Знак на трапец по диагонали. Трапец. Пълни уроци – Хипермаркет на знанието

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Целта на урока:

• образователен– въвеждат понятието трапец, запознават се с видовете трапеци, изучават свойствата на трапеца, учат учениците да прилагат придобитите знания в процеса на решаване на задачи;
• развиващи се- развитие на комуникативните качества на учениците, развитие на способността да провеждат експерименти, обобщават, правят изводи, развитие на интерес към темата.
• образователен– култивирайте вниманието, създайте ситуация на успех, радост от самостоятелното преодоляване на трудностите, развийте у учениците нуждата от себеизразяване чрез различни видовевърши работа

Форми на работа:фронтална, парна баня, групова.

Форма на организиране на детски дейности:способността да слушате, да изграждате дискусия, да изразявате мисъл, въпрос, допълнение.

Оборудване:компютър, мултимедиен проектор, екран. На ученическите бюра: изрязан материал за изработване на трапец на всеки ученически чин; карти със задачи (разпечатки на чертежи и задачи от конспектите на урока).

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

I. Организационен момент

Поздрав, проверка на готовността на работното място за урока.

II. Актуализиране на знанията

• развитие на умения за класифициране на обекти;
• идентифициране на основни и вторични характеристики по време на класификацията.

Разгледайте чертеж №1.

Следва обсъждане на чертежа.
– От какво е направена тази геометрична фигура? Момчетата намират отговора в снимките: [от правоъгълник и триъгълници].
– Какви трябва да бъдат триъгълниците, които образуват трапеца?
Изслушват се и се обсъждат всички мнения, като се избира един вариант: [триъгълниците трябва да са правоъгълни].
– Как се образуват триъгълниците и правоъгълниците? [Така че противоположните страни на правоъгълника да съвпадат с крака на всеки от триъгълниците].
– Какво знаете за срещуположните страни на правоъгълник? [Те са успоредни].
- Значи този четириъгълник ще има успоредни страни? [Да].
- Колко са там? [Две].
След дискусията учителят демонстрира „кралицата на урока“ - трапеца.

III. Обяснение на нов материал

1. Дефиниция на трапец, елементи на трапец

• учат учениците да определят трапец;
• назовава елементите му;
• развитие на асоциативна памет.

– Сега се опитайте да дадете пълно определение на трапец. Всеки ученик обмисля отговор на въпроса. Те обменят мнения по двойки и подготвят единичен отговор на въпроса. Устно се отговаря на един ученик от 2-3 двойки.
[Трапецът е четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две страни не са успоредни].

– Как се наричат ​​страните на трапеца? [Успоредните страни се наричат ​​основи на трапеца, а другите две се наричат ​​странични страни].

Учителят предлага изрязаните форми да се сгънат в трапец. Учениците работят по двойки и добавят фигури. Добре е, ако двойки ученици са с различни нива, тогава един от учениците е консултант и помага на приятел в случай на затруднение.

– Построете в тетрадките си трапец, запишете имената на страните на трапеца. Задайте въпроси на съседа си относно рисунката, изслушайте отговорите му и му кажете вашите възможности за отговор.

Историческа справка

"трапец"- гръцка дума, която в древността е означавала "маса" (на гръцки "trapedzion" означава маса, маса за хранене. Геометричната фигура е наречена така поради външната си прилика с малка маса.
В Елементите (на гръцки Στοιχεῖα, на латински Elementa) - основното произведение на Евклид, написано около 300 г. пр.н.е. д. и посветен на систематичното изграждане на геометрията), терминът „трапец“ се използва не в съвременния смисъл, а в различен смисъл: всеки четириъгълник (не успоредник). „Трапец“ в нашия смисъл се среща за първи път при древногръцкия математик Посидоний (1 век). През Средновековието, според Евклид, всеки четириъгълник (не успоредник) се е наричал трапец; едва през 18 век. тази дума придобива съвременен смисъл.

Построяване на трапец от дадените му елементи. Момчетата изпълняват задачите на карта №1.

Учениците трябва да построят най-много трапеци различни местоположенияи стилове. В стъпка 1 трябва да конструирате правоъгълен трапец. В точка 2 става възможно да се построи равнобедрен трапец. В точка 3 трапецът ще „лежи на една страна“. В параграф 4 чертежът включва конструирането на трапец, в който една от основите се оказва необичайно малка.
Учениците „изненадват“ учителя с различни фигури, които имат едно общо име - трапец. Учителят демонстрира възможни вариантиизграждане на трапец.

Проблем 1. Два трапеца ще бъдат ли равни, ако едната основа и двете страни са равни съответно?
Обсъдете решението на задачата в групи и докажете правилността на разсъжденията.
Един ученик от групата рисува рисунка на дъската и обяснява мотивите.

2. Видове трапец

• развитие на двигателната памет, умения за разбиване на трапец на известни фигури, необходими за решаване на задачи;
• развитие на умения за обобщаване, сравняване, дефиниране по аналогия и излагане на хипотези.

Да погледнем снимката:

– По какво се различават показаните на картинката трапеци?
Момчетата забелязаха, че видът на трапеца зависи от вида на триъгълника, разположен отляво.
- Довършете изречението:

Трапецът се нарича правоъгълен, ако...
Трапецът се нарича равнобедрен, ако...

3. Свойства на трапец. Имоти равнобедрен трапец.

• представяне, по аналогия с равнобедрен триъгълник, на хипотеза за свойството на равнобедрен трапец;
• развитие на аналитични умения (сравняване, хипотеза, доказване, изграждане).

• Отсечката, свързваща средите на диагоналите, е равна на половината от разликата на основите.
• Равнобедреният трапец има равни ъгли във всяка основа.
• Равнобедреният трапец има равни диагонали.
• В равнобедрен трапец височината, спусната от върха до по-голямата основа, го разделя на два сегмента, единият от които е равен на половината от сбора на основите, а другият на половината от разликата на основите.

Задача 2.Докажете, че в равнобедрен трапец: а) ъглите при всяка основа са равни; б) диагоналите са равни. За да докажем тези свойства на равнобедрен трапец, припомняме признаците за равенство на триъгълниците. Учениците решават задачата в групи, обсъждат и записват решението в тетрадките си.
Един ученик от групата провежда доказателство на дъската.

4. Упражнение за внимание

5. Примери за използване на трапецовидни форми в ежедневието:

• в интериора (дивани, стени, окачени тавани);
• V озеленяване(граници на моравата, изкуствени водоеми, камъни);
• в модната индустрия (дрехи, обувки, аксесоари);
• в дизайна на ежедневни предмети (лампи, чинии, използвайки трапецовидни форми);
• в архитектурата.

Практическа работа(според вариантите).

– В една координатна система да се построят равнобедрени трапеци по дадените три върха.

Вариант 1: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…; …) и (– 6; – 5), (4; – 5), (– 4; – 3) , (…; …).
Вариант 2: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) и (1; – 2), (4; – 3), (4; – 7), ( …; …).

– Определете координатите на четвъртия връх.
Решението се проверява и коментира от целия клас. Учениците посочват координатите на четвъртата намерена точка и устно се опитват да обяснят защо дадените условия определят само една точка.

