Уравнения на права и равнина в пространството. Задача C2: уравнение на равнината през детерминантата

1. Видове уравнения на права върху равнина

Име	Наименование
Общо уравнение на права в равнина	Ax + Bou + C = 0 перпендикулярно на вектора = (A, B)
Уравнение на права в отсечки	Където a е координатата на пресечната точка на правата с оста Ox, а b е координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.
Нормално уравнение на права	xcos j + ysin j - p = 0, p е дължината на перпендикуляра, пуснат от началото към правата линия, и j е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.
Уравнение на права линия с наклон

2. Основни задачи за права линия в пространството

Задача	Изпълнението му
Уравнението на права, минаваща през две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2),
Ъгъл между прави в равнина
Условие за перпендикулярност и успоредност на правите	Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две прави са перпендикулярни, ако
Разстояние от точка M(x 0, y 0) до права линия Ah + Wu + C = 0

3. Видове уравнения на равнината в пространството

Име	Наименование
Общо уравнение на равнината	Ax + By + Cz + D = 0, където A, B, C са координатите на вектора -нормален вектор към равнината.
Уравнението на равнина, минаваща през дадена точка M 0 (x 0, y 0, z 0), е перпендикулярна на даден вектор (A, B, C)	A (x – x 0) + B (y – y 0) + C (z – z 0) = 0.
Уравнение на равнина в отсечки	Числата a, b, c са точките на пресичане на равнината съответно с осите x, y, z.

4. Основни задачи на равнина в космоса

Задача	Изпълнението му
Уравнение на равнина, минаваща през три точки
Разстояние от точка M 0 (x 0, y 0, z 0) до равнината Ах+Бу+Сz +D =0
Ъгъл между равнините
Условия за успоредност и перпендикулярност на равнините	Самолети перпендикуляренАко: . самолети, паралелен, Ако .

5. Видове уравнения на права линия в пространството

Име	Наименование
Параметрични уравнения на права
Канонични уравнения на правата	, където (m, n, p) е насочващият вектор на правата, а M 0 (x 0, y 0, z 0) е точката, през която минава правата.
Общи уравнения на права линия в пространството	, където векторът на посоката

6. Основни задачи за права линия в пространството

Задача	Изпълнението му
Уравнение на права линия в пространството, минаваща през две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2)
Ъгъл между прави в пространството
Условия за успоредност и перпендикулярност на правите в пространството	правите са успоредни, ако линиите са перпендикулярни, ако .

7. Основни задачи върху равнина и права в пространството

8. Криви от втори ред

Име	Формула	Геометрична интерпретация
Елипса
кръг
Хипербола
Парабола	при 2 = 2px

9. Повърхнини от втори ред

Име	Формула	Геометрична интерпретация
сфера
елиптичен цилиндър
хиперболичен цилиндър
параболичен цилиндър
конус	или
елипсоид
еднолентов хиперболоид
двулистов хиперболоид
елипсовиден параболоид
хиперболиченпараболоид

В този модул студентът трябва да изучава теоретичен материал върху предложените образователни елементи. (виж Теоретичен материал по висша математика: учебен материалза ученик. Част I. Съставители: Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емелянова С.Г. - Толиати: TSU, 2005 и доп. литература)

Таблица 7 представя график за изучаване на теоретичен материал за модул „Аналитична геометрия“

Таблица 7

обучение	теоретичен материал
	обучение в класната стая	самостоятелна работа
	„Концепцията за уравнението на права върху равнина“
	"Равнина и права в пространството"	Теоретичен материал по темата "Елементи на теорията на множествата"
	"Криви от втори ред"	Теоретичен материал по темата "Елементи на теорията на графите"
	„Повърхности от втори ред“	Теоретичен материал по темата " Собствени стойностиматрици"

За всякакви въпроси се свържете с академичен консултант, като задавате въпроси във форума на образователния портал.

Също така студентът трябва да се запознае със стандартните задачи и упражнения за модула, за да попълни своя собствена версия на IPD (виж Ръководство за решаване на проблеми: учебно ръководство за студенти Част I. Съставител: Никитина М.Г., Павлова Е.С., - Толиати: TSU, 2008.)

Таблица 8 показва графика за изучаване на практически въпроси в модул „Аналитична геометрия“

Таблица 8

обучение	Практически упражнения
	обучение в класната стая	самостоятелна работа
	Решаване на задачи по темата "Права на равнина"
	Решаване на задачи по темата "Равнина и права в пространството"	Решаване на задачи по темата "Елементи на теорията на множествата"
	Решаване на задачи по темата "Криви от втори ред"	Решаване на задачи по темата "Елементи на теорията на графите"
	Решаване на задачи по темата "Повърхности от втори ред"	Решаване на задачи по темата "Собствени стойности на матрица"

За всякакви въпроси се свържете с академичен консултант чрез задаване на въпроси във форума на образователния портал или в часовете за индивидуални консултации (графикът на индивидуалните консултации е представен на образователен портал).

Студентът трябва да попълни своята опция домашна работа(виж Индивидуална домашна работа за студенти, изучаващи технология 30/70. Част I. Съставители: Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емелянова С.Г. ., - Толиати: TSU, 2005).

Графикът за изпълнение е представен от IDZ в таблица 9.

Таблица 9

Седмица на обучение
	от 1 до 4 задача
	от 5 до 7 задача
	от 8 до 11 задача
	12.13 задача

В края на 12-та седмица предайте IDD на академичен консултант и получете достъп до тестване на образователния портал

включено тринадесета седмицаПо време на обучението студентите преминават модулен тест, който е заложен в графика.

Раздел 5. Аналитична геометрия.

1. Различни равнинни уравнения в пространството

2. Частни случаи на общото уравнение на равнината

3. Взаимна позициядва самолета

4. Разстояние от точка до равнина

5. Различни уравнения на права в пространството

6. Относителното разположение на две прави в пространството

7. Относителното разположение на права и равнина в пространството

8. Различни уравнения на права върху равнина

9. Задача за геометрично линейно програмиране

Различни равнинни уравнения в пространството.

В предишните параграфи беше казано, че всяка точка в пространството е свързана с подреден набор от числа - нейните координати. Естествено е да се предположи, че ако точките, разкриващи определена закономерност, се „подредят“ под формата на определена линия или повърхност, то техните координати също ще демонстрират тази закономерност, като по правило удовлетворяват определено уравнение, което се нарича уравнението на тази линия или повърхност.

Нека първо разгледаме пространството R 3 - реалното триизмерно пространство (в което живеем). Най-простата повърхност в космоса е равнината. Самолетът може да бъде уточнен по различни начини, тези методи съответстват различни формиуравнения на тази равнина. По-специално, самолетът е напълно

Определено, ако има такова

М

точка M 0, лежаща на тази равнина

(нарича се поддържащ), и някои

вектор, от който се изисква само едно нещо

Фиг.1 - трябва да е перпендикулярна

самолет. Такъв вектор се нарича нормален вектори обикновено се обозначава (виж фиг. 1).

Да се ​​състави уравнение на равнина означава да се характеризират всички точки на равнината с някакво уравнение. За да направим това, ние вземаме от този безброй набор от точки всякакви(така да се каже, представител на това множество) и съставете уравнение за него (т.е. за неговите координати) въз основа на наблюдавания модел. Тъй като точката беше всякакви,тогава това уравнение ще бъде валидно за всички точки на равнината.

Да вземем произволна точка M (виж фиг. 1). Сега нека формираме вектор. Ясно е, че. Да използваме условието за перпендикулярност на два вектора - скаларното им произведение е равно на нула:

(1)

Уравнение (1) се нарича векторно уравнение на равнината. Това уравнение е валидно във всяка координатна система.

Нека сега разгледаме уравнение (1) в декартовата координатна система. Нека точка M 0 има координати , векторните координати обикновено се означават с: . защото точка M е произволна, нейните координати са: , следователно, . Тогава формула (1) ще приеме формата

ще го наречем уравнение на равнината с референтна точка и нормален вектор.Нека отворим скобите в уравнение (2):

След като отбелязахме, получаваме

Уравнение (3) се нарича общуравнение на равнината. Оттук става ясно, че всяко уравнение от първа степен е равнина.

Добре известно е, че три точки еднозначно определят една равнина.

М 1

М

M 2 Нека образуват точките M 1, M 2, M 3

някакъв самолет (т.е. не лъжат

M 3 на една права линия). Да композираме

уравнение на тази равнина

ориз. 2 (виж фиг. 2). За да направите това, нека вземем

произволна точка M, лежаща в равнината, и разглеждаме три вектора, тъй като M принадлежи на равнината, тези вектори са копланарни и условието за копланарност на три вектора е тяхното смесено произведение да е равно на нула:

Уравнение (4) е друго векторно уравнение на равнината, валидно за всяка координатна система. В декартовата координатна система, нека , ; Тогава

И уравнение (4) изглежда така:

X – x 1 y – y 1 z – z 1

x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 = 0 (5)

x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1

Уравнение (5) се нарича уравнение на равнина, минаваща през три точки.

Пример 1. Напишете уравнението на равнината, минаваща през точката M 0 (1,2,-3), перпендикулярна на вектора

Решение. Използвайки уравнение (2), получаваме уравнението на равнината

Имайте предвид, че някои променливи може да липсват в уравнението.

Пример 2. Напишете уравнението на равнина, минаваща през началото перпендикулярно на вектора

Решение.Нека използваме уравнение (2): Обърнете внимание, че в уравнението няма свободен член (по-точно, свободният член е равен на нула).

Пример 3. Напишете уравнението на равнина, минаваща през три точки A(1,1,3), B(0,2,3), C(1,5,7).

Решение.Нека използваме уравнение (5):

Нека изчислим детерминантата, като разширим първия ред:

5.2. Специални случаи на общото уравнение на равнината.

Нека вземем общото уравнение на равнината и разгледаме няколко от неговите специални случаи.

1) D = 0, т.е. уравнението на равнината има формата

(6)

Ясно е, че това уравнение винаги е изпълнено от точката O(0,0,0) - началото на координатите. Така че, ако в уравнението на равнина свободният член е нула, тогава равнината минава през началото.

2) C = 0, т.е. уравнението на равнината има формата

(7)

Това означава, че нормалният вектор има следните координати Не е трудно да се види това - нормалният вектор е перпендикулярен на базисния вектор, т.е. oz ос, защото тяхното скаларно произведение е равно на нула: Сега е ясно,

че равнината е успоредна на оста oz (фиг. 3).

По същия начин, ако B = 0, тогава равнината е успоредна на оста на операционния усилвател; ако A = 0, тогава равнината е успоредна на оста OX.

Така че, ако в уравнението на равнина коефициентът за някакво неизвестно е равен на нула, тогава равнината е успоредна на едноименната координатна ос.

3) Нека два параметъра са равни на нула - свободният член и един коефициент, например C = = 0. Уравнението на равнината има формата

(8)

От предишното е ясно, че C = 0 означава, че равнината е успоредна на оста oz, а = 0 означава, че равнината минава през началото. Комбинирайки двете забележки, намираме, че равнината минава през оста oz.

Общ извод: ако в уравнението свободният член и коефициентът на някакво неизвестно са равни на нула, тогава равнината минава през съответната координатна ос.

4) Нека два коефициента за неизвестни са равни на нула, например A = B = 0, т.е. уравнението на равнината има формата

. (9)

Вземаме предвид предишните аргументи: ако A = 0, тогава равнината е успоредна на оста OX; ако B = 0, тогава равнината е успоредна на оста на операционния усилвател, следователно, ако

A = B = 0, тогава равнината е успоредна на осите OX и OU, т.е. перпендикулярно на оста

Z ОZ и отрязва сегмент по тази ос,

D/C равно – D/C (виж Фиг. 4).

От това следва:

x = 0 – уравнение на координатната равнина yoz,

y = 0 – уравнение на координатната равнина xoz,

z = 0 – уравнение на координатната равнина уоz.

