المعادلات الخطية: الصيغ والأمثلة. عدم المساواة وحلها. المعادلات الخطية. الدليل الكامل (2019)

نظام المعادلات الخطية هو اتحاد من المعادلات الخطية n ، كل منها يحتوي على متغيرات k. إنه مكتوب على هذا النحو:

يعتقد الكثيرون ، عند مواجهة الجبر العالي لأول مرة ، خطأً أن عدد المعادلات يجب أن يتطابق بالضرورة مع عدد المتغيرات. هذا هو الحال عادة في الجبر المدرسي ، ولكن بالنسبة للجبر العالي ، فهذا ليس صحيحًا بشكل عام.

حل نظام المعادلات هو سلسلة من الأرقام (ك 1 ، ك 2 ، ... ، ك ن) ، وهو الحل لكل معادلة في النظام ، أي عند الاستبدال في هذه المعادلة بدلاً من المتغيرات x 1 ، x 2 ، ... ، x n تعطي المساواة العددية الصحيحة.

وفقًا لذلك ، يعني حل نظام المعادلات إيجاد مجموعة جميع حلولها أو إثبات أن هذه المجموعة فارغة. نظرًا لأن عدد المعادلات وعدد المجهول قد لا يكونان متماثلين ، فهناك ثلاث حالات ممكنة:

1. النظام غير متسق ، أي مجموعة كل الحلول فارغة. حالة نادرة إلى حد ما يمكن اكتشافها بسهولة بغض النظر عن طريقة حل النظام.
2. النظام متسق ومحدد ، أي لديه حل واحد بالضبط. البديل الكلاسيكي، معروف منذ مقاعد المدرسة.
3. النظام متسق وغير محدد ، أي عدد لا نهائي من الحلول. هذا هو الخيار الأصعب. لا يكفي القول بأن "النظام لديه مجموعة لا نهائية من الحلول" - من الضروري وصف كيفية ترتيب هذه المجموعة.

يسمى المتغير x i مسموح به إذا تم تضمينه في معادلة واحدة فقط من النظام ، ومع معامل 1. وبعبارة أخرى ، في المعادلات المتبقية ، يجب أن يكون معامل المتغير x i مساويًا للصفر.

إذا حددنا متغيرًا واحدًا مسموحًا به في كل معادلة ، فسنحصل على مجموعة من المتغيرات المسموح بها لنظام المعادلات بأكمله. سيتم أيضًا تسمية النظام نفسه ، المكتوب بهذا النموذج ، بالسماح. بشكل عام ، يمكن اختزال نفس النظام الأولي إلى أنظمة مختلفة مسموح بها ، لكن هذا لا يهمنا الآن. فيما يلي أمثلة على الأنظمة المسموح بها:

كلا النظامين مسموح بهما فيما يتعلق بالمتغيرات x 1 و x 3 و x 4. ومع ذلك ، مع نفس النجاح ، يمكن القول بأن النظام الثاني مسموح به فيما يتعلق بـ x 1 و x 3 و x 5. يكفي إعادة كتابة آخر معادلة بالصيغة x 5 = x 4.

فكر الآن في حالة أكثر عمومية. لنفترض أن لدينا متغيرات k في المجموع ، يُسمح لـ r. ثم هناك حالتان ممكنتان:

1. عدد المتغيرات المسموح بها r يساوي إجمالي عدد المتغيرات k: r = k. نحصل على نظام من معادلات k حيث r = k المتغيرات المسموح بها. مثل هذا النظام هو تعاوني ومحدد ، لأنه س 1 \ u003d ب 1 ، س 2 \ u003d ب 2 ، ... ، س ك \ u003d ب ك ؛
2. عدد المتغيرات المسموح بها r أقل من الرقم الإجماليالمتغيرات k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

لذلك ، في الأنظمة المذكورة أعلاه ، تكون المتغيرات x 2 و x 5 و x 6 (للنظام الأول) و x 2 و x 5 (بالنسبة للنظام الثاني) مجانية. الحالة عندما تكون هناك متغيرات حرة يتم صياغتها بشكل أفضل كنظرية:

يرجى ملاحظة: هذا جدا نقطة مهمة! اعتمادًا على كيفية كتابة النظام النهائي ، يمكن أن يكون نفس المتغير مسموحًا به ومجانيًا. يوصي معظم مدرسي الرياضيات المتقدمين بكتابة المتغيرات بترتيب معجمي ، أي مؤشر تصاعدي. ومع ذلك ، لا يتعين عليك اتباع هذه النصيحة على الإطلاق.

نظرية. إذا كانت المتغيرات x 1 ، x 2 ، ... ، x r مسموح بها في نظام معادلات n ، و x r + 1 ، x r + 2 ، ... ، x k مجانية ، إذن:

1. إذا قمنا بتعيين قيم المتغيرات الحرة (x r + 1 = t r + 1، x r + 2 = t r + 2، ...، x k = t k) ، ثم أوجد القيم x 1، x 2،. .. ، س ص ، نحصل على أحد الحلول.
2. إذا كانت قيم المتغيرات المجانية في حلين هي نفسها ، فإن قيم المتغيرات المسموح بها هي نفسها أيضًا ، أي الحلول متساوية.

ما معنى هذه النظرية؟ للحصول على جميع حلول نظام المعادلات المسموح به ، يكفي تحديد المتغيرات الحرة. ثم التخصيص للمتغيرات الحرة معان مختلفة، سوف نتلقى حلول متكاملة. هذا كل شيء - بهذه الطريقة يمكنك الحصول على جميع حلول النظام. لا توجد حلول أخرى.

الخلاصة: نظام المعادلات المسموح به ثابت دائمًا. إذا كان عدد المعادلات في النظام المسموح به يساوي عدد المتغيرات ، فسيكون النظام محددًا ؛ وإذا كان أقل ، فسيكون غير محدد.

وسيكون كل شيء على ما يرام ، ولكن السؤال الذي يطرح نفسه: كيف من النظام الأصليتحل المعادلات؟ لهذا هناك

• المساواة مع المتغير تسمى معادلة.
• حل المعادلة يعني إيجاد مجموعة جذورها. يمكن أن تحتوي المعادلة على جذور واحدة أو اثنتين أو عدة جذور أو لا شيء على الإطلاق.
• تسمى كل قيمة للمتغير الذي تتحول فيه المعادلة المعطاة إلى مساواة حقيقية بجذر المعادلة.
• تسمى المعادلات التي لها نفس الجذور بالمعادلات المتكافئة.
• يمكن نقل أي مصطلح في المعادلة من جزء من المساواة إلى جزء آخر ، مع تغيير علامة المصطلح إلى العكس.
• إذا تم ضرب طرفي المعادلة أو تقسيمهما على نفس الرقم غير الصفري ، فسيتم الحصول على معادلة تعادل هذه المعادلة.

أمثلة. حل المعادلة.

1. 1.5x + 4 = 0.3x-2.

1.5x-0.3x = -2-4. جمعنا المصطلحات التي تحتوي على المتغير على الجانب الأيسر من المساواة ، والأعضاء الأحرار على الجانب الأيمن من المساواة. تم استخدام الخاصية التالية:

1.2 س = -6. أحضرنا شروطًا متشابهة وفقًا للقاعدة:

س = -6 : 1.2 تم تقسيم كلا الجزأين من المساواة على معامل المتغير ، منذ ذلك الحين

س = -5. مقسومًا على قاعدة قسمة الكسر العشري على عدد عشري:

لقسمة رقم على رقم عشري ، تحتاج إلى تحريك الفواصل في المقسوم والمقسوم على عدد من الأرقام إلى اليمين كما هي بعد الفاصلة العشرية في المقسوم عليه ، ثم القسمة على رقم طبيعي:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

إجابة: 5.

