مستوى اول

المعادلات الأسية. دليل شامل (2019)

مرحبًا! سنناقش معك اليوم كيفية حل المعادلات التي يمكن أن تكون أولية (وآمل أن تكون جميعها تقريبًا مناسبة لك بعد قراءة هذا المقال) ، وتلك التي يتم إعطاؤها عادةً "ردم". على ما يبدو ، لتغفو تماما. لكنني سأحاول أن أبذل قصارى جهدي حتى لا تقع في مشكلة عند مواجهة هذا النوع من المعادلات. لن أتغلب على الأدغال بعد الآن ، لكنني سأفتحها على الفور أسرار صغيرة: اليوم سنعمل المعادلات الأسية.

قبل الشروع في تحليل طرق حلها ، سأحدد لك على الفور دائرة من الأسئلة (صغيرة جدًا) يجب عليك تكرارها قبل التسرع في اقتحام هذا الموضوع. لذا ، للحصول على أفضل النتائج ، من فضلك يكرر:

1. خصائص و
2. الحل والمعادلات

معاد؟ مدهش! عندها لن يكون من الصعب عليك ملاحظة أن جذر المعادلة هو رقم. هل أنت متأكد أنك تفهم كيف فعلت ذلك؟ هل هذا صحيح؟ ثم نواصل. الآن أجبني على السؤال ، ما الذي يساوي القوة الثالثة؟ أنت محق تماما: . ثمانية ما هي قوة اثنين؟ هذا صحيح - الثالث! لأن. حسنًا ، لنحاول الآن حل المشكلة التالية: دعني أضرب الرقم في نفسه مرة واحدة وأحصل على النتيجة. السؤال هو كم مرة قمت بضربها بنفسها؟ يمكنك بالطبع التحقق من هذا مباشرة:

\ ابدأ (محاذاة) & 2 = 2 \\ & 2 \ cdot 2 = 4 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 8 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 16 \\ \ end ( محاذاة)

ثم يمكنك أن تستنتج أنني ضربت مرات في حد ذاتها. وإلا كيف يمكن التحقق من ذلك؟ وإليك الكيفية: مباشرة بتعريف الدرجة:. لكن ، يجب أن تعترف ، إذا سألت عن عدد المرات التي يجب أن تتضاعف فيها مرتين من أجل الحصول ، على سبيل المثال ، ستقول لي: لن أخدع نفسي وأضرب بنفسي حتى أكون زرقاء في وجهي. وسيكون على حق تماما. لأنه كيف يمكنك اكتب جميع الإجراءات باختصار(والإيجاز أخت الموهبة).

أين - هذا هو جدا "مرات"عندما تضرب في نفسها.

أعتقد أنك تعرف (وإذا كنت لا تعرف ، بشكل عاجل ، كرر الدرجات العلمية بشكل عاجل!) أن مشكلتي ستكتب في النموذج:

كيف يمكنك أن تستنتج بشكل معقول أن:

لذلك ، كتبت بهدوء أبسط المعادلة الأسية:

بل ووجدته جذر. ألا تعتقد أن كل شيء تافه؟ هذا بالضبط ما أعتقده أيضًا. إليك مثال آخر لك:

لكن ماذا تفعل؟ بعد كل شيء ، لا يمكن كتابتها كدرجة رقم (معقول). دعونا لا نشعر باليأس ونلاحظ أن كلا الرقمين يتم التعبير عنه تمامًا من حيث قوة نفس الرقم. ماذا؟ يمين: . ثم تتحول المعادلة الأصلية إلى الشكل:

من أين ، كما فهمت بالفعل ،. دعونا لا ننسحب بعد الآن ونكتب تعريف:

في حالتنا معك:.

يتم حل هذه المعادلات عن طريق اختزالها إلى الشكل:

مع الحل اللاحق للمعادلة

لقد فعلنا هذا في الواقع في المثال السابق: لقد حصلنا على ذلك. وقمنا بحل أبسط معادلة معك.

يبدو أنه ليس شيئًا معقدًا ، أليس كذلك؟ دعونا نتدرب على الأبسط أولاً. أمثلة:

نرى مرة أخرى أنه يجب تمثيل الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلة كقوة عدد واحد. صحيح ، لقد تم ذلك بالفعل على اليسار ، ولكن يوجد رقم على اليمين. لكن ، لا بأس ، بعد كل شيء ، وتتحول معادلتي بأعجوبة إلى هذا:

ماذا علي أن أفعل هنا؟ ما حكم؟ سلطة القوةالذي يقرأ:

ماذا إذا:

قبل الإجابة على هذا السؤال ، دعنا نملأ الجدول التالي معك:

ليس من الصعب علينا أن نلاحظ أنه كلما قل أقل قيمة، ولكن مع ذلك ، فإن كل هذه القيم أكبر من الصفر. وسوف يكون دائما كذلك !!! نفس الخاصية تنطبق على أي أساس مع أي فهرس !! (لأي و). ثم ماذا يمكن أن نستنتج من المعادلة؟ وهنا واحد: هو ليس له جذور! تمامًا مثل أي معادلة ليس لها جذور. الآن دعونا نتدرب و لنحل بعض الأمثلة البسيطة:

دعونا تحقق:

1. ليس مطلوبًا منك شيء هنا ، باستثناء معرفة خصائص القوى (والتي ، بالمناسبة ، طلبت منك تكرارها!) كقاعدة عامة ، كل شيء يؤدي إلى أصغر قاعدة: ،. عندها ستكون المعادلة الأصلية معادلة لما يلي: كل ما أحتاجه هو استخدام خصائص القوى: عند ضرب الأرقام على نفس الأساس ، يتم إضافة الأس ، وعند القسمة ، يتم طرحها.ثم سأحصل على: حسنًا ، الآن بضمير مرتاح ، سأنتقل من المعادلة الأسية إلى المعادلة الخطية: \ ابدأ (محاذاة)
& 2 س + 1 + 2 (س + 2) -3 س = 5 \\
& 2x + 1 + 2x + 4-3x = 5 \\
& س = 0. \\
نهاية (محاذاة)

2. في المثال الثاني ، عليك أن تكون أكثر حرصًا: المشكلة هي أنه في الجانب الأيسر ، لن نتمكن من تمثيل نفس الرقم كقوة. في هذه الحالة يكون مفيدًا في بعض الأحيان تمثل الأرقام كمنتج قوى ذات قواعد مختلفة ، ولكن الأسس نفسها:

سيأخذ الجانب الأيسر من المعادلة الشكل: ماذا أعطانا هذا؟ وإليك ما يلي: يمكن ضرب الأعداد التي لها أساس مختلف ولكن نفس الأس.في هذه الحالة ، يتم ضرب الأسس ، لكن الأس لا يتغير:

عند تطبيقه على وضعي ، سيعطي هذا:

تبدأ (محاذاة)
& 4 \ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) = 6400 ، \\
& 4 \ cdot (((64 \ cdot 25)) ^ (x)) = 6400 ، \\
& ((1600) ^ (x)) = \ frac (6400) (4) ، \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600 ، \\
& س = 1. \\
نهاية (محاذاة)

ليس سيئا ، أليس كذلك؟

3. لا يعجبني عندما يكون لدي حدين في أحد طرفي المعادلة ، وليس لدي أي حد في الجانب الآخر (أحيانًا ، بالطبع ، هذا مبرر ، لكن هذا ليس هو الحال الآن). انقل المصطلح الناقص إلى اليمين:

الآن ، كما في السابق ، سأكتب كل شيء من خلال قوى الثلاثية:

أضفت القوى على اليسار وأحصل على معادلة مكافئة

يمكنك بسهولة العثور على جذره:

4. كما في المثال الثالث ، المصطلح بعلامة ناقص - مكان على الجانب الأيمن!

على اليسار ، كل شيء تقريبًا على ما يرام ، باستثناء ماذا؟ نعم ، "الدرجة الخاطئة" للشيطان تزعجني. لكن يمكنني إصلاح ذلك بسهولة عن طريق كتابة:. يوريكا - على اليسار ، كل القواعد مختلفة ، لكن كل الدرجات متشابهة! نتضاعف بسرعة!

هنا مرة أخرى ، كل شيء واضح: (إذا لم تفهم كيف حصلت بطريقة سحرية على المساواة الأخيرة ، خذ استراحة لمدة دقيقة ، وخذ قسطًا من الراحة واقرأ خصائص الدرجة مرة أخرى بعناية شديدة. من قال أنه يمكنك تخطي درجة بأس سالب؟ حسنًا ، أنا هنا تقريبًا مثل لا أحد). الآن سأحصل على:

تبدأ (محاذاة)
& ((2) ^ (4 \ left ((x) -9 \ right))) = ((2) ^ (- 1)) \\
& 4 ((س) -9) = - 1 \\
& x = \ frac (35) (4). \\
نهاية (محاذاة)

فيما يلي المهام التي يتعين عليك ممارستها ، والتي سأقدم لها الإجابات فقط (ولكن في شكل "مختلط"). قم بحلها وتحقق وسنواصل بحثنا!

مستعد؟ الإجاباتمثل هؤلاء:

1. أي رقم

حسنًا ، حسنًا ، كنت أمزح! فيما يلي الخطوط العريضة للحلول (بعضها موجز جدًا!)

ألا تعتقد أنه ليس من قبيل المصادفة أن يكون أحد الكسر على اليسار هو الآخر "المقلوب"؟ سيكون من الخطيئة عدم استخدام هذا:

غالبًا ما تستخدم هذه القاعدة عند حل المعادلات الأسية ، تذكرها جيدًا!

ثم تصبح المعادلة الأصلية:

بحل هذه المعادلة التربيعية ، ستحصل على الجذور التالية:

2. حل آخر: قسمة كلا الجزأين من المعادلة على التعبير الموجود على اليسار (أو اليمين). سأقسم على اليمين ، ثم أحصل على:

اين لماذا؟!)

3. أنا لا أريد حتى أن أكرر نفسي ، فقد تم بالفعل "مضغ" كل شيء كثيرًا.

4. ما يعادلها معادلة من الدرجة الثانية، الجذور

5. تحتاج إلى استخدام الصيغة الواردة في المهمة الأولى ، ثم ستحصل على ما يلي:

لقد تحولت المعادلة إلى هوية تافهة ، وهذا صحيح بالنسبة لأي شخص. ثم الجواب هو أي رقم حقيقي.

حسنًا ، أنت هنا وتمارس القرار الكائنات الاوليه المعادلات الأسية. الآن أريد أن أعطيك بعض الأمثلة الحياتية التي ستساعدك على فهم سبب الحاجة إليها من حيث المبدأ. هنا سأقدم مثالين. أحدهما يومي تمامًا ، لكن الآخر له أهمية علمية أكثر منه عملية.

مثال 1 (تجاري)دعك تحصل على روبل ، لكنك تريد تحويله إلى روبل. يعرض عليك البنك أخذ هذه الأموال منك بمعدل فائدة سنوي مع رسملة شهرية للفائدة (الاستحقاق الشهري). السؤال هو ، كم شهر تحتاج لفتح وديعة لتحصيل المبلغ النهائي المطلوب؟ إنها مهمة عادية ، أليس كذلك؟ ومع ذلك ، فإن حلها مرتبط ببناء المعادلة الأسية المقابلة: دع - المبلغ الأولي ، - المبلغ النهائي ، - سعر الفائدة للفترة ، - عدد الفترات. ثم:

في حالتنا (إذا كان السعر سنويًا ، فسيتم حسابه شهريًا). لماذا يتم تقسيمها إلى؟ إذا كنت لا تعرف إجابة هذا السؤال ، فتذكر موضوع ""! ثم نحصل على المعادلة التالية:

يمكن بالفعل حل هذه المعادلة الأسية فقط باستخدام آلة حاسبة (لها مظهريلمح إلى هذا ، وهذا يتطلب معرفة اللوغاريتمات ، والتي سنتعرف عليها بعد قليل) ، وهو ما سأفعله: ... وهكذا ، من أجل الحصول على مليون ، سنحتاج إلى إيداع لمدة شهر ( ليس سريعًا جدًا ، أليس كذلك؟).

المثال 2 (علمي إلى حد ما).على الرغم من بعض "العزلة" التي يعاني منها ، فإنني أنصحك بالاهتمام به: فهو بانتظام "ينزلق إلى الامتحان !! (المهمة مأخوذة من النسخة "الحقيقية") أثناء تحلل النظير المشع ، تقل كتلته وفقًا للقانون ، حيث (mg) هي الكتلة الأولية للنظير ، (min.) هو الوقت المنقضي من اللحظة الأولية ، (دقيقة) هي نصف العمر. في اللحظة الأولى من الزمن ، تكون كتلة النظير ملغ. نصف عمرها دقيقة. في كم دقيقة ستكون كتلة النظير مساوية لـ mg؟ لا بأس: نحن فقط نأخذ جميع البيانات الموجودة في الصيغة المقترحة لنا ونستبدلها:

دعونا نقسم كلا الجزأين على "على أمل" أن نحصل على شيء سهل الهضم على اليسار:

حسنًا ، نحن محظوظون جدًا! إنها تقع على اليسار ، فلننتقل إلى المعادلة المكافئة:

أين دقيقة.

