صيغة مساحة شبه منحرف متساوي الساقين من حيث الأضلاع. كيفية إيجاد مساحة شبه منحرف متساوي الساقين

في الرياضيات ، تُعرف عدة أنواع من الأشكال الرباعية: مربع ، مستطيل ، معين ، متوازي الأضلاع. من بينها شبه منحرف - نوع من شكل رباعي محدب ، يكون فيه جانبان متوازيان ، والآخران غير متوازيان. تسمى الأضلاع المتقابلة المتوازية القواعد ، ويسمى الجانبان الآخران بجانبي شبه المنحرف. يسمى المقطع الذي يربط بين نقاط المنتصف من الجانبين خط الوسط. هناك عدة أنواع من شبه المنحرف: متساوي الساقين ، مستطيل ، منحني. لكل نوع من أنواع شبه المنحرف ، توجد صيغ لإيجاد المنطقة.

منطقة شبه منحرف

لإيجاد مساحة شبه منحرف ، تحتاج إلى معرفة طول قاعدته وارتفاعه. ارتفاع شبه المنحرف هو جزء عمودي على القاعدة. اجعل القاعدة العلوية أ ، والقاعدة السفلية ب ، والارتفاع ح. ثم يمكنك حساب المنطقة S بالصيغة:

S = ½ * (أ + ب) * ح

أولئك. خذ نصف مجموع الأسس مضروبًا في الارتفاع.

يمكنك أيضًا حساب مساحة شبه منحرف إذا كنت تعرف قيمة الارتفاع وخط الوسط. دعنا نشير إلى الخط الأوسط - م. ثم

لنحل المسألة أكثر تعقيدًا: نعرف أطوال الأضلاع الأربعة لشبه المنحرف - أ ، ب ، ج ، د. ثم يتم العثور على المنطقة بالصيغة:

إذا كانت أطوال الأقطار والزاوية بينهما معروفة ، فيتم البحث عن المنطقة على النحو التالي:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

حيث d مع المؤشرات 1 و 2 هي قطري. في هذه الصيغة ، يتم إعطاء جيب الزاوية في الحساب.

مع أطوال القاعدة المعروفة أ وب وزاويتان في القاعدة السفلية ، يتم حساب المنطقة على النحو التالي:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

منطقة شبه منحرف متساوي الساقين

شبه منحرف متساوي الساقين هو حالة خاصة من شبه منحرف. الفرق هو أن مثل هذا شبه المنحرف هو رباعي محدب مع محور التناظر يمر عبر نقاط المنتصف من الجانبين المتعاكسين. جوانبها متساوية.

توجد عدة طرق لإيجاد مساحة شبه منحرف متساوي الساقين.

• من خلال أطوال الجوانب الثلاثة. في هذه الحالة ، ستتطابق أطوال الأضلاع ، لذلك يشار إليها بقيمة واحدة - c و a و b - أطوال القواعد:

• إذا كان طول القاعدة العلوية والجانب الجانبي والزاوية عند القاعدة السفلية معروفين ، فسيتم حساب المساحة على النحو التالي:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

حيث ا هي القاعدة العلوية ، ج هي الضلع.

• إذا كان طول القاعدة السفلية معروفًا بدلاً من القاعدة العلوية - ب ، يتم حساب المنطقة بالصيغة:

S = ج * الخطيئة α * (ب - ج * كوس α)

• إذا تم معرفة قاعدتين والزاوية عند القاعدة السفلية ، يتم حساب المنطقة باستخدام ظل الزاوية:

S = ½ * (b2 - a2) * tg α

• أيضًا ، تُحسب المساحة من خلال الأقطار والزاوية بينهما. في هذه الحالة ، تكون الأقطار متساوية في الطول ، لذلك يُشار إلى كل منها بالحرف d بدون مؤشرات:

S = ½ * d2 * sinα

• احسب مساحة شبه المنحرف ، مع معرفة طول الضلع الجانبي وخط الوسط والزاوية عند القاعدة السفلية.

دع الجانب - c ، الخط الأوسط - m ، الزاوية - a ، ثم:

S = m * c * sinα

في بعض الأحيان يمكن نقش دائرة في شبه منحرف متساوي الأضلاع ، نصف قطرها سيكون - r.

من المعروف أنه يمكن نقش دائرة في أي شبه منحرف إذا كان مجموع أطوال القواعد يساوي مجموع أطوال أضلاعها. ثم يتم العثور على المنطقة من خلال نصف قطر الدائرة المنقوشة والزاوية عند القاعدة السفلية:

S = 4r2 / sinα

يتم إجراء نفس الحساب من خلال القطر D للدائرة المنقوشة (بالمناسبة ، يتزامن مع ارتفاع شبه المنحرف):

معرفة القواعد والزاوية ، يتم حساب مساحة شبه منحرف متساوي الساقين على النحو التالي:

S = a * b / sinα

(هذه والصيغ اللاحقة صالحة فقط لشبه المنحرف بدائرة منقوشة).

