حل المعادلات الخطية البسيطة. المعادلات الخطية. الحل، الأمثلة

كيف تتعلم حل المعادلات البسيطة والمعقدة

الأباء الأعزاء!

بدون التدريب الرياضي الأساسي، التعليم مستحيل الإنسان المعاصر. في المدرسة، تعتبر الرياضيات مادة داعمة للعديد من التخصصات ذات الصلة. وفي الحياة ما بعد المدرسة، يصبح التعليم المستمر ضرورة حقيقية، الأمر الذي يتطلب التدريب الأساسي على مستوى المدرسة، بما في ذلك الرياضيات.

في مدرسة إبتدائيةلا يتم وضع المعرفة فقط على الموضوعات الرئيسية، ولكنها تتطور أيضًا التفكير المنطقيوالخيال والتمثيلات المكانية، فضلاً عن الاهتمام بهذا الموضوع.

ومراعاة لمبدأ الاستمرارية سنركز على الموضوع الأهم وهو "علاقة مكونات الفعل في حل المعادلات المركبة".

بمساعدة هذا الدرس، يمكنك بسهولة تعلم كيفية حل المعادلات المعقدة. في هذا الدرس ستتعرف تعليمات خطوه بخطوهحلول المعادلات المعقدة.

يحير الكثير من الآباء السؤال: كيف نجعل أطفالنا يتعلمون كيفية حل المعادلات البسيطة والمعقدة. إذا كانت المعادلات بسيطة - فهذا لا يزال نصف المشكلة، ولكن هناك أيضًا معادلات معقدة - على سبيل المثال، متكاملة. بالمناسبة، للحصول على معلومات، هناك أيضًا مثل هذه المعادلات التي تكافح أفضل العقول في كوكبنا لحلها ويتم إصدار جوائز نقدية كبيرة جدًا لحلها. على سبيل المثال، إذا كنت تتذكربيرلمانومكافأة نقدية لم يطالب بها أحد تبلغ عدة ملايين.

لكن لنعد إلى البداية إلى المعادلات الرياضية البسيطة ونكرر أنواع المعادلات وأسماء مكوناتها. القليل من الاحماء:

_________________________________________________________________________

تسخين

ابحث عن الرقم الإضافي في كل عمود:

2) ما هي الكلمة المفقودة في كل عمود؟

3) صل بين كلمات العمود الأول وكلمات العمود الثاني.

"المعادلة" "المساواة"

4) كيف تفسر ما هي "المساواة"؟

5) و"المعادلة"؟ هل هي المساواة؟ ما هو المميز فيه أو ما هو المميز فيها؟

مجموع المصطلح

انخفاض الفرق

طرح المنتج

عاملالمساواة

توزيعات ارباح

المعادلة

الاستنتاج: المعادلة هي مساواة مع متغير يجب إيجاد قيمته.

_______________________________________________________________________

أقترح أن تكتب كل مجموعة المعادلة على قطعة من الورق بقلم فلوماستر: (على السبورة)

المجموعة 1 - بمصطلح غير معروف؛ المجموعة 2 - مع انخفاض غير معروف؛ المجموعة 3 - مع مطروح غير معروف؛ المجموعة 4 - ذات مقسوم غير معروف؛ المجموعة 5 - مع قسمة غير معروفة؛ المجموعة السادسة - بمضاعف غير معروف.

1 مجموعة س + 8 = 15 2 مجموعة س - 8 = 7 3 المجموعة 48 - س = 36 المجموعة الرابعة 540: س = 9 5 المجموعة س: 15 = 9 6 مجموعة × 10 = 360

يجب على أحد أفراد المجموعة قراءة معادلتهم باللغة الرياضية والتعليق على حلها، أي نطق العملية التي يتم تنفيذها بمكونات عمل معروفة (خوارزمية).

الخلاصة: نحن قادرون على حل المعادلات البسيطة بجميع أنواعها وفق الخوارزمية وقراءة وكتابة التعبيرات الحرفية.

أقترح حل المشكلة التي تظهر نوع جديدالمعادلات.

الخلاصة: تعرفنا على حل المعادلات التي يحتوي أحد أجزائها على تعبير عددي، ويجب إيجاد قيمته والحصول على معادلة بسيطة.

________________________________________________________________________

خذ بعين الاعتبار نسخة أخرى من المعادلة، والتي يؤدي حلها إلى حل السلسلة معادلات بسيطة. هنا واحدة من مقدمة المعادلات المركبة.

أ + ب * ج (س - ص): 3 2 * د + (م - ن) هل هي معادلات قياسية؟ لماذا؟ ماذا تسمى هذه التصرفات؟ اقرأها مع تسمية الإجراء الأخير:

لا. هذه ليست معادلات، لأن المعادلة يجب أن تحتوي على علامة "=". التعبيرات أ + ب * ج - مجموع الرقم أ وحاصل ضرب الرقمين ب و ج؛ (x - y): 3 - حاصل الفرق بين الرقمين x وy؛ 2 * د + (م - ن) - مجموع الرقم المضاعف د والفرق بين الرقمين م و ن.

أقترح على الجميع كتابة جملة باللغة الرياضية:

حاصل ضرب الفرق بين العددين x و 4 والرقم 3 هو 15.

الخلاصة: إن موقف المشكلة الذي نشأ يحفز على تحديد هدف الدرس: تعلم كيفية حل المعادلات التي يكون فيها المكون المجهول عبارة. هذه المعادلات هي معادلات مركبة.

__________________________________________________________________________

أو ربما تساعدنا أنواع المعادلات التي تمت دراستها بالفعل؟ (الخوارزميات)

أي من المعادلات المعروفة تشبه معادلتنا؟ × * أ = في

سؤال مهم جدا: ما هو التعبير الموجود على الجانب الأيسر: المجموع أم الفرق أم حاصل الضرب أم خارج القسمة؟

(س - 4) * 3 = 15 (المنتج)

لماذا؟ (لأن الفعل الأخير هو الضرب)

خاتمة:مثل هذه المعادلات لم يتم النظر فيها بعد. ولكن يمكننا أن نقرر ما إذا كان التعبيرس - 4قم بتركيب بطاقة (y - y)، وستحصل على معادلة يمكن حلها بسهولة باستخدام خوارزمية بسيطة للعثور على مكون غير معروف.

عند حل المعادلات المركبة، من الضروري في كل خطوة تحديد الإجراء على المستوى الآلي، والتعليق، وتسمية مكونات الإجراء.

تبسيط الجزء

لا ↓ نعم

(ص - 5) * 4 = 28
ص - 5 = 28: 4
ص - 5 = 7
ص = 5 +7
ص = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (و)

خاتمة:في الفصول ذات الخلفيات المختلفة، يمكن تنظيم هذا العمل بطرق مختلفة. في الفصول الأكثر إعدادًا، حتى بالنسبة للتثبيت الأساسي، يمكن استخدام التعبيرات التي لا تتضمن إجراءين، بل ثلاثة إجراءات أو أكثر، ولكن حلها يتطلب أكثرخطوات مع كل خطوة تبسيط المعادلة حتى يتم الحصول على معادلة بسيطة. وفي كل مرة يمكنك ملاحظة كيف يتغير مكون الإجراءات غير المعروف.

_____________________________________________________________________________

خاتمة:

عندما يتعلق الأمر بشيء بسيط جدًا ومفهوم، غالبًا ما نقول: "الأمر واضح، مثل اثنين في اثنين - أربعة!".

لكن قبل أن تفكر في حقيقة أن اثنين في اثنين يساوي أربعة، كان على الناس أن يدرسوا لعدة آلاف من السنين.

كانت العديد من القواعد من الكتب المدرسية للحساب والهندسة معروفة لدى اليونانيين القدماء منذ أكثر من ألفي عام.

أينما تحتاج إلى حساب شيء ما أو قياسه أو مقارنته، فلا يمكنك الاستغناء عن الرياضيات.

من الصعب أن نتخيل كيف سيعيش الناس إذا لم يعرفوا كيفية العد والقياس والمقارنة. الرياضيات تعلم هذا.

لقد انغمست اليوم في الحياة المدرسية، ولعبت دور الطلاب وأقترح عليك، أيها الآباء الأعزاء، تقييم مهاراتك على نطاق واسع.

مهاراتي	التاريخ والدرجة
مكونات العمل.
رسم معادلة ذات عنصر مجهول.
قراءة وكتابة التعبيرات.
أوجد جذر المعادلة في معادلة بسيطة.
أوجد جذر المعادلة التي يحتوي أحد أجزائها على تعبير عددي.
أوجد جذر المعادلة التي يكون فيها عنصر الإجراء المجهول عبارة.

52. أكثر أمثلة معقدةالمعادلات.
مثال 1 .

5 / (س - 1) - 3 / (س + 1) \u003d 15 / (س 2 - 1)

القاسم المشترك هو x 2 - 1، حيث أن x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). اضرب طرفي هذه المعادلة في x 2 - 1. نحصل على:

أو بعد التخفيض

5(س + 1) - 3(س - 1) = 15

5س + 5 – 3س + 3 = 15

2س=7 و س=3½

النظر في معادلة أخرى:

5 / (س-1) - 3 / (س + 1) \u003d 4 (س 2 - 1)

بالحل كما في الأعلى نحصل على:

5(س + 1) - 3(س - 1) = 4
5س + 5 - 3س - 3 = 4 أو 2س = 2 و س = 1.

دعونا نرى ما إذا كانت المساواة لدينا مبررة إذا استبدلنا x في كل من المعادلات المدروسة بالرقم الموجود.

في المثال الأول نحصل على:

ونحن نرى أنه لا مجال للشك هنا: لقد وجدنا عدداً لـ x بحيث تكون المساواة المطلوبة مبررة.

في المثال الثاني نحصل على:

5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) أو 5/0 - 3/2 = 15/0

وهنا تثور الشكوك: نلتقي هنا بالقسمة على صفر، وهو أمر مستحيل. إذا تمكنا في المستقبل من إعطاء معنى معين، وإن كان غير مباشر، لهذا التقسيم، فيمكننا أن نتفق على أن الحل الموجود x - 1 يرضي معادلتنا. وحتى ذلك الحين، يجب أن نعترف بأن معادلتنا ليس لها حل على الإطلاق له معنى مباشر.

يمكن أن تحدث مثل هذه الحالات عندما يتم تضمين المجهول بطريقة ما في مقامات الكسور في المعادلة، وبعض هذه المقامات تختفي عند العثور على الحل.

مثال 2 .

يمكنك أن ترى على الفور أن هذه المعادلة لها شكل تناسب: نسبة الرقم x + 3 إلى الرقم x - 1 تساوي نسبة الرقم 2x + 3 إلى الرقم 2x - 2. دع شخصًا ما ونظرا لهذا الظرف، تقرر أن تطبق هنا لتحرير المعادلة من الكسور هي الخاصية الرئيسية للنسبة (منتج الحدود المتطرفة يساوي منتج المتوسطات). ثم سيحصل على:

(س + 3) (2س - 2) = (2س + 3) (س - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.

وهنا قد يثير مخاوف من عدم قدرتنا على التعامل مع هذه المعادلة، كون المعادلة تتضمن مصطلحات مع x 2 . ومع ذلك، يمكننا طرح 2x2 من طرفي المعادلة - وهذا لن يكسر المعادلة؛ ثم سيتم تدمير الأعضاء الذين لديهم x 2، ونحصل على:

6س - 2س - 6 = 3س - 2س - 3

دعنا ننقل الحدود المجهولة إلى اليسار، والمحددات المعروفة إلى اليمين - نحصل على:

3س=3 أو س=1

تذكر هذه المعادلة

(س + 3)/(س - 1) = (2س + 3)/(2س - 2)

سنلاحظ على الفور أن القيمة التي تم العثور عليها لـ x (x = 1) تختفي مقامات كل كسر؛ وعلينا أن نتخلى عن هذا الحل حتى نفكر في مسألة القسمة على صفر.

