مهام عملية على المنطق الرياضي للبيانات والعمليات عليها. قيم الحقيقة

المنطق الاقتراحي ، ويسمى أيضًا المنطق الافتراضى - فرع من الرياضيات والمنطق يدرس الأشكال المنطقية للتعليمات المعقدة المبنية من عبارات بسيطة أو أولية باستخدام العمليات المنطقية.

يُستخرج منطق الافتراضات من العبء ذي المعنى للقضايا ويدرس قيمة الحقيقة ، أي ما إذا كانت القضية صحيحة أم خاطئة.

الشكل أعلاه هو توضيح لظاهرة تعرف باسم مفارقة الكذاب. في الوقت نفسه ، يرى مؤلف المشروع أن مثل هذه المفارقات ممكنة فقط في البيئات التي لا تخلو من المشاكل السياسية ، حيث يمكن اعتبار شخص ما كاذبًا بداهة. في عالم الطبقات الطبيعية يتم تقييم موضوع "الحقيقة" أو "الباطل" فقط تصريحات مأخوذة منفصلة . وفي وقت لاحق في هذا الدرس ، سوف تتعرف على فرصة لتقييم العديد من البيانات حول هذا الموضوع (ثم ​​انظر إلى الإجابات الصحيحة). بما في ذلك العبارات المعقدة التي ترتبط فيها العبارات الأبسط بعلامات العمليات المنطقية. لكن دعونا أولاً نفكر في هذه العمليات على المقترحات نفسها.

يستخدم المنطق الإرشادي في علوم الكمبيوتر والبرمجة في شكل إعلان عن المتغيرات المنطقية وتخصيص القيم المنطقية لها "خطأ" أو "صواب" ، والتي يعتمد عليها مسار التنفيذ الإضافي للبرنامج. في البرامج الصغيرة حيث يتم تضمين متغير منطقي واحد فقط ، غالبًا ما يتم إعطاء هذا المتغير المنطقي اسمًا ، مثل "العلم" ويتم تضمين "العلم" عندما تكون قيمة هذا المتغير "صحيحة" و "العلامة معطلة" عندما تكون قيمة هذا المتغير "خطأ". في البرامج صوت عالي، حيث يوجد العديد من المتغيرات المنطقية أو حتى الكثير منها ، يُطلب من المحترفين الخروج بأسماء للمتغيرات المنطقية التي لها شكل العبارات والحمل الدلالي الذي يميزها عن المتغيرات المنطقية الأخرى ويمكن فهمه للمهنيين الآخرين الذين سيفهمون ذلك. اقرأ نص هذا البرنامج.

لذلك ، يمكن الإعلان عن متغير منطقي باسم "UserRegistered" (أو ما يعادله باللغة الإنجليزية) ، على شكل بيان ، والذي يمكن تعيين القيمة المنطقية "true" إذا تم استيفاء الشروط لإرسال بيانات التسجيل من قبل المستخدم ويتعرف البرنامج على هذه البيانات على أنها صالحة. في عمليات حسابية أخرى ، قد تتغير قيم المتغيرات اعتمادًا على القيمة المنطقية ("صواب" أو "خطأ") التي يمتلكها متغير "تسجيل الدخول إلى المستخدم". في حالات أخرى ، متغير ، على سبيل المثال ، باسم "أكثر من ثلاثة أيام حتى اليوم" ، يمكن تعيين القيمة "True" حتى كتلة معينة من الحسابات ، وأثناء التنفيذ الإضافي للبرنامج ، يمكن أن تكون هذه القيمة تم حفظها أو تغييرها إلى "خطأ" ويعتمد مسار التنفيذ الإضافي على قيمة هذه البرامج المتغيرة.

إذا كان البرنامج يستخدم العديد من المتغيرات المنطقية التي تحتوي أسماؤها على شكل افتراضات ، وتم بناء مقترحات أكثر تعقيدًا منها ، فسيكون من الأسهل بكثير تطوير برنامج إذا تمت كتابة جميع العمليات من الافتراضات في شكل صيغ قبل تطويره. تستخدم في منطق الافتراض أكثر مما نفعله في سياق هذا الدرس ودعنا نفعل ذلك.

العمليات المنطقية على البيانات

بالنسبة للبيانات الرياضية ، يمكن للمرء دائمًا الاختيار بين بديلين مختلفين "صواب" و "خطأ" ، ولكن بالنسبة للبيانات التي يتم إجراؤها بلغة "لفظية" ، فإن مفهومي "صواب" و "خطأ" أكثر غموضًا إلى حد ما. ومع ذلك ، على سبيل المثال ، لا تعتبر الكلمات اللفظية مثل "اذهب إلى المنزل" و "هل تمطر؟" لذلك ، من الواضح أن الأقوال هي أشكال لفظية يتم فيها ذكر شيء ما . جمل الاستفهام أو التعجب ، والاستئناف ، وكذلك الرغبات أو المطالب ليست تصريحات. لا يمكن تقييمها من خلال القيم "صواب" و "خطأ".

من ناحية أخرى ، يمكن النظر إلى العروض على أنها كمية يمكن أن تأخذ قيمتين: "صواب" و "خطأ".

على سبيل المثال ، يتم إصدار الأحكام: "الكلب هو حيوان" ، "باريس هي عاصمة إيطاليا" ، "3

يمكن تقييم أول هذه العبارات بالرمز "صواب" ، والثاني - "خطأ" ، والثالث - "صواب" ، والرابع - "خطأ". مثل هذا التفسير للقضايا هو موضوع الجبر الافتراضي. سوف نشير إلى البيانات الكبيرة بأحرف لاتينية أ, ب، ... ، وقيمها ، أي صواب وخطأ ، على التوالي وو إل. في الكلام العادي ، يتم استخدام الروابط بين العبارات "و" ، أو "وغيرها.

تتيح هذه الروابط ، من خلال الجمع بين العبارات المختلفة ، تكوين عبارات جديدة - عبارات معقدة . على سبيل المثال ، مجموعة من "و". دع البيانات تعطى: π أكبر من 3 "والبيان" π أقل من 4. يمكنك تنظيم بيان جديد - معقد " π أكثر من 3 و π أقل من 4 ". البيان" إذا π غير عقلاني ، إذن π ² هي أيضًا غير منطقية "يتم الحصول عليها من خلال ربط عبارتين بالرابط" if - then ". أخيرًا ، يمكننا الحصول على جملة جديدة - معقدة - من أي عبارة - نفي العبارة الأصلية.

النظر في المقترحات على أنها كميات تأخذ القيم وو إل، نحدد كذلك العمليات المنطقية على البيانات التي تسمح لنا بالحصول على بيانات معقدة جديدة من هذه البيانات.

دعونا نعطي اثنين من البيانات التعسفية أو ب.

1 . العملية المنطقية الأولى على هذه العبارات - الاقتران - هي تشكيل بيان جديد ، والذي سنشير إليه أ ∧ بوهذا صحيح إذا وفقط إذا أو بحقيقي. في الكلام العادي ، تتوافق هذه العملية مع ربط العبارات بمجموعة من "و".

جدول الحقيقة للاقتران:

أ	ب	أ ∧ ب
و	و	و
و	إل	إل
إل	و	إل
إل	إل	إل

2 . العملية المنطقية الثانية على البيانات أو ب- تم التعبير عن الانفصال كـ أ ∨ ب، على النحو التالي: يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كان أحد العبارات الأصلية على الأقل صحيحًا. في الكلام العادي ، تتوافق هذه العملية مع ربط العبارات بمجموعة من "أو". ومع ذلك ، لدينا هنا "أو" غير الانفصالية ، والتي تُفهم بمعنى "إما أو" متى أو بكلاهما لا يمكن أن يكون صحيحًا. في تعريف منطق الافتراض أ ∨ بصحيح إذا كان أحد العبارتين صحيحًا ، وإذا كان كلا العبارتين صحيحًا أو ب.

جدول الحقيقة للانفصال:

أ	ب	أ ∨ ب
و	و	و
و	إل	و
إل	و	و
إل	إل	إل

3 . العملية المنطقية الثالثة على البيانات أو ب، معبراً عنها كـ أ → ب؛ البيان الناتج خطأ إذا وفقط إذا أصحيح و بخطأ شنيع. أاتصل قطعة , ب - عاقبة والبيان أ → ب - التالية ، وتسمى أيضًا ضمنيًا. في الكلام العادي ، تتوافق هذه العملية مع الرابط "if - then": "if أ، ومن بعد ب". ولكن في تعريف منطق الافتراض ، يكون هذا الافتراض صحيحًا دائمًا ، بغض النظر عما إذا كانت القضية صحيحة أم خاطئة ب. يمكن صياغة هذا الظرف بإيجاز على النحو التالي: "أي شيء تحبه يتبع من الخطأ". بدوره ، إذا أصحيح و بخطأ ، ثم البيان كله أ → بخطأ شنيع. سيكون صحيحا إذا وفقط إذا أ، و بحقيقي. باختصار ، يمكن صياغة هذا على النحو التالي: "الخطأ لا يمكن أن يتبع من الحقيقة".

جدول الحقيقة لمتابعة (ضمني):

أ	ب	أ → ب
و	و	و
و	إل	إل
إل	و	و
إل	إل	و

4 . العملية المنطقية الرابعة على البيانات ، وبشكل أكثر دقة على بيان واحد ، تسمى نفي البيان. أويشار إليها ب ~ أ(يمكنك أيضًا العثور على استخدام ليس الرمز ~ ، ولكن الرمز ¬ ، وكذلك استخدام الخط العلوي أ). ~ أهناك بيان خاطئ عندما أصحيح وصحيح عندما أخطأ شنيع.

جدول الحقيقة للنفي:

أ	~ أ
إل	و
و	إل

5 . وأخيرًا ، تسمى العملية المنطقية الخامسة على الافتراضات التكافؤ ويتم الإشارة إليها أ ↔ ب. البيان الناتج أ ↔ ببيان صحيح إذا وفقط إذا أو بكلاهما صحيح أو كلاهما خطأ.

جدول الحقيقة للتكافؤ:

أ	ب	أ → ب	ب → أ	أ ↔ ب
و	و	و	و	و
و	إل	إل	و	إل
إل	و	و	إل	إل
إل	إل	و	و	و

تحتوي معظم لغات البرمجة على رموز خاصة للقيم المنطقية للقضايا ، وهي مكتوبة بجميع اللغات تقريبًا على أنها صحيحة (صواب) وخطأ (خطأ).

دعونا نلخص ما ورد أعلاه. المنطق الاقتراحي يدرس الروابط التي يتم تحديدها بالكامل من خلال الطريقة التي يتم بها بناء بعض العبارات من أخرى ، تسمى الابتدائية. تعتبر البيانات الأولية ككل ، وليست قابلة للتحلل إلى أجزاء.

ننظم في الجدول أدناه الأسماء والتعيينات ومعنى العمليات المنطقية على العبارات (سنحتاجها قريبًا مرة أخرى لحل الأمثلة).

حزمة	تعيين	اسم العملية
ليس		النفي
و		بالاشتراك
أو		انفصال
اذا ثم...		يتضمن
بعد ذلك وبعد ذلك فقط		التكافؤ

لأن العمليات المنطقية صحيحة قوانين جبر المنطق، والتي يمكن استخدامها لتبسيط التعبيرات المنطقية. في الوقت نفسه ، تجدر الإشارة إلى أنه في منطق الافتراضات يتم تجريدها من المحتوى الدلالي للقضية وتقتصر على اعتبارها من موقف أنها إما صحيحة أو خاطئة.

مثال 1

1) (2 = 2) و (7 = 7) ؛

2) ليس (15 ؛

3) ("الصنوبر" = "بلوط") أو ("الكرز" = "القيقب");

4) ليس ("الصنوبر" = "بلوط") ؛

5) ليس (15 20) ؛

6) ("أعين لرؤية") و ("تحت الطابق الثالث هو الطابق الثاني");

7) (6/2 = 3) أو (7 * 5 = 20).

1) قيمة العبارة بين القوسين الأول هي "صواب" ، وقيمة التعبير في الأقواس الثانية صحيحة أيضًا. كلتا العبارتين متصلتان بالعملية المنطقية "AND" (راجع قواعد هذه العملية أعلاه) ، لذا فإن القيمة المنطقية لهذه العبارة بأكملها هي "true".

2) معنى العبارة بين قوسين هو "خطأ". تسبق هذه العبارة عملية نفي منطقية ، لذا فإن القيمة المنطقية لهذه العبارة بأكملها هي "صواب".

3) معنى العبارة بين القوسين الأول هو "خطأ" ، كما أن معنى العبارة بين القوسين الثاني "خطأ". ترتبط العبارات بالعملية المنطقية "OR" ولا تحتوي أي من العبارات على القيمة "true". لذلك ، فإن المعنى المنطقي لهذا البيان برمته هو "خطأ".

4) معنى العبارة بين قوسين هو "خطأ". هذه العبارة مسبوقة بعملية نفي منطقية. لذلك ، فإن المعنى المنطقي للبيان بأكمله هو "صحيح".

5) في الأقواس الأولى ، تم رفض العبارة الموجودة بين الأقواس الداخلية. يتم تقييم هذه العبارة بين قوسين إلى "خطأ" ، لذا فإن نفيها سيقيم إلى القيمة المنطقية "صواب". العبارة الواردة بين القوسين الثانيين لها القيمة "خطأ". ترتبط هاتان العبارتان من خلال العملية المنطقية "AND" ، أي يتم الحصول على "صواب وخطأ". لذلك ، فإن المعنى المنطقي للبيان بأكمله هو "خطأ".

6) معنى العبارة بين القوسين الأول هو "صحيح" ، كما أن معنى العبارة بين القوسين الثاني "صحيح". ترتبط هاتان العبارتان من خلال العملية المنطقية "AND" ، أي يتم الحصول على "الحقيقة والحقيقة". لذلك ، فإن المعنى المنطقي للبيان بأكمله هو "صحيح".

7) معنى العبارة بين القوسين الأول هو "صحيح". معنى العبارة بين القوسين الثاني هو "خطأ". ترتبط هاتان العبارتان من خلال العملية المنطقية "OR" ، أي تم الحصول على "true OR false". لذلك ، فإن المعنى المنطقي للبيان بأكمله هو "صحيح".

مثال 2اكتب العبارات المعقدة التالية باستخدام العمليات المنطقية:

1) "المستخدم غير مسجل" ؛

2) "اليوم الأحد وبعض الموظفين في العمل" ؛

3) "يتم تسجيل المستخدم عندما وفقط عندما يتبين أن البيانات التي أرسلها المستخدم صحيحة."

1) ص- عبارة واحدة "مستخدم مسجل" ، عملية منطقية: ؛

2) ص- عبارة واحدة "اليوم الأحد" ، ف- "بعض الموظفين في العمل" ، عملية منطقية: ؛

3) ص- عبارة واحدة "المستخدم مسجل" ، ف- "البيانات التي أرسلها المستخدم صالحة" ، العملية المنطقية:.

قم بحل أمثلة المنطق الافتراضى بنفسك ثم انظر إلى الحلول

مثال 3احسب القيم المنطقية للعبارات التالية:

1) ("هناك 70 ثانية في الدقيقة") أو ("ساعة قيد التشغيل تظهر الوقت");

2) (28> 7) و (300/5 = 60) ؛

3) ("التلفاز - الأجهزة الكهربائية") و (" زجاج - خشب ");

4) ليس ((300> 100) أو ("يمكن أن يروي العطش بالماء"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

مثال 4اكتب العبارات المعقدة التالية باستخدام العمليات المنطقية واحسب قيمها المنطقية:

1) "إذا لم تظهر الساعة الوقت بشكل صحيح ، فيمكنك الحضور إلى الفصل في الوقت الخطأ" ؛

2) "في المرآة يمكنك أن ترى انعكاسك وباريس - عاصمة الولايات المتحدة الأمريكية" ؛

مثال 5تحديد التعبير المنطقي

(ص → ف) ↔ (ص → س) ,

ص = "278 > 5" ,

ف= "Apple = Orange",

ص = "0 = 9" ,

س= "القبعة تغطي الرأس".

صيغ المنطق الإقتراحي

يتم تحديد مفهوم الشكل المنطقي للبيان المعقد بمساعدة المفهوم صيغ المنطق الإفتراضي .

في المثالين 1 و 2 ، تعلمنا كيفية كتابة عبارات معقدة باستخدام العمليات المنطقية. في الواقع ، يطلق عليهم الصيغ المنطقية الافتراضية.

للدلالة على البيانات ، كما في المثال أعلاه ، سنستمر في استخدام الأحرف

ص, ف, ص, ..., ص 1 , ف 1 , ص 1 , ...

ستلعب هذه الحروف دور المتغيرات التي تأخذ قيم الحقيقة "صواب" و "خطأ" كقيم. تسمى هذه المتغيرات أيضًا بالمتغيرات المقترحة. سوف نسميهم من الآن فصاعدا الصيغ الابتدائية أو ذرات .

لإنشاء صيغ منطقية مقترحة ، بالإضافة إلى الأحرف أعلاه ، يتم استخدام علامات العمليات المنطقية

~, ∧, ∨, →, ↔,

بالإضافة إلى الرموز التي توفر إمكانية قراءة الصيغ بشكل لا لبس فيه - الأقواس اليمنى واليسرى.

مفهوم صيغ المنطق الإفتراضي حدد ما يلي:

1) الصيغ الأولية (الذرات) هي صيغ لمنطق افتراض ؛

2) إذا أو ب- صيغ المنطق الإفتراضي ، ثم ~ أ , (أ ∧ ب) , (أ ∨ ب) , (أ → ب) , (أ ↔ ب) هي أيضًا صيغ من منطق الافتراض ؛

3) فقط تلك التعبيرات هي صيغ منطقية مقترحة والتي يتبعها هذا من 1) و 2).

يحتوي تعريف صيغة المنطق الافتراضي على تعداد لقواعد تشكيل هذه الصيغ. وفقًا للتعريف ، فإن كل صيغة للمنطق الافتراضي هي إما ذرة أو تتكون من ذرات نتيجة للتطبيق المتتابع للقاعدة 2).