Интересна задача.Сгънете трапец от: а) четири правоъгълни триъгълника; б) от три правоъгълни триъгълника; в) от два правоъгълни триъгълника.

IV. Домашна работа

• възпитаване на правилно самочувствие;
• създаване на ситуация на „успех“ за всеки ученик.

стр.44, познават определението, елементи на трапец, неговите видове, познават свойствата на трапеца, могат да ги докажат, № 388, № 390.

V. Обобщение на урока. В края на урока се дава на децата въпросник,което ви позволява да извършвате самоанализ, да давате качествена и количествена оценка на урока .

Трапецът е специален случай на четириъгълник, в който една двойка страни е успоредна. Терминът "трапец" идва от гръцката дума τράπεζα, което означава "маса", "маса". В тази статия ще разгледаме видовете трапец и неговите свойства. Освен това ще разберем как да изчислим отделни елементи от това. Например диагоналът на равнобедрен трапец, централната линия, площта и т.н. Материалът е представен в стила на елементарната популярна геометрия, т.е. в лесно достъпна форма .

Главна информация

Първо, нека разберем какво е четириъгълник. Тази фигурае специален случай на многоъгълник, съдържащ четири страни и четири върха. Два върха на четириъгълник, които не са съседни, се наричат ​​противоположни. Същото може да се каже и за две несъседни страни. Основните видове четириъгълници са успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат, трапец и делтоид.

Нека се върнем на трапеца. Както вече казахме, тази фигура има две успоредни страни. Те се наричат ​​бази. Другите две (непаралелни) са страничните страни. В изпитни материали и разни тестовемного често можете да намерите задачи, свързани с трапеци, чието решаване често изисква ученикът да има знания, които не са предвидени в програмата. Училищният курс по геометрия запознава учениците със свойствата на ъглите и диагоналите, както и със средната линия на равнобедрен трапец. Но в допълнение към това, споменатата геометрична фигура има и други характеристики. Но повече за тях малко по-късно...

Видове трапец

Има много разновидности на тази фигура. Най-често обаче е обичайно да се разглеждат два от тях - равнобедрен и правоъгълен.

1. Правоъгълен трапец е фигура, на която една от страните е перпендикулярна на основите. Двата й ъгъла винаги са равни на деветдесет градуса.

2. Равнобедрен трапец е геометрична фигура, чиито страни са равни една на друга. Това означава, че ъглите при основите също са равни по двойки.

Основните принципи на методологията за изследване на свойствата на трапец

Основният принцип включва използването на така наречения подход на задачите. Всъщност няма нужда да се въвеждат нови свойства на тази фигура в теоретичния курс на геометрията. Те могат да бъдат открити и формулирани по време на процеса на решаване различни задачи(по-добри от системните). В същото време е много важно учителят да знае какви задачи трябва да бъдат възложени на учениците в един или друг момент учебен процес. Освен това всяко свойство на трапец може да бъде представено като ключова задача в системата от задачи.

Вторият принцип е така наречената спирална организация на изследването на „забележителните“ свойства на трапеца. Това предполага връщане в учебния процес към индивидуалните характеристики на дадена геометрична фигура. Това улеснява учениците да ги запомнят. Например свойството на четири точки. Може да се докаже както при изучаване на сходството, така и впоследствие с помощта на вектори. И еквивалентността на триъгълници, съседни на страничните страни на фигура, може да се докаже чрез прилагане не само на свойствата на триъгълници с равни височини, начертани към страните, които лежат на една и съща права линия, но и чрез използване на формулата S = 1/2( ab*sinα). Освен това можете да работите върху вписан трапец или правоъгълен триъгълник върху вписан трапец и т.н.

Използването на „извънпрограмни“ характеристики на геометрична фигура в съдържанието училищен курс- това е базирана на задачи технология за тяхното обучение. Постоянното позоваване на свойствата, които се изучават, докато преминават през други теми, позволява на учениците да придобият по-задълбочени познания за трапеца и гарантира успеха при решаването на възложените проблеми. И така, нека започнем да изучаваме тази прекрасна фигура.

Елементи и свойства на равнобедрен трапец

Както вече отбелязахме, тази геометрична фигура има равни страни. Известен е още като правилен трапец. Защо е толкова забележително и защо получи такова име? Особеността на тази фигура е, че не само страните и ъглите в основите са равни, но и диагоналите. Освен това сумата от ъглите на равнобедрен трапец е 360 градуса. Но това не е всичко! От всички известни трапеци само равнобедреният може да бъде описан като кръг. Това се дължи на факта, че сумата от противоположните ъгли на тази фигура е равна на 180 градуса и само при това условие може да се опише окръжност около четириъгълника. Следващото свойство на разглежданата геометрична фигура е, че разстоянието от върха на основата до проекцията на противоположния връх върху правата линия, която съдържа тази основа, ще бъде равно на средната линия.

Сега нека да разберем как да намерим ъглите на равнобедрен трапец. Нека разгледаме решение на този проблем, при условие че са известни размерите на страните на фигурата.

Решение

Обикновено четириъгълникът обикновено се обозначава с буквите A, B, C, D, където BS и AD са основите. В равнобедрен трапец страните са равни. Ще приемем, че размерът им е равен на X, а размерите на основите са равни на Y и Z (съответно по-малки и по-големи). За да извършите изчислението, е необходимо да изчертаете височината H от ъгъл B. Резултатът е правоъгълен триъгълник ABN, където AB е хипотенузата, а BN и AN са краката. Изчисляваме размера на крака AN: изваждаме по-малката от по-голямата основа и разделяме резултата на 2. Записваме го под формата на формула: (Z-Y)/2 = F. Сега, за да изчислим острата ъгъл на триъгълника, използваме функцията cos. Получаваме следния запис: cos(β) = X/F. Сега изчисляваме ъгъла: β=arcos (X/F). Освен това, знаейки един ъгъл, можем да определим втория, за това извършваме елементарна аритметична операция: 180 - β. Всички ъгли са определени.

Има второ решение на този проблем. Първо го спускаме от ъгъла до височина H. Изчисляваме стойността на крака BN. Знаем, че квадратът на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сбора от квадратите на катетите. Получаваме: BN = √(X2-F2). След това използваме тригонометричната функция tg. В резултат на това имаме: β = арктан (BN/F). Открит е остър ъгъл. След това го дефинираме подобно на първия метод.

Свойство на диагоналите на равнобедрен трапец

Първо, нека напишем четири правила. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава:

Височината на фигурата ще бъде равна на сумата от основите, разделена на две;

Височината и средната му линия са равни;

Центърът на кръга е точката, в която ;

Ако страничната страна е разделена от точката на допиране на сегменти H и M, тогава тя е равна на корен квадратенпродукти от тези сегменти;

Четириъгълникът, образуван от точките на допиране, върха на трапеца и центъра на вписаната окръжност, е квадрат, чиято страна е равна на радиуса;

Площта на фигурата е равна на произведението на основите и произведението на половината от сбора на основите и нейната височина.

Подобни трапеци

Тази тема е много удобна за изучаване на свойствата на този Например диагоналите разделят трапец на четири триъгълника, като прилежащите към основите са подобни, а прилежащите към страните са равни по размер. Това твърдение може да се нарече свойство на триъгълниците, на които трапецът е разделен от неговите диагонали. Първата част на това твърдение се доказва чрез знака за подобие на два ъгъла. За доказване на втората част е по-добре да използвате метода, даден по-долу.

Доказателство на теоремата

Приемаме, че фигурата ABSD (AD и BS са основите на трапеца) е разделена на диагонали VD и AC. Точката на тяхното пресичане е O. Получаваме четири триъгълника: AOS - в долната основа, BOS - в горната основа, ABO и SOD отстрани. Триъгълниците SOD и BOS имат обща височина, ако отсечките BO и OD са техните основи. Откриваме, че разликата между техните площи (P) е равна на разликата между тези сегменти: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Следователно PSOD = PBOS/K. По същия начин триъгълниците BOS и AOB имат обща височина. Вземаме отсечките CO и OA за техни бази. Получаваме PBOS/PAOB = CO/OA = K и PAOB = PBOS/K. От това следва, че PSOD = PAOB.

За консолидиране на материала се препоръчва на учениците да намерят връзката между областите на получените триъгълници, на които трапецът е разделен от неговите диагонали, като решат следния проблем. Известно е, че триъгълниците BOS и AOD имат равни площи; необходимо е да се намери площта на трапеца. Тъй като PSOD = PAOB, това означава PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. От подобието на триъгълници BOS и AOD следва, че BO/OD = √(PBOS/PAOD). Следователно PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Получаваме PSOD = √(PBOS*PAOD). Тогава PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Свойства на подобие

Продължавайки да развиваме тази тема, човек може да докаже друго интересни функциитрапец. По този начин, използвайки подобие, може да се докаже свойството на сегмент, който минава през точката, образувана от пресечната точка на диагоналите на тази геометрична фигура, успоредна на основите. За целта нека решим следната задача: трябва да намерим дължината на отсечката RK, която минава през точка O. От подобието на триъгълници AOD и BOS следва, че AO/OS = AD/BS. От подобието на триъгълници AOP и ASB следва, че AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). От тук получаваме, че RO=BS*BP/(BS+BP). По същия начин от сходството на триъгълници DOC и DBS следва, че OK = BS*AD/(BS+AD). От тук получаваме, че RO=OK и RK=2*BS*AD/(BS+AD). Сегмент, минаващ през точката на пресичане на диагоналите, успоредни на основите и свързващи две странични страни, се разделя наполовина от точката на пресичане. Дължината му е средната хармонична стойност на основите на фигурата.

Нека помислим следващо качествотрапец, което се нарича свойство на четири точки. Пресечните точки на диагоналите (O), пресечната точка на продължението на страните (E), както и средните точки на основите (T и F) винаги лежат на една и съща права. Това може лесно да се докаже чрез метода на подобието. Получените триъгълници BES и AED са подобни и във всеки от тях медианите ET и EJ разделят върхния ъгъл E на равни части. Следователно точките E, T и F лежат на една права линия. По същия начин точките T, O и Zh са разположени на една и съща права. Всичко това следва от подобието на триъгълниците BOS и AOD. От тук заключаваме, че и четирите точки - E, T, O и F - ще лежат на една и съща права линия.

Използвайки подобни трапеци, можете да помолите учениците да намерят дължината на сегмента (LS), който разделя фигурата на две подобни. Този сегмент трябва да е успореден на основите. Тъй като получените трапеци ALFD и LBSF са подобни, тогава BS/LF = LF/AD. От това следва, че LF=√(BS*AD). Откриваме, че отсечката, разделяща трапеца на две еднакви има дължина, равна на средната геометрична на дължините на основите на фигурата.

Разгледайте следното свойство на подобие. Тя се основава на сегмент, който разделя трапеца на две равни фигури. Приемаме, че трапецът ABSD е разделен от отсечката EH на две подобни. От върха B е пропусната височина, която се разделя от отсечка EN на две части - B1 и B2. Получаваме: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 и PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. След това съставяме система, чието първо уравнение е (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, а второто (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. От това следва, че B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Откриваме, че дължината на отсечката, разделяща трапеца на две равни, е равна на средния квадрат на дължините на основите: √((BS2+AD2)/2).

Констатации за сходство

Така ние доказахме, че:

1. Отсечката, свързваща средите на страничните страни на трапеца, е успоредна на AD и BS и е равна на средноаритметичното на BS и AD (дължината на основата на трапеца).

2. Правата, минаваща през точката O на пресечната точка на диагоналите, успоредни на AD и BS, ще бъде равна на средната хармонична стойност на числата AD и BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Отсечката, разделяща трапеца на подобни има дължина на средната геометрична на основите BS и AD.

4. Елемент, разделящ фигура на две равни, има дължината на средния квадрат на числата AD и BS.

За да консолидира материала и да разбере връзката между разглежданите сегменти, ученикът трябва да ги конструира за конкретен трапец. Той може лесно да покаже средната линия и отсечката, която минава през точка O - пресечната точка на диагоналите на фигурата - успоредни на основите. Но къде ще бъдат разположени третият и четвъртият? Този отговор ще доведе ученика до откриването на желаната връзка между средните стойности.

Отсечка, свързваща средните точки на диагоналите на трапец

Разгледайте следното свойство на тази фигура. Приемаме, че отсечката MH е успоредна на основите и разполовява диагоналите. Нека наречем точките на пресичане Ш и Ш Този сегмент ще бъде равен на половината от разликата на основите. Нека разгледаме това по-подробно. MS е средната линия на триъгълника ABS, равна е на BS/2. MSH е средната линия на триъгълник ABD, равна е на AD/2. Тогава получаваме, че ShShch = MSh-MSh, следователно ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Център на тежестта

Нека да разгледаме как се определя този елемент за дадена геометрична фигура. За да направите това, е необходимо да разширите основите в противоположни посоки. Какво означава? Трябва да добавите долната основа към горната основа - във всяка посока, например надясно. И удължаваме долната по дължината на горната вляво. След това ги свързваме диагонално. Пресечната точка на този сегмент със средната линия на фигурата е центърът на тежестта на трапеца.

Вписани и описани трапеци

Нека изброим характеристиките на такива фигури:

1. Трапецът може да бъде вписан в окръжност само ако е равнобедрен.

2. Трапецът може да се опише около окръжност, при условие че сборът от дължините на техните основи е равен на сбора от дължините на страните.

Следствия от вписаната окръжност:

1. Височината на описания трапец винаги е равна на два радиуса.

2. Страната на описания трапец се наблюдава от центъра на окръжността под прав ъгъл.

Първото следствие е очевидно, но за доказване на второто е необходимо да се установи, че ъгълът SOD е прав, което всъщност също не е трудно. Но знанието от този имотще ви позволи да използвате правоъгълен триъгълник при решаване на задачи.

Сега нека уточним тези последствия за равнобедрен трапец, вписан в окръжност. Откриваме, че височината е средната геометрична на основите на фигурата: H=2R=√(BS*AD). Упражнявайки основната техника за решаване на задачи за трапец (принципа на чертане на две височини), ученикът трябва да реши следната задача. Приемаме, че BT е височината на равнобедрената фигура ABSD. Необходимо е да се намерят сегментите AT и TD. Използвайки формулата, описана по-горе, това няма да е трудно да се направи.