من خلال قواعد الدائرة ونصف قطرها يتم البحث عن المنطقة على النحو التالي:

إذا كانت القواعد معروفة فقط ، فسيتم حساب المنطقة وفقًا للصيغة:

من خلال القواعد والخط الجانبي ، يتم حساب مساحة شبه منحرف بدائرة منقوشة ومن خلال القواعد وخط الوسط - m على النحو التالي:

مساحة شبه منحرف مستطيل

يُطلق على شبه المنحرف اسم مستطيل ، حيث يكون أحد جوانبها متعامدًا على القواعد. في هذه الحالة ، يتطابق طول الجانب مع ارتفاع شبه المنحرف.

شبه المنحرف المستطيل هو مربع ومثلث. بعد إيجاد مساحة كل من الأشكال ، اجمع النتائج واحصل عليها المساحة الكليةالأرقام.

أيضًا ، الصيغ العامة لحساب مساحة شبه منحرف مناسبة لحساب مساحة شبه منحرف مستطيل.

• إذا كانت أطوال القواعد والارتفاع (أو الجانب العمودي) معروفة ، فسيتم حساب المساحة بالصيغة:

S = (أ + ب) * ح / 2

حيث يمكن أن يكون h (الارتفاع) جانبًا. ثم تبدو الصيغة كما يلي:

S = (أ + ب) * ج / 2

• هناك طريقة أخرى لحساب المنطقة وهي ضرب طول خط الوسط في الارتفاع:

أو بطول الجانب العمودي الجانبي:

• طريقة الحساب التالية هي من خلال نصف حاصل ضرب الأقطار وجيب الزاوية بينهما:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

إذا كانت الأقطار متعامدة ، فسيتم تبسيط الصيغة إلى:

S = ½ * d1 * d2

• هناك طريقة أخرى لحساب نصف المحيط (مجموع أطوال ضلعين متقابلين) ونصف قطر الدائرة المنقوشة.

هذه الصيغة صالحة للقواعد. إذا أخذنا أطوال الأضلاع ، فسيساوي أحدهما ضعف نصف القطر. ستبدو الصيغة كما يلي:

S = (2r + c) * r

• إذا كانت الدائرة منقوشة في شبه منحرف ، فسيتم حساب المنطقة بنفس الطريقة:

حيث م هو طول خط الوسط.

منطقة شبه منحرف منحني الأضلاع

شبه منحرف الخط هو شخصية مسطحة، يحدها رسم بياني غير سالب وظيفة مستمرة y = f (x) محدد على المقطع ، المحور x والخطوط المستقيمة x = a ، x = b. في الواقع ، اثنان من ضلعه متوازيان مع بعضهما البعض (القواعد) ، والضلع الثالث متعامد مع القواعد ، والجانب الرابع هو منحنى يقابل الرسم البياني للدالة.

يتم البحث عن مساحة شبه منحرف منحني الخطوط من خلال التكامل باستخدام صيغة Newton-Leibniz:

كيف يتم حساب المناطق أنواع مختلفةشبه منحرف. ولكن بالإضافة إلى خصائص الجوانب ، فإن شبه المنحرف لها نفس خصائص الزوايا. مثل كل الأشكال الرباعية الموجودة ، المجموع الزوايا الداخليةشبه منحرف 360 درجة. ومجموع الزوايا المجاورة للضلع يساوي 180 درجة.

من أجل الشعور بالثقة وحل المشكلات بنجاح في دروس الهندسة ، لا يكفي تعلم الصيغ. يجب أن يتم فهمهم أولاً. الخوف ، بل وأكثر من كره الصيغ ، أمر غير مثمر. في هذا المقال بلغة واضحةسيتم تحليلها طرق مختلفةإيجاد مساحة شبه منحرف. لامتصاص أفضل القواعد ذات الصلةوالنظريات ، دعونا نولي بعض الاهتمام لخصائصها. سيساعدك هذا على فهم كيفية عمل القواعد وفي أي الحالات يجب تطبيق بعض الصيغ.

حدد شبه منحرف

ما هو هذا الرقم بشكل عام؟ شبه المنحرف هو مضلع له أربع زوايا وضلعان متوازيان. يمكن إمالة الجانبين الآخرين من شبه المنحرف بزوايا مختلفة. تسمى جوانبها المتوازية القواعد ، وبالنسبة للجوانب غير المتوازية ، يتم استخدام اسم "الجوانب" أو "الوركين". هذه الأرقام شائعة جدًا في الحياة اليومية. يمكن رؤية ملامح شبه المنحرف في الصور الظلية للملابس والأدوات الداخلية والأثاث والأطباق وغيرها الكثير. يحدث ترابيز أنواع مختلفة: متعدد الاستخدامات ، متساوي الساقين ومستطيل. سنقوم بتحليل أنواعها وخصائصها بمزيد من التفصيل لاحقًا في المقالة.

