Разделяне на прости дроби. Умножение на прости и смесени дроби с различни знаменатели

Съдържание на урока

Събиране на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида събиране на дроби:

1. Събиране на дроби с същите знаменатели
2. Събиране на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим събирането на дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен. Например, нека съберем дробите и . Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако добавите пица към пица, получавате пица:

Пример 2.Добавете дроби и .

Отговорът не беше правилна дроб. Когато дойде краят на задачата, обичайно е да се отървете от неправилните дроби. За да се отървете от неправилна дроб, трябва да изберете цялата част от нея. В нашия случай цялата част се изолира лесно - две делено на две е равно на едно:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си спомним за пица, която е разделена на две части. Ако добавите още пица към пицата, получавате една цяла пица:

Пример 3. Добавете дроби и .

Отново събираме числителите и оставяме знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако добавите още пица към пицата, получавате пица:

Пример 4.Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят да се остави непроменен:

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пици към една пица и добавите още пици, получавате 1 цяла пица и повече пици.

Както можете да видите, няма нищо сложно в събирането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да добавите дроби с еднакъв знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;

Събиране на дроби с различни знаменатели

Сега нека научим как да събираме дроби с различни знаменатели. При събиране на дроби знаменателите на дробите трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.

Например, дроби могат да се събират, защото имат еднакви знаменатели.

Но дробите не могат да се добавят веднага, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същ (общ) знаменател.

Има няколко начина за намаляване на дробите до един и същи знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като другите методи може да изглеждат сложни за начинаещ.

Същността на този метод е, че първо се търси LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първата допълнителен множител. Те правят същото и с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител.

След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.

Пример 1. Нека съберем дробите и

Първо, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега да се върнем към дробите и . Първо, разделете LCM на знаменателя на първата дроб и вземете първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.

Полученото число 2 е първият допълнителен фактор. Записваме го до първата дроб. За да направите това, направете малка наклонена линия над фракцията и запишете допълнителния фактор, намерен над нея:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен множител. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.

Полученото число 3 е вторият допълнителен множител. Записваме го до втората дроб. Отново правим малка наклонена линия над втората дроб и записваме допълнителния фактор, намерен над нея:

Сега имаме всичко готово за добавяне. Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители:

Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби. Нека вземем този пример до края:

Това завършва примера. Оказва се да добавите .

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пица към пица, получавате една цяла пица и още една шеста от пица:

Намаляването на дроби до един и същи (общ) знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки дробите и до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица. Единствената разлика ще бъде, че този път те ще бъдат разделени на равни части (приведени към един знаменател).

Първият чертеж представлява дроб (четири части от шест), а вторият чертеж представлява дроб (три части от шест). Добавяйки тези парчета, получаваме (седем парчета от шест). Тази дроб е неправилна, затова подчертахме цялата й част. В резултат на това получихме (една цяла пица и още една шеста пица).

Моля, обърнете внимание, че сме описали този пример твърде подробно. IN образователни институцииНе е прието да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM на двата знаменателя и допълнителните множители към тях, както и бързо да умножите намерените допълнителни множители по вашите числители и знаменатели. Ако бяхме в училище, трябваше да напишем този пример по следния начин:

Но има и друга страна на монетата. Ако не си водите подробни бележки в първите етапи на изучаване на математика, тогава започват да се появяват въпроси от този сорт. „Откъде идва това число?“, „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.

За да улесните добавянето на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:

1. Намерете LCM на знаменателите на дробите;
2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб;
3. Умножете числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители;
4. Съберете дроби с еднакви знаменатели;
5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, изберете цялата й част;

Пример 2.Намерете стойността на израз .

Нека използваме инструкциите, дадени по-горе.

Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дробите

Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4

Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб

Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го над първата дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получаваме втория допълнителен множител 4. Записваме го над втората дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен множител 3. Записваме го над третата дроб:

Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по техните допълнителни множители

Умножаваме числителите и знаменателите по техните допълнителни множители:

Стъпка 4. Добавете дроби с еднакви знаменатели

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Всичко, което остава, е да съберем тези дроби. Добавете го:

Добавката не се побираше на един ред, така че преместихме оставащия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато израз не се побира на един ред, той се премества на следващия ред, като е необходимо да се постави знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на новия ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който беше на първия ред.