5.3. Относителното положение на две равнини.

Относителното положение на две равнини се определя с помощта на ъгъла между тях (вижте фиг. 5. Най-общо казано, можете да видите два ъгъла,

кои равнини образуват

между себе си - ъгъл и

Допълнителен ъгъл.

Единият от тях е пикантен, другият

тъп (в случай на перпендикулярност

Двата ъгъла на равнината съвпадат).

Ъгълът между две равнини винаги означава остър ъгъл. Този ъгъл се изчислява с помощта на ъгъла между нормалните вектори (чрез точковия продукт на нормалните вектори):

(10)

На фиг. 6 ъгъл. Въпреки това можете да приемете вектора като нормален вектор към равнината. Тогава формула (10) ще даде косинуса на ъгъла. Косинусите на ъглите и ще се различават само по знак. Следователно, ако искаме да получим остър ъгъл, тогава във формула (10) скаларният продукт трябва да се вземе в абсолютна стойност (по модул):

(11)

Формула (11) може лесно да бъде пренаписана в координатна форма. Нека равнините са дадени от уравненията и . Така имаме два нормални вектора: И Използвайки формула (11), получаваме:

(12)

Сега не е трудно да се получат два екстремни случая: перпендикулярност и паралелност на равнините. Ако равнините са перпендикулярни, тогава

условие за перпендикулярност на равнините. Ако равнините са успоредни, тогава нормалните вектори са колинеарни: , т.е. техните координати са пропорционални:

(14)

състояние на успоредни равнини.

Пример 4. Дадени са три самолета

Намерете ъглите между тези равнини.

Решение. Имаме три нормални вектора Лесно се забелязва, че т.е. равнините са успоредни. Нека намерим ъгъла между равнините

5.4. Разстояние от точка до равнина.

Да предположим, че трябва да намерим разстоянието от

точки до самолета.

Нека вземем уравнението на равнината във формата

Уравнения с референтна точка

И нормалният вектор , т.е.

Както знаете, разстоянието е равно на дължината на перпендикуляра (фиг. 5). За по-голяма яснота нека поставим началото на вектора в точка . Нека да построим правоъгълник и да видим това - проекцията на вектора върху нормалния вектор (виж фиг. 5).

Нека си припомним дефиницията на скаларното произведение на векторите:

(15)

Отново забелязваме, че на фиг. 5 вектора образуват остър ъгъл и следователно е положително число. Ако вземем противоположния вектор като нормален вектор (виж Фиг. 5), тогава формула (15) ще даде отрицателно число, но разстоянието е положително число, следователно, за разстоянието d от точката до равнината, ние трябва да използвате формулата

Нека запишем формула (16) в координатна форма:

Преди това обозначихме скобата с буквата D. Следователно получаваме формулата

, - (17)

за намиране на разстоянието от точка към равнината, определена от общото уравнение, е необходимо да замените координатите на точката в общото уравнение на равнината, да разделите на дължината на нормалния вектор и да вземете модул.

Пример 5. Намерете разстоянието от точка до равнина.

Решение. Нека използваме формула (17):

5.5. Различни уравнения на права линия в пространството.

Правата линия в пространството може да бъде

Задайте с помощта на референтна точка (т.е.

M точка лежи на права линия) и вектори от

ориз. 6 от които едно нещо се изисква - той трябва

да е успореден на правата. Такъв вектор се нарича водачивектор на права линия (виж фиг. 6).

За да съставим уравнението, вземаме произволна точка M, принадлежаща на правата - получаваме вектора. Вектори и . – колинеарни (успоредни), следователно връзката е в сила

къде е някакво число. Уравнение (18) се нарича векторно уравнение на права. Тя ще бъде валидна във всяко пространство и не зависи от избора на координатна система.

Нека обозначим съответните координати:

Тогава уравнение (18) изглежда така: или

Това обикновено се записва в следните форми:

(19)

Уравнения (19) се наричат ​​параметрични уравнения на линия в пространството ( - параметър).

Ако изключим параметъра от тези уравнения, получаваме:

(20)

това са т.нар канонични уравненияправо в космоса. Лесно е да се премине от каноничните към параметричните уравнения на правата - достатъчно е да приравним всички уравнения (20) към параметъра .

Важният за практиката случай, когато една права линия е зададена от две точки, лесно може да се сведе до формула (20) - трябва само да се отбележи, че векторът може да се приеме за насочващ вектор и всяка от тях може да се счита за отправна точка. Тогава нека вземем за референтна точка, тогава от формула (20) имаме:

(21)

Това уравнение се нарича уравнение на права линия, минаваща през две точки.

5.6. Относителното положение на две линии в пространството.

Две линии в пространството могат

пресичат се, са успоредни и

Кръстосване.

Нека са дадени каноничните уравнения на две прави, т.е. с опорни точки и вектори на посоката = .

Ако т.е. , тогава правите са успоредни и може дори да съвпадат. Нека заместим координатите на референтната точка в уравнението на правата линия (или обратното). Ако точката лежи на права, то правите съвпадат, в противен случай са успоредни.

Нека сега т.е. векторите не са успоредни (не са колинеарни). Тогава линиите могат да се пресичат или пресичат. Как да разграничим тези случаи? Това става с помощта на вектор (виж фиг. 7). Ясно е, че ако правите се пресичат, то векторите са в една равнина (по-точно са успоредни на една и съща равнина - копланарни). Условието за копланарност на векторите е тяхното смесено произведение да е равно на нула:

(22)

Така че, ако (22) е изпълнено, тогава линиите се пресичат; ако равенството (22) не е изпълнено, линиите се пресичат.

Обърнете внимание, че във всички разглеждани случаи на взаимно разположение на линиите е възможно да се изчисли ъгълът между линиите. Ъгълът между линиите се определя с помощта на скаларното произведение на техните насочващи вектори:

(23)

Числителят се взема по модул, така че (както за равнини) ъгълът да се окаже остър (в крайни случаи прав).

Пример 6. Намерете относителната позиция на три прави линии:

Решение. Използвайки тези уравнения, ние определяме референтните точки и векторите на посоката:

Лесно се забелязва, че следователно линиите са или успоредни, или съвпадащи. Нека заместим координатите на точката в уравнението - получено неверенследователно равенствата са успоредни.

Нека вземем и проверим условие (22):

, следователно, кръстосват се.

Сега нека проверим условие (22) за

следователно те се пресичат.

5.7. Относителното положение на права линия и равнина в пространството.

Права и равнина в пространството могат да се пресичат и тогава възникват въпроси за намиране на ъгъла между правата и равнината и координатите на пресечната им точка. Права и равнина могат да бъдат успоредни, в конкретен случай правата лежи в равнината. Нека разгледаме всички тези случаи.

Ъгълът между правата и равнината (виж фиг. 8) се определя с

Използване на нормален вектор

Равнина и вектор на посоката

Права линия: и насочващият вектор на правата линия, който е в равнината (в двумерно насочващият вектор на правата линия, M (x, y) е произволна точка на правата линия. Ако в уравнение (32) отваряме скобите и обозначаваме

уравнение на права с референтна точка и нормален вектор.

(36)

Къде общо уравнение на права върху равнина.

Ъгълът между две прави може да се изчисли по обичайния за нас начин - като се използва скаларното произведение на насочващите вектори на правите или техните нормални вектори. Ако две прави са дадени с канонични уравнения

И т.е. насочващи вектори на прави линии, тогава (виж Фиг. 10)

(37)

Всички уравнения на равнината, които се обсъждат в следващите параграфи, могат да бъдат получени от общото уравнение на равнината и също така намалени до общо уравнениесамолет. Така, когато говорят за уравнение на равнина, те имат предвид общото уравнение на равнина, освен ако не е посочено друго.

Уравнение на равнина в отсечки.

Вижте уравнението на равнината , където a, b и c са ненулеви реални числа, се извиква уравнение на равнината в сегменти.

Това име не е случайно. Абсолютни стойностичислата a, b и c са равни на дължините на отсечките, които равнината отрязва съответно по координатните оси Ox, Oy и Oz, считано от началото. Знакът на числата a, b и c показва в каква посока (положителна или отрицателна) трябва да се начертаят сегментите върху координатните оси.

Например, нека построим равнина в правоъгълната координатна система Oxyz, определена от уравнението на равнината в сегменти . За да направите това, маркирайте точка, която е на 5 единици от началото в отрицателната посока на абсцисната ос, 4 единици в отрицателната посока на ординатната ос и 4 единици в положителната посока на оста на приложението. Остава само да свържете тези точки с прави линии. Равнината на получения триъгълник е равнината, съответстваща на уравнението на равнината в сегменти от формата .

За по-пълна информация вижте статията уравнение на равнина в сегменти, тя показва редуцирането на уравнението на равнина в сегменти до общото уравнение на равнина и там ще намерите подробни решения на типични примери и задачи.

Уравнение на нормална равнина.

Общото уравнение на равнина от формата се нарича уравнение на нормална равнина, Ако равно на едно, т.е. , И .

Често можете да видите, че нормалното уравнение на равнина е написано като . Тук са насочващите косинуси на нормалния вектор на дадена равнина с единица дължина, т.е. p е неотрицателно число, равно на разстоянието от началото до равнината.

Нормалното уравнение на равнина в правоъгълната координатна система Oxyz определя равнина, която е отдалечена от началото на разстояние p в положителната посока на нормалния вектор на тази равнина . Ако p=0, тогава равнината минава през началото.

Нека дадем пример за уравнение на нормална равнина.

Нека равнината е зададена в правоъгълната координатна система Oxyz чрез общото уравнение на равнината от формата . Това общо уравнение на равнината е нормалното уравнение на равнината. Наистина нормалният вектор на тази равнина е има дължина, равна на едно, тъй като .

Уравнението на равнината в нормална форма ви позволява да намерите разстоянието от точка до равнина.

Препоръчваме ви да разберете този тип уравнение на равнината по-подробно, да разгледате подробни решения на типични примери и задачи и също така да научите как да редуцирате общото уравнение на равнината до нормална форма. Можете да направите това, като се позовавате на статията.

Референции.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

1. Възможно е да се докаже твърдението, че ако в пространството е дадена правоъгълна координатна система OXYZ, тогава всяко уравнение от първа степен с три неизвестни x,y,zнеобходимо и достатъчно определя определена равнина спрямо тази система Р. Това уравнение се нарича общо уравнение на равнината и има следния вид:

А X+ Б при+ C z+ D= 0 (17)

(сравнете с общото уравнение (15) на права линия в равнина, което следва от това при z = 0) и определя равнината Р, перпендикулярна на вектора (A,B,C).

Вектор - нормален вектор на равнината Р.

Уравнение (17) е еквивалентно на следните уравнения.

2. Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка M( x 0, y 0, z 0):

A( X- X 0) + B( при-при 0) + C( z-z 0) = 0.

3. Уравнение на равнина в отсечки

,

Къде ; ; .

4. Уравнение на равнина, минаваща през три дадени точки, които не лежат на една и съща линия, се записва като определител

,

Къде ( X 1 , г 1 , z 1), (X 2 , г 2 , z 2), (X 3 , г 3 , z 3) - координати на дадени точки.

Ъгълът между две равнини се определя като ъгъл между техните нормални вектори п 1 и п 2. Оттук и условието за успоредни равнини

Р 1 и Р 2:

и условието за перпендикулярност на две равнини:

А 1 А 2 + Б 1 IN 2 + C 1 СЪС 2 = 0 .

Пример 29. През точката ДО(1, -3, 2) начертайте равнина, успоредна на векторите

а =(1, 2, -3) и b =(2,-1,-1) .

Решение.Нека M ( X, при, z) – произволна точка от желаната равнина. вектор

КМ = (X- 1, при+ 3, z- 2) лежи в тази равнина, а векторите АИ bуспоредно на него. Следователно векторите КМ , a и b са компланарни. Тогава тяхното смесено произведение е равно на нула:

.

Следователно -(x –1) - (y + 3) – 5(z – 2) = 0 или x+ 7y + 5z + 10 = 0. Това е желаното уравнение на равнината.

Различни видовеуравнения на линия в пространството

Правата линия в пространството може да бъде определена като:

1) линията на пресичане на две несъвпадащи и неуспоредни равнини Р 1 и Р 2:

;

2) уравнения на права, минаваща през дадена точка М(X 0 , при 0 , z 0) в посоката, зададена от вектора Л = (m, n, p):

,

което се нарича канонично уравнение на правата в космоса;

3) уравнения на права, минаваща през две дадени точки М(X 1 , при 1 , z 1)

И М(х 2 , г 2 , z 2):

;

4) параметрични уравнения:

.

Пример 30. Редуцирайте уравнението на права линия до канонични и параметрични форми

.

Решение.Правата линия се определя като линията на пресичане на две равнини. Нормални вектори на тези равнини п 1 = (3,1,-2) и п 2 = (4,-7,-1) са перпендикулярни на желаната права, следователно тяхното векторно произведение [ п 1 , п 2 ] = Л успореден на него е векторът [ п 1 , п 2 ] (или който и да е колинеарен) може да се приеме като вектор на посоката Л желаната права линия.

[п 1 , п 2 ] =
.

Нека го приемем като Л = 3аз + й + 5к. Остава да се намери някаква точка на дадена права. За това поставяме, например, z = 0. Получаваме

.

След като решихме тази система, намираме X = 1, при= - 2. Така точката ДО(1, -2, 0) принадлежи на дадения ред, а неговият канонично уравнениеизглежда като

В предишния раздел, посветен на равнината в пространството, разгледахме въпроса от гледна точка на геометрията. Сега нека преминем към описанието на равнината с помощта на уравнения. Погледът към равнината от страна на алгебрата включва разглеждане на основните видове уравнение на равнината в правоъгълната координатна система O x y z на триизмерното пространство.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Определение на уравнението на равнина

Определение 1

Самолет- Това геометрична фигура, състоящ се от отделни точки. Всяка точка в триизмерното пространство съответства на координати, които се определят от три числа. Уравнението на равнината установява връзката между координатите на всички точки.

Уравнението на равнината в правоъгълната координатна система 0xz има формата на уравнение с три променливи x, y и z. Координатите на всяка точка, лежаща в дадена равнина, удовлетворяват уравнението; координатите на всяка друга точка, която лежи извън дадената равнина, не отговарят.

Заместването на точка в дадена равнина в уравнението на координатна равнина превръща уравнението в идентичност. При заместване на координатите на точка, лежаща извън равнината, уравнението се превръща в неправилно равенство.

Уравнението на равнината може да има няколко вида. В зависимост от спецификата на решаваните задачи уравнението на равнината може да се запише по различен начин.

Общо уравнение на равнината

Нека формулираме теоремата и след това напишем уравнението на равнината.

Теорема 1

Всяка равнина в правоъгълна координатна система O x y z в триизмерното пространство може да бъде определена чрез уравнение от вида A x + B y + C z + D = 0, където A, B, C и г– някои реални числа, които не са равни едновременно на нула. Всяко уравнение под формата A x + B y + C z + D = 0 определя равнина в триизмерното пространство

Уравнението от вида A x + B y + C z + D = 0 се нарича общо уравнение на равнината. Ако не прикачите номера А, Б, ВИ гконкретни стойности, тогава получаваме уравнението на равнината в общ вид.

Важно е да се разбере, че уравнението λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 ще дефинира равнината по абсолютно същия начин. В уравнението λ е някакво ненулево реално число. Това означава, че равенствата A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 са еквивалентни.

Пример 1

Общите уравнения на равнината x - 2 · y + 3 · z - 7 = 0 и - 2 · x + 4 · y - 2 3 · z + 14 = 0 се удовлетворяват от координатите на същите точки, разположени в три- дименсионално пространство. Това означава, че те определят една и съща равнина.