خصائص شبه منحرف

دعونا نتحدث بإيجاز عن خصائص هذا الرقم. دائمًا ما يكون مجموع الزوايا المجاورة لأي جانب 180 درجة. وتجدر الإشارة إلى أن مجموع زوايا شبه المنحرف يصل إلى 360 درجة. شبه المنحرف لديه مفهوم خط الوسط. إذا قمت بتوصيل نقاط منتصف الجانبين بقطعة ، فسيكون هذا هو الخط الأوسط. تم تعيينه م. للخط الأوسط خصائص مهمة: فهو دائمًا موازي للقواعد (نتذكر أن القواعد أيضًا موازية لبعضها البعض) وتساوي نصف مجموعها:

يجب تعلم هذا التعريف وفهمه ، لأنه مفتاح حل العديد من المشكلات!

في شبه المنحرف ، يمكنك دائمًا خفض ارتفاع القاعدة. الارتفاع هو عمودي ، غالبًا ما يُشار إليه بالرمز h ، والذي يتم رسمه من أي نقطة على قاعدة ما إلى قاعدة أخرى أو امتدادها. سيساعدك خط الوسط والارتفاع في العثور على منطقة شبه المنحرف. هذه المهام هي الأكثر شيوعًا دورة مدرسيةتظهر الهندسة بشكل منتظم بين أوراق المراقبة والاختبار.

أبسط الصيغ لمساحة شبه منحرف

دعنا نحلل الصيغتين الأكثر شيوعًا وبساطة لإيجاد مساحة شبه منحرف. يكفي ضرب الارتفاع في نصف مجموع القواعد لتجد بسهولة ما تبحث عنه:

S = ح * (أ + ب) / 2.

في هذه الصيغة ، تشير أ ، ب إلى قواعد شبه المنحرف ، ح - الارتفاع. لسهولة القراءة في هذه المقالة ، يتم تمييز علامات الضرب بالرمز (*) في الصيغ ، على الرغم من حذف علامة الضرب في الكتب المرجعية الرسمية عادةً.

تأمل في مثال.

معطى: شبه منحرف بقاعدتين تساوي 10 و 14 سم وارتفاعه 7 سم ما مساحة شبه المنحرف؟

دعنا نحلل حل هذه المشكلة. باستخدام هذه الصيغة ، تحتاج أولاً إلى إيجاد نصف مجموع الأسس: (10 + 14) / 2 \ u003d 12. إذن ، نصف المجموع هو 12 سم. الآن نضرب نصف المجموع في الارتفاع: 12 * 7 \ u003d 84. تم العثور على المطلوب. الإجابة: تبلغ مساحة شبه المنحرف 84 مترًا مربعًا. سم.

الصيغة الثانية المعروفة تقول: مساحة شبه المنحرف تساوي ناتج خط الوسط وارتفاع شبه المنحرف. أي أنه يتبع في الواقع المفهوم السابق للخط الأوسط: S = m * h.

استخدام الأقطار في العمليات الحسابية

هناك طريقة أخرى لإيجاد منطقة شبه منحرف وهي في الواقع ليست بهذه الصعوبة. إنه متصل بأقطارها. وفقًا لهذه الصيغة ، لإيجاد المساحة ، يلزم ضرب نصف حاصل ضرب أقطارها (د 1 د 2) بجيب الزاوية بينهما:

S = ½ د 1 د 2 خطيئة أ.

ضع في اعتبارك مشكلة توضح تطبيق هذه الطريقة. معطى: شبه منحرف يبلغ طوله القطري 8 و 13 سم على التوالي ، والزاوية أ بين القطرين 30 درجة. أوجد مساحة شبه المنحرف.

حل. باستخدام الصيغة أعلاه ، من السهل حساب ما هو مطلوب. كما تعلم ، فإن sin 30 ° يساوي 0.5. لذلك ، S = 8 * 13 * 0.5 = 52. الجواب: المساحة 52 متر مربع. سم.

البحث عن منطقة شبه منحرف متساوي الساقين

يمكن أن يكون شبه المنحرف متساوي الساقين (متساوي الساقين). جوانبها متشابهة والزوايا الموجودة في القاعدة متساوية ، وهو موضح جيدًا في الشكل. شبه منحرف متساوي الساقين له نفس خصائص شبه المنحرف العادي ، بالإضافة إلى عدد من الخصائص المميزة. يمكن تحديد دائرة حول شبه منحرف متساوي الساقين ، ويمكن كتابة دائرة فيها.

ما هي طرق حساب مساحة مثل هذا الرقم؟ ستتطلب الطريقة أدناه الكثير من العمليات الحسابية. لاستخدامها ، تحتاج إلى معرفة قيم الجيب (الجيب) وجيب التمام (جيب التمام) للزاوية عند قاعدة شبه المنحرف. تتطلب حساباتهم إما جداول Bradis أو آلة حاسبة هندسية. ها هي الصيغة:

S = ج* الخطيئة أ*(أ - ج* كوس أ),

أين مع- الفخذ الجانبي أ- زاوية القاعدة السفلية.

شبه منحرف متساوي الساقين له أقطار بنفس الطول. والعكس صحيح أيضًا: إذا كانت أقطار شبه منحرف متساوية ، فهذا يعني أنه متساوي الساقين. ومن هنا جاءت الصيغة التالية للمساعدة في إيجاد مساحة شبه منحرف - نصف حاصل ضرب مربع الأقطار وجيب الزاوية بينهما: S = ½ d 2 sin أ.

إيجاد مساحة شبه منحرف مستطيل

تُعرف حالة خاصة من شبه منحرف مستطيل الشكل. هذا شبه منحرف ، حيث يجاور جانب واحد (فخذها) القواعد بزاوية قائمة. لها خصائص شبه منحرف عادية. بالإضافة إلى ذلك ، لديها جدا ميزة مثيرة للاهتمام. الفرق بين مربعات الأقطار لهذا شبه المنحرف يساوي الفرق بين مربعات قواعده. لذلك ، يتم استخدام جميع الطرق المحددة مسبقًا لحساب المنطقة.

تطبيق البراعة

هناك خدعة واحدة يمكن أن تساعد في حالة نسيان الصيغ المحددة. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ما هو شبه منحرف. إذا قسمناها عقليًا إلى أجزاء ، فسنحصل على أشكال هندسية مألوفة ومفهومة: مربع أو مستطيل ومثلث (واحد أو اثنان). إذا كنت تعرف ارتفاع وشكل شبه منحرف ، يمكنك استخدام الصيغ لمساحة المثلث والمستطيل ، ثم جمع كل القيم التي تم الحصول عليها.

دعونا نوضح هذا المثال التالي. نظرا لشبه منحرف مستطيل. الزاوية ج = 45 درجة ، الزاويتان أ ، د 90 درجة. القاعدة العلوية لشبه المنحرف 20 سم ، الارتفاع 16 سم ، مطلوب لحساب مساحة الشكل.

من الواضح أن هذا الشكل يتكون من مستطيل (إذا كانت زاويتان 90 درجة) ومثلث. بما أن شبه المنحرف مستطيل ، فإن ارتفاعه يساوي جانبه ، أي 16 سم ، لدينا مستطيل طول ضلعه 20 و 16 سم على التوالي. اعتبر الآن مثلثًا زاوية قياسه 45 درجة. نعلم أن أحد أضلاعه يبلغ 16 سم ، وبما أن هذا الضلع هو أيضًا ارتفاع شبه المنحرف (ونعلم أن الارتفاع يقع على القاعدة بزاوية قائمة) ، فإن الزاوية الثانية للمثلث تساوي 90 درجة. ومن ثم فإن الزاوية المتبقية للمثلث هي 45 درجة. نتيجة لذلك ، نحصل على مستطيل مثلث متساوي الساقينالذي له نفس الجانبين. هذا يعني أن الجانب الآخر من المثلث يساوي الارتفاع أي 16 سم ويبقى حساب مساحة المثلث والمستطيل وإضافة القيم الناتجة.

مساحة المثلث قائم الزاوية تساوي نصف حاصل ضرب ساقيه: S = (16 * 16) / 2 = 128. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب عرضه وطوله: S = 20 * 16 = 320. وجدنا المساحة المطلوبة: مساحة شبه المنحرف S = 128 + 320 = 448 قدم مربع. انظر يمكنك بسهولة التحقق من نفسك مرة أخرى باستخدام الصيغ أعلاه ، ستكون الإجابة متطابقة.

نستخدم صيغة الاختيار

أخيرًا ، نقدم صيغة أصلية أخرى تساعد في إيجاد مساحة شبه منحرف. إنها تسمى معادلة الاختيار. من الملائم استخدامه عندما يتم رسم شبه منحرف على ورق متقلب. غالبًا ما توجد مهام مماثلة في مواد GIA. تبدو هكذا:

S \ u003d M / 2 + N - 1 ،

في هذه الصيغة ، M هو عدد العقد ، أي تقاطعات خطوط الشكل مع خطوط الخلية على حدود شبه المنحرف (النقاط البرتقالية في الشكل) ، N هو عدد العقد داخل الشكل (النقاط الزرقاء). من الأنسب استخدامه عند إيجاد مساحة مضلع غير منتظم. ومع ذلك ، فكلما زادت ترسانة التقنيات المستخدمة ، قلت الأخطاء والنتائج الأفضل.

بطبيعة الحال ، فإن المعلومات المقدمة بعيدة كل البعد عن استنفاد أنواع وخصائص شبه المنحرف ، وكذلك طرق العثور على مساحتها. تقدم هذه المقالة نظرة عامة على أهم خصائصها. في حل المشكلات الهندسية ، من المهم التصرف بشكل تدريجي ، والبدء بالصيغ والمشكلات السهلة ، وترسيخ الفهم باستمرار ، والانتقال إلى مستوى آخر من التعقيد.

ستساعد الصيغ الأكثر شيوعًا ، التي تم جمعها معًا ، الطلاب على التنقل في الطرق المختلفة لحساب مساحة شبه منحرف والاستعداد بشكل أفضل للاختبارات و مراقبة العملحول هذا الموضوع.

تُظهر ممارسة الاستخدام و GIA العام الماضي أن مشاكل الهندسة تسبب صعوبات للعديد من الطلاب. يمكنك التعامل معهم بسهولة إذا حفظت جميع الصيغ اللازمة وتمرن على حل المشكلات.

في هذه المقالة ، سترى صيغًا لإيجاد منطقة شبه منحرف ، بالإضافة إلى أمثلة لمشكلات الحلول. يمكن أن يصادفك نفس الأشخاص في KIMs امتحانات الشهادةأو في الأولمبياد. لذلك ، تعامل معهم بعناية.

ما الذي تريد معرفته عن شبه المنحرف؟

بادئ ذي بدء ، دعنا نتذكر ذلك أرجوحةيسمى الشكل الرباعي ، حيث يوجد جانبان متعاكسان ، يُطلق عليهما أيضًا القواعد ، وهما متوازيان ، والاثنان الآخران ليسوا كذلك.

في شبه منحرف ، يمكن أيضًا حذف الارتفاع (عموديًا على القاعدة). الخط الأوسط مرسوم - هذا خط مستقيم يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما. وكذلك الأقطار التي يمكن أن تتقاطع وتشكل زوايا حادة ومنفرجة. أو ، في بعض الحالات ، بزاوية قائمة. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين ، فيمكن نقش دائرة فيه. ووصف دائرة حوله.

صيغ منطقة شبه منحرف

أولاً ، ضع في اعتبارك الصيغ القياسية لإيجاد مساحة شبه منحرف. سيتم النظر أدناه في طرق حساب مساحة شبه المنحنيات متساوية الساقين وشبه المنحنية.

لذا ، تخيل أن لديك شبه منحرف مع القاعدتين a و b ، حيث يتم خفض الارتفاع h إلى القاعدة الأكبر. من السهل حساب مساحة الشكل في هذه الحالة. تحتاج فقط إلى قسمة مجموع أطوال القواعد على اثنين وضرب ما يحدث في الارتفاع: S = 1/2 (أ + ب) * ح.

لنأخذ حالة أخرى: لنفترض أنه بالإضافة إلى الارتفاع ، فإن شبه المنحرف له خط متوسط ​​م. نحن نعرف صيغة إيجاد طول خط الوسط: م = 1/2 (أ + ب). لذلك ، يمكننا تبسيط معادلة مساحة شبه المنحرف بالشكل التالي: S = م * ح. بمعنى آخر ، لإيجاد مساحة شبه منحرف ، عليك ضرب خط الوسط في الارتفاع.

لنفكر في خيار آخر: قطري d 1 و d 2 مرسومان في شبه منحرف ، لا يتقاطعان بزاوية قائمة α. لحساب مساحة مثل هذا شبه المنحرف ، تحتاج إلى تقسيم حاصل ضرب الأقطار إلى النصف وضرب ما تحصل عليه بجيب الزاوية بينهما: S = 1/2d 1 d 2 * sinα.

الآن ضع في اعتبارك صيغة إيجاد مساحة شبه منحرف إذا لم يكن هناك شيء معروف عنها باستثناء أطوال جميع جوانبها: أ ، ب ، ج ، د. هذه معادلة مرهقة ومعقدة ، لكن سيكون من المفيد لك تذكرها في حالة: S \ u003d 1/2 (a + b) * c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

بالمناسبة ، الأمثلة المذكورة أعلاه صحيحة أيضًا للحالة عندما تحتاج إلى صيغة مساحة شبه منحرف مستطيل. هذا شبه منحرف ، جانبه يجاور القواعد بزاوية قائمة.

شبه منحرف متساوي الساقين

يسمى شبه المنحرف الذي تكون جوانبه متساوية. سننظر في العديد من المتغيرات لصيغة مساحة شبه منحرف متساوي الساقين.

الخيار الأول: للحالة عندما تكون دائرة نصف قطرها r محفورة داخل شبه منحرف متساوي الساقين ، ويشكل الجانب الجانبي والقاعدة الأكبر زاوية حادة α. يمكن نقش دائرة في شبه منحرف بشرط أن يكون مجموع أطوال قاعدتها مساويًا لمجموع أطوال الأضلاع.

يتم حساب مساحة شبه منحرف متساوي الساقين على النحو التالي: اضرب مربع نصف قطر الدائرة المنقوشة بأربعة واقسمه كله على sinα: S = 4r 2 / sinα. صيغة المنطقة الأخرى هي حالة خاصة للخيار عندما تكون الزاوية بين القاعدة الكبيرة والضلع 30 0: S = 8r2.

الخيار الثاني: هذه المرة نأخذ شبه منحرف متساوي الساقين ، حيث يتم ، بالإضافة إلى ذلك ، رسم القطرين d 1 و d 2 ، وكذلك الارتفاع h. إذا كانت أقطار شبه المنحرف متعامدة بشكل متبادل ، فإن الارتفاع يساوي نصف مجموع القاعدة: ع = 1/2 (أ + ب). بمعرفة ذلك ، من السهل تحويل صيغة المنطقة شبه المنحرفة المألوفة لك بالفعل إلى هذا النموذج: S = h2.

صيغة مساحة شبه منحني منحني الأضلاع

لنبدأ بفهم: ما هو شبه منحرف منحني الأضلاع. تخيل محور إحداثيات ورسمًا بيانيًا لوظيفة متصلة وغير سالبة f لا تغير الإشارة داخل مقطع معين على المحور x. شبه منحني منحني الشكل يتكون من الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) - في الأعلى ، المحور x - في الجزء السفلي (المقطع) ، وعلى الجانبين - خطوط مستقيمة مرسومة بين النقطتين a و b والرسم البياني من الوظيفة.

من المستحيل حساب مساحة هذا الشكل غير القياسي باستخدام الطرق المذكورة أعلاه. هنا تحتاج إلى تطبيق التحليل الرياضي واستخدام التكامل. وهي صيغة نيوتن-لايبنيز - S = ∫ b a f (x) dx = F (x) │ b a = F (b) - F (a). في هذه الصيغة ، F هي المشتق العكسي لوظيفتنا في الفترة المحددة. وتتوافق مساحة شبه المنحرف المنحني الخطي مع زيادة المشتق العكسي في قطعة معينة.

أمثلة المهام

لجعل كل هذه الصيغ أفضل في ذهنك ، إليك بعض الأمثلة على مشاكل إيجاد منطقة شبه منحرف. سيكون من الأفضل أن تحاول أولاً حل المشكلات بنفسك ، وبعد ذلك فقط تحقق من الإجابة التي تلقيتها بالحل الجاهز.

مهمة 1:نظرا لشبه منحرف. قاعدته الأكبر 11 سم ، والقاعدة الأصغر 4 سم. يحتوي شبه المنحرف على أقطار ، طول أحدهما 12 سم والآخر 9 سم.

الحل: بناء شبه منحرف AMRS. ارسم الخط RX خلال الرأس P بحيث يكون موازيًا لقطري MC ويتقاطع مع الخط AC عند النقطة X. تحصل على المثلث APX.

سننظر في رقمين تم الحصول عليهما نتيجة لهذه التلاعبات: المثلث APX ومتوازي الأضلاع CMPX.

بفضل متوازي الأضلاع ، علمنا أن PX = MC = 12 سم و CX = MP = 4 سم. أين يمكننا حساب الجانب AX للمثلث ARCH: AX \ u003d AC + CX \ u003d 11 + 4 \ u003d 15 سم.

يمكننا أيضًا إثبات أن المثلث ARCH بزاوية قائمة (للقيام بذلك ، قم بتطبيق نظرية فيثاغورس - AX 2 \ u003d AP 2 + PX 2). واحسب مساحتها: S APX \ u003d 1/2 (AP * PX) \ u003d 1/2 (9 * 12) \ u003d 54 سم 2.

بعد ذلك ، تحتاج إلى إثبات أن المثلثين AMP و PCX متساويان في المنطقة. سيكون الأساس هو المساواة بين الجانبين MP و CX (ثبت بالفعل أعلاه). وكذلك الارتفاعات التي تنزلها على هذه الجوانب - فهي تساوي ارتفاع شبه منحرف AMRS.

كل هذا سيسمح لك بتأكيد أن S AMPC \ u003d S APX \ u003d 54 سم 2.

المهمة رقم 2:إعطاء شبه منحرف KRMS. تقع النقطتان O و E على جوانبها الجانبية ، بينما تكون OE و KS متوازية. ومن المعروف أيضًا أن مناطق شبه المنحرف ORME و OXE هي بنسبة 1: 5. م = أ و كانساس = ب. تحتاج إلى العثور على OE.

الحل: ارسم خطًا يمر بالنقطة M بالتوازي مع RK ، وحدد نقطة تقاطعها مع OE حيث أن T. A هي نقطة تقاطع خط مرسوم عبر النقطة E موازية لـ RK مع قاعدة KS.

دعنا نقدم رمزًا آخر - OE = x. بالإضافة إلى ارتفاع h 1 للمثلث TME والارتفاع h 2 للمثلث AEC (يمكنك إثبات تشابه هذه المثلثات بشكل مستقل).

سنفترض أن ب> أ. ترتبط مناطق شبه المنحرف ORME و OXE على أنها 1: 5 ، مما يمنحنا الحق في وضع المعادلة التالية: (x + a) * h 1 \ u003d 1/5 (b + x) * h 2. دعنا نتحول ونحصل على: h 1 / h 2 \ u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

نظرًا لأن المثلثين TME و AEC متشابهان ، فلدينا h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). اجمع بين كلا الإدخالات واحصل على: (x - a) / (b - x) \ u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \ u003d (ب + س) (ب - س) ↔ 5 (× 2 - أ 2) \ u003d (ب 2 - × 2) ↔ 6x 2 \ u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \ u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

وبالتالي ، OE \ u003d x \ u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

خاتمة

علم الهندسة ليس أسهل العلوم ، لكنك بالتأكيد ستكون قادرًا على التعامل مع مهام الاختبار. لا يتطلب الأمر سوى القليل من الصبر في التحضير. وبالطبع ، تذكر كل الصيغ الضرورية.

حاولنا أن نجمع في مكان واحد كل الصيغ لحساب مساحة شبه منحرف بحيث يمكنك استخدامها عند التحضير للاختبارات وتكرار المواد.

تأكد من إخبار زملائك في الفصل وأصدقائك عن هذه المقالة في في الشبكات الاجتماعية. يترك درجات جيدةسيكون هناك المزيد للاستخدام و GIA!

blog.site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، مطلوب رابط للمصدر.

منطقة شبه منحرف. تحيات! في هذا المنشور ، سننظر في هذه الصيغة. لماذا هو على ما هو عليه وكيف يمكنك فهمه؟ إذا كان هناك تفاهم ، فلا داعي لتعلمه. إذا كنت تريد فقط رؤية هذه الصيغة وما هو عاجل ، فيمكنك التمرير لأسفل الصفحة على الفور))

الآن بالتفصيل وبالترتيب.

شبه المنحرف هو رباعي الأضلاع ، وجهان من هذا الرباعي متوازيان ، والآخران ليسوا كذلك. تلك التي ليست متوازية هي قواعد شبه منحرف. الاثنان الآخران يسميان الجانبين.

إذا كانت الأضلاع متساوية ، فإن شبه المنحرف يسمى متساوي الساقين. إذا كان أحد الجانبين عموديًا على القواعد ، فإن هذا شبه المنحرف يسمى مستطيل.

في الشكل الكلاسيكي ، يتم تصوير شبه المنحرف على النحو التالي - القاعدة الأكبر في الأسفل ، على التوالي ، الأصغر في الأعلى. لكن لا أحد يحرم تصويرها والعكس صحيح. فيما يلي الرسومات:

المفهوم المهم التالي.

الخط الوسطي لشبه المنحرف هو مقطع يربط بين نقاط المنتصف على الجانبين. خط الوسط موازٍ لقاعدتي شبه المنحرف ويساوي نصف مجموعهما.

الآن دعونا نتعمق أكثر. لماذا بالضبط؟

ضع في اعتبارك شبه منحرف مع قواعد أ و بومع الخط الأوسط ل، وقم بتنفيذ بعض الإنشاءات الإضافية: ارسم خطوطًا مستقيمة عبر القواعد ، وعموديًا عبر نهايات خط الوسط حتى تتقاطع مع القواعد:

* لم يتم إدخال التعيينات الحرفية للرؤوس والنقاط الأخرى عن قصد لتجنب التعيينات غير الضرورية.

انظر ، المثلثان 1 و 2 متساويان وفقًا للإشارة الثانية للمساواة بين المثلثات ، والمثلثان 3 و 4 متماثلان. من المساواة بين المثلثات يتبع المساواة بين العناصر ، أي الساقين (يشار إليها على التوالي باللون الأزرق والأحمر).

الانتباه الآن! إذا قمنا عقليًا "بقطع" المقاطع الزرقاء والحمراء من القاعدة السفلية ، فسنحصل على جزء (هذا هو جانب المستطيل) يساوي خط الوسط. علاوة على ذلك ، إذا قمنا "بلصق" المقاطع المقطوعة باللونين الأزرق والأحمر بالقاعدة العلوية من شبه المنحرف ، فسنحصل أيضًا على جزء (هذا هو أيضًا جانب المستطيل) يساوي خط الوسط شبه المنحرف.

فهمتها؟ اتضح أن مجموع القواعد سيكون مساويًا لمتوسطي شبه المنحرف:

انظر تفسيرا آخر

لنفعل ما يلي - نبني خطًا مستقيمًا يمر عبر القاعدة السفلية للشبه المنحرف وخطًا مستقيمًا يمر عبر النقطتين A و B:

نحصل على مثلثين 1 و 2 ، وهما متساويان في الزوايا الجانبية والمجاورة (العلامة الثانية لتساوي المثلثات). هذا يعني أن الجزء الناتج (في الرسم تم تمييزه باللون الأزرق) يساوي القاعدة العلوية لشبه المنحرف.

فكر الآن في المثلث:

* يتطابق الخط الوسطي لهذا شبه المنحرف والخط المتوسط ​​للمثلث.

من المعروف أن المثلث يساوي نصف القاعدة الموازية له ، أي:

حسنا حصلت عليه. الآن حول مساحة شبه منحرف.

صيغة منطقة شبه منحرف:

يقولون: مساحة شبه منحرف تساوي حاصل ضرب نصف مجموع قاعدته وارتفاعه.

أي أنه اتضح أنه يساوي حاصل ضرب خط الوسط والارتفاع:

ربما لاحظت بالفعل أن هذا واضح. هندسيًا ، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي: إذا قطعنا عقليًا المثلثين 2 و 4 من شبه المنحرف ووضعهما في المثلثين 1 و 3 ، على التوالي:

ثم نحصل على مستطيل في المنطقة يساوي المنطقةشبه منحرف لدينا. ستساوي مساحة هذا المستطيل حاصل ضرب خط الوسط والارتفاع ، أي يمكننا كتابة:

لكن النقطة هنا ليست الكتابة بالطبع ، بل في الفهم.

تحميل (عرض) مادة المقال بصيغة pdf *

هذا كل شئ. كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير ، الكسندر.

و . يمكننا الآن البدء في النظر في مسألة كيفية إيجاد مساحة شبه المنحرف. هذه المهمةنادرًا ما يحدث ذلك في الحياة اليومية ، لكن في بعض الأحيان يكون من الضروري ، على سبيل المثال ، العثور على مساحة الغرفة على شكل شبه منحرف ، والتي تستخدم بشكل متزايد في البناء شقق حديثة، أو في مشاريع التصميم للإصلاحات.

ترابيز الشكل الهندسي، تتكون من أربعة أجزاء متقاطعة ، اثنان منها متوازيتان وتسمى قواعد شبه منحرف. يسمى الجزءان الآخران بجانبي شبه المنحرف. بالإضافة إلى ذلك ، سنحتاج إلى تعريف آخر لاحقًا. هذا هو الخط الأوسط من شبه المنحرف ، وهو جزء يربط بين نقاط المنتصف على الجانبين وارتفاع شبه المنحرف ، وهو ما يساوي المسافة بين القاعدتين.
مثل المثلثات ، يحتوي شبه المنحرف على أنواع معينة في شكل شبه منحرف متساوي الساقين (متساوي الساقين) ، حيث تكون أطوال الأضلاع متماثلة وشبه منحرف مستطيل الشكل ، حيث يشكل أحد الجوانب زاوية قائمة مع القواعد.

تحتوي شبه المنحرفات على بعض الخصائص المثيرة للاهتمام:

1. خط الوسط لشكل شبه منحرف يساوي نصف مجموع القواعد وموازيًا لها.
   
2. شبه المنحرف متساوي الساقين له جوانب وزوايا متساوية تتشكل مع القواعد.
   
3. تقع نقاط المنتصف لأقطار شبه منحرف ونقطة تقاطع أقطارها على نفس الخط المستقيم.
   
4. إذا كان مجموع جوانب شبه المنحرف يساوي مجموع القواعد ، فيمكن عندئذٍ كتابة دائرة فيه
   
5. إذا كان مجموع الزوايا التي تشكلها جوانب شبه منحرف في أي من قواعده هو 90 ، فإن طول المقطع الذي يربط بين نقاط المنتصف للقواعد يساوي نصف الفرق بينهما.
   
6. يمكن وصف شبه منحرف متساوي الساقين بدائرة. والعكس صحيح. إذا كان شبه منحرف منقوشًا في دائرة ، فإنه يكون متساوي الساقين.
   
7. سيكون الجزء الذي يمر عبر نقاط المنتصف لقواعد شبه منحرف متساوي الساقين عموديًا على قواعده ويمثل محور التناظر.
   

كيفية إيجاد مساحة شبه منحرف.

مساحة شبه المنحرف ستكون نصف مجموع قاعدته مضروبة في ارتفاعه. في شكل معادلة ، يكتب هذا كتعبير:

حيث S هي مساحة شبه المنحرف ، أ ، ب هي طول كل قاعدة من قواعد شبه المنحرف ، ح هو ارتفاع شبه المنحرف.

يمكنك فهم وتذكر هذه الصيغة على النحو التالي. كما يلي من الشكل أدناه ، يمكن تحويل شبه منحرف باستخدام خط الوسط إلى مستطيل ، سيكون طوله مساويًا لنصف مجموع القواعد.

يمكنك أيضًا تحلل أي شبه منحرف إلى المزيد شخصيات بسيطة: مستطيل ومثلث واحد أو اثنان ، وإذا كان ذلك أسهل بالنسبة لك ، فابحث عن مساحة شبه المنحرف كمجموع مناطق الأشكال المكونة له.

هناك واحد آخر صيغة بسيطةلحساب مساحتها. وفقًا لذلك ، فإن مساحة شبه المنحرف تساوي ناتج خط الوسط وارتفاع شبه المنحرف ويتم كتابتها على النحو التالي: S \ u003d m * h ، حيث S هي المنطقة ، m هي طول خط الوسط ، h هو ارتفاع شبه المنحرف. هذه الصيغةأكثر ملاءمة للمسائل الرياضية مقارنة بالمسائل اليومية ، لأنه في الظروف الواقعية لن تعرف طول الخط الأوسط بدون حسابات أولية. وستعرف فقط أطوال القواعد والجوانب.

في هذه الحالة ، يمكن إيجاد مساحة شبه المنحرف باستخدام الصيغة:

S \ u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2/2 (b-a)) 2

حيث S هي المنطقة ، أ ، ب هي القواعد ، ج ، د هي جوانب شبه منحرف.

توجد عدة طرق أخرى لإيجاد مساحة شبه منحرف. لكنها غير مريحة مثل الصيغة الأخيرة ، مما يعني أنه ليس من المنطقي الإسهاب فيها. لذلك ، نوصيك باستخدام الصيغة الأولى من المقالة ونتمنى دائمًا الحصول على نتائج دقيقة.