كلية الرياضيات الصغيرة. نظام الأرقام الموقعية

هناك طرق عديدة لتمثيل الأرقام. في أي حال ، يتم تمثيل الرقم برمز أو مجموعة من الرموز (كلمة) لبعض الأبجدية. تسمى هذه الشخصيات أرقامًا.

أنظمة الأرقام

لتمثيل الأرقام ، يتم استخدام أنظمة الأرقام الموضعية وغير الموضعية.

أنظمة الأرقام غير الموضعية

بمجرد أن بدأ الناس في العد ، احتاجوا إلى كتابة الأرقام. الاكتشافات الأثرية في المواقع الناس البدائيونالإشارة إلى أنه تم عرض عدد الكائنات في البداية بعدد متساوٍ من أي رموز (علامات): الشقوق والشرطات والنقاط. في وقت لاحق ، لسهولة العد ، تم تجميع هذه الرموز في ثلاث أو خمس. يسمى نظام التدوين هذا واحد (أحادي)، حيث يتكون أي رقم فيه بتكرار علامة واحدة ترمز إلى الوحدة. تم العثور على أصداء نظام رقم الوحدة اليوم. لذلك ، من أجل معرفة الدورة التي يدرسها طالب في مدرسة عسكرية ، تحتاج إلى حساب عدد المشارب المخيطة على جعبته. دون أن يدركوا ذلك ، يستخدم الأطفال نظام رقم الوحدة ، ويظهر عمرهم على أصابعهم ، ويتم استخدام عصي العد لتعليم طلاب الصف الأول العد. يعتبر أنظمة مختلفةحساب.

نظام الوحدة ليس الطريقة الأكثر ملاءمة لكتابة الأرقام. سجل مثل هذا كميات كبيرةمملة ، والتسجيلات نفسها طويلة جدًا. مع مرور الوقت ، ظهرت أنظمة أخرى أكثر ملاءمة.

نظام الأعداد غير الموضعية العشري المصري القديم. في حوالي الألفية الثالثة قبل الميلاد ، توصل المصريون القدماء إلى نظام الأرقام الخاص بهم ، والذي يحدد فيه الأرقام الرئيسية 1 ، 10 ، 100 ، إلخ. تستخدم الرموز الخاصة - الهيروغليفية. تم تجميع جميع الأرقام الأخرى من هذه الأرقام الرئيسية باستخدام عملية الجمع. نظام الأرقام في مصر القديمة هو نظام عشري ، لكنه غير موضعي. في أنظمة الأرقام غير الموضعية ، لا يعتمد المعادل الكمي لكل رقم على موضعه (المكان ، الموضع) في إدخال الرقم. على سبيل المثال ، لرسم 3252 ، تم رسم ثلاث أزهار لوتس (ثلاثة آلاف) ، واثنان من سعف النخيل المطوي (مائتان) ، وخمسة أقواس (خمس عشرات) ، واثنين من القطبين (وحدتان). لا تعتمد قيمة الرقم على الترتيب الذي توجد به العلامات التي يتكون منها: يمكن كتابتها من أعلى إلى أسفل ، أو من اليمين إلى اليسار ، أو تتخللها.

نظام الأرقام الرومانية. مثال على النظام غير الموضعي الذي نجا حتى يومنا هذا هو نظام الأرقام ، والذي تم استخدامه منذ أكثر من ألفي ونصف عام في روما القديمة. اعتمد نظام الأرقام الرومانية على العلامات I (إصبع واحد) للرقم 1 ، V (راحة اليد) للرقم 5 ، X (كفتان مطويتان) لـ 10 ، والحروف الأولى من المقابلة كلمات لاتينية(Centum - مائة ، Demimille - نصف ألف ، ميل - ألف). لكتابة رقم ، قسمه الرومان إلى مجموع آلاف ، نصف ألف ، مئات ، نصف مائة ، عشرات ، كعوب ، وحدات. على سبيل المثال ، يتم تمثيل الرقم العشري 28 على النحو التالي:

الثامن والعشرون = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 (عشرتان ، خمسة ، ثلاثة آحاد).

لكتابة أرقام وسيطة ، لم يستخدم الرومان الجمع فحسب ، بل استخدموا أيضًا الطرح. في نفس الوقت تم تطبيقه القاعدة التالية: يتم إضافة كل علامة أصغر موضوعة على يمين العلامة الأكبر إلى قيمتها ، ويتم طرح كل علامة أصغر موضوعة على يسار العلامة الأكبر منها. على سبيل المثال ، يرمز IX إلى 9 ، بينما يرمز XI إلى 11.

العدد العشري 99 له التمثيل التالي:

XCIХ \ u003d -10 + 100-1 + 10.

تم استخدام الأرقام الرومانية لفترة طويلة جدًا. حتى قبل 200 عام ، في أوراق العمل ، كان ينبغي الإشارة إلى الأرقام بالأرقام الرومانية (كان يُعتقد أن الأرقام عادية الترقيم العربيسهل التزييف). يستخدم نظام الأرقام الرومانية اليوم بشكل أساسي للتسمية تواريخ مهمةوالمجلدات والأقسام والفصول في الكتب.

أنظمة الأرقام الأبجدية. كانت أنظمة الأرقام غير الموضعية الأكثر تقدمًا هي أنظمة أبجدية. تضمنت هذه الأنظمة العددية اليونانية والسلافية والفينيقية وغيرها. في نفوسهم ، تم الإشارة إلى الأرقام من 1 إلى 9 ، والأعداد الصحيحة للعشرات (من 10 إلى 90) والأعداد الصحيحة للمئات (من 100 إلى 900) بأحرف الأبجدية. في نظام الأرقام الأبجدي اليونان القديمةتم الإشارة إلى الأرقام 1 ، 2 ، ... ، 9 بالأحرف التسعة الأولى من الأبجدية اليونانية ، وهكذا. تم استخدام الأحرف التسعة التالية لتعيين الأرقام 10 ، 20 ، ... ، 90 ، واستخدمت الأحرف التسعة الأخيرة لتعيين الأرقام 100 ، 200 ، ... ، 900.

بين الشعوب السلافية ، تم تحديد القيم العددية للحروف بالترتيب الأبجدية السلافية، والتي استخدمت الأبجدية الغلاغوليتية أولاً ثم الأبجدية السيريلية.

في روسيا ، تم الحفاظ على الترقيم السلافي حتى نهاية القرن السابع عشر. في عهد بطرس الأول ، ساد ما يسمى بالترقيم العربي ، والذي ما زلنا نستخدمه اليوم. تم حفظ الترقيم السلافي فقط في الكتب الليتورجية.

أنظمة الأرقام غير الموضعية لها عدد من العيوب المهمة:

• هناك حاجة مستمرة لإدخال إشارات جديدة للسجل أعداد كبيرة.

• لا يمكن تمثيل الأعداد الكسرية والسالبة.