كما ترى ، فإن المعادلات الأسية لها تطبيق حقيقي للغاية في الممارسة العملية. الآن أريد أن أناقش معك طريقة أخرى (بسيطة) لحل المعادلات الأسية ، والتي تعتمد على إخراج العامل المشترك من الأقواس ثم تجميع المصطلحات. لا تخف من كلماتي ، لقد واجهت هذه الطريقة بالفعل في الصف السابع عندما درست كثيرات الحدود. على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى تحليل التعبير إلى عوامل:

لنجمع: الحد الأول والثالث ، وكذلك الثاني والرابع. من الواضح أن الأول والثالث هما فرق المربعات:

والثاني والرابع عامل مشتركالمراكز الثلاثة:

ثم التعبير الأصلي يعادل هذا:

مكان إخراج العامل المشترك لم يعد صعبًا:

لذلك،

هذه هي الطريقة التي سنتصرف بها تقريبًا عند حل المعادلات الأسية: ابحث عن "القواسم المشتركة" بين المصطلحات وأخرجها من الأقواس ، وبعد ذلك - ما الذي قد يحدث ، أعتقد أننا سنكون محظوظين =)) على سبيل المثال:

على اليمين بعيدًا عن قوة السبعة (لقد راجعت!) وعلى اليسار - أفضل قليلاً ، يمكنك بالطبع "تقطيع" العامل أ من المصطلح الأول ومن الثاني ، ثم التعامل مع ما تلقيته ، ولكن دعونا نتعامل معك بحكمة أكبر. لا أريد التعامل مع الكسور التي يتم إنتاجها حتمًا عن طريق "الانتقاء" ، لذا ألا يجب أن أكون أفضل حالًا؟ ثم لن يكون لدي كسور: كما يقولون ، الذئاب ممتلئة والخراف بأمان:

عد التعبير بين قوسين. بطريقة سحرية وسحرية ، اتضح ذلك (بشكل مدهش ، على الرغم من ما الذي يمكن أن نتوقعه أيضًا؟).

ثم نختصر طرفي المعادلة بهذا العامل. نحصل: أين.

هذا مثال أكثر تعقيدًا (قليل جدًا ، حقًا):

ها هي المشكلة! ليس لدينا واحد هنا ارضية مشتركة! ليس من الواضح تمامًا ما يجب القيام به الآن. ودعنا نفعل ما في وسعنا: أولاً ، سنحرك "الأربعة" في اتجاه واحد ، و "الخمسات" في الاتجاه الآخر:

الآن دعنا نخرج "المشترك" على اليسار واليمين:

اذا ماذا الان؟ ما فائدة مثل هذا التجمع الغبي؟ للوهلة الأولى ، إنه غير مرئي على الإطلاق ، لكن دعنا ننظر بشكل أعمق:

حسنًا ، لنفعل ذلك بحيث يكون لدينا على اليسار فقط التعبير c ، وعلى اليمين - كل شيء آخر. كيف يمكننا أن نفعل ذلك؟ وإليك الطريقة: نقسم طرفي المعادلة أولاً على (حتى نتخلص من الأس الموجود على اليمين) ، ثم نقسم كلا الطرفين على (حتى نتخلص من العامل العددي على اليسار). أخيرًا نحصل على:

رائع! على اليسار لدينا تعبير ، وعلى اليمين - فقط. ثم نستنتج ذلك على الفور

إليك مثال آخر لتعزيزه:

سأقدم حله الموجز (لا يكلف نفسه عناء الشرح) ، حاول أن تكتشف بنفسك كل "التفاصيل الدقيقة" للحل.

الآن يتم تغطية التوحيد النهائي للمواد. حاول حل المشاكل التالية بنفسك. سأقدم فقط توصيات ونصائح موجزة لحلها:

1. لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:
2. نحن نمثل التعبير الأول في النموذج: اقسم كلا الجزأين على ذلك واحصل على ذلك
3. ، ثم يتم تحويل المعادلة الأصلية إلى النموذج: حسنًا ، الآن تلميح - ابحث عن المكان الذي حللت فيه أنا وأنت هذه المعادلة بالفعل!
4. تخيل كيف ، كيف ، آه ، حسنًا ، ثم نقسم كلا الجزأين على ، حتى تحصل على أبسط معادلة أسية.
5. أخرجه من الأقواس.
6. أخرجه من الأقواس.

معادلات كشفية. مستوى متوسط

أفترض ذلك بعد قراءة المقال الأول الذي قيل ما هي المعادلات الأسية وكيفية حلها، لقد أتقنت الحد الأدنى من المعرفة اللازمة لحل أبسط الأمثلة.

الآن سأحلل طريقة أخرى لحل المعادلات الأسية ، وهي

"طريقة إدخال متغير جديد" (أو الاستبدال).إنه يحل معظم المشاكل "الصعبة" في موضوع المعادلات الأسية (وليس فقط المعادلات). هذه الطريقة هي واحدة من أكثر الطرق استخدامًا في الممارسة. أولاً ، أوصي بأن تتعرف على الموضوع.

كما فهمت بالفعل من الاسم ، فإن جوهر هذه الطريقة هو إدخال مثل هذا التغيير في المتغير بحيث تتحول معادلتك الأسية بأعجوبة إلى واحد يمكنك بالفعل حله بسهولة. كل ما تبقى لك بعد حل هذه "المعادلة المبسطة" هو إجراء "استبدال عكسي": أي العودة من البديل إلى البديل. دعنا نوضح ما قلناه للتو بمثال بسيط للغاية:

مثال 1:

يتم حل هذه المعادلة عن طريق "استبدال بسيط" ، كما يسميها علماء الرياضيات باستخفاف. في الواقع ، الاستبدال هنا هو الأكثر وضوحًا. يحتاج فقط أن يرى ذلك

ثم تصبح المعادلة الأصلية:

إذا تخيلنا أيضًا كيف ، فمن الواضح تمامًا ما الذي يجب استبداله: بالطبع ،. ما الذي يصبح إذن المعادلة الأصلية؟ وإليك ما يلي:

يمكنك بسهولة العثور على جذوره بنفسك:. ماذا يجب أن نفعل الآن؟ حان الوقت للعودة إلى المتغير الأصلي. ماذا نسيت أن أدرج؟ وهي: عند استبدال درجة معينة بمتغير جديد (أي عند استبدال نوع) ، سأكون مهتمًا بـ فقط الجذور الإيجابية!يمكنك بسهولة الإجابة عن السبب. وبالتالي ، فنحن لسنا مهتمين بك ، لكن الجذر الثاني مناسب تمامًا لنا:

ثم أين.

إجابة:

كما ترون ، في المثال السابق ، طلب البديل فقط أيدينا. لسوء الحظ ، هذا ليس هو الحال دائمًا. ومع ذلك ، دعنا لا نذهب مباشرة إلى الحزن ، ولكن تدرب على مثال آخر مع بديل بسيط إلى حد ما

مثال 2

من الواضح أنه على الأرجح سيكون من الضروري استبدال (هذا هو أصغر القوى المدرجة في معادلتنا) ، ومع ذلك ، قبل تقديم بديل ، يجب أن تكون معادلتنا "معدة" لها ، وهي: ،. ثم يمكنك الاستبدال ، ونتيجة لذلك سأحصل على التعبير التالي:

يا رعب: معادلة تكعيبية مع صيغ رهيبة للغاية لحلها (حسنًا ، تحدث في نظرة عامة). لكن دعونا لا نشعر باليأس على الفور ، ولكن دعونا نفكر فيما يجب أن نفعله. سأقترح الغش: نحن نعلم أنه من أجل الحصول على إجابة "جميلة" ، نحتاج إلى الحصول على قوة من ثلاثة (لماذا يكون ذلك ، أليس كذلك؟). ودعنا نحاول تخمين جذر واحد على الأقل من معادلتنا (سأبدأ التخمين من قوى الثلاثة).

أول تخمين. ليس جذر. آه وآه ...

.
الجانب الأيسر متساوي.
الجزء الأيمن:!
يأكل! خمّن الجذر الأول. الآن ستصبح الأمور أسهل!

هل تعلم عن مخطط تقسيم "الركن"؟ بالطبع أنت تعلم أنك تستخدمه عندما تقسم رقمًا على آخر. لكن قلة من الناس يعرفون أنه يمكن فعل الشيء نفسه مع كثيرات الحدود. توجد نظرية رائعة واحدة:

ينطبق على وضعي ، يخبرني ما هو قابل للقسمة دون الباقي. كيف يتم التقسيم؟ هكذا:

ألقي نظرة على أي أحادية يجب أن أضرب للحصول على Clear ، ثم:

أطرح التعبير الناتج من ، وأحصل على:

الآن ، ما الذي أحتاجه للحصول على الضرب؟ من الواضح أنه في ، سأحصل على:

ومرة أخرى اطرح التعبير الناتج من التعبير المتبقي:

حسنًا ، الخطوة الأخيرة هي الضرب في وطرح من التعبير المتبقي:

الصيحة ، انتهى الانقسام! ما الذي جمعناه في السر؟ بنفسها: .

ثم حصلنا على التوسيع التالي لكثير الحدود الأصلي:

لنحل المعادلة الثانية:

لها جذور:

ثم المعادلة الأصلية:

له ثلاثة جذور:

نحن ، بالطبع ، نتجاهل الجذر الأخير ، لأنه أقل من الصفر. وأول جزأين بعد الاستبدال العكسي سيعطينا جذرين:

إجابة: ..

في هذا المثال ، لم أرغب مطلقًا في إخافتك ، بل وضعت لنفسي هدفًا لإثبات أنه على الرغم من أن لدينا بديلًا بسيطًا إلى حد ما ، إلا أنه أدى إلى معادلة معقدة نوعًا ما ، يتطلب حلها بعض المهارات الخاصة من نحن. حسنًا ، لا أحد محصن من هذا. لكن التغيير في هذه الحالة كان واضحًا جدًا.

فيما يلي مثال باستبدال أقل وضوحًا:

ليس من الواضح على الإطلاق ما يجب أن نفعله: المشكلة هي أنه في معادلتنا هناك قاعدتان مختلفتان ولا يمكن الحصول على قاعدة من الأخرى برفعها إلى أي درجة (معقولة ، بشكل طبيعي). ومع ذلك ، ماذا نرى؟ تختلف القاعدتان في الإشارة فقط ، وحاصل ضربهما هو اختلاف المربعات التي تساوي واحدًا:

تعريف:

وبالتالي ، فإن الأرقام التي تشكل قواعد في مثالنا مترافقة.

في هذه الحالة ، ستكون الحركة الذكية اضرب طرفي المعادلة في العدد المرافق.

على سبيل المثال ، في ، سيصبح الجانب الأيسر من المعادلة متساويين ، والجانب الأيمن. إذا قمنا باستبدال ، فستصبح معادلتنا الأصلية معك على النحو التالي:

جذوره ، إذن ، لكن مع تذكر ذلك ، حصلنا على ذلك.

إجابة: ، .

كقاعدة عامة ، طريقة الاستبدال كافية لحل معظم المعادلات الأسية "المدرسية". المهام التالية مأخوذة من USE C1 ( مستوى مرتفعالصعوبات). أنت تعرف القراءة والكتابة بالفعل بما يكفي لحل هذه الأمثلة بنفسك. سأقدم فقط البديل المطلوب.

1. حل المعادلة:
2. أوجد جذور المعادلة:
3. حل المعادلة: . أوجد كل جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى المقطع:

الآن لبعض التفسيرات والإجابات السريعة:

1. هنا يكفي أن نلاحظ أن و. ثم ستكون المعادلة الأصلية مكافئة لهذه المعادلة: يتم حل هذه المعادلة عن طريق استبدال قم بإجراء الحسابات التالية بنفسك. في النهاية ، ستختصر مهمتك إلى حل أبسط المثلثات (اعتمادًا على الجيب أو جيب التمام). سنناقش حل مثل هذه الأمثلة في أقسام أخرى.
2. هنا يمكنك الاستغناء عن الاستبدال: فقط حرك المطروح إلى اليمين وقم بتمثيل القاعدتين من خلال قوى اثنين: ثم انتقل فورًا إلى المعادلة التربيعية.
3. تم حل المعادلة الثالثة أيضًا بطريقة قياسية إلى حد ما: تخيل كيف. بعد ذلك ، نستبدل المعادلة التربيعية: إذن ،

   هل تعرف بالفعل ما هو اللوغاريتم؟ لا؟ ثم اقرأ الموضوع على وجه السرعة!

   من الواضح أن الجذر الأول لا ينتمي إلى المقطع ، والثاني غير مفهوم! لكننا سنكتشف ذلك قريبًا جدًا! منذ ذلك الحين (هذه خاصية اللوغاريتم!) دعنا نقارن:

   اطرح من كلا الجزأين ، ثم نحصل على:

   يمكن تمثيل الجانب الأيسر على النحو التالي:

   اضرب كلا الجانبين في:

   يمكن ضربها ، إذن

   ثم دعنا نقارن:

   منذ ذلك الحين:

   ثم الجذر الثاني ينتمي إلى الفاصل الزمني المطلوب

   إجابة:

كما ترى، يتطلب اختيار جذور المعادلات الأسية معرفة عميقة إلى حد ما بخصائص اللوغاريتماتلذلك أنصحك بتوخي الحذر قدر الإمكان عند حل المعادلات الأسية. كما تعلم ، في الرياضيات كل شيء مترابط! كما اعتاد مدرس الرياضيات أن يقول: "لا يمكنك قراءة الرياضيات مثل التاريخ بين عشية وضحاها."

كقاعدة ، كل شيء تكمن الصعوبة في حل المسائل C1 تحديدًا في اختيار جذور المعادلة.لنتدرب بمثال آخر:

من الواضح أن المعادلة نفسها تم حلها بكل بساطة. بعد إجراء الاستبدال ، نختزل معادلتنا الأصلية إلى ما يلي:

لنلقِ نظرة على الجذر الأول أولاً. قارن و: منذ ذلك الحين. (ملكية دالة لوغاريتمية، في). ثم من الواضح أن الجذر الأول لا ينتمي إلى الفترة الزمنية أيضًا. الآن الجذر الثاني:. من الواضح أن (لأن الوظيفة تتزايد). يبقى للمقارنة و

منذ ذلك الحين في نفس الوقت. وبالتالي ، يمكنني "قيادة ربط" بين و. هذا الوتد هو رقم. التعبير الأول أصغر من والتعبير الثاني أكبر من. ثم يكون التعبير الثاني أكبر من الأول والجذر ينتمي إلى الفترة.

إجابة: .

في الختام ، دعونا نلقي نظرة على مثال آخر لمعادلة يكون فيها الاستبدال غير قياسي إلى حد ما:

لنبدأ فورًا بما يمكنك فعله ، وماذا - من حيث المبدأ ، يمكنك ذلك ، لكن من الأفضل عدم القيام بذلك. من الممكن - تمثيل كل شيء من خلال قوى ثلاثة واثنين وستة. إلى أين يقودنا؟ نعم ، ولن يؤدي إلى أي شيء: خليط من الدرجات ، سيكون من الصعب جدًا التخلص منها. ثم ما هو المطلوب؟ دعنا نلاحظ أن وماذا ستعطينا؟ وحقيقة أنه يمكننا اختزال حل هذا المثال لحل معادلة أسية بسيطة إلى حد ما! أولاً ، دعنا نعيد كتابة معادلتنا على النحو التالي:

الآن نقسم كلا طرفي المعادلة الناتجة إلى:

يوريكا! الآن يمكننا استبدال ، نحصل على:

حسنًا ، حان دورك الآن لحل المشكلات من أجل العرض التوضيحي ، وسأقدم لهم تعليقات موجزة فقط حتى لا تضلوا! حظ سعيد!

1. الأصعب! رؤية بديل هنا يا له من قبيح! ومع ذلك ، يمكن حل هذا المثال تمامًا باستخدام اختيار مربع كامل. لحلها ، يكفي ملاحظة ما يلي:

إذن هذا هو البديل الخاص بك:

(لاحظ أنه هنا ، مع استبدالنا ، لا يمكننا تجاهل الجذر السالب !!! ولماذا ، ما رأيك؟)

الآن ، لحل هذا المثال ، عليك حل معادلتين:

كلاهما تم حلهما عن طريق "الاستبدال القياسي" (لكن الثاني في مثال واحد!)

2. لاحظ ذلك وقم بإجراء بديل.

3. قم بتوسيع الرقم إلى عوامل الجريمة المشتركة وتبسيط التعبير الناتج.

4. اقسم بسط ومقام الكسر على (أو إذا كنت تفضل ذلك) وقم بالتعويض أو.

5. لاحظ أن الأرقام مترافقة.

معادلات كشفية. مستوى متقدم

بالإضافة إلى ذلك ، دعونا ننظر إلى طريقة أخرى - حل المعادلات الأسية بطريقة اللوغاريتم. لا أستطيع أن أقول إن حل المعادلات الأسية بهذه الطريقة شائع جدًا ، ولكن في بعض الحالات فقط يمكن أن يقودنا إلى الحل الصحيح لمعادلتنا. غالبًا ما يتم استخدامه لحل ما يسمى " معادلات مختلطة': أي تلك التي توجد بها وظائف من أنواع مختلفة.

على سبيل المثال ، معادلة مثل:

في الحالة العامة ، لا يمكن حلها إلا بأخذ لوغاريتم كلا الجزأين (على سبيل المثال ، بالقاعدة) ، حيث تتحول المعادلة الأصلية إلى ما يلي:

دعنا نفكر في المثال التالي:

من الواضح أننا مهتمون فقط بـ ODZ للوظيفة اللوغاريتمية. ومع ذلك ، فإن هذا لا يتبع فقط ODZ للوغاريتم ، ولكن لسبب آخر. أعتقد أنه لن يكون من الصعب عليك تخمين أيهما.

لنأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة مع القاعدة:

كما ترى ، فإن أخذ لوغاريتم معادلتنا الأصلية قادنا بسرعة إلى الإجابة الصحيحة (والجميلة!). لنتدرب بمثال آخر:

هنا أيضًا ، لا يوجد ما يدعو للقلق: نأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة من حيث الأساس ، ثم نحصل على:

لنقم باستبدال:

ومع ذلك ، فقدنا شيئا! هل لاحظت أين أخطأت؟ بعد كل شيء ، إذن:

التي لا تفي بالمتطلبات (فكر من أين أتت!)

إجابة:

حاول كتابة حل المعادلات الأسية أدناه:

تحقق الآن من الحل الخاص بك مع هذا:

1. نلوغاريتم كلا الجزأين في القاعدة ، على أساس أن:

(الجذر الثاني لا يناسبنا بسبب الاستبدال)

2. لوغاريتم للقاعدة:

دعنا نحول التعبير الناتج إلى الشكل التالي:

معادلات كشفية. وصف موجز وصيغة أساسية

المعادلة الأسية

اكتب المعادلة:

مُسَمًّى أبسط معادلة أسية.

خصائص الدرجة

نهج الحل

• التخفيض إلى نفس القاعدة
• اختزال لنفس الأس
• استبدال متغير
• بسّط التعبير وطبّق واحدًا مما سبق.

هذا الدرس مخصص لأولئك الذين بدأوا للتو في تعلم المعادلات الأسية. كالعادة ، لنبدأ بتعريف وأمثلة بسيطة.

إذا كنت تقرأ هذا الدرس ، فأعتقد أن لديك بالفعل على الأقل الحد الأدنى من الفهم لأبسط المعادلات - الخطية والمربعة: 56x-11 = 0 $ ؛ $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 = 0 $ ؛ $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 = 0 $ إلخ. لتكون قادرًا على حل مثل هذه الإنشاءات أمر ضروري للغاية حتى لا يتم "تعليق" الموضوع الذي سيتم مناقشته الآن.

إذن ، المعادلات الأسية. اسمحوا لي أن أقدم لكم بضعة أمثلة:

\ [(2) ^ (x)) = 4 ؛ \ quad ((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) ؛ \ quad ((9) ^ (x)) = - 3 \]

قد يبدو بعضها أكثر تعقيدًا بالنسبة لك ، وبعضها ، على العكس من ذلك ، بسيط للغاية. لكنهم جميعًا متحدون بميزة مهمة واحدة: أنها تحتوي على دالة أسية $ f \ left (x \ right) = ((a) ^ (x)) $. وهكذا ، نقدم التعريف:

المعادلة الأسية هي أي معادلة تحتوي على دالة أسية ، أي تعبير بالصيغة $ ((a) ^ (x)) $. بالإضافة إلى الوظيفة المحددة ، يمكن أن تحتوي هذه المعادلات على أي إنشاءات جبرية أخرى - كثيرات الحدود ، والجذور ، وعلم المثلثات ، واللوغاريتمات ، إلخ.

حسنا إذا. فهمت التعريف. الآن السؤال هو: كيف نحل كل هذا الهراء؟ الجواب بسيط ومعقد في نفس الوقت.

لنبدأ بالخبر السار: من تجربتي مع العديد من الطلاب ، يمكنني القول أنه بالنسبة لمعظمهم ، المعادلات الأسية أسهل بكثير من نفس اللوغاريتمات ، وحتى أكثر من علم المثلثات.

ولكن هناك أيضًا أخبار سيئة: في بعض الأحيان تتم زيارة جامعي المشكلات لجميع أنواع الكتب المدرسية والامتحانات من خلال "الإلهام" ، ويبدأ دماغهم الملتهب بالمخدرات في إنتاج مثل هذه المعادلات الوحشية التي يصبح من الصعب على الطلاب حلها ليس فقط - حتى أن العديد من المعلمين عالقون في مثل هذه المشكلات.

ومع ذلك ، دعونا لا نتحدث عن الأشياء المحزنة. ودعنا نعود إلى تلك المعادلات الثلاث التي تم تقديمها في بداية القصة. دعنا نحاول حل كل منها.

المعادلة الأولى: $ ((2) ^ (x)) = 4 $. حسنًا ، إلى أي قوة يجب رفع الرقم 2 للحصول على الرقم 4؟ ربما الثانية؟ بعد كل شيء ، $ ((2) ^ (2)) = 2 \ cdot 2 = 4 $ - وقد حصلنا على المساواة العددية الصحيحة ، أي في الواقع $ x = 2 $. حسنًا ، شكرًا يا غطاء ، لكن هذه المعادلة كانت بسيطة جدًا لدرجة أنه حتى قطتي يمكنها حلها. :)

لنلقِ نظرة على المعادلة التالية:

\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \]

لكن الأمر هنا أكثر صعوبة بقليل. يعرف الكثير من الطلاب أن $ ((5) ^ (2)) = 25 $ هو جدول الضرب. يشك البعض أيضًا في أن $ ((5) ^ (- 1)) = \ frac (1) (5) $ هو أساسًا تعريف الأس السالب (على غرار الصيغة $ ((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) $).

أخيرًا ، فقط عدد قليل من التخمينات المختارة أنه يمكن دمج هذه الحقائق والمخرجات هي النتيجة التالية:

\ [\ frac (1) (25) = \ frac (1) (((5) ^ (2))) = ((5) ^ (- 2)) \]

وبالتالي ، ستتم إعادة كتابة معادلتنا الأصلية على النحو التالي:

\ [((5) ^ (2x-3)) = \ frac (1) (25) \ Rightarrow ((5) ^ (2x-3)) = ((5) ^ (- 2)) \]

والآن تم حل هذا الأمر بالكامل بالفعل! يوجد على الجانب الأيسر من المعادلة دالة أسية ، وعلى الجانب الأيمن من المعادلة توجد دالة أسية ، لا يوجد شيء غيرهم في أي مكان آخر. لذلك ، من الممكن "تجاهل" القواعد والمساواة بغباء بين المؤشرات:

حصلت على أبسط معادلة خط مستقيم، والتي يمكن لأي طالب حلها في سطرين فقط. حسنًا ، في أربعة أسطر:

\ [\ start (align) & 2x-3 = -2 \\ & 2x = 3-2 \\ & 2x = 1 \\ & x = \ frac (1) (2) \\\ end (align) \]

إذا لم تفهم ما حدث في الأسطر الأربعة الأخيرة ، فتأكد من العودة إلى موضوع "المعادلات الخطية" وتكرارها. لأنه بدون استيعاب واضح لهذا الموضوع ، من السابق لأوانه تناول المعادلات الأسية.

\ [((9) ^ (x)) = - 3 \]

حسنًا ، كيف تقرر؟ الفكرة الأولى: $ 9 = 3 \ cdot 3 = ((3) ^ (2)) $ ، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:

\ [((\ left (((3) ^ (2)) \ right)) ^ (x)) = - 3 \]

ثم نتذكر أنه عند رفع درجة إلى قوة ما ، تتضاعف المؤشرات:

\ [((\ left (((3) ^ (2)) \ right)) ^ (x)) = ((3) ^ (2x)) \ Rightarrow ((3) ^ (2x)) = - (( 3) ^ (1)) \]

\ [\ start (align) & 2x = -1 \\ & x = - \ frac (1) (2) \\\ end (align) \]

ولمثل هذا القرار ، نحصل على شيطان مستحق بصدق. لأننا ، برباطة جأش بوكيمون ، أرسلنا علامة الطرح أمام الثلاثة إلى قوة هؤلاء الثلاثة. ولا يمكنك فعل ذلك. وهذا هو السبب. ألق نظرة على القوى المختلفة للثلاثي:

\ [\ start (matrix) ((3) ^ (1)) = 3 & ((3) ^ (- 1)) = \ frac (1) (3) & ((3) ^ (\ frac (1) ( 2))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (2)) = 9 & ((3) ^ (- 2)) = \ frac (1) (9) & ((3) ^ (\ frac (1) (3))) = \ sqrt (3) \\ ((3) ^ (3)) = 27 & ((3) ^ (- 3)) = \ frac (1) (27) & (( 3) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (3)) \\\ end (matrix) \]

عند تجميع هذا الجهاز اللوحي ، لم أحرف الانحراف بمجرد أن فعلت ذلك: لقد فكرت في الدرجات الموجبة والسالبة ، وحتى الدرجات الكسرية ... حسنًا ، أين يوجد رقم سالب واحد على الأقل هنا؟ انه ليس! ولا يمكن أن تكون كذلك ، لأن الدالة الأسية $ y = ((a) ^ (x)) $ ، أولاً ، تأخذ دائمًا قيمًا موجبة فقط (بغض النظر عن مقدار ضرب واحد أو القسمة على اثنين ، ستظل رقم موجب) ، وثانيًا ، قاعدة هذه الوظيفة ، الرقم $ a $ ، هي بالتعريف رقم موجب!

حسنًا ، كيف نحل المعادلة $ ((9) ^ (x)) = - 3 $؟ لا ، لا جذور. وبهذا المعنى ، فإن المعادلات الأسية تشبه إلى حد كبير المعادلات التربيعية - قد لا يكون هناك أيضًا جذور. ولكن إذا تم تحديد عدد الجذور في المعادلات التربيعية بواسطة المميز (يكون المميز موجبًا - جذران ، سالب - بلا جذور) ، ثم في المعادلات الأسية ، كل هذا يتوقف على ما هو على يمين علامة التساوي.

وبالتالي ، نقوم بصياغة الاستنتاج الرئيسي: أبسط معادلة أسية بالصيغة $ ((a) ^ (x)) = b $ لها جذر إذا وفقط إذا كان $ b> 0 $. بمعرفة هذه الحقيقة البسيطة ، يمكنك بسهولة تحديد ما إذا كانت المعادلة المقترحة لك لها جذور أم لا. أولئك. هل يستحق حلها على الإطلاق أم اكتب على الفور أنه لا توجد جذور.

ستساعدنا هذه المعرفة أكثر من مرة عندما يتعين علينا اتخاذ المزيد من القرارات المهام الصعبة. في غضون ذلك ، كلمات كافية - حان الوقت لدراسة الخوارزمية الأساسية لحل المعادلات الأسية.

كيفية حل المعادلات الأسية

لذا ، دعونا نصيغ المسألة. من الضروري حل المعادلة الأسية:

\ [((أ) ^ (س)) = ب ، \ رباعي أ ، ب> 0 \]

وفقًا للخوارزمية "الساذجة" التي استخدمناها سابقًا ، من الضروري تمثيل الرقم $ b $ كقوة للرقم $ a $:

بالإضافة إلى ذلك ، إذا كان هناك أي تعبير بدلاً من المتغير $ x $ ، فسنحصل على معادلة جديدة يمكن حلها بالفعل. على سبيل المثال:

\ [\ start (align) & ((2) ^ (x)) = 8 \ Rightarrow ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (3)) \ Rightarrow x = 3 ؛ \\ & ((3) ^ (- x)) = 81 \ Rightarrow ((3) ^ (- x)) = ((3) ^ (4)) \ Rightarrow -x = 4 \ Rightarrow x = -4 ؛ \\ & ((5) ^ (2x)) = 125 \ Rightarrow ((5) ^ (2x)) = ((5) ^ (3)) \ Rightarrow 2x = 3 \ Rightarrow x = \ frac (3) ( 2). \\\ end (محاذاة) \]

والغريب أن هذا المخطط يعمل في حوالي 90٪ من الحالات. ماذا عن الـ 10٪ الباقية إذن؟ 10٪ المتبقية هي معادلات أسية "انفصام الشخصية" بشكل طفيف:

\ [((2) ^ (x)) = 3 ؛ \ quad ((5) ^ (x)) = 15 ؛ \ quad ((4) ^ (2x)) = 11 \]

إلى أي قوة تحتاج لرفع 2 للحصول على 3؟ في الاول؟ لكن لا: $ ((2) ^ (1)) = 2 $ لا يكفي. في الثانية؟ لا أحد: $ ((2) ^ (2)) = 4 $ كثير جدًا. ماذا بعد؟

من المحتمل أن الطلاب المطلعين قد خمنوا بالفعل: في مثل هذه الحالات ، عندما يكون من المستحيل حلها "بشكل جميل" ، ترتبط "المدفعية الثقيلة" بالحالة - اللوغاريتمات. دعني أذكرك أنه باستخدام اللوغاريتمات ، يمكن تمثيل أي رقم موجب كقوة لأي رقم موجب آخر (باستثناء واحد):

تذكر هذه الصيغة؟ عندما أخبر طلابي عن اللوغاريتمات ، فأنا أحذرك دائمًا: هذه الصيغة (وهي أيضًا الهوية اللوغاريتمية الأساسية أو ، إذا أردت ، تعريف اللوغاريتم) سوف تطاردك لفترة طويلة جدًا و "تظهر" في أغلب الأحيان أماكن غير متوقعة. حسنًا ، ظهرت على السطح. لنلقِ نظرة على معادلتنا وهذه الصيغة:

\ [\ start (align) & ((2) ^ (x)) = 3 \\ & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \\\ end (align) \]

إذا افترضنا أن $ a = 3 $ هو رقمنا الأصلي على اليمين ، و $ b = 2 $ هو أساس الدالة الأسية التي نريد تقليل الجانب الأيمن إليها ، فسنحصل على ما يلي:

\ [\ start (align) & a = ((b) ^ (((\ log) _ (b)) a)) \ Rightarrow 3 = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3 )) ؛ \\ & ((2) ^ (x)) = 3 \ Rightarrow ((2) ^ (x)) = ((2) ^ (((\ log) _ (2)) 3)) \ Rightarrow x = ( (\ سجل) _ (2)) 3. \\\ end (محاذاة) \]

حصلنا على إجابة غريبة بعض الشيء: $ x = ((\ log) _ (2)) 3 $. في مهمة أخرى ، مع مثل هذه الإجابة ، قد يشك الكثيرون ويبدأون في التحقق مرة أخرى من حلهم: ماذا لو كان هناك خطأ في مكان ما؟ أسارع إلى إرضائك: لا يوجد خطأ هنا ، واللوغاريتمات في جذور المعادلات الأسية هي حالة نموذجية تمامًا. حتى تعتاد على ذلك. :)

الآن نحل المعادلتين المتبقيتين عن طريق القياس:

\ [\ start (align) & ((5) ^ (x)) = 15 \ Rightarrow ((5) ^ (x)) = ((5) ^ (((\ log) _ (5)) 15)) \ Rightarrow x = ((\ log) _ (5)) 15 ؛ \\ & ((4) ^ (2x)) = 11 \ Rightarrow ((4) ^ (2x)) = ((4) ^ (((\ log) _ (4)) 11)) \ Rightarrow 2x = ( (\ سجل) _ (4)) 11 \ Rightarrow x = \ frac (1) (2) ((\ log) _ (4)) 11. \\\ end (محاذاة) \]

هذا كل شئ! بالمناسبة ، يمكن كتابة الإجابة الأخيرة بشكل مختلف:

نحن من أدخلنا المضاعف في حجة اللوغاريتم. لكن لا أحد يمنعنا من إضافة هذا العامل إلى القاعدة:

في هذه الحالة ، جميع الخيارات الثلاثة صحيحة - إنها فقط أشكال مختلفةسجلات من نفس الرقم. أي واحد تختاره وتدوينه في هذا القرار متروك لك.

وهكذا ، تعلمنا حل أي معادلات أسية بالصيغة $ ((a) ^ (x)) = b $ ، حيث تكون الأرقام $ a $ و $ b $ موجبة تمامًا. ومع ذلك ، فإن الواقع القاسي لعالمنا هو أن مثل هذه المهام البسيطة ستلتقي بك في حالات نادرة جدًا. في كثير من الأحيان ستصادف شيئًا كهذا:

\ [\ start (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 ؛ \\ & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09. \\\ end (محاذاة) \]

حسنًا ، كيف تقرر؟ هل يمكن حل هذا على الإطلاق؟ وإذا كان الأمر كذلك ، فكيف؟

لا تصابوا بالذعر. كل هذه المعادلات تختزل بسرعة وسهولة إلى صيغ بسيطةالتي نظرنا فيها بالفعل. تحتاج فقط إلى معرفة تذكر بعض الحيل من دورة الجبر. وبالطبع ، لا توجد قواعد للعمل مع الدرجات العلمية هنا. سأتحدث عن كل هذا الآن. :)

تحويل المعادلات الأسية

أول شيء يجب تذكره هو أن أي معادلة أسية ، بغض النظر عن مدى تعقيدها ، يجب اختزالها بطريقة أو بأخرى إلى أبسط المعادلات - تلك التي درسناها بالفعل والتي نعرف كيفية حلها. بمعنى آخر ، يبدو مخطط حل أي معادلة أسية كما يلي:

1. اكتب المعادلة الأصلية. على سبيل المثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $ ؛
2. قم ببعض الهراء الغبي. أو حتى بعض الهراء يسمى "تحويل المعادلة" ؛
3. عند الإخراج ، احصل على أبسط التعبيرات مثل $ ((4) ^ (x)) = 4 $ أو أي شيء آخر من هذا القبيل. علاوة على ذلك ، يمكن أن تعطي معادلة أولية عدة تعبيرات من هذا القبيل في وقت واحد.

مع النقطة الأولى ، كل شيء واضح - حتى قطتي يمكنها كتابة المعادلة على ورقة. مع النقطة الثالثة أيضًا ، يبدو أنها أكثر أو أقل وضوحًا - لقد حللنا بالفعل مجموعة كاملة من هذه المعادلات أعلاه.

لكن ماذا عن النقطة الثانية؟ ما هي التحولات؟ إلى ماذا تتحول إلى ماذا؟ وكيف؟

حسنًا ، دعنا نفهم ذلك. بادئ ذي بدء ، أود أن أشير إلى ما يلي. تنقسم جميع المعادلات الأسية إلى نوعين:

1. تتكون المعادلة من وظائف أسية لها نفس القاعدة. مثال: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 $ ؛
2. تحتوي الصيغة على وظائف أسية بقواعد مختلفة. أمثلة: $ ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) $ و $ ((100) ^ (x-1) ) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09 دولار.

لنبدأ بالمعادلات من النوع الأول - فهي الأسهل في الحل. وفي حلهم ، ستساعدنا تقنية مثل اختيار التعبيرات المستقرة.

إبراز التعبير المستقر

لنلقِ نظرة على هذه المعادلة مرة أخرى:

\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) = ((4) ^ (x + 1)) - 11 \]

ماذا نرى؟ يتم رفع الأربعة إلى درجات مختلفة. لكن كل هذه القوى عبارة عن مجاميع بسيطة للمتغير $ x $ مع أرقام أخرى. لذلك ، من الضروري تذكر قواعد العمل مع الدرجات العلمية:

\ [\ begin (align) & ((a) ^ (x + y)) = ((a) ^ (x)) \ cdot ((a) ^ (y)) ؛ \\ & ((a) ^ (x-y)) = ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) = \ frac (((a) ^ (x))) (((a ) ^ (ص))). \\\ end (محاذاة) \]

ببساطة ، يمكن تحويل إضافة الأس إلى منتج قوى ، ويمكن تحويل الطرح بسهولة إلى قسمة. دعنا نحاول تطبيق هذه الصيغ على القوى من معادلتنا:

\ [\ start (align) & ((4) ^ (x-1)) = \ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) = ((4) ^ (خ)) \ cdot \ frac (1) (4) ؛ \\ & ((4) ^ (x + 1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot ((4) ^ (1)) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4. \ \\ end (محاذاة) \]

نعيد كتابة المعادلة الأصلية مع مراعاة هذه الحقيقة ، ثم نجمع كل الحدود على اليسار:

\ [\ begin (align) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) = ((4) ^ (x)) \ cdot 4 -أحد عشر؛ \\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \ cdot 4 + 11 = 0. \\\ end (محاذاة) \]

تحتوي المصطلحات الأربعة الأولى على العنصر $ ((4) ^ (x)) $ - لنخرجه من القوس:

\ [\ start (align) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (1+ \ frac (1) (4) -4 \ right) + 11 = 0 ؛ \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ frac (4 + 1-16) (4) + 11 = 0 ؛ \\ & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (- \ frac (11) (4) \ right) = - 11. \\\ end (محاذاة) \]

يبقى تقسيم كلا الجزأين من المعادلة على الكسر $ - \ frac (11) (4) $ ، أي اضرب بشكل أساسي في الكسر المقلوب - $ - \ frac (4) (11) $. نحن نحصل:

\ [\ start (align) & ((4) ^ (x)) \ cdot \ left (- \ frac (11) (4) \ right) \ cdot \ left (- \ frac (4) (11) \ right ) = - 11 \ cdot \ يسار (- \ frac (4) (11) \ يمين) ؛ \\ & ((4) ^ (x)) = 4 ؛ \\ & ((4) ^ (x)) = ((4) ^ (1)) ؛ \\ & x = 1. \\\ end (محاذاة) \]

هذا كل شئ! اختزلنا المعادلة الأصلية إلى أبسطها وحصلنا على الحل النهائي.

في الوقت نفسه ، أثناء عملية الحل ، اكتشفنا (بل واستخرجنا من القوس) العامل المشترك $ ((4) ^ (x)) $ - هذا هو التعبير الثابت. يمكن تعيينه كمتغير جديد ، أو يمكنك ببساطة التعبير عنه بدقة والحصول على إجابة. على أي حال، المبدأ الرئيسيالحلول هي التالية:

ابحث في المعادلة الأصلية عن تعبير ثابت يحتوي على متغير يمكن تمييزه بسهولة عن جميع الدوال الأسية.

الخبر السار هو أن كل معادلة أسية تقريبًا تقبل مثل هذا التعبير المستقر.

ولكن هناك أيضًا أخبار سيئة: مثل هذه التعبيرات يمكن أن تكون خادعة للغاية ، وقد يكون من الصعب جدًا التمييز بينها. لذلك دعونا نلقي نظرة على مشكلة أخرى:

\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0،2) ^ (- x-1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 \]

ربما سيطرح أحد الآن سؤالاً: "باشا ، هل رجمت بالحجارة؟ فيما يلي قواعد مختلفة - 5 و 0.2. لكن دعونا نحاول تحويل قوة أساسها 0.2. على سبيل المثال ، دعنا نتخلص من كسر عشري، وإعادته إلى الوضع المعتاد:

\ [((0،2) ^ (- x-1)) = ((0،2) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (\ frac (2) (10 ) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right)) ) \]

كما ترى ، لا يزال الرقم 5 يظهر ، وإن كان في المقام. في الوقت نفسه ، تمت إعادة كتابة المؤشر على أنه سلبي. والآن نتذكر واحدًا من القواعد الأساسيةالعمل بالدرجات:

\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) \ Rightarrow ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ ( - \ يسار (x + 1 \ يمين))) = ((\ left (\ frac (5) (1) \ right)) ^ (x + 1)) = ((5) ^ (x + 1)) \ ]

هنا ، بالطبع ، غششت قليلاً. لأنه من أجل الفهم الكامل ، يجب كتابة صيغة التخلص من المؤشرات السلبية على النحو التالي:

\ [((a) ^ (- n)) = \ frac (1) (((a) ^ (n))) = ((\ left (\ frac (1) (a) \ right)) ^ (n )) \ Rightarrow ((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (\ frac (5) (1) \ يمين)) ^ (س + 1)) = ((5) ^ (س + 1)) \]

من ناحية أخرى ، لا شيء يمنعنا من العمل بجزء واحد فقط:

\ [((\ left (\ frac (1) (5) \ right)) ^ (- \ left (x + 1 \ right))) = ((\ left (((5) ^ (- 1)) \ يمين)) ^ (- \ يسار (س + 1 \ يمين))) = ((5) ^ (\ يسار (-1 \ يمين) \ cdot \ يسار (- \ يسار (س + 1 \ يمين) \ يمين) )) = ((5) ^ (س + 1)) \]

لكن في هذه الحالة ، يجب أن تكون قادرًا على رفع درجة إلى درجة أخرى (أذكرك: في هذه الحالة ، تتم إضافة المؤشرات). لكن لم يكن علي أن "أقلب" الكسور - ربما يكون الأمر أسهل بالنسبة لشخص ما. :)

في أي حال ، ستتم إعادة كتابة المعادلة الأسية الأصلية على النحو التالي:

\ [\ begin (align) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \ cdot ((5) ^ (x + 1)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) = 2 ؛ \\ & 2 \ cdot ((5) ^ (س + 2)) = 2 ؛ \\ & ((5) ^ (x + 2)) = 1. \\\ end (محاذاة) \]

لذلك اتضح أن حل المعادلة الأصلية أسهل في الحل من المعادلة السابقة: هنا لا تحتاج حتى إلى تحديد تعبير ثابت - فقد تم تقليل كل شيء من تلقاء نفسه. يبقى فقط أن نتذكر أن $ 1 = ((5) ^ (0)) $ ، من أين نحصل على:

\ [\ start (align) & ((5) ^ (x + 2)) = ((5) ^ (0)) ؛ \\ & x + 2 = 0 ؛ \\ & x = -2. \\\ end (محاذاة) \]

هذا هو الحل الكامل! حصلنا على الإجابة النهائية: $ x = -2 $. في الوقت نفسه ، أود أن أشير إلى خدعة واحدة سهّلت بشكل كبير جميع الحسابات بالنسبة لنا:

في المعادلات الأسية ، تأكد من التخلص من الكسور العشرية ، وترجمتها إلى كسور عادية. سيسمح لك ذلك برؤية نفس قواعد الدرجات وتبسيط الحل بشكل كبير.

الآن دعنا ننتقل إلى معادلات أكثر تعقيدًا حيث توجد قواعد مختلفة ، والتي لا يمكن اختزالها بشكل عام لبعضها البعض باستخدام القوى.

باستخدام خاصية الأس

دعني أذكرك أن لدينا معادلتين قاسيتين بشكل خاص:

\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09. \\\ end (محاذاة) \]

تكمن الصعوبة الرئيسية هنا في أنه ليس من الواضح ماذا وإلى أي أساس نؤدي. أين التعابير الثابتة؟ أين هي الأرضية المشتركة؟ لا يوجد شيء من هذا.

لكن دعونا نحاول الذهاب في الاتجاه الآخر. إذا لم تكن هناك قواعد متطابقة جاهزة ، يمكنك محاولة العثور عليها من خلال تحليل القواعد المتاحة.

لنبدأ بالمعادلة الأولى:

\ [\ begin (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & 21 = 7 \ cdot 3 \ Rightarrow ((21) ^ (3x)) = ((\ left (7 \ cdot 3 \ right)) ^ (3x)) = ((7) ^ (3x)) \ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ end (محاذاة) \]

لكن بعد كل شيء ، يمكنك القيام بالعكس - قم بتكوين الرقم 21 من الرقمين 7 و 3. من السهل بشكل خاص القيام بذلك على اليسار ، لأن مؤشرات كلتا الدرجتين هي نفسها:

\ [\ start (align) & ((7) ^ (x + 6)) \ cdot ((3) ^ (x + 6)) = ((\ left (7 \ cdot 3 \ right)) ^ (x + 6 )) = ((21) ^ (س + 6)) ؛ \\ & ((21) ^ (x + 6)) = ((21) ^ (3x)) ؛ \\ & x + 6 = 3x ؛ \\ & 2x = 6 ؛ \\ & x = 3. \\\ end (محاذاة) \]

هذا كل شئ! لقد أخرجت الأس من الناتج وحصلت على الفور على معادلة جميلة يمكن حلها في سطرين.

الآن دعونا نتعامل مع المعادلة الثانية. هنا كل شيء أكثر تعقيدًا:

\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((2،7) ^ (1-x)) = 0.09 \]

\ [((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ left (\ frac (27) (10) \ right)) ^ (1-x)) = \ frac (9) (100) \]

في هذه الحالة ، تبين أن الكسور غير قابلة للاختزال ، ولكن إذا كان من الممكن تقليل شيء ما ، فتأكد من تقليله. سينتج عن هذا غالبًا أسباب مثيرة للاهتمام يمكنك العمل معها بالفعل.

لسوء الحظ ، لم نتوصل إلى أي شيء. لكننا نرى أن الأسس على اليسار في حاصل الضرب عكس ذلك:

دعني أذكرك: للتخلص من علامة الطرح في الأس ، تحتاج فقط إلى "قلب" الكسر. لذلك دعونا نعيد كتابة المعادلة الأصلية:

\ [\ start (align) & ((100) ^ (x-1)) \ cdot ((\ left (\ frac (10) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9 ) (100) ؛ \\ & ((\ left (100 \ cdot \ frac (10) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100) ؛ \\ & ((\ left (\ frac (1000) (27) \ right)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100). \\\ end (محاذاة) \]

في السطر الثاني ، أخرجنا للتو مجموع النقاطمن حاصل الضرب بين الأقواس وفقًا للقاعدة $ ((a) ^ (x)) \ cdot ((b) ^ (x)) = ((\ left (a \ cdot b \ right)) ^ (x)) $، وفي الأخير اضرب ببساطة الرقم 100 بكسر.

لاحظ الآن أن الأرقام الموجودة على اليسار (في القاعدة) وعلى اليمين متشابهة إلى حد ما. كيف؟ نعم ، من الواضح: إنها قوى من نفس العدد! لدينا:

\ [\ start (align) & \ frac (1000) (27) = \ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) = ((\ left (\ frac ( 10) (3) \ right)) ^ (3)) ؛ \\ & \ frac (9) (100) = \ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) = ((\ left (\ frac (3) (10) \ يمين)) ^ (2)). \\\ end (محاذاة) \]

وبالتالي ، ستتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

\ [(\ left (((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3)) \ right)) ^ (x-1)) = ((\ left (\ frac (3 ) (10) \ right)) ^ (2)) \]

\ [(\ left (((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3)) \ right)) ^ (x-1)) = ((\ left (\ frac (10 ) (3) \ right)) ^ (3 \ left (x-1 \ right))) = ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3x-3)) \]

في الوقت نفسه ، على اليمين ، يمكنك أيضًا الحصول على درجة بنفس القاعدة ، والتي يكفيها "قلب" الكسر:

\ [((\ left (\ frac (3) (10) \ right)) ^ (2)) = ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (- 2)) \]

أخيرًا ، ستأخذ معادلتنا الشكل:

\ [\ start (align) & ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (3x-3)) = ((\ left (\ frac (10) (3) \ right)) ^ (- 2)) ؛ \\ & 3x-3 = -2 ؛ \\ & 3x = 1 ؛ \\ & x = \ frac (1) (3). \\\ end (محاذاة) \]

هذا هو الحل الكامل. فكرته الرئيسية هي أنه حتى لو أسباب مختلفةنحن نحاول عن طريق الخطاف أو المحتال تقليص هذه الأسباب إلى نفس الشيء. في هذا تساعدنا التحولات الأولية للمعادلات وقواعد العمل مع القوى.

لكن ما هي القواعد ومتى تستخدم؟ كيف نفهم أنه في إحدى المعادلات تحتاج إلى تقسيم كلا الطرفين بشيء ، وفي معادلة أخرى - لتحليل قاعدة الدالة الأسية إلى عوامل؟

ستأتي الإجابة على هذا السؤال بالخبرة. جرب يدك في البداية معادلات بسيطة، ثم تعقد المهام تدريجيًا - وسرعان ما ستكون مهاراتك كافية لحل أي معادلة أسية من نفس الاستخدام أو أي عمل مستقل / اختبار.

ولمساعدتك في هذه المهمة الصعبة ، أقترح تنزيل مجموعة من المعادلات على موقع الويب الخاص بي حل مستقل. جميع المعادلات لها إجابات ، لذا يمكنك دائمًا التحقق من نفسك.

إلى قناة اليوتيوب الخاصة بموقعنا لتكون على علم بجميع دروس الفيديو الجديدة.

أولًا ، لنتذكر الصيغ الأساسية للدرجات وخصائصها.

نتاج رقم أيحدث على نفسه n مرة ، يمكننا كتابة هذا التعبير على أنه a… a = a n

1. أ 0 = 1 (أ ≠ 0)

3. أ ن أ م = أ ن + م

4. (أ ن) م = أ نانومتر

5. أ ن ب ن = (أب) ن

7. a n / a m \ u003d a n - m

معادلات القوة أو الأسية- هذه معادلات تكون فيها المتغيرات في القوى (أو الأسس) ، والأساس عبارة عن رقم.

أمثلة على المعادلات الأسية:

في هذا المثالالرقم 6 هو الأساس ، وهو دائمًا في الأسفل ، والمتغير xدرجة أو قياس.

دعونا نعطي المزيد من الأمثلة على المعادلات الأسية.
2 × * 5 = 10
16x-4x-6 = 0

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية حل المعادلات الأسية؟

لنأخذ معادلة بسيطة:

2 س = 2 3

يمكن حل مثل هذا المثال حتى في العقل. يمكن ملاحظة أن x = 3. بعد كل شيء ، لكي يتساوى الجانبان الأيسر والأيمن ، عليك وضع الرقم 3 بدلاً من x.
لنرى الآن كيف يجب اتخاذ هذا القرار:

2 س = 2 3
س = 3

لحل هذه المعادلة ، أزلنا نفس الأسباب(أي التعادل) وكتب ما تبقى ، هذه هي الدرجات. حصلنا على الإجابة التي كنا نبحث عنها.

لنلخص الحل الآن.

خوارزمية لحل المعادلة الأسية:
1. تحتاج إلى التحقق نفس الشيءسواء كانت قواعد المعادلة على اليمين واليسار. إذا لم تكن الأسباب هي نفسها ، فنحن نبحث عن خيارات لحل هذا المثال.
2. بعد القواعد هي نفسها ، تعادلدرجة وحل المعادلة الجديدة الناتجة.

لنحل الآن بعض الأمثلة:

لنبدأ ببساطة.

القواعد الموجودة على الجانبين الأيسر والأيمن تساوي الرقم 2 ، مما يعني أنه يمكننا تجاهل القاعدة ومساواة درجاتها.

x + 2 = 4 ظهرت أبسط معادلة.
س = 4 - 2
س = 2
الجواب: س = 2

في المثال التالييمكن ملاحظة أن القواعد مختلفة - 3 و 9.

3 3 س - 9 س + 8 = 0

بادئ ذي بدء ، ننقل التسعة إلى الجانب الأيمن ، نحصل على:

الآن أنت بحاجة إلى إنشاء نفس القواعد. نعلم أن 9 = 3 2. دعنا نستخدم صيغة القوة (أ ن) م = أ نانومتر.

3 3x \ u003d (3 2) × + 8

نحصل على 9 × + 8 \ u003d (3 2) × + 8 \ u003d 3 2 × + 16

3 3x \ u003d 3 2x + 16 الآن يمكنك رؤية ذلك في اليسار و الجانب الأيمنالقواعد هي نفسها وتساوي ثلاثة ، مما يعني أنه يمكننا التخلص منها ومعادلة الدرجات.

3x = 2x + 16 حصلنا على أبسط معادلة
3 س -2 س = 16
س = 16
الجواب: س = 16.

لنلقِ نظرة على المثال التالي:

2 2x + 4-10 4 x \ u003d 2 4

بادئ ذي بدء ، ننظر إلى الأسس ، فالقاعدتان مختلفتان عن اثنين وأربعة. وعلينا أن نكون متشابهين. نقوم بتحويل الرباعي وفقًا للصيغة (a n) m = a nm.

4 س = (2 2) س = 2 2 س

ونستخدم أيضًا صيغة واحدة أ ن أ م = أ ن + م:

2 2 س + 4 = 2 2 س 2 4

أضف إلى المعادلة:

2 2x 2 4-10 2 2x = 24

قدمنا ​​مثالا لنفس الأسباب. لكن الأرقام الأخرى 10 و 24 تتداخل معنا ، فماذا نفعل بهم؟ إذا نظرت عن كثب ، يمكنك أن ترى أنه على الجانب الأيسر نكرر 2 2x ، وإليك الإجابة - يمكننا وضع 2 2x من الأقواس:

2 2x (2 4-10) = 24

دعنا نحسب التعبير بين قوسين:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

نقسم المعادلة بأكملها على 6:

تخيل 4 = 2 2:

2 2x \ u003d 2 2 قاعدتان متماثلتان ، وتجاهلهما وقم بمساواة الدرجات.
2x \ u003d 2 هي أبسط معادلة. نقسمها على 2 ، نحصل عليها
س = 1
الجواب: س = 1.

لنحل المعادلة:

9 س - 12 * 3 س + 27 = 0

دعنا نتحول:
9 س = (3 2) س = 3 2 س

نحصل على المعادلة:
3 2 س - 12 3 س +27 = 0

قواعدنا هي نفسها ، تساوي ثلاثة ، في هذا المثال ، من الواضح أن الثلاثية الأولى لها درجة ضعف (2x) من الثانية (x فقط). في هذه الحالة ، يمكنك أن تقرر طريقة الاستبدال. يتم استبدال الرقم ذي الدرجة الأصغر بما يلي:

ثم 3 2x \ u003d (3 x) 2 \ u003d t 2

نستبدل جميع الدرجات بـ x في المعادلة بـ t:

ر 2-12 طن + 27 \ u003d 0
نحصل على معادلة من الدرجة الثانية. نحل من خلال المميز ، نحصل على:
د = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

رجوع إلى المتغير x.

نأخذ تي 1:
ر 1 \ u003d 9 \ u003d 3 س

إنه،

3 س = 9
3 س = 3 2
× 1 = 2

تم العثور على جذر واحد. نبحث عن الثاني من ر 2:
ر 2 \ u003d 3 \ u003d 3 س
3 س = 3 1
× 2 = 1
الجواب: × 1 \ u003d 2 ؛ × 2 = 1.

على الموقع ، يمكنك في قسم المساعدة في اتخاذ القرار لطرح الأسئلة التي تهمك ، وسوف نجيب عليك بالتأكيد.

انضمام مجموعة

ما هي المعادلة الأسية؟ أمثلة.