Стъпка 5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, маркирайте цялата част от нея

Нашият отговор се оказа неправилна дроб. Трябва да подчертаем цяла част от него. Подчертаваме:

Получихме отговор

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида изваждане на дроби:

1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим как да изваждаме дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, но да оставите знаменателя същия.

Например, нека намерим стойността на израза. За да решите този пример, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен. Да го направим:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 2.Намерете стойността на израза.

Отново от числителя на първата дроб извадете числителя на втората дроб и оставете знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:

Както можете да видите, няма нищо сложно в изваждането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен;
2. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава трябва да подчертаете цялата част от нея.

Изваждане на дроби с различни знаменатели

Например, можете да извадите дроб от дроб, защото дробите имат еднакви знаменатели. Но не можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същ (общ) знаменател.

Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събиране на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Тогава LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител, който се записва над първата дроб. По същия начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител, който се записва над втората дроб.

След това дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби.

Пример 1.Намерете значението на израза:

Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.

Първо, намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега да се върнем към дробите и

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Напишете четири над първата дроб:

Правим същото с втората фракция. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Напишете тройка върху втората дроб:

Сега сме готови за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека вземем този пример до края:

Получихме отговор

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако изрежете пица от пица, ще получите пица

Това е подробната версия на решението. Ако бяхме в училище, щяхме да решаваме този пример по-кратко. Такова решение би изглеждало така:

Намаляването на дроби до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки тези дроби до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица, но този път ще бъдат разделени на равни части (намалени до същия знаменател):

Първата снимка показва дроб (осем части от дванадесет), а втората картина показва дроб (три части от дванадесет). Като изрежем три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Дробта описва тези пет части.

Пример 2.Намерете стойността на израз

Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.

Нека намерим LCM на знаменателите на тези дроби.

Знаменателите на дробите са числата 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на всяка дроб.

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го над първата дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го над втората дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделяме 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го над третата дроб:

Сега всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.

Продължението на примера няма да се побере на един ред, затова преместваме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на новия ред:

Отговорът се оказа обикновена дроб и изглежда, че всичко ни подхожда, но е твърде тромаво и грозно. Трябва да го направим по-просто. Какво може да се направи? Можете да съкратите тази фракция.

За да намалите дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на (НОД) на числата 20 и 30.

И така, намираме gcd на числата 20 и 30:

Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дробта на намерения gcd, тоест на 10

Получихме отговор

Умножение на дроб по число

За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на дробта по това число и да оставите знаменателя непроменен.

Пример 1. Умножете дроб по числото 1.

Умножете числителя на дробта по числото 1

Записът може да се разбира като отнемащ половин 1 път. Например, ако вземете пица веднъж, ще получите пица

От законите на умножението знаем, че ако умножаемото и множителят се разменят, произведението няма да се промени. Ако изразът е записан като , тогава произведението пак ще бъде равно на . Отново правилото за умножение на цяло число и дроб работи:

Тази нотация може да се разбира като вземане на половината от едно. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на дробта по 4

Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:

Изразът може да се разбира като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете 4 пици, ще получите две цели пици

И ако разменим множителя и множителя, получаваме израза . То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:

Числото, което се умножава по дробта, и знаменателят на дробта се разрешават, ако имат общ делител, по-голямо от едно.

Например, един израз може да бъде изчислен по два начина.

Първи начин. Умножете числото 4 по числителя на дробта и оставете знаменателя на дробта непроменен:

Втори начин. Четирите, които се умножават, и четирите в знаменателя на дробта могат да бъдат намалени. Тези четворки могат да бъдат намалени с 4, тъй като най-големият общ делител за две четворки е самата четворка:

Получихме същия резултат 3. След намаляване на четворките на тяхно място се образуват нови числа: две единици. Но умножаването на едно по три и след това деленето на едно не променя нищо. Следователно решението може да се напише накратко:

Редукцията може да се извърши дори когато решихме да използваме първия метод, но на етапа на умножаване на числото 4 и числителя 3 решихме да използваме редукцията:

Но например изразът може да се изчисли само по първия начин - умножете 7 по знаменателя на дробта и оставете знаменателя непроменен:

Това се дължи на факта, че числото 7 и знаменателят на дробта нямат общ делител, по-голям от едно, и съответно не се съкращават.

