فوضى غامضة: تاريخ الفركتلات وتطبيقاتها. مقدمة في الفركتلات

في كثير من الأحيان ، يمكن للاكتشافات الرائعة التي تم إجراؤها في العلوم أن تغير حياتنا بشكل جذري. لذلك ، على سبيل المثال ، يمكن لاختراع لقاح أن ينقذ الكثير من الناس ، وابتكار سلاح جديد يؤدي إلى القتل. حرفيا بالأمس (على مقياس التاريخ) شخص "روض" الكهرباء ، واليوم لم يعد يستطيع تخيل حياته بدونها. ومع ذلك ، هناك أيضًا مثل هذه الاكتشافات ، كما يقولون ، تظل في الظل ، وعلى الرغم من حقيقة أن لها أيضًا بعض التأثير على حياتنا. كان أحد هذه الاكتشافات هو الفركتل. معظم الناس لم يسمعوا حتى بمثل هذا المفهوم ولن يكونوا قادرين على شرح معناه. سنحاول في هذه المقالة التعامل مع مسألة ماهية الفركتال ، والنظر في معنى هذا المصطلح من وجهة نظر العلم والطبيعة.

النظام في حالة من الفوضى

من أجل فهم ماهية الفركتل ، يجب على المرء أن يبدأ استخلاص المعلومات من موقع الرياضيات ، ومع ذلك ، قبل الخوض فيه ، نتفلسف قليلاً. كل شخص لديه فضول طبيعي يتعلم بفضله العالم. في كثير من الأحيان ، في رغبته في المعرفة ، يحاول العمل بالمنطق في أحكامه. لذلك ، بتحليل العمليات التي تحدث حوله ، يحاول حساب العلاقات واستنباط أنماط معينة. تنشغل أكبر العقول على هذا الكوكب بحل هذه المشاكل. بشكل تقريبي ، يبحث علماؤنا عن أنماط ليست كذلك ، ولا ينبغي أن تكون كذلك. ومع ذلك ، حتى في حالة الفوضى ، هناك علاقة بين أحداث معينة. هذا الاتصال هو كسورية. على سبيل المثال ، فكر في فرع مكسور ملقى على الطريق. إذا نظرنا إليها عن كثب ، فسنرى أنها ، بكل فروعها وعقدها ، تبدو نفسها كشجرة. هذا التشابه لجزء منفصل مع كل واحد يشهد على ما يسمى بمبدأ التشابه الذاتي العودي. يمكن العثور على الفركتلات في الطبيعة طوال الوقت ، لأن العديد من الأشكال غير العضوية والعضوية تتشكل بطريقة مماثلة. هذه هي الغيوم ، وأصداف البحر ، وأصداف الحلزون ، وتيجان الأشجار ، وحتى نظام الدورة الدموية. يمكن أن تستمر هذه القائمة إلى أجل غير مسمى. يتم وصف كل هذه الأشكال العشوائية بسهولة بواسطة الخوارزمية الكسورية. هنا نأتي إلى التفكير في ماهية الفركتل من وجهة نظر العلوم الدقيقة.

بعض الحقائق الجافة

تتم ترجمة كلمة "كسورية" ذاتها من اللاتينية على أنها "جزئية" و "مقسمة" و "مجزأة" ، وبالنسبة لمحتوى هذا المصطلح ، فإن الصياغة على هذا النحو غير موجودة. عادة ما يتم التعامل معها على أنها مجموعة متشابهة ، جزء من الكل ، والتي تتكرر من خلال هيكلها على المستوى الجزئي. صاغ هذا المصطلح في سبعينيات القرن العشرين بنوا ماندلبروت ، المعروف باسم الأب ، ويعني مفهوم الفركتل اليوم تمثيلًا بيانيًا لهيكل معين ، والذي عند تكبيره سيكون مشابهًا له. ومع ذلك ، فقد تم وضع الأساس الرياضي لإنشاء هذه النظرية حتى قبل ولادة ماندلبروت نفسه ، لكنها لم تتطور حتى ظهرت أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية.

مرجع تاريخي ، أو كيف بدأ كل شيء

في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين ، كانت دراسة طبيعة الفركتلات عرضية. هذا يرجع إلى حقيقة أن علماء الرياضيات فضلوا دراسة الأشياء التي يمكن التحقيق فيها على أساس النظريات والأساليب العامة. في عام 1872 ، وضع عالم الرياضيات الألماني K. Weierstrass مثالاً وظيفة مستمرة، لا مكان للاشتقاق. ومع ذلك ، تبين أن هذا البناء مجردة تمامًا ويصعب فهمه. بعد ذلك جاء السويدي هيلج فون كوخ ، الذي بنى في عام 1904 منحنى مستمرًا ليس له ظل في أي مكان. من السهل جدًا الرسم ، كما اتضح فيما بعد ، يتميز بخصائص كسورية. سمي أحد المتغيرات لهذا المنحنى على اسم مؤلفه - "ندفة ثلج كوخ". علاوة على ذلك ، تم تطوير فكرة التشابه الذاتي بين الشخصيات من قبل المرشد المستقبلي لـ B.Mandelbrot ، الفرنسي بول ليفي. في عام 1938 نشر مقالة بعنوان "المنحنيات والأسطح المستوية والمكانية التي تتكون من أجزاء مثل الكل". في ذلك وصفه النوع الجديد- منحنى ليفي سي. تشير جميع الأشكال المذكورة أعلاه بشكل مشروط إلى شكل مثل الفركتلات الهندسية.

الفركتلات الديناميكية أو الجبرية

ل هذه الفئةيشير إلى مجموعة Mandelbrot. أصبح عالما الرياضيات الفرنسيان بيير فاتو وجاستون جوليا أول باحثين في هذا الاتجاه. في عام 1918 ، نشرت جوليا ورقة تستند إلى دراسة تكرارات الوظائف المعقدة المنطقية. وصف هنا عائلة من الفركتلات التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمجموعة ماندلبروت. بغض النظر عن حقيقة أن هذا العملتمجد المؤلف بين علماء الرياضيات ، وسرعان ما نسيها. وبعد نصف قرن فقط ، بفضل أجهزة الكمبيوتر ، تلقى عمل جوليا حياة ثانية. جعلت أجهزة الكمبيوتر من الممكن أن تجعل من الممكن لكل شخص جمال وثراء عالم الفركتلات التي يمكن لعلماء الرياضيات "رؤيتها" من خلال عرضها من خلال الوظائف. كان ماندلبروت أول من استخدم الكمبيوتر لإجراء العمليات الحسابية (من المستحيل إجراء مثل هذا الحجم يدويًا) مما أتاح تكوين صورة لهذه الأرقام.

رجل مع الخيال المكاني

بدأ ماندلبروت مسيرته العلمية في مركز أبحاث IBM. بدراسة احتمالات نقل البيانات عبر مسافات طويلة ، واجه العلماء حقيقة الخسائر الكبيرة التي نشأت بسبب تداخل الضوضاء. كان بينوا يبحث عن طرق لحل هذه المشكلة. بالنظر إلى نتائج القياس ، لفت الانتباه إلى نمط غريب ، وهو: الرسوم البيانية للضوضاء تبدو متشابهة على مقاييس زمنية مختلفة.

لوحظت صورة مماثلة لمدة يوم واحد أو سبعة أيام أو لمدة ساعة. كرر بنوا ماندلبروت نفسه في كثير من الأحيان أنه لا يعمل مع الصيغ ، لكنه يلعب بالصور. تميز هذا العالم بالتفكير التخيلي ، فقد ترجم أي مسألة جبرية إلى منطقة هندسية ، حيث تكون الإجابة الصحيحة واضحة. لذلك ليس من المستغرب أن يتميز الأثرياء وأصبح والد الهندسة الفركتلية. بعد كل شيء ، لا يمكن أن يأتي إدراك هذا الشكل إلا عندما تدرس الرسومات وتفكر في معنى هذه الدوامات الغريبة التي تشكل النموذج. لا تحتوي الرسومات الكسورية على عناصر متطابقة ، لكنها متشابهة على أي مقياس.

جوليا - ماندلبروت

كانت إحدى الرسومات الأولى لهذا الشكل عبارة عن تفسير رسومي للمجموعة ، والذي وُلد بفضل أعمال جاستون جوليا ووضع اللمسات الأخيرة عليه من قبل ماندلبروت. حاول غاستون تخيل كيف تبدو المجموعة ، مبنية على أساس صيغة بسيطة ، والتي يتم تكرارها بواسطة حلقة تعليق. دعونا نحاول شرح ما قيل بلغة البشر ، إذا جاز التعبير ، على الأصابع. للحصول على قيمة عددية محددة ، باستخدام الصيغة ، نجد قيمة جديدة. نعوض به في الصيغة ونوجد ما يلي. والنتيجة كبيرة. لتمثيل مثل هذه المجموعة ، عليك القيام بهذه العملية عدة مرات: مئات ، آلاف ، ملايين. هذا ما فعله بينوا. قام بمعالجة التسلسل ونقل النتائج إلى شكل رسومي. بعد ذلك ، قام بتلوين الشكل الناتج (كل لون يتوافق مع عدد معينالتكرارات). هذه الصورة الرسومية تسمى Mandelbrot fractal.

كاربنتر: فن خلقته الطبيعة

وجدت نظرية الفركتلات تطبيقًا عمليًا بسرعة. نظرًا لأنه يرتبط ارتباطًا وثيقًا بتصور الصور المتشابهة ، كان الفنانون أول من اعتمد المبادئ والخوارزميات لبناء هذه الأشكال غير العادية. كان أول هؤلاء المؤسس المستقبلي لاستوديو Pixar Lauren Carpenter. أثناء عمله على عرض نماذج أولية للطائرات ، توصل إلى فكرة استخدام صورة الجبال كخلفية. اليوم ، يمكن لكل مستخدم للكمبيوتر تقريبًا التعامل مع مثل هذه المهمة ، وفي السبعينيات من القرن الماضي ، لم تكن أجهزة الكمبيوتر قادرة على تنفيذ مثل هذه العمليات ، لأنه لم يكن هناك برامج تحرير رسوم وتطبيقات للرسومات ثلاثية الأبعاد في ذلك الوقت. صادفت لورين صور فركتلات ماندلبروت: الشكل والعشوائية والبعد. في ذلك ، قدم بينوا العديد من الأمثلة ، موضحًا أن هناك فركتلات في الطبيعة (fiva) ، ووصف أشكالها المختلفة وأثبت أنه يمكن وصفها بسهولة من خلال التعبيرات الرياضية. استشهد عالم الرياضيات بهذا التشبيه كحجة لفائدة النظرية التي كان يطورها ردًا على موجة انتقادات من زملائه. لقد جادلوا بأن الفركتل هو مجرد صورة جميلة لا قيمة لها ، منتج ثانوي للآلات الإلكترونية. قرر كاربنتر تجربة هذه الطريقة في الممارسة. بعد دراسة الكتاب بعناية ، بدأ رسام الرسوم المتحركة المستقبلي في البحث عن طريقة لتنفيذ الهندسة الكسورية في رسومات الحاسوب. استغرق الأمر ثلاثة أيام فقط لتقديم صورة واقعية تمامًا للمناظر الطبيعية الجبلية على جهاز الكمبيوتر الخاص به. واليوم يستخدم هذا المبدأ على نطاق واسع. كما اتضح ، فإن إنشاء الفركتلات لا يتطلب الكثير من الوقت والجهد.

قرار كاربنتر

تبين أن المبدأ الذي استخدمته لورين بسيط. وهو يتألف من تقسيم العناصر الكبيرة إلى عناصر أصغر ، وتلك إلى عناصر أصغر مماثلة ، وهكذا. نجار ، باستخدام مثلثات كبيرة ، سحقهم إلى 4 مثلثات صغيرة ، وهكذا ، حتى حصل على منظر طبيعي للجبال. وهكذا أصبح أول فنان يطبق الخوارزمية الكسورية في رسومات الحاسوب لبناء الصورة المطلوبة. اليوم ، يتم استخدام هذا المبدأ لمحاكاة مختلف الأشكال الطبيعية الواقعية.

أول تصور ثلاثي الأبعاد يعتمد على الخوارزمية الكسورية

بعد بضع سنوات ، طبق لورين عمله في مشروع واسع النطاق - فيديو رسوم متحركة Vol Libre ، تم عرضه على Siggraph في عام 1980. صدم هذا الفيديو الكثيرين ، ودُعي منشئه للعمل في Lucasfilm. هنا كان رسام الرسوم المتحركة قادرًا على إدراك نفسه تمامًا ، فقد ابتكر مناظر طبيعية ثلاثية الأبعاد (الكوكب بأكمله) لفيلم "ستار تريك". يستخدم أي برنامج حديث ("فركتلات") أو تطبيق لإنشاء رسومات ثلاثية الأبعاد (Terragen ، Vue ، Bryce) نفس الخوارزمية لنمذجة القوام والأسطح.

توم بيدارد

ابتكر بيدارد ، وهو فيزيائي ليزر سابق وأصبح الآن فنانًا وفنانًا رقميًا ، سلسلة من الأشكال الهندسية المثيرة للاهتمام للغاية والتي أطلق عليها اسم فركتلات فابرجيه. ظاهريًا ، يشبهون البيض المزخرف لصائغ روسي ، ولهم نفس النمط المعقد اللامع. استخدم Beddard طريقة القالب لإنشاء عروضه الرقمية للنماذج. المنتجات الناتجة مذهلة في جمالها. على الرغم من أن الكثيرين يرفضون مقارنة المنتج المصنوع يدويًا بـ برنامج الحاسبومع ذلك ، يجب الاعتراف بأن الأشكال الناتجة جميلة بشكل غير عادي. تسليط الضوء على أنه يمكن لأي شخص بناء مثل هذا الفراكتل باستخدام مكتبة برامج WebGL. يسمح لك باستكشاف هياكل كسورية مختلفة في الوقت الحقيقي.

فركتلات في الطبيعة

قليل من الناس ينتبهون ، لكن هذه الأرقام المذهلة موجودة في كل مكان. تتكون الطبيعة من شخصيات متشابهة ، نحن فقط لا نلاحظها. يكفي أن ننظر من خلال عدسة مكبرة إلى جلدنا أو ورقة شجرة ، وسنرى فركتلات. أو خذ ، على سبيل المثال ، أناناس أو حتى ذيل الطاووس - فهي تتكون من أشكال متشابهة. وصنف البروكلي من نوع Romanescu مدهش بشكل عام في مظهره ، لأنه يمكن حقًا أن يطلق عليه معجزة الطبيعة.

وقفة موسيقية

اتضح أن الفركتلات ليست مجرد أشكال هندسية ، بل يمكن أن تكون أصواتًا أيضًا. لذلك ، يكتب الموسيقي جوناثان كولتون الموسيقى باستخدام خوارزميات كسورية. يدعي أنه يتوافق مع الانسجام الطبيعي. ينشر الملحن جميع أعماله بموجب رخصة CreativeCommons Attribution-Noncommercial ، التي تنص على التوزيع المجاني والنسخ ونقل الأعمال من قبل أشخاص آخرين.

مؤشر كسورية

وجدت هذه التقنية تطبيقًا غير متوقع للغاية. على أساسها ، تم إنشاء أداة لتحليل سوق الأوراق المالية ، ونتيجة لذلك ، بدأ استخدامها في سوق الفوركس. الآن يوجد مؤشر الفركتال على جميع منصات التداول ويستخدم في تقنية تداول تسمى اختراق السعر. طور بيل ويليامز هذه التقنية. كما علق المؤلف على اختراعه ، فإن هذه الخوارزمية عبارة عن مزيج من عدة "شموع" ، حيث تعكس الشموع المركزية الحد الأقصى أو ، على العكس من ذلك ، الحد الأدنى للنقطة القصوى.

أخيراً

لذا فقد درسنا ماهية الفركتل. اتضح أنه في الفوضى التي تحيط بنا ، في الواقع ، هناك أشكال مثالية. الطبيعة هي أفضل مهندس معماري ، وباني ومهندس مثالي. إنه منظم بشكل منطقي للغاية ، وإذا لم نتمكن من العثور على نمط ، فهذا لا يعني أنه غير موجود. ربما تحتاج إلى النظر إلى مقياس مختلف. يمكننا القول بثقة أن الفركتلات لا تزال تحتفظ بالكثير من الأسرار التي لم نكتشفها بعد.

من أجل تمثيل المجموعة الكاملة للفركتلات ، من الملائم اللجوء إلى تصنيفها المقبول عمومًا.

2.1 الفركتلات الهندسية

الفركتلات من هذه الفئة هي الأكثر وضوحًا. في الحالة ثنائية الأبعاد ، يتم الحصول عليها باستخدام بعض الخطوط المتعددة (أو السطح في الحالة ثلاثية الأبعاد) تسمى مولد كهرباء. في خطوة واحدة من الخوارزمية ، يتم استبدال كل جزء من أجزاء الخط المكسور بمولد خط مكسور ، بالمقياس المناسب. نتيجة التكرار اللانهائي لهذا الإجراء ، يتم الحصول على كسورية هندسية.

الشكل 1. بناء منحنى كوخ الثلاثي.

فكر في أحد هذه الأجسام الكسورية - منحنى كوخ الثلاثي. يبدأ بناء المنحنى بجزء من طول الوحدة (الشكل 1) - هذا هو الجيل 0 من منحنى كوخ. علاوة على ذلك ، يتم استبدال كل رابط (جزء واحد في الجيل الصفري) بـ مولداتريكس، المشار إليها في الشكل 1 حتى ن = 1. نتيجة لهذا الاستبدال ، يتم الحصول على الجيل التالي من منحنى كوخ. في الجيل الأول ، هذا منحنى من أربعة روابط مستقيمة ، كل منها بطول 1/3 . للحصول على الجيل الثالث ، يتم تنفيذ نفس الإجراءات - يتم استبدال كل رابط بعنصر تشكيل مخفض. لذلك ، للحصول على كل جيل لاحق ، يجب استبدال جميع روابط الجيل السابق بعنصر تشكيل مخفض. منحنى نالجيل العاشر لأي حد نمُسَمًّى فركتال. يوضح الشكل 1 خمسة أجيال من المنحنى. في نيميل إلى اللانهاية ، يصبح منحنى كوخ كائنًا فركتليًا.

الشكل 2. بناء "التنين" لهارتر هاتواي.

للحصول على كائن كسوري آخر ، تحتاج إلى تغيير قواعد البناء. دع عنصر التوليد يكون جزأين متساويين متصلين بزوايا قائمة. في الجيل الصفري ، نستبدل قطعة الوحدة بهذا العنصر المولِّد بحيث تكون الزاوية في الأعلى. يمكننا القول أنه مع مثل هذا الاستبدال ، يحدث تحول في منتصف الارتباط. عند إنشاء الأجيال القادمة ، يتم استيفاء القاعدة: يتم استبدال الرابط الأول على اليسار بعنصر توليد بحيث يتم إزاحة منتصف الرابط إلى يسار اتجاه الحركة ، وعند استبدال الروابط التالية ، يجب أن تتناوب اتجاهات الإزاحة لنقاط المنتصف للقطاعات. يوضح الشكل 2 الأجيال القليلة الأولى والجيل الحادي عشر من المنحنى الذي تم إنشاؤه وفقًا للمبدأ الموضح أعلاه. منحنى الفركتال المحدد (عند نتميل إلى اللانهاية) تنين هارتر هاتواي .

في رسومات الكمبيوتر ، يعد استخدام الفركتلات الهندسية ضروريًا عند الحصول على صور للأشجار والشجيرات والساحل. تُستخدم الفركتلات الهندسية ثنائية الأبعاد لإنشاء نسيج حجمي (أنماط على سطح كائن ما).

2.2 الفركتلات الجبرية

هذه هي أكبر مجموعة من الفركتلات. يتم الحصول عليها باستخدام عمليات غير خطية في نفضاءات ذات أبعاد. العمليات ثنائية الأبعاد هي الأكثر دراسة. عند تفسير عملية تكرارية غير خطية كنظام ديناميكي منفصل ، يمكن للمرء استخدام مصطلحات نظرية هذه الأنظمة: صورة المرحلة, حالة مستقرة, جاذبإلخ.

من المعروف أن الأنظمة الديناميكية غير الخطية لها العديد من الحالات المستقرة. تعتمد الحالة التي يجد فيها النظام الديناميكي نفسه بعد عدد معين من التكرارات على حالته الأولية. لذلك ، فإن كل حالة مستقرة (أو ، كما يقولون ، جاذب) لها منطقة معينة من الحالات الأولية ، والتي من الضروري أن يقع النظام في الحالات النهائية المدروسة. وبالتالي ، يتم تقسيم مساحة المرحلة للنظام إلى مناطق الجذبالجاذبون. إذا كانت مساحة الطور ثنائية الأبعاد ، فيمكن الحصول عليها عن طريق تلوين مناطق الجذب بألوان مختلفة مرحلة اللون صورةهذا النظام (عملية تكرارية). من خلال تغيير خوارزمية اختيار اللون ، يمكنك الحصول على أنماط كسورية معقدة مع أنماط خيالية متعددة الألوان. كانت المفاجأة لعلماء الرياضيات هي القدرة على إنشاء هياكل معقدة للغاية وغير تافهة باستخدام خوارزميات بدائية.

الشكل 3. مجموعة ماندلبروت.

كمثال ، ضع في اعتبارك مجموعة Mandelbrot (انظر الشكل 3 والشكل 4). خوارزمية بنائها بسيطة للغاية وتستند إلى تعبير تكراري بسيط:

ض = ض[أنا]* ض[i] + ج,

أين ضانا و جمتغيرات معقدة. يتم إجراء التكرارات لكل نقطة بداية جمنطقة مستطيلة أو مربعة - مجموعة فرعية من المستوى المركب. تستمر العملية التكرارية حتى ض[i] لن يتجاوز دائرة نصف القطر 2 ، التي يقع مركزها عند النقطة (0،0) ، (وهذا يعني أن جاذب النظام الديناميكي عند اللانهاية) ، أو بعد عدد كبير بما فيه الكفاية من التكرارات (على سبيل المثال ، 200-500) ض[i] يتقارب إلى نقطة ما على الدائرة. اعتمادًا على عدد التكرارات التي يتم خلالها ضبقي [i] داخل الدائرة ، يمكنك ضبط لون النقطة ج(لو ض[i] يبقى داخل الدائرة لعدد كبير من التكرارات ، وتتوقف عملية التكرار ويتم رسم هذه النقطة النقطية باللون الأسود).

الشكل 4. جزء من حدود مجموعة ماندلبروت مكبّرًا 200 مرة.

تعطي الخوارزمية أعلاه تقريبًا لما يسمى بمجموعة ماندلبروت. تحتوي مجموعة ماندلبروت على نقاط خلال بلا نهايةعدد التكرارات لا يذهب إلى ما لا نهاية (النقاط سوداء). تنتقل النقاط التي تنتمي إلى حدود المجموعة (هذا هو المكان الذي تنشأ فيه الهياكل المعقدة) إلى ما لا نهاية في عدد محدود من التكرارات ، وتنتقل النقاط الواقعة خارج المجموعة إلى اللانهاية بعد عدة تكرارات (خلفية بيضاء).

2.3 الفركتلات العشوائية

فئة أخرى معروفة من الفركتلات هي الفركتلات العشوائية ، والتي يتم الحصول عليها إذا تم تغيير أي من معلماتها بشكل عشوائي في عملية تكرارية. ينتج عن هذا كائنات مشابهة جدًا للأشجار الطبيعية - الأشجار غير المتكافئة ، والسواحل ذات المسافات البادئة ، وما إلى ذلك. تستخدم الفركتلات العشوائية ثنائية الأبعاد في نمذجة التضاريس وسطح البحر.

هناك تصنيفات أخرى للفركتلات ، على سبيل المثال ، تقسيم الفركتلات إلى حتمية (جبرية وهندسية) وغير حتمية (عشوائية).

الفركتلات معروفة منذ ما يقرب من قرن ، وتمت دراستها جيدًا ولها تطبيقات عديدة في الحياة. تستند هذه الظاهرة إلى فكرة بسيطة للغاية: يمكن الحصول على عدد لا حصر له من الشخصيات في الجمال والتنوع من نسبيًا تصاميم بسيطةمن خلال عمليتين فقط - النسخ والقياس

هذا المفهوم ليس له تعريف صارم. لذلك ، فإن كلمة "كسورية" ليست مصطلحًا رياضيًا. عادة ما يكون هذا هو اسم الشكل الهندسي الذي يفي بواحدة أو أكثر من الخصائص التالية:

• له هيكل معقد في أي تكبير ؛
• متشابهة (تقريبًا) ذاتيًا ؛
• له بعد كسور Hausdorff (كسوري) ، وهو أكبر من البعد الطوبولوجي ؛
• يمكن بناؤها عن طريق الإجراءات العودية.

في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين ، كانت دراسة الفركتلات عرضية أكثر منها منهجية ، لأن علماء الرياضيات الأوائل درسوا بشكل أساسي الأشياء "الجيدة" التي يمكن دراستها باستخدام الأساليب والنظريات العامة. في عام 1872 ، وضع عالم الرياضيات الألماني كارل وييرستراس مثالاً على دالة مستمرة لا يمكن اشتقاقها في أي مكان. ومع ذلك ، كان بنائه مجرّدًا تمامًا ويصعب فهمه. لذلك ، في عام 1904 ، توصل السويدي هيلج فون كوخ إلى منحنى مستمر ليس له أي مماس في أي مكان ، ومن السهل جدًا رسمه. اتضح أن لها خصائص كسورية. أحد أشكال هذا المنحنى يسمى ندفة الثلج كوخ.

تم اختيار أفكار التشابه الذاتي بين الشخصيات من قبل الفرنسي بول بيير ليفي ، المرشد المستقبلي لبينوا ماندلبروت. في عام 1938 ، نُشر مقالته بعنوان "منحنيات وأسطح مستوية ومكانية تتكون من أجزاء مشابهة للكل" ، حيث تم وصف كسورية أخرى - منحنى ليفي سي. يمكن أن تُعزى جميع الفركتلات المذكورة أعلاه إلى فئة واحدة من الفركتلات البناءة (الهندسية).

فئة أخرى هي الفركتلات الديناميكية (الجبرية) ، والتي تشمل مجموعة ماندلبروت. تعود الدراسات الأولى في هذا الاتجاه إلى بداية القرن العشرين وترتبط بأسماء عالم الرياضيات الفرنسيين غاستون جوليا وبيير فاتو. في عام 1918 ، نشرت جوليا ما يقرب من مائتي صفحة من العمل المكرس لتكرارات معقدة وظائف عقلانية، الذي يصف مجموعات جوليا - عائلة كاملة من الفركتلات وثيقة الصلة بمجموعة ماندلبروت. حصل هذا العمل على جائزة الأكاديمية الفرنسية ، لكنه لم يحتوي على رسم إيضاحي واحد ، لذلك كان من المستحيل تقدير جمال الأشياء المكتشفة. على الرغم من حقيقة أن هذا العمل جعل جوليا مشهورة بين علماء الرياضيات في ذلك الوقت ، إلا أنه سرعان ما نسي.

بعد نصف قرن فقط ، مع ظهور أجهزة الكمبيوتر ، تحول الانتباه إلى أعمال جوليا وفاتو: لقد كانا هما من جعل ثراء عالم الفركتلات وجماله مرئيًا. بعد كل شيء ، لم تستطع فاتو أبدًا النظر إلى الصور التي نعرفها الآن كصور لمجموعة ماندلبروت ، لأن المبلغ المطلوبلا يمكن إجراء الحسابات يدويًا. كان بينوا ماندلبروت أول شخص استخدم الكمبيوتر لهذا الغرض.

في عام 1982 ، نُشر كتاب ماندلبروت "The Fractal Geometry of Nature" ، حيث جمع المؤلف ونظم جميع المعلومات تقريبًا حول الفركتلات المتوفرة في ذلك الوقت وقدمها بطريقة سهلة ويسهل الوصول إليها. ركز ماندلبروت بشكل رئيسي في عرضه ليس على الصيغ الثقيلة والتركيبات الرياضية ، ولكن على الحدس الهندسي للقراء. بفضل الرسوم التوضيحية والقصص التاريخية التي تم إنشاؤها بواسطة الكمبيوتر ، والتي خفف بها المؤلف بمهارة المكون العلمي للدراسة ، أصبح الكتاب من أكثر الكتب مبيعًا ، وأصبحت الفركتلات معروفة لعامة الناس. يرجع نجاحهم بين غير الرياضيين إلى حد كبير إلى حقيقة أنه بمساعدة الإنشاءات والصيغ البسيطة جدًا التي يمكن حتى لطالب المدرسة الثانوية فهمها ، يتم الحصول على صور ذات تعقيد مذهل وجمال مذهل. عندما أصبحت أجهزة الكمبيوتر الشخصية قوية بما فيه الكفاية ، ظهر حتى اتجاه كامل في الفن - الرسم النمطي هندسي متكرر ، وتقريبا أي مالك كمبيوتر يمكن أن يفعل ذلك. الآن على الإنترنت يمكنك بسهولة العثور على العديد من المواقع المخصصة لهذا الموضوع.

كما أصبح واضحًا في العقود الأخيرة (فيما يتعلق بتطوير نظرية التنظيم الذاتي) ، يحدث التشابه الذاتي في معظم مواضيع مختلفةوالظواهر. على سبيل المثال ، يمكن ملاحظة التشابه الذاتي في فروع الأشجار والشجيرات ، في تقسيم الزيجوت المخصب ، والثلج ، وبلورات الجليد ، في تطوير النظم الاقتصادية ، في بنية النظم الجبلية ، والسحب.

جميع الكائنات المدرجة وغيرها من الأشياء المماثلة لها في بنيتها هي كسورية. أي أن لديهم خصائص التشابه الذاتي ، أو ثبات الحجم. وهذا يعني أن بعض أجزاء هيكلها تتكرر بدقة في فترات مكانية معينة. من الواضح أن هذه الكائنات يمكن أن تكون من أي طبيعة ، ويظل مظهرها وشكلها دون تغيير بغض النظر عن المقياس. في كل من الطبيعة والمجتمع ، يحدث التكرار الذاتي على نطاق واسع بما فيه الكفاية. لذلك ، تكرر السحابة هيكلها الممزق من 10 4 م (10 كم) إلى 10-4 م (0.1 مم). يتكرر التفرع في الأشجار من 10 -2 إلى 10 2 م ، والمواد المنهارة التي تولد التشققات تكرر أيضًا تشابهها الذاتي على عدة مستويات. تذوب ندفة الثلج التي تسقط على اليد. خلال فترة الذوبان ، والانتقال من مرحلة إلى أخرى ، فإن قطرة ندفة الثلج هي أيضًا كسورية.

الفركتل هو كائن ذو تعقيد لانهائي ، مما يسمح بفحصه عن كثب تفاصيل أقلمن بعيد. مثال كلاسيكيلذلك - الأرض. من الفضاء تبدو مثل كرة. عند الاقتراب منه ، سنجد المحيطات والقارات والسواحل وسلاسل الجبال. في وقت لاحق ، المزيد أجزاء صغيرة: قطعة أرض على سطح جبل معقدة وغير مستوية مثل الجبل نفسه. ثم ستظهر جزيئات صغيرة من التربة ، كل منها هو بحد ذاته كائن فركتلي.

الفركتل هو بنية غير خطية تحتفظ بالتشابه الذاتي عند تكبيرها أو تصغيرها إلى ما لا نهاية. فقط في أطوال صغيرة تتحول اللاخطية إلى خطية. هذا واضح بشكل خاص في الإجراء الرياضي للتفاضل.

وبالتالي ، يمكننا القول أن الفركتلات كنماذج تستخدم عندما لا يمكن تمثيل الكائن الحقيقي في شكل نماذج كلاسيكية. وهذا يعني أننا نتعامل مع العلاقات غير الخطية والطبيعة غير الحتمية للبيانات. تعني اللاخطية بالمعنى الأيديولوجي تعدد مسارات التنمية ، وتوافر الاختيار من المسارات البديلة ووتيرة معينة للتطور ، فضلاً عن عدم رجوع العمليات التطورية. بالمعنى الرياضي ، اللاخطية هي نوع معينالمعادلات الرياضية (اللاخطية المعادلات التفاضلية) تحتوي على الكميات المطلوبة بالقوى ، أكثر من واحدأو معاملات حسب خصائص الوسيط. أي عندما نطبق النماذج الكلاسيكية (على سبيل المثال ، الاتجاه ، والانحدار ، وما إلى ذلك) ، فإننا نقول إن مستقبل كائن ما يتم تحديده بشكل فريد. ويمكننا التنبؤ به ، بمعرفة ماضي الكائن (البيانات الأولية للنمذجة). وتستخدم الفركتلات في الحالة التي يكون فيها للكائن عدة خيارات للتطوير ويتم تحديد حالة النظام من خلال الموضع الذي يوجد فيه حاليًا. أي أننا نحاول محاكاة التطور الفوضوي.

عندما يتحدثون عن حتمية نظام معين ، فإنهم يعنون أن سلوكه يتميز بعلاقة سببية لا لبس فيها. بمعنى ، معرفة الشروط الأولية وقانون الحركة للنظام ، من الممكن التنبؤ بدقة بمستقبله. إن فكرة الحركة في الكون هذه هي سمة الديناميكيات النيوتونية الكلاسيكية. الفوضى ، على العكس من ذلك ، تعني عملية عشوائية فوضوية ، عندما لا يمكن التنبؤ بمسار الأحداث أو إعادة إنتاجه.

تتولد الفوضى من خلال الديناميكيات الجوهرية للنظام غير الخطي - خاصية هذا النظام لفصل مسارات الإغلاق التعسفي بشكل سريع بشكل كبير. نتيجة لذلك ، يعتمد شكل المسارات بشدة على الظروف الأولية. عند دراسة الأنظمة التي تتطور للوهلة الأولى بطريقة فوضوية ، فإنها غالبًا ما تستخدم نظرية الفركتلات ، لأن هذا النهج هو الذي يجعل من الممكن رؤية نمط معين في حدوث الانحرافات "العشوائية" في تطوير النظام.

تمنحنا دراسة الهياكل الفركتلية الطبيعية الفرصة لفهم عمليات التنظيم الذاتي وتطوير الأنظمة غير الخطية بشكل أفضل. لقد اكتشفنا بالفعل أن الفركتلات الطبيعية للخطوط المتعرجة الأكثر تنوعًا موجودة في كل مكان حولنا. هل هو شاطئ بحر ، أشجار ، غيوم ، صاعقة ، هيكل معدني ، عصبي أم نظام الأوعية الدمويةشخص. ظهرت هذه الخطوط المعقدة والأسطح الخشنة في المشهد بحث علمي، لأن الطبيعة أظهرت لنا مستوى مختلفًا تمامًا من التعقيد عن الأنظمة الهندسية المثالية. تبين أن الهياكل قيد الدراسة متشابهة في العلاقة المكانية والزمانية. لقد قاموا بتكرار أنفسهم ذاتيًا إلى ما لا نهاية وكرروا أنفسهم على مقاييس مختلفة من الطول والوقت. أي عملية غير خطية تؤدي في النهاية إلى مفترق. يختار النظام في هذه الحالة ، عند نقطة الفرع ، مسارًا أو آخر. سيبدو مسار تطور النظام كسوري ، أي خط متقطع ، يمكن وصف شكله بأنه مسار متفرع ومعقد له منطقه ونمطه الخاصان.

يمكن مقارنة تفرع النظام بتفرع الشجرة ، حيث يتوافق كل فرع مع ثلث النظام بأكمله. المتفرعة يسمح هيكل خطياملأ الفراغ الحجمي ، أو بشكل أكثر دقة: إحداثيات البنية الكسورية مساحات مختلفة. يمكن أن ينمو الفراكتل ، ويملأ المساحة المحيطة ، تمامًا كما تنمو البلورة في محلول مفرط التشبع. في هذه الحالة ، لن ترتبط طبيعة التفرع بالصدفة ، ولكن بنمط معين.

تكرر البنية الفركتلية نفسها بشكل مشابه على مستويات أخرى ، على مستوى أعلى من تنظيم الحياة البشرية ، على سبيل المثال ، على مستوى التنظيم الذاتي لمجموعة أو فريق. ينتقل التنظيم الذاتي للشبكات والنماذج من المستوى الجزئي إلى المستوى الكلي. بشكل جماعي ، يمثلون وحدة شاملة ، حيث يمكن للمرء أن يحكم على الكل من خلال الجزء. في هذا ورقة مصطلحتعتبر الخصائص الكسورية للعمليات الاجتماعية كمثال ، مما يدل على عالمية نظرية الفركتلات وولائها لمختلف مجالات العلوم.

نستنتج أن الفركتل هو طريقة للتفاعل المنظم للمساحات ذات الأبعاد والطبيعة المختلفة. يجب أن يضاف إلى ما سبق أنه ليس مكانيًا فحسب ، بل زمنيًا أيضًا. عندها سيكون حتى الدماغ البشري والشبكات العصبية بنية كسورية.

الطبيعة مغرمة جدًا بالأشكال الكسورية. الكائن الفركتلي له هيكل مترامي الأطراف ومخلخل. عند مراقبة مثل هذه الأجسام بتكبير متزايد ، يمكن للمرء أن يرى أنها تعرض نمطًا يتكرر على مستويات مختلفة. لقد قلنا بالفعل أن الجسم الفركتلي يمكن أن يبدو متماثلًا تمامًا بغض النظر عما إذا كنا نلاحظه على مقياس متر أو مليمتر أو ميكرون (1: 1،000،000 من المتر). تتجلى خاصية تناظر الأجسام الكسورية في الثبات فيما يتعلق بالمقياس. الفركتلات متناظرة حول مركز التمدد أو إعادة القياس ، تمامًا كما تكون الأجسام المستديرة متناظرة حول محور الدوران.

الصورة المحببة للديناميكيات غير الخطية هي هياكل كسورية ، حيث يتم بناء الوصف وفقًا لنفس القاعدة مع تغيير المقياس. في الحياه الحقيقيهتنفيذ هذا المبدأ ممكن مع اختلافات طفيفة. على سبيل المثال ، في الفيزياء ، عند الانتقال من مستوى إلى مستوى (من العمليات الذرية إلى النووية ، ومن النووية إلى الجسيمات الأولية) تغيير الانتظام والنماذج وطرق الوصف. نلاحظ نفس الشيء في علم الأحياء (مستوى تعداد الكائن الحي والأنسجة والخلية وما إلى ذلك). يعتمد مستقبل التآزر على مدى قدرة العلم غير الخطي على المساعدة في وصف هذا التباين الهيكلي و مختلف الظواهر "المتداخلة". في الوقت الحالي ، لا تمتلك معظم التخصصات العلمية نماذج مفاهيمية كسورية موثوقة.

اليوم ، يتم تنفيذ التطورات في إطار نظرية الفركتلات في أي علم معين - الفيزياء وعلم الاجتماع وعلم النفس واللغويات ، إلخ. ثم المجتمع و مؤسسات إجتماعية، واللغة ، وحتى الفكر فركتلات.

في المناقشات التي دارت في السنوات الاخيرةبين العلماء والفلاسفة حول مفهوم الفركتلات ، السؤال الأكثر إثارة للجدل هو التالي: هل من الممكن الحديث عن عالمية الفركتلات ، أن كل كائن في الطبيعة يحتوي على كسورية أو يمر بمرحلة كسورية؟ هناك مجموعتان من العلماء يجيبون على هذا السؤال بالطريقة المعاكسة تمامًا. تدعم المجموعة الأولى ("الراديكاليون" ، المبتكرون) الأطروحة حول عالمية الفركتلات. تنكر المجموعة الثانية ("المحافظون") هذه الأطروحة ، لكنها لا تزال تدعي أنه ليس كل كائن في الطبيعة له فراكتل ، ولكن يمكن العثور على كسورية في كل منطقة من مجالات الطبيعة.

نجح العلم الحديث في تكييف نظرية الفركتلات من أجل مناطق مختلفةمعرفة. لذلك ، في علم الاقتصاد ، يتم استخدام نظرية الفركتلات في التحليل الفني. الأسواق الماليةالتي كانت موجودة في البلدان المتقدمة في العالم لأكثر من مائة عام. لأول مرة ، لاحظ سي داو القدرة على التنبؤ بالسلوك المستقبلي لأسعار الأسهم ، إذا كان اتجاهها لبعض الفترة الأخيرة معروفًا. في التسعينيات ، بعد نشر عدد من المقالات ، لاحظ داو أن أسعار الأسهم كانت عرضة لتقلبات دورية: بعد ارتفاع طويل ، يتبعه هبوط طويل ، ثم يرتفع وينخفض ​​مرة أخرى.

في منتصف القرن العشرين ، عندما كان العالم العلمي بأكمله مفتونًا بنظرية الفركتلات الناشئة حديثًا ، اقترح ممول أمريكي آخر معروف ، آر إليوت ، نظريته عن سلوك أسعار الأسهم ، والتي كانت مبنية على استخدام الفركتلات. نظرية. انطلق إليوت من حقيقة أن هندسة الفركتلات لا تحدث فقط في الطبيعة الحية ، ولكن أيضًا في العمليات الاجتماعية. كما أرجع تداول الأسهم في البورصة إلى العمليات الاجتماعية.

أساس النظرية هو ما يسمى بالمخطط الموجي. تتيح هذه النظرية إمكانية التنبؤ بالسلوك الإضافي لاتجاه السعر ، بناءً على معرفة ما قبل التاريخ لسلوكه واتباع قواعد تطوير السلوك النفسي الجماعي.

وجدت نظرية الفركتلات أيضًا تطبيقًا في علم الأحياء. العديد من الهياكل والأنظمة البيولوجية ، إن لم يكن كلها ، للنباتات والحيوانات والبشر لها طبيعة كسورية ، وبعض التشابه معها: الجهاز العصبيوجهاز الرئة والدورة الدموية والجهاز الليمفاوي ، إلخ. ظهرت أدلة على أن تطور الورم الخبيث يتم أيضًا وفقًا لمبدأ الفركتال. مع الأخذ في الاعتبار مبدأ التقارب الذاتي وتطابق الفركتلات ، يمكن تفسير عدد من مشاكل التطور المستعصية عالم عضوي. تتميز الأجسام الكسورية أيضًا بميزة مثل مظهر من مظاهر التكامل. التكامل في الكيمياء الحيوية - المراسلات المتبادلة في التركيب الكيميائياثنين من الجزيئات الكبيرة ، مما يضمن تفاعلهما - اقتران شريطين من الحمض النووي ، وربط إنزيم بالركيزة ، ومستضد مع جسم مضاد. تتلاءم الهياكل التكميلية معًا مثل مفتاح القفل (موسوعة سيريل وميثوديوس). هذه الخاصية تمتلكها سلاسل DNA polynucleotide.

تكمن إحدى أقوى تطبيقات الفركتلات في رسومات الحاسوب. أولاً ، هو ضغط فركتلي للصور ، وثانيًا ، بناء المناظر الطبيعية والأشجار والنباتات وتوليد القوام الكسوري. في الوقت نفسه ، للضغط ، وتسجيل المعلومات ، من الضروري زيادة مماثلة في الفركتال ، ولقراءتها ، على التوالي ، زيادة مماثلة للذات.

تتمثل مزايا خوارزميات ضغط الصور الكسورية في الحجم الصغير جدًا للملف المعبأ والوقت القصير لاستعادة الصورة. يمكن تحجيم الصور المعبأة بشكل كسور دون ظهور البكسل. لكن عملية الضغط تستغرق وقتًا طويلاً وتستمر أحيانًا لساعات. تسمح لك خوارزمية التعبئة النمطي هندسي متكرر بضبط مستوى الضغط ، على غرار تنسيق jpeg. تعتمد الخوارزمية على إيجاد أجزاء كبيرة من الصورة مشابهة لبعض الأجزاء الصغيرة. ويتم فقط كتابة المعلومات حول التشابه بين جزء وآخر في ملف الإخراج. عند الضغط ، عادةً ما يتم استخدام شبكة مربعة (القطع عبارة عن مربعات) ، مما يؤدي إلى زاوية طفيفة عند استعادة الصورة ، وتكون الشبكة السداسية خالية من هذا العيب.

ضمن أعمال أدبيةالعثور على تلك التي لها طبيعة كسورية نصية أو هيكلية أو دلالية. في الفركتلات النصية ، من المحتمل أن تتكرر عناصر النص إلى ما لا نهاية. تشتمل الفركتلات النصية على شجرة لانهائية غير متفرعة تتطابق مع نفسها من أي تكرار ("كان للكاهن كلب ..." ، "مثل الفيلسوف الذي يحلم بأنه فراشة تحلم بأنها فيلسوفة تحلم ..." ، "البيان كاذب أن البيان صحيح ، وأن البيان كاذب ...") ؛ نصوص لا نهاية لها غير متفرعة مع اختلافات ("كان لدى Peggy أوزة مرح ...") ونصوص ذات امتدادات ("المنزل الذي بناه جاك").

في الفركتلات الهيكلية ، من المحتمل أن يكون مخطط النص كسوريًا. تم ترتيب النصوص ذات الهيكل وفقًا للمبادئ التالية: إكليل من السوناتات (15 قصيدة) ، إكليل من أكاليل السوناتات (211 قصيدة) ، إكليل من أكاليل الزهور من السوناتات (2455 قصيدة) ؛ "قصص في قصة" ("كتاب ألف ليلة وليلة" ، يا بوتوتسكي "المخطوطة الموجودة في سرقسطة") ؛ مقدمات تخفي التأليف (و. إيكو "اسم الوردة").

ما هو القاسم المشترك بين الشجرة أو شاطئ البحر أو السحابة أو الأوعية الدموية في أيدينا؟ للوهلة الأولى ، قد يبدو أن كل هذه الأشياء لا تشترك في شيء. ومع ذلك ، في الواقع ، هناك خاصية واحدة للبنية متأصلة في جميع الكائنات المدرجة: فهي متشابهة ذاتيًا. من الفرع ، وكذلك من جذع الشجرة ، تخرج العمليات الأصغر منها - حتى العمليات الأصغر ، وما إلى ذلك ، أي أن الفرع يشبه الشجرة بأكملها. يتم ترتيب الدورة الدموية بطريقة مماثلة: الشرايين تخرج من الشرايين ، ومنهم - أصغر الشعيرات الدموية التي يدخل الأكسجين من خلالها إلى الأعضاء والأنسجة. لنلق نظرة على صور الفضاء ساحل البحر: سنرى الخلجان وأشباه الجزر. دعونا نلقي نظرة عليها ، ولكن من وجهة نظر الطائر: سنرى الخلجان والرؤوس ؛ تخيل الآن أننا نقف على الشاطئ وننظر إلى أقدامنا: ستكون هناك دائمًا حصى تبرز في الماء أكثر من البقية. أي أن الخط الساحلي يظل مشابهًا لنفسه عند التكبير. أطلق عالم الرياضيات الأمريكي بينوا ماندلبروت على هذه الخاصية من الأشياء كسور ، وهذه الأشياء نفسها - الفركتلات (من اللاتينية fractus - مكسورة).

هذا المفهوم ليس له تعريف صارم. لذلك ، فإن كلمة "كسورية" ليست مصطلحًا رياضيًا. عادةً ما يكون الفركتل شكلًا هندسيًا يحقق واحدًا أو أكثر من الخصائص التالية: له هيكل معقد عند أي تكبير (على عكس ، على سبيل المثال ، خط مستقيم ، أي جزء منه هو أبسط شكل هندسي - قطعة). إنه (تقريبًا) متشابه مع نفسه. له بعد كسور Hausdorff (كسوري) ، وهو أكبر من البعد الطوبولوجي. يمكن بناؤها مع الإجراءات العودية.

الهندسة والجبر

كانت دراسة الفركتلات في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين أكثر عرضية منها منهجية ، لأن علماء الرياضيات الأوائل درسوا بشكل أساسي الأشياء "الجيدة" التي يمكن التحقيق فيها باستخدام الأساليب والنظريات العامة. في عام 1872 ، قام عالم الرياضيات الألماني كارل وييرستراس ببناء مثال على دالة مستمرة لا يمكن اشتقاقها في أي مكان. ومع ذلك ، كان بنائه مجرّدًا تمامًا ويصعب فهمه. لذلك ، في عام 1904 ، توصل السويدي هيلج فون كوخ إلى منحنى مستمر ليس له أي مماس في أي مكان ، ومن السهل جدًا رسمه. اتضح أن لها خصائص كسورية. أحد أشكال هذا المنحنى يسمى ندفة الثلج كوخ.

تم اختيار أفكار التشابه الذاتي بين الشخصيات من قبل الفرنسي بول بيير ليفي ، المرشد المستقبلي لبينوا ماندلبروت. في عام 1938 ، نُشر مقالته بعنوان "منحنيات وأسطح مستوية ومكانية تتكون من أجزاء مشابهة للكل" ، حيث تم وصف كسورية أخرى - منحنى ليفي سي. يمكن أن تُعزى كل هذه الفركتلات المذكورة أعلاه بشكل مشروط إلى فئة واحدة من الفركتلات البناءة (الهندسية).

فئة أخرى هي الفركتلات الديناميكية (الجبرية) ، والتي تشمل مجموعة ماندلبروت. بدأ البحث الأول في هذا الاتجاه في بداية القرن العشرين ويرتبط بأسماء عالم الرياضيات الفرنسي غاستون جوليا وبيير فاتو. في عام 1918 ، نشرت جوليا مذكرات من ما يقرب من مائتي صفحة ، مكرسة لتكرارات وظائف عقلانية معقدة ، حيث يتم وصف مجموعات جوليا - عائلة كاملة من الفركتلات وثيقة الصلة بمجموعة ماندلبروت. حصل هذا العمل على جائزة الأكاديمية الفرنسية ، لكنه لم يحتوي على رسم إيضاحي واحد ، لذلك كان من المستحيل تقدير جمال الأشياء المكتشفة. على الرغم من حقيقة أن هذا العمل جعل جوليا مشهورة بين علماء الرياضيات في ذلك الوقت ، إلا أنه سرعان ما نسي. مرة أخرى ، تحول الانتباه إليها بعد نصف قرن فقط مع ظهور أجهزة الكمبيوتر: لقد كانوا هم الذين أظهروا ثراء وجمال عالم الفركتلات.

أبعاد كسورية

كما تعلم ، فإن البعد (عدد القياسات) للشكل الهندسي هو عدد الإحداثيات اللازمة لتحديد موضع نقطة ملقاة على هذا الشكل.
على سبيل المثال ، يتم تحديد موضع نقطة على منحنى بإحداثيات واحدة ، على سطح (وليس بالضرورة مستو) بإحداثيين ، في فضاء ثلاثي الأبعاد بثلاثة إحداثيات.
من وجهة نظر رياضية أكثر عمومية ، يمكن تحديد البعد بهذه الطريقة: تؤدي الزيادة في الأبعاد الخطية ، على سبيل المثال ، مرتين ، للكائنات أحادية البعد (من وجهة نظر طوبولوجية) (مقطع) إلى زيادة في الحجم (الطول) بمعامل اثنين ، بالنسبة لثنائي الأبعاد (مربع) نفس الزيادة في الأبعاد الخطية تؤدي إلى زيادة في الحجم (المنطقة) بمقدار 4 مرات ، لثلاثي الأبعاد (مكعب) - بمقدار 8 مرات. أي أن البعد "الحقيقي" (ما يسمى Hausdorff) يمكن حسابه كنسبة لوغاريتم الزيادة في "حجم" كائن ما إلى لوغاريتم الزيادة في حجمه الخطي. أي بالنسبة للجزء D = السجل (2) / السجل (2) = 1 ، بالنسبة للمستوى D = السجل (4) / السجل (2) = 2 ، بالنسبة إلى المجلد D = السجل (8) / السجل (2) ) = 3.
دعونا الآن نحسب أبعاد منحنى كوخ ، حيث يتم تقسيم جزء الوحدة إلى ثلاثة أجزاء متساوية ويتم استبدال الفاصل الزمني الأوسط بمثلث متساوي الأضلاع بدون هذا المقطع. مع زيادة الأبعاد الخطية للجزء الأدنى ثلاث مرات ، يزداد طول منحنى كوخ في السجل (4) / السجل (3) ~ 1.26. أي أن أبعاد منحنى كوخ كسري!

العلم والفن

في عام 1982 ، نُشر كتاب ماندلبروت "The Fractal Geometry of Nature" ، حيث جمع المؤلف ونظم جميع المعلومات تقريبًا حول الفركتلات المتوفرة في ذلك الوقت وقدمها بطريقة سهلة ويسهل الوصول إليها. ركز ماندلبروت بشكل رئيسي في عرضه ليس على الصيغ الثقيلة والتركيبات الرياضية ، ولكن على الحدس الهندسي للقراء. بفضل الرسوم التوضيحية والقصص التاريخية التي تم إنشاؤها بواسطة الكمبيوتر ، والتي خفف بها المؤلف بمهارة المكون العلمي للدراسة ، أصبح الكتاب من أكثر الكتب مبيعًا ، وأصبحت الفركتلات معروفة لعامة الناس. يرجع نجاحهم بين غير الرياضيين إلى حد كبير إلى حقيقة أنه بمساعدة الإنشاءات والصيغ البسيطة جدًا التي يمكن حتى لطالب المدرسة الثانوية فهمها ، يتم الحصول على صور ذات تعقيد مذهل وجمال مذهل. عندما أصبحت أجهزة الكمبيوتر الشخصية قوية بما فيه الكفاية ، ظهر حتى اتجاه كامل في الفن - الرسم النمطي هندسي متكرر ، وتقريبا أي مالك كمبيوتر يمكن أن يفعل ذلك. الآن على الإنترنت يمكنك بسهولة العثور على العديد من المواقع المخصصة لهذا الموضوع.

مخطط للحصول على منحنى كوخ

الحرب و السلام

كما هو مذكور أعلاه ، أحد كائنات طبيعية، التي لها خصائص كسورية ، هي الساحل. معها ، أو بالأحرى ، مع محاولة قياس طولها ، واحد قصة مثيرة للاهتمام، والتي شكلت أساس مقالة ماندلبروت العلمية ، كما تم وصفها في كتابه "الهندسة الكسورية للطبيعة". نحن نتحدث عن تجربة تم إعدادها بواسطة لويس ريتشاردسون ، عالم الرياضيات والفيزياء والأرصاد الجوية الموهوب للغاية وغريب الأطوار. كان أحد اتجاهات بحثه محاولة إيجاد وصف رياضي لأسباب واحتمالية نشوب نزاع مسلح بين بلدين. من بين المعايير التي أخذها في الاعتبار كان طول الحدود المشتركة بين البلدين المتحاربين. عندما جمع البيانات من أجل التجارب العددية ، وجد أن البيانات على الحدود المشتركة بين إسبانيا والبرتغال تختلف اختلافًا كبيرًا في المصادر المختلفة. قاده ذلك إلى الاكتشاف التالي: طول حدود الدولة يعتمد على الحاكم الذي نقيسها به. كلما كان المقياس أصغر ، كلما طالت الحدود. هذا يرجع إلى حقيقة أنه عند التكبير العالي يصبح من الممكن مراعاة المزيد والمزيد من انحناءات الساحل ، والتي تم تجاهلها سابقًا بسبب خشونة القياسات. وإذا تم ، مع كل تكبير ، فتح انحناءات خطوط غير محسوبة مسبقًا ، فقد اتضح أن طول الحدود لا نهائي! صحيح ، هذا لا يحدث في الواقع - دقة قياساتنا موجودة الحد النهائي. هذه المفارقة تسمى تأثير ريتشاردسون.

فركتلات بنائية (هندسية)

خوارزمية بناء كسورية بناءة في الحالة العامة هي كما يلي. بادئ ذي بدء ، نحتاج إلى شكلين هندسيين مناسبين ، دعنا نسميهما القاعدة والجزء. في المرحلة الأولى ، تم تصوير أساس الفراكتل المستقبلي. ثم يتم استبدال بعض أجزائه بقطعة مأخوذة بمقياس مناسب - وهذا هو التكرار الأول للبناء. ثم ، في الشكل الناتج ، تتغير بعض الأجزاء مرة أخرى إلى أرقام مشابهة للجزء ، وهكذا. إذا واصلنا هذه العملية إلى أجل غير مسمى ، فعندئذ نحصل على كسور في النهاية.

ضع في اعتبارك هذه العملية باستخدام مثال منحنى Koch (انظر الشريط الجانبي في الصفحة السابقة). يمكن اعتبار أي منحنى كأساس لمنحنى كوخ (بالنسبة لندفة الثلج في كوخ ، هذا هو المثلث). لكننا نقتصر على أبسط حالة - شريحة. الجزء عبارة عن خط مكسور يظهر في أعلى الشكل. بعد التكرار الأول للخوارزمية ، في هذه الحالة ، سيتزامن المقطع الأصلي مع الجزء ، ثم يتم استبدال كل جزء من الأجزاء المكونة لها بخط متقطع مشابه للجزء ، وهكذا. يوضح الشكل الأربعة الأولى خطوات هذه العملية.

لغة الرياضيات: الفركتلات الديناميكية (الجبرية)

تنشأ الفركتلات من هذا النوع في دراسة اللاخطية أنظمة ديناميكية(ومن هنا الاسم). يمكن وصف سلوك مثل هذا النظام بوظيفة معقدة غير خطية (متعددة الحدود) f (z). لنأخذ نقطة أولية z0 على المستوى المعقد (انظر الشريط الجانبي). الآن ضع في اعتبارك مثل هذا التسلسل اللانهائي للأرقام على المستوى المركب ، يتم الحصول على كل منها من الرقم السابق: z0 ، z1 = f (z0) ، z2 = f (z1) ، ... zn + 1 = f (zn). اعتمادًا على النقطة الأولية z0 ، يمكن أن يتصرف مثل هذا التسلسل بشكل مختلف: تميل إلى اللانهاية مثل n -> ∞ ؛ تتلاقى إلى نقطة نهاية ما ؛ أخذ دوريًا عددًا من القيم الثابتة ؛ خيارات أكثر تعقيدًا ممكنة.

ارقام مركبة

العدد المركب هو رقم يتكون من جزأين - حقيقي وخيالي ، أي المجموع الرسمي x + iy (x و y هنا أرقام حقيقية). أنا هو ما يسمى. الوحدة التخيلية ، أي الرقم الذي يرضي المعادلة أنا ^ 2 = -1. على الأعداد المركبة الرئيسية عمليات رياضية- الجمع ، الضرب ، القسمة ، الطرح (فقط عملية المقارنة غير محددة). لعرض الأرقام المعقدة ، غالبًا ما يتم استخدام التمثيل الهندسي - على المستوى (يطلق عليه معقد) ، يتم رسم الجزء الحقيقي على طول محور الإحداثي ، والجزء التخيلي على طول المحور الإحداثي ، بينما يتوافق الرقم المركب مع نقطة مع الإحداثيات الديكارتية x و y.

وبالتالي ، فإن أي نقطة z من المستوى المعقد لها طابعها الخاص في السلوك أثناء تكرارات الوظيفة f (z) ، ويتم تقسيم المستوى بأكمله إلى أجزاء. علاوة على ذلك ، فإن النقاط الواقعة على حدود هذه الأجزاء لها الخاصية التالية: بالنسبة للإزاحة الصغيرة بشكل تعسفي ، تتغير طبيعة سلوكها بشكل كبير (تسمى هذه النقاط نقاط التشعب). لذلك ، اتضح أن مجموعات النقاط التي لها نوع معين من السلوك ، بالإضافة إلى مجموعات نقاط التشعب ، غالبًا ما يكون لها خصائص كسورية. هذه هي مجموعات جوليا للوظيفة f (z).

عائلة التنين

من خلال تغيير القاعدة والجزء ، يمكنك الحصول على مجموعة مذهلة من الفركتلات البناءة.
علاوة على ذلك ، يمكن إجراء عمليات مماثلة في مساحة ثلاثية الأبعاد. ومن أمثلة الفركتلات الحجمية "إسفنج منجر" و "هرم سيربينسكي" وغيرها.
يشار إلى عائلة التنانين أيضًا بالفركتلات البناءة. يشار إليها أحيانًا باسم المكتشفين باسم "تنانين هيوي هارتر" (وهي تشبه التنانين الصينية في شكلها). هناك عدة طرق لبناء هذا المنحنى. أبسطها وأكثرها وضوحًا هو هذا: عليك أن تأخذ شريطًا طويلًا من الورق (كلما كانت الورقة أرق ، كان ذلك أفضل) ، وثنيها إلى النصف. ثم ثنيها مرة أخرى إلى النصف في نفس اتجاه المرة الأولى. بعد عدة عمليات تكرار (عادةً بعد خمس أو ست طيات ، يصبح الشريط سميكًا جدًا بحيث لا يمكن ثنيه جيدًا أكثر) ، تحتاج إلى فرد الشريط للخلف ومحاولة تشكيل زوايا 90 درجة عند الطيات. ثم سيظهر منحنى التنين في الملف الشخصي. بالطبع ، سيكون هذا تقريبيًا فقط ، مثل كل محاولاتنا لتصوير الأجسام الكسورية. يسمح لك الكمبيوتر بتصوير العديد من الخطوات الأخرى في هذه العملية ، والنتيجة هي شخصية جميلة جدًا.

تم بناء مجموعة ماندلبروت بطريقة مختلفة نوعًا ما. ضع في اعتبارك الدالة fc (z) = z 2 + c ، حيث c عدد مركب. دعونا نبني تسلسلًا لهذه الوظيفة مع z0 = 0 ، اعتمادًا على المعلمة c ، يمكن أن تتباعد إلى ما لا نهاية أو تظل محدودة. علاوة على ذلك ، فإن جميع قيم c التي يتم تقييد هذا التسلسل لها من مجموعة Mandelbrot. درسها بالتفصيل ماندلبروت نفسه وعلماء رياضيات آخرون اكتشفوا الكثير خصائص مثيرة للاهتمامهذه المجموعة.

يمكن ملاحظة أن تعريف مجموعات جوليا وماندلبروت متشابهة مع بعضها البعض. في الواقع ، هاتان المجموعتان مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا. وبالتحديد ، فإن مجموعة Mandelbrot هي جميع قيم المعلمة المعقدة c التي تتصل بها مجموعة جوليا fc (z) (تسمى المجموعة متصلة إذا كان لا يمكن تقسيمها إلى جزأين غير متقاطعين ، مع بعض الشروط الإضافية).

الفركتلات والحياة

في الوقت الحاضر ، تستخدم نظرية الفركتلات على نطاق واسع في مختلف مجالات النشاط البشري. بالإضافة إلى كائن علمي بحت للبحث واللوحة الكسورية التي سبق ذكرها ، تُستخدم الفركتلات في نظرية المعلومات لضغط البيانات الرسومية (هنا ، تُستخدم خاصية التشابه الذاتي للفركتلات بشكل أساسي - بعد كل شيء ، من أجل تذكر جزء صغير للرسم والتحويلات التي يمكنك من خلالها الحصول على الأجزاء المتبقية ، يستغرق الأمر ذاكرة أقل بكثير من تخزين الملف بأكمله). من خلال إضافة اضطرابات عشوائية إلى الصيغ التي تحدد الفركتلات ، يمكنك الحصول على فركتلات عشوائية تنقل بشكل معقول بعض الأشياء الحقيقية - عناصر الإغاثة ، وسطح المسطحات المائية ، وبعض النباتات ، والتي تُستخدم بنجاح في الفيزياء والجغرافيا ورسومات الكمبيوتر لتحقيق تشابه أكبر للأشياء التي تمت محاكاتها مع الأشياء الحقيقية. في الإلكترونيات الراديوية ، في العقد الماضي ، بدأوا في إنتاج هوائيات لها شكل كسوري. تشغل مساحة صغيرة ، فهي توفر استقبال إشارة عالي الجودة. يستخدم الاقتصاديون الفركتلات لوصف منحنيات تقلب العملة (اكتشف ماندلبروت هذه الخاصية منذ أكثر من 30 عامًا). هذا يختتم هذه الرحلة القصيرة إلى عالم الفركتلات المدهشة في جمالها وتنوعها.