Нека дадем обяснение на обсъдената по-горе теорема. Равнината и нейното уравнение са неразделни, тъй като всяко уравнение A x + B y + C z + D = 0 съответства на равнина в дадена правоъгълна координатна система и всяка равнина, разположена в триизмерно пространство, съответства на своето уравнение от формата A x + B y + C z + D = 0.

Уравнението на равнината A x + B y + C z + D = 0 може да бъде пълно или непълно. Всички коефициенти A, B, C и D в пълно уравнениеса различни от нула. В противен случай общото уравнение на равнината се счита за непълно.

Равнините, които са определени от непълни уравнения, могат да бъдат успоредни на координатните оси, да минават през координатните оси, да съвпадат или да са успоредни на координатните равнини и да минават през началото на координатите.

Пример 2

Разгледайте позицията в пространството на равнината, дадена от уравнението 4 · y - 5 · z + 1 = 0.

Тя е успоредна на абсцисната ос и е разположена перпендикулярно на равнината O y z. Уравнението z = 0 определя координатна равнина O y z и общото уравнение на равнината от формата 3 x - y + 2 z = 0 съответства на равнина, която минава през началото.

Важно уточнение: коефициентите A, B и C в общото уравнение на равнината представляват координатите на нормалния вектор на равнината.

Когато говорят за уравнение на равнина, те имат предвид общото уравнение на равнина. Всички видове уравнения на равнината, които ще разгледаме в следващия раздел на статията, се получават от общото уравнение на равнината.

Уравнение на нормална равнина

Нормалното уравнение на равнината е общо уравнение на равнината от формата A x + B y + C z + D = 0, което удовлетворява следните условия: дължината на вектора n → = (A, B, C) е равна на единица, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 и D ≤ 0.

Също така записването на нормалното уравнение на равнина може да има следната форма cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, където стре неотрицателно число, което е равно на разстоянието от началото до равнината, а cos α, cos β, cos γ са насочващите косинуси на нормалния вектор на дадена равнина с единична дължина.

n → = (cos α, cos β, cos γ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

Тоест, според нормалното уравнение на равнината, равнината в правоъгълната координатна система O x y z се отдалечава от началото на разстояние стрв положителната посока на нормалния вектор на тази равнина n → = (cos α, cos β, cos γ). Ако стре равно на нула, тогава равнината минава през началото.

Пример 3

Равнината се определя от общо уравнение на равнината от вида - 1 4 · x - 3 4 · y + 6 4 · z - 7 = 0. D = - 7 ≤ 0, нормалният вектор на тази равнина n → = - 1 4, - 3 4, 6 4 има дължина, равна на единица, тъй като n → = - 1 4 2 + - 3 4 2 + 6 4 = 1. Съответно, това общо уравнение на равнината е нормално уравнение на равнината.

За по-подробно проучване на уравнението на нормалната равнина препоръчваме да отидете в съответния раздел. Темата предоставя анализ на задачи и типични примери, както и методи за привеждане на общото уравнение на равнина в нормален вид.

Равнината отрязва сегменти с определена дължина по координатните оси O x, O y и O z. Дължините на сегментите са определени като различни от нула реални числа a, b и c. Уравнението на равнината в сегменти има формата x a + y b + z c = 1. Знакът на числата a, b и c показва в каква посока от нулевата стойност трябва да се начертаят отсечките по координатните оси.

Пример 4

Нека построим равнина в правоъгълна координатна система, която се задава от уравнението на формулата на равнината в отсечките x - 5 + y - 4 + z 4 = 1.

Точките се отстраняват от началото в отрицателна посока с 5 единици по абсцисната ос, с 4 единици в отрицателна посока по ординатната ос и с 4 единици в положителна посока по оста на приложението. Маркирайте точките и ги свържете с прави линии.

Равнината на получения триъгълник е равнината, съответстваща на уравнението на равнината в сегменти, имаща формата x - 5 + y - 4 + z 4 = 1.

По-подробна информация за уравнението на равнина в сегменти и привеждане на уравнението на равнина в сегменти към общото уравнение на равнина е достъпна в отделна статия. Има и редица решения на задачи и примери по темата.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter