حل المعادلات باستخدام الجذر التربيعي اللوغاريتمي. المعادلات اللوغاريتمية. من البسيط إلى المعقد

كلنا نعرف المعادلات. مدرسة إبتدائية. حتى هناك تعلمنا حل أبسط الأمثلة ، ويجب الاعتراف بأنهم وجدوا تطبيقاتهم حتى في الرياضيات العليا. كل شيء بسيط مع المعادلات ، بما في ذلك المربعات. إذا كانت لديك مشاكل مع هذا الموضوع ، فإننا نوصي بشدة بإعادة تجربته.

لوغاريتمات ربما تكون قد مررت بالفعل أيضًا. ومع ذلك ، فإننا نعتبر أنه من المهم أن نحدد ما هو لمن لا يعرفون حتى الآن. اللوغاريتم يساوي القوة التي يجب رفع القاعدة إليها للحصول على الرقم على يمين علامة اللوغاريتم. دعنا نعطي مثالًا ، بناءً على ذلك ، سيصبح كل شيء واضحًا لك.

إذا رفعت 3 إلى القوة الرابعة ، تحصل على 81. الآن استبدل الأرقام بالقياس ، وستفهم أخيرًا كيف يتم حل اللوغاريتمات. الآن يبقى فقط الجمع بين المفهومين المدروسين. في البداية ، يبدو الوضع صعبًا للغاية ، ولكن عند الفحص الدقيق ، يقع الوزن في مكانه الصحيح. نحن على يقين من أنه بعد هذه المقالة القصيرة لن تواجهك أية مشاكل في هذا الجزء من الامتحان.

اليوم ، هناك العديد من الطرق لحل مثل هذه الهياكل. سنتحدث عن أبسط وأكثر فعالية والأكثر قابلية للتطبيق في حالة مهام الاستخدام. يجب أن يبدأ حل المعادلات اللوغاريتمية من البداية. مثال بسيط. تتكون أبسط المعادلات اللوغاريتمية من دالة ومتغير واحد فيها.

من المهم ملاحظة أن x داخل السعة. يجب أن يكون A و b رقمين. في هذه الحالة ، يمكنك ببساطة التعبير عن الدالة بدلالة عدد في قوة. تبدو هكذا.

بالطبع ، سيقودك حل المعادلة اللوغاريتمية بهذه الطريقة إلى الإجابة الصحيحة. لكن مشكلة الغالبية العظمى من الطلاب في هذه الحالة هي أنهم لا يفهمون ماذا وأين يأتي. نتيجة لذلك ، عليك أن تتحمل الأخطاء ولا تحصل على النقاط المطلوبة. سيكون الخطأ الأكثر هجومًا هو خلط الأحرف في بعض الأماكن. لحل المعادلة بهذه الطريقة ، تحتاج إلى حفظ صيغة المدرسة القياسية هذه ، لأنه من الصعب فهمها.

لتسهيل الأمر ، يمكنك اللجوء إلى طريقة أخرى - الشكل المتعارف عليه. الفكرة بسيطة للغاية. انتبه للمهمة مرة أخرى. تذكر أن الحرف a هو رقم وليس دالة أو متغير. أ لا يساوي واحدًا وأكبر من صفر. لا توجد قيود على ب. الآن من بين جميع الصيغ ، نتذكر واحدة. يمكن التعبير عن B على النحو التالي.

ويترتب على ذلك أن جميع المعادلات الأصلية مع اللوغاريتمات يمكن تمثيلها على النحو التالي:

الآن يمكننا تجاهل اللوغاريتمات. اتضح تصميم بسيطالتي رأيناها من قبل.

تكمن راحة هذه الصيغة في حقيقة أنه يمكن استخدامها في مجموعة متنوعة من الحالات ، وليس فقط لأبسط التصميمات.

لا تقلق بشأن OOF!

سيلاحظ العديد من علماء الرياضيات ذوي الخبرة أننا لم نعر اهتمامًا لمجال التعريف. تتلخص القاعدة في حقيقة أن F (x) بالضرورة أكبر من 0. لا ، لم نفوت هذه النقطة. الآن نحن نتحدث عن ميزة جدية أخرى للشكل الكنسي.

لن يكون هناك جذور إضافية هنا. إذا كان المتغير سيحدث في مكان واحد فقط ، فلن يكون النطاق ضروريًا. يتم تشغيله تلقائيًا. للتحقق من هذا الحكم ، فكر في حل بعض الأمثلة البسيطة.

كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية ذات الأسس المختلفة

هذه معادلات لوغاريتمية معقدة بالفعل ، ويجب أن يكون نهج حلها خاصًا. هنا نادرًا ما يكون من الممكن حصر أنفسنا بالشكل الكنسي سيئ السمعة. لنبدأ قصة مفصلة. لدينا البناء التالي.

لاحظ الكسر. يحتوي على اللوغاريتم. إذا رأيت هذا في المهمة ، فمن الجدير أن تتذكر خدعة واحدة مثيرة للاهتمام.

ماذا يعني ذلك؟ يمكن التعبير عن كل لوغاريتم على أنه حاصل قسمة لوغاريتمين بأساس مناسب. وهذه الصيغة لها حالة خاصة تنطبق على هذا المثال (نعني إذا كان c = b).

هذا هو بالضبط ما نراه في مثالنا. هكذا.

في الواقع ، لقد قلبوا الكسر وحصلوا على تعبير أكثر ملاءمة. تذكر هذه الخوارزمية!

نحتاج الآن إلى أن المعادلة اللوغاريتمية لا تحتوي على أسس مختلفة. لنمثل القاعدة في صورة كسر.

في الرياضيات ، توجد قاعدة ، بناءً عليها ، يمكنك الحصول على الدرجة من القاعدة. اتضح البناء التالي.

يبدو الآن أنه ما الذي يمنعنا من تحويل تعبيرنا إلى شكل أساسي وحلها بشكل أساسي؟ ليس بسيط جدا. يجب ألا يكون هناك كسور قبل اللوغاريتم. دعونا نصلح هذا الوضع! يُسمح بأخذ جزء كدرجة.

على التوالى.

إذا كانت الأسس هي نفسها ، فيمكننا إزالة اللوغاريتمات ومساواة التعبيرات نفسها. لذلك سيصبح الوضع أسهل بكثير مما كان عليه. ستكون هناك معادلة أولية يعرف كل منا كيفية حلها في الصف الثامن أو السابع. يمكنك إجراء الحسابات بنفسك.

لقد حصلنا على الجذر الحقيقي الوحيد لهذه المعادلة اللوغاريتمية. أمثلة حل معادلة لوغاريتمية بسيطة للغاية ، أليس كذلك؟ الآن سوف تكون قادرًا على التعامل بشكل مستقل مع أكثر من غيرها المهام الصعبةلتحضير الامتحان وتسليمه.