إذا لاحظنا كذلك أن تطبيق خاصية التناسب قد أدى إلى تعقيد الأمور، وأنه يمكن الحصول على معادلة أبسط عن طريق ضرب طرفي المعطى بـ القاسم المشتركأي على 2(x - 1) - بعد كل شيء، 2x - 2 = 2 (x - 1)، فنحصل على:

2(س + 3) = 2س - 3 أو 2س + 6 = 2س - 3 أو 6 = -3،

وهو أمر مستحيل.

ويشير هذا الظرف إلى أن هذه المعادلة ليس لها حلول لها معنى مباشر، مما لا يجعل مقامات هذه المعادلة صفراً.
لنحل المعادلة الآن:

(3س + 5)/(س - 1) = (2س + 18)/(2س - 2)

نضرب طرفي المعادلة 2(س - 1) أي بالمقام المشترك نحصل على:

6س + 10 = 2س + 18

الحل الذي تم العثور عليه لا يبطل المقام وله معنى مباشر:

أو 11 = 11

إذا استخدم شخص ما خاصية التناسب بدلاً من ضرب كلا الجزأين في 2(x - 1)، فسيحصل على:

(3س + 5)(2س - 2) = (2س + 18)(س - 1) أو
6س 2 + 4س - 10 = 2س 2 + 16س - 18.

هنا بالفعل لن يتم إلغاء المصطلحات ذات x 2. وبنقل جميع المصطلحات غير المعروفة إلى الجانب الأيسر، والمصطلحات المعروفة إلى اليمين، سنحصل على ذلك

4x 2 - 12x = -8

× 2 - 3س = -2

لا يمكننا حل هذه المعادلة الآن. في المستقبل، سوف نتعلم كيفية حل مثل هذه المعادلات وإيجاد حلين لها: 1) يمكننا أن نأخذ x = 2 و 2) يمكننا أن نأخذ x = 1. ومن السهل التحقق من كلا الحلين:

1) 2 2 - 3 2 = -2 و 2) 1 2 - 3 1 = -2

إذا تذكرنا المعادلة الأولية

(3س + 5) / (س - 1) = (2س + 18) / (2س - 2)،

سنرى أننا الآن حصلنا على كلا الحلين: 1) x = 2 هو الحل الذي له معنى مباشر ولا يحول المقام إلى صفر، 2) x = 1 هو الحل الذي يحول المقام إلى صفر ولا ليس لها معنى مباشر .

مثال 3 .

لنجد القاسم المشترك للكسور المتضمنة في هذه المعادلة، والذي نقوم بتحليل كل مقام له إلى عوامل:

1) × 2 - 5س + 6 \u003d س 2 - 3س - 2س + 6 \u003d س (س - 3) - 2 (س - 3) \u003d (س - 3) (س - 2)،

2) س 2 - س - 2 \u003d س 2 - 2س + س - 2 \u003d س (س - 2) + (س - 2) \u003d (س - 2) (س + 1)،

3) × 2 - 2س - 3 \u003d س 2 - 3س + س - 3 \u003d س (س - 3) + (س - 3) \u003d (س - 3) (س + 1).

القاسم المشترك هو (س - 3)(س - 2)(س + 1).

اضرب طرفي هذه المعادلة (ويمكننا الآن إعادة كتابتها على النحو التالي:

إلى قاسم مشترك (x - 3) (x - 2) (x + 1). وبعد تبسيط كل كسر نحصل على:

3(س + 1) - 2(س - 3) = 2(س - 2) أو
3س + 3 - 2س + 6 = 2س - 4.

ومن هنا نحصل على:

–س = –13 و س = 13.

هذا الحل له معنى مباشر: فهو لا يجعل أيًا من المقامات يساوي الصفر.

لو أخذنا المعادلة:

ثم، المضي قدما بنفس الطريقة تماما على النحو الوارد أعلاه، سوف نحصل على

3(س + 1) - 2(س - 3) = س - 2

3س + 3 - 2س + 6 = س - 2

3س - 2س - س = -3 - 6 - 2،

أين ستحصل

وهو أمر مستحيل. يوضح هذا الظرف أنه من المستحيل إيجاد حل للمعادلة الأخيرة التي لها معنى مباشر.

أهداف و غايات:

التعليمية:

1. فكر في طريقة لحل المعادلات "المعقدة" من الشكل: (x + 3): 8 = 5 واشتق خوارزمية إجراء لحلها.
2. تحسين مهارات الحوسبة الخاصة بك.

النامية:

1. تنمية القدرة على التحليل والاستدلال وشرح طريقة عمل المعادلات من الشكل: (س + 3): 8 = 5.

التعليمية:

1. تكوين القدرة على العمل في أزواج (الاستماع إلى رأي صديق، مناقشة المشكلة، التوصل إلى توافق في الآراء).

توفير الصحة:

1. تعلم كيفية الاعتناء بصحتك.

معدات:

1. جهاز عرض الوسائط المتعددة والشاشة؛
2. حاسوب؛
3. عرض تقديمي؛
4. دعم التذكير؛
5. المهام على البطاقات.

خلال الفصول الدراسية:

I. اللحظة التنظيمية.

- رن الجرس. التحقق من استعدادك لفئة الرياضيات. الجميع جاهز.

ودعونا التحقق من ذلك!

- الهجوم الخاطف: كيفية العثور عليه مصطلح غير معروف؟ (مطروح، مخفض، توزيعات الأرباح، المقسوم عليه، المضاعف).

