1 Какво стана обикновени дроби. Видове дроби.
Дроб винаги означава някаква част от цяло. Факт е, че количеството не винаги може да бъде изразено с естествени числа, тоест преизчислено: 1,2,3 и т.н. Как, например, определяте половин диня или четвърт час? Ето защо се появиха дроби или числа.

Като начало трябва да се каже, че като цяло има два вида дроби: обикновени дроби и десетични дроби. Обикновените дроби се записват така:
Десетичните дроби се записват по различен начин:

Обикновените дроби се състоят от две части: отгоре е числителят, отдолу е знаменателят. Числителят и знаменателят са разделени с дробна черта. Така че запомнете:

Всяка дроб е част от цяло. Обикновено се приема като цяло 1 (мерна единица). Знаменателят на дроб показва на колко части е разделено цялото ( 1 ), а числителят е колко части са взети. Ако разрежем тортата на 6 равни части (по математика се казва акции ), тогава всяка част от тортата ще бъде равна на 1/6. Ако Вася е изял 4 парчета, това означава, че е изял 4/6.

От друга страна, наклонената черта не е нищо повече от знак за разделяне. Следователно дробта е частното от две числа - числителя и знаменателя. В текста на задачи или в рецепти дробите обикновено се пишат така: 2/3, 1/2 и т.н. Някои дроби имат свои собствени имена, например 1/2 - „половина“, 1/3 - „трета“, 1/4 - „четвърт“
Сега нека да разберем какви видове обикновени дроби има.

2 Видове обикновени дроби

Има три вида обикновени дроби: правилни, неправилни и смесени:

Правилна дроб

Ако числителят е по-малък от знаменателя, тогава се нарича такава дроб правилно,Например: Правилната дроб винаги е по-малка от 1.

Неправилна дроб

Ако числителят е по-голям от знаменателя или равен на знаменателя, такава дроб се нарича грешно, Например:

Неправилна дроб е по-голяма от едно (ако числителят е по-голям от знаменателя) или равна на едно (ако числителят е равен на знаменателя)

Смесена фракция

Ако една дроб се състои от цяло число (цяла част) и правилна дроб (дробна част), тогава такава дроб се нарича смесен, Например:

Смесената дроб винаги е по-голяма от единица.

3 Преобразуване на дроби

В математиката обикновените дроби често трябва да се преобразуват, т.е. смесена фракцияпревръщат в неправилни и обратно. Това е необходимо за извършване на определени операции, като умножение и деление.

Така, всяка смесена дроб може да се преобразува в неправилна дроб. За да направите това, цялата част се умножава по знаменателя и се добавя числителят на дробната част. Получената сума се приема като числител, а знаменателят остава същият, например:

Всяка неправилна дроб може да бъде преобразувана в смесена дроб. За да направите това, разделете числителя на знаменателя (с остатък ще бъде цялата част, а остатъкът ще бъде числителят на дробната част, например:

В същото време те казват: "Изолирахме цялата част от неправилната дроб."

Още едно правило, което трябва да запомните: Всяко цяло число може да бъде представено като дроб със знаменател 1, Например:

Нека поговорим как да сравняваме дроби.

4 Сравнение на дроби

Има няколко опции при сравняване на дроби: Лесно сравняване на дроби с същите знаменатели, много по-трудно - ако знаменателите са различни. Има и сравнение на смесени фракции. Но не се притеснявайте, сега ще разгледаме подробно всяка опция и ще научим как да сравняваме дроби.

Сравняване на дроби с еднакви знаменатели

От две дроби с еднакви знаменатели, но различни числители, дробта с по-големия числител е по-голяма, например:

Сравняване на дроби с еднакви числители

От две дроби с еднакви числители, но различни знаменателиПо-голямата дроб е тази с по-малък знаменател, например:

Сравняване на смесени и неправилни дроби с правилни дроби

Една неправилна или смесена дроб винаги е по-голяма от правилната дроб, например:

Сравняване на две смесени дроби

При сравняване на две смесени дроби по-голяма е тази, чиято цяла част е по-голяма, например:

Ако целите части на смесените дроби са еднакви, по-голяма е дробта, чиято дробна част е по-голяма, например:

Сравняване на дроби с различни числители и знаменатели

Не можете да сравнявате дроби с различни числители и знаменатели, без да ги конвертирате. Първо, дробите трябва да бъдат намалени до един и същи знаменател, а след това техните числители трябва да бъдат сравнени. По-голямата е дробта, чийто числител е по-голям. Но ние ще разгледаме как да намалим дробите до един и същи знаменател в следващите два раздела на статията. Първо ще разгледаме основното свойство на дробите и съкращаващите дроби, а след това директно свеждане на дроби до същия знаменател.

5 Основното свойство на дробта. Намаляване на дроби. Концепцията за GCD.

Помня: Можете да събирате, изваждате и сравнявате само дроби, които имат еднакви знаменатели. Ако знаменателите са различни, тогава първо трябва да приведете дробите към един и същи знаменател, тоест да преобразувате една от дробите, така че нейният знаменател да стане същият като този на втората дроб.

Дробите имат едно важно свойство, наречено още основното свойство на дроб:

Ако и числителят, и знаменателят на дроб се умножат или разделят на едно и също число, тогава стойността на дробта не се променя:

Благодарение на този имот можем намаляване на дроби:

За да намалите дроб означава да разделите и числителя, и знаменателя на едно и също число.(вижте примера точно по-горе). Когато съкращаваме дроб, можем да запишем действията си така:

По-често в тетрадките фракцията се съкращава, както следва:

Но помнете: можете само да намалите факторите. Ако числителят или знаменателят съдържа сбор или разлика, не можете да намалите членовете.

Пример:

Първо трябва да преобразувате сумата в множител: Понякога при работа сголеми числа , за да се намали дроб, е удобно да се намери най великобщ делител

числител и знаменател (НОД)Най-голям общ делител (НОД)

няколко числа е най-голямото естествено число, на което тези числа се делят без остатък.

За да намерите gcd на две числа (например числителя и знаменателя на дроб), трябва да разложите двете числа на прости множители, да маркирате едни и същи множители в двете разлагания и да умножите тези множители. Полученият продукт ще бъде GCD. Например, трябва да намалим дроб:

Нека намерим gcd на числата 96 и 36:

Понякога, за да приведете дроби към същия знаменател, е достатъчно да намалите една от дробите. Но по-често е необходимо да изберете допълнителни фактори за двете фракции. Сега ще разгледаме как се прави това. Така:

6 Как да намалим дроби до един и същи знаменател. Най-малко общо кратно (LCM).

Когато редуцираме дроби към един и същи знаменател, ние избираме число за знаменател, което се дели както на първия, така и на втория знаменател (тоест то би било кратно на двата знаменателя, в математически термини). И е желателно това число да е възможно най-малко, по-удобно е да се брои. Следователно трябва да намерим LCM на двата знаменателя.

Най-малко общо кратно на две числа (LCM)е най-малкото естествено число, което се дели на двете от тези числа без остатък. Понякога LCM може да се намери устно, но по-често, особено когато работите с големи числа, трябва да намерите LCM писмено, като използвате следния алгоритъм:

За да намерите LCM на няколко числа, трябва:

1. Разложете тези числа на прости множители
2. Вземете най-голямото разширение и запишете тези числа като продукт
3. Изберете числа в други разложения, които не се появяват в най-голямото разлагане (или се срещат по-малко пъти в него), и ги добавете към произведението.
4. Умножете всички числа в продукта, това ще бъде LCM.

Например, нека намерим LCM на числата 28 и 21:

Нека обаче се върнем на нашите дроби. След като намерим или изчислим писмено LCM на двата знаменателя, трябва да умножим числителите на тези дроби по допълнителни множители. Можете да ги намерите, като разделите LCM на знаменателя на съответната дроб, например:

Така намалихме нашите дроби до същия знаменател - 15.

7 Събиране и изваждане на дроби

Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители, но да оставите знаменателя същия, например:

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същия, например:

Събиране и изваждане на смесени дроби с еднакви знаменатели

За да добавите смесени дроби, трябва отделно да добавите целите им части, след това да добавите техните дробни части и да запишете резултата като смесена дроб:

Ако при добавяне на дробни части получите неправилна дроб, изберете цялата част от нея и я добавете към цялата част, например:

Изваждането се извършва по подобен начин: цялата част се изважда от цялата част, а дробната част се изважда от дробната част:

Ако дробната част на субтрахенда е по-голяма от дробната част на умаляваното, ние „заемаме“ едно от цялата част, превръщайки умаляваното в неправилна дроб и след това процедираме както обикновено:

По същия начин извадете дроб от цяло число:

Как да съберем цяло число и дроб

За да добавите цяло число и дроб, просто добавяте това число преди дробта, за да създадете смесена дроб, например:

Ако ние събиране на цяло число и смесена дроб, добавяме това число към цялата част на дробта, например:

Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

За да добавяте или изваждате дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги приведете към един и същ знаменател и след това да процедирате както при добавяне на дроби с еднакви знаменатели (добавете числителите):

При изваждане действаме по същия начин:

Ако работим със смесени дроби, редуцираме техните дробни части към същия знаменател и след това изваждаме както обикновено: цялата част от цялата част и дробната част от дробната част:

8 Умножение и деление на дроби.

