حلول جاهزة للمعادلات اللوغاريتمية. المعادلات اللوغاريتمية

في هذا الدرس ، سنكرر الحقائق النظرية الأساسية حول اللوغاريتمات وننظر في حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية.

أذكر التعريف المركزي - تعريف اللوغاريتم. يتعلق بالقرار المعادلة الأسية. هذه المعادلة لها جذر واحد ، وتسمى لوغاريتم b للقاعدة a:

تعريف:

لوغاريتم الرقم b للقاعدة a هو الأس الذي يجب رفع القاعدة a إليه للحصول على الرقم b.

يتذكر الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

التعبير (التعبير 1) هو جذر المعادلة (التعبير 2). نعوض بقيمة x من التعبير 1 بدلاً من x في التعبير 2 ونحصل على المتطابقة اللوغاريتمية الأساسية:

لذلك نرى أن كل قيمة لها قيمة. نشير إلى b لـ x () ، c لـ y ، وبالتالي نحصل على الوظيفة اللوغاريتمية:

على سبيل المثال:

تذكر الخصائص الأساسية للدالة اللوغاريتمية.

دعونا ننتبه مرة أخرى ، هنا ، لأنه تحت اللوغاريتم يمكن أن يكون هناك تعبير موجب تمامًا ، كأساس اللوغاريتم.

أرز. 1. رسم بياني للدالة اللوغاريتمية لقواعد مختلفة

يظهر الرسم البياني للوظيفة في باللون الأسود. أرز. 1. إذا زادت الوسيطة من صفر إلى ما لا نهاية ، تزداد الدالة من سالب إلى زائد ما لا نهاية.

يظهر الرسم البياني للوظيفة في باللون الأحمر. أرز. 1.

خصائص هذه الوظيفة:

اِختِصاص: ؛

مدى من القيم: ؛

الوظيفة رتيبة على كامل مجال تعريفها. عندما تزيد بشكل رتيب (بشكل صارم) ، تتوافق القيمة الأكبر للوسيطة مع القيمة الأكبر للدالة. عندما تنخفض بشكل رتيب (بشكل صارم) ، فإن القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع القيمة الأصغر للدالة.

خصائص الدالة اللوغاريتمية هي المفتاح لحل المعادلات اللوغاريتمية المختلفة.

ضع في اعتبارك أبسط معادلة لوغاريتمية ، كل الباقي المعادلات اللوغاريتمية، كقاعدة عامة ، يتم تقليلها إلى هذا النموذج.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات واللوغاريتمات نفسها متساوية ، فإن الوظائف تحت اللوغاريتم متساوية أيضًا ، لكن يجب ألا نفقد مجال التعريف. فقط عدد موجب يمكن أن يقف تحت اللوغاريتم ، لدينا:

اكتشفنا أن الدالتين f و g متساويتان ، لذا يكفي اختيار أي متباينة واحدة للتوافق مع ODZ.

وهكذا حصلنا على نظام مختلط فيه معادلة وعدم مساواة:

عدم المساواة ، كقاعدة عامة ، ليس من الضروري حلها ، يكفي حل المعادلة واستبدال الجذور الموجودة في المتباينة ، وبالتالي إجراء فحص.

دعونا نصيغ طريقة لحل أبسط المعادلات اللوغاريتمية:

معادلة قواعد اللوغاريتمات ؛

تعادل التوابع اللوغاريتمية الفرعية ؛

قم بإجراء فحص.

دعنا نفكر في أمثلة محددة.

مثال 1 - حل المعادلة:

قواعد اللوغاريتمات متساوية في البداية ، لدينا الحق في المساواة تحت التعبيرات اللوغاريتمية، لا تنسى ODZ ، فنحن نختار اللوغاريتم الأول لتجميع عدم المساواة:

مثال 2 - حل المعادلة:

تختلف هذه المعادلة عن السابقة في أن قواعد اللوغاريتمات أقل من واحد ، لكن هذا لا يؤثر على الحل بأي شكل من الأشكال:

لنجد الجذر ونستبدله في المتباينة:

لقد حصلنا على متباينة غير صحيحة ، مما يعني أن الجذر الموجود لا يلبي ODZ.

مثال 3 - حل المعادلة:

قواعد اللوغاريتمات متساوية في البداية ؛

لنجد الجذر ونستبدله في المتباينة:

من الواضح أن الجذر الأول فقط يرضي ODZ.

الجبر الصف 11

الموضوع: "طرق حل المعادلات اللوغاريتمية"

أهداف الدرس:

التعليمية: تكوين المعرفة عن طرق مختلفةحل المعادلات اللوغاريتمية والقدرة على تطبيقها في كل حالة محددة واختيار أي طريقة لحلها ؛

التطوير: تطوير المهارات للمراقبة ، والمقارنة ، وتطبيق المعرفة في وضع جديد ، وتحديد الأنماط ، والتعميم ؛ تكوين مهارات التحكم المتبادل وضبط النفس ؛

تعليمي: تعليم موقف مسؤول تجاه العمل التربوي ، وإدراك دقيق للمادة في الدرس ، ودقة حفظ السجلات.

نوع الدرس: درس للتعرف على المواد الجديدة.

"اختراع اللوغاريتمات ، بتقصير عمل الفلكي ، أطال عمره".
عالم الرياضيات والفلك الفرنسي ب. لابلاس

خلال الفصول

I. تحديد هدف الدرس

سيسمح لنا التعريف المدروس للوغاريتم وخصائص اللوغاريتمات والدالة اللوغاريتمية بحل المعادلات اللوغاريتمية. يتم حل جميع المعادلات اللوغاريتمية ، بغض النظر عن مدى تعقيدها ، باستخدام نفس الخوارزميات. سننظر في هذه الخوارزميات اليوم في الدرس. هناك القليل منهم إذا كنت تتقنهم ، فإن أي معادلة مع اللوغاريتمات ستكون مجدية لكل واحد منكم.

اكتب في دفتر ملاحظاتك موضوع الدرس: "طرق حل المعادلات اللوغاريتمية." أدعو الجميع للتعاون.

ثانيًا. تحديث المعرفة الأساسية

دعنا نستعد لدراسة موضوع الدرس. تقوم بحل كل مهمة وتدوين الإجابة ، لا يمكنك كتابة الشرط. العمل في ازواج.

1) ما هي قيم x التي تجعل الدالة منطقية:

(يتم التحقق من الإجابات لكل شريحة ويتم فرز الأخطاء)

2) هل تتطابق الرسوم البيانية الوظيفية؟

3) أعد كتابة المساواة على أنها مساواة لوغاريتمية:

4) اكتب الأرقام على شكل لوغاريتمات ذات الأساس 2:

5) احسب:

6) حاول استعادة أو استكمال العناصر المفقودة في هذه المساواة.

ثالثا. مقدمة عن مادة جديدة

يتم عرض البيان على الشاشة:

"المعادلة هي المفتاح الذهبي الذي يفتح كل السمسم الرياضي."
عالم الرياضيات البولندي الحديث س. كوفال

حاول صياغة تعريف المعادلة اللوغاريتمية. (معادلة تحتوي على المجهول تحت علامة اللوغاريتم).

يعتبر أبسط معادلة لوغاريتمية:سجلأس = ب(حيث أ> 0 ، أ 1). لأن دالة لوغاريتميةيزيد (أو ينقص) على مجموعة الأعداد الموجبة ويأخذ جميع القيم الحقيقية ، ثم من خلال نظرية الجذر ، يتبع ذلك أنه بالنسبة لأي ب ، فإن هذه المعادلة لها ، علاوة على ذلك ، حل واحد فقط ، وحل موجب.

تذكر تعريف اللوغاريتم. (لوغاريتم الرقم x للقاعدة a هو الأس الذي يجب رفع القاعدة a إليه للحصول على الرقم x). يتبع على الفور من تعريف اللوغاريتم ذلك أالخامسمثل هذا الحل.

اكتب العنوان: طرق حل المعادلات اللوغاريتمية

1. بتعريف اللوغاريتم.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل المعادلات البسيطة للصيغة.

يعتبر رقم 514 (أ): حل المعادلة

كيف تقترح حلها؟ (حسب تعريف اللوغاريتم)

حل. ومن ثم 2x - 4 = 4 ؛ س = 4.

في هذه المهمة ، 2x - 4> 0 ، لأن> 0 ، لذلك لا يمكن أن تظهر الجذور الدخيلة ، وليست هناك حاجة للتحقق. الشرط 2x - 4> 0 ليس ضروريًا للكتابة في هذه المهمة.

2. التقوية(الانتقال من لوغاريتم التعبير المحدد إلى هذا التعبير نفسه).

يعتبر رقم 519 (ز): log5 (x2 + 8) -log5 (x + 1) = 3log5 2

ما الميزة التي لاحظتها؟ (الأسس هي نفسها ولوغاريتمات التعبيرين متساوية). ماذا يمكن ان يفعل؟ (تقوية).

في هذه الحالة ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن أي حل موجود بين جميع س التي تكون التعبيرات اللوغاريتمية لها موجبة.

الحل: ODZ:

X2 + 8> 0 عدم مساواة إضافية

log5 (x2 + 8) = log5 23+ log5 (x + 1)

تسجيل 5 (x2 + 8) = log5 (8x + 8)

تقوية المعادلة الأصلية

نحصل على المعادلة x2 + 8 = 8x + 8

نحلها: x2-8x = 0

الجواب: 0؛ 8

على العموم الانتقال إلى نظام مكافئ:

المعادلة

(يحتوي النظام على شرط زائد - يمكن تجاهل إحدى المتباينات).

سؤال للفصل: أي من هذه الحلول الثلاثة أعجبك أكثر؟ (مناقشة الأساليب).

لديك الحق في أن تقرر بأي شكل من الأشكال.

3. إدخال متغير جديد.

يعتبر رقم 520 (ز). .

ماذا لاحظت؟ (هذا معادلة من الدرجة الثانيةبخصوص log3x) أي اقتراحات؟ (إدخال متغير جديد)

حل. ODZ: x> 0.

دعنا ، إذن ستأخذ المعادلة الشكل :. التمييز D> 0. الجذور حسب نظرية فييتا :.

دعنا نعود إلى الاستبدال: أو.

بحل أبسط المعادلات اللوغاريتمية ، نحصل على:

الجواب: 27 ؛

4. لوغاريتم طرفي المعادلة.

حل المعادلة:.

الحل: ODZ: x> 0 ، خذ لوغاريتم كلا طرفي المعادلة في الأساس 10:

تطبيق خاصية لوغاريتم الدرجة:

(lgx + 3) lgx = 4

دع lgx = y ، ثم (y + 3) y = 4

، (D> 0) الجذور وفقًا لنظرية فييتا: y1 = -4 و y2 = 1.

لنعد إلى البديل ، نحصل على: lgx = -4 ،؛ logx = 1 ،.

الجواب: 0.0001 ؛ 10.

5. التخفيض لقاعدة واحدة.

رقم 523 (ج). حل المعادلة:

الحل: ODZ: x> 0. دعنا ننتقل إلى الأساس 3.

6. طريقة رسومية وظيفية.

№ 509 (د).حل المعادلة بيانياً: = 3 - س.

كيف تقترح الحل؟ (أنشئ رسومًا بيانية لوظيفتين y \ u003d log2x و y \ u003d 3 - x بالنقاط وابحث عن حدود نقاط تقاطع الرسوم البيانية).

انظر الحل الخاص بك على الشريحة.

هل هناك طريقة لتجنب التآمر . وهي كالاتي : إذا كانت إحدى الوظائفص = و (س) يزيد والآخرص = ز (س) ينخفض ​​في الفترة X ، ثم المعادلةو (س) = ز (س) له جذر واحد على الأكثر في الفترة X.

إذا كان هناك جذر ، فيمكن تخمينه.

في حالتنا ، تزداد الدالة لـ x> 0 ، وتنخفض الدالة y \ u003d 3 - x لجميع قيم x ، بما في ذلك x> 0 ، مما يعني أن المعادلة لا تحتوي على أكثر من جذر واحد. لاحظ أنه بالنسبة إلى x = 2 ، تتحول المعادلة إلى مساواة حقيقية ، منذ ذلك الحين.

« الاستخدام الصحيحيمكن تعلم الأساليب
مجرد تطبيقها عليها أمثلة مختلفة».
المؤرخ الدنماركي للرياضيات جي جي زيتن

أناالخامس. العمل في المنزل

ص 39 انظر إلى المثال 3 ، حل رقم 514 (ب) ، رقم 529 (ب) ، رقم 520 (ب) ، رقم 523 (ب)

خامسا تلخيص الدرس

ما هي طرق حل المعادلات اللوغاريتمية التي أخذناها في الاعتبار في الدرس؟

في الدرس التالي ، سنلقي نظرة على المزيد معادلات معقدة. لحلها ، تعتبر الطرق المدروسة مفيدة.

إظهار الشريحة الأخيرة:

"ما هو أكثر من أي شيء في العالم؟
فضاء.
ما هو أحكم؟
وقت.
ما هو أكثر متعة؟
حقق ما تريد ".
طاليس

أريد أن يحقق الجميع ما يريدون. شكرا لكم لتعاونكم والتفاهم.

حل المعادلات اللوغاريتمية. الجزء 1.

المعادلة اللوغاريتميةتسمى معادلة يتم فيها احتواء المجهول تحت علامة اللوغاريتم (على وجه الخصوص ، في قاعدة اللوغاريتم).

الكائنات الاوليه معادلة لوغاريتميةيشبه:

حل أي معادلة لوغاريتميةيتضمن الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات تحت علامة اللوغاريتمات. ومع ذلك ، فإن هذا الإجراء يوسع النطاق القيم المسموح بهاالمعادلات ويمكن أن تؤدي إلى ظهور جذور دخيلة. لتجنب ظهور الجذور الدخيلةيمكنك القيام بذلك بإحدى الطرق الثلاث:

1. قم بإجراء انتقال مكافئمن المعادلة الأصلية إلى نظام بما في ذلك

اعتمادا على أي عدم المساواة أو أسهل.

إذا كانت المعادلة تحتوي على مجهول في قاعدة اللوغاريتم:

ثم نذهب إلى النظام:

2. ابحث بشكل منفصل عن نطاق القيم المقبولة للمعادلة، ثم حل المعادلة وتحقق مما إذا كانت الحلول التي تم العثور عليها تفي بالمعادلة.

3. حل المعادلة ، ثم قم بفحص:استبدل الحلول التي تم العثور عليها في المعادلة الأصلية ، وتحقق مما إذا كنا نحصل على المساواة الصحيحة.

دائمًا ما تختزل المعادلة اللوغاريتمية لأي مستوى من التعقيد في النهاية إلى أبسط معادلة لوغاريتمية.

يمكن تقسيم جميع المعادلات اللوغاريتمية إلى أربعة أنواع:

1 . المعادلات التي تحتوي على لوغاريتمات للقوة الأولى فقط. بمساعدة التحولات والاستخدام ، يتم تقليلها إلى النموذج

مثال. لنحل المعادلة:

مساواة التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم:

دعنا نتحقق مما إذا كان جذر المعادلة يرضي:

نعم ، يرضي.

الجواب: س = 5

2 . المعادلات التي تحتوي على لوغاريتمات لقوة أخرى غير 1 (على وجه الخصوص ، في مقام الكسر). يتم حل هذه المعادلات باستخدام إدخال تغيير في المتغير.

مثال.لنحل المعادلة:

لنجد معادلة ODZ:

تحتوي المعادلة على مربع لوغاريتمات ، لذا يتم حلها باستخدام تغيير المتغير.

مهم! قبل تقديم البديل ، تحتاج إلى "سحب" اللوغاريتمات التي تشكل جزءًا من المعادلة إلى "قوالب" باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

عند "سحب" اللوغاريتمات ، من المهم تطبيق خصائص اللوغاريتمات بعناية شديدة:

بالإضافة إلى ذلك ، هناك مكان أكثر دقة هنا ، ولتجنب خطأ شائع ، سنستخدم مساواة وسيطة: نكتب درجة اللوغاريتم في هذا النموذج:

على نفس المنوال،

نعوض بالتعبيرات التي تم الحصول عليها في المعادلة الأصلية. نحن نحصل:

الآن نرى أن المجهول موجود في المعادلة كجزء من. نقدم البديل:. نظرًا لأنه يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية ، فإننا لا نفرض أي قيود على المتغير.

الخصائص الأساسية.

1. logax + logay = log (x y) ؛
2. logax - logay = log (x: y).

نفس الأسباب

تسجيل 6 4 + تسجيل 6 9.

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً.

أمثلة على حل اللوغاريتمات

ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: a> 0 ، a ≠ 1 ، x>

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

دع اللوغاريتم اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c ≠ 1 ، تكون المساواة صحيحة:

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

أنظر أيضا:

الخصائص الأساسية للوغاريتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

الأس هو 2.718281828…. لتذكر الأس ، يمكنك دراسة القاعدة: الأس هو 2.7 ومرتين سنة ميلاد ليو تولستوي.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

بمعرفة هذه القاعدة ، ستعرف القيمة الدقيقة للأس وتاريخ ميلاد ليو تولستوي.

أمثلة على اللوغاريتمات

خذ لوغاريتم التعبيرات

مثال 1
أ). س = 10ac ^ 2 (أ> 0 ، ج> 0).

حسب الخصائص 3،5 نحسب

2.

3.

4. أين .

مثال 2 أوجد x إذا

مثال 3. دع قيمة اللوغاريتمات تعطى

احسب تسجيل (x) إذا

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

يمكن إضافة اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

يجب معرفة هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: logax و logay. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

1. logax + logay = log (x y) ؛
2. logax - logay = log (x: y).

إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي - نفس الأسباب. إذا كانت القواعد مختلفة ، فإن هذه القواعد لا تعمل!

ستساعد هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم مراعاة أجزائه الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة وانظر:

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log2 48 - log2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
تسجيل 2 48 - تسجيل 2 3 = تسجيل 2 (48: 3) = تسجيل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log3 135 - log3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. بناء على هذه الحقيقة ، كثير أوراق الاختبار. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

من السهل ملاحظة أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل تذكرها على أي حال - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار العمليات الحسابية.

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: a> 0 ، a ≠ 1 ، x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس ، أي يمكنك إدخال الأرقام قبل علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log7 496.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7496 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 24؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نحن نعمل فقط مع المقام.

صيغ اللوغاريتمات. اللوغاريتمات هي أمثلة على الحلول.

قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. البسط والمقام لهما نفس الرقم: log2 7. بما أن log2 7 ≠ 0 ، يمكننا تقليل الكسر - 2/4 سيبقى في المقام. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. والنتيجة هي الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

بالحديث عن قواعد إضافة وطرح اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ماذا لو اختلفت القواعد؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c ≠ 1 ، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا c = x ، نحصل على:

ويترتب على الصيغة الثانية أنه من الممكن تبادل الأساس ووسيط اللوغاريتم ، ولكن في هذه الحالة يكون التعبير بالكامل "منقلبًا" ، أي اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log5 16 log2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ؛ log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

في الحالة الأولى ، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون العدد n أي شيء على الإطلاق ، لأنه يمثل قيمة اللوغاريتم فقط.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. يطلق عليه مثل هذا:

في الواقع ، ماذا سيحدث إذا تم رفع الرقم ب لدرجة أن الرقم ب في هذه الدرجة يعطي الرقم أ؟ هذا صحيح: هذا هو نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.

مثل صيغ التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن log25 64 = log5 8 - أخرج فقط المربع من القاعدة ووسيطة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد ضرب الأسس بنفس الأساس ، نحصل على:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من اختبار الدولة الموحد 🙂

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بالأحرى ، هذه نتائج من تعريف اللوغاريتم. يتم العثور عليها باستمرار في المشاكل ، والمثير للدهشة أنها تخلق مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. لوقا = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي قاعدة a من تلك القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
2. loga 1 = 0 هو. يمكن أن تكون القاعدة a أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن a0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.

أنظر أيضا:

يشير لوغاريتم الرقم b إلى الأساس a إلى التعبير. لحساب اللوغاريتم يعني إيجاد مثل هذه القوة x () التي تكون فيها المساواة صحيحة

الخصائص الأساسية للوغاريتم

يجب معرفة الخصائص المذكورة أعلاه ، لأنه ، على أساسها ، يتم حل جميع المشكلات والأمثلة تقريبًا بناءً على اللوغاريتمات. يمكن اشتقاق الخصائص الغريبة المتبقية عن طريق التلاعب الرياضي بهذه الصيغ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

عند حساب الصيغ لمجموع وفرق اللوغاريتمات (3.4) يتم مصادفتها في كثير من الأحيان. الباقي معقد إلى حد ما ، ولكن في عدد من المهام لا غنى عنها لتبسيط التعبيرات المعقدة وحساب قيمها.

الحالات الشائعة للوغاريتمات

بعض اللوغاريتمات الشائعة هي تلك التي تكون فيها القاعدة عشرة أو أسية أو شيطان.
عادةً ما يُطلق على لوغاريتم الأساس العشر لوغاريتم الأساس العشر ويُشار إليه ببساطة بـ lg (x).

يتضح من السجل أن الأساسيات غير مكتوبة في السجل. على سبيل المثال

اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم الذي أساسه هو الأس (يُشار إليه بـ ln (x)).

الأس هو 2.718281828…. لتذكر الأس ، يمكنك دراسة القاعدة: الأس هو 2.7 ومرتين سنة ميلاد ليو تولستوي. بمعرفة هذه القاعدة ، ستعرف القيمة الدقيقة للأس وتاريخ ميلاد ليو تولستوي.

ولوغاريتم أساسي آخر للأساس اثنين هو

مشتق لوغاريتم الدالة يساوي واحدًا مقسومًا على المتغير

يتم تحديد اللوغاريتم المتكامل أو العكسي بالاعتماد

المواد المذكورة أعلاه كافية بالنسبة لك لحل فئة واسعة من المشاكل المتعلقة باللوغاريتمات واللوغاريتمات. من أجل فهم المادة ، سأقدم فقط بعض الأمثلة الشائعة من المناهج الدراسيةوالجامعات.

أمثلة على اللوغاريتمات

خذ لوغاريتم التعبيرات

مثال 1
أ). س = 10ac ^ 2 (أ> 0 ، ج> 0).

حسب الخصائص 3،5 نحسب

2.
من خلال خاصية الاختلاف في اللوغاريتمات ، لدينا

3.
باستخدام الخصائص 3.5 نجد

4. أين .

يتم تبسيط التعبير الذي يبدو معقدًا باستخدام سلسلة من القواعد في النموذج

البحث عن قيم اللوغاريتم

مثال 2 أوجد x إذا

حل. للحساب ، نطبق الخاصيتين 5 و 13 حتى آخر مصطلح

استبدل في المحضر وندب

نظرًا لأن الأسس متساوية ، فإننا نساوي التعبيرات

اللوغاريتمات. مستوى اول.

دع قيمة اللوغاريتمات تعطى

احسب تسجيل (x) إذا

الحل: خذ لوغاريتم المتغير لكتابة اللوغاريتم من خلال مجموع المصطلحات

هذه مجرد بداية التعرف على اللوغاريتمات وخصائصها. تدرب على الحسابات ، وأثري مهاراتك العملية - ستحتاج قريبًا إلى المعرفة المكتسبة لحل المعادلات اللوغاريتمية. بعد دراسة الطرق الأساسية لحل مثل هذه المعادلات ، سنقوم بتوسيع معرفتك لموضوع آخر لا يقل أهمية - عدم المساواة اللوغاريتمية ...

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

يمكن إضافة اللوغاريتمات ، مثل أي رقم ، وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن نظرًا لأن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا ، فهناك قواعد هنا تسمى الخصائص الأساسية.

يجب معرفة هذه القواعد - لا يمكن حل مشكلة لوغاريتمية خطيرة بدونها. بالإضافة إلى ذلك ، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكن تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

ضع في اعتبارك لوغاريتمين لهما نفس القاعدة: logax و logay. ثم يمكن إضافتهم وطرحهم ، و:

1. logax + logay = log (x y) ؛
2. logax - logay = log (x: y).

إذن ، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب ، والفرق هو لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي - نفس الأسباب. إذا كانت القواعد مختلفة ، فإن هذه القواعد لا تعمل!

ستساعد هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم مراعاة أجزائه الفردية (انظر الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألق نظرة على الأمثلة وانظر:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log6 4 + log6 9.

نظرًا لأن قواعد اللوغاريتمات هي نفسها ، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log2 48 - log2 3.

القواعد هي نفسها ، نستخدم صيغة الفرق:
تسجيل 2 48 - تسجيل 2 3 = تسجيل 2 (48: 3) = تسجيل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log3 135 - log3 5.

مرة أخرى ، القواعد هي نفسها ، لذلك لدينا:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

كما ترى ، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة" ، والتي لا يتم النظر فيها بشكل منفصل. ولكن بعد التحولات تظهر أرقام عادية. تستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم ، تحكم - يتم تقديم تعبيرات متشابهة بكل جدية (أحيانًا - مع عدم وجود تغييرات تقريبًا) في الامتحان.

إزالة الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت هناك درجة في قاعدة اللوغاريتم أو حججه؟ ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من علامة اللوغاريتم وفقًا للقواعد التالية:

من السهل ملاحظة أن القاعدة الأخيرة تتبع أول قاعدتين. لكن من الأفضل تذكرها على أي حال - في بعض الحالات ستقلل بشكل كبير من مقدار العمليات الحسابية.

بالطبع ، كل هذه القواعد منطقية إذا لوحظ لوغاريتم ODZ: a> 0 ، a ≠ 1 ، x> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين ، ولكن أيضًا العكس ، أي يمكنك إدخال الأرقام قبل علامة اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه.

كيفية حل اللوغاريتمات

هذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log7 496.

دعنا نتخلص من الدرجة في الحجة وفق الصيغة الأولى:
سجل 7496 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن المقام عبارة عن لوغاريتم أساسه وسيطته قوى دقيقة: 16 = 24؛ 49 = 72. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يحتاج إلى توضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة ، نحن نعمل فقط مع المقام. قدموا قاعدة وحجة اللوغاريتم الذي يقف هناك على شكل درجات وأخذوا المؤشرات - حصلوا على كسر من "ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. البسط والمقام لهما نفس الرقم: log2 7. بما أن log2 7 ≠ 0 ، يمكننا تقليل الكسر - 2/4 سيبقى في المقام. وفقًا لقواعد الحساب ، يمكن تحويل الأربعة إلى البسط ، وقد تم ذلك. والنتيجة هي الجواب: 2.

الانتقال إلى مؤسسة جديدة

بالحديث عن قواعد إضافة وطرح اللوغاريتمات ، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ماذا لو اختلفت القواعد؟ ماذا لو لم تكن قوى دقيقة لنفس العدد؟

تنقذ الصيغ الخاصة بالانتقال إلى قاعدة جديدة. نصيغها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم اللوغاريتم يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c مثل c> 0 و c ≠ 1 ، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص ، إذا وضعنا c = x ، نحصل على:

ويترتب على الصيغة الثانية أنه من الممكن تبادل الأساس ووسيط اللوغاريتم ، ولكن في هذه الحالة يكون التعبير بالكامل "منقلبًا" ، أي اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ومع ذلك ، هناك مهام لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى مؤسسة جديدة. دعنا نفكر في اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log5 16 log2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمين هي أسس دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ؛ log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ؛

الآن دعنا نقلب اللوغاريتم الثاني:

نظرًا لأن المنتج لا يتغير من تبديل العوامل ، فقد ضربنا بهدوء أربعة في اثنين ، ثم اكتشفنا اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log9100 lg 3.

أساس وسعة اللوغاريتم الأول قوى دقيقة. دعنا نكتبها ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعنا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

غالبًا في عملية الحل ، يلزم تمثيل رقم كلوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة ، ستساعدنا الصيغ على:

في الحالة الأولى ، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون العدد n أي شيء على الإطلاق ، لأنه يمثل قيمة اللوغاريتم فقط.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. يطلق عليه مثل هذا:

في الواقع ، ماذا سيحدث إذا تم رفع الرقم ب لدرجة أن الرقم ب في هذه الدرجة يعطي الرقم أ؟ هذا صحيح: هذا هو نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس "يعلقون" عليها.

مثل صيغ التحويل الأساسية الجديدة ، فإن الهوية اللوغاريتمية الأساسية هي أحيانًا الحل الوحيد الممكن.

مهمة. أوجد قيمة التعبير:

لاحظ أن log25 64 = log5 8 - أخرج فقط المربع من القاعدة ووسيطة اللوغاريتم. بالنظر إلى قواعد ضرب الأسس بنفس الأساس ، نحصل على:

إذا لم يكن شخص ما على دراية ، فهذه كانت مهمة حقيقية من اختبار الدولة الموحد 🙂

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام ، سأقدم متطابقتين يصعب تسميتهما بالخصائص - بالأحرى ، هذه نتائج من تعريف اللوغاريتم. يتم العثور عليها باستمرار في المشاكل ، والمثير للدهشة أنها تخلق مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. لوقا = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي قاعدة a من تلك القاعدة نفسها يساوي واحدًا.
2. loga 1 = 0 هو. يمكن أن تكون القاعدة a أي شيء ، ولكن إذا كانت الوسيطة واحدة ، فإن اللوغاريتم هو صفر! لأن a0 = 1 نتيجة مباشرة للتعريف.

هذه كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وقم بطباعتها وحل المشكلات.

كما تعلم ، عند ضرب التعابير ذات القوى ، يتم جمع الأسس دائمًا (أ ب * أ ج = أ ب + ج). اشتق أرخميدس هذا القانون الرياضي ، وفي وقت لاحق ، في القرن الثامن ، أنشأ عالم الرياضيات فيراسن جدولًا لمؤشرات الأعداد الصحيحة. كانوا هم الذين خدموا لمزيد من اكتشاف اللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في كل مكان تقريبًا حيث يلزم تبسيط الضرب المرهق إلى عملية الجمع البسيطة. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال ، فسنشرح لك ماهية اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. لغة بسيطة وسهلة الوصول.

التعريف في الرياضيات

اللوغاريتم هو تعبير عن النموذج التالي: log a b = c ، أي ، لوغاريتم أي رقم غير سالب (أي ، أي موجب) "b" وفقًا لقاعدته "a" يعتبر قوة "c "، والتي من الضروري رفع القاعدة" أ "إليها ، بحيث تحصل في النهاية على القيمة" ب ". دعنا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة ، دعنا نقول أن هناك تعبير log 2 8. كيف تجد الإجابة؟ الأمر بسيط للغاية ، تحتاج إلى العثور على الدرجة التي تحصل عليها من 2 إلى الدرجة المطلوبة 8. وبعد إجراء بعض الحسابات في ذهنك ، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح ، لأن 2 أس 3 يعطي الرقم 8 في الإجابة.

أنواع اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب ، يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم ، ولكن في الواقع ، اللوغاريتمات ليست مخيفة جدًا ، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة أنواع مختلفة من التعبيرات اللوغاريتمية:

1. اللوغاريتم الطبيعي ln a ، حيث الأساس هو رقم أويلر (e = 2.7).
2. العلامة العشرية a حيث الأساس هو 10.
3. لوغاريتم أي عدد ب للقاعدة أ> 1.

يتم حل كل منها بطريقة قياسية ، بما في ذلك التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات ، يجب على المرء أن يتذكر خصائصها وترتيب الإجراءات في قراراتهم.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات ، هناك العديد من قيود القواعد المقبولة كبديهية ، أي أنها لا تخضع للنقاش وهي صحيحة. على سبيل المثال ، من المستحيل قسمة الأرقام على صفر ، ومن المستحيل أيضًا استخراج جذر الدرجة الزوجية من الأرقام السالبة. تمتلك اللوغاريتمات أيضًا قواعدها الخاصة ، والتي يمكنك بعدها بسهولة معرفة كيفية العمل حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

• يجب أن تكون القاعدة "a" دائمًا أكبر من الصفر ، وفي نفس الوقت لا تساوي 1 ، وإلا فإن التعبير سيفقد معناه ، لأن "1" و "0" إلى أي درجة تساوي دائمًا قيمهما ؛
• إذا كانت a> 0 ، ثم a b> 0 ، فقد اتضح أن "c" يجب أن تكون أكبر من صفر.

كيف تحل اللوغاريتمات؟

على سبيل المثال ، تم تكليف المهمة للعثور على إجابة المعادلة 10 x \ u003d 100. إنه سهل للغاية ، تحتاج إلى اختيار مثل هذه القوة ، ورفع الرقم عشرة الذي نحصل عليه 100. هذا ، بالطبع ، هو 10 2 \ u003d 100.

الآن لنمثل هذا المقدار على أنه واحد لوغاريتمي. نحصل على log 10 100 = 2. عند حل اللوغاريتمات ، تتقارب جميع الإجراءات عمليًا لإيجاد الدرجة التي يجب إدخال أساس اللوغاريتم عندها للحصول على رقم معين.

لتحديد قيمة الدرجة غير المعروفة بدقة ، يجب أن تتعلم كيفية التعامل مع جدول الدرجات. تبدو هكذا:

كما ترى ، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقلية تقنية ومعرفة بجدول الضرب. ومع ذلك ، ستتطلب القيم الأكبر جدول طاقة. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يفهمون أي شيء على الإطلاق في الموضوعات الرياضية المعقدة. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (القاعدة أ) ، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج ، التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع في الخلايا ، يتم تحديد قيم الأرقام ، وهي الإجابة (أ ج = ب). لنأخذ ، على سبيل المثال ، الخلية الأولى التي تحتوي على الرقم 10 وتربيعها ، نحصل على القيمة 100 ، والتي يشار إليها عند تقاطع خليتينا. كل شيء بسيط للغاية وسهل حتى يفهمه حتى أكثر إنساني حقيقي!

المعادلات وعدم المساواة

اتضح أنه في ظل ظروف معينة ، يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك ، يمكن كتابة أي تعبيرات عددية رياضية كمعادلة لوغاريتمية. على سبيل المثال ، 3 4 = 81 يمكن كتابتها على أنها لوغاريتم 81 للأساس 3 ، وهو أربعة (log 3 81 = 4). بالنسبة للقوى السالبة ، القواعد هي نفسها: 2-5 = 1/32 نكتب كلوغاريتم ، نحصل على log 2 (1/32) = -5. أحد أكثر أقسام الرياضيات روعة هو موضوع "اللوغاريتمات". سننظر في أمثلة وحلول للمعادلات أقل قليلاً ، مباشرة بعد دراسة خصائصها. الآن دعونا نلقي نظرة على شكل المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.

يتم إعطاء تعبير بالصيغة التالية: log 2 (x-1)> 3 - إنها متباينة لوغاريتمية ، لأن القيمة غير المعروفة "x" تحت علامة اللوغاريتم. وأيضًا في التعبير تتم مقارنة كميتين: لوغاريتم الرقم المطلوب في الأساس الثاني أكبر من الرقم ثلاثة.

يتمثل الاختلاف الأكثر أهمية بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات في أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (على سبيل المثال ، لوغاريتم 2 س = √9) تتضمن قيمة عددية محددة أو أكثر في الإجابة ، بينما عند حل المتباينة ، كلا النطاقين القيم المقبولة والنقاط التي تكسر هذه الوظيفة. نتيجة لذلك ، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية ، كما هو الحال في إجابة المعادلة ، ولكنها سلسلة متصلة أو مجموعة من الأرقام.

النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية لإيجاد قيم اللوغاريتم ، قد لا تكون خصائصه معروفة. ومع ذلك ، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة ، فمن الضروري أولاً أن نفهم بوضوح وتطبيق جميع الخصائص الأساسية للوغاريتمات في الممارسة العملية. سنتعرف على أمثلة المعادلات لاحقًا ، دعنا أولاً نحلل كل خاصية بمزيد من التفصيل.

1. تبدو الهوية الأساسية كما يلي: a logaB = B. يتم تطبيقه فقط إذا كان a أكبر من 0 ، ولا يساوي واحدًا ، وكان B أكبر من صفر.
2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج بالصيغة التالية: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. في هذه الحالة ، يكون المتطلب الأساسي: d، s 1 and s 2> 0؛ أ ≠ 1. يمكنك تقديم دليل على صيغة اللوغاريتمات هذه ، مع أمثلة وحل. دع السجل a s 1 = f 1 وسجل a s 2 = f 2 ، ثم f1 = s 1 ، a f2 = s 2. نحصل على s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (خصائص الدرجة ) ، وكذلك بالتعريف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ، الذي كان من المقرر إثباته.
3. يبدو لوغاريتم حاصل القسمة على النحو التالي: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. تأخذ النظرية في شكل صيغة الصيغة التالية: log a q b n = n / q log a b.

هذه الصيغة تسمى "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية ، وهذا ليس مفاجئًا ، لأن كل الرياضيات تقوم على افتراضات منتظمة. دعونا نلقي نظرة على الدليل.

دع السجل أ ب \ u003d t ، اتضح أن t \ u003d ب. إذا رفعت كلا الجزأين إلى القوة m: a tn = b n ؛

ولكن بما أن tn = (a q) nt / q = b n ، وبالتالي سجل a q b n = (n * t) / t ، ثم سجل a q b n = n / q log a b. لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع مسائل اللوغاريتم شيوعًا هي أمثلة على المعادلات والمتباينات. تم العثور عليها في جميع الكتب المشكلة تقريبًا ، كما يتم تضمينها أيضًا في الجزء الإلزامي من امتحانات الرياضيات. للقبول في الجامعة أو النجاح امتحانات القبولفي الرياضيات ، تحتاج إلى معرفة كيفية حل هذه المشكلات بشكل صحيح.

لسوء الحظ ، لا توجد خطة أو مخطط واحد لحل وتحديد القيمة غير المعروفة للوغاريتم ، ومع ذلك ، يمكن تطبيق قواعد معينة على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. أولًا ، يجب أن تعرف ما إذا كان التعبير يمكن تبسيطه أم اختزاله إلى نظرة عامة. يمكنك تبسيط التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة إذا كنت تستخدم خصائصها بشكل صحيح. دعنا نتعرف عليهم قريبا.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية ، من الضروري تحديد نوع اللوغاريتم الموجود أمامنا: مثال للتعبير قد يحتوي على لوغاريتم طبيعي أو لوغاريتم عشري.

فيما يلي أمثلة ln100 ، ln1026. يتلخص حلهم في حقيقة أنك تحتاج إلى تحديد الدرجة التي سيكون عندها الأساس 10 مساويًا لـ 100 و 1026 على التوالي. عن الحلول اللوغاريتمات الطبيعيةيجب على المرء تطبيق الهويات اللوغاريتمية أو خصائصها. دعنا نلقي نظرة على الحل بالأمثلة. مشاكل لوغاريتميةنوع مختلف.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع أمثلة وحلول

لذا ، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الرئيسية في اللوغاريتمات.

1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام التي يكون من الضروري توسيعها أهمية عظيمةالأرقام ب إلى عوامل أبسط. على سبيل المثال ، السجل 2 4 + السجل 2128 = السجل 2 (4 * 128) = السجل 2512. الإجابة هي 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - كما ترون ، باستخدام الخاصية الرابعة لدرجة اللوغاريتم ، تمكنا من حل تعبير معقد وغير قابل للحل للوهلة الأولى. من الضروري فقط تحليل الأساس ثم أخذ قيم الأس من علامة اللوغاريتم.

مهام من الامتحان

غالبًا ما توجد اللوغاريتمات في امتحانات القبول ، خاصةً الكثير من المشكلات اللوغاريتمية في اختبار الدولة الموحدة (امتحان رسمي لجميع خريجي المدارس). عادةً ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أسهل جزء للاختبار من الاختبار) ، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر صعوبة وضخامة). يتضمن الاختبار معرفة دقيقة وكاملة لموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

الأمثلة وحلول المشاكل مأخوذة من المسؤول خيارات الاستخدام. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام.

معطى السجل 2 (2x-1) = 4. الحل:
دعونا نعيد كتابة التعبير ، ونبسطه قليلاً log 2 (2x-1) = 2 2 ، من خلال تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1 = 2 4 ، وبالتالي 2x = 17 ؛ س = 8.5.

• من الأفضل اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس القاعدة بحيث لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
• يشار إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها موجبة ، لذلك ، عند إخراج الأس الأس للتعبير ، الذي يقع تحت علامة اللوغاريتم وكقاعدة له ، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.