إذن ، معادلة أسية ... معرض فريد جديد في معرضنا العام لمجموعة واسعة من المعادلات!) كما هو الحال دائمًا تقريبًا ، فإن الكلمة الأساسية لأي مصطلح رياضي جديد هي الصفة المقابلة التي تميزه. حتى هنا أيضًا. كلمة رئيسيةفي مصطلح "المعادلة الأسية" هي الكلمة "إيضاحي". ماذا يعني ذلك؟ هذه الكلمة تعني أن المجهول (x) هو من حيث أي درجة.وفقط هناك! هذا مهم للغاية.

على سبيل المثال ، هذه المعادلات البسيطة:

3 × +1 = 81

5 س + 5 س + 2 = 130

4 2 2 س -17 2 س +4 = 0

أو حتى هذه الوحوش:

2 sin x = 0.5

أطلب منك الانتباه على الفور إلى شيء واحد مهم: in أسبابدرجات (أسفل) - أرقام فقط. ولكن في المؤشراتالدرجات (أعلى) - مجموعة متنوعة من التعبيرات ذات x. على الإطلاق.) كل شيء يعتمد على المعادلة المحددة. إذا ظهرت x فجأة في المعادلة في مكان آخر ، بالإضافة إلى المؤشر (على سبيل المثال ، 3 x \ u003d 18 + x 2) ، فستكون هذه المعادلة بالفعل معادلة نوع مختلط. مثل هذه المعادلات ليس لها قواعد واضحة للحل. لذلك ، في هذا الدرس لن نأخذها في الاعتبار. لإرضاء الطلاب.) هنا سننظر فقط في المعادلات الأسية في شكل "خالص".

بشكل عام ، حتى المعادلات الأسية البحتة لا يتم حلها بوضوح في جميع الحالات وليس دائمًا. ولكن من بين مجموعة المعادلات الأسية المتنوعة ، هناك أنواع معينة يمكن حلها وينبغي حلها. سننظر معك في هذه الأنواع من المعادلات. وسوف نحل الأمثلة بالتأكيد.) لذلك نحن نستقر بشكل مريح و- على الطريق! كما هو الحال في "ألعاب الرماية" الحاسوبية ، سوف تمر رحلتنا عبر المستويات.) من الابتدائي إلى البسيط ، ومن البسيط إلى المتوسط ​​ومن المتوسط ​​إلى المعقد. على طول الطريق ، ستنتظر أيضًا مستوى سري - حيل وطرق لحل الأمثلة غير القياسية. تلك التي لن تقرأ عنها في معظم الكتب المدرسية ... حسنًا ، في النهاية ، بالطبع ، ينتظرك الرئيس الأخير في شكل واجبات منزلية.)

المستوى 0. ما هي أبسط معادلة أسية؟ حل أبسط المعادلات الأسية.

بادئ ذي بدء ، دعونا نلقي نظرة على بعض العناصر الابتدائية الصريحة. عليك أن تبدأ من مكان ما ، أليس كذلك؟ على سبيل المثال ، هذه المعادلة:

2 س = 2 2

حتى بدون أي نظريات ، من خلال منطق بسيط و الفطرة السليمةمن الواضح أن x = 2. لا توجد طريقة أخرى ، أليس كذلك؟ لا توجد قيمة أخرى لـ x جيدة ... فلننتقل الآن إلى سجل القرارهذه المعادلة الأسية الرائعة:

2 س = 2 2

س = 2

ماذا حدث لنا؟ وحدث ما يلي. في الواقع ، لقد أخذنا و ... فقط ألقينا بنفس القواعد (اثنان)! طرد تماما. وماذا يرضي ، أصاب عين الثور!

نعم ، في الواقع ، إذا كانت في المعادلة الأسية على اليمين واليسار نفس الشيءالأرقام بأي درجة ، ثم يمكن تجاهل هذه الأرقام ومعادلة الأسس. تسمح الرياضيات.) وبعد ذلك يمكنك العمل بشكل منفصل مع المؤشرات وحل معادلة أبسط بكثير. إنه رائع ، أليس كذلك؟

هذا الفكرة الرئيسيةحل أي معادلة أسية (نعم ، بالضبط!): بمساعدة تحويلات متطابقة ، من الضروري التأكد من أن اليسار واليمين في المعادلة نفس الشيء الأرقام الأساسية بدرجات مختلفة. وبعد ذلك يمكنك إزالة نفس الأسس بأمان ومساواة الأسس. واعمل بمعادلة أبسط.

والآن نتذكر حكم الحديد: من الممكن إزالة نفس الأسس إذا وفقط إذا كانت الأرقام الأساسية في المعادلة على اليسار واليمين في عزلة فخور.

ماذا يعني ذلك في عزلة رائعة؟ هذا يعني بدون أي جيران ومعاملات. أشرح.

على سبيل المثال ، في المعادلة

3 3 × -5 = 3 2 × +1

لا يمكنك إزالة ثلاثة توائم! لماذا؟ لأنه على اليسار ليس لدينا ثلاثة درجات وحيدة فقط ، ولكن عمل 3 3 × 5. ثلاثية إضافية تعترض طريقك: المعامل ، كما تفهم).

يمكن قول الشيء نفسه عن المعادلة

٥ ٣ س = ٥ ٢ س + ٥ س

هنا ، أيضًا ، جميع القواعد هي نفسها - خمسة. لكن على اليمين ليس لدينا درجة واحدة من خمسة: هناك مجموع الدرجات!

باختصار ، لدينا الحق في إزالة نفس الأسس فقط عندما تبدو معادلتنا الأسية هكذا وفقط هكذا:

أF (x) = اي جي (x)

يسمى هذا النوع من المعادلات الأسية الابسط. او علميا العنوان الأساسي . وبغض النظر عن المعادلة الملتوية التي أمامنا ، بطريقة أو بأخرى ، سنختصرها إلى مثل هذا الشكل البسيط (القانوني). أو ، في بعض الحالات ، إلى تجمعاتمعادلات من هذا النوع. ثم يمكن إعادة كتابة أبسط معادلة لدينا بشكل عام على النحو التالي:

و (س) = ز (س)

وهذا كل شيء. سيكون هذا هو التحول المكافئ. في نفس الوقت ، يمكن استخدام أي تعبيرات تحتوي على x على أنها f (x) و g (x). أيا كان.

ربما يسأل طالب فضولي بشكل خاص: لماذا على الأرض نتخلص بسهولة وببساطة من القواعد نفسها على اليسار واليمين ونساوي الأسس؟ الحدس هو الحدس ، ولكن فجأة ، في بعض المعادلات ولسبب ما ، سوف يتبين أن هذا النهج خاطئ؟ هل من القانوني دائمًا إلقاء نفس القواعد؟لسوء الحظ ، للحصول على إجابة رياضية صارمة على هذا اسأل الفائدةتحتاج إلى الخوض بعمق وجدية في النظرية العامة لهيكل وسلوك الوظائف. وبشكل أكثر تحديدًا - في هذه الظاهرة رتابة صارمة.على وجه الخصوص ، الرتابة الصارمة دالة أسيةذ= فأس. نظرًا لأن الوظيفة الأسية وخصائصها هي التي تكمن وراء حل المعادلات الأسية ، نعم.) سيتم تقديم إجابة مفصلة لهذا السؤال في درس خاص منفصل مخصص لحل المعادلات المعقدة غير القياسية باستخدام رتابة الوظائف المختلفة.)

لشرح هذه النقطة بالتفصيل الآن هو فقط إخراج دماغ تلميذ متوسط ​​وإخافته مسبقًا بنظرية جافة وثقيلة. لن أفعل هذا). مهمتنا الرئيسية في الوقت الحالي هي تعلم حل المعادلات الأسية!أبسط! لذلك ، حتى نتعرق ونطرح بجرأة نفس الأسباب. هذا يستطيع، خذ كلامي من أجلها!) ثم قمنا بالفعل بحل المعادلة المكافئة f (x) = g (x). كقاعدة عامة ، هو أبسط من الأسي الأصلي.

من المفترض ، بالطبع ، أن الناس يعرفون بالفعل كيفية حل المعادلات على الأقل ، وأن المعادلات ، بالفعل بدون x في المؤشرات.) من الذي لا يزال لا يعرف كيف ، لا تتردد في إغلاق هذه الصفحة ، والسير على طول الروابط المناسبة وملء الفجوات القديمة. خلاف ذلك ، سيكون لديك وقت عصيب ، نعم ...

أنا صامت بشأن المعادلات غير المنطقية والمثلثية وغيرها من المعادلات الوحشية التي يمكن أن تظهر أيضًا في عملية إزالة القواعد. لكن لا تنزعج ، في الوقت الحالي لن ننظر إلى القصدير الصريح من حيث الدرجات: إنه مبكر جدًا. سوف نتدرب فقط على أبسط المعادلات.)

الآن ضع في اعتبارك المعادلات التي تتطلب بعض الجهد الإضافي لتقليلها إلى أبسطها. لتمييزهم ، دعنا نسميهم معادلات أسية بسيطة. لذلك دعنا ننتقل إلى المستوى التالي!

المستوى 1. معادلات أسية بسيطة. تعرف على الدرجات! المؤشرات الطبيعية.

القواعد الأساسية في حل أي معادلات أسية هي قواعد التعامل مع الدرجات العلمية. بدون هذه المعرفة والمهارات ، لن ينجح شيء. واحسرتاه. لذا ، إذا كانت هناك مشاكل في الدرجات ، فأنت مرحب بك كبداية. بالإضافة إلى ذلك ، نحن بحاجة أيضًا. هذه التحولات (ما يصل إلى اثنين!) هي الأساس لحل جميع معادلات الرياضيات بشكل عام. وليس فقط المعارض. لذا ، أيًا كان من نسي ، قم أيضًا بالمشي على الرابط: لقد ارتديته لسبب ما.

لكن الأفعال ذات القوى والتحولات المتطابقة وحدها لا تكفي. كما يتطلب الملاحظة الشخصية والإبداع. نحن بحاجة إلى نفس الأسباب ، أليس كذلك؟ لذلك نتفحص المثال ونبحث عنه بشكل صريح أو مقنع!

على سبيل المثال ، هذه المعادلة:

3 2 س - 27 س +2 = 0

أول نظرة على أسباب. هم مختلفون! ثلاثة وسبعة وعشرون. لكن من السابق لأوانه الذعر واليأس. حان الوقت لتذكر ذلك

27 = 3 3

الرقمان 3 و 27 هم أقارب في الدرجة! وقريبة منها.) لذلك ، لدينا حق كاملاكتب:

27 س +2 = (3 3) س + 2

والآن نربط معرفتنا به مع درجات(وأنا حذرتك!). هناك صيغة مفيدة للغاية:

(am) n = a mn

الآن إذا قمت بتشغيلها في الدورة التدريبية ، فسيكون ذلك جيدًا بشكل عام:

27 س +2 = (3 3) س + 2 = 3 3 (س +2)

يبدو المثال الأصلي الآن كما يلي:

3 2 س - 3 3 (س +2) = 0

عظيم ، قواعد الدرجات متوازنة. ما كنا نسعى جاهدين من أجله. تم الانتهاء من نصف المهمة.) والآن نطلق التحول الأساسي للهوية - ننقل 3 3 (x +2) إلى اليمين. لا أحد ألغى الإجراءات الأولية للرياضيات ، نعم.) نحصل على:

3 2 س = 3 3 (س +2)

ما الذي يعطينا هذا النوع من المعادلة؟ وحقيقة أن معادلتنا الآن مختزلة إلى الشكل الكنسي: على اليسار وعلى اليمين نفس الأرقام (ثلاثة أضعاف) في القوى. وكلاهما ثلاثة توائم - في عزلة رائعة. نزيل بجرأة ثلاثة توائم ونحصل على:

2 س = 3 (س + 2)

نحل هذا ونحصل على:

س = -6

هذا كل ما في الامر. هذا هو الجواب الصحيح.)

والآن نحن نفهم مسار القرار. ما الذي أنقذنا في هذا المثال؟ لقد أنقذنا بمعرفة درجات الثلاثية. كيف بالضبط؟ نحن المحددةرقم 27 مشفرة ثلاثة! هذه الحيلة (ترميز نفس القاعدة بأرقام مختلفة) هي واحدة من أكثر الحيل شيوعًا في المعادلات الأسية! ما لم يكن الأكثر شعبية. نعم وايضا بالمناسبة هذا هو السبب في أن الملاحظة والقدرة على التعرف على قوى الأرقام الأخرى في الأرقام مهمة جدًا في المعادلات الأسية!

نصائح عملية:

أنت بحاجة إلى معرفة قوى الأرقام الشائعة. في وجهه!

بالطبع ، يمكن لأي شخص رفع اثنين أس سبعة أو ثلاثة إلى الخامس. ليس في ذهني ، على الأقل في المسودة. لكن في المعادلات الأسية ، غالبًا ما يكون من الضروري عدم الرفع إلى قوة ما ، ولكن على العكس من ذلك ، معرفة العدد وإلى أي مدى مخفي وراء الرقم ، لنقل 128 أو 243. وهذا بالفعل أكثر من ذلك. معقدة من مجرد الأس ، كما ترى. اشعر بالفرق كما يقولون!

نظرًا لأن القدرة على التعرف على الدرجات في الوجه مفيدة ليس فقط على هذا المستوى ، ولكن أيضًا في المستويات التالية ، فإليك مهمة صغيرة لك:

حدد ما هي القوى وما هي الأرقام هي الأرقام:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

الإجابات (متناثرة بالطبع):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

نعم نعم! لا تتفاجأ بوجود إجابات أكثر من المهام. على سبيل المثال ، 2 8 و 4 4 و 16 2 كلها 256.

المستوى 2. معادلات أسية بسيطة. تعرف على الدرجات! الأسس السالبة والكسرية.

في هذا المستوى ، نستخدم بالفعل معرفتنا بالدرجات على أكمل وجه. وبالتحديد ، نقوم بإدخال المؤشرات السلبية والكسرية في هذه العملية الرائعة! نعم نعم! نحن بحاجة لبناء القوة ، أليس كذلك؟

على سبيل المثال ، هذه المعادلة الرهيبة:

مرة أخرى ، انظر أولاً إلى الأسس. القواعد مختلفة! وهذه المرة لا يتشابهان حتى عن بعد مع بعضهما البعض! 5 و 0.04 ... وللتخلص من الأسس ، نحتاج إلى نفس القواعد ... ماذا تفعل؟

لا بأس! في الواقع ، كل شيء هو نفسه ، فقط الاتصال بين الخمسة و 0.04 يكون مرئيًا بشكل ضعيف. كيف نخرج؟ ولننتقل إلى الكسر المعتاد في الرقم 0.04! وهناك ، كما ترى ، يتم تشكيل كل شيء).

0,04 = 4/100 = 1/25

رائع! اتضح أن 0.04 هي 1/25! حسنًا ، من كان يظن!)

حسنا كيف؟ الآن من الأسهل رؤية الاتصال بين الأرقام 5 و 1/25؟ هذا ما هو عليه...

والآن ، وفقًا لقواعد العمليات ذات الصلاحيات مؤشر سلبييمكن كتابتها بيد ثابتة:

هذا عظيم. لذلك وصلنا إلى نفس القاعدة - خمسة. نستبدل الآن الرقم غير المريح 0.04 في المعادلة بالرقم 2-5 ونحصل على:

مرة أخرى ، وفقًا لقواعد العمليات ذات القوى ، يمكننا الآن كتابة:

(5 -2) × -1 = 5 -2 (× -1)

فقط في حالة ، أذكر (فجأة ، من لا يعرف) ذلك القواعد الأساسيةالإجراءات مع صلاحيات صالحة ل أيالمؤشرات! بما في ذلك المؤشرات السلبية.) لذلك لا تتردد في أخذ وضرب المؤشرات (-2) و (x-1) في القاعدة المقابلة. معادلتنا تتحسن وتتحسن:

الجميع! بالإضافة إلى الخمسات الوحيدين في الدرجات على اليسار واليمين ، لا يوجد شيء آخر. يتم تقليل المعادلة إلى الشكل المتعارف عليه. وبعد ذلك - على طول المسار المخرش. نزيل الخمسات ونساوي المؤشرات:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

المثال على وشك الانتهاء. تبقى الرياضيات الابتدائية للطبقات الوسطى - نفتح (بشكل صحيح!) الأقواس ونجمع كل شيء على اليسار:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

نحل هذا ونحصل على جذرين:

x 1 = 1; x 2 = 3

هذا كل شئ.)

لنفكر الآن مرة أخرى. في هذا المثال ، كان علينا مرة أخرى التعرف على نفس الرقم بدرجات متفاوتة! وهي رؤية الخمسة المشفرة في الرقم 0.04. وهذه المرة في درجة سلبية!كيف فعلنا ذلك؟ أثناء التنقل - بأي حال من الأحوال. ولكن بعد الانتقال من كسر عشري قيمته 0.04 إلى كسر عادي يساوي 1/25 ، تم تمييز كل شيء! ثم ذهب القرار كله كالساعة).

لذلك ، نصيحة عملية خضراء أخرى.

إذا كانت هناك كسور عشرية في المعادلة الأسية ، فإننا ننتقل من الكسور العشرية إلى الكسور العادية. في الكسور المشتركةمن الأسهل بكثير التعرف على قوى العديد من الأرقام الشائعة! بعد التعرف ، ننتقل من الكسور إلى القوى ذات الأسس السالبة.

ضع في اعتبارك أن مثل هذه الخدعة في المعادلات الأسية تحدث كثيرًا جدًا! والشخص ليس في الموضوع. ينظر ، على سبيل المثال ، إلى الرقمين 32 و 0.125 وينزعج. من غير المعروف له أن هذا هو نفس الشيطان ، فقط بدرجات مختلفة ... لكنك بالفعل في الموضوع!)

حل المعادلة:

في! يبدو وكأنه رعب هادئ ... لكن المظاهر خادعة. هذه أبسط معادلة أسية ، على الرغم من مظهرها المخيف. والآن سأريكم ذلك.)

أولاً ، نتعامل مع جميع الأرقام الموجودة في القواعد وفي المعاملات. من الواضح أنهم مختلفون ، نعم. لكننا ما زلنا نخاطر ونحاول القيام بها نفس الشيء! دعنا نحاول الوصول إلى نفس الرقم بدرجات مختلفة. ويفضل أن يكون عدد أصغر عدد ممكن. لذا ، لنبدأ في فك الرموز!

حسنًا ، كل شيء واضح مع الأربعة في وقت واحد - 2 2. لذلك ، بالفعل شيء.)

مع كسر 0.25 - لم يتضح بعد. بحاجة للتأكد. نستخدم نصائح عملية - انتقل من النظام العشري إلى العادي:

0,25 = 25/100 = 1/4

بالفعل أفضل بكثير. في الوقت الحالي ، من الواضح بالفعل أن 1/4 هي 2-2. عظيم ، والرقم 0.25 هو أيضًا أقرب إلى شيطان).

حتى الان جيدة جدا. لكن يبقى العدد الأسوأ - الجذر التربيعي لاثنين!ماذا تفعل بهذا الفلفل؟ هل يمكن تمثيلها أيضًا كقوة لاثنين؟ و من يعلم...

حسنًا ، مرة أخرى نتسلق إلى خزينة المعرفة حول الدرجات! هذه المرة نربط بالإضافة إلى ذلك معرفتنا حول الجذور. من دورة الصف التاسع ، كان عليك أنا وأنت أن نتحمل أن أي جذر ، إذا رغبت في ذلك ، يمكن دائمًا تحويله إلى درجة مع كسر.

مثله:

في حالتنا هذه:

كيف! اتضح أن الجذر التربيعي لاثنين هو 2 1/2. هذا كل شيء!

هذا جيّد! لقد تبين أن جميع أرقامنا غير المريحة كانت في الواقع عبارة عن شيطان مشفر.) لا أجادل ، في مكان ما مشفر بشكل متطور للغاية. لكننا نزيد أيضًا من احترافنا في حل مثل هذه الشفرات! وبعد ذلك أصبح كل شيء واضحًا بالفعل. نستبدل الأعداد 4 و 0.25 وجذر اثنين في معادلتنا بقوة اثنين:

الجميع! أصبحت قواعد جميع الدرجات في المثال هي نفسها - اثنان. والآن يتم استخدام الإجراءات القياسية بالدرجات:

أكونأ = أكون + ن

أ م: أ ن = أ م ن

(am) n = a mn

بالنسبة للجانب الأيسر تحصل على:

2 -2 (2 2) 5 س -16 = 2 -2 + 2 (5 س -16)

للجانب الأيمن سيكون:

والآن بدأت معادلتنا الشريرة تبدو كما يلي:

بالنسبة لأولئك الذين لم يكتشفوا كيف ظهرت هذه المعادلة بالضبط ، فإن السؤال لا يتعلق بالمعادلات الأسية. السؤال يدور حول التصرفات ذات الصلاحيات. طلبت على وجه السرعة أن أكرر لمن لديهم مشاكل!

هنا خط النهاية! يتم الحصول على الشكل الأساسي للمعادلة الأسية! حسنا كيف؟ هل أقنعتك أنه ليس مخيفًا جدًا؟ ؛) نقوم بإزالة التعادل ونساوي المؤشرات:

يبقى فقط لحل هذه المعادلة الخطية. كيف؟ بمساعدة التحولات المتطابقة ، بالطبع.) حل ما هو موجود بالفعل! اضرب كلا الجزأين في جزأين (لإزالة الكسر 3/2) ، انقل المصطلحات مع Xs إلى اليسار ، بدون Xs إلى اليمين ، أحضر مثل تلك ، عد - وستكون سعيدًا!

يجب أن يتحول كل شيء بشكل جميل:

س = 4

الآن دعونا نعيد التفكير في القرار. في هذا المثال ، تم إنقاذنا من خلال الانتقال من الجذر التربيعي ل درجة مع الأس 1/2. علاوة على ذلك ، فقط مثل هذا التحول الماكرة ساعدنا في كل مكان على الوصول إلى نفس الأساس (الشيطان) ، الذي أنقذ الموقف! وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فسنحظى بكل فرصة للتجميد إلى الأبد وعدم التعامل مع هذا المثال أبدًا ، نعم ...

لذلك ، لا نتجاهل النصيحة العملية التالية:

إذا كانت هناك جذور في المعادلة الأسية ، فإننا ننتقل من الجذور إلى القوى ذات الأسس الكسرية. في كثير من الأحيان ، فقط مثل هذا التحول يوضح الموقف الإضافي.

بالطبع ، القوى السالبة والكسرية هي بالفعل أكثر تعقيدًا من القوى الطبيعية. على الأقل من حيث الإدراك البصري ، وخاصة التعرف من اليمين إلى اليسار!

من الواضح أن رفع اثنين أس -3 أو أربعة أس -3/2 مباشرة ، على سبيل المثال ، ليس كذلك مشكلة كبيرة. بالنسبة لأولئك الذين يعرفون.)

لكن اذهب ، على سبيل المثال ، أدرك ذلك على الفور

0,125 = 2 -3

أو

هنا فقط الممارسة والتجربة الغنية هي القاعدة ، نعم. وبالطبع رؤية واضحة ، ما هو الأس السالب والكسري.و - نصيحة عملية! نعم ، نعم ، هؤلاء أخضر.) آمل أن يساعدوك مع ذلك في التنقل بشكل أفضل في جميع الدرجات المتنوعة المتنوعة وزيادة فرصك في النجاح بشكل كبير! لذلك دعونا لا نهملهم. أنا لست عبثا بالأخضرأكتب أحيانًا.)

من ناحية أخرى ، إذا أصبحت "أنت" حتى مع وجود قوى غريبة مثل السالبة والكسرية ، فإن إمكانياتك في حل المعادلات الأسية ستتوسع بشكل هائل ، وستكون قادرًا بالفعل على التعامل مع أي نوع من المعادلات الأسية تقريبًا. حسنًا ، إن لم يكن موجودًا ، فإن 80 بالمائة من جميع المعادلات الأسية - بالتأكيد! نعم ، نعم ، أنا لا أمزح!

لذلك ، وصل الجزء الأول من معرفتنا بالمعادلات الأسية إلى نهايته المنطقية. وباعتباره تمرينًا في الفترات الفاصلة ، أقترح عادةً حل القليل بمفردك.)

التمرين 1.

حتى لا تذهب كلماتي حول فك رموز الدرجات السالبة والكسرية عبثًا ، أقترح أن ألعب لعبة صغيرة!

عبر عن الرقم كقوة لاثنين:

الإجابات (في حالة فوضى):

حدث؟ عظيم! ثم نقوم بمهمة قتالية - نحل أبسط وأبسط المعادلات الأسية!

المهمة 2.

حل المعادلات (كل الإجابات فوضى!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 - 16x + 3 = 0

الإجابات:

س = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

حدث؟ في الواقع ، أسهل بكثير!

ثم نحل اللعبة التالية:

(2 × +4) × -3 = 0.5 × 4 × -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

الإجابات:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

وهذه الأمثلة على أحد اليسار؟ عظيم! أنت تنمو! ثم إليك بعض الأمثلة الأخرى التي يمكنك تناولها لتناول وجبة خفيفة:

الإجابات:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

وهل تقرر؟ حسنًا ، احترم! لقد خلعت قبعتي.) لذلك ، لم يكن الدرس عبثًا ، ويمكن اعتبار المستوى الأولي لحل المعادلات الأسية متقنًا بنجاح. إلى الأمام - المستويات التالية والمعادلات الأكثر تعقيدًا! وتقنيات ومقاربات جديدة. والأمثلة غير القياسية. ومفاجآت جديدة.) كل هذا - في الدرس التالي!

شيء ما لا يعمل؟ لذلك ، على الأرجح ، المشاكل موجودة. أو في. أو كليهما في نفس الوقت. أنا هنا عاجز. يمكنني مرة أخرى أن أقدم شيئًا واحدًا فقط - لا تكن كسولًا وتمشي عبر الروابط.)

يتبع.)

محاضرة: "طرق حل المعادلات الأسية".

1 . المعادلات الأسية.

المعادلات التي تحتوي على مجاهيل في الأس تسمى المعادلات الأسية. أبسطها هو المعادلة ax = b ، حيث a> 0 و a ≠ 1.

1) لب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) بالنسبة لـ b> 0 ، باستخدام رتابة الوظيفة ونظرية الجذر ، يكون للمعادلة جذر واحد. من أجل العثور عليه ، يجب تمثيل b على أنه b = aс ، ax = bс ó x = c أو x = logab.

تؤدي المعادلات الأسية من خلال التحويلات الجبرية إلى معادلات قياسية يتم حلها بالطرق التالية:

1) طريقة الاختزال إلى قاعدة واحدة ؛

2) طريقة التقييم.

3) طريقة الرسم.

4) طريقة إدخال المتغيرات الجديدة.

5) طريقة التحليل.

6) إرشادية - معادلات القوة;

7) أسي مع معلمة.

2 . طريقة الاختزال إلى أساس واحد.

تعتمد الطريقة على خاصية الدرجات التالية: إذا كانت درجتان متساويتان وقواعدهما متساوية ، فإن الأسس متساويان ، أي يجب محاولة اختزال المعادلة إلى النموذج

أمثلة. حل المعادلة:

1 . 3 س = 81 ؛

لنمثل الجانب الأيمن من المعادلة بالصيغة 81 = 34 ونكتب المعادلة المكافئة للقيمة الأصلية 3 × = 34 ؛ س = 4. الإجابة: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png "width =" 52 "height =" 49 "> وانتقل إلى معادلة الأس 3x + 1 = 3-5x ؛ 8x = 4 ؛ س = 0.5 الإجابة: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png "width =" 105 "height =" 47 ">

لاحظ أن الأرقام 0.2 و 0.04 و 5 و 25 هي قوى لـ 5. لنستفيد من هذا ونحول المعادلة الأصلية على النحو التالي:

, من أين 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2 ، ومن هنا نجد الحل x = -1. الجواب: -1.