Умножаването и деленето на дроби е много по-лесно от събирането и изваждането, защото не е необходимо да ги редуцирате до един и същи знаменател. Помня прости правилаумножение и деление на дроби:

Преди да умножите числата в числителя и знаменателя, препоръчително е да намалите фракцията, тоест да се отървете от същите фактори в числителя и знаменателя, както в нашия пример.

Да разделим дроб на естествено число, трябва да умножите знаменателя по това число и да оставите числителя непроменен:

Например:

Деление на дроб на дроб

За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната дроб на делителя (реципрочната дроб). Какъв вид реципрочна дроб е това?

Ако обърнем дробта, тоест разменим числителя и знаменателя, получаваме реципрочна дроб. Произведението на дроб и обратното му дава едно. В математиката такива числа се наричат ​​реципрочни:

Например числа - взаимно обратно, тъй като

И така, нека се върнем към разделянето на дроб на дроб:

За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя:

Например:

Когато разделяте смесени дроби, както и при умножение, първо трябва да ги преобразувате в неправилни дроби:

При умножение и деление на дроби с цели числа цели числа , можете също да представите тези числа като дроби със знаменател 1 .

И когато деление на цяло число на дробпредстави това число като дроб със знаменател 1 :

Фракцияв математиката, число, състоящо се от една или повече части (фракции) на единица. Дробите са част от полето на рационалните числа. Въз основа на начина, по който са написани, дробите се разделят на 2 формата: обикновенитип и десетичен знак .

Числител на дроб- число, показващо броя на взетите акции (намира се в горната част на фракцията - над чертата). Знаменател на дроб- число, показващо на колко акции е разделен дялът (намира се под чертата - най-отдолу). , от своя страна се делят на: правилноИ неправилно, смесенИ композитенса тясно свързани с мерните единици. 1 метър съдържа 100 см, което означава, че 1 м е разделен на 100 равни части. Така 1 cm = 1/100 m (един сантиметър е равен на една стотна от метъра).

или 3/5 (три пети), тук 3 е числителят, 5 е знаменателят. Ако числителят е по-малък от знаменателя, тогава дробта е по-малка от единица и се извиква правилно:

Ако числителят е равен на знаменателя, дробта е равна на едно. Ако числителят е по-голям от знаменателя, дробта е по-голяма от единица. И в двата последни случая дробта се извиква грешно:

За да изолирате най-голямото цяло число, съдържащо се в неправилна дроб, разделяте числителя на знаменателя. Ако делението се извърши без остатък, тогава взетата неправилна дроб е равна на частното:

Ако делението се извършва с остатък, тогава (непълното) частно дава желаното цяло число и остатъкът става числител на дробната част; знаменателят на дробната част остава същият.

Извиква се число, съдържащо цяло число и дробна част смесен. Фракция смесено числоможе би Не правилна дроб . След това можете да изберете най-голямото цяло число от дробната част и да представите смесеното число по такъв начин, че дробната част да стане правилна дроб (или да изчезне напълно).

Изучавайки царицата на всички науки – математиката, в един момент всеки се сблъсква с дробите. Въпреки че тази концепция (както самите видове дроби или математическите операции с тях) не е никак сложна, тя трябва да се третира внимателно, тъй като в Истински животЩе бъде много полезно извън училище. И така, нека опресним знанията си за дробите: какво представляват, за какво служат, какви видове са и как да извършваме различни аритметични операции с тях.

Нейно величество фракция: какво е това

Дробите в математиката са числа, всяко от които се състои от една или повече части на единица. Такива дроби се наричат ​​още обикновени или прости. По правило те се записват като две числа, които са разделени с хоризонтална или наклонена линия, нарича се „дробна“ линия. Например: ½, ¾.

Горното или първото от тези числа е числителят (показва колко части са взети от числото), а долното или второто е знаменателят (показва на колко части е разделена единицата).

Дробната лента всъщност функционира като знак за деление. Например 7:9=7/9

Традиционно обикновените дроби са по-малки от единица. Докато десетичните знаци могат да бъдат по-големи от него.

За какво са дробите? Да, за всичко, защото в реалния свят не всички числа са цели числа. Например, две ученички в кафенето купиха един вкусен шоколад заедно. Когато щяха да споделят десерта, срещнаха приятелка и решиха да почерпят и нея. Сега обаче е необходимо правилно да разделите шоколадовата лента, като се има предвид, че тя се състои от 12 квадрата.

Отначало момичетата искаха да разделят всичко по равно, а след това всяко да получи по четири парчета. Но след като помислили, решили да почерпят приятеля си не с 1/3, а с 1/4 от шоколада. И тъй като ученичките не са учили добре дробите, те не са взели предвид, че в такава ситуация ще се окажат с 9 части, които е много трудно да се разделят на две. Този доста прост пример показва колко е важно да можете да намерите правилно част от число. Но в живота има много повече такива случаи.

Видове дроби: обикновени и десетични

Всички математически дроби са разделени на две големи категории: обикновени и десетични. Характеристиките на първия от тях бяха описани в предишния параграф, така че сега си струва да обърнете внимание на втория.

Десетичният знак е позиционен запис на част от число, който се изписва писмено, разделен със запетая, без тире или наклонена черта. Например: 0,75, 0,5.

Всъщност десетичната дроб е идентична с обикновената дроб, но нейният знаменател винаги е единица, последвана от нули - оттук и името ѝ.

Числото пред запетаята е цяла част, а всичко след нея е дроб. обичам го проста дробможе да се преобразува в десетична. Така десетичните дроби, посочени в предишния пример, могат да бъдат записани както обикновено: ¾ и ½.

Струва си да се отбележи, че както десетичните, така и обикновените дроби могат да бъдат положителни или отрицателни. Ако те са предшествани от знак „-“, тази дроб е отрицателна, ако „+“ е положителна дроб.

Подвидове обикновени дроби

Има тези видове прости дроби.

Подвидове десетична дроб

За разлика от простата дроб, десетичната дроб е разделена само на 2 вида.

• Краен - получи това име поради факта, че след десетичната запетая има ограничен (краен) брой цифри: 19,25.
• Безкрайна дроб е число с безкраен брой цифри след десетичната запетая. Например, когато разделите 10 на 3, резултатът ще бъде безкрайна дроб 3,333...

Събиране на дроби

Извършването на различни аритметични манипулации с дроби е малко по-трудно, отколкото с обикновени числа. Въпреки това, ако разбирате основните правила, решаването на всеки пример с тях няма да е трудно.

Например: 2/3+3/4. Най-малкото общо кратно за тях ще бъде 12, следователно е необходимо това число да бъде във всеки знаменател. За да направите това, умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по 4, получава се 8/12, правим същото с втория член, но само умножаваме по 3 - 9/12. Сега можете лесно да решите примера: 8/12+9/12= 17/12. Получената дроб е неправилна единица, тъй като числителят е по-голям от знаменателя. Тя може и трябва да се трансформира в правилна смесена чрез разделяне на 17:12 = 1 и 5/12.

Когато се добавят смесени дроби, операциите се извършват първо с цели числа, а след това с дроби.

Ако примерът съдържа десетична дроб и обикновена дроб, е необходимо да направите и двете прости, след това да ги приведете към един знаменател и да ги добавите. Например 3.1+1/2. Числото 3.1 може да се запише като смесена дроб от 3 и 1/10 или като неправилна дроб - 31/10. Общият знаменател за термините ще бъде 10, така че трябва да умножите последователно числителя и знаменателя на 1/2 по 5, получавате 5/10. Тогава можете лесно да изчислите всичко: 31/10+5/10=35/10. Полученият резултат е неправилна редуцируема дроб, ние я привеждаме в нормална форма, намалявайки я с 5: 7/2 = 3 и 1/2, или десетична - 3,5.

Когато събирате 2 десетични дроби, важно е да има еднакъв брой цифри след десетичната запетая. Ако това не е така, просто трябва да добавите необходимо количествонули, защото в десетичните дроби това може да стане безболезнено. Например 3,5+3,005. За да решите този проблем, трябва да добавите 2 нули към първото число и след това да добавите една по една: 3,500+3,005=3,505.

Изваждане на дроби

Когато изваждате дроби, трябва да направите същото като при събиране: да намалите до общ знаменател, извадете единия числител от другия и, ако е необходимо, преобразувайте резултата в смесена дроб.

Например: 16/20-5/10. Общият знаменател ще бъде 20. Трябва да приведете втората дроб към този знаменател, като умножите двете й части по 2, получавате 10/20. Сега можете да решите примера: 16/20-10/20= 6/20. Този резултат обаче се отнася за редуцируеми дроби, така че си струва да разделите двете страни на 2 и резултатът е 3/10.

Умножение на дроби

Разделянето и умножаването на дроби са много по-прости операции от събирането и изваждането. Факт е, че при изпълнението на тези задачи не е необходимо да се търси общ знаменател.

За да умножите дроби, просто трябва да умножите двата числителя един по един, а след това и двата знаменателя. Намалете получения резултат, ако фракцията е редуцируема величина.

Например: 4/9x5/8. След алтернативно умножение резултатът е 4x5/9x8=20/72. Тази дроб може да бъде намалена с 4, така че крайният отговор в примера е 5/18.

Как да разделим дроби

Разделянето на дроби също е проста операция, но все още се свежда до умножаването им. За да разделите една дроб на друга, трябва да обърнете втората и да умножите по първата.

Например, разделяне на дробите 5/19 и 5/7. За да решите примера, трябва да размените знаменателя и числителя на втората дроб и да умножите: 5/19x7/5=35/95. Резултатът може да бъде намален с 5 - получава се 7/19.

Ако трябва да разделите дроб на просто число, техниката е малко по-различна. Първоначално трябва да напишете това число като неправилна дроб и след това да го разделите по същата схема. Например 2/13:5 трябва да се запише като 2/13: 5/1. Сега трябва да обърнете 5/1 и да умножите получените дроби: 2/13x1/5= 2/65.

Понякога трябва да разделите смесени фракции. Трябва да се отнасяте към тях както бихте направили с цели числа: да ги превърнете в неправилни дроби, да обърнете делителя и да умножите всичко. Например 8 ½: 3. Преобразувайте всичко в неправилни дроби: 17/2: 3/1. Това е последвано от обръщане 3/1 и умножение: 17/2x1/3= 17/6. Сега трябва да преобразувате неправилната дроб в правилната - 2 цяло и 5/6.

Така че, след като разбрахте какво представляват дробите и как можете да извършвате различни аритметични операции с тях, трябва да се опитате да не забравяте за това. В крайна сметка хората винаги са по-склонни да разделят нещо на части, отколкото да добавят, така че трябва да можете да го направите правилно.

Примерите с дроби са един от основните елементи на математиката. Има много различни видовеуравнения с дроби. По-долу е подробни инструкцииза решаване на примери от този тип.

Как се решават примери с дроби - общи правила

За да решавате примери с дроби от всякакъв тип, било то събиране, изваждане, умножение или деление, трябва да знаете основните правила:

• За да съберете дробни изрази с еднакъв знаменател (знаменателят е числото в долната част на дробта, числителят в горната част), трябва да съберете техните числители и да оставите знаменателя същия.
• За да извадите втори дробен израз (със същия знаменател) от една дроб, трябва да извадите техните числители и да оставите знаменателя същия.
• За да събирате или изваждате дроби с различни знаменатели, трябва да намерите най-малкия общ знаменател.
• За да намерите дробен продукт, трябва да умножите числителите и знаменателите и, ако е възможно, да намалите.
• За да разделите дроб на дроб, умножавате първата дроб по втората дроб в обратен ред.

Как се решават примери с дроби - упражнение

Правило 1, пример 1:

Изчислете 3/4 +1/4.

Съгласно правило 1, ако две (или повече) дроби имат еднакъв знаменател, вие просто събирате техните числители. Получаваме: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ако една дроб има еднакви числител и знаменател, дробта ще бъде равна на 1.

Отговор: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Правило 2, пример 1:

Изчислете: 3/4 – 1/4

Използвайки правило номер 2, за да решите това уравнение, трябва да извадите 1 от 3 и да оставите знаменателя същия. Получаваме 2/4. Тъй като две 2 и 4 могат да бъдат намалени, намаляваме и получаваме 1/2.

Отговор: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Правило 3, Пример 1

Изчислете: 3/4 + 1/6

Решение: Използвайки 3-то правило, намираме най-малкия общ знаменател. Най-малкият общ знаменател е числото, което се дели на знаменателите на всички дробни изрази в примера. Така трябва да намерим минималното число, което ще се дели и на 4, и на 6. Това число е 12. Записваме 12 като знаменател, разделяме 12 на знаменателя на първата дроб, получаваме 3, умножаваме по 3, пишем. 3 в числителя *3 и знак +. Разделете 12 на знаменателя на втората дроб, получаваме 2, умножете 2 по 1, напишете 2*1 в числителя. И така, получаваме нова дроб със знаменател равен на 12 и числител равен на 3*3+2*1=11. 11/12.

Отговор: 11/12

Правило 3, Пример 2:

Изчислете 3/4 – 1/6. Този пример е много подобен на предишния. Правим всички същите стъпки, но в числителя вместо знака +, пишем знак минус. Получаваме: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Отговор: 7/12

Правило 4, Пример 1:

Изчислете: 3/4 * 1/4

Използвайки четвъртото правило, умножаваме знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората и числителя на първата дроб по числителя на втората. 3*1/4*4 = 3/16.

Отговор: 3/16

Правило 4, Пример 2:

Изчислете 2/5 * 10/4.

Тази фракция може да бъде намалена. В случай на произведение числителят на първата дроб и знаменателят на втората и числителят на втората дроб и знаменателят на първата се анулират.

2 анулира от 4. 10 анулира от 5. Получаваме 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Отговор: 2/5 * 10/4 = 1

Правило 5, Пример 1:

Изчислете: 3/4: 5/6

Използвайки 5-то правило, получаваме: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Намаляваме дроба според принципа на предишния пример и получаваме 9/10.

Отговор: 9/10.

Как се решават примери с дроби - дробни уравнения

Дробните уравнения са примери, при които знаменателят съдържа неизвестно. За да разрешите такова уравнение, трябва да използвате определени правила.

Да разгледаме един пример:

Решете уравнението 15/3x+5 = 3

Нека помним, че не можете да делите на нула, т.е. стойността на знаменателя не трябва да е нула. При решаването на такива примери това трябва да се посочи. За тази цел има OA (обхват на допустимите стойности).

Така че 3x+5 ≠ 0.
Следователно: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

При x = 5/3 уравнението просто няма решение.

Като посочи ОДЗ, по възможно най-добрия начинРешаването на това уравнение ще премахне дробите. За да направим това, първо представяме всички недробни стойности като дроб, в този случай числото 3. Получаваме: 15/(3x+5) = 3/1. За да се отървете от дроби, трябва да умножите всяка от тях по най-малкия общ знаменател. В този случай ще бъде (3x+5)*1. Последователност:

1. Умножете 15/(3x+5) по (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Отворете скобите: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Правим същото с дясната страна на уравнението: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Приравнете лявата и дясната страна: 45x + 75 = 9x +15
5. Преместете X-овете наляво, числата надясно: 36x = – 50
6. Намерете x: x = -50/36.
7. Намаляваме: -50/36 = -25/18

Отговор: ODZ x ≠ 5/3. х = -25/18.

Как се решават примери с дроби - дробни неравенства

Дробните неравенства от типа (3x-5)/(2-x)≥0 се решават с помощта на числовата ос. Нека да разгледаме този пример.

Последователност:

• Приравняваме числителя и знаменателя на нула: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Начертаваме числова ос, записвайки получените стойности върху нея.
• Начертайте кръг под стойността. Има два вида кръгове - запълнени и празни. Запълнен кръг означава това дадена стойносте включен в гамата от решения. Празен кръг показва, че тази стойност не е включена в обхвата на решението.
• Тъй като знаменателят не може да бъде равен на нула, под второто ще има празно кръгче.

• За да определим знаците, заместваме всяко число, по-голямо от две, в уравнението, например 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. стойността е отрицателна, което означава, че пишем минус над областта след двете. След това заменете X с произволна стойност от интервала от 5/3 до 2, например 1. Стойността отново е отрицателна. Пишем минус. Повтаряме същото с областта, разположена до 5/3. Заменяме всяко число, по-малко от 5/3, например 1. Отново минус.

• Тъй като се интересуваме от стойностите на x, при които изразът ще бъде по-голям или равен на 0, и няма такива стойности (навсякъде има минуси), това неравенство няма решение, тоест x = Ø (празен комплект).

Отговор: x = Ø

Част от единица или няколко части от нея се нарича проста или обикновена дроб. Броят на равните части, на които е разделена една единица, се нарича знаменател, а броят на взетите части се нарича числител. Дробта се записва като:

В този случай a е числителят, b е знаменателят.

Ако числителят е по-малък от знаменателя, тогава дробта е по-малка от 1 и се нарича правилна дроб. Ако числителят е по-голям от знаменателя, тогава дробта е по-голяма от 1, тогава дробта се нарича неправилна дроб.

Ако числителят и знаменателят на една дроб са равни, тогава дробта е равна.

1. Ако числителят може да бъде разделен на знаменателя, тогава тази дроб е равна на частното от делението:

Ако делението се извършва с остатък, тогава тази неправилна дроб може да бъде представена със смесено число, например:

Тогава 9 е непълно частно (цялата част от смесено число),
1 - остатък (числител на дробната част),
5 е знаменателят.

За да преобразувате смесено число в дроб, трябва да умножите цялата част на смесеното число по знаменателя и да добавите числителя на дробната част.

Полученият резултат ще бъде числителят на обикновената дроб, но знаменателят ще остане същият.

Действия с дроби

Разширяване на дроб.Стойността на една дроб не се променя, ако умножите нейния числител и знаменател по едно и също число, различно от нула.
Например:

Намаляване на дроб.Стойността на дроб не се променя, ако разделите числителя и знаменателя на едно и също число, различно от нула.
Например:

Сравняване на дроби.От две дроби с еднакви числители по-голяма е тази, чийто знаменател е по-малък:

От две дроби с еднакъв знаменател по-голяма е тази, чийто числител е по-голям:

За да сравните дроби, чиито числители и знаменатели са различни, е необходимо да ги разширите, тоест да ги приведете към общ знаменател. Помислете например за следните дроби:

Събиране и изваждане на дроби.Ако знаменателите на дробите са еднакви, то за да съберете дробите, трябва да съберете числителите им, а за да извадите дробите, трябва да извадите числителите им. Получената сума или разлика ще бъде числителят на резултата, но знаменателят ще остане същият. Ако знаменателите на дробите са различни, първо трябва да намалите дробите до общ знаменател. При събиране на смесени числа целите и дробните им части се събират отделно. Когато изваждате смесени числа, първо трябва да ги преобразувате във формата на неправилни дроби, след това да извадите едното от другото и след това отново да преобразувате резултата, ако е необходимо, във формата на смесено число.

Умножение на дроби. За да умножите дроби, трябва да умножите отделно техните числители и знаменатели и да разделите първия продукт на втория.

Деление на дроби. За да разделите число на дроб, трябва да умножите това число по реципрочната дроб.

десетична- това е резултатът от разделянето на едно на десет, сто, хиляда и т.н. части. Първо се записва цялата част от числото, след което се поставя десетична запетая отдясно. Първата цифра след десетичната запетая означава броя на десетите, втората - броя на стотните, третата - броя на хилядните и т.н. Числата, разположени след десетичната запетая, се наричат ​​десетични.

Например:

Свойства на десетичните числа

Имоти:

• Десетичната дроб не се променя, ако добавите нули отдясно: 4,5 = 4,5000.
• Десетичната запетая не се променя, ако премахнете нулите в края на десетичната запетая: 0,0560000 = 0,056.
• Десетичната запетая се увеличава с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, ако преместите десетичната запетая едно, две, три и т.н. позиции вдясно: 4,5 45 (фракцията се е увеличила 10 пъти).
• Десетичните дроби се намаляват с 10, 100, 1000 и т.н. пъти, ако преместите десетичната запетая едно, две, три и т.н. позиции вляво: 4,5 0,45 (фракцията е намаляла 10 пъти).

Периодична десетична дроб съдържа безкрайно повтаряща се група от цифри, наречена период: 0,321321321321…=0,(321)

Операции с десетични знаци

Добавянето и изваждането на десетични знаци работи по същия начин като добавянето и изваждането на цели числа, просто трябва да напишете съответните десетични знаци един под друг.
Например:

Умножаването на десетични дроби се извършва на няколко етапа:

• Умножаваме десетичните знаци като цели числа, като игнорираме десетичната запетая.
• Прилага се правилото: броят на десетичните знаци в произведението е равен на сбора от десетичните знаци във всички множители.

Например:

Сумата от числата на десетичните знаци в множителите е равна на: 2+1=3. Сега трябва да преброите 3 цифри от края на полученото число и да поставите десетична запетая: 0,675.

Деление на десетични знаци. Разделяне на десетична дроб на цяло число: ако дивидентът е по-малък от делителя, тогава трябва да напишете нула в цялата част на частното и да поставите десетична точка след нея. След това, без да отчитате десетичната запетая на дивидента, добавете следващата цифра от дробната част към цялата му част и отново сравнете получената цяла част от дивидента с делителя. Ако новото число отново е по-малко от делителя, операцията трябва да се повтори. Този процес се повтаря, докато полученият дивидент стане по-голям от делителя. След това се извършва деление като за цели числа. Ако дивидентът е по-голям или равен на делителя, първо разделете цялата му част, запишете резултата от делението в частното и поставете десетична запетая. След това делението продължава както при целите числа.

Разделяне на една десетична дроб на друга: първо, десетичните точки в дивидента и делителя се прехвърлят към броя на десетичните знаци в делителя, тоест правим делителя цяло число и се извършват описаните по-горе действия.

За да се обърне десетичен знакв обикновен, трябва да вземете числото след десетичната запетая като числител и да приемете k-тата степен на десет като знаменател (k е броят на десетичните знаци). Ненулевата цяло число се съхранява в обикновена дроб; нулевата цяло число е пропусната.
Например:

За да преобразувате дроб в десетична, трябва да разделите числителя на знаменателя в съответствие с правилата за деление.

Процентът е стотна от единицата, например: 5% означава 0,05. Коефициентът е частното от едно число, разделено на друго. Пропорцията е равенството на две съотношения.

Например:

Основното свойство на пропорцията: произведението на крайните членове на пропорцията е равно на произведението на нейните средни членове, т.е. 5x30 = 6x25. Две взаимно зависими величини се наричат ​​пропорционални, ако отношението на техните величини остава непроменено (коефициент на пропорционалност).

Така са идентифицирани следните аритметични операции.
Например:

Наборът от рационални числа включва положителни и отрицателни числа (цели числа и дроби) и нула. По-точното определение на рационалните числа, прието в математиката, е следното: едно число се нарича рационално, ако може да бъде представено като обикновена несъкратима дроб от вида:, където a и b са цели числа.

За отрицателно число абсолютна стойност(модул) е положително число, получено чрез промяна на знака му от “-” на “+”; за положително число и нула - самото число. За обозначаване на модула на число се използват две прави линии, в които се записва това число, например: |–5|=5.

Свойства с абсолютна стойност

Нека е даден модулът на число , за които са верни следните свойства:

Мономът е произведение на два или повече фактора, всеки от които е или число, буква или степен на буква: 3 x a x b. Коефициентът най-често се нарича просто числен множител. Мономите се наричат ​​подобни, ако са еднакви или се различават само по коефициенти. Степента на монома е сумата от показателите на всички негови букви. Ако сред сумата от мономи има подобни, тогава сумата може да бъде намалена до повече прост изглед: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Тази операция се нарича извеждане на подобни термини или поставянето им извън скоби.

Полиномът е алгебрична сумамономи. Степента на полином е най-голямата от степените на мономите, включени в дадения полином.

Съществуват следните формули за съкратено умножение:

Методи за факторизация:

Алгебричната дроб е израз на формата , където A и B могат да бъдат число, моном или полином.

Ако два израза (цифров и буквен) са свързани със знака „=“, тогава се казва, че образуват равенство. Всяко истинско равенство, което е валидно за всички допустими числени стойности на включените в него букви, се нарича идентичност.

Уравнението е буквално равенство, което е валидно за определени стойности на буквите, включени в него. Тези букви се наричат ​​неизвестни (променливи), а стойностите им, при които даденото уравнение се превръща в тъждество, се наричат ​​корени на уравнението.

Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени. Две или повече уравнения се наричат ​​еквивалентни, ако имат еднакви корени.

• нулата беше коренът на уравнението;
• уравнението имаше само краен брой корени.

Основни видове алгебрични уравнения:

За линейното уравнение ax + b = 0:

• ако a x 0, има един корен x = -b/a;
• ако a = 0, b ≠ 0, няма корени;
• ако a = 0, b = 0, коренът е всяко реално число.

Уравнение xn = a, n N:

• ако n е нечетно число, за всяко a то има реален корен, равен на a/n;
• ако n е четно число, тогава за 0, то има два корена.

Основни тождественни трансформации: замяна на един израз с друг, идентично равен на него; прехвърляне на членове на уравнението от едната страна в другата с противоположни знаци; умножаване или деление на двете страни на уравнение с един и същ израз (число), различен от нула.

Линейно уравнение с едно неизвестно е уравнение от вида: ax+b=0, където a и b са известни числа, а x е неизвестна величина.

Системи от две линейни уравненияс две неизвестни имат формата:

Където a, b, c, d, e, f са дадени числа; x, y са неизвестни.

Числата a, b, c, d са коефициенти за неизвестни; e, f са свободни термини. Решението на тази система от уравнения може да бъде намерено чрез два основни метода: методът на заместване: от едно уравнение ние изразяваме едно от неизвестните чрез коефициенти и друго неизвестно и след това го заместваме във второто уравнение; решавайки последното уравнение, първо намираме едно неизвестно, след което заместваме намерената стойност в първото уравнение и намираме второто неизвестно; метод за добавяне или изваждане на едно уравнение от друго.

Операции с корени:

Аритметичен корен n-та степенот неотрицателно число а се нарича неотрицателно число, n-та степенкоето е равно на a. Алгебрични n-ти коренстепен на дадено число е множеството от всички корени на това число.

Ирационалните числа, за разлика от рационалните, не могат да бъдат представени като обикновена несъкратима дроб от формата m/n, където m и n са цели числа. Това са числа от нов тип, които могат да бъдат изчислени с всякаква точност, но не могат да бъдат заменени рационално число. Те могат да се появят в резултат на геометрични измервания, например: съотношението на дължината на диагонала на квадрат към дължината на неговата страна е равно.

Квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен ax2+bx+c=0, където a, b, c са дадени числови или буквени коефициенти, x е неизвестно. Ако разделим всички членове на това уравнение на a, резултатът е x2+px+q=0 - редуцираното уравнение p=b/a, q=c/a. Корените му се намират по формулата:

Ако b2-4ac>0, тогава има два различни корена, b2- 4ac=0, тогава има два равни корена; b2-4ac Уравнения, съдържащи модули

Основни типове уравнения, съдържащи модули:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, където f(x), g(x), fk(x), gk(x) са дадени функции.