- أحسنت! اجلس. يمكننا أن نبدأ بأمان. فتح دفاتر الملاحظات. اكتب الرقم، عمل عظيم.

ثانيا. تحديث المعرفة الأساسية.

1) - أقترح عليك القيام بعملية الإحماء. الاهتمام بالشاشة!

(الملحق 1. العرض التقديمي -شريحة 1).

100 ∙ 29 32 ∙ 20 4800: 2

أ∙ 15 9000 - في من: 317

س ∙ 80 = 640 ك: 50 = 500 ج + 90 = 34 + 56

– تقسيم بيانات التسجيل إلى مجموعات. من قسم على 2؟ ل 3 مجموعات؟

مناقشة!!! على أي أساس قسمت... ، أ …..؟

- تسمية التعبيرات العددية. حروف الاسم. استراحة؟ (المعادلات.)

(الشريحة 2)

- البحث عن قيم التعبيرات العددية.
- ابحث عن معنى التعبيرات الحرفية إذا

أ = 0، ب = 1، ج = 317

- من بين المعادلات، ابحث عن "الزيادة". اثبت ذلك!
- العثور على جذر معادلة واحدة، معادلتين. (بسيط.)
– ما الذي يجب فعله أولاً لحل معادلة معقدة من هذا النوع؟ (بسّط) - كيف؟ (نفذ الإجراء.) ماذا؟
- بسّط المعادلة. ابحث عن الجذر.

ثالثا. الموضوع، المهام.

– من يريد أن يتعلم كيفية حل المعادلات المعقدة من نوع جديد؟ رفع اليد! أحسنت! هذا يعني أنك لست خائفًا من الصعوبات ومستعدًا للاكتشافات الجديدة!
- موضوع درسنا هو "حل المعادلات "المعقدة" من نوع جديد".

(نظرًا لأن مصطلح المعادلة "المعقدة" اعتباطي، فقد وضعته بين علامتي اقتباس).

- تحديد أهداف التعلم:

1. تعلم حل المعادلات المعقدة من نوع جديد.
2. إنشاء خوارزمية الحل. (الخوارزمية - الترتيب، تسلسل الإجراءات.)
3. تعلم التعليق على حل المعادلات.
4. تحسين مهاراتك في الحوسبة.

التربية البدنية 1.

رابعا. العمل على الموضوع. صياغة المشكلة. فتح جديد.

1) من رقم 488. كتاب مدرسي.

– أريد أن أدعوك الآن لزيارة الباحثين مرة أخرى.

□ + 30 = 50 دخول هذا المنتدى!

- اقرأ التعبير. 1 سبيكة 2 سبيكة قيمة المبلغ.

هل هذه معادلة؟ لماذا؟

- أدخل التعبير في "المربع"

□ + 30 = 50 - ماذا نسمي المدخل؟ (صعب عليك) - هل يبدو مثل الذي نعرف بالفعل كيفية حله؟ - لماذا؟

حاول إيجاد طريقة لحل هذه المعادلة. انتبه، لم أوقع عن طريق الخطأ على مكونات الإجراء! إرسال دون التحقق!

2) الشرح: - ما (ما المكون) هو التعبير الحرفي 4 ∙ x في هذا المجموع (هذا حد واحد).

إذن، الحد الواحد هو تعبير حرفي 4 ∙ x وهو غير معروف!

القاعدة لا تتغير! كيفية العثور على سبيكة غير معروفة 1؟

4 ×	= 50 – 30 – هل تستطيع الحل؟

3)- افتح البرنامج التعليمي ص. 149 رقم 488. اقرأ كيف فكر ميشا.

خامسا اشتقاق الخوارزمية. اصلاح الجديد.

1) حل المعادلة: (x + 3) : 8 = 5 1 على السبورة.

يمارس! حاول معرفة التسلسل!

2) اشتقاق الخوارزمية.

- كما فهمت، سيتم استدعاء المكونات: الأرباح، المقسوم عليه، القيمة الخاصة.

- أي قسم هو الأول أم الأخير؟ = من أين تبدأ؟

3). خوارزمية(الشريحة 3).

1. سأحدد الإجراء الأخير وأسمي المكونات.
2. سأحدد مكونًا غير معروف وأتذكر قاعدة العثور عليه.
3. اكتب معادلة جديدة وقم بتبسيطها.
4. اسمحوا لي أن أحل معادلة بسيطة.

4) قراءة المذكرة للتعليق.

5). رقم 489. كتاب مدرسي. التعليق.

التربية البدنية الدقيقة 2 (للعيون).

6). العمل الجماعي. العمل في ازواج.

1) (ص – 5) ∙ 4 = 28
2) 3 ∙ أ - 7 \u003d 14
3) (24 + د): 8 = 7
4) 63: (14 - س) = 7

املأ القائمة المرجعية!

المعادلة.	1	2	3	4
حل.

المعادلات الخطية. الحل، الأمثلة.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليسوا..."
وبالنسبة لأولئك الذين "كثيرا ...")

المعادلات الخطية.

المعادلات الخطية ليست الأفضل موضوع صعبالرياضيات المدرسية. ولكن هناك بعض الحيل التي يمكن أن تحير حتى الطالب المتدرب. هل سنكتشف ذلك؟)

يتم تعريف المعادلة الخطية عادةً على أنها معادلة من الشكل:

فأس + ب = 0 أين أ و ب- أي أرقام.

2س + 7 = 0. هنا أ = 2، ب=7

0.1x - 2.3 = 0 هنا أ = 0.1، ب=-2.3

12س + 1/2 = 0 هنا أ = 12، ب=1/2

لا شيء معقد، أليس كذلك؟ خاصة إذا كنت لا تلاحظ الكلمات: "حيث a و b عبارة عن أي أرقام"... وإذا لاحظت، ولكن فكر في الأمر بلا مبالاة؟) بعد كل شيء، إذا أ = 0، ب=0(أي أرقام ممكنة؟)، ثم نحصل على تعبير مضحك:

ولكن هذا ليس كل شيء! إذا، قل، أ = 0،أ ب = 5،اتضح شيئًا سخيفًا تمامًا:

ما يوتر ويقوض الثقة في الرياضيات، نعم ...) وخاصة في الامتحانات. ولكن من بين هذه التعبيرات الغريبة، تحتاج أيضًا إلى العثور على X! وهو ما لا وجود له على الإطلاق. والمثير للدهشة أنه من السهل جدًا العثور على علامة X هذه. سوف نتعلم كيفية القيام بذلك. في هذا الدرس.

كيفية التعرف على المعادلة الخطية في المظهر؟ هذا يعتمد على ماذا مظهر.) الحيلة هي أن المعادلات الخطية تسمى ليس فقط معادلات النموذج فأس + ب = 0 ولكن أيضًا أي معادلات تم اختزالها إلى هذا النموذج عن طريق التحويلات والتبسيطات. ومن يدري هل نقص أم لا؟)

يمكن التعرف على المعادلة الخطية بوضوح في بعض الحالات. لنفترض أنه إذا كانت لدينا معادلة لا يوجد فيها سوى مجهولات من الدرجة الأولى، فنعم أرقام. والمعادلة لا الكسور مقسومة على مجهول , انه مهم! والقسمة على رقم،أو كسر رقمي - هذا كل شيء! على سبيل المثال:

هذه معادلة خطية. توجد كسور هنا، ولكن لا توجد علامات x في المربع، أو في المكعب، وما إلى ذلك، ولا توجد علامات x في المقامات، أي. لا القسمة على x. وهنا المعادلة

لا يمكن أن يسمى الخطية. هنا x كلها في الدرجة الأولى، ولكن هناك القسمة على التعبير مع x. بعد التبسيط والتحويل، يمكنك الحصول على معادلة خطية، ومعادلة تربيعية، وأي شيء تريده.

اتضح أنه من المستحيل العثور على معادلة خطية في بعض الأمثلة المعقدة حتى تتمكن من حلها تقريبًا. إنه أمر مزعج. لكن في المهام، كقاعدة عامة، لا يسألون عن شكل المعادلة، أليس كذلك؟ في المهام، يتم ترتيب المعادلات يقرر.هذا يجعلني سعيدا.)

حل المعادلات الخطية. أمثلة.

الحل كله المعادلات الخطيةيتكون من تحويلات متطابقة للمعادلات. بالمناسبة، هذه التحولات (ما يصل إلى اثنين!) تكمن وراء الحلول جميع معادلات الرياضيات.بمعنى آخر القرار أيتبدأ المعادلة بهذه التحولات نفسها. وفي حالة المعادلات الخطية فإنه (الحل) على هذه التحويلات ينتهي بإجابة كاملة. من المنطقي اتباع الرابط، أليس كذلك؟) علاوة على ذلك، هناك أيضًا أمثلة لحل المعادلات الخطية.

لنبدأ بأبسط مثال. دون أي مطبات. لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التالية.

س - 3 = 2 - 4س

هذه معادلة خطية. Xs كلها للقوة الأولى، ولا يوجد قسمة على X. ولكن، في الواقع، نحن لا نهتم ما هي المعادلة. نحن بحاجة إلى حلها. المخطط هنا بسيط. اجمع كل شيء به علامة x على الجانب الأيسر من المعادلة، وكل شيء بدون علامة x على الجانب الأيمن.

للقيام بذلك، تحتاج إلى نقل - 4x إلى الجانب الأيسر، مع تغيير الإشارة، بطبيعة الحال، ولكن - 3 - إلى اليمين. بالمناسبة، هذا هو أول تحويل متطابق للمعادلات.متفاجئ؟ لذلك، لم يتبعوا الرابط، ولكن عبثا ...) نحصل على:

س + 4س = 2 + 3

نعطي مماثلة، ونعتبر:

ماذا نحتاج لنكون سعداء تماما؟ نعم بحيث يكون هناك علامة X نظيفة على اليسار! خمسة يعيق الطريق. تخلص من الخمس مع التحويل المتطابق الثاني للمعادلات.وهي أننا نقسم كلا جزأين المعادلة على 5. ونحصل على إجابة جاهزة:

مثال أولي بالطبع. هذا من أجل الإحماء.) ليس من الواضح لماذا تذكرت التحولات المتطابقة هنا؟ نعم. نحن نأخذ الثور من قرونه.) دعونا نقرر شيئًا أكثر إثارة للإعجاب.

على سبيل المثال، هنا هذه المعادلة:

من اين نبدأ؟ مع X - إلى اليسار، بدون X - إلى اليمين؟ يمكن أن يكون الأمر كذلك. بخطوات صغيرة طريق طويل. ويمكنك ذلك على الفور، بطريقة عالمية وقوية. ما لم تكن هناك، بالطبع، في ترسانتك تحويلات متطابقة للمعادلات.

