عشرة آلاف، ثم حاصل ضرب هذا العدد بـ 20 لن يكون إلا حتى 1 / 2 20 أي ما يصل إلى 10 أجزاء من عشرة آلاف \u003d جزء من ألف. لذلك، في المجموع 3,7017 لا يمكننا أن نضمن ليس فقط رقم العشرة آلاف، بل أيضًا رقم الألف. ومن أجل الحصول على دقة أكبر في مثل هذه الحالات فالأفضل بالنسبة للعدد 1 + ص خذ اللوغاريتمات ليس من 4 أرقام، ولكن مع عدد كبيرأرقام، على سبيل المثال. 7 أرقام. ولهذا الغرض، نقدم هنا جدولًا صغيرًا يتم فيه كتابة اللوغاريتمات المكونة من 7 أرقام للقيم الأكثر شيوعًا. ر .

290. المهمة الرئيسية للمدفوعات العاجلة.أخذ شخص ما أ روبل ل ر % مع شرط سداد الدين مع فوائده المستحقة عليه ر سنوات، ويدفع نفس المبلغ في نهاية كل سنة. ماذا يجب أن يكون هذا المبلغ؟

مجموع س ويسمى الدفع السنوي في ظل هذه الظروف بالدفع العاجل. دعونا نشير مرة أخرى ص أموال الفائدة السنوية من 1 روبل، أي الرقم ص / 100 . ثم بحلول نهاية السنة الأولى من الديون أ يرتفع الى أ (1 + ص )، بعد الدفع X روبل سيتم ذلك أ (1 + ص )-X .

بحلول نهاية السنة الثانية، سوف يتحول كل روبل من هذا المبلغ مرة أخرى إلى 1 + ص روبل، وبالتالي سيكون الدين [ أ (1 + ص )-X ](1 + ص ) = أ (1 + ص ) 2 - س (1 + ص )، وللدفع س الروبل سيكون: أ (1 + ص ) 2 - س (1 + ص ) - X . بنفس الطريقة، سوف نتأكد من أنه بحلول نهاية السنة الثالثة سيكون الدين

أ (1 + ص ) 3 - س (1 + ص ) 2 - س (1 + ص ) - س ,

وبشكل عام والنهاية ر -السنة الرابعة ستكون:

أ (1 + ص ) ر - س (1 + ص ) ر-1 - س (1 + ص ) ر-2 ... - س (1 + ص ) - س ، أو

أ (1 + ص ) ر - س [ 1 + (1 + ص ) + (1 + ص ) 2 + ...+ (1 + ص ) ر-2 + (1 + ص ) ر-1 ]

يمثل كثير الحدود الموجود داخل الأقواس مجموع الحدود المتوالية الهندسية; الذي لديه العضو الأول 1 ، آخر ( 1 + ص ) ر-1، والمقام ( 1 + ص ). وفقًا لصيغة مجموع أعضاء المتوالية الهندسية (القسم 10 الفصل 3 § 249) نجد:

ومبلغ الدين بعد ر -الدفعة ستكون:

وفقا لحالة المشكلة، الديون في النهاية ر -السنة يجب أن تكون مساوية ل 0 ; لهذا السبب:

أين

عند حساب هذا صيغ الدفع العاجلةباستخدام اللوغاريتمات، يجب علينا أولاً العثور على رقم مساعد ن = (1 + ص ) ربواسطة اللوغاريتم: سجلN= رسجل (1+ ص) ; العثور على ن، اطرح منه 1، ثم نحصل على مقام الصيغة لـ X، وبعد ذلك باللوغاريتم الثانوي نجد:

سجل X= سجل أ+ سجل N + سجل ص - سجل (ن - 1).

291. المهمة الرئيسية للمساهمات العاجلة.يقوم شخص ما بإيداع نفس المبلغ في البنك في بداية كل عام أ فرك. حدد رأس المال الذي يتكون من هذه المساهمات بعد ذلك ر سنوات إذا قام البنك بالدفع ر الفائدة المركبة.

دلالة من خلال ص أموال الفائدة السنوية من 1 روبل، أي. ص / 100 ، نقول على النحو التالي: بنهاية السنة الأولى سيكون رأس المال أ (1 + ص );

وفي بداية السنة الثانية سيتم إضافة هذا المبلغ أ روبل. وهذا يعني أنه في هذا الوقت ستكون العاصمة أ (1 + ص ) + أ . وبحلول نهاية العام الثاني، سوف يفعل ذلك أ (1 + ص ) 2 + أ (1 + ص );

في بداية السنة الثالثة يتم تقديمه مرة أخرى أ روبل. وهذا يعني أنه في هذا الوقت ستكون العاصمة أ (1 + ص ) 2 + أ (1 + ص ) + أ ; بحلول نهاية اليوم الثالث سيكون أ (1 + ص ) 3 + أ (1 + ص ) 2 + أ (1 + ص ) وبمواصلة هذه الاعتبارات أكثر نجد ذلك في النهاية ر سنة رأس المال المطلوب أسوف:

هذه هي صيغة المساهمات محددة المدة التي يتم تقديمها في بداية كل عام.

يمكن الحصول على نفس الصيغة من خلال المنطق التالي: الدفعة الأولى في أ روبل أثناء وجوده في البنك ر سنوات، سوف تتحول، وفقا لصيغة الفائدة المركبة، إلى أ (1 + ص ) رفرك. القسط الثاني: أن يكون في البنك أقل من سنة، أي. ر - 1 سنوات، اتصل أ (1 + ص ) ر-1فرك. وبالمثل، فإن الدفعة الثالثة سوف تعطي أ (1 + ص ) ر-2وما إلى ذلك، وأخيرًا، سيتم تحويل القسط الأخير، الموجود في البنك لمدة عام واحد فقط، إلى أ (1 + ص ) فرك. وبالتالي فإن رأس المال النهائي أفرك. سوف:

أ= أ (1 + ص ) ر + أ (1 + ص ) ر-1 + أ (1 + ص ) ر-2 + . . . + أ (1 + ص ),

والتي، بعد التبسيط، تعطي الصيغة الموجودة أعلاه.

عند الحساب باستخدام لوغاريتمات هذه الصيغة، يجب عليك أن تفعل نفس الشيء عند حساب صيغة الدفعات العاجلة، أي ابحث أولاً عن الرقم N = ( 1 + ص ) رحسب اللوغاريتم: سجلN= رسجل(1 + ص ) ثم رقم ن-1ثم خذ لوغاريتم الصيغة:

سجل أ = سجل أ+ سجل (1 + ص) + السجل (N - 1) - 1ogص

تعليق.إذا كانت المساهمة عاجلة ل أ فرك. لم يتم السداد في بداية كل عام، بل في نهاية كل عام (على سبيل المثال، عند إجراء دفعة عاجلة X لسداد الدين)، ثم نتجادل كالسابق، فنجد ذلك في النهاية ر سنة رأس المال المطلوب أ"فرك. سيكون (بما في ذلك الدفعة الأخيرة أ فرك.، لا تحمل الفائدة):

أ"= أ (1 + ص ) ر-1 + أ (1 + ص ) ر-2 + . . . + أ (1 + ص ) + أ

وهو يساوي:

أي. أ"يظهر في ( 1 + ص ) مرات أقل أ، وهو ما كان متوقعا، لأن كل روبل من رأس المال أ"يكمن في البنك لمدة عام أقل من الروبل المقابل لرأس المال أ.