Сега нека да разберем как да определим радиуса на окръжност, използвайки площта на описания трапец. Спускаме височината от върха B до основата AD. Тъй като окръжността е вписана в трапец, тогава BS+AD = 2AB или AB = (BS+AD)/2. От триъгълник ABN намираме sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Получаваме PABSD = (BS+BP)*R, от което следва, че R = PABSD/(BS+BP).

Всички формули за средна линия на трапец

Сега е време да преминем към последния елемент от тази геометрична фигура. Нека разберем на какво е равна средната линия на трапеца (M):

1. През основите: M = (A+B)/2.

2. Чрез височина, основа и ъгли:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. През височина, диагонали и ъгъл между тях. Например D1 и D2 са диагоналите на трапец; α, β - ъгли между тях:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Проходна площ и височина: M = P/N.

В тази статия ще се опитаме да отразим свойствата на трапеца възможно най-пълно. По-специално ще говорим за общи признации свойства на трапец, както и за свойствата на вписан трапец и за окръжност, вписана в трапец. Ще се докоснем и до свойствата на равнобедрен и правоъгълен трапец.

Пример за решаване на проблем с помощта на обсъжданите свойства ще ви помогне да го подредите в главата си и да запомните по-добре материала.

Трапец и всички-всички-всички

Като начало, нека си припомним накратко какво е трапец и какви други понятия са свързани с него.

И така, трапецът е четириъгълна фигура, две от чиито страни са успоредни една на друга (това са основите). И двете не са успоредни - това са страните.

В трапец височината може да се спусне - перпендикулярно на основите. Начертани са централната линия и диагоналите. Също така е възможно да се начертае ъглополовяща от всеки ъгъл на трапеца.

Сега ще говорим за различните свойства, свързани с всички тези елементи и техните комбинации.

Свойства на диагоналите на трапец

За да стане по-ясно, докато четете, начертайте трапеца ACME върху лист хартия и начертайте диагонали в него.

1. Ако намерите средните точки на всеки от диагоналите (нека наречем тези точки X и T) и ги свържете, ще получите сегмент. Едно от свойствата на диагоналите на трапеца е, че отсечката HT лежи на средната линия. А дължината му може да се получи, като разликата на основите се раздели на две: ХТ = (а – б)/2.
2. Пред нас е същият трапец ACME. Диагоналите се пресичат в точка O. Да разгледаме триъгълниците AOE и MOK, образувани от отсечки на диагоналите заедно с основите на трапеца. Тези триъгълници са подобни. Коефициентът на сходство k на триъгълниците се изразява чрез отношението на основите на трапеца: k = AE/KM.
   Отношението на площите на триъгълниците AOE и MOK се описва с коефициента k 2 .
3. Същият трапец, същите диагонали, пресичащи се в точка О. Само че този път ще разгледаме триъгълниците, които сегментите на диагоналите образуват заедно със страните на трапеца. Повърхнините на триъгълници АКО и ЕМО са еднакви по големина – повърхнините им са еднакви.
4. Друго свойство на трапеца включва изграждането на диагонали. Така че, ако продължите страните на AK и ME в посока на по-малката основа, тогава рано или късно те ще се пресекат в определена точка. След това начертайте права линия през средата на основите на трапеца. Тя пресича основите в точки X и T.
   Ако сега удължим правата XT, тогава тя ще свърже заедно точката на пресичане на диагоналите на трапеца O, точката, в която се пресичат продълженията на страните и средата на основите X и T.
5. През пресечната точка на диагоналите ще начертаем сегмент, който ще свързва основите на трапеца (T лежи на по-малката основа KM, X на по-голямата AE). Пресечната точка на диагоналите разделя този сегмент в следното съотношение: TO/OX = KM/AE.
6. Сега през пресечната точка на диагоналите ще начертаем сегмент, успореден на основите на трапеца (a и b). Пресечната точка ще го раздели на две равни части. Можете да намерите дължината на сегмента с помощта на формулата 2ab/(a + b).

Свойства на средната линия на трапец

Начертайте средната линия в трапеца, успоредна на основите му.

1. Дължината на средната линия на трапец може да се изчисли, като се съберат дължините на основите и се разделят наполовина: m = (a + b)/2.
2. Ако начертаете произволен сегмент (например височина) през двете основи на трапеца, средната линия ще го раздели на две равни части.

Свойство за ъглополовяща трапец

Изберете произволен ъгъл на трапеца и начертайте ъглополовяща. Да вземем, например, ъгъла KAE на нашия трапец ACME. След като завършите конструкцията сами, можете лесно да проверите дали ъглополовящата отрязва от основата (или нейното продължение на права линия извън самата фигура) сегмент със същата дължина като страната.

Свойства на ъглите на трапеца

1. Която и от двете двойки ъгли, съседни на страната, да изберете, сумата от ъглите в двойката винаги е 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0.
2. Нека свържем средите на основите на трапеца с отсечка TX. Сега нека разгледаме ъглите при основите на трапеца. Ако сумата от ъглите за някой от тях е 90 0, дължината на сегмента TX може лесно да се изчисли въз основа на разликата в дължините на основите, разделена наполовина: TX = (AE – KM)/2.
3. Ако през страните на трапецовиден ъгъл се начертаят успоредни прави, те ще разделят страните на ъгъла на пропорционални сегменти.

Свойства на равнобедрен (равностранен) трапец

1. В равнобедрен трапец ъглите при всяка основа са равни.
2. Сега отново изградете трапец, за да можете по-лесно да си представите за какво говорим. Погледнете внимателно основата AE - върхът на противоположната основа M се проектира към определена точка на правата, която съдържа AE. Разстоянието от върха A до проекционната точка на върха M и средната линия на равнобедрения трапец са равни.
3. Няколко думи за свойството на диагоналите на равнобедрен трапец - дължините им да са равни. И също така ъглите на наклона на тези диагонали към основата на трапеца са еднакви.
4. Само около равнобедрен трапец може да се опише окръжност, тъй като сборът от срещуположните ъгли на четириъгълник е 180 0 - предпоставка за това.
5. Свойството на равнобедрен трапец следва от предходния абзац - ако близо до трапеца може да се опише окръжност, той е равнобедрен.
6. От характеристиките на равнобедрен трапец следва свойството на височината на трапец: ако неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, тогава дължината на височината е равна на половината от сбора на основите: h = (a + b)/2.
7. Отново начертайте сегмента TX през средите на основите на трапеца - в равнобедрен трапец той е перпендикулярен на основите. И в същото време TX е оста на симетрия на равнобедрен трапец.
8. Този път намалете височината от противоположния връх на трапеца върху по-голямата основа (да я наречем a). Ще получите два сегмента. Дължината на едно може да се намери, ако дължините на основите се добавят и разделят наполовина: (a + b)/2. Получаваме втората, когато извадим по-малката от по-голямата основа и разделим получената разлика на две: (а – б)/2.

Свойства на трапец, вписан в окръжност

Тъй като вече говорим за трапец, вписан в кръг, нека се спрем на този въпрос по-подробно. По-специално, къде е центърът на кръга спрямо трапеца. Тук също се препоръчва да не бъдете мързеливи, вземете молив в ръцете си и нарисувайте това, за което говорите. Ще говоримПо-долу. Така ще разберете по-бързо и ще запомните по-добре.

1. Местоположението на центъра на кръга се определя от ъгъла на наклона на диагонала на трапеца към неговата страна. Например, диагонал може да се простира от върха на трапец под прав ъгъл към страната. В този случай по-голямата основа пресича центъра на описаната окръжност точно по средата (R = ½AE).
2. Диагоналът и страната могат да се срещат и под остър ъгъл – тогава центърът на окръжността е вътре в трапеца.
3. Центърът на описаната окръжност може да е извън трапеца, отвъд по-голямата му основа, ако има тъп ъгъл между диагонала на трапеца и страната.
4. Ъгълът, образуван от диагонала и голямата основа на трапеца ACME (вписан ъгъл) е половината от централния ъгъл, който му съответства: MAE = ½ MOE.
5. Накратко за два начина за намиране на радиуса на описана окръжност. Първи метод: погледнете внимателно рисунката си - какво виждате? Лесно можете да забележите, че диагоналът разделя трапеца на два триъгълника. Радиусът може да се намери чрез съотношението на страната на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл, умножено по две. Например, R = AE/2*sinAME. Формулата може да бъде написана по подобен начин за всяка от страните на двата триъгълника.
6. Метод втори: намерете радиуса на описаната окръжност през площта на триъгълника, образуван от диагонала, страната и основата на трапеца: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Свойства на трапец, описан около окръжност

Можете да поставите кръг в трапец, ако е изпълнено едно условие. Прочетете повече за това по-долу. И заедно тази комбинация от фигури има редица интересни свойства.

1. Ако окръжност е вписана в трапец, дължината на средната му линия може лесно да се намери чрез добавяне на дължините на страните и разделяне на получената сума наполовина: m = (c + d)/2.
2. За трапеца ACME, описан около окръжност, сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на страните: AK + ME = KM + AE.
3. От това свойство на основите на трапец следва обратното твърдение: в трапец може да се впише окръжност, чийто сбор от основи е равен на сбора от страните му.
4. Допирателната точка на окръжност с радиус r, вписана в трапец, разделя страната на два сегмента, нека ги наречем a и b. Радиусът на кръг може да се изчисли по формулата: r = √ab.
5. И още един имот. За да избегнете объркване, нарисувайте сами и този пример. Имаме добрия стар трапец ACME, описан около окръжност. Съдържа диагонали, които се пресичат в точка O. Триъгълниците AOK и EOM, образувани от отсечките на диагоналите и страничните страни, са правоъгълни.
   Височините на тези триъгълници, спуснати до хипотенузите (т.е. страничните страни на трапеца), съвпадат с радиусите на вписаната окръжност. А височината на трапеца съвпада с диаметъра на вписаната окръжност.

Свойства на правоъгълен трапец

Трапецът се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е прав. И свойствата му произтичат от това обстоятелство.

1. Една от страните на правоъгълен трапец е перпендикулярна на основата му.
2. Височина и странична страна на трапеца в съседство с прав ъгъл, са равни. Това ви позволява да изчислите площта на правоъгълен трапец (обща формула S = (a + b) * h/2) не само през височината, но и през страната, съседна на правия ъгъл.
3. За правоъгълен трапец общите свойства на диагоналите на трапец, вече описани по-горе, са от значение.

Доказателство за някои свойства на трапеца

Равенство на ъглите при основата на равнобедрен трапец:

• Вероятно вече се досещате, че тук отново ще ни трябва трапецът AKME - начертайте равнобедрен трапец. Начертайте права линия MT от върха M, успоредна на страната на AK (MT || AK).

Полученият четириъгълник AKMT е успоредник (AK || MT, KM || AT). Тъй като ME = KA = MT, ∆ MTE е равнобедрен и MET = MTE.

AK || MT, следователно MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Къде е AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Сега, въз основа на свойството на равнобедрен трапец (равенство на диагоналите), доказваме това трапецът ACME е равнобедрен:

• Като начало, нека начертаем права линия MX – MX || KE. Получаваме успоредник KMHE (основа – MX || KE и KM || EX).

∆AMX е равнобедрен, тъй като AM = KE = MX и MAX = MEA.

МЗ || KE, KEA = MHE, следователно MAE = MHE.

Оказа се, че триъгълниците AKE и EMA са равни един на друг, тъй като AM = KE и AE са общата страна на двата триъгълника. И също MAE = MXE. Можем да заключим, че AK = ME, а от това следва, че трапецът AKME е равнобедрен.

Задача за преглед

Основите на трапеца ACME са 9 cm и 21 cm, страничната страна KA, равна на 8 cm, сключва ъгъл 150 0 с по-малката основа. Трябва да намерите площта на трапеца.

Решение: От върха K спускаме височината до по-голямата основа на трапеца. И нека започнем да разглеждаме ъглите на трапеца.

Ъглите AEM и KAN са едностранни. Това означава, че общо те дават 180 0. Следователно KAN = 30 0 (въз основа на свойството на трапецовидни ъгли).

Нека сега разгледаме правоъгълника ∆ANC (вярвам, че тази точка е очевидна за читателите без допълнителни доказателства). От него ще намерим височината на трапеца KH - в триъгълник това е кракът, който лежи срещу ъгъл от 30 0. Следователно KH = ½AB = 4 cm.

Намираме площта на трапеца по формулата: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Послеслов

Ако сте внимателно и замислено изучавали тази статия, не сте били твърде мързеливи, за да нарисувате трапец за всички дадени свойства с молив в ръцете си и да ги анализирате на практика, трябва да сте усвоили добре материала.

Разбира се, тук има много информация, разнообразна и понякога дори объркваща: не е толкова трудно да се объркат свойствата на описания трапец със свойствата на вписания. Но вие сами виждате, че разликата е огромна.

Сега имате подробно резюме на всички общи свойстватрапецовидни. Както и специфични свойства и характеристики на равнобедрените и правоъгълните трапеци. Много е удобно да се използва за подготовка за контролни и изпити. Опитайте сами и споделете връзката с приятелите си!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

\[(\Large(\text(Свободен трапец)))\]

Дефиниции

Трапецът е изпъкнал четириъгълник, в който две страни са успоредни, а другите две страни не са успоредни.

Успоредните страни на трапеца се наричат ​​негови основи, а другите две страни се наричат ​​страни.

Височината на трапец е перпендикуляр, спуснат от всяка точка на една основа към друга основа.

Теореми: свойства на трапец

1) Сумата от ъглите при страната е \(180^\circ\) .

2) Диагоналите разделят трапеца на четири триъгълника, два от които са еднакви, а другите два са еднакви по големина.

Доказателство

1) Защото \(AD\паралел BC\), тогава ъглите \(\ъгъл BAD\) и \(\ъгъл ABC\) са едностранни за тези прави и напречната \(AB\), следователно, \(\ъгъл BAD +\ъгъл ABC=180^\circ\).

2) Защото \(AD\паралел BC\) и \(BD\) са секанс, тогава \(\ъгъл DBC=\ъгъл BDA\) лежат на кръст.
Също \(\ъгъл BOC=\ъгъл AOD\) като вертикален.
Следователно под два ъгъла \(\триъгълник BOC \sim \триъгълник AOD\).

Нека докажем това \(S_(\триъгълник AOB)=S_(\триъгълник COD)\). Нека \(h\) е височината на трапеца. Тогава \(S_(\триъгълник ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\триъгълник ACD)\). Тогава: \

Определение

Средната линия на трапец е сегмент, свързващ средните точки на страните.

Теорема

Средната линия на трапеца е успоредна на основите и е равна на тяхната полусума.

Доказателство*

1) Нека докажем паралелизма.

Нека начертаем през точката \(M\) правата \(MN"\паралел AD\) (\(N"\в CD\) ). Тогава, според теоремата на Талес (тъй като \(MN"\паралел AD\паралел BC, AM=MB\)) точка \(N"\) е средата на отсечката \(CD\). Това означава, че точките \(N\) и \(N"\) ще съвпадат.

2) Нека докажем формулата.

Нека направим \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Позволявам \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Тогава, по теоремата на Талес, \(M"\) и \(N"\) са средите на отсечките \(BB"\) и \(CC"\), съответно. Това означава, че \(MM"\) е средната линия на \(\триъгълник ABB"\) , \(NN"\) е средната линия на \(\триъгълник DCC"\) . Ето защо: \

защото \(MN\паралел AD\паралел BC\)и \(BB", CC"\perp AD\), тогава \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) са правоъгълници. Съгласно теоремата на Талес, от \(MN\паралелен AD\) и \(AM=MB\) следва, че \(B"M"=M"B\) . Следователно \(B"M"N"C "\) и \(BM"N"C\) са равни правоъгълници, следователно \(M"N"=B"C"=BC\) .

По този начин:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство на произволен трапец

Средите на основите, пресечната точка на диагоналите на трапеца и пресечната точка на продълженията на страничните страни лежат на една и съща права линия.

Доказателство*
Препоръчително е да се запознаете с доказателството след изучаване на темата „Подобие на триъгълници“.

1) Нека докажем, че точките \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на една права.

Нека начертаем права линия \(PN\) (\(P\) е пресечната точка на продълженията на страничните страни, \(N\) е средата на \(BC\)). Нека пресича страната \(AD\) в точката \(M\) . Нека докажем, че \(M\) е средата на \(AD\) .

Помислете за \(\триъгълник BPN\) и \(\триъгълник APM\) . Те са подобни при два ъгъла (\(\ъгъл APM\) – общ, \(\ъгъл PAM=\ъгъл PBN\) като съответстващ на \(AD\паралел BC\) и \(AB\) секущ). означава: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Помислете за \(\триъгълник CPN\) и \(\триъгълник DPM\) . Те са подобни при два ъгъла (\(\angle DPM\) – общ, \(\angle PDM=\angle PCN\) като съответстващ на \(AD\паралел BC\) и \(CD\) секущ). означава: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Оттук \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Но \(BN=NC\) следователно \(AM=DM\) .

2) Нека докажем, че точките \(N, O, M\) лежат на една права.

Нека \(N\) е средата на \(BC\) и \(O\) е пресечната точка на диагоналите. Нека начертаем права линия \(NO\) , тя ще пресича страната \(AD\) в точката \(M\) . Нека докажем, че \(M\) е средата на \(AD\) .

\(\триъгълник BNO\sim \триъгълник DMO\)по протежение на два ъгъла (\(\ъгъл OBN=\ъгъл ODM\), лежащ на кръст при \(BC\паралел AD\) и \(BD\) секанс; \(\ъгъл BON=\ъгъл DOM\) като вертикален). означава: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

По същия начин \(\триъгълник CON\sim \триъгълник AOM\). означава: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Оттук \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Но \(BN=CN\) следователно \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Равнобедрен трапец)))\]

Дефиниции

Трапецът се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е прав.

Трапецът се нарича равнобедрен, ако страните му са равни.

Теореми: свойства на равнобедрен трапец

1) Равнобедреният трапец има равни основни ъгли.

2) Диагоналите на равнобедрен трапец са равни.

3) Два триъгълника, образувани от диагонали и основа, са равнобедрени.

Доказателство

1) Разгледайте равнобедрения трапец \(ABCD\) .

От върховете \(B\) и \(C\) пускаме перпендикулярите \(BM\) и \(CN\) съответно към страната \(AD\). Тъй като \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , тогава \(BM\parallel CN\) ; \(AD\паралел BC\) , тогава \(MBCN\) е успоредник, следователно \(BM = CN\) .

Разгледайте правоъгълните триъгълници \(ABM\) и \(CDN\) . Тъй като имат равни хипотенузи и катети \(BM\) равен на крака\(CN\) , тогава тези триъгълници са равни, следователно \(\ъгъл DAB = \ъгъл CDA\) .

2)

защото \(AB=CD, \ъгъл A=\ъгъл D, AD\)- общ, след това според първия знак. Следователно \(AC=BD\) .

3) Защото \(\триъгълник ABD=\триъгълник ACD\), след това \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следователно триъгълникът \(\триъгълник AOD\) е равнобедрен. По същия начин се доказва, че \(\триъгълник BOC\) е равнобедрен.

Теореми: признаци на равнобедрен трапец

1) Ако трапецът има равни ъгли при основата, тогава той е равнобедрен.

2) Ако трапецът има равни диагонали, то той е равнобедрен.

Доказателство

Да разгледаме трапеца \(ABCD\), така че \(\ъгъл A = \ъгъл D\) .

Нека завършим трапеца до триъгълника \(AED\), както е показано на фигурата. Тъй като \(\ъгъл 1 = \ъгъл 2\) , тогава триъгълникът \(AED\) е равнобедрен и \(AE = ED\) . Ъгли \(1\) и \(3\) са равни като съответни ъгли за успоредни прави \(AD\) и \(BC\) и напречна \(AB\). По същия начин ъглите \(2\) и \(4\) са равни, но \(\ъгъл 1 = \ъгъл 2\), тогава \(\ъгъл 3 = \ъгъл 1 = \ъгъл 2 = \ъгъл 4\), следователно, триъгълникът \(BEC\) също е равнобедрен и \(BE = EC\) .

В крайна сметка \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), тоест \(AB = CD\), което трябваше да бъде доказано.

2) Нека \(AC=BD\) . защото \(\триъгълник AOD\sim \триъгълник BOC\), тогава обозначаваме техния коефициент на подобие като \(k\) . Тогава ако \(BO=x\) , тогава \(OD=kx\) . Подобно на \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

защото \(AC=BD\) , след това \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Това означава, че \(\триъгълник AOD\) е равнобедрен и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Така според първия знак \(\триъгълник ABD=\триъгълник ACD\) (\(AC=BD, \ъгъл OAD=\ъгъл ODA, AD\)- общ). И така, \(AB=CD\) , защо.

FGKOU "MKK" Пансион за ученици на Министерството на отбраната на Руската федерация"

"ОДОБРЕНО"

Ръководител на отделна дисциплина

(математика, компютърни науки и ИКТ)

Ю. В. Крилова _____________

"___" _____________ 2015 г

« Трапецът и неговите свойства»

Методическа разработка

учител по математика

Шаталина Елена Дмитриевна

Прегледани и

на срещата на PMO от _______________

Протокол №______

Москва

2015 г

Съдържание

Въведение 2

Дефиниции 3

Свойства на равнобедрен трапец 4

Вписана и описана окръжност 7

Свойства на вписани и описани трапеци 8

Средни стойности в трапец 12

Свойства на произволен трапец 15

Знаци на трапец 18

Допълнителни конструкции в трапец 20

Площ на трапец 25

10. Заключение

Библиография

Приложение

Доказателство за някои свойства на трапеца 27

Задачи за самостоятелна работа

Задачи по темата „Трапец“ с повишена сложност

Прегледен тест по темата „Трапец“

Въведение

тази работае посветен на геометрична фигура, наречена трапец. „Обикновена фигура“, казвате вие, но не е така. Той е изпълнен с много тайни и мистерии; ако се вгледате по-отблизо и го проучите по-нататък, ще откриете много нови неща в света на геометрията; проблеми, които не са били решени преди, ще ви се сторят лесни.

Трапец - гръцката дума trapezion - „маса“. Заемане през 18 век от лат. език, където trapezion е гръцки. Това е четириъгълник, чиито две срещуположни страни са успоредни. За първи път трапецът се среща от древногръцкия учен Посидоний (2 век пр.н.е.). В живота ни има много различни фигури. В 7 клас се запознахме отблизо с триъгълника, в 8 клас училищна програмазапочнахме да изучаваме трапеца. Тази фигура ни заинтересува, а в учебника недопустимо малко пише за нея. Затова решихме да вземем този въпрос в наши ръце и да намерим информация за трапеца. неговите свойства.

В работата се разглеждат свойства, познати на учениците от материала, разгледан в учебника, но най-вече непознати свойства, които е необходимо да се решат сложни задачи. как повече количествопроблемите се решават, толкова повече въпроси възникват при решаването им. Отговорът на тези въпроси понякога изглежда като мистерия; изучавайки нови свойства на трапеца, необичайни методи за решаване на проблеми, както и техниката на допълнителни конструкции, ние постепенно откриваме тайните на трапеца. В интернет, ако го въведете в търсачката, има много малко литература за методи за решаване на задачи по темата „трапец“. В процеса на работа по проекта беше намерено голямо количество информация, която ще помогне на учениците при задълбочено изучаване на геометрията.

Трапец.

Дефиниции

Трапец – четириъгълник, в който само едната двойка страни е успоредна (а другата двойка страни не е успоредна).

Успоредните страни на трапеца се наричатпричини. .
Другите две са страничнитеАко страните са равни, той се нарича трапец

равнобедренНарича се трапец, чийто страни имат прави ъгли

правоъгъленСегментът, свързващ средите на страните, се нарича.

средна линия на трапец

2 Разстоянието между основите се нарича височина на трапеца.

3. Свойства на равнобедрен трапец

4

1
. Диагоналите на равнобедрен трапец са равни.

0. Проекцията на страничната страна на равнобедрен трапец върху по-голямата основа е равна на половината от разликата на основите, а проекцията на диагонала е равна на сбора от основите.

3. Вписана и описана окръжност

Ако сборът от основите на трапец е равен на сбора от страните, тогава в него може да се впише окръжност.
д

Ако трапецът е равнобедрен, то около него може да се опише окръжност.

4 . Свойства на вписани и описани трапеци

2.Ако в равнобедрен трапец може да се впише окръжност, то

4 . сборът от дължините на основите е равен на сбора от дължините на страните. Следователно дължината на страничната страна е равна на дължината на средната линия на трапеца.

Ако окръжност е вписана в трапец, то страните от центъра му се виждат под ъгъл 90°. Ако окръжност е вписана в трапец и докосва една от страните, тя го разделя на сегментим , и н

1

0 тогава радиусът на вписаната окръжност е равен на средното геометрично на тези сегменти.

. Ако една окръжност е построена върху по-малката основа на трапец като диаметър, минава през средните точки на диагоналите и докосва долната основа, тогава ъглите на трапеца са 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Средни стойности в трапец

Средна геометрична Във всеки трапец с основи а И b За > аb :

неравенството е вярно

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

1
6. Свойства на произволен трапец

2. Ъглополовящите на ъглите, съседни на една от страничните страни на трапеца, са перпендикулярни и се пресичат в точка, лежаща на средната линия на трапеца, т.е. когато се пресичат, се образува правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на страничната страна.

3. Отсечките от права линия, успоредна на основите на трапеца, пресичащи страничните страни и диагоналите на трапеца, затворени между страничната страна и диагонала, са равни.

Пресечната точка на продължението на страните на произволен трапец, пресечната точка на неговите диагонали и средите на основите лежат на една и съща права линия.

5. При пресичане на диагоналите на произволен трапец се образуват четири триъгълника с общ връх, като триъгълниците, съседни на основите, са подобни, а триъгълниците, съседни на страните, са еднакви по размер (т.е. имат равни площи).

6. Сумата от квадратите на диагоналите на произволен трапец е равна на сумата от квадратите на страничните страни, добавени към удвоения продукт на основите.

д 1 2 + д 2 2 = ° С 2 + д 2 + 2 аб

7
. В правоъгълен трапец разликата в квадратите на диагоналите е равна на разликата в квадратите на основите д 1 2 - д 2 2 = Във всеки трапец с основи 2 – И 2

8 . Правите линии, пресичащи страните на ъгъла, отрязват пропорционални сегменти от страните на ъгъла.

9. Сегмент, успореден на основите и минаващ през точката на пресичане на диагоналите, се разделя наполовина от последния.

7. Признаци на трапец

8 . Допълнителни конструкции в трапец

1. Сегментът, свързващ средните точки на страните, е средната линия на трапеца.

2
. Отсечка, успоредна на една от страничните страни на трапец, единият край на който съвпада със средата на другата странична страна, а другият принадлежи на правата, съдържаща основата.

3
. Ако са дадени всички страни на трапец, през върха на по-малката основа се прекарва права линия, успоредна на страната. Резултатът е триъгълник със страни, равни на страничните страни на трапеца и разликата в основите. Използвайки формулата на Heron, намерете площта на триъгълника, след това височината на триъгълника, която е равна на височината на трапеца.

4

. Височината на равнобедрен трапец, изтеглена от върха на по-малката основа, разделя по-голямата основа на сегменти, единият от които е равен на половината от разликата на основите, а другият на половината от сбора от основите на трапеца, средната линия на трапеца.

5. Височините на трапеца, спуснати от върховете на една основа, изрязват отсечка, равна на първата основа на права линия, съдържаща другата основа.

6
. Отсечка, успоредна на един от диагоналите на трапеца, се прекарва през връх - точка, която е краят на другия диагонал. Резултатът е триъгълник с две страни, равни на диагоналите на трапеца, а третата е равна на сбора от основите

7
.Отсечката, свързваща средите на диагоналите, е равна на половината от разликата на основите на трапеца.

8. Симетралите на ъглите, съседни на една от страничните страни на трапеца, са перпендикулярни и се пресичат в точка, лежаща на средната линия на трапеца, т.е. когато се пресичат, се образува правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на страничната страна.

9. Симетралата на трапецовиден ъгъл отсича равнобедрен триъгълник.

1
0. Диагоналите на произволен трапец, когато се пресичат, образуват два подобни триъгълника с коефициент на подобие, равен на отношението на основите, и два равни триъгълника, съседни на страничните страни.

1
1. Диагоналите на произволен трапец, когато се пресичат, образуват два подобни триъгълника с коефициент на подобие, равен на съотношението на основите, и два равни триъгълника, съседни на страничните страни.

1
2. Продължаването на страните на трапеца до пресечната точка позволява да се разглеждат подобни триъгълници.

13. Ако в равнобедрен трапец е вписана окръжност, изчислете височината на трапеца - средното геометрично на произведението на основите на трапеца или два пъти средното геометрично на произведението на сегментите на страничната страна, в която той се разделя от точката на допир.

9. Площ на трапец

1 . Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на основите и височината С = ½( За + а) чили

П

Площта на трапеца е равна на произведението на средната линия на трапеца и неговата височина С = Ако окръжност е вписана в трапец и докосва една от страните, тя го разделя на сегменти ч .

2. Площта на трапец е равна на произведението на страна и перпендикуляр, изтеглен от средата на другата страна към линията, съдържаща първата страна.

Площ на равнобедрен трапец с радиус на вписана окръжност, равен на rи ъгъл в основатаα :

10. Заключение

КЪДЕ, КАК И ЗА КАКВО СЕ ИЗПОЛЗВА ТРАПЕЦЪТ?

Трапецът в спорта: Трапецът със сигурност е прогресивно изобретение на човечеството. Създаден е да облекчи ръцете ни и да превърне уиндсърфа в удобна и лесна почивка. Ходенето на къса дъска изобщо няма смисъл без трапец, тъй като без него е невъзможно правилното разпределение на тягата между стъпалото и краката и ефективното ускоряване.

Трапецът в модата: Трапецът в облеклото е бил популярен през Средновековието, в романската епоха от 9-11 век. През този период осн Дамски дрехиТе направиха туники с дължина до пода, туниката се разширяваше значително към дъното, което създаваше трапецовиден ефект. Възраждането на силуета става през 1961 г. и се превръща в химн на младостта, независимостта и изтънчеността. Крехкият модел Лесли Хорнби, известна като Туиги, изигра огромна роля в популяризирането на трапеца. Ниско момиче с анорексично телосложение и огромни очи се превърна в символ на епохата, а любимите й тоалети бяха къси рокли.

Трапец в природата: Трапец също се среща в природата. Хората имат трапецовиден мускул, а някои хора имат лице с трапецовидна форма. Венчелистчетата на цветята, съзвездията и разбира се планината Килиманджаро също имат трапецовидна форма.

Трапецът в ежедневието: Трапецът се използва и в ежедневието, защото формата му е практична. Намира се в такива предмети като: кофа на багер, маса, винт, машина.

Трапецът е символ на архитектурата на инките. Доминиращата стилова форма в архитектурата на инките е проста, но изящна - трапецът. Той има не само функционално значение, но и строго ограничено украса. Трапецовидни врати, прозорци и стенни ниши се срещат в сгради от всякакъв тип, както в храмове, така и в по-малки сгради с по-груба конструкция, така да се каже. Трапецът също се намира в модерна архитектура. Тази форма на сгради е необичайна, така че такива сгради винаги привличат погледите на минувачите.

Трапецът в технологиите: Трапецът се използва при проектирането на части в космическите технологии и авиацията. Например някои слънчеви панели космически станцииимат формата на трапец, защото имат голяма площ, което означава, че акумулират повече слънчева енергия

В 21 век хората практически вече не мислят за смисъла геометрични формив живота им. Изобщо не ги интересува каква е формата на бюрото, очилата или телефона им. Те просто избират формата, която е практична. Но използването на обекта, неговата цел и резултатът от работата могат да зависят от формата на това или онова нещо. Днес ви запознахме с едно от най-големите постижения на човечеството – трапецът. Отворихме вратата за вас невероятен святфигури, ви разкри тайните на трапеца и ви показа, че геометрията е навсякъде около нас.

Библиография

Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Теория и проблеми на математиката. книга 1 Урокза кандидатстващи М.1998 Издателство МЕИ.

Биков А.А., Малишев Г.Ю., Факултет за предуниверситетско обучение на GUVS. Математика. Учебно-методическо ръководство 4 част М2004

Гордин Р.К. Планиметрия. Проблемна книга.

Иванов А.А. Иванов A.P., Математика: Ръководство за подготовка за Единен държавен изпит и прием в университети - M: Издателство на MIPT, 2003-288p. ISBN 5-89155-188-3

Пиголкина Т. С., Министерство на образованието и науката на Руската федерация, федерален държавен бюджет образователна институциядопълнително образование за деца "ZFTSH Московски физико-технологичен институт ( държавен университет)". Математика. Планиметрия. Задачи № 2 за 10 клас (2012-2013 учебна година).

Пиголкина Т. С., Планиметрия (част 1) Математическа енциклопедия на абитуриента. М., Издателство на Руски открит университет 1992 г.

Шаригин И. Ф. Избрани задачи по геометрия за конкурсни изпити в университетите (1987-1990 г.) Лвовско списание “Квантор” 1991 г.

Енциклопедия "Аванта плюс", Математика М., Светът на енциклопедиите Аванта 2009 г.

Приложение

1. Доказателство за някои свойства на трапеца.

1. Права линия, минаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапец, успоредна на основите му, пресича страничните страни на трапеца в точкитеК И Л . Докажете, че ако основите на трапец са равни А а И , Че дължина на сегмента KL равно на средното геометрично на основите на трапеца. Доказателство

ПозволявамОТНОСНО - точка на пресичане на диагонали,AD = а, слънце = И . Директен KL успоредно на основатаAD , следователно,К ОТНОСНО║ AD , триъгълнициIN К ОТНОСНО ИЛОШО са подобни, следователно

(1)

(2)

Нека заместим (2) в (1), получаваме KO =

По същия начин Л.О.= Тогава К Л = К.О. + Л.О. =

IN За всеки трапец средната точка на основите, пресечната точка на диагоналите и пресечната точка на продължението на страничните страни лежат на една и съща права линия.

Доказателство: Нека продълженията на страните се пресичат в точкатаДА СЕ. През точкатаДА СЕ и точкаОТНОСНО диагонални пресичаниянека начертаем права линия CO.

К

Нека докажем, че тази права дели основите наполовина.

ОТНОСНО значителноVM = x, MS = y, АН = И, ND = v . Ние имаме:

∆ VKM ~ ∆AKN →

М

х

Б

° С

Y

∆ МК ° С ~ ∆NKD → →