ما هي النتيجة؟

في حالة أي معادلة لوغاريتمية ، نبدأ من واحدة جدًا قاعدة مهمة. من الضروري التصرف بطريقة تجعل التعبير إلى أقصى حد مرأى من الجميع. في هذه الحالة ، سيكون لديك المزيد من الفرص ليس فقط لحل المشكلة بشكل صحيح ، ولكن أيضًا للقيام بذلك بأبسط الطرق وأكثرها منطقية. هكذا يعمل علماء الرياضيات دائمًا.

لا نوصي بشدة بالبحث عن المسارات الصعبة ، خاصة في هذه الحالة. تذكر القليل قواعد بسيطة، مما سيسمح لك بتحويل أي تعبير. على سبيل المثال ، أحضر لوغاريتمين أو ثلاثة إلى نفس القاعدة ، أو خذ قوة من القاعدة واربح عليها.

من الجدير بالذكر أيضًا أنه في حل المعادلات اللوغاريتمية ، يجب أن تتدرب باستمرار. تدريجيا سوف تنتقل إلى المزيد والمزيد الهياكل المعقدة، وسيقودك هذا إلى حل واثق لجميع متغيرات المشاكل في الامتحان. استعد لامتحاناتك في وقت مبكر ، ونتمنى لك التوفيق!

سنتعلم اليوم كيفية حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية التي لا تتطلب تحويلات أولية واختيار الجذور. ولكن إذا تعلمت كيفية حل هذه المعادلات ، فسيكون الأمر أسهل بكثير.

أبسط معادلة لوغاريتمية هي معادلة النموذج log a f (x) \ u003d b ، حيث a ، b هي أرقام (a \ u003e 0 ، a ≠ 1) ، f (x) هي بعض الوظائف.

السمة المميزة لجميع المعادلات اللوغاريتمية هي وجود المتغير x تحت علامة اللوغاريتم. إذا تم تقديم مثل هذه المعادلة في البداية في المشكلة ، فإنها تسمى أبسطها. يتم تقليل أي معادلات لوغاريتمية أخرى إلى أبسطها عن طريق تحويلات خاصة (انظر "الخصائص الأساسية للوغاريتمات"). ومع ذلك ، يجب أخذ العديد من التفاصيل الدقيقة في الاعتبار: قد تظهر جذور إضافية ، لذلك سيتم النظر في المعادلات اللوغاريتمية المعقدة بشكل منفصل.

كيف تحل هذه المعادلات؟ يكفي استبدال الرقم الموجود على يمين علامة التساوي باللوغاريتم في الأساس نفسه كما هو على اليسار. ثم يمكنك التخلص من علامة اللوغاريتم. نحن نحصل:

سجل a f (x) \ u003d b ⇒ log a f (x) \ u003d log a a b ⇒ f (x) \ u003d a b

حصلنا على المعادلة المعتادة. جذوره هي جذور المعادلة الأصلية.

نطق الدرجات

غالبًا ما يتم حل المعادلات اللوغاريتمية ، التي تبدو خارجية معقدة وخطيرة ، في سطرين فقط دون استخدام صيغ معقدة. سننظر اليوم في مثل هذه المشكلات فقط ، حيث كل ما هو مطلوب منك هو تقليل الصيغة بعناية إلى الشكل الأساسي وعدم الخلط عند البحث عن مجال تعريف اللوغاريتمات.

اليوم ، كما خمنت على الأرجح من العنوان ، سنحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصيغ للانتقال إلى الشكل المتعارف عليه. تتمثل "الحيلة" الرئيسية في درس الفيديو هذا في العمل بالدرجات ، أو بالأحرى أخذ الدرجة من الأساس والحجة. لنلقِ نظرة على القاعدة:

وبالمثل ، يمكنك الحصول على الدرجة من القاعدة:

كما ترى ، إذا كان عند إخراج الدرجة من حجة اللوغاريتم ، فإننا ببساطة لدينا مضاعف إضافيفي المقدمة ، ثم عند إخراج الدرجة من القاعدة - ليس مجرد عامل ، بل عامل مقلوب. يجب تذكر هذا.

أخيرًا ، الأكثر إثارة للاهتمام. يمكن دمج هذه الصيغ ، ثم نحصل على:

بالطبع ، عند إجراء هذه التحولات ، هناك بعض المزالق المرتبطة بالتوسع المحتمل لمجال التعريف أو ، على العكس من ذلك ، تضييق مجال التعريف. أحكم لنفسك:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 س

في الحالة الأولى ، يمكن أن يكون x أي رقم بخلاف 0 ، أي المتطلب x ≠ 0 ، ثم في الحالة الثانية ، سنكتفي فقط بـ x ، والتي ليست فقط غير متساوية ، ولكنها أكبر من 0 تمامًا ، لأن مجال اللوغاريتم هو أن الحجة أكبر من 0. لذلك ، سوف أذكرك بصيغة رائعة من مسار الجبر في الصفوف 8-9:

بمعنى ، يجب أن نكتب صيغتنا على النحو التالي:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 | س |

ثم لن يحدث تضييق لمجال التعريف.

ومع ذلك ، في الفيديو التعليمي اليوم لن تكون هناك مربعات. إذا نظرت إلى مهامنا ، فسترى الجذور فقط. لذلك ، لن نطبق هذه القاعدة ، لكن لا يزال يتعين وضعها في الاعتبار حتى في الوقت المناسب عندما ترى وظيفة من الدرجة الثانيةفي الوسيطة أو قاعدة اللوغاريتم ، سوف تتذكر هذه القاعدة وتنفذ جميع التحويلات بشكل صحيح.

إذن المعادلة الأولى هي:

لحل هذه المشكلة ، أقترح النظر بعناية في كل من المصطلحات الموجودة في الصيغة.

دعنا نعيد كتابة الحد الأول كقوة ذات أس كسري:

ننظر إلى الحد الثاني: log 3 (1 - x). لا تحتاج إلى فعل أي شيء هنا ، فكل شيء قد تغير بالفعل.

أخيرًا ، 0 ، 5. كما قلت في الدروس السابقة ، عند حل المعادلات والصيغ اللوغاريتمية ، أوصي بشدة بالانتقال من الكسور العشرية إلى الكسور العادية. هيا بنا نقوم بذلك:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعنا نعيد كتابة صيغتنا الأصلية مع مراعاة الشروط التي تم الحصول عليها:

سجل 3 (1 - س) = 1

الآن دعنا ننتقل إلى الشكل المتعارف عليه:

سجل 3 (1 - س) = سجل 3 3

تخلص من علامة اللوغاريتم بمساواة الحجج:

1 - س = 3

-x = 2

س = −2

هذا كل شيء ، لقد حللنا المعادلة. ومع ذلك ، دعونا لا نزال نلعبها بأمان ونجد مجال التعريف. للقيام بذلك ، دعنا نعود إلى الصيغة الأصلية ونرى:

1 - س> 0

-x> -1

x< 1

جذرنا x = −2 يلبي هذا المطلب ، لذا فإن x = −2 هو حل للمعادلة الأصلية. الآن لدينا تبرير صارم واضح. كل شيء ، تم حل المهمة.

دعنا ننتقل إلى المهمة الثانية:

دعونا نتعامل مع كل مصطلح على حدة.

