علامة شبه منحرف على طول الأقطار. أرجوحة. دروس كاملة - هايبر ماركت المعرفة

إلى الأمام

انتباه! تعد معاينة الشرائح للأغراض الإعلامية فقط وقد لا تمثل النطاق الكامل للعرض التقديمي. إذا كنت مهتمًا بهذا العمل ، فيرجى تنزيل النسخة الكاملة.

الغرض من الدرس:

• التعليمية- تقديم مفهوم شبه المنحرف ، والتعرف على أنواع شبه المنحرف ، ودراسة خصائص شبه المنحرف ، وتعليم الطلاب تطبيق المعرفة المكتسبة في عملية حل المشكلات ؛
• النامية- تنمية الصفات الاتصالية لدى الطلاب ، وتنمية القدرة على إجراء تجربة ، والتعميم ، واستخلاص النتائج ، وتنمية الاهتمام بالموضوع.
• التعليمية- لتثقيف الانتباه ، وخلق حالة من النجاح ، والفرح من التغلب على الصعوبات بأنفسهم ، وتنمية الحاجة إلى التعبير عن الذات لدى الطلاب من خلال أنواع مختلفةيعمل.

أشكال العمل:أمامي ، غرفة بخار ، مجموعة.

شكل تنظيم أنشطة الأطفال:القدرة على الاستماع ، بناء مناقشة ، التعبير عن فكرة ، سؤال ، إضافة.

معدات:الكمبيوتر ، جهاز عرض الوسائط المتعددة ، الشاشة. على طاولات الطلاب: قطع المواد لصنع شبه منحرف لكل طالب على المنضدة ؛ بطاقات المهام (مطبوعات للرسومات والمهام من ملخص الدرس).

أثناء الفصول

I. لحظة تنظيمية

التحية ، التحقق من جاهزية مكان العمل للدرس.

ثانيًا. تحديث المعرفة

• تنمية المهارات لتصنيف الأشياء ؛
• إبراز السمات الرئيسية والثانوية في التصنيف.

يعتبر الشكل رقم 1.

فيما يلي مناقشة الرسم.
مم يتكون هذا الشكل الهندسي؟ يجد الرجال الإجابة في الصور: [من مستطيل ومثلثات].
ماذا يجب أن تكون المثلثات التي تشكل شبه منحرف؟
يتم سماع جميع الآراء ومناقشتها ، ويتم اختيار خيار واحد: [يجب أن تكون المثلثات مستطيلة].
كيف تتشكل المثلثات والمستطيلات؟ [بحيث تتطابق أضلاع المستطيل المتقابلة مع ضلع كل من المثلثين].
ماذا تعرف عن الأضلاع المتقابلة في المستطيل؟ [هم متوازون].
- إذن ، في هذا الشكل الرباعي سيكون هناك جوانب متوازية؟ [نعم].
- كم يوجد هناك؟ [اثنين].
بعد المناقشة ، يوضح المعلم "ملكة الدرس" - شبه المنحرف.

ثالثا. شرح مادة جديدة

1. تعريف شبه منحرف ، عناصر شبه منحرف

• تعليم الطلاب تحديد شبه منحرف ؛
• اسم عناصرها ؛
• تطوير الذاكرة النقابية.

- حاول الآن إعطاء تعريف كامل للشبه المنحرف. يفكر كل طالب في إجابة السؤال. يتبادلون الآراء في أزواج ، وإعداد إجابة واحدة على السؤال. يتم إعطاء إجابة شفهية من قبل طالب واحد من 2-3 أزواج.
[شبه المنحرف هو شكل رباعي يكون فيه جانبان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين].

ماذا تسمى جوانب شبه منحرف؟ [تسمى الأضلاع المتوازية قواعد شبه المنحرف ، والوجهان الآخران يسمىان الجانبين].

يعرض المعلم طي شبه منحرف من الأشكال المقطوعة. يعمل الطلاب في أزواج ويجمعون القطع معًا. حسنًا ، إذا كان أزواج الطلاب من مستويات مختلفة ، فإن أحد الطلاب هو مستشار ويساعد صديقًا في حالة وجود صعوبة.

- قم ببناء شبه منحرف في دفاتر الملاحظات ، اكتب أسماء جوانب شبه المنحرف. اطرح أسئلة حول الرسم على جارك ، واستمع إلى إجاباته ، وأبلغ عن إجاباتك.

مرجع تاريخي

"أرجوحة"- الكلمة اليونانية ، والتي كانت تعني في العصور القديمة "طاولة" (في اليونانية ، "trapedzion" تعني طاولة ، طاولة طعام. سمي الشكل الهندسي بتشابهه مع طاولة صغيرة.
في "البدايات" (اليونانية Στοιχεῖα ، اللاتينية Elementa) هو العمل الرئيسي لإقليدس ، الذي كتب حوالي 300 قبل الميلاد. ه. ومخصص للبناء المنهجي للهندسة) مصطلح "شبه منحرف" لا يستخدم في الحديث ، ولكن بمعنى مختلف: أي رباعي الأضلاع (وليس متوازي أضلاع). تم العثور على "Trapezium" بالمعنى الخاص بنا لأول مرة في عالم الرياضيات اليوناني القديم Posidonius (IV.). في العصور الوسطى ، وفقًا لإقليدس ، كان يُطلق على أي رباعي الزوايا (وليس متوازي الأضلاع) شبه منحرف ؛ فقط في القرن الثامن عشر. الكلمة لها معنى حديث.

بناء شبه منحرف وفقًا لعناصره المحددة. يكمل الرجال المهام على البطاقة رقم 1.

يجب على الطلاب تصميم شبه منحرف أكثر من غيرهم أماكن مختلفةوالخطوط العريضة. في الخطوة 1 ، تحتاج إلى بناء شبه منحرف مستطيل. في الفقرة 2 ، يصبح من الممكن بناء شبه منحرف متساوي الساقين. في الفقرة 3 ، سيكون شبه المنحرف "مستلقياً على جانبه". في الفقرة 4 ، ينص الشكل على بناء مثل هذا شبه المنحرف ، حيث يتبين أن إحدى القواعد صغيرة بشكل غير عادي.
"يفاجئ" التلاميذ المعلم بأشكال مختلفة تحمل اسمًا واحدًا شائعًا - شبه منحرف. يوضح المعلم الخيارات الممكنةبناء شبه منحرف.

مهمة 1. هل سيكون شكل شبه منحرف متساويًا إذا تساوت إحدى القاعدتين والجانبين ، على التوالي؟
ناقش حل المشكلة في مجموعات ، أثبت صحة المنطق.
يقوم أحد الطلاب من المجموعة بعمل رسم على السبورة ، ويشرح منهج التفكير.

2. أنواع شبه منحرف

• تطوير الذاكرة الحركية ، والقدرة على تقسيم شبه منحرف إلى أرقام معروفة ضرورية لحل المشاكل ؛
• تنمية المهارات للتعميم والمقارنة والتعريف عن طريق القياس وطرح الفرضيات.

ضع في اعتبارك الشكل:

- ما الفرق بين شبه المنحرف الموضح في الشكل؟
لاحظ الرجال أن نوع شبه المنحرف يعتمد على نوع المثلث الموجود على اليسار.
- اكمل الجملة:

يسمى شبه منحرف مستطيل إذا ...
يسمى شبه منحرف متساوي الساقين إذا ...

3. خصائص شبه منحرف. ملكيات شبه منحرف متساوي الساقين.

• طرح فرضية حول خاصية شبه منحرف متساوي الساقين ، عن طريق القياس مع مثلث متساوي الساقين ؛
• تنمية المهارات التحليلية (قارن ، افترض ، أثبت ، بناء).

• الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للأقطار يساوي نصف فرق القواعد.
• شبه منحرف متساوي الساقين له زوايا متساوية لأي قاعدة.
• شبه منحرف متساوي الساقين له أقطار متساوية.
• في شبه منحرف متساوي الساقين ، الارتفاع المنخفض من أعلى إلى القاعدة الأكبر يقسمه إلى جزأين ، أحدهما يساوي نصف مجموع القاعدتين ، والآخر يساوي نصف فرق القواعد.

المهمة 2.إثبات أنه في شبه منحرف متساوي الساقين: أ) الزوايا عند كل قاعدة متساوية ؛ ب) الأقطار متساوية. لإثبات هذه الخصائص لشبه منحرف متساوي الساقين ، نتذكر علامات تساوي المثلثات. يكمل الطلاب المهمة في مجموعات ويناقشون ويكتبون الحل في دفتر ملاحظات.
يقوم طالب واحد من كل مجموعة بالإثبات على السبورة.

4. تمرين الانتباه

5. أمثلة على استخدام أشكال شبه منحرف في الحياة اليومية:

• في التصميمات الداخلية (الأرائك والجدران ، الأسقف المعلقة);
• الخامس تصميم المناظر الطبيعية(حدود العشب ، خزانات اصطناعية، الحجارة) ؛
• في صناعة الأزياء (الملابس والأحذية والإكسسوارات) ؛
• في تصميم العناصر اليومية (المصابيح ، الأطباق ، باستخدام أشكال شبه منحرف) ؛
• في الهندسة المعمارية.

العمل التطبيقي(حسب الخيارات).

- في نظام إحداثيات واحد ، قم ببناء شبه منحرف متساوي الساقين باستخدام الرؤوس الثلاثة المحددة.

الخيار 1: (0 ؛ 1) ، (0 ؛ 6) ، (- 4 ؛ 2) ، (... ؛ ...) و (- 6 ؛ - 5) ، (4 ؛ - 5) ، (- 4 ؛ - 3) ، (... ؛ ...).
الخيار 2: (- 1 ؛ 0) ، (4 ؛ 0) ، (6 ؛ 5) ، (... ؛ ...) و (1 ؛ - 2) ، (4 ؛ - 3) ، (4 ؛ - 7) ، (... ؛ ...).

- تحديد إحداثيات الرأس الرابع.
يتم فحص القرار والتعليق عليه من قبل الفصل بأكمله. يشير الطلاب إلى إحداثيات النقطة الرابعة التي تم العثور عليها ويحاولون شفهيًا شرح سبب تحديد الشروط المعينة لنقطة واحدة فقط.

مهمة مثيرة للاهتمام.اطوِ شبه منحرف من: أ) أربعة مثلثات قائمة ؛ ب) من ثلاثة مثلثات قائمة. ج) اثنان من المثلثات القائمة.

رابعا. العمل في المنزل

• تعليم احترام الذات الصحيح ؛
• خلق حالة من "النجاح" لكل طالب.

البند 44 ، تعرف على التعريف ، عناصر شبه المنحرف ، أنواعها ، تعرف على خصائص شبه المنحرف ، يمكن إثباتها ، رقم 388 ، رقم 390.

الخامس. ملخص الدرس. في نهاية الدرس ، يتم إعطاء الأطفال حساب تعريفي،الذي يسمح لك بإجراء التحليل الذاتي ، وإعطاء تقييم نوعي وكمي للدرس .

شبه المنحرف هو حالة خاصة للشكل الرباعي حيث يكون أحد أضلاعه متوازيًا. مصطلح "شبه منحرف" يأتي من الكلمة اليونانية τράπεζα ، والتي تعني "الجدول" ، "الجدول". في هذه المقالة سننظر في أنواع شبه المنحرف وخصائصها. بالإضافة إلى ذلك ، سوف نتعرف على كيفية حساب العناصر الفردية لهذا المثال ، قطري شبه منحرف متساوي الساقين ، والخط الوسط ، والمساحة ، وما إلى ذلك. يتم تقديم المادة بأسلوب الهندسة الشعبية الأولية ، أي في مكان يسهل الوصول إليه استمارة.

معلومات عامة

أولاً ، دعنا نفهم ما هو الشكل الرباعي. هذا الرقمهي حالة خاصة لمضلع يحتوي على أربعة جوانب وأربعة رؤوس. يتم استدعاء رأسين من شكل رباعي غير متجاورين. يمكن قول الشيء نفسه عن ضلعين غير متجاورين. الأنواع الرئيسية من الأشكال الرباعية هي متوازي الأضلاع ، مستطيل ، معين ، مربع ، شبه منحرف ودالية.

لذا ، عد إلى الأرجوحة. كما قلنا سابقًا ، هذا الشكل له جانبان متوازيان. يطلق عليهم القواعد. الآخران (غير المتوازيين) هما الضلعان. في مواد الامتحان ومتنوعة أعمال التحكمفي كثير من الأحيان يمكنك تلبية المهام المتعلقة بأشكال شبه المنحرف ، والتي يتطلب حلها غالبًا أن يكون لدى الطالب معرفة لا يوفرها البرنامج. تقدم دورة الهندسة المدرسية للطلاب خصائص الزوايا والأقطار ، بالإضافة إلى خط الوسط لشبه المنحرف متساوي الساقين. لكن بعد كل شيء ، بالإضافة إلى ذلك ، فإن الشكل الهندسي المذكور له ميزات أخرى. لكن المزيد عنها لاحقًا ...

أنواع شبه منحرف

هناك أنواع عديدة من هذا الرقم. ومع ذلك ، غالبًا ما يكون من المعتاد النظر في اثنين منهم - متساوي الساقين ومستطيل.

1. شبه المنحرف المستطيل هو شكل يكون أحد جوانبه متعامدًا مع القاعدة. لها زاويتان تساويان دائمًا تسعين درجة.

2. شبه المنحرف متساوي الساقين هو شكل هندسي أضلاعه متساوية. هذا يعني أن الزوايا الموجودة على القاعدتين متساويتان أيضًا.

المبادئ الرئيسية لمنهجية دراسة خصائص شبه منحرف

المبدأ الرئيسي هو استخدام ما يسمى نهج المهمة. في الواقع ، ليست هناك حاجة لإدخال خصائص جديدة لهذا الشكل في المسار النظري للهندسة. يمكن اكتشافها وصياغتها في عملية الحل المهام المختلفة(أفضل من النظام). في الوقت نفسه ، من المهم جدًا أن يعرف المعلم المهام التي يجب تعيينها للطلاب في وقت أو آخر. العملية التعليمية. علاوة على ذلك ، يمكن تمثيل كل خاصية من خصائص شبه المنحرف كمهمة رئيسية في نظام المهام.

المبدأ الثاني هو ما يسمى بالتنظيم الحلزوني لدراسة الخصائص "الرائعة" لشبه المنحرف. هذا يعني العودة في عملية التعلم إلى السمات الفردية لشكل هندسي معين. وبالتالي ، يسهل على الطلاب حفظها. على سبيل المثال ، خاصية أربع نقاط. يمكن إثبات ذلك في دراسة التشابه وبعد ذلك بمساعدة النواقل. ويمكن إثبات المساحة المتساوية للمثلثات المجاورة لجوانب الشكل ليس فقط من خلال تطبيق خصائص المثلثات ذات الارتفاعات المتساوية المرسومة إلى الجوانب التي تقع على نفس الخط ، ولكن أيضًا باستخدام الصيغة S = 1/2 (أب * sinα). بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك التدرب على شبه منحرف منقوش أو مثلث قائم على شبه منحرف محصور ، إلخ.

استخدام ميزات "خارج البرنامج" لشكل هندسي في المحتوى دورة مدرسيةهي تقنية مهمة لتدريسهم. يتيح الجاذبية المستمرة للخصائص المدروسة عند المرور في مواضيع أخرى للطلاب اكتساب معرفة أعمق عن شبه المنحرف ويضمن نجاح حل المهام. لذا ، لنبدأ في دراسة هذا الرقم الرائع.

عناصر وخصائص شبه منحرف متساوي الساقين

كما أشرنا بالفعل ، فإن جوانب هذا الشكل الهندسي متساوية. يُعرف أيضًا باسم شبه المنحرف الأيمن. لماذا هي رائعة ولماذا حصلت على مثل هذا الاسم؟ تتضمن ميزات هذا الشكل حقيقة أنه ليس فقط الجوانب والزوايا في القواعد متساوية ، ولكن أيضًا الأقطار. أيضًا ، مجموع زوايا شبه منحرف متساوي الساقين هو 360 درجة. لكن هذا ليس كل شيء! من بين جميع شبه المنحرفات المعروفة ، يمكن وصف دائرة فقط حول متساوي الساقين. هذا يرجع إلى حقيقة أن مجموع الزوايا المقابلة لهذا الشكل يساوي 180 درجة ، وفي هذه الحالة فقط يمكن وصف دائرة حول الشكل الرباعي. الخاصية التالية للشكل الهندسي قيد الدراسة هي أن المسافة من قمة القاعدة إلى إسقاط الرأس المقابل على الخط المستقيم الذي يحتوي على هذه القاعدة ستكون مساوية لخط الوسط.

لنكتشف الآن كيفية إيجاد زوايا شبه منحرف متساوي الساقين. فكر في حل لهذه المشكلة بشرط أن تكون أبعاد جوانب الشكل معروفة.

حل

عادةً ما يُرمز إلى الشكل الرباعي بالحروف A و B و C و D ، حيث BS و AD هما الأساس. في شبه منحرف متساوي الساقين ، تكون الجوانب متساوية. سنفترض أن حجمها هو X ، وأن أحجام القواعد هي Y و Z (أصغر وأكبر ، على التوالي). لإجراء الحساب ، من الضروري رسم ارتفاع H من الزاوية B. والنتيجة هي مثلث قائم الزاوية ABN ، حيث AB هو الوتر ، و BN و AN هما الأرجل. نحسب حجم الساق AN: نطرح الأصغر من القاعدة الأكبر ، ونقسم النتيجة على 2. نكتبها على شكل صيغة: (Z-Y) / 2 \ u003d F. الآن ، لحساب الزاوية الحادة للمثلث ، نستخدم دالة cos. نحصل على السجل التالي: cos (β) = Х / F. الآن نحسب الزاوية: β = arcos (Х / F). علاوة على ذلك ، بمعرفة زاوية واحدة ، يمكننا تحديد الثانية ، لذلك نقوم بإجراء عملية حسابية أولية: 180 - β. يتم تحديد جميع الزوايا.

هناك أيضًا حل ثانٍ لهذه المشكلة. في البداية ، نخفض الارتفاع H من الزاوية B. نحسب قيمة الضلع BN. نعلم أن مربع وتر المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعات الأرجل. نحصل على: BN \ u003d √ (X2-F2). بعد ذلك ، نستخدم الدالة المثلثية tg. نتيجة لذلك ، لدينا: β = arctg (BN / F). تم العثور على زاوية حادة. بعد ذلك ، نحدد بنفس طريقة الطريقة الأولى.

خاصية أقطار شبه منحرف متساوي الساقين

دعنا نكتب أربع قواعد أولاً. إذا كانت الأقطار في شبه منحرف متساوي الساقين متعامدة ، فعندئذٍ:

سيكون ارتفاع الشكل مساويًا لمجموع القواعد مقسومًا على اثنين ؛

ارتفاعها وخط الوسط متساويان ؛

مركز الدائرة هو النقطة التي يوجد فيها ؛

إذا تم تقسيم الجانب الجانبي بواسطة نقطة الاتصال إلى مقطعين H و M ، فإنه يساوي الجذر التربيعيمنتجات هذه القطاعات.

الشكل الرباعي ، الذي يتكون من نقاط التماس ، رأس شبه المنحرف ومركز الدائرة المنقوشة ، هو مربع يكون ضلعه مساويًا لنصف القطر ؛

مساحة الشكل تساوي حاصل ضرب القواعد ومنتج نصف مجموع القواعد وارتفاعها.

شبه منحرف مماثلة

هذا الموضوع مناسب جدًا لدراسة خصائص هذا ، على سبيل المثال ، تقسم الأقطار شبه المنحرف إلى أربعة مثلثات ، وتلك المجاورة للقواعد متشابهة ، والأضلاع متساوية. يمكن تسمية هذا البيان بخاصية للمثلثات التي ينقسم إليها شبه المنحرف على أقطارها. تم إثبات الجزء الأول من هذا التأكيد من خلال معيار التشابه في زاويتين. لإثبات الجزء الثاني ، من الأفضل استخدام الطريقة الواردة أدناه.

إثبات النظرية

نحن نقبل أن الشكل ABSD (AD و BS - قواعد شبه المنحرف) مقسوم على القطرين VD و AC. نقطة تقاطعهم هي O. نحصل على أربعة مثلثات: AOS - في القاعدة السفلية ، BOS - في القاعدة العليا ، ABO و SOD على الجانبين. المثلثات SOD و BOS لها ارتفاع مشترك إذا كانت الأجزاء BO و OD هي قواعدها. نحصل على أن الفرق بين مناطقهم (P) يساوي الفرق بين هذه المقاطع: PBOS / PSOD = BO / OD = K. لذلك ، PSOD = PBOS / K. وبالمثل ، فإن مثلثي BOS و AOB لهما ارتفاع مشترك. نحن نأخذ المقطعين CO و OA كقاعدة لهم. نحصل على PBOS / PAOB \ u003d CO / OA \ u003d K و PAOB \ u003d PBOS / K. ويترتب على ذلك أن PSOD = PAOB.

لدمج المادة ، يُنصح الطلاب بإيجاد صلة بين مناطق المثلثات الناتجة ، والتي ينقسم إليها شبه المنحرف بواسطة أقطارها ، من خلال حل المشكلة التالية. من المعروف أن مناطق المثلثات BOS و AOD متساوية ، من الضروري إيجاد مساحة شبه المنحرف. منذ PSOD \ u003d PAOB ، فهذا يعني أن PABSD \ u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. من تشابه المثلثات BOS و AOD يتبع ذلك BO / OD = √ (PBOS / PAOD). لذلك ، PBOS / PSOD = BO / OD = (PBOS / PAOD). نحصل على PSOD = √ (PBOS * PAOD). ثم PABSD = PBOS + PAOD + 2 * (PBOS * PAOD) = (√PBOS + √PAOD) 2.

خصائص التشابه

بالاستمرار في تطوير هذا الموضوع ، يمكننا إثبات غيره ميزات مثيرة للاهتمامشبه منحرف. لذلك ، باستخدام التشابه ، يمكنك إثبات خاصية مقطع يمر عبر نقطة تكونت من تقاطع أقطار هذا الشكل الهندسي الموازي للقواعد. للقيام بذلك ، نحل المشكلة التالية: من الضروري إيجاد طول المقطع RK ، الذي يمر بالنقطة O. من تشابه المثلثات AOD و BOS ، يتبع ذلك AO / OS = AD / BS. من تشابه المثلثات AOP و ASB ، يتبع ذلك AO / AS \ u003d RO / BS \ u003d AD / (BS + AD). من هنا نحصل على RO \ u003d BS * AD / (BS + AD). وبالمثل ، من تشابه المثلثات DOK و DBS ، فإنه يتبع ذلك OK \ u003d BS * AD / (BS + AD). من هنا نحصل على RO = OK و RK = 2 * BS * AD / (BS + AD). الجزء الذي يمر عبر نقطة تقاطع الأقطار ، الموازي للقواعد والربط بين الجانبين ، مقسوم على نقطة التقاطع إلى النصف. طوله هو الوسط التوافقي لقواعد الشكل.

يعتبر الجودة التاليةشبه منحرف ، والذي يسمى خاصية أربع نقاط. نقاط تقاطع الأقطار (O) ، تقاطعات استمرار الجانبين (E) ، وكذلك نقاط المنتصف للقواعد (T و W) تقع دائمًا على نفس الخط. يتم إثبات ذلك بسهولة من خلال طريقة التشابه. المثلثان الناتجان BES و AED متشابهان ، وفي كل منهما يقسم الوسيطان ET و EZH الزاوية عند الرأس E إلى أجزاء متساوية. لذلك ، فإن النقاط E و T و W تقع على نفس الخط المستقيم. وبنفس الطريقة ، فإن النقاط T و O و G تقع على نفس الخط المستقيم ، كل هذا يأتي من تشابه المثلثات BOS و AOD. من هذا نستنتج أن جميع النقاط الأربع - E و T و O و W - ستقع على خط مستقيم واحد.

باستخدام شبه منحرف ، يمكن أن يُطلب من الطلاب العثور على طول المقطع (LF) الذي يقسم الشكل إلى قسمين متشابهين. يجب أن يكون هذا الجزء موازيًا للقواعد. نظرًا لأن شبه المنحرف الناتج ALFD و LBSF متشابهان ، فإن BS / LF = LF / BP. ويترتب على ذلك أن LF = √ (BS * BP). نحصل على أن الجزء الذي يقسم شبه المنحرف إلى جزأين متشابهين له طول يساوي المتوسط ​​الهندسي لأطوال قواعد الشكل.

ضع في اعتبارك خاصية التشابه التالية. يعتمد على مقطع يقسم شبه منحرف إلى شكلين متساويين الحجم. نحن نقبل أن شبه المنحرف ABSD مقسم بواسطة المقطع EN إلى قسمين متشابهين. من الرأس B ، يتم حذف الارتفاع ، والذي يقسم على الجزء EH إلى جزأين - B1 و B2. نحصل على: PABSD / 2 \ u003d (BS + EH) * B1 / 2 \ u003d (AD + EH) * B2 / 2 و PABSD \ u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. بعد ذلك ، نقوم بتكوين نظام معادلته الأولى (BS + EH) * B1 \ u003d (AD + EH) * B2 والثانية (BS + EH) * B1 \ u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. يتبع ذلك B2 / B1 = (BS + EN) / (AD + EN) و BS + EN = ((BS + AD) / 2) * (1 + B2 / B1). نحصل على أن طول المقطع الذي يقسم شبه المنحرف إلى جزأين متساويين يساوي متوسط ​​مربع أطوال القاعدتين: √ ((BS2 + AD2) / 2).

استدلالات التشابه

وهكذا فقد أثبتنا أن:

1. المقطع الذي يربط بين نقاط المنتصف على جانبي شبه المنحرف موازي لـ AD و BS ويساوي المتوسط ​​الحسابي لـ BS و AD (طول قاعدة شبه المنحرف).

2. سيكون الخط المار بالنقطة O من تقاطع الأقطار الموازية لـ AD و BS مساويًا للمتوسط ​​التوافقي للأرقام AD و BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. المقطع الذي يقسم شبه المنحرف إلى أجزاء متشابهة له طول المتوسط ​​الهندسي للقاعدتين BS و AD.

4. العنصر الذي يقسم شكلاً ما إلى رقمين متساويين له طول متوسط ​​مربعي الأرقام AD و BS.

لدمج المادة وفهم العلاقة بين المقاطع المدروسة ، يحتاج الطالب إلى بنائها لشبه منحرف معين. يمكنه بسهولة عرض خط الوسط والمقطع الذي يمر عبر النقطة O - تقاطع أقطار الشكل - بالتوازي مع القواعد. لكن أين سيكون الثالث والرابع؟ ستقود هذه الإجابة الطالب إلى اكتشاف العلاقة المرغوبة بين المتوسطات.

قطعة مستقيمة تصل بين نقاط المنتصف لأقطار شبه منحرف

النظر في الخاصية التالية من هذا الرقم. نحن نقبل أن الجزء MH موازي للقواعد ويقسم الأقطار. لنسمي نقطتي التقاطع W و W. هذا المقطع سيساوي نصف فرق القاعدتين. دعنا نحلل هذا بمزيد من التفصيل. MSH - الخط الأوسط للمثلث ABS ، يساوي BS / 2. MS - الخط الأوسط للمثلث ABD ، يساوي AD / 2. ثم نحصل على ShShch = MShch-MSh ، لذلك ، Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

مركز الجاذبية

لنلقِ نظرة على كيفية تحديد هذا العنصر لشكل هندسي معين. للقيام بذلك ، من الضروري تمديد القواعد في اتجاهين متعاكسين. ماذا يعني ذلك؟ من الضروري إضافة القاعدة السفلية إلى القاعدة العلوية - إلى أي جانب ، على سبيل المثال ، إلى اليمين. ويمتد القاع بطول القمة إلى اليسار. بعد ذلك ، نربطهم بقطر. نقطة تقاطع هذا الجزء مع الخط الأوسط من الشكل هي مركز ثقل شبه المنحرف.

شبه منحرف منقوشة ومقيدة

دعنا نسرد ميزات هذه الأشكال:

1. لا يمكن نقش شبه منحرف في دائرة إلا إذا كان متساوي الساقين.

2. يمكن وصف شبه منحرف حول دائرة ، بشرط أن يكون مجموع أطوال قواعدها مساويًا لمجموع أطوال الأضلاع.

عواقب الدائرة المنقوشة:

1. ارتفاع شبه المنحرف الموصوف يساوي دائمًا نصف قطر.

2. يتم ملاحظة الجانب الجانبي من شبه المنحرف الموصوف من مركز الدائرة بزاوية قائمة.

النتيجة الطبيعية الأولى واضحة ، ولإثبات النتيجة الثانية ، يلزم إثبات أن زاوية SOD صحيحة ، والتي ، في الواقع ، لن تكون صعبة أيضًا. لكن المعرفة الملكية المعطاةيسمح لك باستخدام مثلث قائم الزاوية عند حل المشكلات.

الآن نحدد هذه النتائج لشبه منحرف متساوي الساقين ، المدرج في دائرة. لقد حصلنا على أن الارتفاع هو المتوسط ​​الهندسي لقواعد الشكل: H = 2R = √ (BS * AD). ممارسة التقنية الرئيسية لحل مسائل شبه المنحرف (مبدأ رسم ارتفاعين) ، يجب على الطالب حل المهمة التالية. نحن نقبل أن BT هي ارتفاع الشكل المتساوي الساقين ABSD. من الضروري العثور على شرائح AT و TD. باستخدام الصيغة الموضحة أعلاه ، لن يكون من الصعب القيام بذلك.

لنكتشف الآن كيفية تحديد نصف قطر الدائرة باستخدام مساحة شبه المنحرف المحصور. نخفض الارتفاع من أعلى B إلى القاعدة AD. نظرًا لأن الدائرة مكتوبة في شبه منحرف ، إذن BS + AD \ u003d 2AB أو AB \ u003d (BS + AD) / 2. من المثلث ABN نجد sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \ u003d (BS + AD) * BN / 2 ، BN \ u003d 2R. نحصل على PABSD \ u003d (BS + HELL) * R ، ويتبع ذلك R \ u003d PABSD / (BS + HELL).

جميع صيغ خط الوسط لشبه منحرف

حان الوقت الآن للانتقال إلى العنصر الأخير في هذا الشكل الهندسي. لنكتشف ما يساوي الخط الأوسط من شبه المنحرف (M):

1. من خلال القواعد: M \ u003d (A + B) / 2.

2. من خلال الارتفاع والقاعدة والزوايا:

M \ u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2 ؛

M \ u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. من خلال الارتفاع والأقطار والزاوية بينهما. على سبيل المثال ، D1 و D2 هما قطري شبه منحرف ؛ α ، - الزوايا بينهما:

M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. من خلال المساحة والارتفاع: M = P / N.

سنحاول في هذه المقالة أن نعكس خصائص شبه المنحرف على أكمل وجه ممكن. على وجه الخصوص ، سوف نتحدث عن السمات المشتركةوخصائص شبه منحرف ، وكذلك خصائص شبه منحرف منقوش وحول دائرة منقوشة في شبه منحرف. سنتطرق أيضًا إلى خصائص شبه المنحرف متساوي الساقين والمستطيل.

سيساعدك مثال على حل مشكلة باستخدام الخصائص المدروسة على فرز الأشياء في رأسك وتذكر المواد بشكل أفضل.

ترابيز وكل الكل

بادئ ذي بدء ، دعنا نتذكر بإيجاز ما هو شبه منحرف وما هي المفاهيم الأخرى المرتبطة به.

لذا ، فإن شبه المنحرف هو شكل رباعي ، جانبان منه متوازيان مع بعضهما البعض (هذه هي القواعد). واثنان غير متوازيين - فهذه هي الأضلاع.

في شبه منحرف ، يمكن حذف الارتفاع - عمودي على القواعد. يتم رسم الخط الأوسط والأقطار. وأيضًا من أي زاوية شبه منحرف يمكن رسم منصف.

حول الخصائص المختلفة المرتبطة بكل هذه العناصر ومجموعاتها ، سنتحدث الآن.

خصائص أقطار شبه منحرف

لتوضيح الأمر ، أثناء القراءة ، ارسم شبه منحرف ACME على قطعة من الورق وارسم قطريًا فيه.

1. إذا وجدت نقاط المنتصف لكل من الأقطار (دعنا نسمي هذه النقطتين X و T) وقمت بتوصيلهما ، فستحصل على مقطع. من خصائص أقطار شبه المنحرف أن القطعة XT تقع على خط الوسط. ويمكن الحصول على طوله بقسمة فرق القاعدتين على اثنين: XT \ u003d (أ - ب) / 2.
2. أمامنا هو نفس شبه منحرف ACME. تتقاطع الأقطار عند النقطة O. لنفكر في المثلثين AOE و IOC المكونين من مقاطع الأقطار جنبًا إلى جنب مع قواعد شبه المنحرف. هذه المثلثات متشابهة. يتم التعبير عن معامل التشابه لمثلثات k من حيث نسبة قواعد شبه المنحرف: ك = AE / KM.
   يتم وصف نسبة مناطق المثلثات AOE و IOC بواسطة المعامل k 2.
3. كل نفس شبه منحرف ، نفس الأقطار تتقاطع عند النقطة O. هذه المرة فقط سننظر في المثلثات التي تكونت الأجزاء القطرية مع جوانب شبه المنحرف. مناطق مثلثات AKO و EMO متساوية - مناطقهم هي نفسها.
4. من الخصائص الأخرى لشبه المنحرف بناء الأقطار. لذلك ، إذا واصلنا جانبي AK و ME في اتجاه القاعدة الأصغر ، فعاجلاً أم آجلاً سوف يتقاطعان مع نقطة ما. بعد ذلك ، ارسم خطًا مستقيمًا عبر نقاط المنتصف لقواعد شبه المنحرف. يتقاطع مع القواعد عند النقطتين X و T.
   إذا قمنا الآن بتمديد الخط XT ، فسوف نجمع معًا نقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف O ، وهي النقطة التي تتقاطع عندها امتدادات الجوانب ونقاط المنتصف لقاعدتي X و T.
5. من خلال نقطة تقاطع الأقطار ، نرسم مقطعًا يربط بين قواعد شبه المنحرف (يقع T على القاعدة الأصغر لـ KM ، X - على AE الأكبر). تقسم نقطة تقاطع الأقطار هذا الجزء بالنسب التالية: TO / OH = KM / AE.
6. والآن من خلال نقطة تقاطع الأقطار ، نرسم قطعة موازية لقواعد شبه المنحرف (أ و ب). ستقسمه نقطة التقاطع إلى قسمين متساويين. يمكنك إيجاد طول المقطع باستخدام الصيغة 2ab / (أ + ب).

خصائص خط الوسط لشبه منحرف

ارسم الخط الأوسط في شبه المنحرف بالتوازي مع قواعده.

1. يمكن حساب طول خط الوسط لشبه المنحرف عن طريق إضافة أطوال القواعد وتقسيمها إلى نصفين: م = (أ + ب) / 2.
2. إذا قمت برسم أي جزء (ارتفاع ، على سبيل المثال) من خلال قاعدتي شبه المنحرف ، فإن الخط الأوسط يقسمه إلى جزأين متساويين.

ممتلكات منصف شبه منحرف

اختر أي زاوية من شبه المنحرف وارسم منصفًا. خذ ، على سبيل المثال ، الزاوية KAE لشبه منحرف ACME. بعد الانتهاء من البناء بمفردك ، يمكنك أن ترى بسهولة أن المنصف يقطع من القاعدة (أو استمرارها على خط مستقيم خارج الشكل نفسه) قطعة من نفس طول الجانب.

خصائص زاوية شبه منحرف

1. أيًا كان زوجي الزوايا المجاورين للجانب الذي تختاره ، يكون مجموع الزوايا في الزوج دائمًا 180 0: α + β = 180 0 و γ + δ = 180 0.
2. قم بتوصيل نقاط المنتصف لقواعد شبه المنحرف بقطعة TX. لننظر الآن إلى الزوايا على أساس شبه المنحرف. إذا كان مجموع الزوايا لأي منها هو 90 0 ، فمن السهل حساب طول مقطع TX بناءً على الفرق في أطوال القواعد ، مقسمة إلى النصف: TX \ u003d (AE - KM) / 2.
3. إذا تم رسم خطوط متوازية من خلال جوانب زاوية شبه منحرف ، فسوف يقسمون جوانب الزاوية إلى مقاطع متناسبة.

خصائص شبه منحرف متساوي الساقين

1. في شبه منحرف متساوي الساقين ، تكون الزوايا في أي قاعدة متساوية.
2. الآن قم ببناء شبه منحرف مرة أخرى لتسهيل تخيل ما يدور حوله. انظر بعناية إلى قاعدة AE - يتم إسقاط رأس القاعدة المقابلة لـ M إلى نقطة معينة على الخط الذي يحتوي على AE. المسافة من الرأس A إلى نقطة إسقاط الرأس M والخط الوسط لشبه منحرف متساوي الساقين متساويان.
3. بضع كلمات حول خصائص أقطار شبه منحرف متساوي الساقين - أطوالها متساوية. وكذلك زوايا ميل هذه الأقطار على قاعدة شبه المنحرف هي نفسها.
4. لا يمكن وصف دائرة إلا بالقرب من شبه منحرف متساوي الساقين ، حيث أن مجموع الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي 180 0 شرط أساسي لذلك.
5. تتبع خاصية شبه منحرف متساوي الساقين من الفقرة السابقة - إذا كان من الممكن وصف دائرة بالقرب من شبه منحرف ، فهي متساوية الساقين.
6. من سمات شبه منحرف متساوي الساقين ، فإن خاصية ارتفاع شبه المنحرف تتبع: إذا تقاطعت أقطارها بزوايا قائمة ، فإن طول الارتفاع يساوي نصف مجموع القواعد: ح = (أ + ب) / 2.
7. ارسم الخط TX مرة أخرى عبر نقاط المنتصف لقواعد شبه المنحرف - في شبه منحرف متساوي الساقين يكون عموديًا على القواعد. وفي نفس الوقت ، TX هي محور تناظر شبه منحرف متساوي الساقين.
8. هذه المرة أقل للقاعدة الأكبر (دعنا نسميها أ) الارتفاع من الرأس المقابل لشبه المنحرف. سوف تحصل على قطعتين. يمكن إيجاد طول واحد إذا تمت إضافة أطوال القواعد وتقسيمها إلى نصفين: (أ + ب) / 2. نحصل على الثاني عندما نطرح الأصغر من القاعدة الأكبر ونقسم الفرق الناتج على اثنين: (أ - ب) / 2.

خصائص شبه منحرف منقوشة في دائرة

نظرًا لأننا نتحدث بالفعل عن شبه منحرف محفور في دائرة ، فلنتناول هذه المسألة بمزيد من التفصيل. على وجه الخصوص ، أين هو مركز الدائرة بالنسبة لشبه المنحرف. هنا ، أيضًا ، يوصى بعدم التكاسل كثيرًا في التقاط قلم رصاص ورسم ماذا سيتم مناقشتهاأقل. لذلك ستفهم بشكل أسرع وتتذكر بشكل أفضل.

1. يتم تحديد موقع مركز الدائرة بزاوية ميل قطري شبه المنحرف إلى جانبها. على سبيل المثال ، قد يظهر قطري من أعلى شبه منحرف بزوايا قائمة على الجانب. في هذه الحالة ، تتقاطع القاعدة الأكبر مع مركز الدائرة المحددة في المنتصف تمامًا (R = ½AE).
2. يمكن أيضًا أن يلتقي القطر والجانب بزاوية حادة - ثم يكون مركز الدائرة داخل شبه المنحرف.
3. قد يكون مركز الدائرة المقيدة خارج شبه المنحرف ، خارج قاعدتها الكبيرة ، إذا كانت هناك زاوية منفرجة بين قطري شبه المنحرف والجانب الجانبي.
4. الزاوية التي يتكون منها القطر والقاعدة الكبيرة لشبه منحرف ACME (الزاوية المحيطية) هي نصف الزاوية المركزية التي تتوافق معها: MAE = ½MY.
5. باختصار حول طريقتين لإيجاد نصف قطر الدائرة المقيدة. الطريقة الأولى: انظر بعناية إلى الرسم - ماذا ترى؟ ستلاحظ بسهولة أن القطر يقسم شبه المنحرف إلى مثلثين. يمكن إيجاد نصف القطر من خلال نسبة ضلع المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة ، مضروبًا في اثنين. على سبيل المثال، R \ u003d AE / 2 * sinAME. وبالمثل ، يمكن كتابة الصيغة لأي من أضلاع كلا المثلثين.
6. الطريقة الثانية: نحدد نصف قطر الدائرة المقيدة من خلال مساحة المثلث المكونة من قطر شبه منحرف وجانبه وقاعدته: R \ u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

خصائص شبه منحرف محاطة بدائرة

يمكنك كتابة دائرة في شبه منحرف إذا تم استيفاء أحد الشروط. المزيد حول هذا الموضوع أدناه. ولهذه المجموعة من الأشكال معًا عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام.

1. إذا كانت الدائرة منقوشة في شبه منحرف ، فيمكن بسهولة العثور على طول خط الوسط عن طريق إضافة أطوال الأضلاع وقسمة المجموع الناتج إلى النصف: م = (ج + د) / 2.
2. بالنسبة لشبه منحرف ACME ، المحصور حول دائرة ، فإن مجموع أطوال القواعد يساوي مجموع أطوال الأضلاع: AK + ME = KM + AE.
3. من هذه الخاصية لقواعد شبه منحرف ، فإن العبارة العكسية التالية: يمكن أن تُدرج دائرة في ذلك شبه المنحرف ، مجموع قاعدتهما يساوي مجموع الأضلاع.
4. نقطة المماس لدائرة نصف قطرها r منقوشة في شبه منحرف تقسم الجانب الجانبي إلى جزأين ، دعنا نسميها a و b. يمكن حساب نصف قطر الدائرة باستخدام الصيغة: ص = √ab.
5. وممتلكات أخرى. حتى لا تتشوش ، ارسم هذا المثال بنفسك. لدينا شبه منحرف ACME القديم الجيد ، محصور حول دائرة. يتم رسم الأقطار فيه ، حيث تتقاطع عند النقطة O. والمثلثات AOK و EOM المكونة من مقاطع الأقطار والجوانب مستطيلة.
   ارتفاعات هذه المثلثات ، التي تنخفض إلى الوتر (أي جوانب شبه المنحرف) ، تتطابق مع نصف قطر الدائرة المنقوشة. ويساوي ارتفاع شبه المنحرف قطر الدائرة المنقوشة.

خصائص شبه منحرف مستطيل

يسمى شبه منحرف مستطيل ، أحد أركانه على اليمين. وخصائصه تنبع من هذا الظرف.

1. شبه منحرف مستطيل له أحد أضلاعه المتعامدة مع القاعدة.
2. ارتفاع وجانب شبه المنحرف المجاور ل زاوية مستقيمة، متساوية. يتيح لك ذلك حساب مساحة شبه منحرف مستطيل الشكل (الصيغة العامة S = (أ + ب) * ح / 2) ليس فقط من خلال الارتفاع ولكن أيضًا من خلال الضلع المجاور للزاوية القائمة.
3. للحصول على شبه منحرف مستطيل ، فإن الخصائص العامة للأقطار شبه المنحرفة الموصوفة أعلاه ذات صلة.

براهين على بعض خصائص شبه منحرف

مساواة الزوايا عند قاعدة شبه منحرف متساوي الساقين:

• ربما خمنت بالفعل أننا نحتاج هنا مرة أخرى إلى شبه منحرف ACME - ارسم شبه منحرف متساوي الساقين. ارسم خطًا MT من الرأس M موازيًا لجانب AK (MT || AK).

الناتج الرباعي AKMT هو متوازي الأضلاع (AK || MT ، KM || AT). بما أن ME = KA = MT ، ∆ MTE تساوي الساقين و MET = MTE.

AK || MT ، وبالتالي MTE = KAE ، MET = MTE = KAE.

حيث AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

الآن ، بناءً على خاصية شبه منحرف متساوي الساقين (تساوي الأقطار) ، نثبت ذلك شبه منحرف ACME متساوي الساقين:

• لنبدأ برسم خط مستقيم МХ - МХ || KE. نحصل على متوازي الأضلاع KMHE (قاعدة - MX || KE و KM || EX).

∆AMH هو متساوي الساقين ، حيث أن AM = KE = MX ، و MAX = MEA.

MX || KE ، KEA = MXE ، وبالتالي MAE = MXE.

اتضح أن المثلثين AKE و EMA متساويان ، لأن AM \ u003d KE و AE هما الجانب المشترك للمثلثين. وكذلك MAE \ u003d MXE. يمكننا أن نستنتج أن AK = ME ، وبالتالي يترتب على ذلك أن شبه المنحرف AKME متساوي الساقين.

مهمة لتكرارها

قاعدتا شبه المنحرف ACME هي 9 سم و 21 سم ، ضلع KA ، يساوي 8 سم ، يشكل زاوية 150 0 مع قاعدة أصغر. تحتاج إلى إيجاد مساحة شبه منحرف.

الحل: من قمة الرأس K ، نخفض الارتفاع إلى القاعدة الأكبر لشبه المنحرف. ولنبدأ في النظر إلى زوايا شبه المنحرف.

الزوايا AEM و KAN أحادية الجانب. مما يعني أنها تضيف ما يصل إلى 1800. لذلك ، KAN = 30 0 (بناءً على خاصية زوايا شبه المنحرف).

فكر الآن في المستطيل ∆ANK (أعتقد أن هذه النقطة واضحة للقراء بدون دليل إضافي). ومنه نجد ارتفاع شبه المنحرف KH - في المثلث ، تكون ساق تقابل الزاوية 30 0. لذلك ، KN = ½AB = 4 سم.

تم العثور على مساحة شبه المنحرف بالصيغة: S AKME \ u003d (KM + AE) * KN / 2 \ u003d (9 + 21) * 4/2 \ u003d 60 سم 2.

خاتمة

إذا كنت قد درست هذه المقالة بعناية ومدروس ، ولم تكن كسولًا جدًا لرسم شبه منحرف لجميع الخصائص المذكورة أعلاه بقلم رصاص في يديك وتحليلها عمليًا ، فيجب أن تتقن المادة جيدًا.

بالطبع ، هناك الكثير من المعلومات هنا ، متنوعة ومربكة في بعض الأحيان: ليس من الصعب الخلط بين خصائص شبه المنحرف الموصوف وخصائص الشخص المدرج. لكنك أنت نفسك رأيت أن الاختلاف هائل.

الآن لديك ملخص مفصل للجميع الخصائص المشتركةشبه منحرف. بالإضافة إلى خصائص وخصائص محددة من شبه المنحرف متساوي الساقين وشبه المنحرف المستطيل. من الملائم جدًا استخدامه للتحضير للاختبارات والامتحانات. جربه بنفسك وشارك الرابط مع أصدقائك!

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

\ [(\ كبير (\ نص (شبه منحرف تعسفي))) \]

تعريفات

شبه المنحرف هو شكل رباعي محدب يكون فيه جانبان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين.

تسمى الجوانب المتوازية لشبه منحرف بقواعدها ، ويطلق على الجانبين الآخرين جوانبها.

ارتفاع شبه منحرف هو عمودي يتم إسقاطه من أي نقطة في قاعدة ما إلى قاعدة أخرى.

نظريات: خصائص شبه منحرف

1) مجموع الزوايا على الجانب هو \ (180 ^ \ circ \).

2) تقسم الأقطار شبه المنحرف إلى أربعة مثلثات ، اثنان منها متشابهان والاثنان الآخران متساويان.

دليل

1) لأن \ (AD \ متوازي BC \) ، ثم الزوايا \ (\ الزاوية BAD \) و \ (\ الزاوية ABC \) أحادية الجانب عند هذه السطور والقاطع \ (AB \) ، لذلك ، \ (\ الزاوية BAD + \ الزاوية ABC = 180 ^ \ دائرة \).

2) لأن \ (AD \ متوازي BC \) و \ (BD \) قاطع ، ثم \ (\ زاوية DBC = \ زاوية BDA \) على أنها مستلقية.
أيضًا \ (\ زاوية BOC = \ زاوية AOD \) كعمودي.
لذلك ، في زاويتين \ (\ مثلث BOC \ سيم \ مثلث AOD \).

دعنا نثبت ذلك \ (S _ (\ مثلث AOB) = S _ (\ مثلث COD) \). لنفترض \ (ح \) ارتفاع شبه المنحرف. ثم \ (S _ (\ مثلث ABD) = \ frac12 \ cdot h \ cdot AD = S _ (\ مثلث ACD) \). ثم: \

تعريف

خط الوسط لشبه المنحرف هو جزء يربط بين نقاط المنتصف على الجانبين.

نظرية

الخط الوسطي لشبه المنحرف موازي للقاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

دليل*

1) دعنا نثبت التوازي.

ارسم خطًا \ (MN "\ متوازي AD \) (\ (N" \ in CD \)) من خلال النقطة \ (M \)). ثم ، من خلال نظرية طاليس (لأن \ (MN "\ موازي AD \ متوازي BC ، AM = MB \)) النقطة \ (N "\) هي نقطة منتصف المقطع \ (CD \) ... ومن ثم ، فإن النقطتين \ (N \) و \ (N" \) سوف تتطابقان.

2) دعنا نثبت الصيغة.

لنرسم \ (BB "\ perp AD، CC" \ perp AD \). يترك \ (BB "\ cap MN = M"، CC "\ cap MN = N" \).

ثم ، وفقًا لنظرية طاليس ، \ (M "\) و \ (N" \) هما نقطتا المنتصف للمقاطع \ (BB "\) و \ (CC" \) ، على التوالي. إذن \ (MM "\) هو الخط الأوسط \ (\ مثلث ABB" \) ، \ (NN "\) هو الخط الأوسط \ (\ مثلث DCC" \). لهذا السبب: \

لأن \ (MN \ موازية AD \ موازية BC \)و \ (BB "، CC" \ perp AD \) ، ثم \ (B "M" N "C" \) و \ (BM "N" C \) عبارة عن مستطيلات. من خلال نظرية تاليس ، \ (MN \ متوازي AD \) و \ (AM = MB \) يعنيان أن \ (B "M" = M "B \). ومن ثم ، \ (B" M "N" C "\) و \ (BM "N" C \) مستطيلات متساوية ، وبالتالي \ (M "N" = B "C" = BC \).

هكذا:

\ \ [= \ dfrac12 \ left (AB "+ B" C "+ BC + C" D \ right) = \ dfrac12 \ left (AD + BC \ right) \]

النظرية: خاصية شبه منحرف عشوائية

تقع نقاط منتصف القواعد ونقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف ونقطة تقاطع امتدادات الجوانب الجانبية على نفس الخط المستقيم.

دليل*
من المستحسن أن تتعرف على الدليل بعد دراسة موضوع "المثلثات المتشابهة".

1) دعنا نثبت أن النقاط \ (P \) و \ (N \) و \ (M \) تقع على نفس الخط المستقيم.

ارسم خطًا \ (PN \) (\ (P \) هي نقطة تقاطع امتدادات الجوانب ، \ (N \) هي نقطة منتصف \ (BC \)). دعه يتقاطع مع الجانب \ (م \) عند النقطة \ (م \). دعنا نثبت أن \ (M \) هو منتصف \ (AD \).

ضع في اعتبارك \ (\ مثلث BPN \) و \ (\ مثلث APM \). إنها متشابهة في زاويتين (\ (\ زاوية APM \) - عام \ (\ زاوية PAM = \ زاوية PBN \) كما هو متطابق عند \ (AD \ متوازي BC \) و \ (AB \) قاطع). وسائل: \ [\ dfrac (BN) (AM) = \ dfrac (PN) (PM) \]

ضع في اعتبارك \ (\ triangle CPN \) و \ (\ triangle DPM \). إنها متشابهة في زاويتين (\ (\ زاوية DPM \) - عام ، \ (\ زاوية PDM = \ زاوية PCN \) كما هو متطابق في \ (AD \ متوازي BC \) و \ (CD \) قاطع). وسائل: \ [\ dfrac (CN) (DM) = \ dfrac (PN) (PM) \]

من هنا \ (\ dfrac (BN) (AM) = \ dfrac (CN) (DM) \). لكن \ (BN = NC \) ، وبالتالي \ (AM = DM \).

2) دعنا نثبت أن النقاط \ (N ، O ، M \) تقع على خط مستقيم واحد.

دع \ (N \) تكون نقطة المنتصف \ (BC \) ، \ (O \) تكون نقطة تقاطع الأقطار. ارسم خطًا \ (لا \) ، سيتقاطع مع الجانب \ (م \) عند النقطة \ (م \). دعنا نثبت أن \ (M \) هو منتصف \ (AD \).

\ (\ مثلث بنو \ سيم \ مثلث DMO \)عند زاويتين (\ (\ زاوية OBN = \ زاوية ODM \) كالكذب عند \ (BC \ موازي AD \) و \ (BD \) قاطع ؛ \ (\ زاوية BON = \ زاوية DOM \) عمودي). وسائل: \ [\ dfrac (BN) (MD) = \ dfrac (ON) (OM) \]

بصورة مماثلة \ (\ مثلث CON \ سيم \ مثلث AOM \). وسائل: \ [\ dfrac (CN) (MA) = \ dfrac (ON) (OM) \]

من هنا \ (\ dfrac (BN) (MD) = \ dfrac (CN) (MA) \). لكن \ (BN = CN \) ، وبالتالي \ (AM = MD \).

\ [(\ كبير (\ نص (شبه منحرف متساوي الساقين))) \]

تعريفات

يسمى شبه المنحرف مستطيل إذا كانت إحدى زواياه قائمة.

يسمى شبه المنحرف متساوي الساقين إذا كانت جوانبه متساوية.

النظريات: خصائص شبه منحرف متساوي الساقين

1) شبه منحرف متساوي الساقين له زوايا قاعدية متساوية.

2) قطري شبه منحرف متساوي الساقين متساويان.

3) المثلثان المكونان من الأقطار والقاعدة متساوي الساقين.

دليل

1) ضع في اعتبارك شبه منحرف متساوي الساقين \ (ABCD \).

من القمم \ (B \) و \ (C \) نسقط إلى الجانب \ (AD \) العمودين \ (BM \) و \ (CN \) ، على التوالي. منذ \ (BM \ perp AD \) و \ (CN \ perp AD \) ، ثم \ (BM \ متوازي CN \) ؛ \ (AD \ متوازي BC \) ، إذن \ (MBCN \) متوازي أضلاع ، ومن ثم \ (BM = CN \).

ضع في اعتبارك المثلثات القائمة \ (ABM \) و \ (CDN \). نظرًا لأن لديهم وترات وأرجل متساوية \ (BM \) يساوي الساق\ (CN \) ، فهذه المثلثات متطابقة ، وبالتالي \ (\ زاوية DAB = \ زاوية CDA \).

2)

لأن \ (AB = CD ، \ الزاوية A = \ الزاوية D ، AD \)- عام ، ثم على العلامة الأولى. لذلك ، \ (AC = BD \).

3) لأن \ (\ مثلث ABD = \ مثلث ACD \)، ثم \ (\ زاوية BDA = \ زاوية كندي \). لذلك ، فإن المثلث \ (\ مثلث AOD \) متساوي الساقين. يمكن إثبات أن \ (\ مثلث BOC \) متساوي الساقين.

نظريات: علامات شبه منحرف متساوي الساقين

1) إذا كانت الزوايا الموجودة في قاعدة شبه منحرف متساوية ، فهذا يعني أنه متساوي الساقين.

2) إذا كانت أقطار شبه المنحرف متساوية ، فهذا يعني أنها متساوية الساقين.

دليل

ضع في اعتبارك شبه منحرف \ (ABCD \) مثل \ (\ زاوية أ = \ زاوية د \).

دعنا نكمل شبه المنحرف للمثلث \ (درهم \) كما هو موضح في الشكل. بما أن \ (\ زاوية 1 = \ زاوية 2 \) ، فإن المثلث \ (درهم \) هو متساوي الساقين و \ (AE = ED \). الزاويتان \ (1 \) و \ (3 \) متساويتان مع الخطوط المتوازية \ (AD \) و \ (BC \) والقاطع \ (AB \). وبالمثل ، فإن الزاويتين \ (2 \) و \ (4 \) متساويتان ، لكن \ (\ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 \) ، إذن \ (\ الزاوية 3 = \ الزاوية 1 = \ الزاوية 2 = \ الزاوية 4 \)لذلك ، فإن المثلث \ (BEC \) هو أيضًا متساوي الساقين و \ (BE = EC \).

مؤخراً \ (AB = AE - BE = DE - CE = CD \)، أي \ (AB = CD \) ، الذي كان لابد من إثباته.

2) دع \ (AC = BD \). لأن \ (\ مثلث AOD \ سيم \ مثلث BOC \)، ثم نشير إلى معامل التشابه الخاص بهم بواسطة \ (ك \). ثم إذا \ (BO = x \) ، ثم \ (OD = kx \). على غرار \ (CO = y \ Rightarrow AO = ky \).

لأن \ (AC = BD \) ، ثم \ (x + kx = y + ky \ Rightarrow x = y \). إذن \ (\ مثلث AOD \) متساوي الساقين و \ (\ زاوية OAD = \ زاوية ODA \).

وهكذا ، حسب العلامة الأولى \ (\ مثلث ABD = \ مثلث ACD \) (\ (AC = BD ، \ زاوية OAD = \ زاوية ODA ، AD \)- عام). لذلك \ (AB = CD \) ، لذا.

مدرسة FGKOU "MKK" الداخلية التابعة لوزارة الدفاع في الاتحاد الروسي "

"يعتمد"

رئيس تخصص منفصل

(الرياضيات والمعلوماتية وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات)

Yu. V. Krylova _____________

"___" _____________ 2015

« شبه منحرف وخصائصه»

التطوير المنهجي

مدرس رياضيات

شاتالينا ايلينا دميترييفنا

يعتبر و

في اجتماع PMO بتاريخ _______________

رقم البروتوكول ______

موسكو

2015

جدول المحتويات

مقدمة 2

التعريفات 3

خصائص شبه منحرف متساوي الساقين 4

الدوائر المقيدة والمحددة 7

خواص شبه المنحرفات المنقوشة والمحدودة 8

متوسط ​​القيم في شبه منحرف 12

خصائص شبه منحرف تعسفي 15

علامات شبه منحرف 18

إنشاءات إضافية في شبه منحرف 20

منطقة شبه منحرف 25

10. الخلاصة

فهرس

طلب

براهين على بعض خصائص شبه منحرف 27

مهام العمل المستقل

المهام المتعلقة بموضوع "شبه المنحرف" ذات التعقيد المتزايد

اختبار التحقق حول موضوع "شبه منحرف"

مقدمة

هذا العملمخصص لشكل هندسي يسمى شبه منحرف. تقول "شخصية عادية" ، لكنها ليست كذلك. يحتوي على العديد من الأسرار والألغاز ، إذا نظرت عن كثب وتعمق في دراستها ، فستكتشف الكثير من الأشياء الجديدة في عالم الهندسة ، وستبدو المهام التي لم يتم حلها من قبل سهلة بالنسبة لك.

ترابيز - الكلمة اليونانية ترابيزيون - "طاولة". قروض. في القرن ال 18 من اللات. لانج ، حيث ترابيزيون يونانية. إنه شكل رباعي مع ضلعين متقابلين متوازيين. تم العثور على شبه المنحرف لأول مرة من قبل العالم اليوناني القديم بوسيدونيوس (القرن الثاني قبل الميلاد). هناك العديد من الشخصيات المختلفة في حياتنا. في الصف السابع تعرفنا على المثلث عن قرب في الصف الثامن المناهج الدراسيةبدأنا في دراسة شبه منحرف. لقد أثار هذا الرقم اهتمامنا ، ولم يُكتب سوى القليل عنه في الكتاب المدرسي. لذلك ، قررنا أن نأخذ هذا الأمر بأيدينا ونجد معلومات حول شبه منحرف. خصائصه.

تأخذ الورقة في الاعتبار الخصائص المألوفة للتلاميذ من المواد التي يغطيها الكتاب المدرسي ، ولكن إلى حد كبير خصائص غير معروفة ضرورية لحلها. المهام الصعبة. كيف كمية أكبرالمهام ، كلما ظهرت أسئلة أكثر عند حلها. تبدو الإجابة على هذه الأسئلة أحيانًا وكأنها لغز ، حيث نتعلم خصائص جديدة لشبه المنحرف ، وطرق غير عادية لحل المشكلات ، بالإضافة إلى تقنية الإنشاءات الإضافية ، نكتشف تدريجياً أسرار شبه المنحرف. على الإنترنت ، إذا سجلت في أحد محركات البحث ، فهناك القليل جدًا من المؤلفات حول طرق حل المشكلات حول موضوع "شبه المنحرف". في عملية العمل في المشروع ، تم العثور على كمية كبيرة من المعلومات التي ستساعد التلاميذ في دراسة معمقة للهندسة.

أرجوحة.

تعريفات

أرجوحة شكل رباعي به زوج واحد فقط من الأضلاع متوازية (والزوج الآخر من الأضلاع غير متوازيين).

تسمى الجوانب المتوازية من شبه منحرفأسباب. الاثنان الآخران هما الجانبان .
إذا كانت الجوانب متساوية ، يسمى شبه منحرفمتساوي الساقين.

يسمى شبه منحرف بزوايا قائمة على جانبهمستطيلي .

يسمى الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف من الجانبينخط الوسط شبه المنحرف.

تسمى المسافة بين القاعدتين ارتفاع شبه المنحرف.

2 . خصائص شبه منحرف متساوي الساقين

3. قطري شبه منحرف متساوي الساقين متساويان.

4

1
0. إسقاط الجانب الجانبي من شبه منحرف متساوي الساقين على القاعدة الأكبر يساوي نصف فرق القاعدة ، وإسقاط القطر يساوي مجموع القواعد.

3. دائرة منقوشة ومحدودة

إذا كان مجموع قواعد شبه المنحرف يساوي مجموع الأضلاع ، فيمكن عندئذٍ كتابة دائرة فيه.

ه
إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين ، فيمكن عندئذٍ وضع دائرة حوله.

4. خصائص شبه المنحرفات المنقوشة والمحدودة

2. إذا كان من الممكن نقش دائرة في شبه منحرف متساوي الساقين ، إذن

مجموع أطوال القواعد يساوي مجموع أطوال الأضلاع. لذلك ، فإن طول الضلع الجانبي يساوي طول خط الوسط شبه المنحرف.

4 . إذا كانت الدائرة منقوشة في شبه منحرف ، فإن الجوانب من مركزها تكون مرئية بزاوية 90 درجة.

E إذا كانت دائرة منقوشة في شبه منحرف تلامس أحد الجانبين ، تقسمها إلى مقاطع مو ن , ثم نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي المتوسط ​​الهندسي لهذه المقاطع.

1

0 . إذا كانت الدائرة مبنية على القاعدة الأصغر من شبه المنحرف كقطر ، وتمر عبر نقاط المنتصف للأقطار وتلامس القاعدة السفلية ، فإن زوايا شبه المنحرف هي 30 درجة ، 30 درجة ، 150 درجة ، 150 درجة.

5. متوسط ​​القيم في شبه منحرف

الوسط الهندسي

في أي شبه منحرف مع قواعد أ و ب ل أ > بعدم المساواة :

ب ˂ ح ز ˂ م ˂ ث ˂ أ

6. خصائص شبه منحرف تعسفي

1
. تقع نقاط المنتصف لأقطار شبه المنحرف ونقاط المنتصف للجوانب على نفس الخط المستقيم.

2. تكون منصفات الزوايا المجاورة لأحد جانبي شبه المنحرف متعامدة وتتقاطع عند نقطة تقع على خط منتصف شبه المنحرف ، أي عند تقاطعها ، يتكون مثلث قائم الزاوية من وتر يساوي الضلع.

3. أجزاء الخط المستقيم الموازي لقواعد شبه المنحرف ، التي تتقاطع مع جوانب وأقطار شبه المنحرف ، المحاطة بين جانب القطر ، متساوية.

تقع نقطة تقاطع امتداد جانبي شبه المنحرف التعسفي ونقطة تقاطع أقطارها ونقاط المنتصف للقواعد على خط مستقيم واحد.

5. عندما تتقاطع أقطار شبه منحرف عشوائية ، تتشكل أربعة مثلثات برأس مشترك ، والمثلثات المجاورة للقواعد متشابهة ، والمثلثات المجاورة للأضلاع متساوية (أي لها مساحات متساوية).

6. مجموع مربعات أقطار شبه المنحرف التعسفي يساوي مجموع مربعات الأضلاع ، مضافًا إلى ضعف حاصل ضرب القواعد.

د 1 2 + د 2 2 = ج 2 + د 2 + 2 أب

7
. في شبه منحرف مستطيل ، الفرق بين مربعات الأقطار يساوي فرق مربعات القواعد د 1 2 - د 2 2 = أ 2 – ب 2

8 . تقطع الخطوط المستقيمة التي تتقاطع مع جوانب الزاوية مقاطع متناسبة من جوانب الزاوية.

9. الجزء الموازي للقواعد ويمر عبر نقطة تقاطع الأقطار مقسومًا على الأخير إلى النصف.

7. علامات شبه منحرف

8. إنشاءات إضافية في شبه منحرف

1. الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف على الجانبين هو خط الوسط شبه المنحرف.

2
. مقطع موازٍ لأحد جانبي شبه منحرف ، يتطابق أحد طرفيه مع نقطة منتصف الجانب الآخر ، وينتمي الآخر إلى الخط الذي يحتوي على القاعدة.

3
. بالنظر إلى جميع جوانب شبه منحرف ، يتم رسم خط مستقيم عبر رأس القاعدة الأصغر ، موازيًا للجانب الجانبي. اتضح أن هناك مثلثًا له أضلاع متساوية مع جوانب شبه منحرف وفرق القواعد. وفقًا لصيغة هيرون ، تم العثور على مساحة المثلث ، ثم ارتفاع المثلث الذي يساوي ارتفاع شبه منحرف.

4

. ارتفاع شبه منحرف متساوي الساقين ، مأخوذ من قمة القاعدة الأصغر ، يقسم القاعدة الأكبر إلى أجزاء ، أحدهما يساوي نصف فرق القاعدة ، والآخر يساوي نصف مجموع قواعد شبه منحرف ، أي خط الوسط شبه المنحرف.

5. ارتفاعات شبه المنحرف ، التي تم خفضها من رؤوس قاعدة واحدة ، مقطوعة على خط مستقيم يحتوي على القاعدة الأخرى ، قطعة مساوية للقاعدة الأولى.

6
. يتم رسم قطعة موازية لأحد أقطار شبه منحرف من خلال قمة - نقطة تمثل نهاية قطري آخر. النتيجة هي مثلث له ضلعين مساوٍ لأقطار شبه المنحرف ، والثالث - يساوي مجموع القواعد

7
المقطع الذي يربط بين نقاط المنتصف للأقطار يساوي نصف فرق قواعد شبه المنحرف.

8. منصفات الزوايا المتاخمة لأحد جانبي شبه المنحرف ، فهي متعامدة وتتقاطع عند نقطة تقع على خط منتصف شبه المنحرف ، أي عندما تتقاطع ، يتشكل مثلث قائم الزاوية مع وتر يساوي جانب.

9. منصف زاوية شبه منحرف يقطع مثلث متساوي الساقين.

1
0. تشكل أقطار شبه منحرف عشوائية عند التقاطع مثلثين متشابهين مع معامل تشابه يساوي نسبة القواعد ، ومثلثين متساويين متجاورين مع الجانبين.

1
1. تشكل أقطار شبه منحرف عشوائية عند التقاطع مثلثين متشابهين مع معامل تشابه يساوي نسبة القواعد ، ومثلثين متساويين متجاورين مع الجانبين.

1
2. استمرار جوانب شبه المنحرف إلى التقاطع يجعل من الممكن النظر في مثلثات متشابهة.

13. إذا كانت دائرة منقوشة في شبه منحرف متساوي الساقين ، فسيتم رسم ارتفاع شبه المنحرف - الناتج الهندسي المتوسط ​​لقواعد شبه المنحرف أو ضعف الناتج الهندسي للأجزاء الجانبية المقسمة إلى نقطة اتصال.

9. منطقة شبه منحرف

1 . مساحة شبه منحرف تساوي حاصل ضرب نصف مجموع القواعد والارتفاع س = ½( أ + ب) حأو

ص

مساحة شبه المنحرف تساوي ناتج خط الوسط لشبه المنحرف والارتفاع س = م ح .

2. مساحة شبه منحرف تساوي حاصل ضرب جانب وعمودي مرسوم من منتصف الجانب الآخر إلى الخط الذي يحتوي على الجانب الأول.

مساحة شبه منحرف متساوي الساقين بنصف قطر دائرة منقوش يساوي صوزاوية عند القاعدةα :

10. الخلاصة

أين وكيف ولماذا تُستخدم المصيدة؟

ترابيز في الرياضة: ترابيز هي بالتأكيد اختراع تقدمي للبشرية. إنه مصمم لإراحة أيدينا ، وجعل المشي على متن طائرة شراعية مريحًا وسهلاً. المشي على لوح قصير لا معنى له على الإطلاق بدون شبه منحرف ، لأنه بدونه يستحيل توزيع الجر بشكل صحيح بين الدرجات والساقين والتسريع بشكل فعال.

الأرجوحة في الموضة: كانت الأرجوحة في الملابس شائعة في العصور الوسطى ، في عصر الرومانسيك في القرنين التاسع والحادي عشر. في ذلك الوقت الأساس ملابس نسائيةتشكلت الستر الأرضية ، وتمدد القميص بشكل كبير نحو الأسفل ، مما خلق تأثير شبه منحرف. تم إحياء الصورة الظلية في عام 1961 وأصبحت نشيد الشباب والاستقلال والرقي. لعب النموذج الهش ليسلي هورنبي ، المعروف باسم تويجي ، دورًا كبيرًا في تعميم الأرجوحة. أصبحت الفتاة القصيرة ذات اللياقة البدنية التي تعاني من فقدان الشهية والعيون الضخمة رمزًا للعصر ، وكانت ملابسها المفضلة هي فساتين الأرجوحة القصيرة.

شبه منحرف في الطبيعة: يوجد شبه منحرف في الطبيعة. الشخص لديه عضلة شبه منحرفة ، في بعض الناس يكون الوجه على شكل شبه منحرف. بتلات الزهور ، والأبراج ، وبالطبع جبل كليمنجارو لها شكل شبه منحرف.

الأرجوحة في الحياة اليومية: تستخدم الأرجوحة أيضًا في الحياة اليومية ، لأن شكلها عملي. توجد في عناصر مثل: دلو حفارة ، طاولة ، برغي ، آلة.

شبه منحرف هو رمز العمارة الإنكا. الشكل الأسلوبي السائد في هندسة الإنكا بسيط ولكنه رشيق ، شبه المنحرف. ليس لها قيمة وظيفية فحسب ، بل لها أيضًا قيمة محدودة للغاية. زخرفة. توجد المداخل والنوافذ والمنافذ الجدارية شبه المنحرفة في المباني من جميع الأنواع ، سواء في المعابد أو في المباني الأقل أهمية ، المباني الأكثر خشونة ، إذا جاز التعبير. تم العثور على شبه المنحرف أيضًا في العمارة الحديثة. هذا الشكل من المباني غير معتاد ، لذلك تجذب هذه المباني دائمًا عيون المارة.

ترابيز في الهندسة: تستخدم ترابيز في تصميم الأجزاء في تكنولوجيا الفضاء والطيران. على سبيل المثال ، بعض الألواح الشمسية محطات فضاءلها شكل شبه منحرف ، حيث تحتوي على مساحة كبيرة ، مما يعني أنها تتراكم المزيد من الطاقة الشمسية

في القرن الحادي والعشرين ، بالكاد يفكر الناس في معنى الأشكال الهندسيةفي حياتهم. لا يهتمون على الإطلاق بشكل طاولتهم أو نظاراتهم أو هواتفهم. إنهم ببساطة يختارون الشكل العملي. لكن استخدام الشيء ، والغرض منه ، ونتيجة العمل قد يعتمد على شكل هذا الشيء أو ذاك. قدمنا ​​لكم اليوم أحد أعظم إنجازات البشرية - شبه المنحرف. فتحنا لك الباب عالم رائعشخصيات ، أخبركم بأسرار شبه منحرف وأظهرت أن الهندسة حولنا.

فهرس

Bolotov AA ، Prokhorenko V.I. ، Safonov V.F. ، نظرية الرياضيات والمشاكل. كتاب 1 درس تعليميللمتقدمين M.1998 MPEI Publishing House.

Bykov A.A. ، Malyshev G.Yu ، كلية التدريب قبل الجامعي. الرياضيات. مساعدات التدريس 4 جزء М2004

جوردين ر. قياس الكواكب. كتاب المهام.

إيفانوف أ. إيفانوف إيه بي ، الرياضيات: دليل للتحضير لامتحان الدولة الموحد ودخول الجامعات- M: MIPT Publishing House، 2003-288s. ردمك 5-89155-188-3

Pigolkina T.S. ، وزارة التعليم والعلوم في ميزانية الدولة الفيدرالية للاتحاد الروسي مؤسسة تعليميةتعليم إضافي للأطفال "ZFTSh التابع لمعهد موسكو للفيزياء والتكنولوجيا ( جامعة الدولة) ". الرياضيات. قياس الكواكب. المهام رقم 2 للصف العاشر (2012-2013).

Pigolkina TS، Planimetry (part 1). الموسوعة الرياضية للمشترك. M.، دار نشر الجامعة الروسية المفتوحة 1992.

Sharygin I.F مشاكل مختارة في هندسة الامتحانات التنافسية في الجامعات (1987-1990) مجلة Lvov Quantor 1991.

موسوعة "أفانتا بلس" ، الرياضيات م ، عالم الموسوعات أفانتا 2009.

طلب

1. إثبات بعض خصائص شبه منحرف.

1. خط مستقيم يمر عبر نقطة تقاطع أقطار شبه منحرف موازية لقواعده يتقاطع مع جوانب شبه منحرف عند نقاطك و إل . إثبات أنه إذا كانت قواعد شبه منحرف متساوية أ و ب ، الذي - التي طول القطعة كوالا لمبور يساوي المتوسط ​​الهندسي لقواعد شبه المنحرف. دليل

يتركعن - نقطة تقاطع الأقطار ،ميلادي = شمس = ب . مباشر كوالا لمبور بالتوازي مع القاعدةميلادي ، لذلك،ك عن║ ميلادي , مثلثاتفي ك عن وسيء مماثلة ، لذلك

(1)

(2)

عوّض (2) في (1) ، نحصل على KO =

بصورة مماثلة لو= إذن ك إل = KO + لو =

في حول أي شبه منحرف ، تقع نقاط المنتصف للقواعد ونقطة تقاطع الأقطار ونقطة تقاطع امتداد الجانبين على نفس الخط المستقيم.

دليل: دع امتدادات الجانبين تتقاطع عند نقطة مال. من خلال النقطةل و نقطةعن تقاطعات قطريةارسم خطًا مستقيمًا KO.

ك

دعونا نظهر أن هذا الخط يقسم القواعد إلى نصفين.

عن عينVM = x ، MS = ذ AN = و، اختصار الثاني = الخامس . لدينا:

∆ VKM ~ ∆AKN →

م

x

ب

ج

ص

∆ عضو الكنيست ج ~ ∆NKD → →