أطرح عليك سؤالا رئيسيا: ما هو أكثر شيء لا يعجبك في هذه المعادلة؟

95 شخص من 100 سيجيبون: الكسور ! الجواب صحيح. لذلك دعونا نتخلص منهم. لذلك نبدأ على الفور مع التحول المماثل الثاني. ما الذي تحتاجه لضرب الكسر الموجود على اليسار بحيث يتم تقليل المقام بالكامل؟ هذا صحيح، 3. وعلى اليمين؟ بواسطة 4. لكن الرياضيات تسمح لنا بضرب كلا الطرفين في نفس العدد. كيف نخرج؟ دعونا نضرب كلا الطرفين في 12! أولئك. إلى قاسم مشترك. ثم ينقص الثلاثة والأربعة. لا تنس أنك تحتاج إلى مضاعفة كل جزء تماما. إليك ما تبدو عليه الخطوة الأولى:

توسيع الأقواس:

ملحوظة! البسط (س+2)أخذت بين قوسين! وذلك لأنه عند ضرب الكسور، يتم ضرب البسط في الكل، تمامًا! والآن يمكنك تقليل الكسور وتقليل:

فتح الأقواس المتبقية:

ليس مثالاً، بل متعة خالصة!) الآن نتذكر التعويذة من الصفوف الدنيا: مع x - إلى اليسار، بدون x - إلى اليمين!وتطبيق هذا التحول:

وهنا بعض مثل:

ونقسم كلا الجزأين على 25 أي: قم بتطبيق التحويل الثاني مرة أخرى:

هذا كل شئ. إجابة: X=0,16

دعونا نلاحظ: لإحضار المعادلة الأصلية المربكة جميل المظهر، استخدمنا اثنين (اثنان فقط!) تحولات متطابقة- الترجمة من اليسار إلى اليمين مع تغيير الإشارة والضرب-تقسيم المعادلة على نفس الرقم. هذه هي الطريقة العالمية! سوف نعمل بهذه الطريقة أي معادلات! على الاطلاق أي. ولهذا السبب أستمر في تكرار هذه التحولات المتطابقة طوال الوقت.)

كما ترون، مبدأ حل المعادلات الخطية بسيط. نأخذ المعادلة ونبسطها بمساعدة التحويلات المتطابقة حتى نحصل على الإجابة. المشاكل الرئيسية هنا تكمن في الحسابات وليس في مبدأ الحل.

لكن ... هناك مثل هذه المفاجآت في عملية حل المعادلات الخطية الأساسية التي يمكن أن تؤدي إلى ذهول قوي ...) لحسن الحظ، لا يمكن أن يكون هناك سوى مفاجأتين من هذا القبيل. دعونا نسميها حالات خاصة.

حالات خاصة في حل المعادلات الخطية.

المفاجأة أولا.

لنفترض أنك صادفت معادلة أولية، مثل:

2س+3=5س+5 - 3س - 2

بالملل قليلاً، ننتقل بـ X إلى اليسار، بدون X - إلى اليمين ... مع تغيير العلامة، كل شيء chin-chinar ... نحصل على:

2س-5س+3س=5-2-3

نحن نؤمن، و... يا إلهي! نحن نحصل:

وهذه المساواة في حد ذاتها ليست محل اعتراض. الصفر هو في الواقع صفر. ولكن X ذهب! وعلينا أن نكتب في الرد ما x يساوي.وإلا فالحل لا يحسب، نعم...) طريق مسدود؟

هادئ! في مثل هذه الحالات المشكوك فيها، يتم حفظ القواعد الأكثر عمومية. كيفية حل المعادلات؟ ماذا يعني حل المعادلة؟ هذا يعنى، أوجد جميع قيم x التي عند استبدالها في المعادلة الأصلية ستعطينا المساواة الصحيحة.

ولكن لدينا المساواة الصحيحة بالفعلحدث! 0=0، أين حقا؟! يبقى أن نعرف ما هو x الذي يتم الحصول عليه. ما هي قيم x التي يمكن استبدالها إبداعيالمعادلة إذا كانت هذه x لا يزال يتقلص إلى الصفر؟تعال؟)

نعم!!! يمكن استبدال X أي!ماذا تريد. على الأقل 5، على الأقل 0.05، على الأقل -220. وسوف لا تزال تتقلص. إذا كنت لا تصدقني، يمكنك التحقق من ذلك.) استبدل أي قيم x في إبداعيالمعادلة وحساب. سيتم الحصول على الحقيقة النقية طوال الوقت: 0=0، 2=2، -7.1=-7.1، وهكذا.

هنا إجابتك: x هو أي رقم.

يمكن كتابة الإجابة برموز رياضية مختلفة، ولا يتغير الجوهر. هذه إجابة صحيحة وكاملة تمامًا.

المفاجأة الثانية.

لنأخذ نفس المعادلة الخطية الأولية ونغير فيها رقمًا واحدًا فقط. وهذا ما سنقرره:

2س+1=5س+5 - 3س - 2

وبعد نفس التحولات المتطابقة، نحصل على شيء مثير للاهتمام:

مثله. حل معادلة خطية، وحصل على مساواة غريبة. من الناحية الرياضية، لدينا المساواة الخاطئةوالتحدث لغة بسيطة، هذا ليس صحيحا. الهذيان. ولكن مع ذلك، فإن هذا الهراء هو سبب وجيه لذلك القرار الصحيحالمعادلات.)

مرة أخرى، ونحن نفكر من قواعد عامة. ما x، عند استبداله في المعادلة الأصلية، سوف يعطينا صحيحالمساواة؟ نعم، لا شيء! لا يوجد مثل هذه xes. مهما بدلت، سيتضاءل كل شيء، وسيبقى الهراء.)

هنا إجابتك: لا توجد حلول.

وهذه أيضًا إجابة صحيحة تمامًا. في الرياضيات، غالبا ما تحدث مثل هذه الإجابات.

مثله. الآن، آمل ألا يزعجك فقدان X أثناء حل أي معادلة (ليست خطية فقط) على الإطلاق. الأمر مألوف.)

الآن بعد أن تعاملنا مع جميع المخاطر في المعادلات الخطية، فمن المنطقي حلها.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

في هذا الفيديو، سنقوم بتحليل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

لتبدأ، دعونا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها يجب أن يسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي تلك التي يوجد فيها متغير واحد فقط، وهي من الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسط المعادلات باستخدام الخوارزمية:

1. الأقواس المفتوحة، إن وجدت؛
2. نقل الحدود التي تحتوي على متغير إلى أحد جانبي علامة التساوي، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر؛
3. أحضر الحدود المتشابهة إلى يسار ويمين علامة المساواة؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $x$ .

وبطبيعة الحال، هذه الخوارزمية لا تساعد دائما. والحقيقة هي أنه في بعض الأحيان، بعد كل هذه المكائد، فإن معامل المتغير $x$ يساوي الصفر. في هذه الحالة، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال، عندما تحصل على شيء مثل $0\cdot x=8$، أي. على اليسار يوجد صفر، وعلى اليمين رقم غير الصفر. في الفيديو أدناه، سنلقي نظرة على عدة أسباب وراء حدوث هذا الموقف.
2. الحل هو كل الارقام الحالة الوحيدة، عندما يكون ذلك ممكنًا، يتم تقليل المعادلة إلى البناء $0\cdot x=0$. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن $x$ الذي نستبدله، فسيظل "الصفر يساوي صفرًا"، أي. المساواة العددية الصحيحة

والآن دعونا نرى كيف يعمل كل شيء باستخدام مثال المشاكل الحقيقية.

أمثلة على حل المعادلات

سنتعامل اليوم مع المعادلات الخطية، وأبسطها فقط. بشكل عام، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط، ولا تصل إلا إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. أولًا، تحتاج إلى فتح الأقواس، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير)؛
2. ثم أحضر مثلها
3. وأخيرا، عزل المتغير، أي. فكل ما ارتبط بالمتغير -الحدود التي ورد فيها- ينقل إلى جهة، وكل ما يبقى دونه ينقل إلى الجهة الأخرى.

بعد ذلك، كقاعدة عامة، تحتاج إلى إحضار مماثلة على كل جانب من المساواة الناتجة، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على المعامل عند "x"، وسنحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا، ولكن من الناحية العملية، حتى طلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة يمكن أن يرتكبوا أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادةً ما يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس، أو عند حساب "الإيجابيات" و"السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك، يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق، أو أن الحل هو خط الأعداد بأكمله، أي. أي رقم. سنقوم بتحليل هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ، كما فهمت بالفعل، بأبسط المهام.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

في البداية، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس، إن وجدت.
2. عزل المتغيرات، أي. كل ما يحتوي على "x" يتم نقله إلى جانب واحد وبدون "x" - إلى الجانب الآخر.
3. نقدم مصطلحات مماثلة.
4. نقسم كل شيء على المعامل عند "x".

بالطبع، هذا المخطط لا يعمل دائمًا، فهو يحتوي على بعض التفاصيل الدقيقة والحيل، والآن سنتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية للمعادلات الخطية البسيطة

مهمة 1

في الخطوة الأولى، نحن مطالبون بفتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية، نحن بحاجة إلى عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتب:

نعطي مصطلحات متشابهة على اليسار وعلى اليمين، ولكن هذا ما تم فعله هنا بالفعل. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: القسمة على عامل:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

وهنا حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

في هذه المهمة، يمكننا ملاحظة الأقواس، لذلك دعونا نوسعها:

على اليسار وعلى اليمين، نرى نفس التصميم تقريبًا، ولكن دعونا نتصرف وفقًا للخوارزمية، أي. متغيرات العزل:

وهنا بعض مثل:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك، يمكننا أن نكتب أن $x$ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي بالفعل أكثر إثارة للاهتمام:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

توجد عدة أقواس هنا، لكنها غير مضروبة بأي شيء، بل أمامها فقط علامات مختلفة. دعونا نقسمها:

نقوم بالخطوة الثانية المعروفة لنا بالفعل:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

دعونا نحسب:

نقوم بالخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على المعامل عند "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا، أود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه، ليس كل معادلة خطية لها حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور؛
• حتى لو كانت هناك جذور، فيمكن أن يدخل الصفر بينها - فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم مثل الباقي، لا يجب أن تميزه بطريقة أو بأخرى أو تفترض أنه إذا حصلت على الصفر، فهذا يعني أنك فعلت شيئًا خاطئًا.

ميزة أخرى تتعلق بتوسيع الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون أمامهم "ناقص" نقوم بإزالته، ولكن بين قوسين نغير الإشارات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه وفقًا للخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

إن فهم هذه الحقيقة البسيطة سيساعدك على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤذية في المدرسة الثانوية، عندما يكون القيام بمثل هذه الأفعال أمرا مفروغا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدا. الآن ستصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وستظهر دالة تربيعية عند إجراء تحويلات مختلفة. ومع ذلك، لا ينبغي أن تخاف من ذلك، لأنه إذا، وفقا لنية المؤلف، فإننا نحل معادلة خطية، ثم في عملية التحول، سيتم بالضرورة تقليل جميع أحاديات الحد التي تحتوي على وظيفة تربيعية.

مثال 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. دعونا نفعل ذلك بعناية فائقة:

الآن لنأخذ الخصوصية:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

وهنا بعض مثل:

ومن الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، لذلك نكتب في الإجابة ما يلي:

\[\متنوع \]

أو لا جذور.

مثال رقم 2

نقوم بنفس الخطوات. الخطوة الأولى:

دعنا ننقل كل شيء بمتغير إلى اليسار، وبدونه - إلى اليمين:

وهنا بعض مثل:

ومن الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل، لذلك نكتبها هكذا:

\[\فارنوثينغ\]،

أو لا جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل كلتا المعادلتين بالكامل. باستخدام مثال هذين التعبيرين، تأكدنا مرة أخرى من أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية، قد لا يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك واحد، أو لا شيء، أو لا حصر له. في حالتنا، نظرنا إلى معادلتين، في كل منهما ببساطة لا توجد جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهكم إلى حقيقة أخرى: كيفية العمل مع الأقواس وكيفية توسيعها إذا كانت هناك علامة ناقص أمامها. خذ بعين الاعتبار هذا التعبير:

قبل الفتح، تحتاج إلى ضرب كل شيء بـ "x". يرجى ملاحظة: مضاعفة كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل فترتان - على التوالي، فترتان ويتم ضربهما.

وفقط بعد الانتهاء من هذه التحولات التي تبدو بدائية ولكنها مهمة وخطيرة للغاية، يمكن فتح القوس من وجهة نظر وجود علامة ناقص بعده. نعم، نعم: الآن فقط، بعد الانتهاء من التحويلات، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام القوسين، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير العلامات فقط. وفي الوقت نفسه، تختفي الأقواس نفسها، والأهم من ذلك، أن "الطرح" الأمامي يختفي أيضًا.

ونفعل نفس الشيء مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه إلى هذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير ذات أهمية. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية، حيث يؤدي عدم القدرة على تنفيذ إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون حل مثل هذه المعادلات البسيطة مرة أخرى.

وبطبيعة الحال، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات لتصبح أوتوماتيكية. لم يعد عليك إجراء الكثير من التحويلات في كل مرة، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. ولكن بينما تتعلم فقط، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنقوم بحله الآن من الصعب أن يسمى أبسط مهمة، ولكن المعنى يبقى كما هو.

مهمة 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

دعونا نضرب جميع العناصر في الجزء الأول:

دعونا نقوم بالتراجع:

وهنا بعض مثل:

لنقم بالخطوة الأخيرة:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

هنا هو جوابنا النهائي. وعلى الرغم من أنه أثناء عملية الحل كانت لدينا معاملات ذات دالة تربيعية، إلا أنها ألغت بعضها بعضًا، مما يجعل المعادلة خطية تمامًا وليست مربعة.

المهمة رقم 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

لنقم بالخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر في القوس الأول بكل عنصر في القوس الثاني. في المجموع، ينبغي الحصول على أربعة مصطلحات جديدة بعد التحولات:

والآن قم بإجراء الضرب بعناية في كل حد:

دعنا ننقل المصطلحات التي تحتوي على "x" إلى اليسار، وبدون - إلى اليمين:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

وهنا مصطلحات مماثلة:

لقد تلقينا إجابة محددة.

الفروق الدقيقة في الحل

وأهم ملاحظة على هاتين المعادلتين هي ما يلي: بمجرد أن نبدأ بضرب الأقواس التي يوجد فيها حد أكبر منها يتم ذلك وفقا لما يلي: القاعدة التالية: نأخذ الحد الأول من الأول ونضربه في كل عنصر من الثاني؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضربه كذلك في كل عنصر من العنصر الثاني. ونتيجة لذلك، نحصل على أربعة حدود.

على المجموع الجبري

في المثال الأخير، أود أن أذكر الطلاب ما هو مجموع جبري. في الرياضيات الكلاسيكية، نعني بـ 1-7 دولار تصميم بسيط: اطرح سبعة من واحد. وفي الجبر نعني بذلك ما يلي: إلى العدد "واحد" نضيف رقما آخر وهو "ناقص سبعة". ويختلف هذا المجموع الجبري عن المجموع الحسابي المعتاد.

بمجرد إجراء جميع التحويلات، كل إضافة وضرب، تبدأ في رؤية إنشاءات مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه، فلن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

في الختام، دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو، ومن أجل حلها، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا قليلاً.

حل المعادلات ذات الكسر

لحل مثل هذه المهام، يجب إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً، سأذكر الخوارزمية الخاصة بنا:

1. فتح بين قوسين.
2. متغيرات منفصلة.
3. جلب مماثلة.
4. القسمة على عامل.

للأسف، هذه الخوارزمية الرائعة، على الرغم من كفاءتها، ليست مناسبة تمامًا عندما يكون لدينا كسور أمامنا. وفيما سنراه أدناه، لدينا كسر على اليسار وعلى اليمين في كلتا المعادلتين.

كيفية العمل في هذه الحالة؟ نعم، الأمر بسيط جدًا! للقيام بذلك، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية، والتي يمكن تنفيذها قبل الإجراء الأول وبعده، وهي التخلص من الكسور. وبالتالي ستكون الخوارزمية كما يلي:

1. تخلص من الكسور.
2. فتح بين قوسين.
3. متغيرات منفصلة.
4. جلب مماثلة.
5. القسمة على عامل.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا يمكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع، في حالتنا، جميع الكسور رقمية من حيث المقام، أي. في كل مكان يكون المقام مجرد رقم. ولذلك، إذا ضربنا طرفي المعادلة في هذا العدد، فسنتخلص من الكسور.

مثال 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

دعونا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة، أي. فقط لأن لديك قوسين لا يعني أن عليك ضرب كل منهما بـ "أربعة". دعنا نكتب:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

والآن لنفتحه:

نقوم بعزل المتغير:

نقوم بتنفيذ تخفيض المصطلحات المماثلة:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

لقد حصلنا على الحل النهائي، ننتقل إلى المعادلة الثانية.

مثال رقم 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

هنا نقوم بتنفيذ جميع الإجراءات نفسها:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

تم حل المشكلة.

وهذا، في الواقع، هو كل ما أردت أن أقوله اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي كما يلي:

• معرفة خوارزمية حل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا كان لديك في مكان ما وظائف تربيعيةعلى الأرجح، في عملية مزيد من التحولات، سيتم تخفيضها.
• الجذور في المعادلات الخطية، حتى أبسطها، هي من ثلاثة أنواع: جذر واحد، وخط الأعداد بأكمله هو جذر، ولا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لمزيد من الفهم لجميع الرياضيات. إذا كان هناك شيء غير واضح، فانتقل إلى الموقع، وحل الأمثلة المقدمة هناك. ترقبوا، هناك العديد من الأشياء المثيرة للاهتمام في انتظاركم!