Някои ученици погрешно съкращават числото, което се умножава, и числителя на дробта. не можеш да направиш това Например следният запис не е правилен:

Намаляването на дроб означава това както числител, така и знаменателще бъдат разделени на същото число. В ситуацията с израза делението се извършва само в числителя, тъй като писането е същото като писането . Виждаме, че делението се извършва само в числителя, а в знаменателя не се дели.

Умножение на дроби

За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, трябва да подчертаете цялата част от нея.

Пример 1.Намерете стойността на израза.

Получихме отговор. Препоръчително е тази фракция да се намали. Дробта може да се намали с 2. Тогава окончателното решение ще приеме следната форма:

Изразът може да се разбира като вземане на пица от половин пица. Да кажем, че имаме половин пица:

Как да вземем две трети от тази половина? Първо трябва да разделите тази половина на три равни части:

И вземете две от тези три части:

Ще направим пица. Припомнете си как изглежда пицата, разделена на три части:

Едно парче от тази пица и двете парчета, които взехме, ще имат еднакви размери:

С други думи, говорим за пица с еднакъв размер. Следователно стойността на израза е

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът се оказа обикновена дроб, но би било добре да бъде съкратен. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-големия общ делител (НОД) на числата 105 и 450.

И така, нека намерим gcd на числата 105 и 450:

Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на gcd, който намерихме сега, тоест на 15

Представяне на цяло число като дроб

Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като . Това няма да промени значението на пет, тъй като изразът означава "числото пет, разделено на едно", а това, както знаем, е равно на пет:

Реципрочни числа

Сега ще се запознаем с много интересна темапо математика. Нарича се "обратни числа".

Определение. Обратно на номера е число, което, когато се умножи поа дава едно.

Нека заместим в това определение вместо променливата аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:

Обратно на номер 5 е число, което, когато се умножи по 5 дава едно.

Възможно ли е да се намери число, което, умножено по 5, дава единица? Оказва се, че е възможно. Нека си представим пет като дроб:

След това умножете тази дроб сама по себе си, просто разменете числителя и знаменателя. С други думи, нека умножим дробта сама по себе си, само с главата надолу:

Какво ще се случи в резултат на това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:

Това означава, че обратното на числото 5 е числото , тъй като когато умножите 5 по, получавате едно.

Реципрочната стойност на число може да се намери и за всяко друго цяло число.

намирам реципрочно числоВъзможно е и всяка друга фракция. За да направите това, просто го обърнете.

Деление на дроб на число

Да кажем, че имаме половин пица:

Нека го разделим поравно между две. Колко пица ще получи всеки човек?

Вижда се, че след разделянето на половината пица се получават две еднакви парчета, всяко от които представлява пица. Така че всеки получава пица.

Умножение и деление на дроби.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Тази операция е много по-хубава от събиране-изваждане! Защото е по-лесно. Като напомняне, за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите (това ще бъде числителят на резултата) и знаменателите (това ще бъде знаменателят). Това е:

Например:

Всичко е изключително просто. И моля, не търсете общ знаменател! Тук няма нужда от него...

За да разделите дроб на дроб, трябва да обърнете второ(това е важно!) дроб и ги умножете, т.е.:

Например:

Ако срещнете умножение или деление с цели числа и дроби, всичко е наред. Както при събирането, правим дроб от цяло число с единица в знаменателя - и давай! Например:

В гимназията често трябва да се справяте с триетажни (или дори четириетажни!) фракции. Например:

Как може да се преобразува тази дроб в приличен вид? Да, много просто! Използвайте разделяне на две точки:

Но не забравяйте за реда на разделяне! За разлика от умножението, тук това е много важно! Разбира се, няма да бъркаме 4:2 или 2:4. Но е лесно да се направи грешка в триетажна част. Моля, обърнете внимание например:

В първия случай (израз вляво):

Във втория (израз вдясно):

Усещате ли разликата? 4 и 1/9!