• من الصعب إجراء العمليات الحسابية لعدم وجود خوارزميات لأداء هذه العمليات.

أنظمة الأرقام الموضعية

في أنظمة الأرقام الموضعية - يعتمد المعادل الكمي لكل رقم على موضعه (موضعه) في كود (سجل) الرقم. في الوقت الحاضر ، اعتدنا على استخدام نظام الموضع العشري - تتم كتابة الأرقام باستخدام 10 أرقام. يشير الرقم الموجود في أقصى اليمين إلى الوحدات ، إلى اليسار - عشرات ، وحتى أكثر إلى اليسار - مئات ، إلخ.

على سبيل المثال: 1) ستينياتيمال (بابل القديمة) - أول نظام رقم موضعي. حتى الآن ، تم قياس الوقت باستخدام الأساس 60 (دقيقة واحدة = 60 ثانية ، ساعة واحدة = 60 دقيقة) ؛ 2) نظام الأعداد الاثني عشرية (في القرن التاسع عشر ، انتشر الرقم 12 - "دزينة": هناك عشرين ساعة في اليوم). لا يتم العد على الأصابع ، ولكن على مفاصل الأصابع. يوجد في كل إصبع من أصابع اليد ، باستثناء الإبهام ، 3 مفاصل - بإجمالي 12 مفاصل ؛ 3) في الوقت الحالي ، أكثر أنظمة الأرقام الموضعية شيوعًا هي النظام العشري ، والثنائي ، والثماني ، والسداسي العشري (تُستخدم على نطاق واسع في البرمجة منخفضة المستوى وبشكل عام في توثيق الكمبيوتر ، نظرًا لأن الحد الأدنى لوحدة الذاكرة في أجهزة الكمبيوتر الحديثة هو 8 بت بايت ، القيم التي تتم كتابتها بشكل ملائم برقمين سداسي عشري).

في أي نظام موضعي ، يمكن تمثيل الرقم على أنه كثير الحدود.

دعنا نوضح كيف يتم تمثيل الرقم العشري على أنه كثير الحدود:

أنواع أنظمة الأرقام

أهم ما يجب معرفته عن نظام الأرقام هو نوعه: مضاف أو مضاعف. في النوع الأول ، كل رقم له معناه الخاص ، ولقراءة الرقم ، تحتاج إلى إضافة جميع قيم الأرقام المستخدمة:

XXXV = 10 + 10 + 10 + 5 = 35 ؛ CCXIX = 100 + 100 + 10–1 + 10 = 219 ؛

في النوع الثاني ، يمكن أن يكون لكل رقم معان مختلفةحسب موقعك بما في ذلك:

(الهيروغليفية بالترتيب: 2 ، 1000 ، 4 ، 100 ، 2 ، 10 ، 5)

هنا يتم استخدام الحرف "2" مرتين ، وفي كل حالة يتم استخدام قيم مختلفة "2000" و "20".

2´ 1000 + 4´ 100 + 2´ 10 + 5 = 2425

بالنسبة لنظام المضافات ("المضافة") ، تحتاج إلى معرفة جميع رموز الأرقام مع معانيها (هناك ما يصل إلى 4-5 عشرات منهم) ، وترتيب التسجيل. على سبيل المثال ، في الترميز اللاتيني ، إذا كان الرقم الأصغر مكتوبًا قبل الرقم الأكبر ، فسيتم إجراء الطرح ، وإذا كان بعد ذلك ، فسيتم الجمع (IV \ u003d (5–1) \ u003d 4 ؛ VI \ u003d (5 + 1) = 6).

بالنسبة لنظام الضرب ، تحتاج إلى معرفة صورة الأرقام ومعناها ، وكذلك أساس نظام الأرقام. من السهل جدًا تحديد القاعدة ، ما عليك سوى إعادة حساب المبلغ شخصيات مهمةفي النظام. ببساطة ، هذا هو الرقم الذي يبدأ منه الرقم الثاني من الرقم. على سبيل المثال ، نستخدم الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. هناك 10 منهم بالضبط ، لذا فإن قاعدة نظامنا الرقمي هي أيضًا 10 ، ونظام الأرقام هو يسمى "عشري". يستخدم المثال أعلاه الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 (لا تحسب 10 ، 100 ، 1000 ، 10000 ، إلخ). يوجد أيضًا 10 أرقام رئيسية ، ونظام الأرقام عشري.

كما يمكنك التخمين ، كم عدد الأرقام الموجودة ، يمكن أن يكون هناك العديد من قواعد أنظمة الأرقام. ولكن يتم استخدام القواعد الأكثر ملاءمة لأنظمة الأرقام فقط. لماذا تعتقد أن القاعدة هي الأكثر شيوعًا النظام البشريالحساب 10؟ نعم ، بالضبط لأن لدينا 10 أصابع في أيدينا. سيقول البعض "لكن هناك خمسة أصابع فقط في يد واحدة" ، وسيكونون على حق. يعرف تاريخ البشرية أمثلة على أنظمة الأعداد ذات الخمسة أضعاف. "وبالرجلين - عشرين إصبعًا" - سيقول الآخرون ، وسيكونون أيضًا على حق تمامًا. هذا ما اعتقده المايا. يمكنك حتى رؤيته في أعدادهم.

مفهوم "دزينة" مثير جدا للاهتمام. يعلم الجميع أن هذا هو 12 ، لكن قلة من الناس يعرفون من أين جاء هذا الرقم. انظر إلى يديك ، أو بالأحرى ، من جهة. كم عدد الكتائب الموجودة على كل أصابع يد واحدة ، بدون عد الإبهام؟ هذا صحيح ، اثنا عشر. أ إبهاممصممة لتمييز الكتائب التي تم عدها.

ومن ناحية أخرى ، إذا قمنا بتأجيل عدد العشرات بأصابعنا ، فسنحصل على النظام البابلي الستيني المعروف.

في الحضارات المختلفة ، كانوا يحسبون بشكل مختلف ، ولكن حتى الآن من الممكن حتى في اللغة ، في أسماء وصور الأرقام العثور على بقايا أنظمة أرقام مختلفة تمامًا كانت تستخدم من قبل هؤلاء الناس.

لذا كان لدى الفرنسيين ذات مرة نظام أرقام حيوي ، حيث أن 80 في الفرنسية تبدو مثل "أربعة في عشرين".

استخدم الرومان ، أو أسلافهم ، ذات مرة النظام الخماسي ، حيث أن V ليست أكثر من صورة كف مع إبهام موضوعة جانبًا ، و X هي اثنتان من نفس اليدين.

عند دراسة الترميزات ، أدركت أنني لم أفهم أنظمة الأرقام جيدًا. ومع ذلك ، فقد استخدم في كثير من الأحيان أنظمة 2 ، 8 ، 10 ، 16 ، مترجمة واحدة إلى أخرى ، ولكن كل شيء كان يتم على "تلقائي". بعد قراءة العديد من المنشورات ، فوجئت بعدم وجود واحدة مكتوبة لغة بسيطة، مقالات عن هذه المواد الأساسية. لهذا السبب قررت أن أكتب كتابي الخاص ، والذي حاولت فيه تقديم أساسيات أنظمة الأرقام بطريقة سهلة الوصول ومنظمة.