مثال 6يترك ص- عبارة واحدة (ذرة) "جميع الأعداد المنطقية حقيقية" ، ف- "بعض الأرقام الحقيقية هي أرقام منطقية" ، ص- "بعض الأعداد المنطقية حقيقية". ترجم الصيغ التالية لمنطق الافتراض إلى شكل افتراضات لفظية:

6) .

1) "لا أرقام حقيقية، وهي عقلانية "؛

2) "إذا لم تكن جميع الأعداد المنطقية حقيقية ، فلا أرقام نسبية، والتي هي صالحة "؛

3) "إذا كانت جميع الأعداد المنطقية حقيقية ، فإن بعض الأعداد الحقيقية تكون أعدادًا منطقية وبعض الأعداد المنطقية حقيقية" ؛

4) "جميع الأعداد الحقيقية هي أعداد منطقية وبعض الأعداد الحقيقية هي أعداد منطقية وبعض الأعداد المنطقية هي أرقام حقيقية" ؛

5) "جميع الأعداد المنطقية حقيقية إذا وفقط إذا لم تكن كل الأعداد المنطقية حقيقية" ؛

6) "ليس الأمر أنه ليس كل الأعداد المنطقية حقيقية ولا توجد أرقام حقيقية منطقية أو لا توجد أرقام منطقية حقيقية".

مثال 7ضع جدول الحقيقة لصيغة المنطق الإفتراضي ، والتي يمكن الإشارة إليها في الجدول F .

المحلول. نبدأ في تجميع جدول الحقيقة من خلال تسجيل القيم ("صواب" أو "خطأ") للعبارات المفردة (الذرات) ص , فو ص. الجميع القيم الممكنةمكتوبة في ثمانية صفوف من الجدول. علاوة على ذلك ، عند تحديد قيم عملية التضمين ، والانتقال إلى اليمين في الجدول ، تذكر أن القيمة تساوي "خطأ" عندما تشير كلمة "صواب" إلى "خطأ".

ص	ف	ص					F
و	و	و	و	و	و	و	و
و	و	إل	و	و	و	إل	و
و	إل	و	و	إل	إل	إل	إل
و	إل	إل	و	إل	إل	و	و
إل	و	و	إل	و	إل	و	و
إل	و	إل	إل	و	إل	و	إل
إل	إل	و	و	و	و	و	و
إل	إل	إل	و	و	و	إل	و

لاحظ أنه لا توجد ذرة بالشكل ~ أ , (أ ∧ ب) , (أ ∨ ب) , (أ → ب) , (أ ↔ ب). هذه صيغ معقدة.

يمكن تقليل عدد الأقواس في صيغ المنطق الافتراضي بافتراض ذلك

1) في صيغة معقدة ، نحذف الزوج الخارجي من الأقواس ؛

2) ترتيب علامات العمليات المنطقية "حسب الأقدمية":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

في هذه القائمة ، يكون للعلامة النطاق الأكبر ، والعلامة ~ لها النطاق الأصغر. يُفهم نطاق علامة العملية على أنها تلك الأجزاء من الصيغة المنطقية الافتراضية التي يُطبق عليها التكرار المدروس لهذه العلامة (التي تعمل عليها). وبالتالي ، من الممكن حذف أزواج الأقواس التي يمكن استعادتها بأي صيغة ، مع مراعاة "ترتيب الأسبقية". وعند استعادة الأقواس ، يتم أولاً وضع جميع الأقواس التي تشير إلى جميع تكرارات العلامة ~ (في هذه الحالة ، ننتقل من اليسار إلى اليمين) ، ثم إلى جميع تكرارات العلامة ، وهكذا.

المثال 8استعادة الأقواس في صيغة المنطق الافتراضي ب ↔ ~ ج ∨ د ∧ أ .

المحلول. تتم استعادة الأقواس خطوة بخطوة على النحو التالي:

ب ↔ (~ ج) ∨ د ∧ أ

ب ↔ (~ ج) ∨ (د ∧ أ)

ب ↔ ((~ ج) ∨ (د ∧ أ))

(ب ↔ ((~ ج) ∨ (د ∧ أ)))

لا يمكن كتابة كل صيغة منطقية افتراضية بدون أقواس. على سبيل المثال ، في الصيغ لكن → (ب → ج) و ~ ( أ → ب) لا يمكن حذف الأقواس.

التحصيل والتناقضات

الحشو المنطقي (أو ببساطة الحشو) هي صيغ للمنطق الافتراضى أنه إذا تم استبدال الحروف بشكل تعسفي بقضايا (صواب أو خطأ) ، فستكون النتيجة دائمًا افتراضًا حقيقيًا.

نظرًا لأن حقيقة أو زيف العبارات المعقدة يعتمد فقط على المعاني ، وليس على محتوى العبارات ، وكل منها يتوافق مع حرف معين ، فإن اختبار ما إذا كانت عبارة معينة عبارة عن حشو يمكن استبداله بالطريقة التالية. في التعبير قيد الدراسة ، تم استبدال القيمتين 1 و 0 (على التوالي ، "صواب" و "خطأ") بالحروف بكل الطرق الممكنة ، وباستخدام العمليات المنطقية ، يتم حساب القيم المنطقية للتعبيرات. إذا كانت كل هذه القيم تساوي 1 ، فإن التعبير قيد الدراسة يكون حشوًا ، وإذا كان استبدال واحد على الأقل يعطي 0 ، فهذا ليس حشوًا.

وهكذا ، فإن الصيغة المنطقية التي تأخذ القيمة "صواب" لأي توزيع لقيم الذرات المدرجة في هذه الصيغة تسمى صيغة صحيحة متطابقة أو الحشو .

المعنى المعاكس هو تناقض منطقي. إذا كانت جميع قيم الافتراض 0 ، فإن التعبير هو تناقض منطقي.

وهكذا ، فإن الصيغة المنطقية التي تأخذ القيمة "خطأ" لأي توزيع لقيم الذرات المدرجة في هذه الصيغة تسمى صيغة خاطئة متطابقة أو تناقض .

بالإضافة إلى الحشو والتناقضات المنطقية ، هناك صيغ للمنطق الافتراضى ليست حشوًا ولا تناقضات.

المثال 9ضع جدول حقيقة لصيغة منطقية افتراضية وحدد ما إذا كانت حشوًا أم تناقضًا أم لا.

المحلول. نصنع جدول الحقيقة:

و	و	و	و	و
و	إل	إل	إل	و
إل	و	إل	و	و
إل	إل	إل	إل	و

في معاني المعنى الضمني ، لا نواجه خطاً تشير فيه كلمة "صواب" إلى "خطأ". جميع قيم العبارة الأصلية تساوي "صواب". بالتالي، صيغة معينةالمنطق الإفتراضي هو حشو.

مثال 1تحديد حقيقة البيان ج
المحلول. يتضمن تكوين العبارة المعقدة 3 عبارات بسيطة: أ ، ب ، ج. تمتلئ الأعمدة في الجدول بالقيم (0 ، 1). يشار إلى كل شيء المواقف الممكنة. يتم فصل الجمل البسيطة عن الجمل المعقدة بخط عمودي مزدوج.
عند تجميع الجدول ، يجب الحرص على عدم الخلط بين ترتيب الإجراءات ؛ ملء الأعمدة ، يجب على المرء أن يتحرك "من الداخل إلى الخارج" ، أي من الصيغ الأولية إلى الصيغ الأكثر تعقيدًا ؛ يحتوي العمود الأخير المراد تعبئته على قيم الصيغة الأصلية.

لكن	في	من		أ +		· من
0	1	1	0	0	1	1

يوضح الجدول أن هذه العبارة صحيحة فقط إذا كانت A = 0 ، B = 1 ، C = 1. في جميع الحالات الأخرى هو خطأ.

معادلة البيانات.

يمكن استخدام جداول الحقيقة لتأسيس معادلة عبارتين أو أكثر.

يطلق على العبارات اسم مكافئ إذا كانت القيم المقابلة لكل منها مطابقة في جدول الحقيقة.

مثال 2يُزعم أن الاقتراح A + B C يعادل الاقتراح (A + B) (A + C)
المحلول. يتم التحقق من خلال تجميع جدول الحقيقة.

لكن	في	من	ب ج	أ + ب ج	أ + ب	أ + ج	(أ + ب) (أ + ج)

بمقارنة العمودين الخامس والثامن ، نتأكد من أن جميع القيم التي تم الحصول عليها بواسطة الصيغة A + B C تتوافق مع القيم التي تم الحصول عليها بواسطة الصيغة (A + B) + (A + C) ، بمعنى آخر. العبارات متكافئة (معادلة). يمكن للمرء أن يحل محل الآخر.
ترتبط العبارات المكافئة (المكافئة) بعلامة º A + B · Cº (A + B) · (A + C).
لاحظ الفرق بين التكافؤ والتكافؤ.
التكافؤ هو عملية منطقية تسمح ، وفقًا لعبارتين معينتين A و B ، ببناء A «B جديد.
التكافؤ ، من ناحية أخرى ، هو العلاقة بين افتراضين مركبين بأن قيم الحقيقة هي نفسها دائمًا.

علم التحمل.

دع العبارة A + تُعطى ومن الضروري عمل جدول الحقيقة.
العبارة أ خاطئة ، وحقيقتها لا تعتمد على حقيقة العبارة أ.

ضع في اعتبارك العبارة B +.
في هذه الحالة ، يكون الاقتراح B + صحيحًا دائمًا ، بغض النظر عن حقيقة B.

في		ب +

تُدعى العبارات ، التي تكون حقيقتها ثابتة ولا تعتمد على حقيقة العبارات البسيطة المضمنة فيها ، ولكن يتم تحديدها فقط من خلال هيكلها ، متطابقة أو حشو.
هناك عبارات صحيحة وخاطئة متطابقة.
في الصيغ ، يتم استبدال كل عبارة صحيحة متطابقة بـ 1 ، والخطأ بشكل مماثل - بواسطة 0. قانون الوسط المستبعد.
أ º 0
ب + 1

مثال 3إثبات الحشو (XÙ Y) ® (XÚ Y)
المحلول.

لان الاقتراح (XÙ Y) ® (XÚ Y) صحيح دائمًا ، فهو إذن حشو.

مثال 4إثبات الحشو ((X® Y) Ù (Y® Z)) ® (X® Z)
المحلول.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ _ F

X	ص	ض	X®Y	Y®Z	X® Z	F1Ù F2	(F1Ù F2) ® F3

يوضح الجدول أن البيان قيد الدراسة هو حشو ، لأن إنه دائم حقًا.

أسئلة ومهام.

1. أي من العبارات التالية:

أ) (أ + ج) ؛ ب) + ب ؛ ج) + ج) ؛ د) أ + ؛
ما يعادل البيان (ب + ج)

2. استخدم جداول الحقيقة لتحديد أي من الصيغ التالية عبارة عن حشو:
أ) " )؛ ب) ؛ في) ;

ز) ؛ هـ) (X® Y) "(Y® X) ؛ و) (X® Y) «؛

ز) (X® Y) «.

3. اضبط حقيقة البيان

4. هل العبارات متكافئة؟
و ؟

5. حدد ما إذا كان البيان المعطى عبارة عن حشو:
أ) ؛ ب)

6. لكل صيغة ، ابتكر الجمل التي تضفي طابعًا رسميًا عليها:
أ) ؛ ب) ؛ في) .

7. من عبارات بسيطة: "فيكتور سباح جيد" - أ ؛ "فيكتور يغوص جيدًا" - ي ؛ "فيكتور يغني جيدًا" - C ، تم الإدلاء ببيان معقد ، تبدو صيغته كما يلي:
س = (أ + ج) · (أ + ب). حدد ما إذا كانت العبارة X تعادل العبارة: "فيكتور سباح جيد ، وفيكتور يغني جيدًا."

8.
أ) ؛ ب) ;
ج) ((X1® X2) ® X3) u (X3 «X1) ؛ د) ((X® Y) Ù (Y® Z)) ® (X® Z).

9. اضبط حقيقة البيانات:
أ) ، ، ؛
ب) , , ;
في) ، ، ؛
G) و.

قوانين المنطق

غالبًا ما تسمى معادلات الصيغ المنطقية الافتراضية قوانين المنطق.
تتيح لك معرفة قوانين المنطق التحقق من صحة الاستدلال والأدلة.
ينتج عن انتهاكات هذه القوانين أخطاء منطقيةوالتناقضات الناتجة.
نسرد أهمها:
1. Xº X قانون الهوية
2. قانون التناقض
3. قانون الوسط المستبعد
4. قانون النفي المزدوج
5. XÙ Xº X، XÚ Xº C قوانين المثابرة
6. C Ù U º U Ù C، C Ú U º U C قوانين التبادلية (النزوح)
7. (C Ù U) Ù Z ºC Ù (U Ù Z)، (C Ú U) Ú Z º C Ú (U Ú Z) - قوانين الارتباط (التوافق)
8. C Ù (U Ú Z) º (C Ù U) Ú (C Ù Z)، C Ú (U Ù Z) º (C Ú U) Ù (C Z) - قوانين التوزيع (التوزيع)
9. , قوانين دي مورغان
10. XÙ 1º C ، C 0 C
11. C Ù 0 º 0 ، C Ú 1 1
12. C Ù (C Ú U) º C، C Ú (C Ù U) º C قوانين الامتصاص
13. (C Ú U) Ù (Ú U) º U، (C Ù U) Ú (Ú U) º U قوانين اللصق

القانون الأولصاغها الفيلسوف اليوناني القديم أرسطو. ينص قانون الهوية على أن الفكر الوارد في البيان يظل دون تغيير طوال الحجة التي يظهر فيها هذا البيان.

قانون التناقضيقول أنه لا توجد جملة يمكن أن تكون صحيحة في نفس الوقت مع نفيها.
"هذه التفاحة ناضجة" و "هذه التفاحة ليست ناضجة".

قانون الوسط المستبعديقول أنه لكل عبارة هناك احتمالان فقط: هذه العبارة إما صحيحة أو خاطئة. لا يوجد ثالث. "اليوم أحصل على 5 أو لا أفهم." إما أن يكون الاقتراح صحيحًا أو أن نفيه صحيح.

قانون النفي المزدوج.إنكار نفي بعض العبارات هو نفس التأكيد على هذا البيان.
"ليس صحيحًا أن 2 × 2¹ 4"

قوانين الكسل.لا يوجد أسس ومعاملات في جبر المنطق. اقتران "العوامل" المتطابقة يعادل أحدهما.

قوانين التبادلية والترابطية.الاقتران والانفصال شبيهة بعلامات نفس الاسم لعمليات الضرب والجمع للأرقام.
على عكس جمع ومضاعفة الأرقام ، فإن الجمع والضرب المنطقيين متساويان فيما يتعلق بالتوزيع: ليس فقط اقتران التوزيع فيما يتعلق بالفصل ، ولكن الفصل هو التوزيع فيما يتعلق بالاقتران.

معنى قوانين دي مورغان(August de Morgan (1806-1871) - عالم رياضيات ومنطق اسكتلندي) يمكن التعبير عنها في صيغ لفظية موجزة:
- نفي منتج منطقي يعادل المجموع المنطقي لنفي العوامل.
- إن نفي المجموع المنطقي يعادل الناتج المنطقي لنفي المصطلحات.

يمكنك إثبات قوانين المنطق:
1) استخدام جداول الحقيقة ؛
2) بمساعدة المعادلات.
دعونا نثبت قوانين اللصق والامتصاص بمساعدة المعادلات:
1) (C Ú U) Ù (Ú U) º (C + U) × (+ U) º C × + U × + U × U + C × U ºU × + U + C × U º U × + U (1 + C) º U × + U º U (+ 1) º U (قانون اللصق)

2) C Ù (C Ú U) º C × C + C × U º C + C × U º C (1 + U) º C (قانون الامتصاص)

ممارسه الرياضه.إثبات قوانين المنطق باستخدام جداول الحقيقة.

تحولات الهوية

تبسيط الصيغ.

مثال 1بسّط الصيغة (AÚB) (AÚC)
المحلول.
أ) افتح الأقواس (أ Ú ب) (أ ج) º أ أ Ú أ ج ب أ Ú ب ج
ب) وفقًا لقانون التكافؤ A · A · A ، لذلك ،
أ Ú أ ج Ú ب أ Ú ب ج º أ ÚA ج Ú ب أ Ú ب ج
ج) في العبارات A و A C ، نقسم A ونستخدم الخاصية AÚ1º 1 نحصل على B C
د) كما في النقطة ج) ، نقسم العبارة A.
أÚ ب أ Ú ب ج أ (1Ú ب) Ú ب ج أ Ú ب ج
وهكذا ، أثبتنا قانون التوزيع.

2. التحولات "الامتصاص" و "اللصق"

مثال 2بسّط التعبير АУ A B

المحلول.أ أ ب أ (1 Ú ب) º أ - الامتصاص

مثال 3تبسيط التعبير A · B · A · - علامات الجمع المنطقي ؛
- علامات الضرب المنطقي.
وسوف تستخدم:
- علامات النفي والضرب المنطقي ؛
- علامات النفي والجمع المنطقي.

مثال 5قم بتحويل الصيغة بحيث لا تستخدم علامات الجمع المنطقية.
المحلول. لنستخدم قانون النفي المزدوج ، ثم صيغة دي مورغان.

مثال 6قم بتحويل الصيغة بحيث لا تستخدم إشارات الضرب المنطقي.
المحلول. باستخدام صيغ دي مورغان وقانون النفي المزدوج ، نحصل على:

في المحاضرتين السابقتين ، قمنا بتعريف العمليات المنطقية - النفي ، والاقتران ، ونوعين من الانفصال ، والتضمين ، والتكافؤ. دعنا نفكر في بعض المهام لتطبيق تعريفات الوصلات المنطقية. هذه هي المهام التي يُطلب فيها معرفة القيمة الحقيقية لبيان مركب واحد إذا كانت قيمة الحقيقة لبيان مركب آخر معروفة ، بالإضافة إلى المشكلات التي تتطلب تحديد ما إذا كان هناك اقوال بسيطة، إذا كانت قيم الحقيقة لبعض العبارات المركبة المكونة من هذه العبارات معروفة.

تحديد قيمة الحقيقة لبيان ما باستخدام قيم الحقيقة للعبارات الأخرى

المشكلة 6.1. من المعروف أن $ \ displaystyle AB $ خطأ و $ \ displaystyle A \ to B $ صحيح. حدد قيمة الحقيقة للعرض $ \ displaystyle B \ to A '$ إذا كان معروفًا أنه يمكن تحديده بشكل فريد باستخدام هذه البيانات.

المحلول. افترض أن هذه العبارة خاطئة:

$ displaystyle B إلى A '= 0 $.

لماذا افترضنا زيف هذا المعنى وليس صدقه؟ السبب بسيط للغاية: التضمين خاطئ في حالة واحدة فقط. إذا كان هذا الافتراض لا يتعارض مع حالة المشكلة ، فهذا صحيح ، لأن قيمة الحقيقة لأي بيان خاطئة أو صحيحة. وفقًا لتعريف التضمين ، يكون خطأ إذا وفقط إذا كان الافتراض صحيحًا والاستنتاج خاطئ:

$ displaystyle B = 1 $ ، $ displaystyle A '= 0 $.

من خلال تعريف النفي ، يكون خطأ إذا وفقط إذا كان الافتراض نفسه صحيحًا:

$ displaystyle A = 1 $.

لكن في هذه الحالة ، بالنظر إلى تعريفات الضمنية والاقتران ،

$ \ displaystyle A \ to B = 1 $ ، $ \ displaystyle A B = 1 $.

ومع ذلك ، وفقًا لظروف المشكلة ، فإن العبارة الأخيرة لها قيمة حقيقة "خطأ". لدينا تناقض. لذا فإن العبارة $ \ displaystyle B \ to A '$ صحيحة.

يمكن حل المشكلة بطريقة أخرى: باستخدام الشرط ، احصل مباشرة على قيمة الحقيقة الضمنية. لان

$ displaystyle AB = 0 $ ،

إذن ، وفقًا لتعريف الاقتران ، التوزيعات التالية لقيم الحقيقة للتعليمات $ \ displaystyle A $ و $ \ displaystyle B $ ممكنة:

1) $ displaystyle A = B = 0 $ ؛

3) $ displaystyle A = 1 $ ، $ displaystyle B = 0 $.

بسبب ال

$ displaystyle A to B = 1 $ ،

بعد ذلك ، وفقًا لتعريف المعنى الضمني ، نحصل على أن قيم الحقيقة $ \ displaystyle A $ و $ \ displaystyle B $ يمكن أن تكون:

1) $ displaystyle A = B = 0 $ ؛

2) $ displaystyle A = 0 $، $ displaystyle B = 1 $؛

3) $ displaystyle A = B = 1 $.

الشروط $ \ displaystyle A = 1 $ ، $ \ displaystyle B = 0 $ ، و $ \ displaystyle A = B = 1 $ غير متوافقة ، لأن أي جملة إما صحيحة أو خاطئة. يبقى الخياران الأولان. دعنا نتحقق منها باستخدام تعريفات التضمين والنفي:

1) $ displaystyle B to A '= 0 to 0' = 0 to 1 = 1 $؛

2) $ \ displaystyle B \ to A '= 1 \ to 0' = 1 \ to 1 = 1 $.

في كلتا الحالتين ، فإن العبارة $ \ displaystyle B \ to A '$ لها قيمة حقيقية هي "true".

من الواضح أن الطريقة الأولى لحل المشكلة الحالية أقصر بكثير من الثانية.

اكتشف ما إذا كانت هناك بيانات كافية لتحديد قيمة الحقيقة للبيان

مشكلة 6.2. اجعل العبارة $ \ displaystyle A \ to B $ خطأ. هل هذا كافٍ لتحديد قيمة الحقيقة لـ $ \ displaystyle (B \ to (A \ to C)) \ vee (B 'to C) $؟ إذا كان ذلك كافيًا ، فحدد هذه القيمة. إذا لم يكن ذلك كافيًا ، أظهر بالأمثلة أن قيمتي الحقيقة ممكنة.

المحلول. بسبب ال

$ displaystyle A to B = 0 $ ،

ثم ، وفقًا لتعريف التضمين ،

$ \ displaystyle A = 1 $ ، $ \ displaystyle B = 0 $.

ومن ثم فإن الضمنية $ \ displaystyle B \ to (A \ to C) $ صحيحة لأن فرضيتها خاطئة (مهما كانت قيم الحقيقة $ \ displaystyle A $ و $ \ displaystyle C $ هي). لذلك ، بالنظر إلى تعريف الانفصال ، فإن الاقتراح $ \ displaystyle (B \ to (A \ to C)) \ vee (B '\ to C) $ له قيمة حقيقية لـ "true".

المشكلة 6.3. دع العبارة $ \ displaystyle AB $ تعرف أنها صحيحة. هل من الممكن تحديد قيمة الحقيقة للعرض $ \ displaystyle (AB) \ to ((ABC ’) \ vee (A’BC)) $ باستخدام هذه البيانات؟؟ إذا أمكن ، حدد هذه القيمة. بخلاف ذلك ، أظهر بالأمثلة أن البيان يمكن أن يكون صحيحًا وخطأ في نفس الوقت.

المحلول. نظرًا لأن اقتران العبارتين يكون صحيحًا فقط إذا كان كلا العبارتين صحيحين ، إذن

$ displaystyle A = B = 1 $.

ومن ثم ، فإن الضمني $ \ displaystyle (AB) \ to ((ABC ') \ vee (A'BC)) $ يكون صحيحًا إذا كان استنتاجه صحيحًا ، والخطأ بخلاف ذلك (بحكم تعريف الرابط المنطقي المحدد). ضع في اعتبارك الفاصل $ \ displaystyle (ABC ') \ vee (A'BC) $. ومن المعروف أن

$ displaystyle A = B = 1 $.

ثم حسب تعريف النفي $ \ displaystyle A '= 0 $. إذا كان $ \ displaystyle C = 0 $ ، فإن $ \ displaystyle C '= 1 $. لذلك ، بحكم التعريف ، فإن أداة العطف $ \ displaystyle ABC '$ صحيحة ، والتعامل $ \ displaystyle A'BC $ خاطئ. لذا فإن فصل $ \ displaystyle (ABC ') \ vee (A'BC) $ صحيح. إذا كان $ \ displaystyle C = 1 $ ، فإن $ \ displaystyle C '= 0 $. لذلك ، فإن العبارتين $ \ displaystyle ABC '$ و $ \ displaystyle A'BC $ كلاهما خطأ. إذن فإن فصل $ \ displaystyle (ABC ') \ vee (A'BC) $ خطأ أيضًا. لذا فإن العبارة $ \ displaystyle (AB) \ to ((ABC ') \ vee (A'BC)) $ لها قيمة حقيقة "false" عندما

$ displaystyle C = 1 $

و الحقيقة"

$ displaystyle C = 0 $.

اتضح أنه من المستحيل تحديد قيمة الحقيقة بشكل لا لبس فيه لبيان ما باستخدام شروط المشكلة. يجب التأكيد هنا على أن هذا لا يعني أنه لا يمكن تحديد قيمة الحقيقة على الإطلاق. لا توجد بيانات كافية لذلك.

اكتشف ما إذا كانت هناك عبارات ذات قيم حقيقة معينة

مشكلة 6.4. دع العبارة $ \ displaystyle A \ vee B '$ و $ \ displaystyle B \ to (A \ vee C) $ لها قيمة حقيقية لـ "false" وتكون العبارة $ \ displaystyle C' \ to B '$ لها حقيقة قيمة "صحيح". هل توجد مثل هذه العبارات $ \ displaystyle A $ و $ \ displaystyle B $ و $ \ displaystyle C $؟

المحلول. الفصل بين العبارتين ، بحكم التعريف ، خطأ فقط في حالة واحدة: إذا كانت كلتا العبارتين خاطئتين. وسائل،

$ displaystyle A = B '= 0 $.

لذلك ، بالنظر إلى تعاريف النفي ،

$ displaystyle B = 1 $.

تأمل المعنى الضمني

$ displaystyle B to (A \ vee C) $.

حسب حالة المشكلة ، فهي خاطئة. هذا ممكن إذا وفقط إذا

$ \ displaystyle B = 1 $ ، $ \ displaystyle A \ vee C = 0 $.

لذلك ، من خلال تعريف الانفصال ،

$ displaystyle A = C = 0 $.

بالتالي،

$ \ displaystyle C '\ to B' = 0 ′ \ to 1 '= 1 \ to 0 = 0 $.

ولكن ، وفقًا لظروف المشكلة ، فإن هذا المعنى صحيح. لدينا تناقض. هذا يعني أنه لا توجد بيانات تفي بهذه الشروط.

الدرس 2

جبر البيانات. العمليات المنطقية.

(الدرس المشترك ، بما في ذلك تكرار الموضوع السابق ،

إدخال مواد جديدة وتوحيدها)

الغرض من الدرس:لتكوين المفاهيم لدى الطلاب: اقتراح منطقي ، عمليات منطقية.

أهداف الدرس:

كرر المواد الرئيسية للدرس 1 (أشكال التفكير البشري: المفهوم ، الحكم ، الاستنتاج) ؛

تقديم تعريف الجبر الافتراضى ؛

إدخال العمليات المنطقية الأساسية.

متطلبات المعرفة والمهارات:

يجب أن يعرف الطلاب:

ما الذي يدرسه الجبر الافتراضي وما هو موضوع دراسة الجبر الافتراضي ؛

معاني المفهوم: البيان المنطقي ، العمليات المنطقية ؛

جداول الحقيقة للعمليات المنطقية.

يجب أن يكون الطلاب قادرين على:

أعط أمثلة على العبارات المنطقية ؛

تحديد معنى البيانات المنطقية ؛

قم بتسمية العمليات المنطقية وإنشاء جداول الحقيقة لها.

مراحل الدرس

I. لحظة تنظيمية. تحديد هدف الدرس. 2 دقيقة.

ثانيًا. تكرار. 7 دقائق

ثالثا. فحص واجب منزلي. 5 دقائق.

رابعا. إدخال مواد جديدة. 20 دقيقة.

خامسا التوحيد. 7 دقائق

السادس. تلخيص الدرس. 3 دقيقة.

سابعا. تحديد الواجبات المنزلية. 1 دقيقة.

خلال الفصول

ثانيًا. تكرار.

1) تكرار التعريفات والمفاهيم الرئيسية للدرس الأول:

· مفهوم - شكل من أشكال التفكير يعكس السمات الأساسية للأشياء.

ا نطاق المفهوم- مجموعة من الأشياء ، لكل منها سمات تشكل محتوى المفهوم.

أعط أمثلة.

· حكم (بيان ، بيان) - شكل من أشكال التفكير يتم فيه تأكيد شيء ما أو رفضه بشأن الأشياء أو خصائصها أو العلاقات بينها.

ا استمارة الحكم- هذا هو هيكلها ، وسيلة لربط الأجزاء المكونة لها.

· الإستنباط - شكل من أشكال التفكير ، والذي من خلاله ، من خلال حكم واحد أو أكثر ، يسمى المقدمات ، وفقًا لقواعد معينة من الاستدلال ، نحصل على استنتاج حكم (استنتاج استنتاج)

- أي العبارات التالية عبارة عن عبارات ولماذا؟

1. من الجيد أن تكون جنرالا!

2.

3. اعرف نفسك.

4. تعيش جميع الدببة في الشمال.

5. لا يمكن للثورة أن تكون سلمية بلا دماء.

6.

7.

(المثالان 1 و 3 ليسا عبارات ، لأنهما جمل تعجب وجمل ، على التوالي).

- حدد الآن ما إذا كانت الافتراضات البسيطة أم المركبة معطاة..

(في المثال 5 ، يمكن تقسيمها إلى عبارتين بسيطتين ، مما يعني أنها مركبة.)

- تحديد معاني العبارات (صواب أو خطأ).

في المثال السادس ، نحن مقتنعون بأن محتوى البيان غالبًا ما يكون سمة ذاتية. يتم تحديد تبرير الحقيقة أو زيف العبارات البسيطة خارج علم المنطق. على سبيل المثال ، بناءً على تجربتنا الحياتية ، نخصص قيمة معينة للحكم 6.

ستكون الأمثال الروسية ، كما في المثال 4 ، صحيحة دائمًا ، لأنها تستند إلى تجربة حياة أجيال كاملة من الناس.

في المثال 7 ، يتم حل معنى البيان في سياق الهندسة ، وفي البيان الخامس في سياق التاريخ.

يتم عرض النتائج في شكل الجدول التالي:

عبارات	اقوال	صحيحة أو خاطئة	أقوال بسيطة
1. كم هو جيد أن تكون جنرالاً!
2. لا يمكنك حتى صيد سمكة من البركة دون صعوبة.
3. اعرف نفسك.
4. جميع الدببة تعيش في الشمال.
5. لا يمكن للثورة أن تكون سلمية بلا دماء.
6. ستجد الموهبة طريقها دائمًا.
7. مجموع زوايا المثلث 1800.

قلنا في الدرس الأخير أن كل عبارة تتكون من ثلاثة عناصر:
الموضوع والمسند والحزمة. موضوعات(س) - مفهوم الموضوع. فاعل(ع)- مفهوم خصائص وعلاقات الموضوع. حزمة - العلاقة بين الموضوع والمسند.

تحديد ما هو الفاعل ، المسند والرابط في عبارات بسيطة.

لا يمكنك حتى صيد سمكة من البركة دون جهد.

تعيش جميع الدببة في الشمال.

ستجد الموهبة طريقها دائمًا.

مجموع زوايا المثلث 1800.

ثالثا. فحص الواجبات المنزلية:

بطاقة للواجب المنزلي

1. من العبارات البسيطة المقدمة ، قم بتكوين وكتابة ما لا يقل عن 3 عبارات مركبة: 1) دعنا نذهب إلى البلد. 2) طقس جيد. 3) سوء الاحوال الجوية. 4) سنذهب إلى الشاطئ. 5) أنطون يدعونا إلى المسرح.

2. استنبط ، إن أمكن ، استنتاجًا من كل زوج من المقدمات: لكن) كل الطيور حيوانات. كل العصافير طيور. ب) بعض الدروس صعبة. أي شيء صعب يحتاج إلى الاهتمام. في) لا احد عمل جيدليس غير قانوني. يمكن القيام بأي شيء قانوني دون خوف.

لكن) أولئك الذين يعانون من أصلع لا يحتاجون إلى مشط. ليس لدى أي من السحالي شعر. لذلك ، لا تحتاج السحالي إلى مشط. ب) سيتم تزويد كل من أنهى الربع الثالث بشكل مثالي بجهاز كمبيوتر. لقد أنهيت الربع الثالث بدون ج. لذا ، استعد لاستلام جهاز كمبيوتر كهدية.

السادس. شرح مادة جديدة

الجبر الإرشادي

فكرة الاحتمال رياضيات المنطقفي القرن السابع عشر. حاول إنشاء لغة عالمية ، يمكن من خلالها تقديم كل مفهوم وبيان خاصية عدديةووضع مثل هذه القواعد للعمل مع هذه الأرقام التي من شأنها أن تسمح لك على الفور بتحديد ما إذا كانت جملة معينة صحيحة أو خاطئة. أي أن الخلافات بين الناس يمكن حلها من خلال الحسابات. تبين أن فكرة لايبنيز خاطئة ، لأنه من المستحيل (لم يتم العثور على أي طريقة) تقليل التفكير البشري إلى نوع من حساب التفاضل والتكامل الرياضي.

ومع ذلك ، تم تحقيق التقدم الحقيقي لهذا العلم في منتصف القرن التاسع عشر بفضل أعمال جيه بول "التحليل الرياضي للمنطق". قام بنقل قوانين وقواعد العمليات الجبرية إلى المنطق ، وقدم العمليات المنطقية ، واقترح طريقة لكتابة البيانات في شكل رمزي.

شارك العديد من علماء الرياضيات والمنطقين البارزين في تطوير المنطق الرياضي. أواخر التاسع عشرو XX قرنًا ، بما في ذلك K.Gödel (النمساوي) ، D. Gilbert (ألماني) ، S. Kleene (عامر.) ، E. Post (عامر.) ، A. ، واشياء أخرى عديدة.

المنطق الرسمي المعتمد على الرياضيات هو مجال علمي واسع يستخدم على نطاق واسع داخل الرياضيات (دراسة أسس الرياضيات) وخارجها (التوليف والتحليل). الأجهزة الأوتوماتيكية، علم التحكم الآلي النظري ، على وجه الخصوص ، الذكاء الاصطناعي).

وبالتالي ، فإن موضوعات دراسة جبر المنطق هي الافتراضات.

تحت قول (الحكم) سوف نفهم الجملة التصريحية ، والتي يمكن للمرء أن يقول فيها بشكل لا لبس فيه ما إذا كانت صحيحة أم خاطئة.

سنقوم بتعيين البيانات بأحرف لاتينية كبيرة. إذا كانت العبارة A صحيحة ، فسنكتب "A = 1" ونقول: "A صحيح." إذا كانت العبارة X خاطئة ، فسنكتب "X = 0" ونقول "X is false".

يتم تحديد تبرير الحقيقة أو زيف العبارات البسيطة خارج جبر المنطق. على سبيل المثال ، تم تحديد حقيقة أو خطأ العبارة "مجموع زوايا المثلث 180 درجة" بواسطة الهندسة ، وفي هندسة إقليدس هذه العبارة صحيحة ، وهي خاطئة في هندسة Lobachevsky.

يُستخرج جبر المنطق من المحتوى الدلالي للبيانات. إنها مهتمة بحقيقة واحدة فقط - العبارة المقدمة صحيحة أو خاطئة. مثل هذا الحكم على المصالح يجعل من الممكن دراسة البيانات بالطرق الجبرية.

العمليات المنطقية

في جبر المنطق ، أكثر من القضايا ، يمكن للمرء أن يؤدي عمليات مختلفة(كما هو الحال في جبر الأعداد الحقيقية ، يتم تحديد عمليات الجمع والقسمة والأس على الأرقام). سننظر فقط في بعض أهمها:

مفكك (إضافة منطقية) التضمين (نتيجة منطقية) التكافؤ (المساواة المنطقية)

1) انعكاس (نفي منطقي)

انعكاس (نفي منطقي) هي عملية منطقية تُسند إلى كل عبارة بيان جديد ، ويكون هذا صحيحًا إذا كانت العبارة المعطاة خاطئة ، وخطأ إذا كانت العبارة المعطاة صحيحة.

يتم إعطاء العمليات المنطقية جداول الحقيقة ويمكن توضيحها بيانياً باستخدام دوائر أويلر ، سمي على اسم عالم الرياضيات والفيزياء والفلك العظيم ليونارد أويلر ()

تدوين الانعكاس: ؛ ليس لكن ; لكن؛ ليس لكن

0 "style =" border-collapse: collapse؛ border: none ">

لكن

يتكون من عبارة بسيطة عن طريق إضافة جسيم ليس إلى المسند أو باستخدام رقم الكلام "خطأ أن ...".

مثال: لكن = "إنها تمطر بالخارج"

= "ليس صحيحًا أنها تمطر بالخارج"

التمرين 1.أعط مثالا لبيان ونفيها.

تحديد حقيقة كل منهما.

لذا فإن معكوس العبارة يكون صحيحًا عندما تكون العبارة خاطئة.

2) الاقتران (الضرب المنطقي)

يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كان كلا العبارتين صحيحين.

تدوين الاقتران: لكن&في, لكن و في, لكن إل في, لكن في.

جدول الحقيقة:

		لكن&في

يتم تشكيلها من خلال الجمع بين عبارتين في واحد باستخدام الاتحاد "و"

مثال: لكن = "إنها تمطر بالخارج"

ب = "السماء زرقاء"

لكن&في = "السماء تمطر بالخارج والسماء زرقاء"

المهمة 2.أ) أعط أمثلة على عبارتين واحصل على تعليمة مركبة باستخدام الرابط المنطقي "AND".

لذا ، فإن اقتران افتراضين يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كان كلا الافتراضين الأصليين صحيحين.

3) الانفصال (إضافة منطقية) هي عملية منطقية تربط كل عبارتين بعبارة جديدة ، والتي

يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كان أحد العبارتين الأصليتين على الأقل صحيحًا.

تدوين الانفصال: لكن الخامس في, لكن أو في, لكن+في.

0 "style =" border-collapse: collapse؛ border: none ">

لكن الخامس في

يتم تشكيلها من خلال دمج عبارتين في واحد باستخدام الاتحاد "OR"

مثال: لكن = "إنها تمطر بالخارج"

ب = "السماء زرقاء"

لكن الخامس في = "السماء تمطر بالخارج أو السماء زرقاء"

المهمة 3.أ) أعط أمثلة على عبارتين واحصل على تعليمة مركبة باستخدام رابط "OR".

لذلك ، يكون فصل العبارتين صحيحًا إذا وفقط إذا كان أحد العبارتين الأصليتين على الأقل صحيحًا.

4) التضمين (نتيجة منطقية) هي عملية منطقية تربط كل عبارتين بعبارة جديدة ، والتي

يكون خاطئًا إذا وفقط إذا كان الاقتراح الأول (الشرط) صحيحًا والقضية الثانية (النتيجة) خاطئة.

تدوين الانفصال: لكن ® في.

جدول الحقيقة: مخطط أويلر:

"اذا ثم…"

إذا قسم ، وجب حفظه.

إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 9 ، فإنه يقبل أيضًا القسمة على 3.

مثال: لكن = "إنها تمطر بالخارج"

ب = "السماء زرقاء"

لكن ® في = "إذا كانت السماء تمطر بالخارج ، فالسماء زرقاء"

المهمة 4. أ) أعط أمثلة على عبارتين واحصل على عبارة مركبة باستخدام الرابط "IF ، ثم ...".

ب) تحديد صحة أو زيف كل من الأقوال الثلاثة

لذا ، فإن الدلالة الضمنية لاثنين من الافتراضات خاطئة فقط إذا وفقط إذا كان الافتراض الأول (الشرط) صحيحًا والقضية الثانية (النتيجة) خاطئة.

5) التكافؤ (المساواة المنطقية) هي عملية منطقية تربط كل عبارتين بعبارة جديدة ، والتي

يكون صحيحًا إذا وفقط إذا كان كلا العبارتين صحيحين أو خاطئين.

تدوين الانفصال: لكن « ب ، أ = ب ، أ≡ب.

جدول الحقيقة: مخطط أويلر:

يتم تشكيلها من خلال الجمع بين جملتين في واحد باستخدام شكل الكلام "... ثم فقط عندما ..."

تسمى الزاوية الزاوية القائمة فقط إذا كانت تساوي 900

جميع قوانين الرياضيات والفيزياء وجميع التعاريف - معادلة العبارات

خطان متوازيان إذا وفقط إذا لم يتقاطعوا.

مثال: لكن = "إنها تمطر بالخارج"

ب = "السماء زرقاء"

لكن « في = "إنها تمطر في الخارج إذا وفقط إذا كانت السماء زرقاء"

المهمة 5.أ) أعط أمثلة على عبارتين واحصل على بيان مركب باستخدام العبارة "... THEN AND ONLY when ..."

ب) تحديد صحة أو زيف كل من الأقوال الثلاثة.

لذا فإن تكافؤ العبارتين صحيح إذا وفقط إذا كانت كلتا العبارتين صحيحة أو خاطئة معًا.

السادس. توحيد ما تم تعلمه.

1. اشرح لماذا الجمل التالية ليست عبارات :

ما لون هذا المنزل؟

الرقم X لا يتجاوز واحد.

· انظر خارج النافذة.

· يشرب عصير الطماطم!

هذا الموضوع ممل.

هل ذهبت إلى المسرح؟

2. اشرح لماذا بيان أي نظرية هو اقتراح.

3. أعط مثالين لبيانات صحيحة وكاذبة من الرياضيات ، وعلم الأحياء ، والتاريخ ، وعلوم الكمبيوتر ، والأدب.

4. من الجمل التالية ، اختر تلك العبارات:

سأل كوليا: "كيف تصل مسرح البولشوي؟ كيف أصل إلى المكتبة؟ لوحات بيكاسو مجردة للغاية. حل المشكلات هو عملية إعلامية. الرقم 2 هو القاسم على الرقم 7 في بعض أنظمة الأرقام.

5. اختر البيانات الصحيحة:

"الرقم 28 هو رقم مثالي"

"بدون عمل لا يمكنك حتى صيد سمكة من البركة"

"الموهبة تجد طريقها دائمًا"

"بعض الحيوانات تعتقد"

"المعلوماتية هي علم الخوارزميات"

"2 + 3 * 5 = 30"

"يحب جميع الطلاب علوم الكمبيوتر"

6.

7. ما العملية المنطقية التي تتوافق مع جدول الحقيقة هذا؟

8. ما العملية المنطقية التي تتوافق مع جدول الحقيقة هذا؟

9. ما العملية المنطقية التي تتوافق مع جدول الحقيقة هذا؟

10. ما العملية المنطقية التي تتوافق مع جدول الحقيقة هذا؟

ملخص الدرس:

لقد أصبحت على دراية بالمفاهيم الأساسية لجبر المنطق. تعتبر العمليات المنطقية. قمنا بتحليل جدول الحقيقة لكل عملية منطقية وقمنا بتوضيح LO باستخدام دوائر أويلر.

2. تعلم جميع التعاريف الموجودة في دفتر الملاحظات من ملخص الدرس.

3. حدد عبارات لكل عملية منطقية للمثال)

غالبًا ما تستخدم العبارات الكاذبة والصحيحة في ممارسة اللغة. يُنظر إلى التقييم الأول على أنه إنكار للحقيقة (الكذب). في الواقع ، يتم استخدام أنواع أخرى من التقييم أيضًا: عدم اليقين ، وعدم القدرة على الإثبات (قابلية الإثبات) ، وعدم القدرة على الحل. الجدال حول ما هو الرقم x العبارة صحيحة ، من الضروري مراعاة قوانين المنطق.

أدى ظهور "المنطق متعدد القيم" إلى استخدام عدد غير محدود من مؤشرات الحقيقة. الموقف مع عناصر الحقيقة محير ومعقد ، لذا من المهم توضيحه.

مبادئ النظرية

العبارة الصحيحة هي قيمة الخاصية (السمة) ، والتي يتم أخذها في الاعتبار دائمًا لإجراء معين. ما هي الحقيقة؟ المخطط على النحو التالي: "الاقتراح X له قيمة الحقيقة Y في الحالة التي يكون فيها الاقتراح Z صحيحًا."

لنلقي نظرة على مثال. من الضروري أن نفهم أي من العبارات المعطاة يكون البيان صحيحًا: "الكائن أ لديه علامة ب". هذه العبارة خاطئة من حيث أن الكائن له السمة B ، وخطأ من حيث أن a لا يحتوي على السمة B. يُستخدم مصطلح "خطأ" في هذه الحالة باعتباره نفيًا خارجيًا.

تعريف الحقيقة

كيف يتم تحديد بيان صحيح؟ بغض النظر عن بنية العبارة X ، يُسمح فقط بالتعريف التالي: "العبارة X تكون صحيحة عندما يكون هناك X ، فقط X."

هذا التعريف يجعل من الممكن إدخال مصطلح "true" في اللغة. يحدد فعل قبول الاتفاق أو الكلام مع ما يقوله.

أقوال بسيطة

تحتوي على بيان صحيح بدون تعريف. يمكنك تقييد نفسك عند قول "Not-X" تعريف مشتركإذا كانت هذه العبارة غير صحيحة. يكون الاقتران "X و Y" صحيحًا إذا كان كل من X و Y صحيحين.

قول مثال

كيف نفهم من أجل أي س يكون البيان صحيحًا؟ للإجابة على هذا السؤال ، نستخدم التعبير: "يقع الجسيم أ في منطقة الفضاء ب". لهذا ، ضع في اعتبارك البيانات الحالات التالية:

• من المستحيل مراقبة الجسيم ؛
• يمكن ملاحظة الجسيم.

يتضمن الخيار الثاني احتمالات معينة:

• يقع الجسيم بالفعل في منطقة معينة من الفضاء ؛
• ليس في الجزء المفترض من الفضاء ؛
• يتحرك الجسيم بطريقة يصعب تحديد منطقة موقعه.

في هذه الحالة ، يمكنك استخدام أربعة مصطلحات لقيم الحقيقة تتوافق مع الاحتمالات المعطاة.

إلى عن على الهياكل المعقدةالاستخدام المناسب أكثرمصلحات. يشير هذا إلى أن قيم الحقيقة غير محدودة. يعتمد الرقم الصحيح للبيان على النفعية العملية.

مبدأ الغموض

وفقًا لذلك ، يكون أي بيان إما خاطئًا أو صحيحًا ، أي أنه يتميز بإحدى قيمتي الحقيقة المحتملتين - "خطأ" و "صواب".

هذا المبدأ هو أساس المنطق الكلاسيكي ، والذي يسمى نظرية القيمتين. استخدم أرسطو مبدأ الغموض. هذا الفيلسوف ، الذي ناقش ما هو الرقم x عبارة صحيحة ، اعتبرها غير مناسبة لتلك العبارات التي تتعلق بالأحداث العشوائية المستقبلية.

أقام علاقة منطقية بين القدرية ومبدأ الغموض ، الأقدار المسبق لأي عمل بشري.

في العصور التاريخية اللاحقة ، تم تفسير القيود التي تم فرضها على هذا المبدأ من خلال حقيقة أنه يعقد بشكل كبير تحليل البيانات حول الأحداث المخطط لها ، وكذلك حول الأشياء غير الموجودة (غير القابلة للرصد).

عند التفكير في العبارات الصحيحة ، لم يكن من الممكن دائمًا العثور على إجابة لا لبس فيها باستخدام هذه الطريقة.

تم تبديد الشكوك الناشئة حول الأنظمة المنطقية فقط بعد تطوير المنطق الحديث.

لفهم أي من الأرقام المعطاة يكون البيان صحيحًا ، يكون المنطق ثنائي القيمة مناسبًا.

مبدأ الغموض

إذا أعدنا صياغة متغير من عبارة ثنائية القيمة لكشف الحقيقة ، فيمكننا تحويلها إلى حالة خاصة من تعدد المعاني: أي بيان سيكون له قيمة حقيقة n واحدة إذا كانت n أكبر من 2 أو أقل من اللانهاية.

عديدة أنظمة منطقيةعلى أساس مبدأ الغموض. يميز المنطق الكلاسيكي ذو القيمة المزدوجة الاستخدامات النموذجية لبعض العلامات المنطقية: "أو" ، و "،" ، "لا".

يجب ألا يتعارض المنطق متعدد القيم الذي يدعي جعلها ملموسة مع نتائج نظام ذي قيمتين.

يعتبر الاعتقاد بأن مبدأ الغموض يؤدي دائمًا إلى بيان القدرية والحتمية خاطئًا. كما أن فكرة أن المنطق المتعدد يعتبر وسيلة ضرورية لتنفيذ التفكير اللاحتمي ، وأن قبوله يتوافق مع رفض استخدام الحتمية الصارمة.

دلالات العلامات المنطقية

لفهم الرقم X ، يكون البيان صحيحًا ، يمكنك تسليح نفسك بجداول الحقيقة. الدلالات المنطقية هي فرع من علم المعادن يدرس العلاقة بالأشياء المحددة ومحتواها من التعبيرات اللغوية المختلفة.

تم النظر في هذه المشكلة بالفعل في العالم القديم ، ولكن في شكل نظام مستقل كامل ، تمت صياغتها فقط في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين. جعلت أعمال جي فريج ، سي بيرس ، ر. كارناب ، س. كريبك من الممكن الكشف عن جوهر هذه النظرية ، واقعيتها ونفعتها.

لفترة طويلة ، اعتمد المنطق الدلالي بشكل أساسي على تحليل اللغات الرسمية. فقط في في الآونة الأخيرةبدأت معظم الأبحاث مكرسة للغة الطبيعية.

هناك مجالان رئيسيان في هذه المنهجية:

• نظرية الترميز (مرجع)؛
• نظرية المعنى.

الأول يتضمن دراسة العلاقة بين التعبيرات اللغوية المختلفة والأشياء المحددة. كفئة رئيسية ، يمكن للمرء أن يتخيل: "التسمية" ، "الاسم" ، "النموذج" ، "التفسير". هذه النظريةهي أساس البراهين في المنطق الحديث.

تهتم نظرية المعنى بإيجاد إجابة لسؤال ما هو معنى التعبير اللغوي. تشرح هويتهم بالمعنى.

تلعب نظرية المعنى دورًا مهمًا في مناقشة المفارقات الدلالية ، حيث يعتبر حل أي معيار للقبول مهمًا وملائمًا.

المعادلة المنطقية

يستخدم هذا المصطلح في اللغة المعدنية. بموجب المعادلة المنطقية ، يمكننا تمثيل السجل F1 = F2 ، حيث تكون F1 و F2 صيغتين للغة الموسعة للقضايا المنطقية. لحل مثل هذه المعادلة يعني تحديد تلك المجموعات من القيم الحقيقية للمتغيرات التي سيتم تضمينها في إحدى الصيغ F1 أو F2 ، والتي بموجبها سيتم مراعاة المساواة المقترحة.

تشير علامة التساوي في الرياضيات في بعض المواقف إلى تساوي العناصر الأصلية ، وفي بعض الحالات تُستخدم لإثبات المساواة في قيمها. قد يشير الإدخال F1 = F2 إلى أننا نتحدث عن نفس الصيغة.

في الأدبيات ، غالبًا ما يُفهم المنطق الرسمي على أنه مرادف لـ "لغة الافتراضات المنطقية". كما " كلمات صحيحة»هي الصيغ التي تخدم الوحدات الدلاليةتستخدم لبناء التفكير في منطق غير رسمي (فلسفي).

البيان بمثابة جملة تعبر عن اقتراح محدد. بمعنى آخر ، إنه يعبر عن فكرة وجود حالة معينة.

أصبحت هذه الحقيقة أساس المنطق الافتراضى. هناك تقسيم للبيانات إلى مجموعات بسيطة ومعقدة.

عند إضفاء الطابع الرسمي خيارات بسيطةتستخدم العبارات الصيغ الأولية للغة الصفرية. لا يمكن وصف العبارات المعقدة إلا باستخدام صيغ اللغة.

الوصلات المنطقية ضرورية للدلالة على النقابات. عند تطبيقها ، تتحول العبارات البسيطة إلى أنواع معقدة:

• "ليس"،
• "ليس صحيحًا أن ..."
• "أو".

استنتاج

يساعد المنطق الرسمي في معرفة أي اسم يكون البيان صحيحًا ، ويتضمن بناء وتحليل القواعد لتحويل بعض التعبيرات التي تحافظ عليها. قيمة حقيقيةبغض النظر عن المحتوى. كقسم منفصل من العلوم الفلسفية ، ظهر فقط في نهاية القرن التاسع عشر. الاتجاه الثاني هو المنطق غير الرسمي.

تتمثل المهمة الرئيسية لهذا العلم في تنظيم القواعد التي تسمح باشتقاق عبارات جديدة بناءً على بيانات مثبتة.

أساس المنطق هو إمكانية الحصول على بعض الأفكار كنتيجة منطقية لبيانات أخرى.

هذه الحقيقة تجعل من الممكن وصف ليس فقط مشكلة معينة في العلوم الرياضية، ولكن أيضًا لنقل المنطق إلى الإبداع الفني.

يفترض البحث المنطقي العلاقة الموجودة بين المقدمات والنتائج المستخلصة منها.

يمكن أن يُعزى إلى عدد المفاهيم الأولية والأساسية للمنطق الحديث ، والذي يُطلق عليه غالبًا علم "ما يتبعه".

من الصعب تخيل إثبات النظريات في الهندسة بدون مثل هذا التفكير ، موضحًا الظواهر الفيزيائيةشرح آليات التفاعلات في الكيمياء.