Какво определя реда на разделяне? Или със скоби, или (както тук) с дължината на хоризонталните линии. Развийте окото си. И ако няма скоби или тирета, като:

след това разделете и умножете по ред, отляво надясно!

И още една много проста и важна техника. В действия със степени ще ви бъде толкова полезно! Нека разделим едно на произволна дроб, например на 13/15:

Кадърът се обърна! И това винаги се случва. Когато разделите 1 на която и да е дроб, резултатът е същата дроб, само обърната.

Това са всички операции с дроби. Нещото е доста просто, но дава повече от достатъчно грешки. Забележка практически съвети, и ще има по-малко от тях (грешки)!

Практически съвети:

1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Това не са общи думи, не са добри пожелания! Това е крайна необходимост! Направете всички изчисления на Единния държавен изпит като пълноценна задача, фокусирана и ясна. По-добре е да напишете два допълнителни реда в черновата си, отколкото да се объркате, когато правите умствени изчисления.

2. В примерите със различни видоведроби - отидете на обикновени дроби.

3. Намаляваме всички фракции, докато спрат.

4. Редуцираме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме деление през две точки (следваме реда на разделяне!).

5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.

Ето задачите, които определено трябва да решите. След всички задачи се дават отговори. Използвайте материалите по тази тема и практически съвети. Преценете колко примера сте успели да решите правилно. Първият път! Без калкулатор! И си направи правилните изводи...

Запомнете – верният отговор е получено от втори (особено трети) път не се брои!Такъв е суровият живот.

Така, решаване в изпитен режим ! Това между другото вече е подготовка за Единния държавен изпит. Решаваме примера, проверяваме го, решаваме следващия. Решихме всичко - проверихме отново от първия до последния. Но само Тогававижте отговорите.

Изчисли:

Реши ли?

Търсим отговори, които отговарят на вашите. Нарочно ги записах безредно, далеч от изкушението, така да се каже... Ето ги и отговорите, написани с точка и запетая.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Сега правим изводи. Ако всичко се получи, радвам се за вас! Основните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. Ако не...

Така че имате един от двата проблема. Или и двете наведнъж.) Липса на знания и (или) невнимание. Но това разрешими проблеми.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва обект не като цяло, а на отделни части. Започнете да изучавате тази тема - споделя. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи обект. В края на краищата не винаги е възможно да се изрази, например, дължината или цената на даден продукт като цяло число или дялове от някаква мярка; Образувана от глагола „разделяне“ - разделяне на части и имаща арабски корени, самата дума „фракция“ възниква на руски език през 8 век.

Дробните изрази отдавна се смятат за най-трудния дял от математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат ​​„счупени числа“, което е много трудно за разбиране от хората.

Модерна визияпрости дробни остатъци, чиито части са разделени с хоризонтална линия, са били насърчавани за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножават смесени дроби с различни знаменатели.

Умножение на дроби с различни знаменатели

Първоначално си струва да се определи видове дроби:

• правилно;
• неправилно;
• смесен.

След това трябва да запомните как се умножават дробни числа с еднакви знаменатели. Самото правило на този процес не е трудно да се формулира независимо: резултатът от умножаването на прости дроби с еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. . Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от съществуващите.

При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:

а/b * ° С/д = а*в / b*d.

Единствената разлика е, че образувано числопод дробната линия ще бъде продукт от различни числа и, естествено, не може да се нарече квадрат на един цифров израз.

Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната линия не могат да бъдат намалени.

Наред с простите дроби съществува понятието смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как работи умножението?

Дадени са няколко примера за разглеждане.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, правилото за това действие може да се запише като:

а* б/° С = а*б/° С.

Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Има друго решение за умножаване на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:

д* д/f = д/е: г.

Тази техника е полезна за използване, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, на цяло число.

Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Този пример включва начин за представяне на смесена дроб като неправилна дроб и може също да бъде представена като обща формула:

а b° С = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се формира чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му с числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.

Този процес работи и в обратна посока. За да разделите цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на нейния знаменател с помощта на „ъгъл“.

Умножение на неправилни дробипроизведени по общоприет начин. Когато пишете под една дробна линия, трябва да намалите дробите, ако е необходимо, за да намалите числата с помощта на този метод и да улесните изчисляването на резултата.

В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи в различни варианти на програми. Достатъчно количествоТакива услуги предлагат своята помощ при броене на умножение на дроби с различни числа в знаменателите - така наречените онлайн калкулатори за изчисляване на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. Не е трудно да се работи с него; попълнете съответните полета на страницата на уебсайта, изберете знака на математическата операция и щракнете върху „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.

Темата за аритметичните действия с дроби е актуална за цялото обучение на учениците от средните и средните класове. В гимназията вече не разглеждат най-простите видове, но цели дробни изрази, но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни знания дават пълна увереност в успешно решениеповечето сложни задачи.

В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е част. Не е във властта на човек да увеличи своя числител - своите заслуги - но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и с това намаляване да се доближи до своето съвършенство.

Рано или късно всички деца в училище започват да учат дроби: тяхното събиране, деление, умножение и всички възможни операции, които могат да се извършват с дроби. За да осигурят правилна помощ на детето, самите родители не трябва да забравят как да разделят числата на дроби, в противен случай няма да можете да му помогнете по никакъв начин, а само ще го объркате. Ако трябва да запомните това действие, но просто не можете да поставите цялата информация в главата си в едно правило, тогава тази статия ще ви помогне: ще научите как да разделите число на дроб и ще видите ясни примери.

Как да разделим число на дроб

Запишете примера си като груба чернова, за да можете да правите бележки и изтривания. Не забравяйте, че цялото число се записва между клетките, точно в пресечната им точка, а дробните числа се записват всяко в своята клетка.

• При този метод трябва да обърнете дроба с главата надолу, тоест да напишете знаменателя в числителя, а числителя в знаменателя.
• Знакът за деление трябва да се промени на умножение.
• Сега всичко, което трябва да направите, е да извършите умножението според правилата, които вече сте научили: числителят се умножава по цяло число, но не докосвате знаменателя.

Разбира се, в резултат на такова действие ще получите много голямо числов числителя. Не можете да оставите дроб в това състояние - учителят просто няма да приеме този отговор. Намалете дроба, като разделите числителя на знаменателя. Напишете полученото цяло число вляво от дробта в средата на клетките, а остатъкът ще бъде новият числител. Знаменателят остава непроменен.

Този алгоритъм е доста прост, дори за дете. След като го изпълни пет или шест пъти, детето ще запомни процедурата и ще може да я приложи към всякакви дроби.

Как да разделим число на десетична запетая

Има и други видове дроби - десетични. Разделянето на тях става по съвсем различен алгоритъм. Ако срещнете такъв пример, следвайте инструкциите:

• За да започнете, превърнете и двете числа в десетични знаци. Това е лесно да се направи: вашият делител вече е представен като дроб и вие разделяте естественото число, което се дели със запетая, получавайки десетична дроб. Тоест, ако дивидентът е 5, получавате дробта 5,0. Трябва да разделите число с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая и делителя.
• След това трябва да направите и двете десетични дроби естествени числа. В началото може да изглежда малко объркващо, но е най-много бърз начинделение, което ще ви отнеме секунди след няколко тренировки. Дробта 5.0 ще стане числото 50, дробта 6.23 ще стане 623.
• Направете разделението. Ако числата се окажат големи или разделянето ще се случи с остатък, направете го в колона. По този начин можете ясно да видите всички действия този пример. Не е необходимо да поставяте запетая нарочно, тъй като тя ще се появи сама по време на дългия процес на разделяне.

Този тип деление първоначално изглежда твърде объркващо, тъй като трябва да превърнете дивидента и делителя в дроб и след това обратно в цели числа. Но след кратка практика веднага ще започнете да виждате онези числа, които просто трябва да разделите едно на друго.

Не забравяйте, че способността за правилно разделяне на дроби и цели числа от тях може да бъде полезна много пъти в живота, следователно детето трябва да знае перфектно тези правила и прости принципи, така че в по-горните класове те да не се превърнат в препъникамък, поради което детето не може да решава по-сложни задачи.

