FSR لنظام غير متجانس من المعادلات الخطية. مجموعة أساسية من الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية

أنظمة متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية

ضمن الدروس طريقة جاوسو أنظمة / أنظمة غير متوافقة مع حل مشتركاعتبرنا أنظمة غير متجانسة المعادلات الخطية ، أين عضو مجاني(التي عادة ما تكون على اليمين) مرة على الأقلمن المعادلات كانت مختلفة عن الصفر.
والآن ، بعد إحماء جيد مع رتبة المصفوفة، سنواصل صقل التقنية التحولات الأوليةعلى نظام متجانس من المعادلات الخطية.
وفقًا للفقرات الأولى ، قد تبدو المادة مملة وعادية ، لكن هذا الانطباع خادع. بالإضافة إلى المزيد من تقنيات التطوير ، سيكون هناك الكثير من المعلومات الجديدة ، لذا يرجى محاولة عدم إهمال الأمثلة الواردة في هذه المقالة.

ما هو نظام متجانس من المعادلات الخطية؟

الجواب يقترح نفسه. نظام المعادلات الخطية متجانس إذا كان المصطلح الحر الجميعمعادلة النظام هي صفر. على سبيل المثال:

من الواضح أن النظام المتجانس ثابت دائمًا، أي أنه دائمًا ما يكون له حل. وقبل كل شيء ، ما يسمى ب تافهحل . تافهة ، بالنسبة لأولئك الذين لا يفهمون معنى الصفة على الإطلاق ، تعني bespontovoe. ليس أكاديميًا بالطبع ، ولكن بشكل واضح =) ... لماذا تتغلب على الأدغال ، دعنا نكتشف ما إذا كان هذا النظام لديه أي حلول أخرى:

مثال 1

حل: لحل نظام متجانس لا بد من الكتابة مصفوفة النظاموبمساعدة التحولات الأولية ، قم بإحضاره إلى شكل متدرج. لاحظ أنه ليست هناك حاجة لكتابة الشريط الرأسي والعمود الصفري للأعضاء الأحرار هنا - بعد كل شيء ، مهما فعلت مع الأصفار ، فإنها ستبقى صفرًا:

(1) تمت إضافة الصف الأول إلى الصف الثاني ، مضروبًا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -3.

(2) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث ، مضروبًا في -1.

لا معنى لتقسيم الصف الثالث على 3.

نتيجة للتحولات الأولية ، يتم الحصول على نظام متجانس مكافئ ، وتطبيق الحركة العكسية للطريقة الغاوسية ، من السهل التحقق من أن الحل فريد من نوعه.

إجابة:

دعونا نصوغ معيارا واضحا: نظام متجانس من المعادلات الخطية حل تافه فقط، لو رتبة مصفوفة النظام(في هذه الحالة ، 3) يساوي عدد المتغيرات (في هذه الحالة ، 3 قطع).

نقوم بإحماء جهاز الراديو الخاص بنا وضبطه على موجة من التحولات الأولية:

مثال 2

حل نظامًا متجانسًا من المعادلات الخطية

من المقال كيف تجد مرتبة المصفوفة؟نتذكر الطريقة المنطقية المتمثلة في تقليل أعداد المصفوفة بشكل عرضي. خلاف ذلك ، سوف تضطر إلى تقطيع الأسماك الكبيرة والعضة في كثير من الأحيان. عينة عينةمهمة في نهاية الدرس.

الأصفار جيدة ومريحة ، ولكن من الناحية العملية تكون الحالة أكثر شيوعًا عندما تكون صفوف مصفوفة النظام تعتمد خطيا. ومن ثم فإن ظهور الحل العام أمر لا مفر منه:

مثال 3

حل نظامًا متجانسًا من المعادلات الخطية

حل: نكتب مصفوفة النظام ، وباستخدام التحولات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي. لا يهدف الإجراء الأول إلى الحصول على قيمة واحدة فحسب ، بل يهدف أيضًا إلى تقليل الأرقام في العمود الأول:

(1) تم إضافة الصف الثالث إلى الصف الأول ، مضروبًا في -1. تمت إضافة السطر الثالث إلى السطر الثاني ، مضروبًا في -2. في أعلى اليسار ، حصلت على وحدة بها "ناقص" ، والتي غالبًا ما تكون أكثر ملاءمة لمزيد من التحولات.

(2) أول سطرين متماثلان ، تمت إزالة أحدهما. بصراحة ، لم أعدل القرار - لقد حدث ذلك. إذا قمت بإجراء تحويلات في قالب ، فحينئذٍ الاعتماد الخطي ستظهر الخطوط بعد ذلك بقليل.

(٣) أضف السطر الثاني مضروبًا في ٣ إلى السطر الثالث.

(4) تم تغيير علامة السطر الأول.

نتيجة للتحولات الأولية ، يتم الحصول على نظام مكافئ:

تعمل الخوارزمية تمامًا مثل أنظمة غير متجانسة. المتغيرات "الجلوس على الدرجات" هي المتغيرات الرئيسية ، المتغير الذي لم يحصل على "الخطوات" مجاني.

نعبر عن المتغيرات الأساسية من حيث المتغير الحر:

إجابة: قرار مشترك:

يتم تضمين الحل البسيط في الصيغة العامة ، وليس من الضروري كتابته بشكل منفصل.

يتم إجراء التحقق أيضًا وفقًا للمخطط المعتاد: يجب استبدال الحل العام الناتج في الجانب الأيسر من كل معادلة من النظام والحصول على صفر شرعي لجميع البدائل.

يمكن إنهاء هذا بهدوء ، ولكن غالبًا ما يلزم تمثيل حل نظام متجانس من المعادلات في شكل متجهباستخدام نظام القرار الأساسي. يرجى نسيان مؤقتا الهندسة التحليلية، منذ الآن سنتحدث عن المتجهات بالمعنى الجبري العام ، والذي فتحته قليلاً في مقال حول رتبة المصفوفة. المصطلحات ليست ضرورية للتظليل ، كل شيء بسيط للغاية.

مثال 1 . ابحث عن حل عام وبعض أنظمة الحلول الأساسية للنظام

حلتجد مع آلة حاسبة. خوارزمية الحل هي نفسها لأنظمة الخطية معادلات متجانسة.
بالعمل مع الصفوف فقط ، نجد رتبة المصفوفة ، الثانوية الأساسية ؛ نعلن عن المجهول التابعين والحر ونجد الحل العام.

السطران الأول والثاني متناسبان ، وسيتم حذف أحدهما:

.
المتغيرات التابعة - x 2، x 3، x 5، free - x 1، x 4. من المعادلة الأولى 10x 5 = 0 نجد x 5 = 0 ، إذن
; .
يبدو الحل العام كما يلي:

نجد النظام الأساسي للحلول ، والذي يتكون من حلول (n-r). في حالتنا ، n = 5 ، r = 3 ، لذلك ، النظام الأساسيمن الحلول يتكون من حلين ، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا. لكي تكون الصفوف مستقلة خطيًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصفوف مساوية لعدد الصفوف ، أي 2. يكفي إعطاء المجهول الحر x 1 و x 4 قيم من صفوف المحدد من الدرجة الثانية ، والتي تختلف عن الصفر ، وتحسب x 2 ، x 3 ، x 5. أبسط محدد غير صفري هو.
لذا فإن الحل الأول هو: ، الثاني - .
يشكل هذان القراران نظام القرار الأساسي. لاحظ أن النظام الأساسي ليس فريدًا (المحددات بخلاف الصفر يمكن تكوينها بقدر ما تريد).

مثال 2. ابحث عن الحل العام والنظام الأساسي لحلول النظام
حل.



,
ويترتب على ذلك أن رتبة المصفوفة هي 3 و يساوي الرقممجهول. هذا يعني أن النظام ليس لديه مجاهيل حرة ، وبالتالي لديه القرار الوحيد- تافه.

يمارس . استكشاف وحل نظام المعادلات الخطية.
مثال 4

يمارس . ابحث عن حلول عامة وخاصة لكل نظام.
حل.نكتب المصفوفة الرئيسية للنظام:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
× 1	x2	× 3	x4	x5

نحضر المصفوفة إلى شكل مثلث. سنعمل فقط مع الصفوف ، لأن ضرب صف مصفوفة في رقم غير الصفر وإضافته إلى صف آخر للنظام يعني ضرب المعادلة بنفس الرقم وإضافتها إلى معادلة أخرى ، وهذا لا يغير حل النظام .
اضرب الصف الثاني في (-5). دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

اضرب الصف الثاني ب (6). اضرب الصف الثالث في (-1). دعنا نضيف السطر الثالث إلى السطر الثاني:
أوجد مرتبة المصفوفة.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
× 1	x2	× 3	x4	x5

القاصر المختار لديه أعلى ترتيب (من بين جميع القاصرين المحتملين) وهو ليس صفريًا (يساوي حاصل ضرب العناصر على القطر المقلوب) ، ومن ثم رن (أ) = 2.
هذا القاصر أساسي. وهي تتضمن معاملات للمجهول x 1 ، x 2 ، مما يعني أن المجهول x 1 ، x 2 تابع (أساسي) ، و x 3 ، x 4 ، x 5 مجانية.
نقوم بتحويل المصفوفة ، مع ترك الصغرى الأساسية فقط على اليسار.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
× 1	x2	x4	× 3	x5

النظام مع معاملات هذه المصفوفة يكافئ النظام الأصليويشبه:
22 × 2 = 14 × 4 - × 3 - 24 × 5
6 × 1 + 2 × 2 = - 2 × 4 - 11 × 3 - 6 × 5
بطريقة القضاء على المجهول نجد حل غير تافه:
لقد حصلنا على العلاقات التي تعبر عن المتغيرات التابعة x 1 ، x 2 خلال Free x 3 ، x 4 ، x 5 ، أي أننا وجدنا قرار مشترك:
x2 = 0.64 × 4 - 0.0455 × 3 - 1.09 × 5
× 1 = - 0.55 × 4 - 1.82 × 3 - 0.64 × 5
نجد النظام الأساسي للحلول ، والذي يتكون من حلول (n-r).
في حالتنا ، n = 5 ، r = 2 ، لذلك ، يتكون نظام الحلول الأساسي من 3 حلول ، ويجب أن تكون هذه الحلول مستقلة خطيًا.
لكي تكون الصفوف مستقلة خطيًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة المكونة من عناصر الصفوف مساوية لعدد الصفوف ، أي 3.
يكفي إعطاء قيم المجهول المجانية x 3 ، x 4 ، x 5 من صفوف المحدد من الرتبة الثالثة ، تختلف عن الصفر ، وحساب x 1 ، x 2.
أبسط محدد غير صفري هو مصفوفة الوحدة.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

مهمة . ابحث عن مجموعة أساسية من الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية.

يسمى نظام المعادلات الخطية التي تكون فيها جميع المصطلحات الحرة تساوي الصفر متجانس :

دائمًا ما يكون أي نظام متجانس ثابتًا ، لأنه دائمًا ما يكون كذلك صفر (تافه ) حل. السؤال الذي يطرح نفسه تحت أي ظروف سيكون للنظام المتجانس حل غير تافه.

نظرية 5.2.يحتوي النظام المتجانس على حل غير تافه إذا وفقط إذا كانت مرتبة المصفوفة الأساسية أقل من عدد المجهولات الخاصة بها.

عاقبة. يحتوي النظام المتجانس المربع على حل غير بسيط إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة الرئيسية للنظام لا يساوي الصفر.

مثال 5.6.حدد قيم المعلمة l التي يمتلك النظام حلولاً غير بديهية لها وابحث عن هذه الحلول:

حل. سيكون لهذا النظام حل غير تافه عندما يكون محدد المصفوفة الرئيسية يساوي صفرًا:

وبالتالي ، يكون النظام غير بديهي عندما l = 3 أو l = 2. بالنسبة إلى l = 3 ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 1. ثم ترك معادلة واحدة فقط وافتراض أن ذ=أو ض=ب، نحن نحصل س = ب أ، أي.

بالنسبة إلى l = 2 ، تكون رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام هي 2. ثم اختيار المصفوفة الأساسية:

نحصل على نظام مبسط

من هنا نجد ذلك س = ض/4، ص = ض/ 2. بافتراض ض=4أ، نحن نحصل

مجموعة جميع حلول النظام المتجانس لها أهمية كبيرة خاصية خطية : إذا كانت الأعمدة س 1 و X 2 - حلول النظام المتجانس AX = 0, ثم أي تركيبة خطية منهمأ X 1 + ب X 2 سيكون أيضًا الحل لهذا النظام. في الواقع ، منذ ذلك الحين فأس 1 = 0 و فأس 2 = 0 ، الذي - التي أ(أ X 1 + ب X 2) = أ فأس 1 + ب فأس 2 = a · 0 + b · 0 = 0. بسبب هذه الخاصية ، إذا كان للنظام الخطي أكثر من حل واحد ، فسيكون هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول.

أعمدة مستقلة خطيًا ه 1 , ه 2 , ه ك، وهي حلول نظام متجانس ، يسمى نظام القرار الأساسي نظام متجانس من المعادلات الخطية إذا كان الحل العام لهذا النظام يمكن كتابته كمجموعة خطية من هذه الأعمدة:

إذا كان لدى النظام المتجانس نالمتغيرات ، ورتبة المصفوفة الرئيسية للنظام تساوي ص، الذي - التي ك = ن ص.

مثال 5.7.أوجد النظام الأساسي للحلول لنظام المعادلات الخطية التالي:

حل. ابحث عن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام:

وبالتالي ، فإن مجموعة حلول نظام المعادلات هذا تشكل فضاءً فرعيًا خطيًا من البعد ن - ص= 5 - 2 = 3. نختار كقاصر أساسي

.

بعد ذلك ، مع ترك المعادلات الأساسية فقط (الباقي سيكون مزيجًا خطيًا من هذه المعادلات) والمتغيرات الأساسية (الباقي ، ما يسمى بالمتغيرات الحرة ، ننتقل إلى اليمين) ، نحصل على نظام مبسط من المعادلات:

بافتراض x 3 = أ, x 4 = ب, x 5 = ج، نجد

, .

بافتراض أ= 1, ب = ج= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الأول ؛ افتراض ب= 1, أ = ج= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الثاني ؛ افتراض ج= 1, أ = ب= 0 ، نحصل على الحل الأساسي الثالث. نتيجة لذلك ، يأخذ النظام الأساسي الطبيعي للحلول الشكل

باستخدام النظام الأساسي ، يمكن كتابة الحل العام للنظام المتجانس كـ

X = أ 1 + يكون 2 + cE 3. أ

دعونا نلاحظ بعض خصائص حلول النظام غير المتجانس للمعادلات الخطية AX = بوعلاقتها بنظام المعادلات المتجانس المقابل AX = 0.

الحل العام لنظام غير متجانسيساوي مجموع الحل العام للنظام المتجانس المقابل AX = 0 وحل خاص تعسفي للنظام غير المتجانس. في الواقع ، دعنا ص 0 هو حل تعسفي خاص لنظام غير متجانس ، أي AY 0 = ب، و صهو الحل العام لنظام غير متجانس ، أي AY = ب. نطرح مساواة واحدة من الأخرى ، نحصل عليها
أ(ص ص 0) = 0 ، أي ص ص 0 هو الحل العام للنظام المتجانس المقابل فأس= 0. لذلك، ص ص 0 = X، أو ص = ص 0 + X. Q.E.D.

دع النظام غير المتجانس له الشكل AX = B 1 + ب 2 . ثم يمكن كتابة الحل العام لمثل هذا النظام كـ X = X 1 + X 2 , حيث AX 1 = ب 1 و AX 2 = ب 2. هذه الخاصية تعبر عن الملكية العامة لأي أنظمة خطية(جبري ، تفاضلي ، وظيفي ، إلخ). في الفيزياء ، هذه الخاصية تسمى مبدأ التراكب، في الهندسة الكهربائية والراديو - مبدأ التراكب. على سبيل المثال ، في نظرية الدوائر الكهربائية الخطية ، يمكن الحصول على التيار في أي دائرة على شكل مجموع جبريالتي يسببها كل مصدر طاقة على حدة.

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية (SLAE) هو بلا شك أهم موضوع في مقرر الجبر الخطي. يتم تقليل عدد كبير من المسائل من جميع فروع الرياضيات إلى حل أنظمة المعادلات الخطية. توضح هذه العوامل سبب إنشاء هذه المقالة. يتم تحديد مادة المقالة وتنظيمها بحيث يمكنك مساعدتها

• يلتقط أفضل طريقةحل نظام المعادلات الجبرية الخطية ،
• دراسة نظرية الطريقة المختارة ،
• حل نظام المعادلات الخطية ، بعد النظر بالتفصيل في حلول الأمثلة والمشكلات النموذجية.

وصف موجز لمادة المقال.

أولاً ، نقدم جميع التعريفات والمفاهيم الضرورية ونقدم بعض الرموز.

بعد ذلك ، نأخذ في الاعتبار طرق حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية التي يكون فيها عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة والتي لها حل فريد. أولاً ، دعنا نركز على طريقة كرامر ، وثانيًا ، سنعرض طريقة المصفوفة لحل مثل هذه الأنظمة من المعادلات ، وثالثًا ، سنحلل طريقة غاوس (طريقة الحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة). لتوحيد النظرية ، سنقوم بالتأكيد بحل العديد من SLAEs بطرق مختلفة.

بعد ذلك ننتقل إلى حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية نظرة عامة، حيث لا يتطابق عدد المعادلات مع عدد المتغيرات غير المعروفة أو تتدهور المصفوفة الرئيسية للنظام. نقوم بصياغة نظرية Kronecker-Capelli ، والتي تسمح لنا بإثبات توافق SLAEs. دعونا نحلل حل الأنظمة (في حالة توافقها) باستخدام مفهوم الأساس الثانوي للمصفوفة. سننظر أيضًا في طريقة Gauss وسنصف بالتفصيل حلول الأمثلة.

تأكد من التركيز على بنية الحل العام للأنظمة المتجانسة وغير المتجانسة للمعادلات الجبرية الخطية. دعونا نعطي مفهوم النظام الأساسي للحلول ونبين كيف تتم كتابة الحل العام لـ SLAE باستخدام متجهات النظام الأساسي للحلول. لفهم أفضل ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

في الختام ، نحن نعتبر أنظمة المعادلات التي تختزل إلى المعادلات الخطية ، وكذلك المهام المختلفة، يؤدي حلها إلى ظهور SLAEs.

التنقل في الصفحة.

التعاريف والمفاهيم والتسميات.

سننظر في أنظمة المعادلات الجبرية الخطية مع n متغيرات غير معروفة (قد تكون p مساوية لـ n) من النموذج

متغيرات غير معروفة ، - معاملات (بعض الأرقام الحقيقية أو المركبة) ، - الأعضاء الحرة (أيضًا أرقام حقيقية أو معقدة).

يسمى هذا الشكل من SLAE تنسيق.

في شكل المصفوفةنظام المعادلات هذا له الشكل ،
أين - المصفوفة الرئيسية للنظام ، - عمود المصفوفة للمتغيرات غير المعروفة ، - عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار.

إذا أضفنا إلى المصفوفة A باعتباره العمود (n + 1) عمود المصفوفة للمصطلحات الحرة ، فإننا نحصل على ما يسمى مصفوفة موسعةأنظمة المعادلات الخطية. عادة ، يتم الإشارة إلى المصفوفة المعززة بالحرف T ، ويتم فصل عمود الأعضاء الأحرار بخط رأسي عن بقية الأعمدة ، أي ،

بحل نظام المعادلات الجبرية الخطيةتسمى مجموعة من قيم المتغيرات غير المعروفة ، والتي تحول كل معادلات النظام إلى هويات. تتحول أيضًا معادلة المصفوفة للقيم المعطاة للمتغيرات غير المعروفة إلى هوية.

إذا كان نظام المعادلات يحتوي على حل واحد على الأقل ، فسيتم استدعاؤه مشترك.

إذا لم يكن لنظام المعادلات أي حلول ، فسيتم استدعاؤه غير متوافق.

إذا كان SLAE لديه حل فريد ، فسيتم استدعاؤه تأكيد؛ إذا كان هناك أكثر من حل ، إذن - غير مؤكد.

إذا كانت الشروط المجانية لجميع معادلات النظام تساوي صفرًا ، ثم يسمى النظام متجانس، خلاف ذلك - غير متجانسة.

حل الأنظمة الأولية للمعادلات الجبرية الخطية.

إذا كان عدد معادلات النظام يساوي عدد المتغيرات غير المعروفة وكان محدد المصفوفة الرئيسية لا يساوي الصفر ، فسنسمي هذه SLAEs ابتدائي. أنظمة المعادلات هذه لها حل فريد ، وفي حالة النظام المتجانس ، فإن جميع المتغيرات غير المعروفة تساوي الصفر.

بدأنا في دراسة هذه SLAEs في المدرسة الثانوية. عند حلها ، أخذنا معادلة واحدة ، وعبرنا عن متغير واحد غير معروف من حيث المتغيرات الأخرى واستبدلناها في المعادلات المتبقية ، ثم أخذنا المعادلة التالية ، وعبرنا عن المتغير المجهول التالي واستبدلناه في معادلات أخرى ، وهكذا. أو استخدموا طريقة الجمع ، أي أضافوا معادلتين أو أكثر للتخلص من بعض المتغيرات غير المعروفة. لن نتطرق إلى هذه الأساليب بالتفصيل ، لأنها تعديلات أساسية لطريقة غاوس.

الطرق الرئيسية لحل الأنظمة الأولية للمعادلات الخطية هي طريقة كرامر وطريقة المصفوفة وطريقة غاوس. دعونا نفرزها.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة كرامر.

دعونا نحل نظام المعادلات الجبرية الخطية

حيث يكون عدد المعادلات مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة ويكون محدد المصفوفة الرئيسية للنظام مختلفًا عن الصفر ، أي.

اسمحوا أن يكون محددا للمصفوفة الرئيسية للنظام ، و هي محددات المصفوفات التي تم الحصول عليها من A عن طريق الاستبدال 1 ، 2 ، ... ، نالعمود على التوالي إلى عمود الأعضاء الأحرار:

باستخدام هذا الترميز ، يتم حساب المتغيرات غير المعروفة بواسطة صيغ طريقة كرامر كـ . هذه هي الطريقة التي يتم بها إيجاد حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بطريقة كرامر.

مثال.

طريقة كرامر .

حل.

المصفوفة الرئيسية للنظام لها الشكل . احسب محددها (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة):

نظرًا لأن محدد المصفوفة الرئيسية للنظام غير صفري ، فإن النظام لديه حل فريد يمكن العثور عليه بواسطة طريقة كرامر.

يؤلف ويحسب المحددات الضرورية (يتم الحصول على المحدد عن طريق استبدال العمود الأول في المصفوفة A بعمود من الأعضاء الأحرار ، المحدد - عن طريق استبدال العمود الثاني بعمود من الأعضاء الأحرار - عن طريق استبدال العمود الثالث من المصفوفة A بعمود من الأعضاء الأحرار ):

البحث عن متغيرات غير معروفة باستخدام الصيغ :

إجابة:

العيب الرئيسي لطريقة كرامر (إذا كان من الممكن تسميتها عيبًا) هو تعقيد حساب المحددات عندما يكون عدد معادلات النظام أكثر من ثلاثة.

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة (باستخدام معكوس المصفوفة).

دع نظام المعادلات الجبرية الخطية يُعطى في شكل مصفوفة ، حيث يكون للمصفوفة A بعد n × n ومحددها غير صفري.

بما أن المصفوفة A قابلة للعكس ، أي أن هناك مصفوفة معكوسة. إذا ضربنا كلا جزأي المساواة في جهة اليسار ، فسنحصل على صيغة لإيجاد مصفوفة العمود لمتغيرات غير معروفة. إذن ، حصلنا على حل نظام المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة المصفوفة.

حل.

دعنا نعيد كتابة نظام المعادلات في شكل مصفوفة:

لأن

ثم يمكن حل SLAE بطريقة المصفوفة. باستخدام مصفوفة معكوسةيمكن العثور على حل هذا النظام على النحو التالي .

لنقم ببناء مصفوفة معكوسة باستخدام مصفوفة مكملة جبرية لعناصر المصفوفة أ (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة):

يبقى حساب - مصفوفة متغيرات غير معروفة بضرب معكوس المصفوفة في عمود المصفوفة للأعضاء الأحرار (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة):

إجابة:

أو في طريقة أخرى x 1 = 4 ، x 2 = 0 ، x 3 = -1.

تكمن المشكلة الرئيسية في إيجاد حل لأنظمة المعادلات الجبرية الخطية بطريقة المصفوفة في تعقيد إيجاد المصفوفة العكسية ، خاصة بالنسبة إلى المصفوفات المربعةترتيب أعلى من الثالث.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة جاوس.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل لنظام من المعادلات الخطية n ذات المتغيرات غير المعروفة n
محدد المصفوفة الرئيسية يختلف عن الصفر.

جوهر طريقة غاوسيتكون من الاستبعاد المتتالي للمتغيرات غير المعروفة: أولاً ، يتم استبعاد x 1 من جميع معادلات النظام ، بدءًا من الثانية ، ثم يتم استبعاد x 2 من جميع المعادلات ، بدءًا من الثالث ، وهكذا ، حتى المتغير المجهول فقط تبقى x n في المعادلة الأخيرة. تسمى هذه العملية لتحويل معادلات النظام للحذف المتتالي للمتغيرات غير المعروفة طريقة جاوس المباشرة. بعد الانتهاء من التشغيل الأمامي لطريقة Gaussian ، يتم العثور على x n من المعادلة الأخيرة ، ويتم حساب x n-1 من المعادلة قبل الأخيرة باستخدام هذه القيمة ، وهكذا ، تم العثور على x 1 من المعادلة الأولى. تسمى عملية حساب المتغيرات غير المعروفة عند الانتقال من المعادلة الأخيرة للنظام إلى الأولى طريقة غاوس العكسي.

دعونا نصف بإيجاز الخوارزمية للتخلص من المتغيرات غير المعروفة.

سنفترض ذلك ، حيث يمكننا دائمًا تحقيق ذلك من خلال إعادة ترتيب معادلات النظام. نستبعد المتغير المجهول x 1 من جميع معادلات النظام ، بدءًا من المتغير الثاني. للقيام بذلك ، أضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثانية للنظام ، وأضف المعادلة الأولى مضروبة في المعادلة الثالثة ، وهكذا ، أضف أول مضروب في المعادلة رقم n. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا .

سنصل إلى نفس النتيجة إذا عبرنا عن x 1 من حيث المتغيرات الأخرى غير المعروفة في المعادلة الأولى للنظام واستبدلنا التعبير الناتج في جميع المعادلات الأخرى. وبالتالي ، يتم استبعاد المتغير x 1 من جميع المعادلات ، بدءًا من الثانية.

بعد ذلك ، نتصرف بشكل مشابه ، ولكن فقط مع جزء من النظام الناتج ، والذي تم تمييزه في الشكل

للقيام بذلك ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة الثالثة للنظام ، وأضف الثاني مضروبًا في المعادلة الرابعة ، وهكذا ، أضف الثاني مضروبًا في المعادلة رقم n. نظام المعادلات بعد هذه التحولات سيأخذ الشكل

اين ا . وبالتالي ، يتم استبعاد المتغير x 2 من جميع المعادلات ، بدءًا من المتغير الثالث.

بعد ذلك ، ننتقل إلى إزالة المجهول x 3 ، بينما نتصرف بالمثل مع جزء النظام المميز في الشكل

لذلك نواصل المسار المباشر لطريقة غاوس حتى يأخذ النظام الشكل

من هذه اللحظة ، نبدأ المسار العكسي لطريقة غاوس: نحسب x n من المعادلة الأخيرة ، باستخدام القيمة التي تم الحصول عليها x n نجد x n-1 من المعادلة قبل الأخيرة ، وهكذا ، نجد x 1 من الأولى معادلة.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية طريقة جاوس.

حل.

دعنا نستبعد المتغير المجهول x 1 من المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. للقيام بذلك ، إلى كلا الجزأين من المعادلتين الثانية والثالثة ، نضيف الأجزاء المقابلة من المعادلة الأولى ، مضروبة في وفي ، على التوالي:

الآن نستبعد x 2 من المعادلة الثالثة بإضافة الجزأين الأيسر والأيمن من المعادلة الثانية ، مضروبًا في:

في هذا ، اكتمل المسار الأمامي لطريقة غاوس ، نبدأ المسار العكسي.

من المعادلة الأخيرة لنظام المعادلات الناتج ، نجد x 3:

من المعادلة الثانية نحصل عليها.

من المعادلة الأولى نجد المتغير المجهول المتبقي وهذا يكمل المسار العكسي لطريقة غاوس.

إجابة:

X 1 \ u003d 4 ، × 2 \ u003d 0 ، × 3 \ u003d -1.

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.

في الحالة العامة ، لا يتطابق عدد معادلات النظام p مع عدد المتغيرات غير المعروفة n:

قد لا يكون لمثل هذه SLAE حلول ، أو لديها حل واحد ، أو لديها عدد لا نهائي من الحلول. ينطبق هذا البيان أيضًا على أنظمة المعادلات التي تكون مصفوفتها الرئيسية مربعة ومنحطة.

نظرية كرونيكر كابيلي.

قبل إيجاد حل لنظام المعادلات الخطية ، من الضروري إثبات توافقه. الإجابة على السؤال عندما يكون SLAE متوافقًا ، وعندما يكون غير متوافق ، يعطي نظرية كرونيكر كابيلي:
لكي يكون نظام المعادلات p مع n مجهولة (يمكن أن تكون p مساوية لـ n) لكي يكون متسقًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة ، أي الرتبة ( أ) = الرتبة (T).

دعونا ننظر في تطبيق نظرية Kronecker-Cappelli لتحديد مدى توافق نظام المعادلات الخطية كمثال.

مثال.

اكتشف ما إذا كان نظام المعادلات الخطية يحتوي على حلول.

حل.

. دعونا نستخدم طريقة تجاور القاصرين. الصغرى من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر. دعنا ننتقل إلى القاصرين من الدرجة الثالثة المحيطين به:

نظرًا لأن كل الحدود الثانوية من الدرجة الثالثة تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية هي اثنان.

بدوره ، رتبة المصفوفة المعززة يساوي ثلاثة ، لأن القاصر من الدرجة الثالثة

يختلف عن الصفر.

هكذا، لذلك ، وفقًا لـ Rang (A) ، وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli ، يمكننا أن نستنتج أن النظام الأصلي للمعادلات الخطية غير متسق.

إجابة:

لا يوجد نظام حل.

لذلك ، تعلمنا إثبات عدم تناسق النظام باستخدام نظرية Kronecker-Capelli.

ولكن كيف تجد حل SLAE إذا تم إثبات توافقه؟

للقيام بذلك ، نحتاج إلى مفهوم الأساس الصغير للمصفوفة والنظرية في رتبة المصفوفة.

يسمى أعلى رتبة ثانوية في المصفوفة A ، بخلاف الصفر أساسي.

يترتب على تعريف الأساس الثانوي أن ترتيبها يساوي رتبة المصفوفة. بالنسبة للمصفوفة غير الصفرية A ، يمكن أن يكون هناك العديد من القاصرين الأساسيين ؛ هناك دائمًا قاصر أساسي واحد.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المصفوفة .

جميع العناصر الثانوية من الرتبة الثالثة في هذه المصفوفة تساوي صفرًا ، نظرًا لأن عناصر الصف الثالث من هذه المصفوفة هي مجموع العناصر المقابلة للصفين الأول والثاني.

القاصرون التاليون من الرتبة الثانية أساسيون ، لأنهم ليسوا صفريًا

القصر ليست أساسية ، لأنها تساوي الصفر.

نظرية رتبة المصفوفة.

إذا كانت رتبة مصفوفة من الرتبة p في n هي r ، فإن جميع عناصر الصفوف (والأعمدة) في المصفوفة التي لا تشكل الأساس المختار الثانوي يتم التعبير عنها خطيًا من حيث العناصر المقابلة للصفوف (والأعمدة ) التي تشكل أساس القاصر.

ماذا تعطينا نظرية رتبة المصفوفة؟

إذا قمنا ، من خلال نظرية Kronecker-Capelli ، بتأسيس توافق النظام ، فسنختار أي ثانوي أساسي من المصفوفة الرئيسية للنظام (ترتيبها يساوي r) ، واستبعد من النظام جميع المعادلات التي لا تفعل ذلك. تشكيل القاصر الأساسي المختار. ستكون SLAE التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة معادلة للمعادلة الأصلية ، نظرًا لأن المعادلات المهملة لا تزال زائدة عن الحاجة (وفقًا لنظرية رتبة المصفوفة ، فهي عبارة عن مجموعة خطية من المعادلات المتبقية).

نتيجة لذلك ، بعد التخلص من المعادلات المفرطة للنظام ، هناك حالتان ممكنتان.

إذا كان عدد المعادلات r في النظام الناتج مساويًا لعدد المتغيرات غير المعروفة ، فسيكون ذلك محددًا ويمكن إيجاد الحل الوحيد بطريقة Cramer أو طريقة المصفوفة أو طريقة Gauss.

مثال.

.

حل.

رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام يساوي اثنين ، لأن القاصر من الدرجة الثانية يختلف عن الصفر. تمديد رتبة المصفوفة يساوي أيضًا اثنين ، لأن الصغرى الوحيدة من الرتبة الثالثة تساوي صفرًا

والصغرى من الدرجة الثانية المذكورة أعلاه تختلف عن الصفر. استنادًا إلى نظرية Kronecker-Capelli ، يمكن للمرء أن يؤكد توافق النظام الأصلي للمعادلات الخطية ، منذ الرتبة (A) = الرتبة (T) = 2.

كأساس ثانوي ، نأخذ . يتكون من معاملات المعادلتين الأولى والثانية:


لا تشارك المعادلة الثالثة للنظام في تكوين الصغرى الأساسية ، لذلك نستبعدها من النظام بناءً على نظرية رتبة المصفوفة:


وهكذا حصلنا على نظام أولي من المعادلات الجبرية الخطية. لنحلها بطريقة كرامر:


إجابة:

× 1 \ u003d 1 ، × 2 \ u003d 2.

إذا كان عدد المعادلات r في SLAE الناتج أقل من عدد المتغيرات غير المعروفة n ، فإننا نترك المصطلحات التي تشكل الأساسي الثانوي في الأجزاء اليسرى من المعادلات ، وننقل المصطلحات المتبقية إلى الأجزاء اليمنى من المعادلات للنظام مع الإشارة المعاكسة.

المتغيرات غير المعروفة (هناك r منها) المتبقية على الجانب الأيسر من المعادلات تسمى رئيسي.

يتم استدعاء المتغيرات غير المعروفة (هناك n - r) التي انتهى بها الأمر على الجانب الأيمن حر.

الآن نفترض أن المتغيرات المجانية غير المعروفة يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية ، في حين سيتم التعبير عن المتغيرات غير المعروفة الرئيسية من حيث المتغيرات غير المعروفة بطريقة فريدة. يمكن العثور على تعبيرهم عن طريق حل SLAE الناتج عن طريق طريقة Cramer أو طريقة المصفوفة أو طريقة Gauss.

لنأخذ مثالا.

مثال.

حل نظام المعادلات الجبرية الخطية .

حل.

ابحث عن رتبة المصفوفة الرئيسية للنظام بطريقة القاصرين المجاورة. لنأخذ 1 1 = 1 على أنه قاصر غير صفري من الدرجة الأولى. لنبدأ البحث عن قاصر غير صفري من الدرجة الثانية يحيط بهذا القاصر:


إذن وجدنا صغرى ليست صفرية من الرتبة الثانية. لنبدأ البحث عن قاصر حدودي غير صفري من الدرجة الثالثة:


وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة الرئيسية هي ثلاثة. رتبة المصفوفة المعززة تساوي أيضًا ثلاثة ، أي أن النظام ثابت.

سيتم اعتبار الترتيب الصغرى غير الصفري من الترتيب الثالث على أنه الترتيب الأساسي.

من أجل الوضوح ، نعرض العناصر التي تشكل الأساس الثانوي:


نترك المصطلحات المشاركة في الثانوية الأساسية على الجانب الأيسر من معادلات النظام ، وننقل الباقي بإشارات معاكسة إلى الجانب الأيمن:


نعطي المتغيرات غير المعروفة المجانية x 2 و x 5 قيمًا عشوائية ، أي أننا نأخذها ، أين الأرقام التعسفية. في هذه الحالة ، يأخذ SLAE النموذج


نحل النظام الأولي الذي تم الحصول عليه من المعادلات الجبرية الخطية بطريقة كرامر:


لذلك، .

في الإجابة ، لا تنس الإشارة إلى المتغيرات المجانية غير المعروفة.

إجابة:

أين الأرقام التعسفية.

لخص.

لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام ، نكتشف أولاً توافقها باستخدام نظرية Kronecker-Capelli. إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية لا تساوي مرتبة المصفوفة الممتدة ، فإننا نستنتج أن النظام غير متسق.

إذا كانت رتبة المصفوفة الرئيسية مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة ، فإننا نختار الثانوية الأساسية ونتجاهل معادلات النظام التي لا تشارك في تشكيل القاصر الأساسي المختار.

إذا كان ترتيب الأساس الثانوي يساوي عدد المتغيرات غير المعروفة ، فإن SLAE لديه حل فريد يمكن العثور عليه بأي طريقة معروفة لنا.

إذا كان ترتيب الأساس الثانوي أقل من عدد المتغيرات غير المعروفة ، فإننا نترك المصطلحات مع المتغيرات الرئيسية غير المعروفة على الجانب الأيسر من معادلات النظام ، وننقل المصطلحات المتبقية إلى الأطراف اليمنى ونخصص قيمًا عشوائية إلى المتغيرات المجانية غير المعروفة. من نظام المعادلات الخطية الناتج ، نجد المجهول الرئيسي متغيرات الطريقةكريمر ، طريقة المصفوفة أو طريقة غاوس.

طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.

باستخدام طريقة Gauss ، يمكن للمرء حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية من أي نوع دون التحقيق الأولي من أجل التوافق. تتيح عملية الإزالة المتتالية للمتغيرات غير المعروفة استخلاص استنتاج حول كل من توافق وتضارب SLAE ، وإذا كان هناك حل ، فإنه يجعل من الممكن العثور عليه.

من وجهة نظر العمل الحسابي ، يفضل الأسلوب Gaussian.

شاهد هذه وصف مفصلوتم تحليل الأمثلة في مقالة طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات الشكل العام.

تسجيل الحل العام للأنظمة الجبرية الخطية المتجانسة وغير المتجانسة باستخدام متجهات النظام الأساسي للحلول.

في هذا القسم نحن سوف نتكلمحول أنظمة مشتركة متجانسة وغير متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية مع عدد لا حصر له من الحلول.

دعونا نتعامل مع الأنظمة المتجانسة أولاً.

نظام القرار الأساسيالنظام المتجانس من المعادلات الجبرية الخطية مع n المتغيرات غير المعروفة عبارة عن مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا (n - r) لهذا النظام ، حيث r هو ترتيب الأساس الثانوي للمصفوفة الرئيسية للنظام.

إذا أشرنا إلى حلول مستقلة خطيًا متجانس SLAEمثل X (1) ، X (2) ، ... ، X (n-r) (X (1) ، X (2) ، ... ، X (n-r) هي n بواسطة مصفوفات عمود واحد) ، ثم الحل العام لهذا النظام المتجانس يتم تمثيله كمجموعة خطية من نواقل النظام الأساسي للحلول ذات المعاملات الثابتة التعسفية С 1 ، С 2 ، ... ، С (n-r) ، أي.

ماذا يعني مصطلح الحل العام لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية (oroslau)؟

المعنى بسيط: الصيغة تحدد كل شيء الحلول الممكنةوبعبارة أخرى ، فإن SLAE الأصلي ، مع أخذ أي مجموعة من قيم الثوابت التعسفية С 1 ، С 2 ، ... ، С (n-r) ، وفقًا للصيغة نحصل على أحد حلول SLAE المتجانسة الأصلية.

وبالتالي ، إذا وجدنا نظامًا أساسيًا للحلول ، فيمكننا تعيين جميع حلول SLAE المتجانسة مثل.

دعونا نظهر عملية بناء نظام أساسي من الحلول لـ SLAE متجانس.

نختار الأساسي الثانوي للنظام الأصلي للمعادلات الخطية ، ونستبعد جميع المعادلات الأخرى من النظام ، وننقل إلى الجانب الأيمن من معادلات النظام بعلامات معاكسة جميع المصطلحات التي تحتوي على متغيرات مجانية غير معروفة. دعونا نعطي المتغيرات المجانية غير المعروفة القيم 1،0،0 ، ... ، 0 ونحسب المجهول الرئيسي عن طريق حل النظام الأولي الناتج من المعادلات الخطية بأي طريقة ، على سبيل المثال ، بطريقة كرامر. وبالتالي ، سيتم الحصول على X (1) - الحل الأول للنظام الأساسي. إذا أعطينا القيم المجهولة المجانية 0،1،0،0 ،… ، 0 وحساب المجهول الرئيسي ، نحصل على X (2). وما إلى ذلك وهلم جرا. إذا أعطينا المتغيرات المجانية المجهولة القيم 0،0،…، 0،1 وحساب المجهول الرئيسي ، نحصل على X (n-r). هذه هي الطريقة التي سيتم بها بناء النظام الأساسي للحلول لـ SLAE المتجانس ويمكن كتابة الحل العام في النموذج.

بالنسبة للأنظمة غير المتجانسة من المعادلات الجبرية الخطية ، يتم تمثيل الحل العام كـ

لنلق نظرة على الأمثلة.

مثال.

أوجد النظام الأساسي للحلول والحل العام لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية .

حل.

إن رتبة المصفوفة الرئيسية للأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية تساوي دائمًا رتبة المصفوفة الممتدة. دعونا نجد رتبة المصفوفة الرئيسية بطريقة التهديب للقصر. كقاصر غير صفري من الدرجة الأولى ، نأخذ العنصر 1 1 = 9 من المصفوفة الرئيسية للنظام. أوجد الحد الصغير غير الصفري من الدرجة الثانية:

تم العثور على ثانوية من الدرجة الثانية ، تختلف عن الصفر. دعنا ننتقل إلى القاصرين من الدرجة الثالثة التي تحدها بحثًا عن واحد غير صفري:

جميع القاصرات الحدودية من الرتبة الثالثة تساوي صفرًا ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة الرئيسية والممتدة هي اثنان. لنأخذ القاصر الأساسي. من أجل الوضوح ، نلاحظ عناصر النظام التي يتكون منها:

لا تشارك المعادلة الثالثة لـ SLAE الأصلية في تكوين القاصر الأساسي ، لذلك يمكن استبعادها:

نترك المصطلحات التي تحتوي على المجهول الرئيسي على الجانب الأيمن من المعادلات ، وننقل المصطلحات ذات المجهول الحر إلى الجانب الأيمن:

دعونا نبني نظامًا أساسيًا من الحلول للنظام المتجانس الأصلي للمعادلات الخطية. يتكون النظام الأساسي للحلول الخاصة بـ SLAE من حلين ، نظرًا لأن SLAE الأصلي يحتوي على أربعة متغيرات غير معروفة ، وترتيب ثانوي أساسي هو اثنين. للعثور على X (1) ، نعطي المتغيرات المجانية غير المعروفة القيم x 2 \ u003d 1 ، x 4 \ u003d 0 ، ثم نجد المجهول الرئيسي من نظام المعادلات
.

نظم المعادلات الخطية المتجانسة- له الصيغة ∑a k i x i = 0. حيث m> n أو m يكون النظام المتجانس للمعادلات الخطية ثابتًا دائمًا ، حيث إن RangeA = rangB. من المؤكد أنه يحتوي على حل يتكون من الأصفار ، وهو ما يسمى تافه.

مهمة الخدمة. تم تصميم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت لإيجاد حل أساسي وغير تافه لـ SLAE. يتم حفظ الحل الناتج في ملف Word (انظر مثال الحل).

تعليمات. حدد أبعاد المصفوفة:

عدد المتغيرات: 2 3 4 5 6 7 8 و عدد الأسطر 2 3 4 5 6

خصائص أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة

من أجل أن يكون لدى النظام حلول غير تافهة، من الضروري والكافي أن تكون مرتبة المصفوفة أقل من عدد المجهولين.

نظرية. النظام في الحالة m = n له حل غير بسيط إذا وفقط إذا كان محدد هذا النظام يساوي صفرًا.

نظرية. أي مجموعة خطية من الحلول لنظام ما هي أيضًا حل لهذا النظام.
تعريف. تسمى مجموعة الحلول لنظام المعادلات الخطية المتجانسة نظام القرار الأساسيإذا كانت هذه المجموعة تتكون من حلول مستقلة خطيًا وكان أي حل للنظام عبارة عن مزيج خطي من هذه الحلول.

نظرية. إذا كانت رتبة r لمصفوفة النظام أقل من عدد n من المجهول ، فهناك نظام أساسي للحلول يتكون من (n-r) الحلول.

خوارزمية لحل أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة

1. أوجد مرتبة المصفوفة.
2. نختار الأساسي الثانوي. نختار غير معروف (أساسي) ومجاني.
3. نقوم بشطب معادلات النظام التي لم يتم تضمين معاملاتها في الأساس الثانوي ، لأنها نتائج الباقية (وفقًا للنظرية الثانوية الأساسية).
4. سيتم نقل شروط المعادلات التي تحتوي على مجاهيل مجانية إلى الجانب الأيمن. نتيجة لذلك ، نحصل على نظام من المعادلات r مع r مجهولة ، أي ما يعادل المعطى ، والذي يختلف محدده عن الصفر.
5. نقوم بحل النظام الناتج عن طريق القضاء على المجهول. نجد العلاقات التي تعبر عن المتغيرات التابعة من حيث المتغيرات الحرة.
6. إذا كانت رتبة المصفوفة لا تساوي عدد المتغيرات ، فسنجد الحل الأساسي للنظام.
7. في حالة النطاق = n ، لدينا حل بسيط.

مثال. أوجد أساس نظام المتجهات (أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ م) ، رتب المتجهات وعبّر عنها من حيث القاعدة. إذا كان 1 = (0،0،1 ، -1) و 2 = (1،1،2،0) و 3 = (1،1،1،1) و 4 = (3،2،1 ، 4) و 5 = (2،1،0،3).
نكتب المصفوفة الرئيسية للنظام:

اضرب الصف الثالث في (-3). دعنا نضيف السطر الرابع إلى السطر الثالث:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

اضرب الصف الرابع ب (-2). اضرب الصف الخامس ب (3). دعنا نضيف السطر الخامس إلى السطر الرابع:
دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:
أوجد مرتبة المصفوفة.
النظام الذي يحتوي على معاملات هذه المصفوفة يكافئ النظام الأصلي وله الشكل:
- × 3 = - × 4
- × 2 - 2 × 3 = - × 4
2 × 1 + س 2 = - 3 × 4
بطريقة إزالة المجهول نجد حلاً غير تافه:
لقد حصلنا على علاقات تعبر عن المتغيرات التابعة x 1 ، x 2 ، x 3 حتى x 4 ، أي أننا وجدنا حلًا عامًا:
س 3 = س 4
س 2 = - س 4
س 1 = - س 4