5. 3x = 5. حسب تعريف اللوغاريتم ، x = log35. الجواب: log35.

6. 62 س + 4 = 33 س. 2x + 8.

دعونا نعيد كتابة المعادلة على النحو التالي: 32x + 4.22x + 4 = 32x.2x + 8 ، أي .. png "width =" 181 "height =" 49 src = "> ومن ثم x - 4 = 0 ، x = 4. الإجابة: 4.

7 . 2 ∙ 3x + 1 - 6 ∙ 3x-2 - 3x = 9. باستخدام خصائص القوى ، نكتب المعادلة بالصيغة e. x + 1 = 2، x = 1. الجواب: 1.

بنك المهام رقم 1.

حل المعادلة:

رقم الاختبار 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3 ؛ 1 2) -3 ؛ -1 3) 0 ؛ 2 4) لا جذور
	1) 7 ؛ 1 2) بلا جذور 3) -7 ؛ 1 4) -1 ؛ -7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
أ 6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

اختبار رقم 2

أ 1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
أ 2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2؛ -1 2) بدون جذور 3) 0 4) -2؛ 1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 طريقة التقييم.

نظرية الجذر: إذا زادت الدالة f (x) (تنقص) في الفترة I ، فإن الرقم a هو أي قيمة مأخوذة بواسطة f في هذه الفترة الزمنية ، فإن المعادلة f (x) = a لها جذر واحد في الفترة I.

عند حل المعادلات بطريقة التقدير ، يتم استخدام هذه النظرية وخصائص الرتابة للوظيفة.

أمثلة. حل المعادلات: 1. 4 س = 5 - س.

حل. لنعد كتابة المعادلة بالصيغة 4x + x = 5.

1. إذا كانت x \ u003d 1 ، إذن 41 + 1 \ u003d 5 ، 5 \ u003d 5 صحيحة ، فإن 1 هو جذر المعادلة.

تتزايد الدالة f (x) = 4x على R و g (x) = x تتزايد على R => h (x) = f (x) + g (x) على R كمجموع وظائف متزايدة ، إذن ، x = 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة 4x = 5 - x. الجواب: 1.

2.

حل. نعيد كتابة المعادلة بالصورة .

1. إذا كانت x = -1 ، إذن ، 3 = 3-true ، لذا فإن x = -1 هو جذر المعادلة.

2. إثبات أنها فريدة من نوعها.

3. الدالة f (x) = - تنقص في R ، و g (x) = - x - تنقص في R => h (x) = f (x) + g (x) - تنقص في R ، كمجموع من الوظائف المتناقصة. إذن ، من خلال نظرية الجذر ، فإن x = -1 هو الجذر الوحيد للمعادلة. الجواب: -1.

بنك المهام رقم 2. حل المعادلة

أ) 4x + 1 = 6 - س ؛

ب)

ج) 2 س - 2 = 1 - س ؛

4. طريقة إدخال متغيرات جديدة.

تم وصف الطريقة في القسم 2.1. عادة ما يتم إدخال متغير جديد (استبدال) بعد عمليات التحويل (التبسيط) لشروط المعادلة. ضع في اعتبارك الأمثلة.

أمثلة. رأكل المعادلة: 1. .

دعنا نعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png "width =" 128 "height =" 48 src = "> ie..png" width = "210" height = "45">

حل. دعنا نعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف:

أشر إلى https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png "width =" 245 "height =" 57 "> - غير مناسب.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png "width =" 268 "height =" 51 "> معادلة غير منطقية. لاحظ أن

حل المعادلة هو x = 2.5 ≤ 4 ، لذا فإن 2.5 هو جذر المعادلة. الجواب: 2.5.

حل. دعونا نعيد كتابة المعادلة بالصورة ونقسم كلا الطرفين على 56x + 6 ≠ 0. نحصل على المعادلة

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2 (x2-3x-4) +1 ، لذا .. png "width =" 118 "height =" 56 ">

جذور المعادلة التربيعية - t1 = 1 و t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

حل . نعيد كتابة المعادلة بالصورة

ولاحظ أنها معادلة متجانسة من الدرجة الثانية.

قسّم المعادلة على 42x ، نحصل على

استبدل https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png "width =" 16 "height =" 41 src = ">.

الجواب: 0؛ 0.5

بنك المهام # 3. حل المعادلة

ب)

ز)

اختبار # 3 مع اختيار الإجابات. المستوى الأدنى.

أ 1	1) -0.2 ؛ 2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0.	1) 2 ؛ 1 2) -1 ؛ 0 3) بلا جذور 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) بلا جذور. 2) 2 ؛ 4 3) 3 4) -1 ؛ 2

اختبار رقم 4 مع اختيار الإجابات. مستوى عام.

أ 1	1) 2 ؛ 1 2) ½ ؛ 0 3) 2 ؛ 0 4) 0
А2 2x - (0.5) 2x - (0.5) x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0 ؛ 1 4) لا جذور

5. طريقة التحليل إلى عوامل.

1. حل المعادلة: ٥ س + ١ - ٥ س - ١ = ٢٤.

الحل..png "العرض =" 169 "الارتفاع =" 69 "> ، من أين

2. 6 س + 6 س + 1 = 2 س + 2 س + 1 + 2 س + 2.

حل. لنخرج 6x في الجانب الأيسر من المعادلة و 2 x في الجانب الأيمن. نحصل على المعادلة 6 س (1 + 6) = 2 س (1 + 2 + 4) ó 6 س = 2 س.

بما أن 2x> 0 لكل x ، يمكننا قسمة كلا طرفي هذه المعادلة على 2x دون الخوف من فقدان الحلول. نحصل على 3 س = 1 س = 0.

3.

حل. نحل المعادلة بالتحليل.

نختار مربع ذات الحدين

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png "width =" 500 "height =" 181 ">

x = -2 هو جذر المعادلة.

المعادلة x + 1 = 0 "style =" border-collapse: collapse؛ border: none ">

أ 1 5 س -1 + 5 س -5 س + 1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

أ 2 3 س + 1 + 3 س -1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x + 1-108 = 0.x = 1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x = 4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

اختبار رقم 6 مستوى عام.

A1 (22x-1) (24x + 22x + 1) = 7.	1) ½ 2) 2 3) -1 ؛ 3 4) 0.2
أ 2	1) 2.5 2) 3 ؛ 4 3) سجل 43/2 4) 0
A3 2x-1-3x = 3x-1-2x + 2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. الأسي - معادلات القوة.

ترتبط المعادلات الأسية بما يسمى معادلات القوة الأسية ، أي معادلات النموذج (f (x)) g (x) = (f (x)) h (x).

إذا كان معروفًا أن f (x)> 0 و f (x) ≠ 1 ، فإن المعادلة ، مثل المعادلة الأسية ، يتم حلها عن طريق معادلة الأس g (x) = f (x).

إذا كان الشرط لا يستبعد إمكانية f (x) = 0 و f (x) = 1 ، فعلينا النظر في هاتين الحالتين عند حل معادلة القوة الأسية.

1..png "width =" 182 "height =" 116 src = ">

2.

حل. x2 + 2x-8 - منطقي لأي x ، لأن كثيرة الحدود ، لذا فإن المعادلة تكافئ المجموعة

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png "width =" 137 "height =" 35 ">

ب)

7. المعادلات الأسية مع المعلمات.

1. ما هي قيم المعلمة p التي تحتوي عليها المعادلة 4 (5 - 3) 2 + 4p2–3p = 0 (1) القرار الوحيد?

حل. دعونا نقدم التغيير 2x = t ، t> 0 ، ثم المعادلة (1) ستأخذ الشكل t2 - (5p - 3) t + 4p2 - 3p = 0. (2)

مميز المعادلة (2) هو D = (5p - 3) 2-4 (4p2 - 3p) = 9 (p - 1) 2.

المعادلة (1) لها حل فريد إذا كانت المعادلة (2) لها جذر موجب واحد. هذا ممكن في الحالات التالية.

1. إذا كانت D = 0 ، أي ، p = 1 ، فإن المعادلة (2) ستأخذ الشكل t2 - 2t + 1 = 0 ، وبالتالي t = 1 ، وبالتالي ، فإن المعادلة (1) لها حل فريد x = 0.

2. إذا كان p1 ، ثم 9 (p - 1) 2> 0 ، فإن المعادلة (2) لها جذرين مختلفين t1 = p ، t2 = 4p - 3. مجموعة الأنظمة تفي بشرط المشكلة

لدينا استبدال t1 و t2 في الأنظمة

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png "alt =" (! LANG: no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

حل. يترك ثم المعادلة (3) ستأخذ الشكل t2 - 6t - a = 0. [4)

دعونا نجد قيم المعلمة a التي يلبي فيها جذر واحد على الأقل من المعادلة (4) الشرط t> 0.

دعونا نقدم الوظيفة f (t) = t2 - 6t - a. الحالات التالية ممكنة.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

الحالة 2. المعادلة (4) لها حل إيجابي فريد إذا

D = 0 ، إذا كانت a = - 9 ، فإن المعادلة (4) ستأخذ الشكل (t - 3) 2 = 0 ، t = 3 ، x = - 1.

الحالة الثالثة: للمعادلة (4) جذران ، لكن أحدهما لا يفي بالمتباينة t> 0. هذا ممكن إذا

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png "alt =" (! LANG: no35_17" width="267" height="63">!}

وهكذا ، في المعادلة (4) a 0 لها جذر موجب واحد . ثم المعادلة (3) لها حل فريد

ل< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

اذا كان< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
إذا كانت أ = - 9 ، إذن س = - 1 ؛

إذا كانت 0 ، إذن

دعونا نقارن طرق حل المعادلتين (1) و (3). لاحظ أنه عند حل المعادلة (1) تم اختزاله إلى معادلة تربيعية ، يكون المميز منها مربعًا كاملًا ؛ وهكذا ، تم حساب جذور المعادلة (2) على الفور من خلال صيغة جذور المعادلة التربيعية ، ثم تم استخلاص النتائج المتعلقة بهذه الجذور. تم اختزال المعادلة (3) إلى معادلة تربيعية (4) ، ومميزها ليس مربعًا كاملًا ، لذلك ، عند حل المعادلة (3) ، يُنصح باستخدام النظريات حول موقع جذور مربع ثلاثي الحدود و نموذج رسومي. لاحظ أنه يمكن حل المعادلة (4) باستخدام نظرية فييتا.

لنحل المعادلات الأكثر تعقيدًا.

المهمة 3. حل المعادلة

حل. ODZ: x1 ، x2.

دعنا نقدم بديل. لنفترض أن 2x = t ، t> 0 ، وكنتيجة للتحولات ، ستأخذ المعادلة الشكل t2 + 2t - 13 - a = 0. (*) دعونا نجد قيم a التي لها جذر واحد على الأقل من المعادلة (*) تفي بالشرط t> 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

الجواب: إذا كانت a> - 13 ، a 11 ، a 5 ، ثم إذا a - 13 ،

أ = 11 ، أ = 5 ، فلا توجد جذور.

فهرس.

1. أسس جوزيف لتكنولوجيا التعليم.

2. تقنية جوزيف: من الاستقبال إلى الفلسفة.

M. "Headmaster" No. 4، 1996

3. جوزيف و الأشكال التنظيميةتعلُّم.

4. جوزيف وممارسة تقنية تعليمية متكاملة.

M. "تعليم الناس" ، 2001

5. جوزيف من أشكال الدرس - ندوة.

الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1987 ، ص 9-11.

6. تقنيات التعليم Selevko.

M. "تعليم الناس" ، 1998

7. أطفال مدارس Episheva يتعلمون الرياضيات.

م. "التنوير" ، 1990

8. إيفانوف لإعداد الدروس - ورش العمل.

الرياضيات في المدرسة رقم 6 ، 1990 ، ص. 37-40.

9. نموذج سميرنوف لتعليم الرياضيات.

الرياضيات في المدرسة رقم 1 ، 1997 ، ص. 32-36.

10. Tarasenko طرق تنظيم العمل العملي.

الرياضيات في المدرسة رقم 1 ، 1993 ، ص. 27 - 28.

11. حول أحد أنواع العمل الفردي.

الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1994 ، ص 63 - 64.

12. خزانكين مهارات إبداعيةتلاميذ المدارس.

الرياضيات في المدرسة رقم 2 ، 1989 ، ص. 10.

13. سكانافي. الناشر ، 1997

14. وآخرون. الجبر وبدايات التحليل. المواد التعليمية ل

15. مهام Krivonogov في الرياضيات.

م "الأول من سبتمبر" 2002

16. تشيركاسوف. كتيب لطلاب المدارس الثانوية و

دخول الجامعات. - مدرسة الصحافة عام 2002

17. Zhevnyak للمتقدمين للجامعات.

مينسك و RF "مراجعة" ، 1996

18. كتابي د. التحضير لامتحان الرياضيات. إم رولف ، 1999

19. وغيرها تعلم حل المعادلات وعدم المساواة.

م. "مركز الفكر" 2003

20. وغيرها. المواد التعليمية والتدريبية للتحضير ل E G E.

م. "الفكر - المركز" ، 2003 و 2004

21 وغيرها. مركز الاختبارات التابع لوزارة الدفاع الروسية ، 2002 ، 2003

22. معادلات جولدبيرج. "كوانتوم" رقم 3 ، 1971

23. Volovich M. كيف تدرس الرياضيات بنجاح.

الرياضيات ، 1997 رقم 3.

24 أوكونيف للدرس يا أطفال! التنوير ، 1988

25. Yakimanskaya - التعليم الموجه في المدرسة.

26. Liimets العمل في الدرس. م. المعرفة ، 1975