ПРЕДМЕТ: Деление на дроби.

• Усвояване на правилата за деление на дроби; Формиране на основни умения за деление на дроби;
• развитие на основни умения за разделяне на дроби с помощта на основния алгоритъм; Развитие на вниманието логично мислене;
• възпитаване на интерес към изучаването на предмета и умение за работа в групи.

ПЛАН НА УРОКА:

1. Организационен момент.

2. Устна работа, водеща до ново правило.

3. Въвеждане на дефиницията.

4. Работа с карти за майсторство.

5. Физически упражнения.

6. Устна работа „намерете грешката“.

7. Закрепване: верижни изчисления.

8. Обобщаване на урока.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

1) Днес в клас, момчета, трябва да свършим сериозна работа. Ще ви трябва постоянство, желание, внимание, последователност и коректност при изпълнение на задачите.

Устна работа: напишете обратното на това число:

2) Как можете да проверите дали операцията за умножение е извършена правилно? (Чрез действието на разделяне).

Не знаем как се делят дробите. Време е да се запознаете с това ново действие.

Разделянето и разделянето понякога може да бъде трудно, така че самата операция по разделяне на дроби изисква специално внимание.

Нека си припомним какво представлява делението като математическа операция? (действие, обратно на умножението; действие, когато един от множителите и произведението се използват за намиране на друг множител).

Сега заедно ще се опитаме да видим правило за деление на дроби, което е ново за нас, докато разглеждаме следващата задача.

Сега нашите решения ще се разминават.

Какви предложения имате за решаване на това уравнение?

Първо, ние знаем как да решаваме такива уравнения, като използваме концепцията за реципрочни числа (достатъчно е да умножим двете страни на уравнението по обратното на коефициента на променливата X).

Второ, знаем стандартното правило за намиране неизвестен множител(произведението трябва да бъде разделено на известен фактор).

Нека разгледаме и двата случая:

Погледнете внимателно двата получени израза за намиране на стойността на X. Това са отговори на една и съща задача, което означава, че отговорите трябва да са еднакви. В единия случай умножаваме по 7/6, а в другия делим на 6/7.

Откриваме, че когато се раздели на 6/7, трябва да се получи същият отговор, ако се умножи по 7/6. Това означава, че смисълът на деленето на дроби се свежда до умножаване по реципрочната стойност на делителя. Това не е случайна функция, която забелязахме.

Въведете новото правило на страница 100 от учебника, повторете няколко пъти, попитайте няколко ученици по памет.

3) Използвайки наученото правило, разгледайте приложението му в различни примери .

Децата получават специални карти, които попълват заедно с учителя, с коментари от мястото. Трябва да помислите за разделяне на дроб на дроб, деление на естествено число на дроб и дроби на естествено число и деление на смесени числа. При попълване децата повтарят правилото. Обърнете специално внимание на три етапа при извършване на разделяне: дивидентът остава непроменен; деленето се заменя с умножение; умножете по обратното на делителя.

	дивизия дроби	Приложение правила дивизии	правило умножение	Преобразуване
	5/7: 3/4 =	5/7 * 4/3=	(5*4) / (7*3) =	20/21	20/21
	5: 2/5 =	5 *
7/8: 2 =	7/8: 2/1=	7/8 *
4 1/2: 1 1/2=	9/2: 3/2 =	9/2 *

На гърба на картата има три задачи, които децата решават, след като попълнят картата на място, след което проверяват решенията и получените резултати.

РЕШЕТЕ САМИ

1. 4/6: 3 =

2. 8: 4/5 =

3 . 1 2/3: 1 1/10 =

4) Провеждане на физически упражнения.

5) Етап на усвояване на определението.

Нека да проверим как научихте днешното правило и да разберете колко сте внимателни: „ОТКРИЕТЕ ГРЕШКАТА“

6) Решаване на задачи от учебника: No 619 (а, б, г).

7) Работа в групи. Децата се редуват да излизат до дъската и да записват решението на примера.

8) Много добре. Много добре. Нека да обобщим:

Какво ново научихте в клас днес?

Как се делят дробите?

Какво представляват реципрочните числа?

Вкъщи:Правило № 617.