حد الرقم يساوي. حساب حد الوظيفة عبر الإنترنت

وظيفةص = و (خ)يُطلق على القانون (القاعدة) ، وفقًا لذلك ، يرتبط كل عنصر x من المجموعة X بعنصر واحد فقط y من المجموعة Y.

العنصر x ∈ Xمُسَمًّى حجة الوظيفةأو متغير مستقل.
عنصر y ∈ صمُسَمًّى قيمة الوظيفةأو المتغير التابع.

المجموعة X تسمى نطاق الوظيفة.
مجموعة من العناصر ذ ∈ ص، التي تحتوي على صور أولية في المجموعة X ، تسمى منطقة أو مجموعة قيم دالة.

الوظيفة الفعلية تسمى محدود من أعلى (من الأسفل)، إذا كان هناك رقم M تحمله المتباينة التالية للجميع:
.
يتم استدعاء وظيفة الرقم محدود، إذا كان هناك رقم M بحيث يكون للجميع:
.

الوجه العلويأو دقيق الحد الاعلى تسمى الوظيفة الحقيقية الأصغر من الأرقام التي تحدد نطاق قيمها من الأعلى. أي ، هذا رقم s يوجد له ، للجميع وللأي شخص ، مثل هذه الوسيطة ، التي تتجاوز قيمة الوظيفة الخاصة بها s ′:.
يمكن الإشارة إلى الحد الأعلى للدالة على النحو التالي:
.

على التوالى الوجه السفليأو الحد الأدنى الدقيقتسمى الوظيفة الحقيقية الأكبر من الأرقام التي تحدد نطاق قيمها من الأسفل. وهذا يعني أن هذا هو الرقم i الذي يوجد بالنسبة للجميع وللأي شخص مثل هذه الوسيطة ، حيث تكون قيمة الوظيفة أقل من i ′:.
يمكن الإشارة إلى الحد الأدنى للدالة على النحو التالي:
.

تحديد نهاية دالة

تعريف حد كوشي للدالة

حدود الوظيفة المحددة عند نقاط النهاية

دع الوظيفة يتم تحديدها في بعض المناطق المجاورة لنقطة النهاية ، باستثناء ، ربما ، للنقطة نفسها. عند هذه النقطة ، إذا وجدت أيًا منها ، اعتمادًا على ذلك بالنسبة لجميع x ، والتي من أجلها ، المتباينة
.
يُشار إلى حد الوظيفة على النحو التالي:
.
او عند .

باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية ، يمكن كتابة تعريف حد الوظيفة على النحو التالي:
.

حدود أحادية الجانب.
الحد الأيسر عند النقطة (حد الجانب الأيسر):
.
الحد الأيمن عند نقطة (حد اليد اليمنى):
.
غالبًا ما يتم الإشارة إلى الحدود على اليمين واليسار على النحو التالي:
; .

حدود دالة منتهية عند نقاط في اللانهاية

يتم تعريف الحدود في النقاط اللانهائية البعيدة بطريقة مماثلة.
.
.
.
غالبًا ما يشار إليها باسم:
; ; .

استخدام مفهوم الجوار للنقطة

إذا قدمنا ​​مفهوم الجوار المثقوب لنقطة ما ، فيمكننا أن نقدم تعريفًا موحدًا للحد المنتهي للدالة عند النقاط المحدودة وفي النقاط اللانهائية:
.
هنا لنقاط النهاية
; ;
.
يتم ثقب أي أحياء من النقاط في اللانهاية:
; ; .

حدود الوظيفة اللانهائية

تعريف
دع الوظيفة تحدد في بعض الجوار المثقوب من نقطة (محدودة أو في اللانهاية). حد الوظيفة و (خ)مثل x → x 0 يساوي اللانهاية، إن وجد ، بشكل تعسفي عدد كبيرم > 0 ، يوجد رقم δ م > 0 ، اعتمادًا على M ، هذا بالنسبة لكل x المنتمي إلى M - جوار النقطة المثقوب: ، فإن المتباينة التالية تحمل:
.
يتم تعريف الحد اللانهائي على النحو التالي:
.
او عند .

باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية ، يمكن كتابة تعريف الحد اللانهائي لوظيفة ما على النحو التالي:
.

من الممكن أيضًا تقديم تعريفات للحدود اللانهائية لعلامات معينة تساوي و:
.
.

التعريف الشامل لحد الوظيفة

باستخدام فكرة الجوار من نقطة ، يمكن للمرء أن يعطي تعريف عالميحد محدود وغير محدود للوظيفة ، ينطبق على كل من المنتهية (ثنائية الجانب وأحادية الجانب) والنقاط البعيدة بشكل لا نهائي:
.

تعريف حد الوظيفة حسب هاينه

دع الوظيفة يتم تحديدها في مجموعة X:.
الرقم أ يسمى حد الوظيفةعند نقطة :
,
إذا كان لأي تسلسل يتقارب إلى x 0 :
,
التي تنتمي عناصرها إلى المجموعة X:،
.

نكتب هذا التعريف باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية:
.

إذا أخذنا كمجموعة X ، فإن الحي الأيسر للنقطة x 0 ، ثم نحصل على تعريف الحد الأيسر. إذا كانت اليد اليمنى ، فإننا نحصل على تعريف الحد الصحيح. إذا أخذنا المنطقة المجاورة لنقطة في اللانهاية على أنها المجموعة X ، فإننا نحصل على تعريف نهاية الدالة عند اللانهاية.

نظرية
إن تعريفات كوشي وهاين لحد الوظيفة متكافئة.
دليل

خصائص ونظريات نهاية الدالة

علاوة على ذلك ، نفترض أن الوظائف قيد الدراسة محددة في الجوار المقابل للنقطة ، وهو رقم محدد أو أحد الرموز:. يمكن أن تكون أيضًا نقطة حد من جانب واحد ، أي لها شكل أو. الحي ذو جانبين لحد من جانبين وحي جانب واحد لجهة واحدة.

الخصائص الأساسية

إذا كانت قيم الدالة f (خ)تغيير (أو جعل غير محدد) عند عدد محدود من النقاط x 1 ، × 2 ، × 3 ، ... × ن، فلن يؤثر هذا التغيير على وجود وقيمة حد الوظيفة عند نقطة عشوائية x 0 .

إذا كان هناك حد محدود ، فهناك مثل هذا الجوار المثقوب للنقطة x 0 ، حيث تعمل الدالة f (خ)محدود:
.

دع الدالة عند النقطة x 0 حد النهاية بخلاف الصفر:
.
بعد ذلك ، بالنسبة لأي رقم c من الفترة الزمنية ، يوجد مثل هذا الجوار المثقوب للنقطة x 0 لأي غرض،
، لو ؛
، لو .

إذا كان ، في بعض الجوار المثقوب من النقطة ، ثابتًا ، إذن.

إذا كانت هناك حدود محدودة وعلى بعض الجوار المثقوب للنقطة س 0
,
الذي - التي .

إذا ، وعلى بعض الحي من النقطة
,
الذي - التي .
على وجه الخصوص ، إذا كان في حي نقطة ما
,
ثم إذا ، ثم و ؛
إذا ، ثم و.

إذا كان على بعض الجوار مثقوب من النقطة س 0 :
,
وهناك حدود متساوية (أو لانهائية لعلامة معينة):
، الذي - التي
.

يتم تقديم أدلة على الخصائص الرئيسية في الصفحة
"الخصائص الأساسية لحدود الوظيفة".

الخصائص الحسابية لنهاية الدالة

دع الوظائف ويتم تحديدها في بعض الجوار المثقوب للنقطة. وليكن هناك حدود محدودة:
و .
ولنفترض أن C ثابتًا ، أي عددًا معينًا. ثم
;
;
;
، لو .

اذا ثم .

يتم تقديم أدلة على الخصائص الحسابية في الصفحة
"الخصائص الحسابية لحدود الدالة".

معيار كوشي لوجود حد للدالة

نظرية
من أجل وظيفة محددة في بعض الجوار المثقوب من المنتهية أو عند نقطة اللانهاية س 0 ، كان له حد محدود في هذه المرحلة ، فمن الضروري والكافي لأي ε > 0 كان هناك حي مثقوب من النقطة س 0 ، أنه بالنسبة لأي نقطة ومن هذا الحي ، فإن التفاوت التالي ينطبق:
.

حد الوظيفة المعقدة

نظرية الحد من الوظيفة المعقدة
دع الوظيفة لها حدود وقم بتعيين المنطقة المثقوبة للنقطة على المنطقة المجاورة للنقطة المثقوبة. دع الوظيفة يتم تحديدها في هذا الحي ولها حد لها.
هنا - النقاط النهائية أو البعيدة بلا حدود:. يمكن أن تكون الأحياء وحدودها المقابلة إما ثنائية الجانب أو أحادية الجانب.
ثم هناك حد للدالة المعقدة وهو يساوي:
.

يتم تطبيق نظرية حد الوظيفة المعقدة عندما لا يتم تعريف الوظيفة في نقطة أو لها قيمة أخرى غير القيمة المحددة. لتطبيق هذه النظرية ، يجب أن يكون هناك جوار مثقوب للنقطة التي لا تحتوي فيها مجموعة قيم الوظيفة على النقطة:
.

إذا كانت الوظيفة متصلة عند النقطة ، فيمكن عندئذٍ تطبيق علامة النهاية على الوسيطة وظيفة مستمرة:
.
ما يلي هو نظرية المقابلة لهذه الحالة.

نظرية في نهاية دالة متصلة للدالة
يجب أن يكون هناك حد للدالة g (ر)مثل t → t 0 ، وهي تساوي x 0 :
.
هنا أشر تي 0 يمكن أن تكون محدودة أو إلى ما لا نهاية:.
ودع الدالة f (خ)مستمر في x 0 .
ثم هناك حد للدالة المركبة f (ز (ر))، وهي تساوي f (x0):
.

يتم تقديم براهين النظريات على الصفحة
"حد واستمرارية وظيفة معقدة".

وظائف متناهية الصغر وكبيرة بشكل لا نهائي

وظائف صغيرة بلا حدود

تعريف
تسمى الوظيفة متناهية الصغر إذا
.

المجموع والفرق والمنتجمن عدد محدود من الوظائف الصغيرة بشكل لا نهائي من أجل وظيفة متناهية الصغر لـ.

حاصل ضرب دالة محدودةفي بعض الجوار المثقوب من النقطة ، إلى متناهية الصغر لأن دالة لامتناهية في الصغر لـ.

لكي يكون للوظيفة حد محدود ، من الضروري والكافي
,
أين هو لانهائي وظيفة صغيرةفي .

"خصائص الوظائف متناهية الصغر".

وظائف كبيرة بلا حدود

تعريف
تسمى الوظيفة كبيرة بشكل لا نهائي لـ if
.

مجموع أو اختلاف دالة محددة ، في بعض الجوار المثقوب للنقطة ، ودالة كبيرة بشكل لا نهائي عند اللانهائية ميزة رائعةفي .

إذا كانت الوظيفة كبيرة بشكل غير محدود ، وكانت الوظيفة محدودة ، في بعض المناطق المجاورة للنقطة المثقوبة ، إذن
.

إذا كانت الوظيفة ، في بعض الجوار المثقوب للنقطة ، تفي بعدم المساواة:
,
والوظيفة صغيرة جدًا من أجل:
، و (في بعض الجوار المثقوب من النقطة) ، إذن
.

يتم توضيح إثباتات الخصائص في القسم
"خصائص الوظائف الكبيرة بلا حدود".

العلاقة بين الدوال الكبيرة بلا حدود والوظائف اللانهائية الصغيرة

العلاقة بين الوظائف الكبيرة بلا حدود والوظائف الصغيرة بشكل لا نهائي يتبع الخاصيتين السابقتين.

إذا كانت الوظيفة كبيرة بشكل لا نهائي ، فإن الوظيفة تكون صغيرة بشكل لا نهائي عند.

إذا كانت الوظيفة صغيرة بشكل لا نهائي لـ ، ثم الوظيفة كبيرة بشكل لا نهائي لـ.

يمكن التعبير عن العلاقة بين دالة لامتناهية في الصغر ودالة كبيرة بشكل لا نهائي بشكل رمزي:
, .

إذا كانت الدالة اللامتناهية في الصغر لها علامة محددة في ، أي أنها موجبة (أو سلبية) في بعض المناطق المجاورة للنقطة ، فيمكن التعبير عن هذه الحقيقة على النحو التالي:
.
وبالمثل ، إذا كانت دالة كبيرة بلا حدود لها علامة معينة عند ، فإنهم يكتبون:
.

ثم يمكن استكمال العلاقة الرمزية بين الوظائف الصغيرة بلا حدود والوظائف الكبيرة بلا حدود بالعلاقات التالية:
, ,
, .

يمكن العثور على الصيغ الإضافية المتعلقة برموز اللانهاية على الصفحة
"النقاط في اللانهاية وخصائصها".

حدود الوظائف الرتيبة

تعريف
وظيفة محددة في بعض المجموعات أرقام حقيقيةيسمى X زيادة صارمة، إذا كانت المتباينة التالية صحيحة لجميع هذه:
.
وفقا لذلك ، ل تناقص صارمدالة ، فإن المتباينة التالية تحمل:
.
ل غير متناقص:
.
ل غير متزايد:
.

هذا يعني أن الوظيفة المتزايدة بشكل صارم لا تتناقص أيضًا. إن الوظيفة المتناقصة بشكل صارم هي أيضًا غير قابلة للتزايد.

الوظيفة تسمى رتيبإذا كان غير متناقص أو غير متزايد.

نظرية
دع الوظيفة لا تنقص في الفاصل الزمني ، حيث.
إذا كان محددًا من أعلى بالرقم M: فهناك حد محدود. إذا لم يكن محددًا أعلاه ، إذن.
إذا كان محددًا من الأسفل بالرقم م: فهناك حد منتهي. إذا لم يكن مقيدًا أدناه ، إذن.

إذا كانت النقطتان أ و ب على ما لا نهاية ، فإن علامات النهاية في التعبيرات تعني ذلك.
يمكن صياغة هذه النظرية بشكل أكثر إحكاما.

دع الوظيفة لا تنقص في الفاصل الزمني ، حيث. ثم هناك حدود من جانب واحد عند النقطتين (أ) و (ب):
;
.

نظرية مماثلة لدالة غير متزايدة.

دع الوظيفة لا تزيد في الفاصل الزمني ، حيث. ثم هناك حدود من جانب واحد:
;
.

تم ذكر إثبات النظرية على الصفحة
"حدود الوظائف الرتيبة".

مراجع:
L.D. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 2003.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 1983.

حد الوظيفة عند اللانهاية:
| و (س) - أ |< ε при |x| >ن

تعريف حد كوشي
دع الوظيفة f (خ)يتم تعريفه في بعض المناطق المجاورة لنقطة عند اللانهاية ، من أجل | x | > الرقم أ يسمى حد الوظيفة F (خ)لأن x يميل إلى اللانهاية () ، إذا كان لأي عدد موجب صغير بشكل تعسفي ε > 0 ، يوجد رقم N ε > ك، اعتمادًا على ε ، مثل كل x ، | x | > N ε ، تنتمي قيم الوظيفة إلى المجاورة للنقطة a:
| و (x) - أ |< ε .
يُشار إلى حد الدالة عند اللانهاية على النحو التالي:
.
او عند .

غالبًا ما يتم استخدام الترميز التالي:
.

نكتب هذا التعريف باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية:
.
من المفترض هنا أن القيم تنتمي إلى نطاق الوظيفة.

حدود من جانب واحد

الحد الأيسر للدالة عند اللانهاية:
| و (س) - أ |< ε при x < -N

غالبًا ما تكون هناك حالات يتم فيها تحديد وظيفة فقط للإيجابية أو القيم السالبةمتغير x (بتعبير أدق ، بالقرب من النقطة أو). أيضًا ، يمكن أن يكون للحدود اللانهائية للقيم الموجبة والسالبة لـ x قيم مختلفة. ثم يتم استخدام الحدود من جانب واحد.

الحد الأيسر عند اللانهايةأو الحد عندما يميل x إلى سالب ما لا نهاية () يتم تعريفه على النحو التالي:
.
الحد الأيمن عند اللانهايةأو الحد كما يميل x إلى زائد ما لا نهاية ():
.
غالبًا ما تتم كتابة الحدود أحادية الجانب عند اللانهاية على النحو التالي:
; .

حد وظيفة لانهائية عند اللانهاية

حد الوظيفة اللانهائية عند اللانهاية:
| و (س) | > M لـ | x | > ن

تعريف النهاية اللانهائية حسب كوشي
دع الوظيفة f (خ)يتم تعريفه في بعض المناطق المجاورة لنقطة عند اللانهاية ، من أجل | x | > K ، حيث K رقم موجب. حد الوظيفة و (خ)عندما يميل x إلى اللانهاية () ، يساوي اللانهاية، إذا كان لأي عدد كبير بشكل تعسفي M > 0 ، يوجد رقم N M > ك، اعتمادًا على M ، مثل كل x ، | x | > N M ، تنتمي قيم الوظيفة إلى جوار النقطة عند اللانهاية:
| و (خ) | > م.
يُشار إلى الحد اللانهائي عندما يميل x إلى اللانهاية على النحو التالي:
.
او عند .

باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية ، يمكن كتابة تعريف الحد اللانهائي لوظيفة ما على النحو التالي:
.

تعاريف الحدود اللانهائية لعلامات معينة تساوي ويتم تقديمها بالمثل:
.
.

تعاريف الحدود من جانب واحد في اللانهاية.
حدود اليسار.
.
.
.
حدود الحق.
.
.
.

تعريف حد الوظيفة حسب هاينه

دع الوظيفة f (خ)يتم تعريفه في بعض المناطق المجاورة للنقطة عند اللانهاية س 0 ، أين أو أو.
الرقم أ (محدود أو ما لا نهاية) يسمى نهاية الدالة f (خ)عند النقطة س 0 :
,
إذا كان لأي تسلسل (x ن)، تقارب x 0 : ,
التي تنتمي عناصرها إلى الحي ، التسلسل (F شن))يتقارب إلى:
.

إذا أخذنا الحي المجاور لنقطة غير موقعة عند اللانهاية كجوار: فسنحصل على تعريف نهاية الدالة عندما يميل x إلى اللانهاية. إذا أخذنا الحي الأيسر أو الأيمن للنقطة عند ما لا نهاية x 0 : أو ، ثم نحصل على تعريف النهاية لأن x يميل إلى سالب ما لا نهاية و زائد ما لا نهاية ، على التوالي.

تعاريف هاين وكوشي للحد متكافئة.

أمثلة

مثال 1

باستخدام تعريف كوشي ، أظهر ذلك
.

دعونا نقدم التدوين:
.
أوجد مجال الوظيفة. نظرًا لأن بسط الكسر ومقامه عبارة عن كثيرات حدود ، يتم تحديد الوظيفة لجميع x باستثناء النقاط التي يختفي فيها المقام. لنجد هذه النقاط. نحل معادلة تربيعية. ؛
.
جذور المعادلة:
; .
منذ ذلك الحين و.
لذلك ، يتم تعريف الوظيفة لـ. هذا سوف نستخدمه في المستقبل.

نكتب تعريف الحد المنتهي للدالة عند اللانهاية وفقًا لـ Cauchy:
.
دعنا نحول الفرق:
.
اقسم البسط والمقام على واضرب في -1 :
.

يترك .
ثم
;
;
;
.

لذلك ، وجدنا أنه في
.
.
ومن ثم يتبع ذلك
في و و.

نظرًا لأنه من الممكن دائمًا الزيادة ، فإننا نأخذ. ثم لأي
في .
هذا يعني انه .

مثال 2

يترك .
باستخدام تعريف حد كوشي ، أظهر ما يلي:
1) ;
2) .

1) حل لـ x تميل إلى سالب ما لا نهاية

منذ ذلك الحين ، تم تحديد الوظيفة لجميع x.
دعونا نكتب تعريف نهاية الدالة عند سالب اللانهاية:
.

يترك . ثم
;
.

لذلك ، وجدنا أنه في
.
نقوم بإدخال أرقام موجبة و:
.
ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لأي رقم موجب M ، يوجد رقم ، لذلك ،
.

هذا يعني انه .

2) حل x تميل إلى زائد اللانهاية

دعنا نحول الوظيفة الأصلية. اضرب بسط ومقام الكسر وطبق صيغة فرق المربعات:
.
لدينا:

.
دعونا نكتب تعريف الحد الصحيح للدالة من أجل:
.

دعنا نقدم الترميز:.
دعنا نحول الفرق:
.
اضرب البسط والمقام في:
.

يترك
.
ثم
;
.

لذلك ، وجدنا أنه في
.
نقوم بإدخال أرقام موجبة و:
.
ومن ثم يتبع ذلك
في و.

بما أن هذا ينطبق على أي رقم موجب ، إذن
.

مراجع:
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد 1. موسكو ، 1983.

مفاهيم حدود المتتاليات والوظائف. عندما يكون مطلوبًا للعثور على حد التسلسل ، يتم كتابته على النحو التالي: lim xn = a. في مثل هذا التسلسل ، يميل xn إلى a ، و n يميل إلى اللانهاية. عادة ما يتم تمثيل التسلسل كسلسلة ، على سبيل المثال:
x1، x2، x3 ...، xm، ...، xn ....
التسلسلات مقسمة إلى تصاعدي وتنازلي. على سبيل المثال:
xn = n ^ 2 - زيادة التسلسل
yn = 1 / n - تسلسل
لذلك ، على سبيل المثال ، حد التسلسل xn = 1 / n ^:
lim1 / n ^ 2 = 0

س → ∞
هذا الحد هو صفر لأن n → ∞ والتسلسل 1 / n ^ 2 يميل إلى الصفر.

عادة المتغير x يميل إلى الحد النهائيعلاوة على ذلك ، تقترب x باستمرار من a ، وقيمة a ثابتة. تتم كتابة هذا على النحو التالي: limx = a ، بينما يمكن أن تميل n أيضًا إلى كل من الصفر واللانهاية. هناك وظائف لا حصر لها ، ويميل الحد بالنسبة لهم إلى ما لا نهاية. في حالات أخرى ، عندما ، على سبيل المثال ، وظيفة إبطاء القطار ، من الممكن أن يميل الحد إلى الصفر.
الحدود لها عدد من الخصائص. كقاعدة عامة ، أي دالة لها حد واحد فقط. هذه هي الخاصية الرئيسية للحد. البعض الآخر مدرج أدناه:
* حد المجموع يساوي مجموع الحدود:
lim (x + y) = limx + limy
* حد المنتج يساوي حاصل ضرب الحدود:
lim (xy) = limx * limy
* حد حاصل القسمة يساوي حاصل قسمة الحدود:
ليم (س / ص) = ليم س / ليم ص
* يتم إخراج العامل الثابت من علامة الحد:
lim (Cx) = C lim x
بالنظر إلى الدالة 1 / x حيث x → ، فإن نهايتها تساوي صفرًا. إذا كانت x → 0 ، فإن حد هذه الوظيفة يساوي ∞.
للدوال المثلثية هناك من هذه القواعد. نظرًا لأن دالة sin x تميل دائمًا إلى واحد عند اقترابها من الصفر ، فإن المتطابقة تحملها:
Lim sin x / x = 1

في عدد من الوظائف ، عند حساب الحدود التي ينشأ عنها عدم اليقين - حالة لا يمكن فيها حساب الحد. السبيل الوحيد للخروج من هذا الموقف هو L'Hopital. هناك نوعان من عدم اليقين:
* شك من شكل 0/0
* عدم اليقين من الشكل ∞ / ∞
على سبيل المثال ، بالنظر إلى حد من الشكل التالي: lim f (x) / l (x) ، علاوة على ذلك ، f (x0) = l (x0) = 0. في هذه الحالة ، يوجد شك في الشكل 0/0. لحل مثل هذه المشكلة ، يتم تمييز كلتا الوظيفتين ، وبعد ذلك يتم العثور على حد النتيجة. بالنسبة لأوجه عدم التيقن من النموذج 0/0 ، يكون الحد هو:
lim f (x) / l (x) = lim f "(x) / l" (x) (مثل x → 0)
نفس القاعدة تنطبق على حالات عدم اليقين من النوع ∞ / ∞. لكن في هذه الحالة ، تكون المساواة التالية صحيحة: f (x) = l (x) =
بمساعدة قاعدة L'Hopital ، يمكن للمرء أن يجد قيم أي حدود تظهر فيها عدم اليقين. شرط إلزامي لـ

الحجم - عدم وجود أخطاء في إيجاد المشتقات. لذلك ، على سبيل المثال ، مشتق الدالة (x ^ 2) "يساوي 2x. ومن هذا يمكننا أن نستنتج أن:
f "(x) = nx ^ (n-1)

لطالما كان شبح "ناقص اللانهاية" يحوم في هذه المقالة. ضع في اعتبارك الحدود مع كثيرات الحدود التي فيها. ستكون مبادئ وطرق الحل هي نفسها تمامًا كما في الجزء الأول من الدرس ، باستثناء عدد من الفروق الدقيقة.

ضع في اعتبارك 4 رقائق ستكون مطلوبة لحلها مهام عملية:

1) احسب الحد

تعتمد قيمة الحد فقط على المصطلح لأنه يحتوي على أعلى ترتيب للنمو. اذا ثم modulo كبيرة بشكل لا نهائيرقم سالب لقوة EVEN، في هذه الحالة - في الحالة الرابعة ، تساوي "زائد اللانهاية":. ثابت ("اثنان") إيجابي، لهذا السبب:

2) احسب الحد

ها هي الدرجة العليا مرة أخرى حتى، لهذا السبب: . ولكن هناك "ناقص" في المقدمة ( سلبيثابت –1) ، لذلك:

3) احسب الحد

تعتمد قيمة الحد فقط على. كما تتذكر من المدرسة ، "ينبثق" "ناقص" من تحت الدرجة الفردية ، لذلك modulo كبيرة بشكل لا نهائيرقم سالب لقوة ODDيساوي "ناقص ما لا نهاية" ، في هذه الحالة:.
ثابت ("أربعة") إيجابي، وسائل:

4) احسب الحد

الرجل الأول في القرية عاد مرة أخرى غريبعلاوة على ذلك ، في الحضن سلبيثابت ويعني: هكذا:
.

مثال 5

أوجد الحد

باستخدام النقاط المذكورة أعلاه ، نستنتج أن هناك عدم يقين هنا. البسط والمقام من نفس ترتيب النمو ، مما يعني أنه في النهاية سيتم الحصول على عدد محدد. نتعلم الإجابة عن طريق التخلص من كل يرقات:

الحل تافه:

مثال 6

أوجد الحد

هذا مثال على قرار مستقل. الحل الكاملوالجواب في نهاية الدرس.

والآن ، ربما تكون أكثر الحالات دقة:

مثال 7

أوجد الحد

بالنظر إلى الشروط العليا ، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن هناك عدم يقين هنا. البسط ذو ترتيب نمو أعلى من المقام ، لذا يمكننا أن نقول على الفور أن النهاية هي ما لا نهاية. ولكن أي نوع من اللانهاية ، "زائد" أو "ناقص"؟ الاستقبال هو نفسه - في البسط والمقام سنتخلص من الأشياء الصغيرة:

نحن نقرر:

اقسم البسط والمقام على

دعنا نحلل متناهي الصغر شروط المقام:

إذا ، ثم الشروط مع حتىدرجات سوف تسعى جاهدة ل متناهي الصغرالأعداد الموجبة (المشار إليها بـ) ، والمصطلحات بـ غريبدرجات سوف تسعى جاهدة ل متناهي الصغرالأرقام السالبة (المشار إليها بـ).

الآن دعنا نسأل أنفسنا أي من هذه الحدود الأربعة يميل إلى الصفر (بغض النظر عن العلامة) أبطأ؟ تذكر الحيلة الساذجة: أولاً "x" يساوي -10 ، ثم -100 ، ثم -1000 ، وهكذا. المصطلح سيقترب من الصفر الأبطأ. من الناحية المجازية ، هذا هو الصفر "الأكثر بدانة" ، والذي "يمتص" جميع الأصفار الأخرى. لهذا السبب ، ظهر سجل في المرحلة النهائية.

وتجدر الإشارة إلى أن العلامات متناهي الصغرلا تهمنا شروط البسط ، حيث تم رسم قطعة صلبة ملموسة هناك. لذلك ، أضع "مجرد أصفار" في البسط. بالمناسبة ، لا تهم العلامات عند الأصفار في جميع الأمثلة حيث يتم الحصول على عدد محدود في النهاية (أمثلة رقم 5،6).

لا تغيير ، وهذا هو السبب في التحليل الرياضي للتحليل =)

ومع ذلك ، حول وظائف متناهية الصغرلاحقًا ، وإلا ستضغط على الصليب الصغير في أعلى اليمين =)

المثال 8

أوجد الحد

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

عدم اليقين في النوع والشكل هما أكثر حالات عدم اليقين شيوعًا والتي يجب معالجتها عند حل الحدود.

تحمل معظم المهام المتعلقة بالحدود التي يواجهها الطلاب مثل هذه الشكوك. للكشف عنها ، أو بشكل أكثر دقة ، تجنب الغموض ، هناك عدة طرق مصطنعة لتحويل شكل التعبير تحت علامة الحد. هذه التقنيات هي كما يلي: قسمة البسط والمقام لكل مصطلح على حده على أعلى قوة للمتغير ، والضرب بالتعبير المترافق والعوامل للاختزال اللاحق باستخدام الحلول المعادلات التربيعيةوصيغ الضرب المختصرة.

عدم تحديد الأنواع

مثال 1

نيساوي 2. لذلك ، نقسم البسط والمقام على الحد على:

.

التعليق على الجانب الأيمن من التعبير. تشير الأسهم والأرقام إلى ما تميل إليه الكسور بعد التعويض بدلاً من نقيم اللانهاية. هنا ، كما في المثال 2 ، الدرجة نيوجد في المقام أكثر من البسط ، ونتيجة لذلك يميل الكسر بأكمله إلى قيمة متناهية الصغر أو "عدد صغير جدًا".

نحصل على الإجابة: نهاية هذه الدالة بمتغير يميل إلى اللانهاية هي.

مثال 2 .

حل. هنا أعلى قوة للمتغير xيساوي 1. لذلك ، نقسم حد البسط والمقام على حد على x:

.

تعليق على مسار الحل. في البسط ، نقود "x" تحت جذر الدرجة الثالثة ، وبهذا تظل درجتها الأولية (1) دون تغيير ، نقوم بتعيينها بنفس درجة الجذر ، أي 3. لا توجد أسهم والمزيد الأرقام في هذا الإدخال ، لذا جرب عقليًا ، ولكن عن طريق القياس مع المثال السابق ، حدد ما تميل إليه التعبيرات في البسط والمقام بعد استبدال اللانهاية بـ "x".

حصلنا على الإجابة: نهاية هذه الدالة بمتغير يقترب من اللانهاية يساوي صفرًا.

عدم تحديد الأنواع

مثال 3كشف عدم اليقين والعثور على الحد.

حل. البسط هو فرق المكعبات. دعنا نحللها باستخدام صيغة الضرب المختصرة من دورة الرياضيات المدرسية:

المقام هو مربع ثلاثي الحدود ، والذي نقوم بتحليله عن طريق حل معادلة تربيعية (مرة أخرى إشارة إلى حل المعادلات التربيعية):

دعنا نكتب التعبير الذي تم الحصول عليه نتيجة للتحولات ونجد حد الوظيفة:

مثال 4كشف عدم اليقين والعثور على الحد

حل. لا تنطبق نظرية حد خارج القسمة هنا ، لأن

لذلك ، نقوم بتحويل الكسر بالطريقة نفسها: بضرب البسط والمقام في المرافق ذي الحدين إلى المقام ، ونخفض بمقدار x+1. وفقًا للنتيجة الطبيعية للنظرية 1 ، نحصل على تعبير ، ونجد الحل الذي نجده الحد المطلوب:

مثال 5كشف عدم اليقين والعثور على الحد

حل. استبدال القيمة المباشرة x= 0 في دالة معينة تؤدي إلى عدم تحديد الشكل 0/0. للكشف عنها ، نقوم بإجراء تحويلات متطابقة ، ونتيجة لذلك ، نحصل على الحد المطلوب:

مثال 6احسب

حل:استخدم نظريات الحد

إجابة: 11

مثال 7احسب

حل:في هذا المثال ، حدود البسط والمقام عند هي 0:

; . لذلك حصلنا على نظرية حد خارج القسمة لا يمكن تطبيقها.

تحليل البسط والمقام إلى عوامل لتقليل الكسر بمقدار عامل مشتركيميل إلى الصفر ، وبالتالي يجعل تطبيق ممكننظرية 3.

نقوم بفك المربع ثلاثي الحدود في البسط بالصيغة ، حيث x 1 و x 2 هما جذور ثلاثي الحدود. التحليل والمقام ، اختزل الكسر بمقدار (x-2) ، ثم طبق النظرية 3.

إجابة:

المثال 8احسب

حل:لأن البسط والمقام يميلان إلى اللانهاية ، لذلك عند تطبيق النظرية 3 مباشرة ، نحصل على التعبير الذي يمثل الارتياب. للتخلص من هذا النوع من عدم اليقين ، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة في السعة. في هذا المثاليحتاج إلى تقسيم إلى X:

إجابة:

المثال 9احسب

حل: × 3:

إجابة: 2

المثال 10احسب

حل:يميل البسط والمقام إلى اللانهاية. نقسم البسط والمقام على أعلى قوة في السعة ، أي × 5:

=

يميل بسط الكسر إلى 1 ، والمقام إلى 0 ، لذا يميل الكسر إلى اللانهاية.

إجابة:

المثال 11.احسب

حل:يميل البسط والمقام إلى اللانهاية. نقسم البسط والمقام على أعلى قوة في السعة ، أي × 7:

إجابة: 0

المشتق.

مشتق الدالة y = f (x) بالنسبة إلى الوسيطة xيتم استدعاء حد نسبة زيادتها y إلى الزيادة x في الوسيطة x عندما تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر:. إذا كان هذا الحد محددًا ، فستكون الوظيفة ص = و (س)يسمى التفاضل عند النقطة x. إذا كانت هذه النهاية موجودة ، فإننا نقول أن الدالة ص = و (س)له مشتق لانهائي عند x.

مشتقات الرئيسية وظائف الابتدائية:

1. (const) = 0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

قواعد التمايز:

أ)

الخامس)

مثال 1أوجد مشتق دالة

حل:إذا وجدنا مشتق المصطلح الثاني بقاعدة اشتقاق الكسر ، فإن المصطلح الأول هو دالة معقدة ، مشتقها موجود في الصيغة:

، أين ، ثم

عند الحل ، تم استخدام الصيغ التالية: 1،2،10 ، أ ، ج ، د.

إجابة:

المثال 21.أوجد مشتق دالة

حل:كلا المصطلحين عبارة عن دوال معقدة ، حيث للأول والثاني إذن

إجابة:

التطبيقات المشتقة.

1. السرعة والتسارع

دع الوظيفة (t) تصف موضعكائن في بعض نظام الإحداثيات في الوقت t. ثم يكون المشتق الأول للدالة s (t) لحظيًا سرعةهدف:
ت = ق ′ = و ′ (ر)
المشتق الثاني للدالة s (t) هو اللحظية التسريعهدف:
w = v ′ = s ′ ′ = f ′ ′ (t)

2. معادلة الظل
y − y0 = f ′ (x0) (x − x0) ،
حيث (x0 ، y0) هي إحداثيات نقطة اللمس ، f ′ (x0) هي قيمة مشتق الدالة f (x) عند نقطة اللمس.

3. معادلة عادية
y − y0 = −1f ′ (x0) (x − x0) ،

حيث (x0، y0) هي إحداثيات النقطة التي يتم فيها رسم الخط العمودي ، f ′ (x0) هي قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة المحددة.

4. الوظيفة تصاعديا وتناقصا
إذا كانت f ′ (x0)> 0 ، فستزيد الوظيفة عند النقطة x0. في الشكل أدناه ، تتزايد الدالة عند x x2.
إذا كانت f ′ (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1إذا كانت f ′ (x0) = 0 أو المشتق غير موجود ، فإن هذه الميزة لا تسمح لنا بتحديد طبيعة رتابة الوظيفة عند النقطة x0.

5. القيم القصوى المحلية للدالة
الوظيفة f (x) لها الحد الأقصى المحليعند نقطة x1 إذا كان هناك مجاورة للنقطة x1 بحيث تظل المتباينة f (x1) ≥f (x) بالنسبة لجميع x من هذا الحي.
وبالمثل ، فإن الوظيفة f (x) لها الحد الأدنى المحليعند نقطة x2 إذا كان هناك مجاورة للنقطة x2 بحيث تظل المتباينة f (x2) ≤f (x) بالنسبة لجميع x من هذا الحي.

6. نقاط حرجة
النقطة x0 هي نقطة حرجةالتابع f (x) إذا كان المشتق f ′ (x0) فيه يساوي صفرًا أو غير موجود.

7. أول علامة كافية لوجود حد أقصى
إذا كانت الدالة f (x) تتزايد (f ′ (x)> 0) لكل x في فترة معينة (a ، x1] وتتناقص (f ′ (x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) لكل x من الفاصل الزمني)