مقدمة

الرموزهي طريقة لكتابة (تمثيل) الأرقام.

ما هو المقصود من هذا؟ على سبيل المثال ، ترى عدة أشجار أمامك. مهمتك هي عدهم. للقيام بذلك ، يمكنك ثني أصابعك ، وعمل شقوق على حجر (شجرة واحدة - إصبع واحد / شق) أو مطابقة 10 أشجار مع شيء ما ، على سبيل المثال ، حجر ، ونسخة واحدة بعصا ووضعها على الأرض كما تعول. في الحالة الأولى ، يتم تمثيل الرقم كخط من الأصابع أو الشقوق المنحنية ، في الحالة الثانية - تركيبة من الحجارة والعصي ، حيث توجد الحجارة على اليسار والعصي على اليمين.

تنقسم أنظمة الأرقام إلى الموضعية وغير الموضعية ، والموضعية بدورها إلى متجانسة ومختلطة.

غير موضعي- الأقدم ، يحتوي كل رقم من الرقم على قيمة لا تعتمد على موضعه (الرقم). أي ، إذا كان لديك 5 شرطات ، فإن الرقم يساوي أيضًا 5 ، نظرًا لأن كل شرطة ، بغض النظر عن مكانها في السطر ، تتوافق مع عنصر واحد فقط.

نظام الموقف- تعتمد قيمة كل رقم على موضعه (رقم) في الرقم. على سبيل المثال ، نظام الأرقام العاشر المألوف لدينا هو الموضعي. ضع في اعتبارك الرقم 453. الرقم 4 يشير إلى عدد المئات ويتوافق مع الرقم 400 ، 5 - عدد العشرات وهو مشابه للقيمة 50 ، و 3 - وحدات والقيمة 3. كما ترى ، أكبر الرقم ، كلما زادت القيمة. يمكن تمثيل الرقم النهائي كمجموع 400 + 50 + 3 = 453.

نظام متجانس- بالنسبة لجميع أرقام (مواضع) الرقم ، فإن مجموعة الأحرف الصالحة (الأرقام) هي نفسها. كمثال ، لنأخذ النظام العاشر المذكور سابقًا. عند كتابة رقم في نظام 10 متجانس ، يمكنك استخدام رقم واحد فقط من 0 إلى 9 في كل رقم ، لذلك يُسمح بالرقم 450 (الرقم الأول - 0 ، الثاني - 5 ، الثالث - 4) ، ولكن 4F5 ليس كذلك ، لأن الحرف F ليس جزءًا من الأرقام من 0 إلى 9.

نظام مختلط- في كل رقم (موضع) من الرقم ، قد تختلف مجموعة الأحرف الصالحة (الأرقام) عن مجموعات الأرقام الأخرى. ومن الأمثلة الصارخة على ذلك نظام قياس الوقت. في فئة الثواني والدقائق ، يمكن استخدام 60 حرفًا مختلفًا (من "00" إلى "59") ، في فئة الساعات - 24 شخصيات مختلفة(من "00" إلى "23") ، في تفريغ اليوم - 365 ، إلخ.

الأنظمة غير الموضعية

بمجرد أن تعلم الناس العد ، كانت هناك حاجة لتسجيل الأرقام. في البداية ، كان كل شيء بسيطًا - تقابل الشق أو الشَرطة على بعض الأسطح كائنًا واحدًا ، على سبيل المثال ، فاكهة واحدة. هكذا ظهر نظام الأرقام الأول - الوحدة.

نظام رقم الوحدة

الرقم في نظام الأرقام هذا عبارة عن سلسلة من الشرطات (العصي) ، وعددها يساوي قيمة الرقم المحدد. وبالتالي ، سيكون محصول 100 تمر يساوي الرقم، تتكون من 100 شرطة.
لكن هذا النظام به مضايقات واضحة - فكلما زاد العدد ، زاد طول سلسلة العصي. بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك بسهولة ارتكاب خطأ عند كتابة رقم عن طريق إضافة عصا إضافية عن طريق الخطأ أو ، على العكس من ذلك ، عدم إضافتها.

للراحة ، بدأ الناس في تجميع العصي بمقدار 3 ، 5 ، 10 قطع. في نفس الوقت ، تتوافق كل مجموعة مع علامة أو كائن معين. في البداية ، تم استخدام الأصابع للعد ، لذلك ظهرت العلامات الأولى لمجموعات من 5 و 10 قطع (وحدات). كل هذا جعل من الممكن إنشاء أنظمة أكثر ملاءمة لتسجيل الأرقام.

النظام العشري المصري القديم

في مصر القديمةتم استخدام الأحرف الخاصة (الأرقام) للإشارة إلى الأرقام 1 ، 10 ، 10 2 ، 10 3 ، 10 4 ، 10 5 ، 10 6 ، 10 7. فيما يلي بعض منهم:

لماذا يسمى العشري؟ كما كتب أعلاه - بدأ الناس في تجميع الرموز. في مصر ، اختاروا مجموعة من 10 ، وتركوا الرقم "1" دون تغيير. في هذه الحالة ، يسمى الرقم 10 أساس نظام الأرقام العشري ، وكل رمز يمثل تمثيلًا للرقم 10 إلى حد ما.

تمت كتابة الأرقام في نظام الأرقام المصري القديم كمزيج من هؤلاء
حرفًا ، كل منها لا يتكرر أكثر من تسع مرات. كانت القيمة النهائية مساوية لمجموع عناصر العدد. وتجدر الإشارة إلى أن طريقة الحصول على القيمة هذه هي سمة مميزة لكل نظام رقم غير موضعي. مثال على ذلك الرقم 345:

النظام الستيني البابلي

على عكس النظام المصري ، تم استخدام رمزين فقط في النظام البابلي: إسفين "مستقيم" للوحدات والآخر "كاذب" للعشرات. لتحديد قيمة الرقم ، من الضروري تقسيم صورة الرقم إلى أرقام من اليمين إلى اليسار. يبدأ التفريغ الجديد بظهور إسفين مستقيم بعد راقد. لنأخذ الرقم 32 كمثال:

يُشار إلى الرقم 60 وجميع درجاته أيضًا بإسفين مستقيم ، كما هو الحال "1". لذلك ، كان يُطلق على نظام الأرقام البابلي اسم ستيني.
تمت كتابة جميع الأرقام من 1 إلى 59 من قبل البابليين في نظام عشري غير موضعي ، والقيم الكبيرة في الموضع مع الأساس 60. الرقم 92:

كان تدوين الرقم غامضًا ، حيث لم يكن هناك رقم للصفر. يمكن أن يعني تمثيل الرقم 92 ليس فقط 92 = 60 + 32 ، ولكن أيضًا ، على سبيل المثال ، 3632 = 3600 + 32. لتحديد قيمه مطلقهالرقم ، تم تقديم حرف خاص للإشارة إلى الرقم الستيني المفقود ، والذي يتوافق مع ظهور الرقم 0 في الإدخال عدد عشري:

الآن يجب كتابة الرقم 3632 على النحو التالي:

النظام الستيني البابلي هو نظام الأرقام الأول الذي يعتمد جزئيًا على مبدأ الموضع. يتم استخدام نظام الأرقام هذا اليوم ، على سبيل المثال ، عند تحديد الوقت - تتكون الساعة من 60 دقيقة ، والدقيقة 60 ثانية.

النظام الروماني

لا يختلف النظام الروماني كثيرًا عن النظام المصري. يستخدم الأحرف اللاتينية الكبيرة I و V و X و L و C و D و M على التوالي للإشارة إلى الأرقام 1 و 5 و 10 و 50 و 100 و 500 و 1000 على التوالي. الرقم في نظام الأرقام الرومانية هو مجموعة من الأرقام المتتالية.

طرق تحديد قيمة الرقم:

1. قيمة رقم تساوي مجموع قيم أرقامه. على سبيل المثال ، الرقم 32 في نظام الأرقام الرومانية هو XXXII = (X + X + X) + (I + I) = 30 + 2 = 32
2. إذا كان هناك رقم أصغر على يسار الرقم الأكبر ، فإن القيمة تساوي الفرق بين الخانتين الأكبر والأصغر. في الوقت نفسه ، يمكن أن يكون الرقم الأيسر أقل من الرقم الأيمن بترتيب واحد كحد أقصى: على سبيل المثال ، قبل L (50) و C (100) من "الأصغر" ، يمكن فقط X (10) الوقوف ، قبل D (500) و M (1000) - فقط C (100) ، قبل V (5) - أنا فقط (1) ؛ سيتم كتابة الرقم 444 في نظام الأرقام المدروس كـ CDXLIV = (D-C) + (L-X) + (V-I) = 400 + 40 + 4 = 444.
3. القيمة تساوي مجموع قيم المجموعات والأرقام التي لا تتناسب مع 1 و 2 نقطة.

بالإضافة إلى النظام الرقمي ، هناك أيضًا أنظمة أرقام أبجدية (أبجدية) ، وهنا بعض منها:
1) السلافية
2) اليونانية (الأيونية)

أنظمة الأرقام الموضعية

كما ذكر أعلاه ، نشأت المتطلبات الأساسية لظهور نظام تحديد المواقع في بابل القديمة. في الهند ، اتخذ النظام شكل الترقيم الموضعي العشري باستخدام الصفر ، ومن الهندوس استعار نظام الأرقام هذا من قبل العرب ، الذين تبناه الأوروبيون. لسبب ما ، في أوروبا ، تم تخصيص اسم "عربي" لهذا النظام.

نظام الأرقام العشري

هذا هو أحد أنظمة الأرقام الأكثر شيوعًا. هذا ما نستخدمه عندما نسمي سعر البضاعة وننطق رقم الحافلة. يمكن استخدام رقم واحد فقط من النطاق من 0 إلى 9 في كل رقم (موضع). قاعدة النظام هي الرقم 10.

على سبيل المثال ، لنأخذ الرقم 503. إذا كان هذا الرقم مكتوبًا في نظام غير موضعي ، فإن قيمته ستكون 5 + 0 + 3 = 8. لكن لدينا نظام موضعي ، مما يعني أن كل رقم من الرقم يجب أن مضروبة في قاعدة النظام ، في هذه الحالة الرقم "10" ، مرفوعًا للقوة التي تساوي رقم الرقم. اتضح أن القيمة هي 5 * 10 2 + 0 * 10 1 + 3 * 10 0 = 500 + 0 + 3 = 503. لتجنب الارتباك عند العمل مع عدة أنظمة رقمية في نفس الوقت ، يشار إلى القاعدة على أنها مخطوطة. إذن 503 = 503 10.

بالإضافة إلى النظام العشري ، تستحق الأنظمة 2 و 8 و 16 اهتمامًا خاصًا.

نظام الأرقام الثنائية

يستخدم هذا النظام بشكل رئيسي في الحوسبة. لماذا لم يبدأوا في استخدام العاشر الذي اعتدنا عليه؟ تم إنشاء أول جهاز كمبيوتر بواسطة Blaise Pascal ، والذي استخدم النظام العشري فيه ، والذي تبين أنه غير ملائم في الآلات الإلكترونية الحديثة ، حيث تطلب إنتاج أجهزة قادرة على العمل في 10 ولايات ، مما زاد من سعرها وحجمها النهائي. من الجهاز. هذه العيوب محرومة من العناصر العاملة في النظام الثاني. ومع ذلك ، تم إنشاء النظام المعني قبل فترة طويلة من الاختراع أجهزة الكمبيوترويذهب إلى "جذور" حضارة الإنكا ، حيث تم استخدام الكويبو - الضفائر المعقدة والحبال.

يتكون نظام رقم الموضع الثنائي من 2 ويستخدم حرفين (رقمين) لكتابة رقم: 0 و 1. يُسمح برقم واحد فقط في كل بت - إما 0 أو 1.

مثال على ذلك هو الرقم 101. وهو مشابه للرقم 5 في نظام الأرقام العشري. للتحويل من 2 إلى 10 ، من الضروري ضرب كل رقم من الرقم الثنائي في الأساس "2" ، مرفوعًا إلى أس يساوي الرقم. وبالتالي ، فإن الرقم 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10.

حسنًا ، بالنسبة للأجهزة ، يعد نظام الأرقام الثاني أكثر ملاءمة ، لكننا غالبًا ما نرى أننا نستخدم الأرقام في النظام العاشر على الكمبيوتر. كيف إذن تحدد الآلة الرقم الذي يدخله المستخدم؟ كيف يترجم رقمًا من نظام إلى آخر ، لأنه يحتوي على حرفين فقط تحت تصرفه - 0 و 1؟

لكي يعمل الكمبيوتر مع الأرقام الثنائية (الرموز) ، يجب تخزينها في مكان ما. لتخزين كل رقم فردي ، يتم استخدام مشغل ، وهو دائرة كهربائية. يمكن أن يكون في حالتين ، إحداهما تقابل الصفر والأخرى مع واحدة. لتخزين رقم واحد ، يتم استخدام سجل - مجموعة من المشغلات ، وعددها يتوافق مع عدد الأرقام في رقم ثنائي. ومجموع السجلات هو ذاكرة الوصول العشوائي. الرقم الموجود في السجل هو كلمة آلية. يتم تنفيذ العمليات الحسابية والمنطقية باستخدام الكلمات بواسطة وحدة المنطق الحسابي (ALU). لتبسيط الوصول إلى السجلات ، يتم ترقيمها. الرقم يسمى عنوان التسجيل. على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى إضافة رقمين ، فيكفي الإشارة إلى عدد الخلايا (السجلات) التي توجد بها ، وليس الأرقام نفسها. تتم كتابة العناوين في نظام من 8 وأنظمة سداسية عشرية (ستتم مناقشتها أدناه) ، نظرًا لأن الانتقال منها إلى النظام الثنائي والعكس صحيح أمر بسيط للغاية. للانتقال من الرقم الثاني إلى الرقم الثامن ، من الضروري تقسيمه إلى مجموعات مكونة من 3 أرقام من اليمين إلى اليسار ، والانتقال إلى الأرقام من 16 إلى 4 أرقام. إذا لم تكن هناك أرقام كافية في مجموعة الأرقام الموجودة في أقصى اليسار ، ثم يتم ملؤها من اليسار بالأصفار ، والتي تسمى بادئة. لنأخذ الرقم 101100 2 كمثال. في الرقم الثماني ، يكون 101100 = 54 8 وفي النظام الست عشري 0010 1100 = 2C 16. رائع ، لكن لماذا نرى أرقامًا وحروفًا عشرية على الشاشة؟ عندما تضغط على مفتاح ، يتم إرسال تسلسل معين إلى الكمبيوتر. النبضات الكهربائية، ولكل رمز تسلسله الخاص من النبضات الكهربائية (الأصفار والآحاد). يصل برنامج تشغيل لوحة المفاتيح والشاشة إلى جدول رموز الأحرف (على سبيل المثال ، Unicode ، الذي يسمح لك بترميز 65536 حرفًا) ، ويحدد الحرف الذي يتوافق معه الرمز المستلم ويعرضه على الشاشة. وبالتالي ، يتم تخزين النصوص والأرقام في ذاكرة الكمبيوتر في رمز ثنائي ، و برمجياتحويلها إلى صور على الشاشة.

نظام الرقم الثماني

غالبًا ما يستخدم نظام الأرقام الثامن ، مثل النظام الثنائي ، في التكنولوجيا الرقمية. له أساس 8 ويستخدم الأرقام من 0 إلى 7 لتمثيل الرقم.

مثال للرقم الثماني: 254. للتحويل إلى النظام العاشر ، يجب ضرب كل رقم من الرقم الأصلي في 8 n ، حيث n هو رقم الرقم. اتضح أن 254 8 = 2 * 8 2 + 5 * 8 1 + 4 * 8 0 = 128 + 40 + 4 = 172 10.

نظام رقم سداسي عشري

يستخدم النظام الست عشري على نطاق واسع في أجهزة الكمبيوتر الحديثة ، على سبيل المثال ، استخدامه للإشارة إلى اللون: #FFFFFF - لون أبيض. النظام قيد النظر له الأساس 16 ويستخدم لكتابة الرقم: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، A ، B. C ، D ، E ، F ، حيث تكون الأحرف 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 على التوالي.

لنأخذ الرقم 4F5 16 كمثال. للتحويل إلى النظام الثماني ، نقوم أولاً بتحويل الرقم السداسي العشري إلى رقم ثنائي ، ثم تقسيمه إلى مجموعات من 3 أرقام ، إلى رقم ثماني. لتحويل رقم إلى 2 ، يجب تمثيل كل رقم كرقم ثنائي مكون من 4 بتات. 4F5 16 = (100 1111101) 2. لكن في المجموعتين 1 و 3 ، لا يوجد عدد كافٍ من الأرقام ، لذلك دعونا نملأ كل منهما بالأصفار البادئة: 0100 1111 0101. الآن نحتاج إلى تقسيم الرقم الناتج إلى مجموعات من 3 أرقام من اليمين إلى اليسار: 0100 1111 0101 \ u003d 0101011110 101. دعونا نترجم كل مجموعة ثنائية إلى النظام الثماني ، ونضرب كل رقم في 2n ، حيث n هو رقم الرقم: (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = 2365 8.

بالإضافة إلى أنظمة الأرقام الموضعية المدروسة ، هناك أنظمة أخرى ، على سبيل المثال:
1) ثلاثي
2) الرباعية
3) العدد الاثنا عشري

تنقسم الأنظمة الموضعية إلى متجانسة ومختلطة.

أنظمة عدد المواقع المتجانسة

التعريف الوارد في بداية المقال يصف بشكل كامل أنظمة متجانسةلذا فإن التوضيح لا لزوم له.

أنظمة الأرقام المختلطة

إلى التعريف المعطى بالفعل ، يمكننا إضافة النظرية: "إذا كان P = Q n (P ، Q ، n هي أعداد صحيحة موجبة ، بينما P و Q أساسان) ، فإن تدوين أي رقم في المختلط (P-Q) يتطابق نظام الأرقام بشكل مماثل مع كتابة نفس الرقم في نظام الأرقام مع الأساس Q. "

استنادًا إلى النظرية ، يمكننا صياغة قواعد التحويل من Pth إلى نظام Qوالعكس صحيح:

1. للتحويل من Q-th إلى P-th ، ستحتاج إلى رقم في نظام Q-th، قسّمها إلى مجموعات من n من الأرقام ، بدءًا من الرقم الأيمن ، واستبدل كل مجموعة برقم واحد نظام P-th.
2. للتحويل من P-th إلى Q-th ، من الضروري ترجمة كل رقم من الرقم في نظام P-th إلى Q-th وملء الأرقام المفقودة بالأصفار البادئة ، باستثناء الرقم الأيسر ، بحيث يتكون كل رقم في نظام Q الأساسي من n من الأرقام.

وخير مثال على ذلك هو الترجمة من ثنائي إلى ثماني. لنأخذ رقمًا ثنائيًا 10011110 2 ، لتحويله إلى رقم ثماني ، سنقسمه من اليمين إلى اليسار إلى مجموعات من 3 أرقام: 010 011110 ، الآن نضرب كل رقم في 2 n ، حيث n هو رقم الرقم ، 010 011 110 \ u003d (0 * 2 2 +1 * 2 1 + 0 * 2 0) (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0) (1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 ) = 236 8. اتضح أن 10011110 2 = 236 8. من أجل تفرد صورة رقم ثنائي ثماني ، يتم تقسيمها إلى ثلاثة توائم: 236 8 \ u003d (101110) 2-8.

أنظمة الأرقام المختلطة هي أيضًا ، على سبيل المثال:
1) عاملي
2) فيبوناتشي

الترجمة من نظام رقمي إلى آخر

تحتاج أحيانًا إلى تحويل رقم من نظام رقمي إلى آخر ، لذلك دعونا نلقي نظرة على كيفية الترجمة بين الأنظمة المختلفة.

التحويل العشري

يوجد رقم أ 1 أ 2 أ 3 في نظام الأرقام ذو الأساس ب. للتحويل إلى النظام العاشر ، يجب ضرب كل رقم من الرقم في b n ، حيث n هو رقم الرقم. إذن (أ 1 أ 2 أ 3) ب = (أ 1 * ب 2 + أ 2 * ب 1 + أ 3 * ب 0) 10.

مثال: 101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5 10

التحويل من نظام الأعداد العشرية للآخرين

الجزء الكامل:

1. نقسم على التوالي الجزء الصحيح من الرقم العشري على أساس النظام الذي ننقل إليه ، حتى يصبح الرقم العشري صفرًا.
2. الباقي الذي تم الحصول عليه عن طريق القسمة هي أرقام الرقم المطلوب. رقم في نظام جديدتتم كتابتها بدءًا من الباقي الأخير.

جزء:

1. نضرب الجزء الكسري من الرقم العشري في قاعدة النظام الذي تريد الترجمة إليه. نحن نفصل الجزء كله. نستمر في ضرب الجزء الكسري في قاعدة النظام الجديد حتى يصبح 0.
2. الرقم في النظام الجديد هو الأجزاء الصحيحة لنتائج الضرب بالترتيب المقابل لاستلامها.

مثال: تحويل 15 10 إلى ثماني:
15 \ 8 = 1 ، الباقي 7
1 \ 8 = 0 ، الباقي 1

بعد كتابة جميع الباقي من الأسفل إلى الأعلى ، نحصل على الرقم النهائي 17. لذلك ، 15 10 \ u003d 17 8.

تحويل ثنائي إلى ثماني وتحويل سداسي عشري

للتحويل إلى رقم ثماني ، نقسم الرقم الثنائي إلى مجموعات مكونة من 3 أرقام من اليمين إلى اليسار ، ونملأ الأرقام القصوى المفقودة بالأصفار البادئة. بعد ذلك ، نقوم بتحويل كل مجموعة بضرب الأرقام على التوالي في 2 n ، حيث n هو عدد الخانات.

لنأخذ الرقم 1001 2 كمثال: 1001 2 = 001001 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) = ( 0+ 0 + 1) (0 + 0 + 1) = 11 8

للتحويل إلى رقم سداسي عشري - نقسم الرقم الثنائي إلى مجموعات مكونة من 4 أرقام من اليمين إلى اليسار ، ثم - بشكل مشابه للتحويل من 2 إلى 8.

التحويل من نظام ثماني وعشري إلى نظام ثنائي

التحويل من الرقم الثماني إلى الثنائي - نقوم بتحويل كل رقم من رقم ثماني إلى رقم ثنائي مكون من 3 أرقام عن طريق القسمة على 2 (لمزيد من المعلومات حول القسمة ، راجع الفقرة "التحويل من عشري إلى آخر" أعلاه) ، فإن الأرقام القصوى المفقودة سوف يتم ملؤها بالأصفار البادئة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الرقم 45 8:45 = (100) (101) = 100101 2

الترجمة من 16 إلى 2 - نقوم بتحويل كل رقم من الرقم السداسي العشري إلى رقم ثنائي مكون من 4 أرقام عن طريق القسمة على 2 ، وملء الأرقام القصوى المفقودة بالأصفار البادئة.

تحويل الجزء الكسري لأي نظام رقمي إلى نظام عشري

يتم إجراء التحويل بنفس الطريقة المتبعة في الأجزاء الصحيحة ، باستثناء أن أرقام الرقم يتم ضربها في القاعدة إلى القوة "-n" ، حيث يبدأ n من 1.

مثال: 101.011 2 = (1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) ، (0 * 2 -1 + 1 * 2 -2 + 1 * 2 -3) = (5) ، (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10

تحويل الجزء الكسري للنظام الثنائي إلى الثامن والسادس عشر

تتم ترجمة الجزء الكسري بنفس طريقة ترجمة الأجزاء الصحيحة من الرقم ، مع الاستثناء الوحيد المتمثل في أن التقسيم إلى مجموعات مكونة من 3 و 4 أرقام ينتقل إلى يمين الفاصلة العشرية ، وتكون الأرقام المفقودة مبطنة مع الأصفار على اليمين.

مثال: 1001.01 2 = 001001 ، 010 = (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) (0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0) ، (0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0) = (0 + 0 + 1) (0 + 0 + 1) ، (0 + 2 + 0) = 11.2 8

تحويل الجزء الكسري من النظام العشري إلى أي جزء آخر

لترجمة الجزء الكسري لرقم ما إلى أنظمة أرقام أخرى ، تحتاج إلى تحويل الجزء الصحيح إلى الصفر والبدء في ضرب الرقم الناتج في قاعدة النظام الذي تريد الترجمة إليه. إذا ظهرت أجزاء عدد صحيح مرة أخرى نتيجة الضرب ، فيجب أن تتحول إلى الصفر مرة أخرى ، بعد تذكر (تدوين) قيمة الجزء الصحيح الناتج. تنتهي العملية عندما يختفي الجزء الكسري تمامًا.

على سبيل المثال ، دعنا نترجم 10.625 10 إلى النظام الثنائي:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
بكتابة جميع الباقي من أعلى إلى أسفل ، نحصل على 10.625 10 = (1010) ، (101) = 1010.101 2

بمجرد أن بدأ الناس في العد ، احتاجوا إلى كتابة الأرقام. وجد علماء الآثار دليلاً في مواقع الأشخاص البدائيين على أن أي رقم تقريبًا تم تدوينه في البداية ببساطة من خلال عدد الأيقونات المتطابقة معه: العصي والنقاط والشرطات. يسمى هذا النظام بنظام واحد (أحادي). تتم كتابة أي رقم في هذا النظام بتكرار حرف واحد يرمز إلى الوحدة.

على الرغم من قدم هذا النظام ، إلا أنه يستخدم حتى يومنا هذا ، حيث يتم تعليم طلاب الصف الأول الاعتماد على العصي ، ولتحديد الدورة التي يدرس فيها طالب في مدرسة عسكرية حاليًا ، يجب على المرء أن يحسب عدد المشارب المخيط عليها كمه.

لا يعد النظام الأحادي الطريقة الأكثر ملاءمة لكتابة الأرقام ، حيث يشغل السجل مساحة كبيرة ويؤدي رتابة السجل إلى حدوث أخطاء ، لذلك بدأت أنظمة الأرقام الأكثر ملاءمة في الظهور بمرور الوقت.

نظام الأرقام المصرية القديمة العشرية

كان لدى قدماء المصريين نظام ترقيم مناسب للغاية ، وكان به علامات تشير إلى أرقام رئيسية: 1 ، 10 ، 100 ، إلخ. تمت كتابة باقي الأرقام باستخدام الجمع. يتم عرض تسميات بعض الأرقام في الشكل 1.

النظام ليس قيد الاستخدام حاليا.

نظام الأرقام الرومانية

ظل هذا النظام دون تغيير حتى يومنا هذا. ظهرت منذ أكثر من ألفي ونصف عام في روما القديمة. كان يعتمد على العلامات I (الإصبع) للرقم 1 ، V (خمسة) للرقم 5 ، X (يدان) للرقم 10. واستخدمت الأحرف الأولى للتعيين 100 و 500 و 1000 الأسماء اللاتينية(سنتوم - مائة ، ديميميل - نصف ألف ، ميل - ألف). من أجل تدوين الرقم ، لم يستخدم الرومان المبالغ فقط ، مثل المصريين ، ولكن استخدموا الفرق أيضًا. لهذا ، تم تطبيق قاعدة بسيطة: يتم إضافة كل علامة أصغر بعد العلامة الأكبر إلى قيمتها ، ويتم طرح العلامة قبل العلامة الأكبر من قيمتها. وهكذا فإن IX - تعني 9 و XI - 11.

يتم استخدام الأرقام الرومانية حتى يومنا هذا ، ويتم استخدامها لتسمية الأقسام والأقسام الفرعية من الكتب والقرون ، وغالبًا ما يتم كتابتها أيضًا على الساعات.

أنظمة الأرقام الأبجدية

وتشمل هذه الأنظمة: اليونانية ، والسلافية ، والفنلندية وغيرها. هنا تم الإشارة إلى الأرقام من 1 إلى 9 ، ومن 10 إلى 90 ومن 100 إلى 900 بأحرف الأبجدية. في اليونان القديمة ، تم الإشارة إلى الأرقام بالأحرف التسعة الأولى من الأبجدية اليونانية. الأعداد من 10 إلى 90 هي التسعة التالية. ومن 100 إلى 900 - آخر تسعة أحرف من الأبجدية الرومانية. من بين السلاف ، تتوافق القيم العددية مع الأحرف بالترتيب. في البداية ، تم استخدام الأبجدية Glagolitic لهذا الغرض ، ثم الأبجدية السيريلية. في روسيا ، تم الحفاظ على هذا الترقيم حتى نهاية القرن السابع عشر. ثم أحضر بطرس الأول الترقيم العربي من الخارج ، والذي نستخدمه حتى يومنا هذا.

في سياق علوم الكمبيوتر ، بغض النظر عن المدرسة أو الجامعة ، يتم إعطاء مكان خاص لمفهوم مثل أنظمة الأرقام. كقاعدة عامة ، يتم تخصيص العديد من الدروس أو التدريبات العملية لها. الهدف الرئيسي ليس فقط تعلم المفاهيم الأساسية للموضوع ، ودراسة أنواع أنظمة الأرقام ، ولكن أيضًا التعرف على الحساب الثنائي والثماني والسداسي العشري.

ماذا يعني ذلك؟

لنبدأ بتعريف المفهوم الرئيسي. كما يشير كتاب "علوم الكمبيوتر" ، فإن نظام الأرقام هو عبارة عن سجل للأرقام يستخدم أبجدية خاصة أو مجموعة محددة من الأرقام.

اعتمادًا على ما إذا كانت قيمة الرقم تتغير من موضعه في الرقم ، يتم تمييز رقمين: أنظمة الأرقام الموضعية وغير الموضعية.

في الأنظمة الموضعية ، تتغير قيمة الرقم مع موضعه في الرقم. لذا ، إذا أخذنا الرقم 234 ، فإن الرقم 4 فيه يعني الوحدات ، ولكن إذا أخذنا في الاعتبار الرقم 243 ، فإن هذا يعني بالفعل عشرات وليس وحدات.

في الأنظمة غير الموضعية ، تكون قيمة الرقم ثابتة ، بغض النظر عن موقعه في الرقم. معظم مثال رئيسي- نظام العصا ، حيث يشار إلى كل وحدة بشرطة. بغض النظر عن مكان تعيين العصا ، ستتغير قيمة الرقم بمقدار واحد فقط.

الأنظمة غير الموضعية

ل الأنظمة غير الموضعيةتشمل الحسابات:

1. نظام واحد يعتبر من أوائل الأنظمة. استخدمت العصي بدلاً من الأرقام. كلما زاد العدد ، زادت قيمة الرقم. يمكنك التعرف على مثال للأرقام المكتوبة بهذه الطريقة في الأفلام حيث نتحدث عن الأشخاص الذين فقدوا في البحر ، والسجناء الذين يميزون كل يوم بمساعدة الشقوق على الحجر أو الشجرة.
2. روماني ، حيث تم استخدام الأحرف اللاتينية بدلاً من الأرقام. باستخدامهم ، يمكنك كتابة أي رقم. في الوقت نفسه ، تم تحديد قيمته باستخدام مجموع وفرق الأرقام المكونة للرقم. إذا كان هناك رقم أصغر على يسار الرقم ، فسيتم طرح الرقم الأيسر من الرقم الأيمن ، وإذا كان الرقم الموجود على اليمين أقل من الرقم الموجود على اليسار أو مساويًا له ، فسيتم جمع قيمهما أعلى. على سبيل المثال ، تم كتابة الرقم 11 على أنه XI و 9 - IX.
3. الحروف ، حيث تم الإشارة إلى الأرقام باستخدام الأبجدية للغة معينة. واحد منهم يعتبر النظام السلافي، حيث لم يكن لعدد الحروف قيمة صوتية فحسب ، بل تحتوي أيضًا على قيمة عددية.
4. حيث تم استخدام تسميتين فقط للتسجيل - أسافين وسهام.
5. في مصر أيضًا ، تم استخدام رموز خاصة للدلالة على الأرقام. عند كتابة رقم ، لا يمكن استخدام كل حرف أكثر من تسع مرات.

أنظمة الموقف

يتم إيلاء الكثير من الاهتمام في علوم الكمبيوتر لأنظمة الأرقام الموضعية. وتشمل هذه ما يلي:

• الثنائية؛
• ثماني.
• عدد عشري؛
• السداسي عشري؛
• ستيني ، يستخدم عند عد الوقت (على سبيل المثال ، في الدقيقة - 60 ثانية ، في الساعة - 60 دقيقة).

كل واحد منهم لديه الأبجدية الخاصة به للكتابة وقواعد الترجمة والعمليات الحسابية.

النظام العشري

هذا النظام هو الأكثر دراية لنا. يستخدم الأرقام من 0 إلى 9 لكتابة الأرقام. يطلق عليهم أيضًا اسم اللغة العربية. اعتمادًا على موضع الرقم في الرقم ، يمكن أن يشير إلى أرقام مختلفة - وحدات أو عشرات أو مئات أو آلاف أو ملايين. نستخدمها في كل مكان ، ونعرف القواعد الأساسية التي يتم من خلالها إجراء العمليات الحسابية على الأرقام.

النظام الثنائي

يعد النظام الثنائي أحد أنظمة الأرقام الرئيسية في علوم الكمبيوتر. تسمح بساطته للكمبيوتر بإجراء حسابات مرهقة عدة مرات أسرع من النظام العشري.

لكتابة الأرقام ، يتم استخدام رقمين فقط - 0 و 1. في نفس الوقت ، اعتمادًا على موضع 0 أو 1 في الرقم ، ستتغير قيمته.

في البداية ، استقبلوا جميعًا بمساعدة أجهزة الكمبيوتر معلومات ضرورية. في نفس الوقت ، يعني المرء وجود إشارة تنتقل باستخدام الجهد ، والصفر يعني غيابها.

نظام أوكتال

نظام رقم كمبيوتر معروف آخر ، يستخدم الأرقام من 0 إلى 7. وقد تم استخدامه بشكل أساسي في مجالات المعرفة المرتبطة بالأجهزة الرقمية. ولكن في مؤخرايتم استخدامه بشكل أقل تكرارًا ، حيث تم استبداله بنظام الأرقام السداسي العشري.

ثنائي عشري

يمثل تمثيل الأعداد الكبيرة في النظام الثنائي للشخص عملية معقدة نوعًا ما. لتبسيطها ، تم تطويرها ، وعادة ما تستخدم في الساعات الإلكترونية والآلات الحاسبة. في هذا النظام ، لا يتم تحويل الرقم بالكامل من النظام العشري إلى النظام الثنائي ، ولكن يتم ترجمة كل رقم إلى المجموعة المقابلة من الأصفار والآحاد في النظام الثنائي. الشيء نفسه ينطبق على التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري. يتم ترجمة كل رقم ، يمثل مجموعة مكونة من أربعة أرقام من الأصفار والآحاد ، إلى رقم في نظام الأرقام العشري. من حيث المبدأ ، لا يوجد شيء معقد.

للعمل مع الأرقام ، في هذه الحالة ، يكون جدول أنظمة الأرقام مفيدًا ، والذي سيشير إلى المراسلات بين الأرقام ورمزها الثنائي.

نظام سداسي عشري

في الآونة الأخيرة ، أصبح نظام الأرقام السداسي العشري شائعًا بشكل متزايد في البرمجة وعلوم الكمبيوتر. لا يستخدم فقط الأرقام من 0 إلى 9 ، بل يستخدم أيضًا سلسلة حروف لاتينية- أ ، ب ، ج ، د ، ه ، ف.

في الوقت نفسه ، لكل حرف معنى خاص به ، لذا أ = 10 ، ب = 11 ، ج = 12 وهكذا. يتم تمثيل كل رقم كمجموعة من أربعة أحرف: 001F.

تحويل الأرقام: من عشري إلى ثنائي

تحدث الترجمة في أنظمة الأرقام وفقًا لقواعد معينة. التحويل الأكثر شيوعًا هو من النظام الثنائي إلى النظام العشري والعكس صحيح.

لتحويل رقم من رقم عشري إلى ثنائي ، من الضروري تقسيمه باستمرار على أساس نظام الأرقام ، أي الرقم الثاني. في هذه الحالة ، يجب إصلاح ما تبقى من كل قسم. سيستمر هذا حتى يصبح باقي القسمة أقل من أو يساوي واحدًا. من الأفضل إجراء العمليات الحسابية في عمود. ثم تتم كتابة باقي القسمة الناتجة على السلسلة بترتيب عكسي.

على سبيل المثال ، دعنا نحول الرقم 9 إلى ثنائي:

نقسم 9 ، لأن الرقم غير قابل للقسمة بالتساوي ، ثم نأخذ الرقم 8 ، والباقي سيكون 9-1 = 1.

بعد قسمة 8 على 2 ، نحصل على 4. نقسمها مرة أخرى ، لأن الرقم مقسوم على اثنين - نحصل على 4 - 4 = 0 في الباقي.

نقوم بتنفيذ نفس العملية مع 2. والباقي هو 0.

نتيجة القسمة ، نحصل على 1.

بغض النظر عن نظام الأرقام النهائية ، فسيتم نقل الأرقام من نظام عشري إلى أي رقم آخر وفقًا لمبدأ قسمة الرقم على أساس النظام الموضعي.

تحويل الأرقام: من ثنائي إلى عشري

من السهل جدًا تحويل الأرقام إلى رقم عشري من ثنائي. للقيام بذلك ، يكفي معرفة قواعد رفع الأعداد إلى قوة. في هذه الحالة ، أس اثنين.

خوارزمية الترجمة هي كما يلي: يجب ضرب كل رقم من رمز الرقم الثنائي في اثنين ، وسيكون الأولان في قوة m-1 ، والثاني - m-2 ، وهكذا ، حيث m هو الرقم من الأرقام في الكود. ثم اجمع نتائج الجمع لتحصل على عدد صحيح.

بالنسبة لأطفال المدارس ، يمكن شرح هذه الخوارزمية بشكل أكثر بساطة:

في البداية ، نأخذ كل رقم مضروبًا في اثنين ونكتبه ، ثم نضع القوة العددية اثنين من النهاية ، بدءًا من الصفر. ثم اجمع الرقم الناتج.

على سبيل المثال ، دعنا نحلل معك الرقم 1001 الذي تم الحصول عليه سابقًا ، ونحوله إلى النظام العشري ، وفي نفس الوقت نتحقق من صحة حساباتنا.

سيبدو مثل هذا:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

عند دراسة هذا الموضوع ، من الملائم استخدام جدول بقوى اثنين. سيؤدي هذا إلى تقليل مقدار الوقت المطلوب بشكل كبير لإجراء العمليات الحسابية.

خيارات الترجمة الأخرى

في بعض الحالات ، يمكن إجراء الترجمة بين ثنائي وثماني وثنائي وسداسي عشري. في هذه الحالة ، يمكنك استخدام جداول خاصة أو تشغيل تطبيق الآلة الحاسبة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك عن طريق تحديد خيار "مبرمج" في علامة تبويب العرض.

عمليات حسابية

بغض النظر عن الشكل الذي يمثل به الرقم ، من الممكن إجراء حسابات مألوفة لنا. يمكن أن يكون هذا قسمة وضربًا وطرحًا وجمعًا في نظام الأرقام الذي اخترته. بالطبع ، لكل منهم قواعده الخاصة.

لذلك بالنسبة للنظام الثنائي ، طور الجداول الخاصة به لكل عملية من العمليات. يتم استخدام نفس الجداول في أنظمة تحديد المواقع الأخرى.

ليس من الضروري حفظها - فقط اطبعها وفي متناول اليد. يمكنك أيضًا استخدام الآلة الحاسبة على جهاز الكمبيوتر الخاص بك.

واحد من الموضوعات الرئيسيةفي علوم الكمبيوتر - نظام الأرقام. معرفة هذا الموضوع ، وفهم خوارزميات ترجمة الأرقام من نظام إلى آخر هو ضمان أنك ستتمكن من فهم المزيد مواضيع صعبة، مثل الخوارزمية والبرمجة ، وستتمكن من كتابة برنامجك الأول بنفسك.