نكتب الأول:

لقد قمنا بتعديل الفصل الأول. نحن نعمل مع الفصل الثاني:

أخيرًا ، المصطلح الأخير ، وهو على يمين علامة المساواة:

نستبدل التعبيرات الناتجة عن المصطلحات في الصيغة الناتجة:

سجل 3 س = 1

ننتقل إلى الشكل المتعارف عليه:

سجل 3 س = سجل 3 3

نتخلص من علامة اللوغاريتم من خلال مساواة الحجج ، ونحصل على:

س = 3

مرة أخرى ، فقط في حالة ، دعنا نلعبها بأمان ، نعود إلى المعادلة الأصلية ونرى. في الصيغة الأصلية ، المتغير x موجود فقط في الوسيطة ، لذلك ،

x> 0

في اللوغاريتم الثاني ، x تحت الجذر ، ولكن مرة أخرى في الوسيطة ، لذلك ، يجب أن يكون الجذر أكبر من 0 ، أي يجب أن يكون التعبير الجذر أكبر من 0. ننظر إلى جذرنا x = 3. من الواضح ، يفي بهذا المطلب. إذن ، x = 3 هو حل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. كل شيء ، تم حل المهمة.

هناك نقطتان أساسيتان في الفيديو التعليمي اليوم:

1) لا تخف من تحويل اللوغاريتمات ، وعلى وجه الخصوص ، لا تخف من أخذ درجات من علامة اللوغاريتم ، مع تذكر صيغتنا الأساسية: عند إخراج الدرجة من الحجة ، يتم إخراجها ببساطة بدون يتغير كعامل ، وعند إخراج الدرجة من القاعدة ، تنعكس هذه الدرجة.

2) النقطة الثانية تتعلق بالشكل الذاتي المتعارف عليه. أجرينا الانتقال إلى الشكل المتعارف عليه في نهاية تحويل صيغة المعادلة اللوغاريتمية. أذكر الصيغة التالية:

أ = سجل ب ب أ

بالطبع ، من خلال التعبير "أي رقم ب" ، أعني تلك الأرقام التي تفي بالمتطلبات المفروضة على أساس اللوغاريتم ، أي

1 ≠ ب> 0

بالنسبة لمثل ب ، وبما أننا نعرف الأساس بالفعل ، فسيتم استيفاء هذا المطلب تلقائيًا. ولكن بالنسبة لمثل هذا ب - أي الذي يلبي هذا المطلب - يمكن إجراء هذا الانتقال ، ونحصل على شكل أساسي يمكننا من خلاله التخلص من علامة اللوغاريتم.

تمديد مجال التعريف والجذور الإضافية

في عملية تحويل المعادلات اللوغاريتمية ، قد يحدث امتداد ضمني لمجال التعريف. في كثير من الأحيان ، لا يلاحظ الطلاب ذلك ، مما يؤدي إلى أخطاء وإجابات غير صحيحة.

لنبدأ بأبسط التصاميم. أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:

سجل أ و (س) = ب

لاحظ أن x موجود في وسيطة واحدة فقط لوغاريتم واحد. كيف نحل مثل هذه المعادلات؟ نستخدم الصيغة المتعارف عليها. للقيام بذلك ، نمثل الرقم b \ u003d log a a b ، وستتم إعادة كتابة معادلتنا بالشكل التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

هذا التدوين يسمى الشكل المتعارف عليه. يجب تقليل أي معادلة لوغاريتمية ستقابلها ليس فقط في درس اليوم ، ولكن أيضًا في أي عمل مستقل وتحكمي.

كيف نصل إلى الشكل المتعارف عليه ، ما هي التقنيات التي يجب استخدامها - هذه بالفعل مسألة ممارسة. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه: بمجرد استلامك مثل هذا السجل ، يمكننا افتراض أن المشكلة قد تم حلها. لأن الخطوة التالية هي أن تكتب:

و (س) = أ ب

بعبارة أخرى ، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج ببساطة.

لماذا كل هذا الكلام؟ الحقيقة هي أن الشكل المتعارف عليه لا ينطبق فقط على أبسط المشاكل ، ولكن أيضًا على أي مشاكل أخرى. على وجه الخصوص ، إلى أولئك الذين سنخاطبهم اليوم. دعنا نلقي نظرة.

المهمة الأولى:

ما هي مشكلة هذه المعادلة؟ حقيقة أن الوظيفة موجودة في لوغاريتمين في وقت واحد. يمكن اختزال المشكلة إلى أبسطها ببساطة عن طريق طرح لوغاريتم واحد من آخر. لكن هناك مشاكل في مجال التعريف: قد تظهر جذور إضافية. لذلك دعونا ننقل أحد اللوغاريتمات إلى اليمين:

هنا مثل هذا السجل هو بالفعل أكثر شبهاً بالشكل المتعارف عليه. ولكن هناك فارق بسيط آخر: في الشكل القانوني ، يجب أن تكون الحجج هي نفسها. ولدينا لوغاريتم للأساس 3 على اليسار ولوغاريتم للأساس 1/3 على اليمين. كما تعلم ، عليك إحضار هذه القواعد إلى نفس الرقم. على سبيل المثال ، لنتذكر الأسس السالبة:

ثم سنستخدم الأس "-1" خارج السجل كمضاعف:

يرجى ملاحظة: الدرجة التي وقفت عند القاعدة تنقلب وتتحول إلى كسر. حصلنا على تدوين متعارف عليه تقريبًا من خلال التخلص من القواعد المختلفة ، ولكن بدلاً من ذلك حصلنا على عامل "1" على اليمين. دعنا نضع هذا العامل في الحجة بتحويله إلى قوة:

بالطبع ، بعد أن تلقينا الشكل المتعارف عليه ، نشطب بجرأة علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج. في الوقت نفسه ، دعني أذكرك أنه عند رفعه إلى قوة "1" ، يتحول الكسر ببساطة - يتم الحصول على نسبة.

دعنا نستخدم الخاصية الرئيسية للنسبة ونضربها بالعرض:

(س - 4) (2 س - 1) = (س - 5) (3 س - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20

× 2 - 10 × + 16 = 0

أمامنا هو معادلة من الدرجة الثانية، لذلك قمنا بحلها باستخدام صيغ Vieta:

(س - 8) (س - 2) = 0

× 1 = 8 ؛ س 2 = 2

هذا كل شئ. هل تعتقد أن المعادلة قد تم حلها؟ لا! لمثل هذا الحل ، سنحصل على 0 نقطة ، لأنه في المعادلة الأصلية يوجد لوغاريتمان مع المتغير x مرة واحدة. لذلك ، من الضروري مراعاة مجال التعريف.

وهنا تبدأ المتعة. يحتار معظم الطلاب: ما هو مجال اللوغاريتم؟ بالطبع ، يجب أن تكون جميع الحجج (لدينا اثنان) أكبر من الصفر:

(س - 4) / (3 س - 4)> 0

(س - 5) / (2 س - 1)> 0

يجب حل كل من هذه المتباينات ، ووضع علامة على خط مستقيم ، وعبورها - وعندها فقط نرى الجذور التي تقع عند التقاطع.

سأكون صادقًا: هذه التقنية لها الحق في الوجود ، وهي موثوقة ، وستحصل على الإجابة الصحيحة ، ولكن هناك العديد من الخطوات الإضافية فيها. لذلك دعنا ننتقل إلى حلنا مرة أخرى ونرى: أين تريد تحديد النطاق بالضبط؟ بمعنى آخر ، عليك أن تفهم بوضوح متى تظهر الجذور الإضافية بالضبط.

1. في البداية ، كان لدينا لوغاريتمان. ثم نقلنا إحداها إلى اليمين ، لكن هذا لم يؤثر على منطقة التعريف.
2. ثم نزيل القوة من القاعدة ، لكن لا يزال هناك لوغاريتمان ، يحتوي كل منهما على المتغير x.
3. أخيرًا ، قمنا بشطب علامات السجل ونحصل على المعادلة الكسرية المنطقية الكلاسيكية.

في الخطوة الأخيرة يتم توسيع مجال التعريف! بمجرد أن انتقلنا إلى المعادلة المنطقية الكسرية ، وتخلصنا من علامات السجل ، تغيرت متطلبات المتغير x بشكل كبير!

لذلك ، لا يمكن اعتبار مجال التعريف في بداية الحل ، ولكن فقط في الخطوة المذكورة - قبل أن نساوي الحجج مباشرة.

هذا هو المكان الذي تكمن فيه فرصة التحسين. من ناحية ، نحن مطالبون بأن تكون كلتا الوسيطتين أكبر من الصفر. من ناحية أخرى ، نحن نساوي هذه الحجج. لذلك ، إذا كان أحدهما على الأقل إيجابيًا ، فسيكون الثاني إيجابيًا أيضًا!

لذلك اتضح أن طلب تحقيق متباينتين في وقت واحد هو مبالغة. يكفي اعتبار واحد فقط من هذه الكسور. أيها؟ الذي هو أسهل. على سبيل المثال ، لنلقِ نظرة على الكسر الصحيح:

(س - 5) / (2 س - 1)> 0

هذه متباينة عقلانية كسرية نموذجية ، نحلها باستخدام طريقة الفترة:

كيف نضع اللافتات؟ خذ عددًا من الواضح أنه أكبر من كل الجذور. على سبيل المثال ، 1 بليون ونقوم بالتعويض عن كسرها. نحصل على رقم موجب ، أي على يمين الجذر x = 5 ستكون هناك علامة زائد.

ثم تتبدل العلامات ، لأنه لا توجد جذور حتى للتعدد في أي مكان. نحن مهتمون بالفترات التي تكون فيها الوظيفة موجبة. ومن ثم س ∈ (−∞ ؛ −1/2) ∪ (5 ؛ + ∞).

الآن دعنا نتذكر الإجابات: x = 8 و x = 2. بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذه ليست إجابات حتى الآن ، ولكنها مرشحة فقط للإجابة. أي واحد ينتمي إلى المجموعة المحددة؟ بالطبع ، x = 8. لكن x = 2 لا تناسبنا من حيث مجال التعريف.

إجمالاً ، ستكون الإجابة على المعادلة اللوغاريتمية الأولى هي x = 8. الآن لدينا حل مناسب ومعقول ، مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف.

دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية:

سجل 5 (س - 9) = سجل 0.5 4 - سجل 5 (س - 5) + 3

أذكرك أنه إذا كان هناك كسر عشري في المعادلة ، فعليك التخلص منه. بعبارة أخرى ، دعونا نعيد كتابة 0.5 في صورة كسر عادي. نلاحظ على الفور أن اللوغاريتم الذي يحتوي على هذه القاعدة يمكن اعتباره بسهولة:

هذه لحظة مهمة جدا! عندما يكون لدينا درجات في كل من الأساس والحجة ، يمكننا إخراج مؤشرات هذه الدرجات باستخدام الصيغة:

نعود إلى معادلتنا اللوغاريتمية الأصلية ونعيد كتابتها:

سجل 5 (س - 9) = 1 - سجل 5 (س - 5)

لقد حصلنا على بناء قريب جدًا من الشكل المتعارف عليه. ومع ذلك ، فإننا مرتبكون من المصطلحات وعلامة الطرح الموجودة على يمين علامة التساوي. دعنا نمثل الوحدة على أنها لوغاريتم للأساس 5:

سجل 5 (س - 9) = سجل 5 5 1 - سجل 5 (س - 5)

اطرح اللوغاريتمات على اليمين (بينما يتم تقسيم وسيطاتهم):

سجل 5 (س - 9) = سجل 5 5 / (س - 5)

رائع. لذلك حصلنا على الشكل المتعارف عليه! نقوم بشطب علامات السجل ونساوي الحجج:

(س - 9) / 1 = 5 / (س - 5)

هذه نسبة يمكن حلها بسهولة عن طريق الضرب التبادلي:

(س - 9) (س - 5) = 5 1

× 2-9 س - 5 س + 45 = 5

x2 - 14x + 40 = 0

من الواضح أن لدينا معادلة تربيعية معينة. يتم حله بسهولة باستخدام صيغ Vieta:

(س - 10) (س - 4) = 0

× 1 = 10

× 2 = 4

لدينا جذور. لكن هذه ليست إجابات نهائية ، ولكنها مرشحة فقط ، لأن المعادلة اللوغاريتمية تتطلب أيضًا التحقق من المجال.

أذكرك: لا تنظر متى كلمن الحجج ستكون أكبر من الصفر. يكفي أن تشترط أن تكون وسيطة واحدة ، إما x - 9 أو 5 / (x - 5) أكبر من الصفر. تأمل الحجة الأولى:

س - 9> 0

x> 9

من الواضح أن س = 10 فقط تفي بهذا المطلب ، وهذه هي الإجابة النهائية. تم حل جميع المشاكل.

مرة أخرى ، الأفكار الرئيسية لدرس اليوم:

1. بمجرد ظهور المتغير x في عدة لوغاريتمات ، تتوقف المعادلة عن كونها أولية ، ومن الضروري حساب مجال التعريف. خلاف ذلك ، يمكنك بسهولة كتابة جذور إضافية ردا على ذلك.
2. يمكن تبسيط العمل مع مجال التعريف نفسه إلى حد كبير إذا لم تتم كتابة المتباينة على الفور ، ولكن بالضبط في الوقت الذي نتخلص فيه من علامات السجل. بعد كل شيء ، عندما تكون الحجج متساوية مع بعضها البعض ، يكفي أن نطلب أن تكون واحدة منها فقط أكبر من الصفر.

بالطبع ، نحن أنفسنا نختار من أي حجة لنصنع متباينة ، لذلك من المنطقي اختيار أبسطها. على سبيل المثال ، في المعادلة الثانية ، اخترنا الوسيطة (x - 9) كدالة خطية ، بدلاً من الوسيطة الثانية المنطقية الكسرية. توافق على أن حل المتباينة x - 9> 0 أسهل بكثير من 5 / (x - 5)> 0. على الرغم من أن النتيجة واحدة.

تعمل هذه الملاحظة على تبسيط البحث عن ODZ بشكل كبير ، ولكن كن حذرًا: يمكنك استخدام متباينة واحدة بدلاً من اثنين فقط عندما تكون الوسيطات دقيقة تعادل بعضها البعض!

بالطبع ، سوف يسأل أحدهم الآن: ما الذي يحدث بشكل مختلف؟ نعم احيانا. على سبيل المثال ، في الخطوة نفسها ، عندما نقوم بضرب وسيطين يحتويان على متغير ، يكون هناك خطر وجود جذور إضافية.

احكم بنفسك: في البداية يجب أن تكون كل وسيطة أكبر من الصفر ، ولكن بعد الضرب يكفي أن يكون ناتجها أكبر من الصفر. نتيجة لذلك ، يتم تفويت الحالة التي يكون فيها كل من هذه الكسور سالبة.

لذلك ، إذا كنت قد بدأت للتو في التعامل مع المعادلات اللوغاريتمية المعقدة ، فلا تقم بأي حال من الأحوال بضرب اللوغاريتمات التي تحتوي على المتغير x - في كثير من الأحيان سيؤدي ذلك إلى جذور إضافية. من الأفضل اتخاذ خطوة إضافية واحدة ، ونقل مصطلح واحد إلى الجانب الآخر ، وتشكيل النموذج المتعارف عليه.

حسنًا ، ماذا تفعل إذا كنت لا تستطيع الاستغناء عن ضرب هذه اللوغاريتمات ، سنناقش في الفيديو التعليمي التالي. :)

مرة أخرى حول القوى في المعادلة

سنقوم اليوم بتحليل موضوع زلق إلى حد ما يتعلق بالمعادلات اللوغاريتمية ، أو بالأحرى إزالة القوى من الحجج وقواعد اللوغاريتمات.

بل أقول نحن سوف نتكلمحول أخذ القوى الزوجية ، لأنه مع القوى الزوجية تنشأ معظم الصعوبات عند حل المعادلات اللوغاريتمية الحقيقية.

لنبدأ بالصيغة المتعارف عليها. لنفترض أن لدينا معادلة مثل log a f (x) = b. في هذه الحالة ، نعيد كتابة الرقم ب وفقًا للصيغة b = log a a b. اتضح ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نساوي الحجج:

و (س) = أ ب

تسمى الصيغة قبل الأخيرة بالشكل المتعارف عليه. بالنسبة لها يحاولون تقليل أي معادلة لوغاريتمية ، بغض النظر عن مدى تعقيدها ورعبها للوهلة الأولى.

هنا ، دعنا نحاول. لنبدأ بالمهمة الأولى:

ملاحظة أولية: كما قلت ، كل شيء الكسور العشريةفي المعادلة اللوغاريتمية ، من الأفضل ترجمتها إلى معادلات عادية:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعونا نعيد كتابة المعادلة مع وضع هذه الحقيقة في الاعتبار. لاحظ أن كلاً من 1/1000 و 100 هما قوى لـ 10 ، ثم نخرج القوى من أينما كانت: من الحجج وحتى من قاعدة اللوغاريتمات:

وهنا يطرح السؤال للعديد من الطلاب: "من أين أتت الوحدة على اليمين؟" في الواقع ، لماذا لا تكتب فقط (س - 1)؟ بالطبع ، سنكتب الآن (x - 1) ، لكن الحق في مثل هذا السجل يعطينا حساب مجال التعريف. بعد كل شيء ، يحتوي اللوغاريتم الآخر بالفعل على (x - 1) ، وهذا التعبير يجب أن يكون أكبر من الصفر.

لكن عندما نحذف المربع من قاعدة اللوغاريتم ، يجب أن نترك الوحدة في القاعدة. سأشرح لماذا.

الحقيقة هي أنه من وجهة نظر الرياضيات ، فإن الحصول على درجة هو بمثابة تجذير. على وجه الخصوص ، عندما يكون التعبير (x - 1) 2 تربيعًا ، فإننا في الأساس نستخرج جذر الدرجة الثانية. لكن الجذر التربيعي ليس أكثر من مقياس. بالضبط وحدة، لأنه حتى إذا كان التعبير x - 1 سالبًا ، فسيظل احتراقه عند تربيع "ناقص". سيعطينا الاستخراج الإضافي للجذر رقمًا موجبًا - بدون أي عيوب بالفعل.

بشكل عام ، لتجنب الأخطاء الهجومية ، تذكر بشكل نهائي:

لا يساوي جذر الدرجة الزوجية من أي دالة مرفوعة إلى نفس القوة الدالة نفسها ، بل مقياسها:

نعود إلى معادلتنا اللوغاريتمية. بالحديث عن الوحدة ، جادلت بأنه يمكننا إزالتها بدون ألم. هذا صحيح. الآن سوف أشرح لماذا. بالمعنى الدقيق للكلمة ، كان علينا التفكير في خيارين:

1. س - 1> 0 | س - 1 | = س - 1
2. س - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

يجب معالجة كل خيار من هذه الخيارات. ولكن هناك مشكلة واحدة: تحتوي الصيغة الأصلية بالفعل على الوظيفة (x - 1) بدون أي معامل. وباتباع مجال تعريف اللوغاريتمات ، لدينا الحق في كتابة x - 1> 0 على الفور.

يجب استيفاء هذا المطلب بغض النظر عن أي وحدات وتحولات أخرى نقوم بها في عملية الحل. لذلك ، من غير المجدي النظر في الخيار الثاني - لن يظهر أبدًا. حتى إذا حصلنا على بعض الأرقام عند حل هذا الفرع من المتباينة ، فلن يتم تضمينها في الإجابة النهائية.

نحن الآن حرفياً على بعد خطوة واحدة من الشكل المتعارف عليه للمعادلة اللوغاريتمية. دعنا نمثل الوحدة على النحو التالي:

1 = تسجيل x - 1 (x - 1) 1

بالإضافة إلى ذلك ، نقدم العامل −4 ، الموجود على اليمين ، في الحجة:

تسجيل x - 1 10 −4 = تسجيل x - 1 (x - 1)

أمامنا الشكل الأساسي للمعادلة اللوغاريتمية. تخلص من علامة اللوغاريتم:

10 −4 = س - 1

ولكن نظرًا لأن الأساس كان دالة (وليس عددًا أوليًا) ، فإننا نطلب أيضًا أن تكون هذه الدالة أكبر من صفر وألا تساوي واحدًا. احصل على النظام:

نظرًا لأن المتطلب x - 1> 0 يتم استيفائه تلقائيًا (لأن x - 1 = 10 −4) ، يمكن حذف إحدى المتباينات من نظامنا. يمكن أيضًا شطب الشرط الثاني لأن x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

س = 1 + 0.0001 = 1.0001

هذا هو الجذر الوحيد الذي يلبي تلقائيًا جميع متطلبات مجال تعريف اللوغاريتم (ومع ذلك ، تم حذف جميع المتطلبات حيث تم الوفاء بها عن علم في ظروف مشكلتنا).

إذن المعادلة الثانية هي:

3 سجل 3 × س = 2 سجل 9 × × 2

كيف تختلف هذه المعادلة اختلافًا جوهريًا عن السابقة؟ بالفعل على الأقل من خلال حقيقة أن قواعد اللوغاريتمات - 3x و 9x - ليست قوى طبيعية لبعضها البعض. لذلك ، فإن الانتقال الذي استخدمناه في الحل السابق غير ممكن.

دعونا على الأقل نتخلص من الدرجات. في حالتنا ، القوة الوحيدة موجودة في الوسيطة الثانية:

3 سجل 3 س س = 2 ∙ 2 سجل 9 س | س |

ومع ذلك ، يمكن إزالة علامة المقياس ، لأن المتغير x موجود أيضًا في القاعدة ، أي س> 0 ⇒ | س | = س. دعونا نعيد كتابة معادلتنا اللوغاريتمية:

3 سجل 3 س س = 4 سجل 9 س س

لدينا اللوغاريتمات التي تكون فيها الحجج هي نفسها ، ولكن أسباب مختلفة. كيفية المضي قدما؟ هناك العديد من الخيارات هنا ، لكننا سننظر في اثنين منها فقط ، وهما الأكثر منطقية ، والأهم من ذلك ، هذه حيل سريعة ومفهومة لمعظم الطلاب.

لقد درسنا بالفعل الخيار الأول: في أي موقف غير مفهوم ، قم بترجمة اللوغاريتمات ذات الأساس المتغير إلى قاعدة ثابتة. على سبيل المثال ، إلى الشيطان. صيغة التحويل بسيطة:

بالطبع ، يجب أن يعمل العدد الطبيعي كمتغير c: 1 ≠ c> 0. لنفترض أن c = 2 في حالتنا ، والآن لدينا معادلة منطقية كسرية عادية. نجمع كل العناصر الموجودة على اليسار:

من الواضح أنه من الأفضل إخراج العامل log 2 x ، لأنه موجود في كلا الكسرين الأول والثاني.

سجل 2 × = 0 ؛

3 سجل 2 9x = 4 سجل 2 3x

نقوم بتقسيم كل سجل إلى فترتين:

السجل 2 9x = السجل 2 9 + السجل 2 × = 2 السجل 2 3 + السجل 2 × ؛

سجل 2 3 س = سجل 2 3 + سجل 2 س

دعنا نعيد كتابة جانبي المساواة مع مراعاة هذه الحقائق:

3 (2 سجل 2 3 + سجل 2 س) = 4 (سجل 2 3 + سجل 2 س)

6 سجل 2 3 + 3 سجل 2 س = 4 سجل 2 3 + 4 سجل 2 س

2 سجل 2 3 = سجل 2 س

يبقى الآن إضافة شيطان تحت علامة اللوغاريتم (سيتحول إلى قوة: 3 2 \ u003d 9):

سجل 2 9 = سجل 2 س

أمامنا الشكل الأساسي الكلاسيكي ، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على:

كما هو متوقع ، تبين أن هذا الجذر أكبر من الصفر. يبقى التحقق من مجال التعريف. لنلقِ نظرة على القواعد:

لكن الجذر x = 9 يفي بهذه المتطلبات. لذلك ، فهو الحل النهائي.

استنتاج من هذا القراربسيط: لا تخافوا من الحسابات الطويلة! كل ما في الأمر أننا في البداية اخترنا قاعدة جديدة عشوائيًا - وهذا ما أدى إلى تعقيد العملية بشكل كبير.

ولكن السؤال الذي يطرح نفسه بعد ذلك: ما هو الأساس أفضل؟ سوف أتحدث عن هذا بالطريقة الثانية.

دعنا نعود إلى معادلتنا الأصلية:

3 سجل 3 س س = 2 سجل 9 س س 2

3 سجل 3x س = 2 ∙ 2 سجل 9x | س |

س> 0 ⇒ | س | = س

3 سجل 3 س س = 4 سجل 9 س س

لنفكر الآن قليلاً: ما الرقم أو الوظيفة التي ستكون الأساس الأمثل؟ من الواضح أن الخيار الأفضلسيكون c = x - ما هو موجود بالفعل في الحجج. في هذه الحالة ، ستتخذ الصيغة log a b = log c b / log c a الشكل:

بمعنى آخر ، يتم عكس التعبير ببساطة. في هذه الحالة ، يتم عكس الحجة والأساس.

هذه الصيغة مفيدة للغاية وغالبًا ما تستخدم في حل المعادلات اللوغاريتمية المعقدة. ومع ذلك ، عند استخدام هذه الصيغة ، هناك مأزق خطير للغاية. إذا استبدلنا المتغير x بدلًا من القاعدة ، فسيتم فرض قيود لم تتم ملاحظتها سابقًا:

لم يكن هناك مثل هذا التقييد في المعادلة الأصلية. لذلك ، يجب أن نتحقق من الحالة بشكل منفصل عندما تكون x = 1. استبدل هذه القيمة في المعادلة:

3 سجل 3 1 = 4 سجل 9 1

نحصل على المساواة العددية الصحيحة. إذن ، x = 1 جذر. وجدنا نفس الجذر بالضبط في الطريقة السابقة في بداية الحل.

ولكن الآن ، عندما درسنا هذه الحالة الخاصة بشكل منفصل ، نفترض بجرأة أن x ≠ 1. ثم ستتم إعادة كتابة معادلتنا اللوغاريتمية بالشكل التالي:

3 سجل x 9x = 4 سجل x 3x

نقوم بفك كلا اللوغاريتمين وفقًا لنفس الصيغة كما في السابق. لاحظ أن السجل x x = 1:

3 (تسجيل x 9 + تسجيل x x) = 4 (تسجيل x 3 + تسجيل x x)

3 سجل × 9 + 3 = 4 سجل × 3 + 4

3 سجل × 3 2-4 سجل × 3 = 4 - 3

2 سجل × 3 = 1

هنا نأتي إلى الشكل المتعارف عليه:

سجل x 9 = سجل x x 1

س = 9

حصلنا على الجذر الثاني. يفي بالمتطلبات x ≠ 1. لذلك ، x = 9 مع x = 1 هي الإجابة النهائية.

كما ترى ، انخفض حجم العمليات الحسابية بشكل طفيف. ولكن عند حل معادلة لوغاريتمية حقيقية ، سيكون عدد الخطوات أقل بكثير أيضًا لأنك لست مطالبًا بوصف كل خطوة بمثل هذه التفاصيل.

القاعدة الأساسية لدرس اليوم هي كما يلي: إذا كانت هناك درجة متساوية في المشكلة ، يتم استخراج جذر الدرجة نفسها منها ، فعند الإخراج سنحصل على وحدة نمطية. ومع ذلك ، يمكن إزالة هذه الوحدة إذا انتبهت إلى مجال تعريف اللوغاريتمات.

لكن كن حذرًا: يعتقد معظم الطلاب بعد هذا الدرس أنهم يفهمون كل شيء. لكن عند حل المشكلات الحقيقية ، لا يمكنهم إعادة إنتاج السلسلة المنطقية بأكملها. نتيجة لذلك ، تكتسب المعادلة جذورًا إضافية ، والإجابة خاطئة.

يشمل التحضير للاختبار النهائي في الرياضيات قسم مهم- اللوغاريتمات. المهام من هذا الموضوع واردة بالضرورة في الامتحان. تظهر تجربة السنوات الماضية أن المعادلات اللوغاريتمية تسببت في صعوبات للعديد من أطفال المدارس. لذلك ، يجب على الطلاب ذوي المستويات المختلفة من التدريب فهم كيفية العثور على الإجابة الصحيحة والتعامل معها بسرعة.

اجتياز اختبار الشهادة بنجاح بمساعدة البوابة التعليمية "Shkolkovo"!

عند التحضير لامتحان الدولة الموحدة ، يحتاج خريجو المدارس الثانوية إلى مصدر موثوق به يوفر المعلومات الأكثر اكتمالاً ودقة من أجل حل ناجح. مهام الاختبار. ومع ذلك ، فإن الكتاب المدرسي ليس دائمًا في متناول اليد ، وغالبًا ما يستغرق البحث عن القواعد والصيغ الضرورية على الإنترنت وقتًا.

تتيح لك البوابة التعليمية "شكولكوفو" الاستعداد للامتحان في أي مكان وفي أي وقت. يقدم موقعنا الطريقة الأكثر ملاءمة لتكرار وإتقان كمية كبيرة من المعلومات حول اللوغاريتمات ، بالإضافة إلى معلومات مجهولة واحدة وعدة. ابدأ بالمعادلات السهلة. إذا تعاملت معهم دون صعوبة ، فانتقل إلى أكثر صعوبة. إذا كنت تواجه مشكلة في حل مشكلة عدم مساواة معينة ، فيمكنك إضافتها إلى المفضلة حتى تتمكن من العودة إليها لاحقًا.

يجد الصيغ الضروريةلإكمال المهمة ، يمكنك تكرار حالات خاصة وطرق لحساب جذر معادلة لوغاريتمية قياسية من خلال النظر في قسم "المرجع النظري". قام معلمو "شكلكوفو" بجمع وتنظيم وتقديم جميع المواد اللازمة لتسليم ناجح في أبسط شكل ومفهوم.

من أجل التعامل بسهولة مع المهام من أي تعقيد ، يمكنك على بوابتنا التعرف على حل بعض المعادلات اللوغاريتمية النموذجية. للقيام بذلك ، انتقل إلى قسم "الكتالوجات". لقد قدمنا عدد كبير منأمثلة ، بما في ذلك معادلات مستوى الملف الشخصي لامتحان الدولة الموحد في الرياضيات.

يمكن للطلاب من المدارس في جميع أنحاء روسيا استخدام بوابتنا. للبدء ، ما عليك سوى التسجيل في النظام والبدء في حل المعادلات. لتوحيد النتائج ، ننصحك بالعودة إلى موقع Shkolkovo يوميًا.

المعادلات اللوغاريتمية. نواصل النظر في المهام من الجزء ب من امتحان الدولة الموحد في الرياضيات. لقد درسنا بالفعل حلول بعض المعادلات في مقالات "،" ". في هذه المقالة ، سننظر في المعادلات اللوغاريتمية. يجب أن أقول على الفور أنه لن تكون هناك تحولات معقدة عند حل مثل هذه المعادلات في USE. إنها بسيطة.

يكفي معرفة وفهم الهوية اللوغاريتمية الأساسية ، لمعرفة خصائص اللوغاريتم. انتبه إلى حقيقة أنه بعد القرار ، من الإلزامي إجراء فحص - استبدال القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية وحساب ، نتيجة لذلك ، يجب الحصول على المساواة الصحيحة.

تعريف:

لوغاريتم الرقم أ إلى الأساس ب هو الأس ،الذي يجب رفع b للحصول على a.

على سبيل المثال:

سجل 3 9 = 2 منذ 3 2 = 9

خصائص اللوغاريتمات:

حالات خاصة من اللوغاريتمات:

نحن نحل المشاكل. في المثال الأول ، سنقوم بإجراء فحص. قم بالفحص التالي بنفسك.

أوجد جذر المعادلة: log 3 (4 – x) = 4

بما أن السجل ب أ = س ب س = أ ، إذن

3 4 \ u003d 4 - س

س = 4 - 81

س = -77

فحص:

سجل 3 (4 - (- 77)) = 4

سجل 3 81 = 4

3 4 = 81 صحيح.

الجواب: - 77

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 2 (4 - x) = 7

أوجد جذر معادلة log 5(4 + س) = 2

نستخدم الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

بما أن السجل أ ب = س ب س = أ ، إذن

5 2 = 4 + س

س = 5 2-4

س = 21

فحص:

سجل 5 (4 + 21) = 2

سجل 5 25 = 2

5 2 = 25 صحيح.

الجواب: 21

أوجد جذر المعادلة log 3 (14 - x) = log 3 5.

تحدث الخاصية التالية ، ويكون معناها كما يلي: إذا كان لدينا لوغاريتمات بنفس القاعدة على الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة ، فيمكننا مساواة التعبيرات تحت علامات اللوغاريتمات.

14 - س = 5

س = 9

قم بإجراء شيك.

الجواب: 9

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة log 5 (5 - x) = log 5 3.

أوجد جذر المعادلة: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

إذا كان log c a = log c b ، فإن a = b

س + 3 = 4x - 15

3 س = 18

س = 6

قم بإجراء شيك.

الجواب: 6

أوجد جذر المعادلة log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - س

8 2 \ u003d 13 - س

س = 13 - 64

س = -51

قم بإجراء شيك.

إضافة صغيرة - هنا يتم استخدام الخاصية

درجة().

الجواب: - 51

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 1/7 (7 - x) = - 2

أوجد جذر المعادلة log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

دعونا نحول الجانب الأيمن. استخدم الخاصية:

سجل أ ب م = م ∙ سجل أ ب

سجل 2 (4 - س) = سجل 2 5 2

إذا كان log c a = log c b ، فإن a = b

4 - س = 5 2

4 - س = 25

س = -21

قم بإجراء شيك.

الجواب: - 21

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

حل المعادلة log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

إذا كان log c a = log c b ، فإن a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4 س = 11

س = 2.75

قم بإجراء شيك.

الجواب: 2.75

تقرر لنفسك:

أوجد جذر المعادلة log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

حل المعادلة log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

مطلوب مع الجانب الأيمنالمعادلات للحصول على تعبير عن النموذج:

سجل 2 (......)

تمثيل 1 كقاعدة 2 لوغاريتم:

1 = سجل 2 2

سجل ج (أب) = سجل ج أ + سجل ج ب

سجل 2 (2 - س) = سجل 2 (2 - 3 س) + سجل 2 2

نحن نحصل:

تسجيل 2 (2 - س) = تسجيل 2 2 (2-3x)

إذا كان log c a = log c b ، ثم a = b ، إذن

2 - س = 4 - 6 س

5 س = 2

س = 0.4

قم بإجراء شيك.

الجواب: 0.4

تقرر لنفسك: بعد ذلك ، تحتاج إلى حل معادلة تربيعية. بالمناسبة،

الجذور 6 و -4.

جذر "-4 "ليس حلاً ، لأن أساس اللوغاريتم يجب أن يكون أكبر من الصفر ، ومع"– 4 "يساوي" – 5 ". الحل هو جذر 6.قم بإجراء شيك.

الجواب: 6.

ص تناول الطعام بمفردك:

حل المعادلة log x –5 49 = 2. إذا كانت المعادلة بها أكثر من جذر واحد ، أجب عن الجذر الأصغر.

كما ترى ، لا توجد تحويلات معقدة مع المعادلات اللوغاريتميةلا. يكفي معرفة خصائص اللوغاريتم والقدرة على تطبيقها. في مهام الاستخدام المتعلقة بالتحول التعبيرات اللوغاريتمية، يتم إجراء تحولات أكثر جدية ومهارات أعمق في الحل مطلوبة. سننظر في مثل هذه الأمثلة ، لا تفوتها!أتمنى لك النجاح!!!

مع خالص التقدير ، الكسندر كروتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا إذا تحدثت عن الموقع في الشبكات الاجتماعية.

أمثلة:

\ (\ log_ (2) (⁡x) = 32 \)
\ (\ log_3⁡x = \ log_3⁡9 \)
\ (\ log_3⁡ ((x ^ 2-3)) = \ log_3⁡ ((2x)) \)
\ (\ log_ (x + 1) ((x ^ 2 + 3x-7)) = 2 \)
\ (\ lg ^ 2⁡ ((س + 1)) + 10 = 11 \ lg⁡ ((س + 1)) \)

كيفية حل المعادلات اللوغاريتمية:

عند حل معادلة لوغاريتمية ، عليك أن تسعى جاهدة لتحويلها إلى الصيغة \ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \) ، ثم قم بالانتقال إلى \ (f ( س) = ز (س) \).

\ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \) \ (⇒ \) \ (f (x) = g (x) \).

مثال:\ (\ log_2⁡ (س -2) = 3 \)

حل: \ (\ log_2⁡ (x-2) = \ log_2⁡8 \) \ (س -2 = 8 \) \ (س = 10 \) فحص:\ (10> 2 \) - مناسب لـ ODZ إجابة:\ (س = 10 \)

ODZ: \ (س -2> 0 \) \ (س> 2 \)

مهم جدا!لا يمكن إجراء هذا الانتقال إلا إذا:

لقد كتبت للمعادلة الأصلية ، وفي النهاية تحقق مما إذا كانت المعادلة التي تم العثور عليها مضمنة في DPV. إذا لم يتم ذلك ، فقد تظهر جذور إضافية ، مما يعني القرار الخاطئ.

الرقم (أو التعبير) هو نفسه على اليسار واليمين ؛

اللوغاريتمات الموجودة على اليمين واليسار "نقية" ، أي أنه لا ينبغي أن يكون هناك أي عمليات ضرب أو أقسام وما إلى ذلك. - فقط لوغاريتمات وحيدة على جانبي علامة التساوي.

على سبيل المثال:

لاحظ أنه يمكن حل المعادلتين 3 و 4 بسهولة عن طريق تطبيق الخصائص المرغوبة للوغاريتمات.

مثال . حل المعادلة \ (2 \ log_8⁡x = \ log_8⁡2.5 + \ log_8⁡10 \)

حل :

		لنكتب ODZ: \ (x> 0 \).
\ (2 \ log_8⁡x = \ log_8⁡2،5 + \ log_8⁡10 \) ODZ: \ (x> 0 \)		على اليسار أمام اللوغاريتم المعامل ، وعلى اليمين مجموع اللوغاريتمات. هذا يزعجنا. دعنا ننقل الاثنين إلى الأس \ (x \) بواسطة الخاصية: \ (n \ log_b (⁡a) = \ log_b⁡ (a ^ n) \). نحن نمثل مجموع اللوغاريتمات كلوغاريتم واحد بواسطة الخاصية: \ (\ log_a⁡b + \ log_a⁡c = \ log_a (⁡bc) \)
\ (\ log_8⁡ (س ^ 2) = \ log_8⁡25 \)		لقد أحضرنا المعادلة إلى النموذج \ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \) وقمنا بتدوين ODZ ، مما يعني أنه يمكننا الانتقال إلى النموذج \ (f (س) = ز (س) \).
		حدث. نحلها ونحصل على الجذور.
\ (س_1 = 5 \) \ (س_2 = -5 \)		نتحقق مما إذا كانت الجذور مناسبة تحت ODZ. للقيام بذلك ، في \ (x> 0 \) بدلاً من \ (x \) نستبدل \ (5 \) و \ (- 5 \). يمكن إجراء هذه العملية عن طريق الفم.
\(5>0\), \(-5>0\)		المتباينة الأولى صحيحة والثانية ليست كذلك. إذن \ (5 \) هو جذر المعادلة ، لكن \ (- 5 \) ليس كذلك. نكتب الجواب.

إجابة : \(5\)

مثال : حل المعادلة \ (\ log ^ 2_2⁡ (x) -3 \ log_2 (⁡x) + 2 = 0 \)

حل :

		لنكتب ODZ: \ (x> 0 \).
\ (\ السجل ^ 2_2⁡ (x) -3 \ log_2 (x) + 2 = 0 \) ODZ: \ (x> 0 \)		حل معادلة نموذجية مع. استبدل \ (\ log_2⁡x \) بـ \ (t \).
\ (t = \ log_2⁡x \)
		تلقى المعتاد. البحث عن جذوره.
\ (t_1 = 2 \) \ (t_2 = 1 \)		عمل استبدال عكسي
\ (\ log_2 (⁡x) = 2 \) \ (\ log_2 (⁡x) = 1 \)		نقوم بتحويل الأجزاء الصحيحة ، وتمثيلها على أنها لوغاريتمات: \ (2 = 2 \ cdot 1 = 2 \ log_2⁡2 = \ log_2⁡4 \) و \ (1 = \ log_2⁡2 \)
\ (\ log_2 (⁡x) = \ log_2⁡4 \) \ (\ log_2 (⁡x) = \ log_2⁡2 \)		معادلاتنا الآن هي \ (\ log_a⁡ (f (x)) = \ log_a⁡ (g (x)) \) ويمكننا الانتقال إلى \ (f (x) = g (x) \).
\ (س_1 = 4 \) \ (س_2 = 2 \)		نتحقق من مراسلات جذور ODZ. للقيام بذلك ، بدلًا من \ (x \) نعوض \ (4 \) و \ (2 \) في المتباينة \ (x> 0 \).
\(4>0\) \(2>0\)		كلا التفاوتات صحيحة. لذا فإن كلا من \ (4 \) و \ (2 \) هما جذور المعادلة.

إجابة : \(4\); \(2\).