2. 3∙ (2 × 9) = 4 ∙ (x-4).

6 س -27 = 4 س -16. لقد فتحنا الأقواس باستخدام قانون توزيع الضرب فيما يتعلق بالطرح: (أ-ب) ∙ ج = أ ∙ ج-ب ∙ ج.

6 س-4x = -16 + 27. جمعنا المصطلحات التي تحتوي على المتغير على الجانب الأيسر من المساواة ، والأعضاء الأحرار على الجانب الأيمن من المساواة. تم استخدام الخاصية التالية: يمكن نقل أي مصطلح في المعادلة من جزء من المساواة إلى جزء آخر ، مع تغيير علامة المصطلح إلى العكس.

2x \ u003d 11. لقد جلبوا شروطًا مماثلة وفقًا للقاعدة: لإحضار مصطلحات متشابهة ، تحتاج إلى إضافة معاملاتهم وضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك (أي إضافة جزء الحرف المشترك إلى النتيجة).

س = 11 : 2. تم تقسيم جزأي المساواة على معامل المتغير منذ ذلك الحين إذا تم ضرب جزئي المعادلة أو تقسيمهما على نفس الرقم غير الصفري ، فسيتم الحصول على معادلة تعادل هذه المعادلة.

إجابة: 5,5.

3. 7 س- (3 + 2 س) = س -9.

7x-3-2x = x-9. فتحنا الأقواس وفقًا لقاعدة فتح الأقواس ، مسبوقة بعلامة "-": إذا كانت هناك علامة "-" أمام الأقواس ، فإننا نزيل الأقواس ، وعلامة "-" ونكتب المصطلحات بين قوسين بإشارات متقابلة.

7x-2x-x \ u003d -9 + 3. جمعنا المصطلحات التي تحتوي على المتغير على الجانب الأيسر من المساواة ، والأعضاء الأحرار على الجانب الأيمن من المساواة. تم استخدام الخاصية التالية: يمكن نقل أي مصطلح في المعادلة من جزء من المساواة إلى جزء آخر ، مع تغيير علامة المصطلح إلى العكس.

4x = -6. أحضرنا شروطًا متشابهة وفقًا للقاعدة: لإحضار مصطلحات متشابهة ، تحتاج إلى إضافة معاملاتهم وضرب النتيجة في جزء الحرف المشترك (أي إضافة جزء الحرف المشترك إلى النتيجة).

س = -6 : 4. تم تقسيم جزأي المساواة على معامل المتغير منذ ذلك الحين إذا تم ضرب جزئي المعادلة أو تقسيمهما على نفس الرقم غير الصفري ، فسيتم الحصول على معادلة تعادل هذه المعادلة.

إجابة: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2 × 11). اضرب طرفي المعادلة في 12 - الأصغر القاسم المشتركلمقام هذه الكسور.

3 س -15 = 84-8 س + 44. لقد فتحنا الأقواس باستخدام قانون توزيع الضرب فيما يتعلق بالطرح: من أجل ضرب الفرق بين رقمين في الرقم الثالث ، يمكنك ضرب الرقم المختزل بشكل منفصل وطرحه بشكل منفصل في الرقم الثالث ، ثم طرح النتيجة الثانية من النتيجة الأولى ، أي(أ-ب) ∙ ج = أ ∙ ج-ب ∙ ج.

3 س + 8 س = 84 + 44 + 15. جمعنا المصطلحات التي تحتوي على المتغير على الجانب الأيسر من المساواة ، والأعضاء الأحرار على الجانب الأيمن من المساواة. تم استخدام الخاصية التالية: يمكن نقل أي مصطلح في المعادلة من جزء من المساواة إلى جزء آخر ، مع تغيير علامة المصطلح إلى العكس.

في هذا الفيديو ، سنحلل مجموعة كاملة من المعادلات الخطية التي تم حلها باستخدام نفس الخوارزمية - ولهذا السبب يطلق عليها الأبسط.

بادئ ذي بدء ، دعنا نحدد: ما هي المعادلة الخطية وأي منها يجب أن يسمى الأبسط؟

المعادلة الخطية هي المعادلة التي يوجد فيها متغير واحد فقط ، وفي الدرجة الأولى فقط.

أبسط معادلة تعني البناء:

يتم تقليل جميع المعادلات الخطية الأخرى إلى أبسط المعادلات باستخدام الخوارزمية:

1. الأقواس المفتوحة ، إن وجدت ؛
2. انقل المصطلحات التي تحتوي على متغير إلى جانب واحد من علامة التساوي ، والمصطلحات التي لا تحتوي على متغير إلى الجانب الآخر ؛
3. أحضر الشروط المتشابهة إلى يسار ويمين علامة التساوي ؛
4. اقسم المعادلة الناتجة على معامل المتغير $ x $.

بالطبع ، هذه الخوارزمية لا تساعد دائمًا. الحقيقة هي أنه في بعض الأحيان ، بعد كل هذه المكائد ، يتضح أن معامل المتغير $ x $ يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، هناك خياران ممكنان:

1. المعادلة ليس لها حلول على الإطلاق. على سبيل المثال ، عندما تحصل على شيء مثل $ 0 \ cdot x = 8 $ ، أي على اليسار صفر ، وعلى اليمين رقم غير صفري. في الفيديو أدناه ، سنلقي نظرة على عدة أسباب تجعل هذا الموقف ممكنًا.
2. الحل هو كل الأرقام. الحالة الوحيدة، عندما يكون ذلك ممكنًا ، يتم تقليل المعادلة إلى البناء $ 0 \ cdot x = 0 $. من المنطقي تمامًا أنه بغض النظر عن قيمة $ x $ التي نعوضها ، ستظل النتيجة "صفر يساوي صفرًا" ، أي المساواة العددية الصحيحة.

والآن دعونا نرى كيف يعمل كل شيء على مثال المشاكل الحقيقية.

أمثلة على حل المعادلات

اليوم نتعامل مع المعادلات الخطية ، وأبسطها فقط. بشكل عام ، المعادلة الخطية تعني أي مساواة تحتوي على متغير واحد بالضبط ، وتنتقل فقط إلى الدرجة الأولى.

يتم حل هذه الإنشاءات بنفس الطريقة تقريبًا:

1. بادئ ذي بدء ، تحتاج إلى فتح الأقواس ، إن وجدت (كما في مثالنا الأخير) ؛
2. ثم أحضر ما شابه
3. أخيرًا ، اعزل المتغير ، أي كل ما يرتبط بالمتغير - المصطلحات التي يحتوي عليها - ينتقل إلى جانب ، وكل ما يبقى بدونه ينتقل إلى الجانب الآخر.

بعد ذلك ، كقاعدة عامة ، تحتاج إلى إحضار متشابه في كل جانب من جوانب المساواة الناتجة ، وبعد ذلك يبقى فقط القسمة على المعامل عند "x" ، وسنحصل على الإجابة النهائية.

من الناحية النظرية ، يبدو هذا لطيفًا وبسيطًا ، ولكن من الناحية العملية ، يمكن حتى لطلاب المدارس الثانوية ذوي الخبرة ارتكاب أخطاء هجومية في معادلات خطية بسيطة إلى حد ما. عادة ، يتم ارتكاب الأخطاء إما عند فتح الأقواس ، أو عند حساب "الإيجابيات" و "السلبيات".

بالإضافة إلى ذلك ، يحدث أن المعادلة الخطية ليس لها حلول على الإطلاق ، أو أن الحل هو خط الأعداد بالكامل ، أي أي رقم. سنقوم بتحليل هذه التفاصيل الدقيقة في درس اليوم. لكننا سنبدأ ، كما فهمت بالفعل ، بأبسط المهام.

مخطط لحل المعادلات الخطية البسيطة

بادئ ذي بدء ، اسمحوا لي مرة أخرى أن أكتب المخطط بأكمله لحل أبسط المعادلات الخطية:

1. قم بتوسيع الأقواس ، إن وجدت.
2. المتغيرات المنعزلة ، أي يتم نقل كل ما يحتوي على "x" إلى جانب ، وبدون "x" - إلى الجانب الآخر.
3. نقدم شروط مماثلة.
4. نقسم كل شيء على المعامل عند "x".

بالطبع ، لا يعمل هذا المخطط دائمًا ، فهو يحتوي على بعض التفاصيل الدقيقة والحيل ، والآن سنتعرف عليها.

حل أمثلة حقيقية لمعادلات خطية بسيطة

مهمة 1

في الخطوة الأولى ، نحن مطالبون بفتح الأقواس. لكنهم ليسوا في هذا المثال ، لذلك نتخطى هذه الخطوة. في الخطوة الثانية ، علينا عزل المتغيرات. يرجى ملاحظة ما يلي: نحن نتحدث فقط عن المصطلحات الفردية. دعنا نكتب:

نعطي مصطلحات متشابهة على اليسار واليمين ، ولكن تم القيام بذلك بالفعل هنا. لذلك ننتقل إلى الخطوة الرابعة: قسمة عامل:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

هنا حصلنا على الجواب.

المهمة رقم 2

في هذه المهمة ، يمكننا ملاحظة الأقواس ، لذلك دعونا نوسعها:

على كل من اليسار واليمين ، نرى نفس البنية تقريبًا ، لكن دعنا نتصرف وفقًا للخوارزمية ، أي متغيرات العزل:

فيما يلي بعض مثل:

في أي جذور يعمل هذا؟ الجواب: لأي. لذلك ، يمكننا كتابة أن $ x $ هو أي رقم.

المهمة رقم 3

المعادلة الخطية الثالثة هي بالفعل أكثر إثارة للاهتمام:

\ [\ يسار (6-x \ يمين) + \ يسار (12 + x \ يمين) - \ يسار (3-2x \ يمين) = 15 \]

يوجد العديد من الأقواس هنا ، لكن لم يتم ضربهم بأي شيء ، بل لديهم فقط إشارات مختلفة أمامهم. دعنا نقسمهم:

نقوم بالخطوة الثانية التي نعرفها بالفعل:

\ [- س + س + 2 س = 15-6-12 + 3 \]

دعنا نحسب:

نقوم بالخطوة الأخيرة - نقسم كل شيء على المعامل عند "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

أشياء يجب تذكرها عند حل المعادلات الخطية

إذا تجاهلنا المهام البسيطة جدًا ، فأود أن أقول ما يلي:

• كما قلت أعلاه ، ليس لكل معادلة خطية حل - في بعض الأحيان ببساطة لا توجد جذور ؛
• حتى لو كانت هناك جذور ، فإن الصفر يمكن أن يدخل بينها - فلا حرج في ذلك.

الصفر هو نفس الرقم مثل الباقي ، فلا يجب أن تميزه بطريقة ما أو تفترض أنك إذا حصلت على صفر ، فهذا يعني أنك فعلت شيئًا خاطئًا.

ميزة أخرى تتعلق بتوسيع الأقواس. يرجى ملاحظة: عندما يكون هناك "ناقص" أمامهم ، نقوم بإزالته ، ولكن بين قوسين نغير العلامات إلى عكس. وبعد ذلك يمكننا فتحه وفقًا للخوارزميات القياسية: سنحصل على ما رأيناه في الحسابات أعلاه.

سيساعدك فهم هذه الحقيقة البسيطة على تجنب ارتكاب أخطاء غبية ومؤلمة في المدرسة الثانوية ، عندما يكون القيام بمثل هذه الإجراءات أمرًا مفروغًا منه.

حل المعادلات الخطية المعقدة

دعنا ننتقل إلى المزيد معادلات معقدة. الآن ستصبح الإنشاءات أكثر تعقيدًا وستظهر وظيفة تربيعية عند إجراء تحويلات مختلفة. ومع ذلك ، لا ينبغي أن تخاف من هذا ، لأنه إذا قمنا ، وفقًا لنية المؤلف ، بحل معادلة خطية ، فعندئذ في عملية التحويل ، سيتم بالضرورة تقليل جميع المونوميرات التي تحتوي على دالة تربيعية.

مثال 1

من الواضح أن الخطوة الأولى هي فتح الأقواس. لنفعل هذا بعناية شديدة:

لنأخذ الآن الخصوصية:

\ [- س + 6 ((س) ^ (2)) - 6 ((س) ^ (2)) + س = -12 \]

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول ، لذلك نكتب في الإجابة على النحو التالي:

\[\متنوع \]

أو لا جذور.

المثال رقم 2

نقوم بنفس الخطوات. الخطوة الأولى:

لننقل كل شيء باستخدام متغير إلى اليسار ، وبدونه - إلى اليمين:

فيما يلي بعض مثل:

من الواضح أن هذه المعادلة الخطية ليس لها حل ، لذلك نكتبها على النحو التالي:

\ [\ varnothing \] ،

أو لا جذور.

الفروق الدقيقة في الحل

تم حل المعادلتين بالكامل. في مثال هذين التعبيرين ، تأكدنا مرة أخرى أنه حتى في أبسط المعادلات الخطية ، لا يمكن أن يكون كل شيء بهذه البساطة: يمكن أن يكون هناك واحد ، أو لا شيء ، أو عدد لا نهائي. في حالتنا هذه ، درسنا معادلتين ، في كلتا الحالتين ببساطة لا توجد جذور.

لكني أود أن ألفت انتباهك إلى حقيقة أخرى: كيفية التعامل مع الأقواس وكيفية توسيعها إذا كانت أمامها علامة ناقص. ضع في اعتبارك هذا التعبير:

قبل الفتح ، تحتاج إلى ضرب كل شيء في "x". يرجى ملاحظة: الضرب كل مصطلح على حدة. يوجد في الداخل حدان - على التوالي ، حدين ومضروب.

وفقط بعد اكتمال هذه التحولات التي تبدو أولية ، ولكنها مهمة جدًا وخطيرة ، يمكن فتح القوس من وجهة نظر أن هناك علامة ناقص بعده. نعم ، نعم: الآن فقط ، عندما تتم التحولات ، نتذكر أن هناك علامة ناقص أمام الأقواس ، مما يعني أن كل شيء أدناه يغير الإشارات فقط. في الوقت نفسه ، تختفي الأقواس نفسها ، والأهم من ذلك ، تختفي علامة "ناقص" الأمامية أيضًا.

نفعل الشيء نفسه مع المعادلة الثانية:

ليس من قبيل المصادفة أن أنتبه لهذه الحقائق الصغيرة التي تبدو غير مهمة. لأن حل المعادلات هو دائمًا سلسلة من التحولات الأولية ، حيث يؤدي عدم القدرة على أداء إجراءات بسيطة بوضوح وكفاءة إلى حقيقة أن طلاب المدارس الثانوية يأتون إلي ويتعلمون حل مثل هذه المعادلات البسيطة مرة أخرى.

بالطبع ، سيأتي اليوم الذي ستصقل فيه هذه المهارات إلى الأتمتة. لم تعد مضطرًا لإجراء العديد من التحولات في كل مرة ، بل ستكتب كل شيء في سطر واحد. لكن بينما تتعلم فقط ، تحتاج إلى كتابة كل إجراء على حدة.

حل المعادلات الخطية الأكثر تعقيدًا

ما سنحله الآن بالكاد يمكن أن يسمى أبسط مهمة ، لكن المعنى يظل كما هو.

مهمة 1

\ [\ يسار (7x + 1 \ يمين) \ يسار (3x-1 \ يمين) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

لنضرب كل العناصر في الجزء الأول:

لنقم بالتراجع:

فيما يلي بعض مثل:

لنقم بالخطوة الأخيرة:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

ها هي إجابتنا النهائية. وعلى الرغم من حقيقة أنه في عملية الحل كان لدينا معاملات ذات دالة تربيعية ، إلا أنها تلغى بعضها بشكل متبادل ، مما يجعل المعادلة خطية تمامًا وليست مربعة.

المهمة رقم 2

\ [\ يسار (1-4x \ يمين) \ يسار (1-3x \ يمين) = 6x \ يسار (2x-1 \ يمين) \]

لنقم بالخطوة الأولى بعناية: اضرب كل عنصر في القوس الأول في كل عنصر في الثاني. في المجموع ، يجب الحصول على أربعة شروط جديدة بعد التحولات:

والآن قم بإجراء الضرب بعناية في كل حد:

لننقل المصطلحات مع "x" إلى اليسار ، وبدون - إلى اليمين:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

لقد تلقينا إجابة نهائية.

الفروق الدقيقة في الحل

إن أهم ملاحظة حول هاتين المعادلتين هي ما يلي: بمجرد أن نبدأ في ضرب الأقواس التي يوجد فيها حد أكبر منها ، يتم ذلك وفقًا لـ القاعدة التالية: نأخذ المصطلح الأول من الأول ونضرب كل عنصر من الثاني ؛ ثم نأخذ العنصر الثاني من الأول ونضرب بالمثل مع كل عنصر من العنصر الثاني. نتيجة لذلك ، نحصل على أربعة حدود.

على المجموع الجبري

في المثال الأخير ، أود تذكير الطلاب بما هو موجود مجموع جبري. في الرياضيات الكلاسيكية ، نعني بـ1-7 دولارات تصميم بسيط: اطرح سبعة من واحد. في الجبر ، نعني بهذا ما يلي: إلى الرقم "واحد" نضيف عددًا آخر ، وهو "ناقص سبعة". يختلف هذا المجموع الجبري عن المجموع الحسابي المعتاد.

بمجرد إجراء جميع التحويلات ، كل إضافة وضرب ، تبدأ في رؤية هياكل مشابهة لتلك الموضحة أعلاه ، لن تواجه أي مشاكل في الجبر عند العمل مع كثيرات الحدود والمعادلات.

في الختام ، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى التي ستكون أكثر تعقيدًا من تلك التي نظرنا إليها للتو ، ومن أجل حلها ، سيتعين علينا توسيع الخوارزمية القياسية لدينا بشكل طفيف.

حل المعادلات بكسر

لحل مثل هذه المهام ، يجب إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية الخاصة بنا. لكن أولاً ، سوف أذكر الخوارزمية الخاصة بنا:

1. أقواس مفتوحة.
2. متغيرات منفصلة.
3. إحضار ما شابه.
4. اقسم على عامل.

للأسف ، هذه الخوارزمية الرائعة ، بكل كفاءتها ، ليست مناسبة تمامًا عندما يكون لدينا كسور أمامنا. وفي ما سنراه أدناه ، لدينا كسر على اليسار وعلى اليمين في كلا المعادلتين.

كيف تعمل في هذه الحالة؟ نعم ، الأمر بسيط للغاية! للقيام بذلك ، تحتاج إلى إضافة خطوة أخرى إلى الخوارزمية ، والتي يمكن إجراؤها قبل الإجراء الأول وبعده ، أي التخلص من الكسور. وبالتالي ، ستكون الخوارزمية على النحو التالي:

1. تخلص من الكسور.
2. أقواس مفتوحة.
3. متغيرات منفصلة.
4. إحضار ما شابه.
5. اقسم على عامل.

ماذا يعني "التخلص من الكسور"؟ ولماذا من الممكن القيام بذلك بعد الخطوة القياسية الأولى وقبلها؟ في الواقع ، في حالتنا جميع الكسور عددية من حيث المقام ، أي في كل مكان يكون المقام مجرد رقم. لذلك ، إذا ضربنا كلا الجزأين من المعادلة في هذا العدد ، فسوف نتخلص من الكسور.

مثال 1

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

دعنا نتخلص من الكسور في هذه المعادلة:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4 \]

يرجى ملاحظة: كل شيء مضروب في "أربعة" مرة واحدة ، أي فقط لأن لديك قوسين لا يعني أنه عليك ضرب كل منهما في "أربعة". دعنا نكتب:

\ [\ يسار (2x + 1 \ يمين) \ يسار (2x-3 \ يمين) = \ يسار (((x) ^ (2)) - 1 \ يمين) \ cdot 4 \]

لنفتحه الآن:

نقوم بعزل المتغير:

نقوم بتخفيض المصطلحات المماثلة:

\ [- 4x = -1 \ يسار | : \ يسار (-4 \ يمين) \ يمين. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

لقد تلقينا الحل النهائي ، ننتقل إلى المعادلة الثانية.

المثال رقم 2

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

هنا نقوم بنفس الإجراءات:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

تم حل المشكلة.

هذا ، في الواقع ، هو كل ما أردت أن أقوله اليوم.

النقاط الرئيسية

النتائج الرئيسية هي كما يلي:

• تعرف على الخوارزمية لحل المعادلات الخطية.
• القدرة على فتح الأقواس.
• لا تقلق إذا كان لديك في مكان ما وظائف من الدرجة الثانية، على الأرجح ، في عملية مزيد من التحولات ، سيتم تقليلها.
• جذور المعادلات الخطية ، حتى أبسطها ، تتكون من ثلاثة أنواع: جذر واحد ، خط الأعداد بالكامل جذر ، لا توجد جذور على الإطلاق.

آمل أن يساعدك هذا الدرس في إتقان موضوع بسيط ولكنه مهم جدًا لفهم الرياضيات بشكل أكبر. إذا كان هناك شيء غير واضح ، فانتقل إلى الموقع ، وحل الأمثلة المقدمة هناك. ابق على اتصال ، هناك العديد من الأشياء المثيرة للاهتمام في انتظارك!

تستخدم أنظمة المعادلات على نطاق واسع في الصناعة الاقتصادية في النمذجة الرياضية عمليات مختلفة. على سبيل المثال ، عند حل مشاكل إدارة الإنتاج والتخطيط ، والطرق اللوجستية (مشكلة النقل) أو وضع المعدات.

تستخدم أنظمة المعادلات ليس فقط في مجال الرياضيات ، ولكن أيضًا في الفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء ، عند حل مشاكل تحديد حجم السكان.

نظام المعادلات الخطية هو مصطلح لمعادلتين أو أكثر مع العديد من المتغيرات التي من الضروري إيجاد حل مشترك لها. مثل هذا التسلسل من الأرقام حيث تصبح جميع المعادلات مساواة حقيقية أو تثبت أن التسلسل غير موجود.

معادلة خط مستقيم

تسمى معادلات النموذج ax + by = c الخطية. التعيينات x ، y هي المجهول ، التي يجب إيجاد قيمتها ، b ، a هي معاملات المتغيرات ، c هو المصطلح المجاني للمعادلة.
سيبدو حل المعادلة برسم التمثيل البياني الخاص بها كخط مستقيم ، وجميع نقاطه تمثل حل كثير الحدود.

أنواع أنظمة المعادلات الخطية

أبسط أمثلة لأنظمة المعادلات الخطية بمتغيرين X و Y.

F1 (x، y) = 0 و F2 (x، y) = 0 حيث F1،2 هي دوال و (x، y) متغيرات دالة.

حل جملة معادلات - يعني العثور على هذه القيم (س ، ص) التي يصبح النظام مساواة حقيقية لها ، أو لإثبات عدم وجود قيم مناسبة لـ x و y.

زوج من القيم (س ، ص) ، مكتوب على هيئة إحداثيات نقطية ، يسمى حل لنظام المعادلات الخطية.

إذا كان للأنظمة حل واحد مشترك أو لا يوجد حل ، فإنها تسمى مكافئة.

الأنظمة المتجانسة للمعادلات الخطية هي الأنظمة التي يكون جانبها الأيمن مساويًا للصفر. إذا كان الجزء الأيمن بعد علامة "يساوي" له قيمة أو يتم التعبير عنه بواسطة دالة ، فإن هذا النظام ليس متجانسًا.

يمكن أن يكون عدد المتغيرات أكثر من متغيرين ، ثم يجب أن نتحدث عن مثال لنظام المعادلات الخطية مع ثلاثة متغيرات أو أكثر.

في مواجهة الأنظمة ، يفترض تلاميذ المدارس أن عدد المعادلات يجب أن يتطابق بالضرورة مع عدد المجهول ، لكن هذا ليس كذلك. لا يعتمد عدد المعادلات في النظام على المتغيرات ، يمكن أن يكون هناك عدد كبير منهم بشكل تعسفي.

طرق بسيطة ومعقدة لحل أنظمة المعادلات

لا توجد طريقة تحليلية عامة لحل مثل هذه الأنظمة ، كل الطرق تعتمد على الحلول العددية. في دورة مدرسيةتصف الرياضيات بالتفصيل طرقًا مثل التقليب ، الجمع الجبري ، الاستبدال ، بالإضافة إلى الطريقة الرسومية وطريقة المصفوفة ، الحل بطريقة غاوس.

تتمثل المهمة الرئيسية في طرق التدريس في الحل في تعليم كيفية تحليل النظام والعثور عليه بشكل صحيح الخوارزمية المثلىحلول لكل مثال. الشيء الرئيسي ليس حفظ نظام من القواعد والإجراءات لكل طريقة ، ولكن لفهم مبادئ تطبيق طريقة معينة.

حل أمثلة لأنظمة المعادلات الخطية للفئة السابعة من البرنامج .مدرسة ثانويةبسيطة للغاية وموضحة بتفصيل كبير. في أي كتاب مدرسي عن الرياضيات ، يحظى هذا القسم بالاهتمام الكافي. تمت دراسة حل أمثلة أنظمة المعادلات الخطية بطريقة Gauss و Cramer بمزيد من التفصيل في الدورات الأولى لمؤسسات التعليم العالي.

حل الأنظمة بطريقة الاستبدال

تهدف إجراءات طريقة الاستبدال إلى التعبير عن قيمة متغير واحد من خلال الثاني. يتم استبدال التعبير في المعادلة المتبقية ، ثم يتم تقليله إلى شكل متغير واحد. يتم تكرار الإجراء بناءً على عدد المجهول في النظام

دعنا نعطي مثالاً لنظام المعادلات الخطية من الفئة السابعة بطريقة الاستبدال:

كما يتضح من المثال ، تم التعبير عن المتغير x من خلال F (X) = 7 + Y. ساعد التعبير الناتج ، الذي تم استبداله في المعادلة الثانية للنظام بدلاً من X ، في الحصول على متغير واحد Y في المعادلة الثانية . حل هذا المثاللا يسبب صعوبات ويسمح لك بالحصول على قيمة Y. الخطوة الأخيرة هي التحقق من القيم المستلمة.

ليس من الممكن دائمًا حل مثال لنظام المعادلات الخطية بالتعويض. يمكن أن تكون المعادلات معقدة والتعبير عن المتغير من حيث المجهول الثاني سيكون مرهقًا جدًا لإجراء المزيد من العمليات الحسابية. عندما يكون هناك أكثر من 3 مجاهيل في النظام ، يكون حل الاستبدال غير عملي أيضًا.

حل مثال لنظام المعادلات الخطية غير المتجانسة:

الحل باستخدام الجمع الجبري

عند البحث عن حل للأنظمة بطريقة الجمع ، الجمع مصطلحًا بمصطلح وضرب المعادلات في أعداد مختلفة. الهدف الأسمىالإجراء الرياضي معادلة ذات متغير واحد.

للتطبيقات هذه الطريقةيستغرق الممارسة والملاحظة. ليس من السهل حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة الجمع مع عدد المتغيرات 3 أو أكثر. تكون الجمع الجبري مفيدة عندما تحتوي المعادلات على كسور وأرقام عشرية.

خوارزمية عمل الحل:

1. اضرب طرفي المعادلة بعدد ما. نتيجة للعملية الحسابية ، يجب أن يصبح أحد معاملات المتغير مساويًا لـ 1.
2. أضف المصطلح الناتج عن طريق المصطلح وابحث عن أحد المجهولين.
3. عوّض بالقيمة الناتجة في المعادلة الثانية للنظام لإيجاد المتغير المتبقي.

طريقة الحل بإدخال متغير جديد

يمكن إدخال متغير جديد إذا احتاج النظام إلى إيجاد حل لما لا يزيد عن معادلتين ، كما يجب ألا يزيد عدد المجاهيل عن اثنين.

تُستخدم الطريقة لتبسيط إحدى المعادلات بإدخال متغير جديد. يتم حل المعادلة الجديدة فيما يتعلق بالمجهول الذي تم إدخاله ، ويتم استخدام القيمة الناتجة لتحديد المتغير الأصلي.

يمكن أن نرى من المثال أنه من خلال إدخال متغير جديد t ، كان من الممكن تقليل المعادلة الأولى للنظام إلى مربع قياسي ثلاثي الحدود. يمكنك حل كثير الحدود بإيجاد المميز.

من الضروري إيجاد قيمة المميز باستخدام الصيغة المعروفة: D = b2 - 4 * a * c ، حيث D هو المميز المطلوب ، b ، a ، c هي مضاعفات كثير الحدود. في المثال المعطى ، أ = 1 ، ب = 16 ، ج = 39 ، ومن ثم د = 100. إذا كان المميز أكبر من الصفر ، فهناك حلان: t = -b ± √D / 2 * a ، إذا كان المميز أقل من الصفر ، فهناك حل واحد فقط: x = -b / 2 * a.

تم العثور على حل الأنظمة الناتجة عن طريق طريقة الجمع.

طريقة بصرية لحل النظم

مناسب للأنظمة ذات 3 معادلات. تتكون الطريقة من رسم الرسوم البيانية لكل معادلة مدرجة في النظام على محور الإحداثيات. ستكون إحداثيات نقاط تقاطع المنحنيات هي الحل العام للنظام.

طريقة الرسم لديها عدد من الفروق الدقيقة. ضع في اعتبارك عدة أمثلة لحل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة مرئية.

كما يتضح من المثال ، تم إنشاء نقطتين لكل سطر ، تم اختيار قيم المتغير x بشكل عشوائي: 0 و 3. بناءً على قيم x ، تم العثور على قيم y: 3 و 0. تم تمييز النقاط ذات الإحداثيات (0 ، 3) و (3 ، 0) على الرسم البياني وتم توصيلها بخط.

يجب تكرار الخطوات للمعادلة الثانية. نقطة تقاطع الخطوط هي حل النظام.

في المثال التاليمطلوب إيجاد حل رسومي لنظام المعادلات الخطية: 0.5x-y + 2 = 0 و 0.5x-y-1 = 0.

كما يتضح من المثال ، ليس للنظام أي حل ، لأن الرسوم البيانية متوازية ولا تتقاطع بطولها بالكامل.

الأنظمة من الأمثلة 2 و 3 متشابهة ، ولكن عند بنائها ، يصبح من الواضح أن حلولها مختلفة. يجب أن نتذكر أنه ليس من الممكن دائمًا تحديد ما إذا كان النظام لديه حل أم لا ، فمن الضروري دائمًا إنشاء رسم بياني.

ماتريكس وأصنافها

تستخدم المصفوفات لكتابة نظام المعادلات الخطية بإيجاز. المصفوفة هي نوع خاص من الجداول المليئة بالأرقام. يحتوي n * m على n - صفوف و m - أعمدة.

تكون المصفوفة مربعة عندما يتساوى عدد الأعمدة والصفوف. متجه المصفوفة هو مصفوفة ذات عمود واحد مع عدد لا نهائي من الصفوف. تسمى المصفوفة التي تحتوي على وحدات على طول أحد الأقطار وعناصر صفرية أخرى متطابقة.

المصفوفة العكسية هي مثل هذه المصفوفة ، عندما يتم ضربها بحيث تتحول المصفوفة الأصلية إلى وحدة واحدة ، فإن مثل هذه المصفوفة توجد فقط للمربع الأصلي.

قواعد تحويل نظام المعادلات إلى مصفوفة

فيما يتعلق بأنظمة المعادلات ، تتم كتابة المعاملات والأعضاء الأحرار في المعادلات كأرقام من المصفوفة ، والمعادلة الواحدة هي صف واحد من المصفوفة.

يسمى صف المصفوفة non-zero إذا كان عنصر واحد على الأقل من الصف لا يساوي الصفر. لذلك ، إذا اختلف عدد المتغيرات في أي من المعادلات ، فمن الضروري إدخال صفر بدلاً من المجهول المفقود.

يجب أن تتوافق أعمدة المصفوفة بدقة مع المتغيرات. هذا يعني أنه لا يمكن كتابة معاملات المتغير x إلا في عمود واحد ، على سبيل المثال الأول ، معامل المجهول y - فقط في العمود الثاني.

عند ضرب مصفوفة ، يتم ضرب جميع عناصر المصفوفة بالتسلسل في رقم.

خيارات لإيجاد معكوس المصفوفة

صيغة إيجاد معكوس المصفوفة بسيطة للغاية: K -1 = 1 / | K | ، حيث K -1 - مصفوفة معكوسةو | ك | - محدد المصفوفة. | ك | يجب ألا يكون مساويًا للصفر ، فإن النظام لديه حل.

يتم حساب المحدد بسهولة لمصفوفة 2 × 2 ، من الضروري فقط مضاعفة العناصر قطريًا ببعضها البعض. لخيار "ثلاثة في ثلاثة" ، توجد صيغة | K | = أ 1 ب 2 ج 3 + أ 1 ب 3 ج 2 + أ 3 ب 1 ج 2 + أ 2 ب 3 ج 1 + أ 2 ب 1 ج 3 + أ 3 ب 2 ج 1. يمكنك استخدام الصيغة ، أو تذكر أنك بحاجة إلى أخذ عنصر واحد من كل صف وكل عمود حتى لا تتكرر أرقام الأعمدة والصفوف الخاصة بالعناصر في المنتج.

حل أمثلة نظم المعادلات الخطية بطريقة المصفوفة

تتيح طريقة المصفوفة لإيجاد حل تقليل الرموز المرهقة عند حل الأنظمة باستخدام كمية كبيرةالمتغيرات والمعادلات.

في هذا المثال ، nm هي معاملات المعادلات ، والمصفوفة متجه x n هي المتغيرات ، و b n هي المصطلحات المجانية.

حل الأنظمة بطريقة غاوس

في الرياضيات العليا ، تتم دراسة طريقة Gauss مع طريقة Cramer ، وتسمى عملية إيجاد حل للأنظمة طريقة Gauss-Cramer في الحل. تُستخدم هذه الطرق لإيجاد متغيرات الأنظمة التي تحتوي على عدد كبير من المعادلات الخطية.

الطريقة الغاوسية تشبه إلى حد بعيد حلول الاستبدال والجمع الجبرية ، ولكنها أكثر منهجية. في الدورة المدرسية ، يتم استخدام الحل Gaussian لأنظمة المعادلات 3 و 4. الغرض من هذه الطريقة هو تحويل النظام إلى شكل شبه منحرف مقلوب. من خلال عمليات التحويل والبدائل الجبرية ، تم العثور على قيمة متغير واحد في إحدى معادلات النظام. المعادلة الثانية عبارة عن تعبير به مجهولين ، و 3 و 4 - بمتغيرين 3 و 4 ، على التوالي.

بعد إحضار النظام إلى النموذج الموصوف ، يتم تقليل الحل الإضافي إلى الاستبدال المتسلسل للمتغيرات المعروفة في معادلات النظام.

في الكتب المدرسية للصف السابع ، يتم وصف مثال لحل غاوسي على النحو التالي:

كما يتضح من المثال ، في الخطوة (3) تم الحصول على معادلتين 3x3-2x 4 = 11 و 3x 3 + 2x 4 = 7. سيسمح لك حل أي من المعادلات بإيجاد أحد المتغيرات x n.

تنص النظرية 5 ، المذكورة في النص ، على أنه إذا تم استبدال إحدى معادلات النظام بمعادلة مكافئة ، فسيكون النظام الناتج أيضًا مكافئًا للنظام الأصلي.

يصعب على الطلاب فهم طريقة غاوس المدرسة الثانوية، لكنها واحدة من أكثر طرق مثيرة للاهتماملتنمية براعة الأطفال المسجلين في البرنامج دراسة متعمقةفي فصول الرياضيات والفيزياء.

لسهولة تسجيل الحسابات ، من المعتاد القيام بما يلي:

تتم كتابة معاملات المعادلات والمصطلحات المجانية في شكل مصفوفة ، حيث يتوافق كل صف من المصفوفة مع إحدى معادلات النظام. يفصل الجانب الأيسر من المعادلة عن الجانب الأيمن. تشير الأرقام الرومانية إلى عدد المعادلات في النظام.

أولاً ، يكتبون المصفوفة التي يعملون بها ، ثم يتم تنفيذ جميع الإجراءات بأحد الصفوف. تتم كتابة المصفوفة الناتجة بعد علامة "السهم" وتستمر في إجراء العمليات الجبرية اللازمة حتى يتم تحقيق النتيجة.

نتيجة لذلك ، يجب الحصول على مصفوفة يكون فيها أحد الأقطار 1 ، وجميع المعاملات الأخرى تساوي الصفر ، أي يتم تقليل المصفوفة إلى شكل واحد. يجب ألا ننسى إجراء حسابات بأرقام طرفي المعادلة.

هذا الترميز أقل تعقيدًا ويسمح لك بعدم تشتيت انتباهك من خلال سرد العديد من الأشياء المجهولة.

سيتطلب التطبيق المجاني لأي طريقة حل عناية وقدرًا معينًا من الخبرة. لم يتم تطبيق جميع الطرق. بعض طرق إيجاد الحلول مفضلة أكثر في مجال معين من النشاط البشري ، بينما توجد طرق أخرى لغرض التعلم.

في هذه المقالة ، نعتبر مبدأ حل مثل هذه المعادلات مثل المعادلات الخطية. دعونا نكتب تعريف هذه المعادلات ، مجموعة الشكل العام. سنقوم بتحليل جميع الشروط لإيجاد حلول للمعادلات الخطية ، باستخدام أمثلة عملية ، من بين أمور أخرى.

يرجى ملاحظة أن المادة أدناه تحتوي على معلومات حول المعادلات الخطية بمتغير واحد. المعادلات الخطيةمع متغيرين في مقال منفصل.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ما هي المعادلة الخطية

التعريف 1

معادلة خط مستقيمهي معادلة مكتوبة على النحو التالي:
أ س = ب، أين x- عامل، أو ب- بعض الأرقام.

تُستخدم هذه الصيغة في كتاب الجبر المدرسي (الصف 7) بواسطة Yu.N. Makarychev.

مثال 1

من أمثلة المعادلات الخطية:

3 س = 11(معادلة متغيرة واحدة xفي أ = 5و ب = 10);

- 3 ، 1 ص = 0 (معادلة خطية ذات متغير ذ، أين أ \ u003d - 3 ، 1و ب = 0) ؛

س = -4و - س = 5 ، 37(المعادلات الخطية حيث العدد أمكتوبًا صراحةً ويساوي 1 و - 1 على التوالي. للمعادلة الأولى ب = - 4 ؛للمرة الثانية - ب = 5 ، 37) وما إلى ذلك وهلم جرا.

غير مبال مواد تدريبيةقد تكون هناك تعريفات مختلفة. على سبيل المثال ، Vilenkin N.Ya. يتضمن الخطي أيضًا المعادلات التي يمكن تحويلها إلى النموذج أ س = بعن طريق نقل الشروط من جزء إلى آخر مع تغيير علامة وإحضار شروط مماثلة. إذا اتبعنا هذا التفسير ، فإن المعادلة 5 س = 2 س + 6 -خطي أيضا.

وهنا كتاب الجبر (الصف السابع) مردكوفيتش أ. يحدد الوصف التالي:

التعريف 2

المعادلة الخطية بمتغير واحد x هي معادلة بالصيغة أ س + ب = 0، أين أو بهي بعض الأرقام تسمى معاملات المعادلة الخطية.

مثال 2

مثال على المعادلات الخطية من هذا النوع يمكن أن يكون:

3 س - 7 = 0 (أ = 3 ، ب = - 7) ;

1 ، 8 ص + 7 ، 9 = 0 (أ = 1 ، 8 ، ب = 7 ، 9).

ولكن هناك أيضًا أمثلة على المعادلات الخطية التي استخدمناها بالفعل أعلاه: أ س = ب، على سبيل المثال، 6 س = 35.

سوف نتفق على الفور على أنه في هذه المقالة ، في ظل معادلة خطية بمتغير واحد ، سوف نفهم معادلة الكتابة أ س + ب = 0، أين x- عامل؛ أ ، ب معاملات. نرى هذا الشكل من المعادلة الخطية على أنه الأكثر تبريرًا ، لأن المعادلات الخطية هي معادلات جبرية من الدرجة الأولى. والمعادلات الأخرى المشار إليها أعلاه والمعادلات المعطاة بواسطة تحويلات مكافئة إلى الصورة أ س + ب = 0، نحدد المعادلات المختزلة إلى المعادلات الخطية.

مع هذا النهج ، المعادلة 5 س + 8 = 0 خطية ، و 5 س = -8- معادلة تختزل إلى معادلة خطية.

مبدأ حل المعادلات الخطية

ضع في اعتبارك كيفية تحديد ما إذا كانت معادلة خطية معينة لها جذور ، وإذا كان الأمر كذلك ، فكم عددها وكيفية تحديدها.

التعريف 3

يتم تحديد حقيقة وجود جذور المعادلة الخطية من خلال قيم المعاملات أو ب.لنكتب هذه الشروط:

• في أ ≠ 0المعادلة الخطية لها جذر واحد x = - b a ؛
• في أ = 0و ب ≠ 0المعادلة الخطية ليس لها جذور ؛
• في أ = 0و ب = 0المعادلة الخطية لها عدد لا نهائي من الجذور. في الواقع ، في هذه الحالة ، يمكن لأي رقم أن يصبح جذرًا لمعادلة خطية.

دعونا نعطي تفسيرا. نعلم أنه في عملية حل المعادلة ، من الممكن تحويل معادلة معينة إلى معادلة مكافئة ، مما يعني أن لها نفس جذور المعادلة الأصلية ، أو ليس لها جذور أيضًا. يمكننا إجراء التحولات المكافئة التالية:

• نقل المصطلح من جزء إلى آخر ، وتغيير الإشارة إلى العكس ؛
• اضرب أو اقسم طرفي المعادلة على نفس الرقم غير الصفري.

وهكذا نقوم بتحويل المعادلة الخطية أ س + ب = 0، تحريك المصطلح بمن الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن مع تغيير علامة. نحن نحصل: أ · س = - ب.

لذلك ، نقسم كلا جزئي المعادلة على عدد غير صفري أ،مما أدى إلى المساواة في الشكل x = - b a. ذلك حين أ ≠ 0المعادلة الأصلية أ س + ب = 0يعادل المساواة x = - b a ، حيث يكون الجذر - b a واضحًا.

من خلال التناقض ، من الممكن إثبات أن الجذر الموجود هو الوحيد. قمنا بتعيين تعيين الجذر الموجود - b a as × 1.لنفترض أن هناك جذرًا إضافيًا للمعادلة الخطية مع الترميز × 2.وبالطبع: × 2 × 1 ،وهذا بدوره يعتمد على التعريف أعداد متساويةمن خلال الفرق ، أي ما يعادل الشرط × 1 - × 2 0.في ضوء ما سبق ، يمكننا تكوين المساواة التالية عن طريق استبدال الجذور:
أ س 1 + ب = 0و أ · س 2 + ب = 0.
تجعل خاصية المساواة العددية من الممكن إجراء طرح مصطلح على حدة لأجزاء من المساواة:

أ س 1 + ب - (أ س 2 + ب) = 0 - 0، من هنا: أ (س 1 - س 2) + (ب - ب) = 0وما بعدها أ (× 1 - × 2) = 0.المساواة أ (× 1 - × 2) = 0غير صحيح ، لأن الشرط سبق أن أعطيت ذلك أ ≠ 0و × 1 - × 2 0.التناقض الذي تم الحصول عليه بمثابة دليل على أن في أ ≠ 0معادلة خط مستقيم أ س + ب = 0له جذر واحد فقط.

دعونا ندعم فقرتين أخريين من الشروط التي تحتوي على أ = 0.

متى أ = 0معادلة خط مستقيم أ س + ب = 0سيتم كتابتها كـ 0 س + ب = 0. تمنحنا خاصية ضرب رقم في صفر الحق في التأكيد على أنه بغض النظر عن الرقم الذي يتم اعتباره x، واستبدالها بالمساواة 0 س + ب = 0، نحصل على ب = 0. المساواة صالحة لـ b = 0 ؛ في حالات أخرى عندما ب ≠ 0تصبح المساواة باطلة.

وهكذا متى أ = 0و ب = 0 , أي رقم يمكن أن يكون جذر المعادلة الخطية أ س + ب = 0، لأنه في ظل هذه الظروف ، يتم الاستبدال بدلاً من xأي رقم ، نحصل على المساواة العددية الصحيحة 0 = 0 . متى أ = 0و ب ≠ 0معادلة خط مستقيم أ س + ب = 0لن يكون له جذور على الإطلاق ، لأنه في ظل الظروف المحددة ، يتم الاستبدال بدلاً من xأي رقم ، نحصل على مساواة عددية غير صحيحة ب = 0.

يمنحنا كل التفكير أعلاه الفرصة لكتابة خوارزمية تجعل من الممكن إيجاد حل لأي معادلة خطية:

• حسب نوع السجل نحدد قيم المعاملات أو بوتحليلها.
• في أ = 0و ب = 0سيكون للمعادلة عدد لا نهائي من الجذور ، أي أي رقم سيصبح جذر المعادلة المعطاة ؛
• في أ = 0و ب ≠ 0
• في أ، بخلاف الصفر ، نبدأ في البحث عن الجذر الوحيد للمعادلة الخطية الأصلية:

1. معامل التحويل بإلى الجانب الأيمن مع تغيير الإشارة إلى العكس ، وبذلك تصبح المعادلة الخطية في النموذج أ س = − ب ؛
2. قسّم كلا الجزأين من المساواة الناتجة على الرقم أ، والذي سيعطينا الجذر المطلوب للمعادلة المعطاة: x = - b a.

في الواقع ، تسلسل الإجراءات الموصوف هو إجابة السؤال عن كيفية إيجاد حل لمعادلة خطية.

أخيرًا ، نوضح تلك المعادلات بالصيغة أ س = بيتم حلها بواسطة خوارزمية مماثلة مع الاختلاف الوحيد في الرقم بفي مثل هذا الترميز تم نقله بالفعل إلى الجزء المطلوب من المعادلة ، ومتى أ ≠ 0يمكنك قسمة أجزاء المعادلة على الفور على رقم أ.

وبالتالي ، لإيجاد حل للمعادلة أ س = ب ،نستخدم الخوارزمية التالية:

• في أ = 0و ب = 0سيكون للمعادلة عدد لا نهائي من الجذور ، أي يمكن لأي رقم أن يصبح جذره ؛
• في أ = 0و ب ≠ 0لن يكون للمعادلة المعطاة جذور ؛
• في أ، لا يساوي الصفر ، كلا طرفي المعادلة يقبلان القسمة على الرقم أ، مما يجعل من الممكن إيجاد جذر واحد يساوي ب أ.

أمثلة على حل المعادلات الخطية

مثال 3

من الضروري حل معادلة خطية 0 س - 0 = 0.

حل

من خلال كتابة المعادلة المعطاة ، نرى ذلك أ = 0و ب = -0(أو ب = 0وهو نفس الشيء). وبالتالي ، يمكن أن تحتوي معادلة معينة على عدد لا نهائي من الجذور أو أي عدد.

إجابة: x- أي رقم.

مثال 4

من الضروري تحديد ما إذا كانت المعادلة لها جذور 0 س + 2 ، 7 = 0.

حل

من السجل ، نحدد أن أ \ u003d 0 ، ب \ u003d 2 ، 7. وبالتالي ، فإن المعادلة المعطاة لن يكون لها جذور.

إجابة:المعادلة الخطية الأصلية ليس لها جذور.

مثال 5

بالنظر إلى معادلة خطية 0 ، 3 س - 0 ، 027 = 0.يجب حلها.

حل

بكتابة المعادلة ، نحدد أن أ \ u003d 0 ، 3 ؛ ب = - 0 ، 027 ، مما يسمح لنا بالتأكيد على أن المعادلة المعطاة لها جذر واحد.

باتباع الخوارزمية ، نقوم بنقل b إلى الجانب الأيمن من المعادلة ، وتغيير العلامة ، نحصل على: 0.3 × = 0.027.بعد ذلك ، نقسم كلا الجزأين من المساواة الناتجة على \ u003d 0 ، 3 ، ثم: x \ u003d 0 ، 027 0 ، 3.

دعونا نقسم الكسور العشرية:

0.027 0.3 = 27300 = 3 9 3100 = 9100 = 0.09

النتيجة التي تم الحصول عليها هي جذر المعادلة المعطاة.

اكتب الحل باختصار على النحو التالي:

0، 3 x - 0، 027 = 0، 0، 3 x = 0، 027، x = 0، 027 0، 3، x = 0، 09.

إجابة:س = 0 ، 09.

من أجل الوضوح ، نقدم حل معادلة التسجيل أ س = ب.

مثال N

تعطى المعادلات: 1) 0 x = 0 ؛ 2) 0 × = - 9 ؛ 3) - 3 8 س = - 3 3 4 . من الضروري حلها.

حل

جميع المعادلات المعطاة تتوافق مع السجل أ س = ب. دعونا ننظر في الأمر بدوره.

في المعادلة 0 س = 0 ، أ = 0 و ب = 0، مما يعني: يمكن أن يكون أي رقم هو جذر هذه المعادلة.

في المعادلة الثانية 0 س = - 9: أ = 0 ، ب = - 9 ،وبالتالي ، فإن هذه المعادلة لن يكون لها جذور.

بصيغة المعادلة الأخيرة - 3 8 x = - 3 3 4 نكتب المعاملات: أ = - 3 8 ، ب = - 3 3 4 ، أي المعادلة لها جذر واحد. لنجده. دعنا نقسم طرفي المعادلة على أ ، ونحصل على النتيجة: س = - 3 3 4 - 3 8. بسّط الكسر بتطبيق قاعدة قسمة الأعداد السالبة ثم تحويل الرقم الكسري إلى جزء مشتركوتقسيم الكسور العادية:

3 3 4-3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

اكتب الحل باختصار على النحو التالي:

3 8 س = - 3 3 4 ، س = - 3 3 4-3 8 ، س = 10.

إجابة: 1) x- أي عدد ، 2) ليس للمعادلة جذور ، 3) س = 10.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter