مستوى اول

المعادلات الأسية. دليل شامل (2019)

مرحبًا! سنناقش معك اليوم كيفية حل المعادلات التي يمكن أن تكون أولية (وآمل أنه بعد قراءة هذه المقالة، ستكون جميعها تقريبًا كذلك بالنسبة لك)، وتلك التي يتم إعطاؤها عادةً "ردمًا". على ما يبدو، لتغفو تماما. لكنني سأحاول أن أبذل قصارى جهدي حتى لا تقع في مشكلة عند مواجهة هذا النوع من المعادلات. لن أتغلب على الأدغال بعد الآن، لكنني سأفتح على الفور أسرار صغيرة: اليوم سوف نعمل المعادلات الأسية.

قبل الشروع في تحليل طرق حلها، سأحدد لك على الفور دائرة من الأسئلة (صغيرة جدًا) التي يجب عليك تكرارها قبل التسرع في اقتحام هذا الموضوع. لذا، للحصول على أفضل النتائج، من فضلك يكرر:

1. خصائص و
2. الحل والمعادلات

معاد؟ مدهش! عندها لن يكون من الصعب عليك ملاحظة أن جذر المعادلة هو رقم. هل أنت متأكد من أنك تفهم كيف فعلت ذلك؟ هل هذا صحيح؟ ثم نواصل. والآن أجبني على السؤال، ما الذي يساوي القوة الثالثة؟ أنت محق تماما: . ثمانية ما هي قوة اثنين؟ هذا صحيح - الثالث! لأن. حسنًا، لنحاول الآن حل المشكلة التالية: دعني أضرب الرقم في نفسه مرة واحدة وأحصل على النتيجة. السؤال هو كم مرة تضاعفت في نفسها؟ يمكنك بالطبع التحقق من ذلك مباشرة:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( محاذاة)

ثم يمكنك أن تستنتج أنني تضاعفت مرات في حد ذاته. وإلا كيف يمكن التحقق من ذلك؟ وإليكم الطريقة: مباشرة من خلال تعريف الدرجة: . لكن، يجب أن تعترف، إذا سألتك عن عدد المرات التي يجب أن نضرب فيها اثنين في حد ذاته للحصول على ذلك، على سبيل المثال، ستقول لي: لن أخدع نفسي وأضاعف نفسي حتى يصبح وجهي أزرقًا. وسيكون على حق تماما. لأنه كيف يمكنك اكتب جميع الإجراءات لفترة وجيزة(والإيجاز أخت الموهبة)

أين - هذا هو ذاته "مرات"عندما تتضاعف في حد ذاته.

أعتقد أنك تعرف (وإذا كنت لا تعرف، على وجه السرعة، كرر الدرجات بشكل عاجل للغاية!) فسيتم كتابة مشكلتي في النموذج:

كيف يمكنك أن تستنتج بشكل معقول أن:

لذا، بهدوء، كتبت أبسطها المعادلة الأسية:

وحتى وجدت ذلك جذر. ألا تعتقد أن كل شيء تافه للغاية؟ وهذا بالضبط ما أعتقده أيضًا. إليك مثال آخر لك:

ولكن ماذا تفعل؟ ففي نهاية المطاف، لا يمكن كتابتها كدرجة لعدد (معقول). دعونا لا نيأس ونلاحظ أن هذين الرقمين يتم التعبير عنهما بشكل مثالي من حيث قوة نفس الرقم. ماذا؟ يمين: . ثم تتحول المعادلة الأصلية إلى الشكل:

من أين، كما فهمت بالفعل، . دعونا لا نسحب بعد الآن ونكتب تعريف:

وفي حالتنا معك: .

يتم حل هذه المعادلات عن طريق تقليلها إلى النموذج:

مع الحل اللاحق للمعادلة

لقد فعلنا ذلك في الواقع في المثال السابق: لقد حصلنا على ذلك. وحللنا معكم أبسط معادلة.

يبدو أنه لا يوجد شيء معقد، أليس كذلك؟ دعونا نتدرب على الأبسط أولاً. أمثلة:

نلاحظ مرة أخرى أنه يجب تمثيل الطرفين الأيمن والأيسر للمعادلة كقوة لرقم واحد. صحيح، لقد تم ذلك بالفعل على اليسار، ولكن على اليمين يوجد رقم. لكن، لا بأس، بعد كل شيء، وتتحول معادلتي بأعجوبة إلى هذا:

ماذا كان علي أن أفعل هنا؟ ما القاعدة؟ قاعدة القوة إلى القوةالذي يقرأ:

ماذا إذا:

قبل الإجابة على هذا السؤال، دعونا نملأ معكم الجدول التالي:

وليس من الصعب علينا أن نلاحظ أنه كلما قل قيمة أقلولكن مع ذلك فإن كل هذه القيم أكبر من الصفر. وسيكون الأمر كذلك دائمًا!!! نفس الخاصية تنطبق على أي قاعدة تحتوي على أي فهرس!! (لأي و). إذن ماذا يمكننا أن نستنتج بشأن المعادلة؟ وهنا واحد: هو ليس له جذور! حيث أن أي معادلة ليس لها جذور. الآن دعونا نتدرب و دعونا نحل بعض الأمثلة البسيطة:

دعونا تحقق:

1. لا شيء مطلوب منك هنا سوى معرفة خصائص القوى (والتي بالمناسبة طلبت منك تكرارها!) كقاعدة عامة، كل شيء يؤدي إلى القاعدة الأصغر: , . عندها ستكون المعادلة الأصلية معادلة لما يلي: كل ما أحتاجه هو استخدام خصائص القوى: عند ضرب الأعداد التي لها نفس الأساس تضاف الأسس، وعند القسمة تطرح.ثم سأحصل على: حسنًا، الآن بضمير مرتاح سأنتقل من المعادلة الأسية إلى المعادلة الخطية: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(محاذاة)

2. في المثال الثاني، عليك أن تكون أكثر حذرًا: المشكلة هي أنه على الجانب الأيسر، لن نتمكن من تمثيل نفس الرقم كقوة. في هذه الحالة يكون مفيدًا في بعض الأحيان تمثل الأرقام كمنتج للقوى ذات أسس مختلفة، ولكن نفس الأسس:

سيأخذ الجانب الأيسر من المعادلة الصيغة: ماذا قدم لنا هذا؟ وهذا ما: يمكن ضرب الأعداد ذات الأساسات المختلفة ولكن نفس الأس.في هذه الحالة يتم ضرب الأساسات لكن الأس لا يتغير:

بالتطبيق على حالتي، هذا سوف يعطي:

\بداية(محاذاة)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(محاذاة)

ليس سيئا، أليس كذلك؟

3. لا يعجبني عندما يكون لدي حدين في أحد طرفي المعادلة، ولا شيء في الجانب الآخر (في بعض الأحيان، بالطبع، يكون هذا مبررًا، لكن هذا ليس هو الحال الآن). انقل الحد السالب إلى اليمين:

الآن، كما في السابق، سأكتب كل شيء من خلال قوى الثلاثي:

أقوم بإضافة القوى الموجودة على اليسار وأحصل على معادلة مكافئة

يمكنك بسهولة العثور على جذره:

4. كما في المثال الثالث، المصطلح الذي به علامة ناقص - مكان على الجانب الأيمن!

على اليسار، كل شيء تقريبًا على ما يرام معي، باستثناء ماذا؟ نعم، "الدرجة الخاطئة" من الشيطان تزعجني. لكن يمكنني إصلاح ذلك بسهولة عن طريق الكتابة: . يوريكا - على اليسار، جميع القواعد مختلفة، لكن جميع الدرجات متشابهة! نحن نتكاثر بسرعة!

هنا مرة أخرى، كل شيء واضح: (إذا لم تفهم كيف حصلت على المساواة الأخيرة بطريقة سحرية، خذ استراحة لمدة دقيقة، خذ استراحة واقرأ خصائص الدرجة مرة أخرى بعناية شديدة. من قال أنه يمكنك تخطي درجة ذات أس سلبي؟ حسنًا ، أنا هنا تقريبًا مثل أي شخص آخر). الآن سأحصل على:

\بداية(محاذاة)
& ((2)^(4\يسار((x) -9 \يمين)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(محاذاة)

فيما يلي المهام التي يتعين عليك التدرب عليها، والتي سأقدم لها الإجابات فقط (ولكن في شكل "مختلط"). قم بحلها وتحقق منها وسنواصل بحثنا!

مستعد؟ الإجاباتمثل هذه:

1. أي رقم

حسنًا، حسنًا، كنت أمزح! فيما يلي الخطوط العريضة للحلول (بعضها مختصر جدًا!)

ألا تعتقد أنه ليس من قبيل الصدفة أن يكون أحد الكسرين على اليسار هو الآخر "المقلوب"؟ سيكون من الخطيئة عدم استخدام هذا:

تُستخدم هذه القاعدة كثيرًا عند حل المعادلات الأسية، تذكرها جيدًا!

فتصبح المعادلة الأصلية:

وبحل هذه المعادلة التربيعية ستحصل على الجذور التالية:

2. حل آخر: قسمة طرفي المعادلة على التعبير الموجود على اليسار (أو اليمين). سأقسم على ما هو على اليمين، فأحصل على:

اين لماذا؟!)

3. لا أريد حتى أن أكرر، لقد تم بالفعل "مضغ" كل شيء كثيرًا.

4. يعادل معادلة من الدرجة الثانيةالجذور

5. تحتاج إلى استخدام الصيغة الواردة في المهمة الأولى، ثم ستحصل على ما يلي:

لقد تحولت المعادلة إلى هوية تافهة، وهذا ينطبق على أي شخص. إذن الجواب هو أي عدد حقيقي.

حسنًا ، ها أنت ذا وتمارس اتخاذ القرار الكائنات الاوليه المعادلات الأسية. الآن أريد أن أقدم لك بعض الأمثلة الحياتية التي ستساعدك على فهم سبب الحاجة إليها من حيث المبدأ. وهنا سأقدم مثالين. أحدهما يستخدم يوميًا تمامًا، لكن الآخر ذو أهمية علمية أكثر من كونه عمليًا.

المثال 1 (التجاري)دع لديك روبل، لكنك تريد تحويله إلى روبل. يعرض عليك البنك أن تأخذ هذه الأموال منك بسعر فائدة سنوي مع رسملة شهرية للفائدة (الاستحقاق الشهري). السؤال هو، كم عدد الأشهر التي تحتاجها لفتح وديعة من أجل تحصيل المبلغ النهائي المطلوب؟ إنها مهمة عادية جدًا، أليس كذلك؟ ومع ذلك، فإن حلها يرتبط ببناء المعادلة الأسية المقابلة: دع - المبلغ الأولي، - المبلغ النهائي، - سعر الفائدة للفترة، - عدد الفترات. ثم:

في حالتنا (إذا كان المعدل سنويًا، فسيتم حسابه شهريًا). لماذا يتم تقسيمها إلى؟ إذا كنت لا تعرف إجابة هذا السؤال، فتذكر موضوع ""! ومن ثم نحصل على المعادلة التالية:

لا يمكن حل هذه المعادلة الأسية إلا باستخدام الآلة الحاسبة مظهريلمح إلى هذا، وهذا يتطلب معرفة اللوغاريتمات، والتي سنتعرف عليها بعد قليل)، وهو ما سأفعله: ... وهكذا، من أجل الحصول على مليون، سنحتاج إلى إيداع وديعة لمدة شهر ( ليس سريعًا جدًا، أليس كذلك؟).

المثال 2 (علمي إلى حد ما).وعلى الرغم من بعض "العزلة"، إلا أنصحك بالانتباه إليه: فهو بانتظام "يتسلل إلى الامتحان"!! (المهمة مأخوذة من النسخة "الحقيقية") أثناء اضمحلال النظير المشع، تنخفض كتلته وفقًا للقانون، حيث (ملجم) هي الكتلة الأولية للنظير، (دقيقة) هو الوقت المنقضي من اللحظة الأولية (دقيقة) هي نصف العمر. في اللحظة الأولى من الزمن، كتلة النظير هي ملغ. عمر النصف هو دقيقة. في كم دقيقة ستكون كتلة النظير مساوية لـ mg؟ لا بأس: نحن فقط نأخذ ونستبدل جميع البيانات في الصيغة المقترحة لنا:

دعونا نقسم كلا الجزأين على "على أمل" أن نحصل على شيء سهل الهضم على اليسار:

حسنا، نحن محظوظون جدا! إنها تقف على اليسار، فلننتقل إلى المعادلة المكافئة:

حيث دقيقة.

كما ترون، المعادلات الأسية لها تطبيق حقيقي للغاية في الممارسة العملية. الآن أريد أن أناقش معك طريقة أخرى (بسيطة) لحل المعادلات الأسية، وهي تعتمد على إخراج العامل المشترك من الأقواس ثم تجميع الحدود. لا تخف من كلامي، لقد واجهت هذه الطريقة بالفعل في الصف السابع عندما درست كثيرات الحدود. على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى تحليل التعبير:

دعونا نجمع: الفصلين الأول والثالث، وكذلك الثاني والرابع. ومن الواضح أن الأول والثالث هما فرق المربعين:

والثاني والرابع لديهم عامل مشتركالمراكز الثلاثة:

ثم التعبير الأصلي يعادل هذا:

لم يعد من الصعب إخراج العامل المشترك:

لذلك،

هذه هي الطريقة التي سنتصرف بها تقريبًا عند حل المعادلات الأسية: ابحث عن "القواسم المشتركة" بين المصطلحات وأخرجها من الأقواس، وبعد ذلك - مهما حدث، أعتقد أننا سنكون محظوظين =)) على سبيل المثال:

على اليمين بعيد عن قوة سبعة (راجعت!) وعلى اليسار - أفضل قليلاً، يمكنك بالطبع "قطع" العامل a من الحد الأول ومن الحد الثاني، ثم التعامل مع ما حصلت عليه، ولكن دعونا نفعل أكثر حكمة معك. لا أريد أن أتعامل مع الكسور التي ينتجها "الاختيار" حتماً، لذا ألا ينبغي أن أكون أفضل حالاً في التحمل؟ عندها لن يكون لدي كسور: كما يقولون، الذئاب ممتلئة والخراف آمنة:

عد التعبير بين قوسين. بطريقة سحرية، بطريقة سحرية، اتضح أن (بشكل مدهش، على الرغم من ماذا يمكن أن نتوقع؟).

ثم نختصر طرفي المعادلة بهذا العامل. نحصل على: أين.

فيما يلي مثال أكثر تعقيدًا (قليلاً جدًا حقًا):

ها هي المشكلة! ليس لدينا واحدة هنا ارضية مشتركة! ليس من الواضح تمامًا ما يجب فعله الآن. ولنفعل ما في وسعنا: أولاً، سنحرك "الأربع" في اتجاه واحد، و"الخمسات" في الاتجاه الآخر:

الآن دعونا نخرج "المشترك" على اليسار واليمين:

فماذا الآن؟ ما فائدة مثل هذا التجمع الغبي؟ للوهلة الأولى، لا يبدو الأمر مرئيًا على الإطلاق، لكن دعونا ننظر بشكل أعمق:

حسنًا، الآن لنجعل الأمر بحيث يكون لدينا على اليسار فقط التعبير c، وعلى اليمين - كل شيء آخر. كيف يمكننا أن نفعل ذلك؟ وإليك الطريقة: قسّم طرفي المعادلة أولاً على (حتى نتخلص من الأس الذي على اليمين)، ثم نقسم الطرفين على (حتى نتخلص من العامل العددي على اليسار). وأخيرا نحصل على:

رائع! على اليسار لدينا تعبير، وعلى اليمين - فقط. ثم نستنتج ذلك على الفور

إليك مثال آخر لتعزيز:

سأقدم حله الموجز (لا أزعج نفسي بالشرح)، حاول أن تكتشف كل "التفاصيل الدقيقة" للحل بنفسك.

الآن الدمج النهائي للمواد المغطاة. حاول حل المشكلات التالية بنفسك. سأقدم فقط توصيات ونصائح مختصرة لحلها:

1. لنخرج العامل المشترك من الأقواس:
2. نحن نمثل التعبير الأول في النموذج: نقسم كلا الجزأين ونحصل على ذلك
3. ، ثم يتم تحويل المعادلة الأصلية إلى النموذج: حسنًا، الآن تلميح - ابحث عن المكان الذي قمنا فيه أنا وأنت بحل هذه المعادلة بالفعل!
4. تخيل كيف، كيف، حسنًا، ثم قسمة كلا الجزأين، حتى تحصل على أبسط معادلة أسية.
5. أخرجه من بين قوسين.
6. أخرجه من بين قوسين.

المعادلات العرضية. مستوى متوسط

أفترض أنه بعد قراءة المقال الأول الذي قال ما هي المعادلات الأسية وكيفية حلهالقد أتقنت الحد الأدنى من المعرفة اللازمة لحل أبسط الأمثلة.

الآن سأقوم بتحليل طريقة أخرى لحل المعادلات الأسية، وهي

"طريقة إدخال متغير جديد" (أو الاستبدال).يقوم بحل معظم المسائل "الصعبة"، فيما يتعلق بموضوع المعادلات الأسية (وليس المعادلات فقط). هذه الطريقة هي واحدة من الأكثر استخداما في الممارسة العملية. في البداية أنصحك بالتعرف على الموضوع.

كما فهمت بالفعل من الاسم، فإن جوهر هذه الطريقة هو إدخال مثل هذا التغيير في المتغير بحيث تتحول معادلتك الأسية بأعجوبة إلى معادلة يمكنك حلها بسهولة بالفعل. كل ما تبقى لك بعد حل هذه "المعادلة المبسطة" هو إجراء "استبدال عكسي": أي العودة من المستبدل إلى المستبدل. دعونا نوضح ما قلناه للتو بمثال بسيط للغاية:

مثال 1:

يتم حل هذه المعادلة عن طريق "التعويض البسيط"، كما يسميها علماء الرياضيات باستخفاف. والواقع أن الاستبدال هنا هو الأكثر وضوحا. انها تحتاج فقط إلى أن نرى ذلك

فتصبح المعادلة الأصلية:

إذا تخيلنا أيضًا كيف، فمن الواضح تمامًا ما الذي يجب استبداله: بالطبع، . ماذا تصبح المعادلة الأصلية إذن؟ وهذا ما:

يمكنك بسهولة العثور على جذورها بنفسك:. ماذا يجب أن نفعل الآن؟ حان الوقت للعودة إلى المتغير الأصلي. ماذا نسيت أن أدرج؟ وهي: عند استبدال درجة معينة بمتغير جديد (أي عند استبدال نوع ما)، سأكون مهتمًا بذلك الجذور الإيجابية فقط!يمكنك الإجابة بسهولة عن السبب. وبالتالي، نحن لسنا مهتمين بك، ولكن الجذر الثاني مناسب لنا تمامًا:

ثم أين.

إجابة:

كما ترون، في المثال السابق، طلب البديل أيدينا للتو. لسوء الحظ، هذا ليس هو الحال دائما. ومع ذلك، دعونا لا ننتقل مباشرة إلى الأمر المحزن، ولكننا نتدرب على مثال آخر مع استبدال بسيط إلى حد ما

مثال 2

من الواضح أنه على الأرجح سيكون من الضروري الاستبدال (وهذا هو أصغر القوى المتضمنة في معادلتنا)، ولكن قبل إدخال الاستبدال، يجب أن تكون معادلتنا "مجهزة" له، وهي: , . ثم يمكنك الاستبدال، ونتيجة لذلك سأحصل على التعبير التالي:

يا للرعب: معادلة تكعيبية بها صيغ فظيعة للغاية لحلها (حسنًا، التحدث في منظر عام). لكن دعونا لا نيأس على الفور، بل نفكر فيما يجب أن نفعله. سأقترح الغش: نحن نعلم أنه من أجل الحصول على إجابة "جميلة"، نحتاج إلى الحصول على بعض القوة الثلاثة (لماذا هذا، هاه؟). ودعنا نحاول تخمين جذر واحد على الأقل للمعادلة (سأبدأ بالتخمين من قوى الثلاثة).

التخمين الأول. ليس الجذر. آه وآه ...

.
الجانب الأيسر متساوي.
الجزء الأيمن : !
يأكل! خمنت الجذر الأول. الآن سوف تصبح الأمور أسهل!

هل تعلم عن مخطط التقسيم "الزاوية"؟ بالطبع، كما تعلمون، يمكنك استخدامه عند قسمة رقم على آخر. لكن قلة من الناس يعرفون أنه يمكن فعل الشيء نفسه مع كثيرات الحدود. هناك نظرية واحدة رائعة:

ينطبق على حالتي فهو يخبرني ما هو قابل للقسمة دون باقي. كيف يتم تنفيذ التقسيم؟ هكذا:

ألقي نظرة على أي وحدة حدود يجب أن أضربها للحصول على مسح، ثم:

أطرح التعبير الناتج من، وأحصل على:

الآن، ما الذي أحتاج إلى مضاعفته للحصول عليه؟ من الواضح أنه في ذلك الحين سأحصل على:

ومرة أخرى اطرح التعبير الناتج من التعبير المتبقي:

حسنًا، الخطوة الأخيرة، أقوم بالضرب في التعبير المتبقي والطرح منه:

يا سلام انتهى القسم ماذا تراكمت لدينا في القطاع الخاص؟ بنفسها: .

ثم حصلنا على التوسعة التالية لكثيرة الحدود الأصلية:

دعونا نحل المعادلة الثانية:

لها جذور:

ثم المعادلة الأصلية:

له ثلاثة جذور:

نحن بالطبع نتجاهل الجذر الأخير، لأنه أقل من الصفر. وأول اثنين بعد الاستبدال العكسي سيعطينا جذرين:

إجابة: ..

من خلال هذا المثال، لم أرغب على الإطلاق في تخويفك، بل حددت لنفسي هدف إظهار أنه على الرغم من أنه كان لدينا بديل بسيط إلى حد ما، إلا أنه أدى إلى معادلة معقدة إلى حد ما، يتطلب حلها بعض المهارات الخاصة نحن. حسنا، لا أحد في مأمن من هذا. لكن التغيير في هذه الحالة كان واضحا جدا.

فيما يلي مثال مع استبدال أقل وضوحًا قليلاً:

ليس من الواضح على الإطلاق ما يجب أن نفعله: المشكلة هي أنه في معادلتنا هناك قاعدتان مختلفتان ولا يمكن الحصول على قاعدة واحدة من الأخرى عن طريق رفعها إلى أي درجة (معقولة، بشكل طبيعي). ومع ذلك، ماذا نرى؟ تختلف القاعدتان في الإشارة فقط، وحاصل ضربهما هو فرق المربعات يساوي واحدًا:

تعريف:

ومن ثم، فإن الأعداد التي تمثل أسسًا في مثالنا هي أعداد مترافقة.

في هذه الحالة، ستكون الخطوة الذكية اضرب طرفي المعادلة بالرقم المرافق.

على سبيل المثال، سيصبح الطرف الأيسر من المعادلة متساويًا والجانب الأيمن. إذا قمنا بالاستبدال فإن معادلتنا الأصلية معك ستصبح هكذا:

جذورها إذن، ولكن تذكر ذلك، ففهمنا ذلك.

إجابة: ، .

كقاعدة عامة، طريقة الاستبدال كافية لحل معظم المعادلات الأسية "المدرسة". المهام التالية مأخوذة من USE C1 ( مستوى مرتفعالصعوبات). أنت بالفعل متعلم بما يكفي لحل هذه الأمثلة بنفسك. سأعطي فقط البديل المطلوب.

1. حل المعادلة:
2. أوجد جذور المعادلة:
3. حل المعادلة: . أوجد جميع جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى القطعة:

والآن لنتعرف على بعض التوضيحات والإجابات السريعة:

1. وهنا يكفي أن نشير إلى أن و. إذن ستكون المعادلة الأصلية معادلة لهذه المعادلة: يتم حل هذه المعادلة عن طريق الاستبدال قم بإجراء الحسابات التالية بنفسك. في النهاية، ستقتصر مهمتك على حل أبسط المسائل المثلثية (اعتمادًا على جيب التمام أو جيب التمام). وسنناقش حل هذه الأمثلة في أقسام أخرى.
2. هنا يمكنك الاستغناء عن الاستبدال: ما عليك سوى تحريك المطروح إلى اليمين وتمثيل كلا القاعدتين من خلال قوى العدد اثنين: ثم انتقل فورًا إلى المعادلة التربيعية.
3. يتم حل المعادلة الثالثة أيضًا بطريقة قياسية إلى حد ما: تخيل كيف. ثم بالتعويض نحصل على معادلة تربيعية: إذن،

   هل تعرف بالفعل ما هو اللوغاريتم؟ لا؟ ثم قراءة الموضوع على وجه السرعة!

   من الواضح أن الجذر الأول لا ينتمي إلى المقطع والثاني غير مفهوم! لكننا سنكتشف ذلك قريبًا جدًا! منذ ذلك الحين (هذه خاصية اللوغاريتم!) دعونا نقارن:

   نطرح من الجزأين فنحصل على:

   يمكن تمثيل الجانب الأيسر على النحو التالي:

   اضرب كلا الطرفين بـ:

   يمكن أن تتضاعف، ثم

   ثم دعونا نقارن:

   منذ ذلك الحين:

   ثم ينتمي الجذر الثاني إلى الفاصل الزمني المطلوب

   إجابة:

كما ترى، يتطلب اختيار جذور المعادلات الأسية معرفة عميقة إلى حد ما بخصائص اللوغاريتماتلذا أنصحك بالحذر قدر الإمكان عند حل المعادلات الأسية. كما تعلمون، في الرياضيات كل شيء مترابط! وكما اعتاد مدرس الرياضيات أن يقول: "لا يمكنك قراءة الرياضيات مثل التاريخ بين عشية وضحاها".

وكقاعدة عامة، كل شيء الصعوبة في حل المشكلات C1 هي على وجه التحديد اختيار جذور المعادلة.دعونا نتدرب مع مثال آخر:

ومن الواضح أن المعادلة نفسها قد تم حلها بكل بساطة. بعد إجراء التعويض، نقوم بتبسيط المعادلة الأصلية إلى ما يلي:

دعونا ننظر إلى الجذر الأول أولا. قارن و: منذ ذلك الحين. (ملكية وظيفة لوغاريتمية، في). ومن الواضح إذن أن الجذر الأول لا ينتمي إلى الفترة التي لدينا أيضًا. والآن الجذر الثاني: . ومن الواضح أن (بما أن الدالة تتزايد). يبقى للمقارنة و

منذ ذلك الحين في نفس الوقت. وهكذا، يمكنني "ربط" بين و. هذا الوتد هو رقم. التعبير الأول أصغر من والثاني أكبر من. إذن التعبير الثاني أكبر من الأول والجذر ينتمي إلى الفترة.

إجابة: .

في الختام، دعونا نلقي نظرة على مثال آخر لمعادلة حيث يكون الاستبدال غير قياسي إلى حد ما:

لنبدأ على الفور بما يمكنك فعله، وما - من حيث المبدأ، يمكنك ذلك، ولكن من الأفضل عدم القيام بذلك. من الممكن - تمثيل كل شيء من خلال قوى الثلاثة والثانية والستة. إلى أين يؤدي؟ نعم، ولن يؤدي إلى أي شيء: خليط من الدرجات، وبعضها سيكون من الصعب للغاية التخلص منه. ما هو المطلوب إذن؟ دعونا نلاحظ أن وماذا سيعطينا؟ والحقيقة أننا نستطيع اختصار حل هذا المثال إلى حل معادلة أسية بسيطة إلى حد ما! أولا، دعونا نعيد كتابة معادلتنا على النحو التالي:

الآن نقسم طرفي المعادلة الناتجة إلى:

يوريكا! الآن يمكننا الاستبدال فنحصل على:

حسنًا، الآن حان دورك لحل المشكلات للتوضيح، وسأقدم لهم تعليقات مختصرة فقط حتى لا تضلوا! حظ سعيد!

1. الأصعب! رؤية بديل هنا أمر قبيح! ومع ذلك، يمكن حل هذا المثال بالكامل باستخدام اختيار مربع كامل. لحلها يكفي ملاحظة ما يلي:

إذن هذا هو البديل الخاص بك:

(لاحظ أنه هنا، مع الاستبدال، لا يمكننا تجاهل الجذر السالب!!! ولماذا، ما رأيك؟)

الآن، لحل المثال، عليك حل معادلتين:

تم حل كلاهما عن طريق "الاستبدال القياسي" (ولكن الثاني في مثال واحد!)

2. لاحظ ذلك وقم بالاستبدال.

3. قم بتوسيع الرقم إلى عوامل أولية وتبسيط التعبير الناتج.

4. اقسم بسط ومقام الكسر على (أو إذا كنت تفضل ذلك) وقم بالتعويض أو.

5. لاحظ أن الأرقام و مترافقة.

المعادلات العرضية. مستوى متقدم

وبالإضافة إلى ذلك، دعونا ننظر إلى طريقة أخرى - حل المعادلات الأسية بطريقة اللوغاريتم. لا أستطيع أن أقول إن حل المعادلات الأسية بهذه الطريقة يحظى بشعبية كبيرة، لكنها في بعض الحالات فقط يمكن أن تقودنا إلى الحل الصحيح لمعادلتنا. وخاصة في كثير من الأحيان يتم استخدامه لحل ما يسمى " المعادلات المختلطة': أي تلك التي توجد بها وظائف من أنواع مختلفة.

على سبيل المثال معادلة مثل:

وفي الحالة العامة لا يمكن حلها إلا بأخذ لوغاريتم الجزأين (على سبيل المثال، على أساس)، حيث تتحول المعادلة الأصلية إلى ما يلي:

لنتأمل المثال التالي:

من الواضح أننا مهتمون فقط بـ ODZ للدالة اللوغاريتمية. ومع ذلك، فإن هذا لا يتبع فقط ODZ للوغاريتم، ولكن لسبب آخر. أعتقد أنه لن يكون من الصعب عليك تخمين أي منها.

لنأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة إلى الأساس:

كما ترون، أخذنا لوغاريتم المعادلة الأصلية بسرعة إلى الإجابة الصحيحة (والجميلة!). دعونا نتدرب مع مثال آخر:

هنا أيضًا لا يوجد ما يدعو للقلق: نأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة بدلالة الأساس، ثم نحصل على:

دعونا نجعل بديلا:

ومع ذلك فاتنا شيئا! هل لاحظتم أين أخطأت؟ وبعد كل شيء إذن:

الذي لا يفي بالمتطلبات (فكر من أين جاء!)

إجابة:

حاول كتابة حل المعادلات الأسية أدناه:

الآن تحقق من الحل الخاص بك مع هذا:

1. لوغاريتم كلا الجزأين للأساس، مع العلم أن:

(الجذر الثاني لا يناسبنا بسبب الاستبدال)

2. لوغاريتم القاعدة:

دعنا نحول التعبير الناتج إلى النموذج التالي:

المعادلات العرضية. وصف موجز وصيغة أساسية

المعادلة الأسية

اكتب المعادلة:

مُسَمًّى أبسط المعادلة الأسية.

خصائص الدرجة

نهج الحل

• التخفيض إلى نفس القاعدة
• التخفيض إلى نفس الأس
• استبدال متغير
• بسّط التعبير، ثم طبّق واحداً مما سبق.

هذا الدرس مخصص لأولئك الذين بدأوا للتو في تعلم المعادلات الأسية. كما هو الحال دائمًا، لنبدأ بالتعريف والأمثلة البسيطة.

إذا كنت تقرأ هذا الدرس، فأظن أن لديك بالفعل الحد الأدنى من الفهم لأبسط المعادلات - الخطية والمربعة: $56x-11=0$؛ $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ وما إلى ذلك. من الضروري للغاية أن تكون قادرًا على حل مثل هذه الإنشاءات حتى لا "تعلق" في الموضوع الذي سيتم مناقشته الآن.

لذلك، المعادلات الأسية. اسمحوا لي أن أقدم لكم بضعة أمثلة:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

قد يبدو بعضها أكثر تعقيدًا بالنسبة لك، والبعض الآخر، على العكس من ذلك، بسيط جدًا. لكن جميعها متحدة بميزة واحدة مهمة: أنها تحتوي على دالة أسية $f\left(x \right)=((a)^(x))$. ومن هنا نقدم التعريف:

المعادلة الأسية هي أي معادلة تحتوي على دالة أسية، على سبيل المثال. تعبير بالصيغة $((a)^(x))$. بالإضافة إلى الوظيفة المحددة، يمكن أن تحتوي هذه المعادلات على أي تركيبات جبرية أخرى - متعددو الحدود، والجذور، وعلم المثلثات، واللوغاريتمات، وما إلى ذلك.

حسنا إذا. فهمت التعريف. والسؤال الآن هو: كيف نحل كل هذه الهراء؟ الجواب بسيط ومعقد في نفس الوقت.

لنبدأ بالأخبار الجيدة: من تجربتي مع العديد من الطلاب، أستطيع أن أقول إن المعادلات الأسية بالنسبة لمعظمهم أسهل بكثير من نفس اللوغاريتمات، وحتى أكثر من علم المثلثات.

ولكن هناك أيضًا أخبار سيئة: في بعض الأحيان، يتم زيارة "الإلهام" لمجمعي المشكلات لجميع أنواع الكتب المدرسية والامتحانات، ويبدأ دماغهم الملتهب بالمخدرات في إنتاج مثل هذه المعادلات الوحشية التي يصبح حلها مشكلة ليس فقط للطلاب - حتى أن العديد من المعلمين يتعثرون في مثل هذه المشكلات.

ومع ذلك، دعونا لا نتحدث عن الأشياء المحزنة. ودعونا نعود إلى تلك المعادلات الثلاث التي تم تقديمها في بداية القصة. دعونا نحاول حل كل واحد منهم.

المعادلة الأولى: $((2)^(x))=4$. حسنًا، إلى أي قوة يجب رفع الرقم 2 للحصول على الرقم 4؟ ربما الثاني؟ بعد كل شيء، $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — وقد حصلنا على المساواة العددية الصحيحة، أي. في الواقع $x=2$. حسنًا، شكرًا يا كاب، لكن هذه المعادلة كانت بسيطة جدًا حتى أن قطتي استطاعت حلها. :)

لننظر إلى المعادلة التالية:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

لكن الأمر هنا أصعب قليلاً. يعرف العديد من الطلاب أن $((5)^(2))=25$ هو جدول الضرب. يشك البعض أيضًا في أن $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ هو في الأساس تعريف الأسس السالبة (مشابه للصيغة $((a)^(-n))= \ فارك (1) (((أ)^(ن))))$).

وأخيرًا، هناك عدد قليل فقط من الأشخاص الذين يخمنون أنه يمكن دمج هذه الحقائق ويكون الناتج هو النتيجة التالية:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

وبالتالي، سيتم إعادة كتابة معادلتنا الأصلية على النحو التالي:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

والآن تم حل هذا الأمر بالكامل! على الجانب الأيسر من المعادلة توجد دالة أسية، على الجانب الأيمن من المعادلة توجد دالة أسية، لا يوجد سواهما في أي مكان آخر. لذلك، من الممكن "التخلص" من الأسس ومساواة المؤشرات بغباء:

حصلت على أبسط معادلة خط مستقيموالتي يمكن لأي طالب حلها في سطرين فقط. طيب في أربعة أسطر:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

إذا لم تفهم ما حدث في الأسطر الأربعة الأخيرة، فاحرص على العودة إلى موضوع "المعادلات الخطية" وتكراره. لأنه بدون استيعاب واضح لهذا الموضوع، من السابق لأوانه التعامل مع المعادلات الأسية.

\[((9)^(x))=-3\]

حسنا، كيف تقرر؟ الفكرة الأولى: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$، لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

ثم نذكر أنه عند رفع الدرجة إلى قوة تتضاعف المؤشرات:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

ولهذا القرار نحصل على الشيطان المستحق بصدق. لأننا، برباطة جأش البوكيمون، أرسلنا علامة الطرح أمام الثلاثة إلى قوة هذا الثلاثة بالذات. ولا يمكنك فعل ذلك. وهذا هو السبب. ألقِ نظرة على القوى المختلفة للثلاثي:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

عند تجميع هذا الجهاز اللوحي، لم أتحريف بمجرد أن فعلت ذلك: لقد فكرت في الدرجات الإيجابية والسلبية وحتى الكسرية ... حسنًا، أين يوجد رقم سالب واحد على الأقل هنا؟ انه ليس! ولا يمكن أن يكون الأمر كذلك، لأن الدالة الأسية $y=((a)^(x))$، أولاً، تأخذ دائمًا قيمًا موجبة فقط (بغض النظر عن مقدار الضرب بواحد أو القسمة على اثنين، فستظل قيمة رقم موجب)، وثانيًا، أساس هذه الدالة، الرقم $a$، هو بحكم التعريف رقم موجب!

حسنًا، كيف يمكن حل المعادلة $((9)^(x))=-3$؟ لا، ليس هناك جذور. وبهذا المعنى، فإن المعادلات الأسية تشبه إلى حد كبير المعادلات التربيعية - وقد لا يكون لها جذور أيضًا. ولكن إذا تم تحديد عدد الجذور في المعادلات التربيعية بواسطة المميز (المميز موجب - جذران، سالب - لا يوجد جذور)، ثم في المعادلات الأسية، يعتمد الأمر كله على ما هو على يمين علامة المساواة.

وبالتالي، فإننا نقوم بصياغة الاستنتاج الرئيسي: أبسط معادلة أسية من الشكل $((a)^(x))=b$ لها جذر إذا وفقط إذا كان $b>0$. بمعرفة هذه الحقيقة البسيطة، يمكنك بسهولة تحديد ما إذا كانت المعادلة المقترحة لك لها جذور أم لا. أولئك. هل يستحق حلها على الإطلاق أو الكتابة على الفور أنه لا توجد جذور.

ستساعدنا هذه المعرفة أكثر من مرة عندما يتعين علينا اتخاذ قرار أكثر المهام الصعبة. في غضون ذلك، ما يكفي من الكلمات - حان الوقت لدراسة الخوارزمية الأساسية لحل المعادلات الأسية.

كيفية حل المعادلات الأسية

لذلك، دعونا صياغة المشكلة. من الضروري حل المعادلة الأسية:

\[((أ)^(x))=ب,\رباعي أ,ب>0\]

وفقًا للخوارزمية "الساذجة" التي استخدمناها سابقًا، من الضروري تمثيل الرقم $b$ كقوة للرقم $a$:

بالإضافة إلى ذلك، إذا كان هناك أي تعبير بدلاً من المتغير $x$، فسنحصل على معادلة جديدة يمكن حلها بالفعل. على سبيل المثال:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\النهاية(محاذاة)\]

والغريب أن هذا المخطط يعمل في حوالي 90٪ من الحالات. ماذا عن الـ 10% الأخرى إذن؟ أما الـ 10٪ المتبقية فهي عبارة عن معادلات أسية "انفصامية" قليلاً من النموذج:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

إلى أي قوة تحتاج إلى رفع 2 للحصول على 3؟ في الاول؟ لكن لا: $((2)^(1))=2$ ليس كافيًا. في الثانية؟ ولا أيضًا: $((2)^(2))=4$ كثير جدًا. ماذا بعد؟

ربما خمن الطلاب المطلعون بالفعل: في مثل هذه الحالات، عندما يكون من المستحيل حل "بشكل جميل"، فإن "المدفعية الثقيلة" مرتبطة بالحالة - اللوغاريتمات. اسمحوا لي أن أذكرك أنه باستخدام اللوغاريتمات، يمكن تمثيل أي رقم موجب كقوة لأي رقم موجب آخر (باستثناء رقم واحد):

تذكر هذه الصيغة؟ عندما أخبر طلابي عن اللوغاريتمات، فإنني أحذركم دائمًا: هذه الصيغة (وهي أيضًا الهوية اللوغاريتمية الأساسية أو، إذا أردت، تعريف اللوغاريتم) سوف تطاردك لفترة طويلة جدًا و"تظهر" في أغلب الأحيان. أماكن غير متوقعة. حسنًا، لقد ظهرت على السطح. دعونا نلقي نظرة على معادلتنا وهذه الصيغة:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

إذا افترضنا أن $a=3$ هو الرقم الأصلي الموجود على اليمين، وأن $b=2$ هو أساس الدالة الأسية التي نريد تصغير الجانب الأيمن إليها، فسنحصل على ما يلي:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\سجل )_(2))3. \\\النهاية(محاذاة)\]

لقد حصلنا على إجابة غريبة بعض الشيء: $x=((\log )_(2))3$. في بعض المهام الأخرى، مع مثل هذه الإجابة، سيشك الكثيرون ويبدأون في التحقق مرة أخرى من حلهم: ماذا لو كان هناك خطأ في مكان ما؟ أسارع إلى إرضائك: لا يوجد خطأ هنا، واللوغاريتمات في جذور المعادلات الأسية هي حالة نموذجية تمامًا. حتى تعتاد على ذلك. :)

الآن نحل عن طريق القياس المعادلتين المتبقيتين:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا كل شئ! بالمناسبة، يمكن كتابة الإجابة الأخيرة بشكل مختلف:

لقد كنا نحن من أدخل المضاعف في حجة اللوغاريتم. لكن لا أحد يمنعنا من إضافة هذا العامل إلى القاعدة:

في هذه الحالة، جميع الخيارات الثلاثة صحيحة - إنها مجرد أشكال مختلفةسجلات بنفس الرقم. أي واحد تختاره وتكتبه في هذا القرار متروك لك.

وهكذا، تعلمنا حل أي معادلات أسية على الصورة $((a)^(x))=b$، حيث يكون الرقمان $a$ و$b$ موجبين تمامًا. ومع ذلك، فإن الواقع القاسي لعالمنا هو أن مثل هذه المهام البسيطة ستقابلك نادرًا جدًا. في كثير من الأحيان سوف تصادف شيئًا مثل هذا:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\النهاية(محاذاة)\]

حسنا، كيف تقرر؟ هل يمكن حل هذا على الإطلاق؟ وإذا كان الأمر كذلك، كيف؟

لا تصابوا بالذعر. كل هذه المعادلات يمكن اختزالها بسرعة وسهولة صيغ بسيطةالتي نظرنا فيها بالفعل. كل ما عليك فعله هو معرفة كيفية تذكر بعض الحيل من دورة الجبر. وبالطبع، لا توجد قواعد للعمل بالدرجات العلمية هنا. سأتحدث عن كل هذا الآن. :)

تحويل المعادلات الأسية

أول شيء يجب أن نتذكره هو أن أي معادلة أسية، بغض النظر عن مدى تعقيدها، يجب أن يتم اختزالها بطريقة أو بأخرى إلى أبسط المعادلات - تلك التي درسناها بالفعل والتي نعرف كيفية حلها. بمعنى آخر، يبدو مخطط حل أي معادلة أسية كما يلي:

1. اكتب المعادلة الأصلية. على سبيل المثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. القيام ببعض القرف غبي. أو حتى بعض الهراء الذي يسمى "تحويل المعادلة"؛
3. في المخرجات، احصل على أبسط التعبيرات مثل $((4)^(x))=4$ أو شيء آخر من هذا القبيل. علاوة على ذلك، يمكن لمعادلة أولية واحدة أن تعطي عدة تعبيرات من هذا القبيل في وقت واحد.

بالنسبة للنقطة الأولى، كل شيء واضح - حتى قطتي يمكنها كتابة المعادلة على ورقة. يبدو أيضًا أن النقطة الثالثة واضحة إلى حد ما - لقد قمنا بالفعل بحل مجموعة كاملة من هذه المعادلات أعلاه.

لكن ماذا عن النقطة الثانية؟ ما هي التحولات؟ ما للتحويل إلى ماذا؟ وكيف؟

حسنا، دعونا معرفة ذلك. بادئ ذي بدء، أود أن أشير إلى ما يلي. تنقسم جميع المعادلات الأسية إلى نوعين:

1. تتكون المعادلة من دوال أسية لها نفس الأساس. مثال: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. تحتوي الصيغة على دوال أسية ذات أسس مختلفة. أمثلة: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ و$((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

لنبدأ بمعادلات من النوع الأول - فهي الأسهل في الحل. وفي حلها سوف تساعدنا تقنية مثل اختيار التعبيرات المستقرة.

تسليط الضوء على تعبير مستقر

لننظر إلى هذه المعادلة مرة أخرى:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

ماذا نرى؟ والأربعة مرفوعة بدرجات مختلفة. لكن كل هذه القوى عبارة عن مجاميع بسيطة للمتغير $x$ مع أرقام أخرى. لذلك، من الضروري أن نتذكر قواعد العمل بالدرجات:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(ص)). \\\النهاية(محاذاة)\]

ببساطة، يمكن تحويل جمع الأسس إلى حاصل ضرب القوى، كما يمكن تحويل الطرح بسهولة إلى قسمة. دعونا نحاول تطبيق هذه الصيغ على القوى من معادلتنا:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (خ))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\النهاية(محاذاة)\]

نعيد كتابة المعادلة الأصلية مع أخذ هذه الحقيقة في الاعتبار، ثم نجمع كل الحدود الموجودة على اليسار:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -أحد عشر؛ \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\النهاية(محاذاة)\]

تحتوي الحدود الأربعة الأولى على العنصر $((4)^(x))$ — فلنخرجه من القوس:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\النهاية(محاذاة)\]

يبقى تقسيم طرفي المعادلة على الكسر $-\frac(11)(4)$، أي. اضرب بشكل أساسي في الكسر المقلوب - $-\frac(4)(11)$. نحن نحصل:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا كل شئ! لقد قمنا بتبسيط المعادلة الأصلية إلى أبسطها وحصلنا على الإجابة النهائية.

في الوقت نفسه، أثناء عملية الحل، اكتشفنا (وحتى أخرجنا من القوس) العامل المشترك $((4)^(x))$ - وهذا هو التعبير الثابت. يمكن تعيينه كمتغير جديد، أو يمكنك ببساطة التعبير عنه بدقة والحصول على إجابة. على أي حال، المبدأ الرئيسيالحلول هي التالية:

ابحث في المعادلة الأصلية عن تعبير ثابت يحتوي على متغير يسهل تمييزه عن جميع الدوال الأسية.

والخبر السار هو أن كل المعادلات الأسية تقريبًا تقبل مثل هذا التعبير المستقر.

لكن الخبر السيئ هو أن هذه التعبيرات يمكن أن تكون صعبة للغاية، وقد يكون من الصعب جدًا التمييز بينها. لذلك دعونا ننظر إلى مشكلة أخرى:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

ربما سيكون لدى شخص ما الآن سؤال: "باشا، هل رجمت؟ " هنا قواعد مختلفة - 5 و 0.2. لكن دعونا نحاول تحويل قوة بأساس 0.2. على سبيل المثال، دعونا نتخلص من كسر عشري، ليصل إلى المعتاد:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

كما ترون، لا يزال الرقم 5 يظهر، وإن كان في المقام. وفي الوقت نفسه، تمت إعادة كتابة المؤشر على أنه سلبي. والآن نتذكر واحدة من القواعد الأساسيةالعمل بالدرجات:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

هنا، بالطبع، خدعت قليلا. لأنه من أجل الفهم الكامل، كان لا بد من كتابة صيغة التخلص من المؤشرات السلبية على النحو التالي:

\[((أ)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\سهم لليمين ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ يمين))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

ومن ناحية أخرى، لم يمنعنا شيء من العمل بجزء واحد فقط:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ يمين))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

ولكن في هذه الحالة، يجب أن تكون قادرا على رفع درجة إلى درجة أخرى (أذكرك: في هذه الحالة، تتم إضافة المؤشرات). لكنني لم أضطر إلى "قلب" الكسور - ربما يكون الأمر أسهل بالنسبة لشخص ما. :)

على أية حال، سيتم إعادة كتابة المعادلة الأسية الأصلية على النحو التالي:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\النهاية(محاذاة)\]

لذلك اتضح أن حل المعادلة الأصلية أسهل من حل المعادلة التي سبق النظر فيها: هنا لا تحتاج حتى إلى تحديد تعبير مستقر - لقد تم اختصار كل شيء من تلقاء نفسه. يبقى فقط أن نتذكر أن $1=((5)^(0))$، ومن هنا نحصل على:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا هو الحل كله! لقد حصلنا على الإجابة النهائية: $x=-2$. وفي الوقت نفسه، أود أن أشير إلى خدعة واحدة سهّلت علينا جميع الحسابات إلى حد كبير:

في المعادلات الأسية، تأكد من التخلص من الكسور العشرية، وترجمتها إلى عادية. سيسمح لك ذلك برؤية نفس أسس الدرجات وتبسيط الحل بشكل كبير.

الآن دعنا ننتقل إلى المعادلات الأكثر تعقيدًا التي توجد فيها أسس مختلفة، والتي لا يمكن اختزالها إلى بعضها البعض بشكل عام باستخدام القوى.

باستخدام خاصية الأس

اسمحوا لي أن أذكركم أن لدينا معادلتين أكثر قسوة:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\النهاية(محاذاة)\]

تكمن الصعوبة الرئيسية هنا في أنه ليس من الواضح على أي أساس وعلى أي أساس يجب أن نقود. أين العبارات الثابتة؟ أين هي الأسباب المشتركة؟ لا يوجد شيء من هذا.

ولكن دعونا نحاول أن نذهب في الاتجاه الآخر. إذا لم تكن هناك قواعد متطابقة جاهزة، يمكنك محاولة العثور عليها عن طريق تحليل القواعد المتاحة.

ولنبدأ بالمعادلة الأولى:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ كدوت ((3)^(3x)). \\\النهاية(محاذاة)\]

ولكن يمكنك أن تفعل العكس - اصنع الرقم 21 من الرقمين 7 و 3. من السهل بشكل خاص القيام بذلك على اليسار، لأن مؤشرات كلتا الدرجات هي نفسها:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا كل شئ! لقد أخرجت الأس من حاصل الضرب وحصلت على الفور على معادلة جميلة يمكن حلها في سطرين.

الآن دعونا نتعامل مع المعادلة الثانية. هنا كل شيء أكثر تعقيدًا:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

في هذه الحالة، تبين أن الكسور غير قابلة للاختزال، ولكن إذا كان من الممكن تقليل شيء ما، فتأكد من تقليله. سيؤدي هذا غالبًا إلى أسباب مثيرة للاهتمام يمكنك العمل بها بالفعل.

لسوء الحظ، لم نتوصل إلى أي شيء. لكننا نرى أن الأسس الموجودة على اليسار في حاصل الضرب متضادة:

اسمحوا لي أن أذكرك: للتخلص من علامة الطرح في الأس، ما عليك سوى "قلب" الكسر. لذلك دعونا نعيد كتابة المعادلة الأصلية:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\النهاية(محاذاة)\]

في السطر الثاني، خرجنا للتو مجموع النقاطمن منتج الأقواس وفقًا للقاعدة $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, وفي الأخير ببساطة ضرب الرقم 100 بكسر.

لاحظ الآن أن الأرقام الموجودة على اليسار (في القاعدة) وعلى اليمين متشابهة إلى حد ما. كيف؟ نعم، من الواضح: إنهما قوى بنفس العدد! لدينا:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \يمين))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \صحيح))^(2)). \\\النهاية(محاذاة)\]

وبالتالي، سيتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \يمين))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \يمين))^(3\left(x-1 \يمين)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

في الوقت نفسه، على اليمين، يمكنك أيضًا الحصول على درجة بنفس الأساس، والتي يكفي فقط "قلب" الكسر فيها:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=(\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

وأخيرًا، ستكون معادلتنا على الشكل التالي:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا هو الحل كله. فكرته الرئيسية هي أنه حتى لو أسباب مختلفةنحن نحاول بطريقة أو بأخرى اختزال هذه الأسباب إلى نفس الأسباب. في هذا تساعدنا التحولات الأولية للمعادلات وقواعد العمل مع القوى.

ولكن ما هي القواعد ومتى تستخدم؟ كيف نفهم أنه في معادلة واحدة تحتاج إلى تقسيم كلا الطرفين على شيء ما، وفي أخرى - لتحلل أساس الدالة الأسية إلى عوامل؟

الجواب على هذا السؤال سيأتي مع الخبرة. جرب يدك في البداية معادلات بسيطة، ثم قم بتعقيد المهام تدريجيًا - وقريبًا جدًا ستكون مهاراتك كافية لحل أي معادلة أسية من نفس الاستخدام أو أي عمل مستقل / اختباري.

ولمساعدتك في هذه المهمة الصعبة، أقترح تنزيل مجموعة من المعادلات على موقع الويب الخاص بي قرار مستقل. جميع المعادلات لها إجابات، لذلك يمكنك دائمًا التحقق من نفسك.

إلى قناة اليوتيوب الخاصة بموقعنا لتكونوا على اطلاع بكل جديد من الدروس المصورة.

أولاً، دعونا نتذكر الصيغ الأساسية للدرجات وخصائصها.

منتج من عدد أيحدث على نفسه n مرات، يمكننا كتابة هذا التعبير بالشكل a … a=a n

1. أ 0 = 1 (أ ≠ 0)

3. أ ن أ م = أ ن + م

4. (ن) م = نانومتر

5. أ ن ب ن = (أب) ن

7. أ ن / م \u003d ن - م

معادلات القوة أو الأسية- هذه معادلات تكون المتغيرات فيها بالقوى (أو الأسس)، وأساسها رقم.

أمثلة على المعادلات الأسية:

في هذا المثالالرقم 6 هو القاعدة، وهو دائمًا في الأسفل، وهو المتغير سدرجة أو قياس.

دعونا نعطي المزيد من الأمثلة على المعادلات الأسية.
2 × *5=10
16س-4س-6=0

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية حل المعادلات الأسية؟

لنأخذ معادلة بسيطة:

2 س = 2 3

يمكن حل مثل هذا المثال حتى في العقل. يمكن ملاحظة أن x=3. بعد كل شيء، لكي يكون الجانبان الأيسر والأيمن متساويين، تحتاج إلى وضع الرقم 3 بدلاً من x.
الآن دعونا نرى كيف ينبغي اتخاذ هذا القرار:

2 س = 2 3
س = 3

لحل هذه المعادلة قمنا بإزالة نفس الأسباب(أي التعادل) وكتب ما بقي فهذه درجات. لقد حصلنا على الجواب الذي كنا نبحث عنه.

الآن دعونا نلخص الحل الذي توصلنا إليه.

خوارزمية حل المعادلة الأسية:
1. بحاجة للتحقق نفس الشيءما إذا كانت أسس المعادلة على اليمين وعلى اليسار. إذا كانت الأسباب ليست هي نفسها، فإننا نبحث عن خيارات لحل هذا المثال.
2. بعد أن تكون القواعد هي نفسها، يساويدرجة وحل المعادلة الجديدة الناتجة.

والآن دعونا نحل بعض الأمثلة:

لنبدأ بسيطة.

القاعدتان على الجانبين الأيسر والأيمن تساويان الرقم 2، مما يعني أنه يمكننا تجاهل القاعدة ومساواة درجاتهما.

x+2=4 لقد ظهرت أبسط معادلة.
س=4 - 2
س = 2
الجواب: س=2

في المثال التالييمكن ملاحظة أن القاعدتين مختلفتان - 3 و9.

3 3س - 9 س + 8 = 0

في البداية، ننقل التسعة إلى الجانب الأيمن، فنحصل على:

الآن أنت بحاجة إلى إنشاء نفس القواعد. نحن نعلم أن 9=3 2 . دعونا نستخدم صيغة القوة (a n) m = a nm .

3 3س \u003d (3 2) س + 8

نحصل على 9 س + 8 \u003d (3 2) س + 8 \u003d 3 2 س + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 الآن يمكنك أن ترى ذلك في اليسار و الجانب الأيمنالأساسان متساويان ويساويان ثلاثة، مما يعني أنه يمكننا التخلص منهما ومساواة الدرجات.

3x=2x+16 حصلت على أبسط معادلة
3س-2س=16
س = 16
الجواب: س=16.

لننظر إلى المثال التالي:

2 2س + 4 - 10 4 س \u003d 2 4

أولًا، ننظر إلى القاعدتين، القاعدتان مختلفتان عن اثنين وأربعة. ونحن بحاجة إلى أن نكون متماثلين. نحول الرباعي حسب الصيغة (a n) m = a nm .

4 س = (2 2) س = 2 2س

ونستخدم أيضًا صيغة واحدة a n a m = a n + m:

2 2س+4 = 22س 2 4

أضف إلى المعادلة:

2 2س 2 4 - 10 2 2س = 24

لقد قدمنا ​​​​مثالا لنفس الأسباب. لكن الأرقام الأخرى 10 و 24 تتداخل معنا، فماذا نفعل بها؟ إذا نظرت عن كثب، يمكنك أن ترى أننا على الجانب الأيسر نكرر 2 2x، إليك الإجابة - يمكننا وضع 2 2x بين قوسين:

2 2س (2 4 - 10) = 24

دعونا نحسب التعبير بين قوسين:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

نقسم المعادلة بأكملها على 6:

تخيل 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 القاعدتان متماثلتان، تخلص منهما وساوِ الدرجات.
تبين أن 2x \u003d 2 هي أبسط معادلة. نقسمها على 2 فنحصل على
س = 1
الجواب: س = 1.

دعونا نحل المعادلة:

9 س - 12*3 س +27= 0

دعونا تحويل:
9 س = (2 3) س = 2 س

نحصل على المعادلة:
3 2س - 12 3 س +27 = 0

قواعدنا هي نفسها، تساوي ثلاثة، في هذا المثال، من الواضح أن الثلاثي الأول له درجة ضعف (2x) من الثانية (فقط x). في هذه الحالة، يمكنك أن تقرر طريقة الاستبدال. يتم استبدال الرقم ذو الدرجة الأصغر بما يلي:

ثم 3 2س \u003d (3 س) 2 \u003d ر 2

نستبدل جميع الدرجات بـ x في المعادلة بـ t:

ر 2 - 12ط + 27 \u003d 0
نحصل على معادلة تربيعية. نحل من خلال المميز فنحصل على:
د = 144-108 = 36
ر1 = 9
ر2 = 3

العودة إلى المتغير س.

نأخذ ر 1:
ر 1 \u003d 9 \u003d 3 س

إنه،

3 × = 9
3 × = 3 2
× 1 = 2

تم العثور على جذر واحد. نحن نبحث عن الثاني، من ر 2:
ر 2 \u003d 3 \u003d 3 س
3 × = 3 1
× 2 = 1
الجواب: × 1 \u003d 2؛ × 2 = 1.

يمكنك على الموقع في قسم "المساعدة في اتخاذ قرار" طرح الأسئلة التي تهمك، وسوف نقوم بالرد عليك بالتأكيد.

انضمام مجموعة

ما هي المعادلة الأسية؟ أمثلة.

لذا، معادلة أسية... معرض فريد جديد في معرضنا العام لمجموعة واسعة من المعادلات!) كما هو الحال دائمًا تقريبًا، فإن الكلمة الأساسية لأي مصطلح رياضي جديد هي الصفة المقابلة التي تميزه. إذن هنا أيضًا. الكلمة الرئيسيةفي مصطلح "المعادلة الأسية" هي الكلمة "إيضاحي". ماذا يعني ذلك؟ هذه الكلمة تعني أن المجهول (x) هو من حيث أي درجة.وهناك فقط! هذا مهم للغاية.

على سبيل المثال، هذه المعادلات البسيطة:

3 × +1 = 81

5س + 5س +2 = 130

4 2 2 × -17 2 × +4 = 0

أو حتى هذه الوحوش:

2 خطيئة × = 0.5

أطلب منك الانتباه على الفور إلى شيء مهم: في أسبابدرجات (أسفل) - أرقام فقط. ولكن في المؤشراتالدرجات (أعلى) - مجموعة واسعة من التعبيرات مع x. أي شيء على الإطلاق.) كل شيء يعتمد على المعادلة المحددة. إذا ظهرت x فجأة في المعادلة في مكان آخر، بالإضافة إلى المؤشر (على سبيل المثال، 3 x \u003d 18 + x 2)، فإن هذه المعادلة ستكون بالفعل معادلة نوع مختلط. مثل هذه المعادلات ليس لها قواعد واضحة للحل. لذلك، في هذا الدرس لن نفكر فيها. لإسعاد الطلاب.) هنا سننظر فقط في المعادلات الأسية في شكل "خالص".

بشكل عام، حتى المعادلات الأسية البحتة لا يتم حلها بشكل واضح في جميع الحالات وليس دائمًا. ولكن من بين المجموعة الغنية من المعادلات الأسية، هناك أنواع معينة يمكن ويجب حلها. هذه الأنواع من المعادلات هي التي سننظر فيها معك. وسوف نقوم بالتأكيد بحل الأمثلة.) لذلك نحن نستقر بشكل مريح و- على الطريق! كما هو الحال في "ألعاب إطلاق النار" على الكمبيوتر، ستمر رحلتنا عبر المستويات.) من المستوى الابتدائي إلى البسيط، ومن البسيط إلى المتوسط، ومن المتوسط ​​إلى المعقد. على طول الطريق، سوف تنتظر أيضًا مستوى سريًا - حيل وأساليب لحل الأمثلة غير القياسية. تلك التي لن تقرأ عنها في معظم الكتب المدرسية... حسنًا، في النهاية، بالطبع، الرئيس الأخير في انتظارك في شكل واجب منزلي.)

المستوى 0. ما هي أبسط معادلة أسية؟ حل أبسط المعادلات الأسية.

لتبدأ، دعونا نلقي نظرة على بعض الابتدائية الصريحة. عليك أن تبدأ من مكان ما، أليس كذلك؟ على سبيل المثال هذه المعادلة:

2 س = 2 2

حتى بدون أي نظريات، بمنطق بسيط و الفطرة السليمةفمن الواضح أن س = 2. ليس هناك طريقة أخرى، أليس كذلك؟ لا توجد قيمة أخرى لـ x جيدة... الآن دعونا نوجه انتباهنا إلى سجل القرارهذه المعادلة الأسية الرائعة:

2 س = 2 2

س = 2

ماذا حدث لنا؟ وحدث ما يلي. نحن، في الواقع، أخذنا و... ألقينا نفس القواعد (اثنين)! طردت تماما. وما يرضي، ضرب عين الثور!

نعم، في الواقع، إذا كان في المعادلة الأسية على اليسار واليمين نفس الشيءالأرقام بأي درجة، فيمكن التخلص من هذه الأرقام ومساواة الأسس ببساطة. تسمح الرياضيات بذلك.) وبعد ذلك يمكنك العمل بشكل منفصل مع المؤشرات وحل معادلة أبسط بكثير. إنه أمر رائع، أليس كذلك؟

هذا الفكرة الرئيسيةحل أي معادلة أسية (نعم، أيًا على وجه التحديد!) بمساعدة تحويلات متطابقة، من الضروري التأكد من وجود اليسار واليمين في المعادلة نفس الشيء الأرقام الأساسية في القوى المختلفة. وبعد ذلك يمكنك إزالة نفس الأساسات بأمان ومساواة الأسس. والعمل مع معادلة أبسط.

والآن نتذكر حكم الحديد: من الممكن إزالة نفس الأساسات إذا وفقط إذا كانت الأرقام الأساسية موجودة في المعادلة على اليسار وعلى اليمين في الشعور بالوحدة فخور.

ماذا يعني في عزلة رائعة؟ وهذا يعني دون أي جيران ومعاملات. أشرح.

على سبيل المثال، في المعادلة

3 3 × -5 = 3 2 × +1

لا يمكنك إزالة ثلاثة توائم! لماذا؟ لأنه على اليسار ليس لدينا فقط درجة ثلاثية وحيدة، ولكن عمل 3 3 × -5 . هناك ثلاثية إضافية تعيق الطريق: المعامل، كما تفهم.)

ويمكن قول الشيء نفسه عن المعادلة

5 3 س = 5 2 س +5 س

هنا أيضًا جميع القواعد متماثلة - خمسة. لكن على اليمين ليس لدينا درجة واحدة من خمسة: هناك مجموع الدرجات!

باختصار، لدينا الحق في إزالة نفس الأساسات فقط عندما تبدو معادلتنا الأسية بهذا الشكل وفقط هكذا:

أF (س) = اي جي (س)

ويسمى هذا النوع من المعادلات الأسية الابسط. أو علمياً العنوان الأساسي . ومهما كانت المعادلة الملتوية التي أمامنا، بطريقة أو بأخرى، فإننا سوف نختصرها إلى هذا الشكل البسيط (الكنسي). أو في بعض الحالات إلى تجمعاتمعادلات من هذا النوع ومن ثم يمكن إعادة كتابة أبسط معادلة لدينا في الصورة العامة على النحو التالي:

و(س) = ز(خ)

وهذا كل شيء. سيكون هذا هو التحول المعادل. في الوقت نفسه، يمكن استخدام أي تعبيرات تحتوي على x كـ f(x) وg(x). أيا كان.

ربما يتساءل الطالب الفضولي بشكل خاص: لماذا بحق السماء نتخلص بهذه السهولة وببساطة من نفس الأساسات على اليسار واليمين ونساوي بين الأسس؟ الحدس هو الحدس، ولكن فجأة، في بعض المعادلات ولسبب ما، سيتبين أن هذا النهج خاطئ؟ هل من القانوني دائمًا رمي نفس القواعد؟لسوء الحظ، للحصول على إجابة رياضية صارمة على هذا اسأل الفائدةأنت بحاجة إلى الخوض بعمق وجدية في النظرية العامة لبنية وسلوك الوظائف. وبشكل أكثر تحديدًا - في هذه الظاهرة رتابة صارمة.على وجه الخصوص، الرتابة الصارمة وظيفة الأسيةذ= فأس. نظرًا لأن الدالة الأسية وخصائصها هي التي تكمن وراء حل المعادلات الأسية، نعم.) سيتم تقديم إجابة مفصلة لهذا السؤال في درس خاص منفصل مخصص لحل المعادلات المعقدة غير القياسية باستخدام رتابة الدوال المختلفة.)

إن شرح هذه النقطة بالتفصيل الآن لا يعني سوى إخراج دماغ تلميذ متوسط ​​وإخافته مسبقًا بنظرية جافة وثقيلة. لن أفعل هذا.) لأن مهمتنا الرئيسية في الوقت الحالي هي تعلم كيفية حل المعادلات الأسية!أبسط جدا! لذلك، حتى نتعرق ونتخلص بجرأة من نفس الأسباب. هذا يستطيعخذ كلامي على محمل الجد!) وبعد ذلك قمنا بالفعل بحل المعادلة المكافئة f (x) = g (x). وكقاعدة عامة، فهو أبسط من الأسي الأصلي.

من المفترض، بالطبع، أن الأشخاص يعرفون بالفعل كيفية حل ما لا يقل عن ، والمعادلات، بالفعل بدون x في المؤشرات.) من لا يزال لا يعرف كيف، لا تتردد في إغلاق هذه الصفحة، والمشي على الروابط المناسبة وملء الفجوات القديمة. خلاف ذلك، سيكون لديك وقت عصيب، نعم ...

أنا صامت بشأن المعادلات غير العقلانية والمثلثية وغيرها من المعادلات الوحشية التي يمكن أن تظهر أيضًا في عملية إزالة القواعد. لكن لا تنزعج، لأننا الآن لن نفكر في القصدير الصريح من حيث الدرجات: إنه من السابق لأوانه. سوف نتدرب فقط على أبسط المعادلات.)

الآن فكر في المعادلات التي تتطلب بعض الجهد الإضافي لتقليلها إلى أبسطها. لتمييزهم، دعونا نسميهم المعادلات الأسية البسيطة. لذلك دعونا ننتقل إلى المستوى التالي!

المستوى 1. المعادلات الأسية البسيطة. التعرف على درجات! المؤشرات الطبيعية.

القواعد الأساسية في حل أي معادلات أسية هي قواعد التعامل مع الدرجات. بدون هذه المعرفة والمهارات، لن ينجح شيء. واحسرتاه. لذا، إذا كانت هناك مشاكل في الدرجات، فنحن نرحب بك في البداية. وبالإضافة إلى ذلك، نحتاج أيضا. هذه التحولات (ما يصل إلى اثنين!) هي الأساس لحل جميع معادلات الرياضيات بشكل عام. وليس فقط يعرض. لذا، من نسي، فليتجول أيضًا على الرابط: لقد وضعته لسبب ما.

لكن الإجراءات ذات الصلاحيات والتحولات المتطابقة فقط ليست كافية. كما يتطلب الملاحظة الشخصية والبراعة. نحن بحاجة إلى نفس الأسباب، أليس كذلك؟ لذلك نتفحص المثال ونبحث عنها بصيغة صريحة أو مقنعة!

على سبيل المثال هذه المعادلة:

3 2س – 27س +2 = 0

أول نظرة على أسباب. هم مختلفون! ثلاثة وسبعة وعشرون. ولكن من السابق لأوانه الذعر والوقوع في اليأس. حان الوقت لتذكر ذلك

27 = 3 3

الرقمان 3 و 27 متقاربان في الدرجة! والمقربين.) لذلك لدينا الحق الكاملاكتب:

27 س +2 = (3 3) س+2

والآن نربط معرفتنا به الإجراءات بالدرجات(ولقد حذرتك!). هناك صيغة مفيدة للغاية:

(ص) ن = مليون

الآن إذا قمت بتشغيله في الدورة التدريبية، فسيصبح الأمر جيدًا بشكل عام:

27 س +2 = (3 3) س+2 = 3 3(س +2)

يبدو المثال الأصلي الآن كما يلي:

3 2 س – 3 3(س +2) = 0

عظيم، لقد تمت محاذاة قواعد الدرجات. ما كنا نسعى إليه. تم الانتهاء من نصف المهمة.) والآن نبدأ عملية تحويل الهوية الأساسية - ننقل 3 3 (x +2) إلى اليمين. لا أحد ألغى الإجراءات الأولية للرياضيات، نعم.) نحصل على:

3 2 س = 3 3(س +2)

ما الذي يعطينا هذا النوع من المعادلة؟ وحقيقة أن معادلتنا الآن اختزلت إلى الشكل الكنسي: على اليسار وعلى اليمين نفس الأرقام (ثلاثية) في القوى. وكلاهما ثلاثة توائم - في عزلة رائعة. نقوم بإزالة التوائم الثلاثة بجرأة ونحصل على:

2س = 3(س+2)

نحل هذا ونحصل على:

س=-6

هذا كل ما في الامر. هذا هو الجواب الصحيح.)

والآن نفهم مسار القرار. ما الذي أنقذنا في هذا المثال؟ لقد خلصنا بمعرفة درجات الثلاثية. كيف بالضبط؟ نحن تم تحديدهارقم 27 مشفر ثلاثة! هذه الخدعة (ترميز نفس الأساس تحت أرقام مختلفة) هي واحدة من أكثر المعادلات الأسية شيوعًا! إلا إذا كان الأكثر شعبية. نعم، وبالمناسبة أيضًا. ولهذا السبب فإن الملاحظة والقدرة على التعرف على قوى الأعداد الأخرى في الأعداد أمر في غاية الأهمية في المعادلات الأسية!

نصيحة عملية:

أنت بحاجة إلى معرفة قوى الأرقام الشعبية. في الوجه!

بالطبع، يمكن لأي شخص أن يرفع اثنين إلى القوة السابعة أو ثلاثة إلى القوة الخامسة. ليس في ذهني، على الأقل في المسودة. ولكن في المعادلات الأسية، من الضروري في كثير من الأحيان عدم رفع القوة، ولكن على العكس من ذلك، لمعرفة الرقم وإلى أي مدى مخفي وراء الرقم، على سبيل المثال، 128 أو 243. وهذا بالفعل أكثر معقدة من الأسي بسيطة، كما ترى. اشعر بالفرق كما يقولون!

نظرًا لأن القدرة على التعرف على الدرجات في الوجه مفيدة ليس فقط على هذا المستوى، ولكن أيضًا على المستويات التالية، فإليك مهمة صغيرة لك:

تحديد ما هي القوى وما هي الأرقام الأرقام:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

الإجابات (متناثرة بالطبع):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

نعم نعم! لا تتفاجأ بوجود إجابات أكثر من المهام. على سبيل المثال، 2 8 و 4 4 و 16 2 كلها 256.

المستوى 2. المعادلات الأسية البسيطة. التعرف على درجات! الأسس السلبية والكسرية.

في هذا المستوى، نستخدم بالفعل معرفتنا بالدرجات على أكمل وجه. وهي أننا نستخدم مؤشرات سلبية وكسرية في هذه العملية الرائعة! نعم نعم! نحن بحاجة إلى بناء القوة، أليس كذلك؟

مثلا هذه المعادلة الرهيبة:

مرة أخرى، ننظر أولا إلى الأسس. القواعد مختلفة! وهذه المرة لا يشبهون بعضهم البعض ولو عن بعد! 5 و 0.04... ولإزالة القواعد، هناك حاجة إلى نفس القواعد... ماذا تفعل؟

لا بأس! في الواقع، كل شيء هو نفسه، فقط العلاقة بين الخمسة و0.04 غير مرئية بشكل جيد. كيف نخرج؟ ودعنا ننتقل إلى الكسر المعتاد في الرقم 0.04! وهناك، كما ترى، يتكون كل شيء.)

0,04 = 4/100 = 1/25

رائع! اتضح أن 0.04 هو 1/25! حسنًا ، من كان يظن!)

حسنا، كيف؟ الآن أصبح من الأسهل رؤية العلاقة بين الرقمين 5 و 1/25؟ هذا ما هو عليه...

والآن حسب قواعد العمليات ذات الصلاحيات مؤشر سلبييمكن كتابتها بيد ثابتة:

هذا عظيم. لذلك وصلنا إلى نفس القاعدة - خمسة. نستبدل الآن الرقم غير المريح 0.04 في المعادلة بالرقم 5 -2 ونحصل على:

مرة أخرى، وفقًا لقواعد العمليات مع القوى، يمكننا الآن أن نكتب:

(5 -2) × -1 = 5 -2(س -1)

فقط في حالة، أذكر (فجأة، من لا يعرف) ذلك القواعد الأساسيةالإجراءات ذات الصلاحيات صالحة ل أيالمؤشرات! بما في ذلك المؤشرات السلبية.) لذا لا تتردد في أخذ المؤشرات (-2) و (x-1) وضربها القاعدة المقابلة. معادلتنا تصبح أفضل وأفضل:

الجميع! بالإضافة إلى الخمسات الوحيدة في الدرجات على اليسار واليمين، لا يوجد شيء آخر. يتم تقليل المعادلة إلى الشكل القانوني. وبعد ذلك - على طول المسار المخرش. نزيل الخمسات ونساوي المؤشرات:

س 2 –6 س+5=-2(س-1)

المثال على وشك الانتهاء. تبقى الرياضيات الأولية للطبقات الوسطى - نفتح (بشكل صحيح!) الأقواس ونجمع كل شيء على اليسار:

س 2 –6 س+5 = -2 س+2

س 2 –4 س+3 = 0

نحل هذا ونحصل على جذرين:

س 1 = 1; س 2 = 3

هذا كل شئ.)

الآن دعونا نفكر مرة أخرى. في هذا المثال، كان علينا مرة أخرى التعرف على نفس الرقم بدرجات متفاوتة! وهي رؤية الخمسة المشفرة في الرقم 0.04. وهذه المرة في درجة سلبية!كيف فعلنا ذلك؟ أثناء التنقل - بأي حال من الأحوال. ولكن بعد الانتقال من الكسر العشري 0.04 إلى الكسر العادي 1/25، تم تسليط الضوء على كل شيء! وبعد ذلك تم اتخاذ القرار برمته كالساعة.)

لذلك، نصيحة عملية خضراء أخرى.

إذا كانت هناك كسور عشرية في المعادلة الأسية، فإننا ننتقل من الكسور العشرية إلى الكسور العادية. في الكسور المشتركةمن الأسهل بكثير التعرف على قوى العديد من الأرقام الشائعة! بعد التعرف، ننتقل من الكسور إلى القوى ذات الأسس السالبة.

ضع في اعتبارك أن مثل هذا الخداع في المعادلات الأسية يحدث كثيرًا جدًا! والشخص ليس في الموضوع. فهو ينظر، على سبيل المثال، إلى الرقمين 32 و0.125 وينزعج. من غير المعروف له أن هذا هو نفس الشيطان، فقط بدرجات مختلفة ... لكنك بالفعل في الموضوع!)

حل المعادلة:

في! يبدو الأمر رعبًا هادئًا.. لكن المظاهر خادعة. هذه هي أبسط معادلة أسية، على الرغم من مظهرها المخيف. والآن سأعرضها لك.)

أولاً، نتعامل مع جميع الأرقام الموجودة في القواعد وفي المعاملات. من الواضح أنهم مختلفون، نعم. لكننا ما زلنا نتحمل المخاطر ونحاول القيام بها نفس الشيء! دعونا نحاول الوصول إليها نفس العدد بدرجات مختلفة. ويفضل أن يكون العدد أصغر ما يمكن. لذلك، دعونا نبدأ في فك التشفير!

حسنًا، كل شيء واضح بالنسبة للأربعة في وقت واحد - إنها 2 2 . لذلك، بالفعل شيء.)

مع جزء من 0.25 - ليس واضحا بعد. بحاجة للتأكد. نحن نستخدم النصائح العملية - انتقل من النظام العشري إلى العادي:

0,25 = 25/100 = 1/4

بالفعل أفضل بكثير. في الوقت الحالي، من الواضح بالفعل أن 1/4 يساوي 2 -2. عظيم، والرقم 0.25 يشبه أيضًا الشيطان.)

حتى الان جيدة جدا. ولكن يبقى العدد الأسوأ على الإطلاق - الجذر التربيعي لاثنين!ماذا تفعل مع هذا الفلفل؟ هل يمكن أيضًا تمثيلها كقوة اثنين؟ و من يعلم...

حسنا، مرة أخرى نتسلق إلى خزانة المعرفة لدينا حول الدرجات! هذه المرة نقوم أيضًا بربط معرفتنا عن الجذور. منذ الصف التاسع، كان علينا أن نتحمل أن أي جذر، إذا رغبت في ذلك، يمكن دائمًا تحويله إلى درجة مع الكسر.

مثله:

في حالتنا هذه:

كيف! اتضح أن الجذر التربيعي لاثنين هو 2 1/2. هذا كل شيء!

هذا جيّد! لقد تبين في الواقع أن جميع أرقامنا غير المريحة هي شيطان مشفر.) لا أجادل، في مكان ما مشفر بشكل متطور للغاية. لكننا أيضًا نزيد من احترافنا في حل مثل هذه الأصفار! وبعد ذلك أصبح كل شيء واضحًا بالفعل. نستبدل الأرقام 4 و0.25 وجذر الاثنين في معادلتنا بقوة اثنين:

الجميع! أصبحت أسس جميع الدرجات في المثال هي نفسها - اثنان. والآن يتم استخدام الإجراءات القياسية بالدرجات:

أكونن = أكون + ن

أ م:أ ن = م-ن

(ص) ن = مليون

بالنسبة للجانب الأيسر تحصل على:

2 -2 (2 2) 5 × -16 = 2 -2+2(5 × -16)

بالنسبة للجانب الأيمن سيكون:

والآن بدأت معادلتنا الشريرة تبدو هكذا:

بالنسبة لأولئك الذين لم يعرفوا بالضبط كيف ظهرت هذه المعادلة، فإن السؤال لا يتعلق بالمعادلات الأسية. السؤال يتعلق بالأفعال ذات الصلاحيات. طلبت بشكل عاجل أن أكرر لأولئك الذين لديهم مشاكل!

هنا هو خط النهاية! تم الحصول على الشكل القانوني للمعادلة الأسية! حسنا، كيف؟ هل أقنعتك أن الأمر ليس مخيفًا جدًا؟ ؛) نقوم بإزالة التعادل ومساواة المؤشرات:

يبقى فقط حل هذه المعادلة الخطية. كيف؟ بمساعدة التحولات المتطابقة بالطبع.) قم بحل ما هو موجود بالفعل! اضرب كلا الجزأين في اثنين (لإزالة الكسر 3/2)، انقل الحدود التي تحتوي على X إلى اليسار، بدون X إلى اليمين، وأحضر الحدود المشابهة، وعد - وستكون سعيدًا!

كل شيء يجب أن يتحول بشكل جميل:

س = 4

الآن دعونا نعيد التفكير في القرار. في هذا المثال، تم إنقاذنا من خلال الانتقال من الجذر التربيعي ل درجة مع الأس 1/2. علاوة على ذلك، فإن مثل هذا التحول الماكر هو وحده الذي ساعدنا في كل مكان على الوصول إلى نفس الأساس (الشيطان) الذي أنقذ الموقف! ولولا ذلك، لكان لدينا كل فرصة للتجميد إلى الأبد وعدم التعامل مع هذا المثال أبدًا، نعم ...

ولذلك لا نهمل النصيحة العملية التالية:

إذا كانت هناك جذور في المعادلة الأسية، فإننا ننتقل من الجذور إلى القوى ذات الأسس الكسرية. في كثير من الأحيان، يوضح هذا التحول فقط الوضع الإضافي.

وبطبيعة الحال، فإن القوى السلبية والكسرية هي بالفعل أكثر تعقيدا بكثير من القوى الطبيعية. على الأقل من حيث الإدراك البصري، وخاصة التعرف من اليمين إلى اليسار!

من الواضح أن الرفع المباشر، على سبيل المثال، اثنان أس -3 أو أربعة أس -3/2 ليس كذلك مشكلة كبيرة. لمن يعلم.)

لكن اذهب، على سبيل المثال، أدرك ذلك على الفور

0,125 = 2 -3

أو

هنا حكم الممارسة والخبرة الغنية فقط، نعم. وطبعا رؤية واضحة ما هو الأس السلبي والكسور.و - نصيحة عملية! نعم، نعم، هؤلاء أخضر.) آمل أن يساعدوك مع ذلك على التنقل بشكل أفضل في جميع الدرجات المتنوعة وزيادة فرص نجاحك بشكل كبير! لذلك دعونا لا نهملهم. أنا لست عبثا بالأخضرأكتب أحيانا.)

من ناحية أخرى، إذا أصبحت "أنت" حتى مع وجود قوى غريبة مثل السالبة والكسرية، فإن إمكانياتك في حل المعادلات الأسية سوف تتوسع بشكل هائل، وستكون قادرًا بالفعل على التعامل مع أي نوع من المعادلات الأسية تقريبًا. حسنًا، إن لم يكن هناك أي منها، فإن 80 بالمائة من جميع المعادلات الأسية - بالتأكيد! نعم، نعم، أنا لا أمزح!

لذا، فإن الجزء الأول من التعرف على المعادلات الأسية قد وصل إلى نهايته المنطقية. وكتمرين بين التمرينات، أقترح تقليديًا حل بعض المشاكل بنفسك.)

التمرين 1.

حتى لا تذهب كلماتي حول فك رموز الدرجات السالبة والكسرية سدى، أقترح أن ألعب لعبة صغيرة!

التعبير عن الرقم كقوة اثنين:

الإجابات (في حالة من الفوضى):

حدث؟ عظيم! ثم نقوم بمهمة قتالية - نحل أبسط وأسهل المعادلات الأسية!

المهمة 2.

حل المعادلات (جميع الإجابات عبارة عن فوضى!):

5 2س-8 = 25

2 5س-4 – 16س+3 = 0

الإجابات:

س = 16

س 1 = -1; س 2 = 2

س = 5

حدث؟ في الواقع، أسهل بكثير!

ثم نقوم بحل اللعبة التالية:

(2 × +4) × -3 = 0.5 × 4 × -4

35 1-س = 0.2 - س 7 س

الإجابات:

س 1 = -2; س 2 = 2

س = 0,5

س 1 = 3; س 2 = 5

وهذه الأمثلة من واحد اليسار؟ عظيم! أنت تنمو! ثم إليك بعض الأمثلة الإضافية التي يمكنك تناولها كوجبة خفيفة:

الإجابات:

س = 6

س = 13/31

س = -0,75

س 1 = 1; س 2 = 8/3

وهل تقرر؟ حسنا، الاحترام! أخلع قبعتي.) لذلك، لم يكن الدرس عبثًا، ويمكن اعتبار المستوى الأولي لحل المعادلات الأسية متقنًا بنجاح. أمامنا - المستويات التالية والمعادلات الأكثر تعقيدًا! وتقنيات وأساليب جديدة. والأمثلة غير القياسية. ومفاجآت جديدة.) كل هذا في الدرس التالي!

شيء لم ينجح؟ لذلك، على الأرجح، المشاكل في . أو في . أو كليهما في نفس الوقت. أنا هنا عاجز. يمكنني مرة أخرى أن أقدم شيئًا واحدًا فقط - لا تكن كسولًا وقم بالتجول عبر الروابط.)

يتبع.)

محاضرة: "طرق حل المعادلات الأسية."

1 . المعادلات الأسية.

تسمى المعادلات التي تحتوي على مجهولات في الأس المعادلات الأسية. أبسطها هي المعادلة ax = b، حيث a > 0 وa ≠ 1.

1) ل ب< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) بالنسبة لـ b > 0، باستخدام رتابة الدالة ونظرية الجذر، يكون للمعادلة جذر واحد. للعثور عليه، يجب تمثيل b كـ b = ass، ax = bс ó x = c أو x = logab.

تؤدي المعادلات الأسية من خلال التحويلات الجبرية إلى معادلات قياسية يتم حلها باستخدام الطرق التالية:

1) طريقة الاختزال إلى قاعدة واحدة؛

2) طريقة التقييم.

3) الطريقة الرسومية.

4) طريقة إدخال متغيرات جديدة.

5) طريقة التخصيم.

6) إرشادية - معادلات القوة;

7) الأسي مع المعلمة.

2 . طريقة التخفيض إلى أساس واحد.

تعتمد الطريقة على الخاصية التالية للدرجات: إذا كانت درجتان متساويتان وأساساهما متساويان، فإن أسسهما متساوية، أي يجب محاولة اختزال المعادلة إلى الشكل

أمثلة. حل المعادلة:

1 . 3س=81;

لنمثل الطرف الأيمن من المعادلة بالشكل 81 = 34 ونكتب المعادلة المكافئة للمعادلة الأصلية 3 x = 34؛ س = 4. الإجابة: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> وانتقل إلى معادلة الأسس 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; س = 0.5 الإجابة: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

لاحظ أن الأرقام 0.2، 0.04، √5، و25 هي قوى العدد 5. دعونا نستفيد من ذلك ونحول المعادلة الأصلية كما يلي:

, حيث 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2 ومنه نجد الحل x = -1. الجواب: -1.

5. 3x = 5. حسب تعريف اللوغاريتم، x = log35. الجواب: سجل35.

6. 62س+4 = 33س. 2x+8.

دعونا نعيد كتابة المعادلة بالشكل 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8، أي.png" width="181" height="49 src="> وبالتالي x - 4 =0, x = 4. الإجابة: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. باستخدام خصائص القوى، نكتب المعادلة على الصورة e. x+1 = 2, x =1. الجواب: 1.

بنك المهام رقم 1.

حل المعادلة:

اختبار رقم 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
أ2 32س-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
أ3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) لا جذور
	1) 7;1 2) لا جذور 3) -7;1 4) -1;-7
أ5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
أ6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

اختبار رقم 2

أ1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
أ2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
أ3	1) 2;-1 2) لا جذور 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
أ5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 طريقة التقييم.

نظرية الجذر: إذا كانت الدالة f (x) تزيد (تنقص) في الفترة I، فإن الرقم a هو أي قيمة مأخوذة بواسطة f في هذه الفترة، فإن المعادلة f (x) = a لها جذر واحد في الفترة I.

عند حل المعادلات بطريقة التقدير، يتم استخدام هذه النظرية وخصائص الدالة الرتابة.

أمثلة. حل المعادلات: 1. 4س = 5 - س.

حل. لنعيد كتابة المعادلة بالشكل 4x + x = 5.

1. إذا كانت x \u003d 1، فإن 41 + 1 \u003d 5، 5 \u003d 5 صحيح، ثم 1 هو جذر المعادلة.

الدالة f(x) = 4x تتزايد على R و g(x) = x تتزايد على R => h(x)= f(x)+g(x) تتزايد على R كمجموع الدوال المتزايدة، إذن x = 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة 4x = 5 – x. الجواب: 1.

2.

حل. نعيد كتابة المعادلة في النموذج .

1. إذا س = -1، ثم ، 3 = 3-صحيح، لذا فإن x = -1 هو جذر المعادلة.

2. إثبات أنها فريدة من نوعها.

3. الدالة f(x) = - تتناقص على R، وg(x) = - x - تتناقص على R => h(x) = f(x) + g(x) - تتناقص على R، كمجموع من وظائف متناقصة. لذا، وفقًا لنظرية الجذر، x = -1 هو الجذر الوحيد للمعادلة. الجواب: -1.

بنك المهام رقم 2. حل المعادلة

أ) 4س + 1 = 6 - س؛

ب)

ج) 2س – 2 =1 – س؛

4. طريقة إدخال المتغيرات الجديدة.

تم وصف الطريقة في القسم 2.1. عادة ما يتم إدخال متغير جديد (الاستبدال) بعد تحويلات (تبسيط) شروط المعادلة. النظر في الأمثلة.

أمثلة. رمعادلة الأكل: 1. .

دعونا نعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> أي.png" width="210" height = "45">

حل. دعونا نعيد كتابة المعادلة بشكل مختلف:

تشير إلى https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - غير مناسب.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> هي معادلة غير عقلانية. لاحظ أن

حل المعادلة هو x = 2.5 ≥ 4، لذا فإن 2.5 هو جذر المعادلة. الجواب: 2.5.

حل. لنعيد كتابة المعادلة في الصورة ونقسم الطرفين على 56x+6 ≠ 0. نحصل على المعادلة

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1، لذا..png" width="118" height="56">

جذور المعادلة التربيعية - t1 = 1 و t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

حل . نعيد كتابة المعادلة في النموذج

ونلاحظ أنها معادلة متجانسة من الدرجة الثانية.

نقسم المعادلة على 42x نحصل على

استبدل https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

الجواب: 0؛ 0.5.

بنك المهام رقم 3. حل المعادلة

ب)

ز)

اختبار رقم 3 مع اختيار الإجابات. الحد الأدنى للمستوى.

أ1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) لا جذور 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) بدون جذور 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

اختبار رقم 4 مع اختيار الإجابات. مستوى عام.

أ1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
أ5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) لا جذور

5. طريقة التخصيم.

1. حل المعادلة: 5س+1 - 5س-1 = 24.

الحل..png" width="169" height="69"> ، من أين

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

حل. لنأخذ 6x في الطرف الأيسر من المعادلة، و2x في الطرف الأيمن. نحصل على المعادلة 6س(1+6) = 2س(1+2+4) أو 6س = 2س.

بما أن 2x >0 لكل x، يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على 2x دون الخوف من فقدان الحلول. نحصل على 3x = 1ó x = 0.

3.

حل. نحن نحل المعادلة عن طريق التخصيم.

نختار مربع ذات الحدين

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

س = -2 هو جذر المعادلة.

المعادلة x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5س-1 +5س -5س+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

أ2 3س+1 +3س-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

اختبار رقم 6 مستوى عام.

A1 (22س-1)(24س+22س+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
أ2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
أ5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. الأسي - معادلات القوة.

تتجاور المعادلات الأسية بما يسمى معادلات القوة الأسية، أي معادلات من الشكل (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

إذا كان من المعروف أن f(x)>0 و f(x) ≠ 1، فسيتم حل المعادلة، مثل المعادلة الأسية، عن طريق معادلة الأسس g(x) = f(x).

إذا كان الشرط لا يستبعد احتمال f(x)=0 وf(x)=1، فعلينا أن نأخذ هذه الحالات في الاعتبار عند حل معادلة القوة الأسية.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

حل. x2 +2x-8 - منطقي لأي x، لأن كثيرة الحدود، وبالتالي فإن المعادلة تعادل المجموعة

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ب)

7. المعادلات الأسية مع المعلمات.

1. ما هي قيم المعلمة p التي تحتوي عليها المعادلة 4 (5 - 3)2 +4p2–3p = 0 (1) القرار الوحيد?

حل. دعونا ندخل التغيير 2x = t، t > 0، فستأخذ المعادلة (1) الشكل t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

مميز المعادلة (2) هو D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

المعادلة (1) لها حل فريد إذا كانت المعادلة (2) لها جذر موجب واحد. وهذا ممكن في الحالات التالية.

1. إذا كانت D = 0، أي p = 1، فإن المعادلة (2) ستأخذ الشكل t2 - 2t + 1 = 0، وبالتالي t = 1، وبالتالي فإن المعادلة (1) لها حل فريد x = 0.

2. إذا كانت p1، فإن 9(p – 1)2 > 0، فإن المعادلة (2) لها جذرين مختلفين t1 = p، t2 = 4p – 3. مجموعة الأنظمة تلبي حالة المشكلة

استبدال t1 و t2 في الأنظمة، لدينا

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

حل. يترك فإن المعادلة (3) سوف تأخذ الشكل t2 – 6t – a = 0. (4)

دعونا نجد قيم المعلمة a التي يفي بها جذر واحد على الأقل للمعادلة (4) بالشرط t > 0.

دعونا نقدم الدالة f(t) = t2 – 6t – a. الحالات التالية ممكنة.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

الحالة 2. المعادلة (4) لها حل إيجابي فريد إذا

د = 0، إذا كان أ = – 9، فإن المعادلة (4) ستأخذ الشكل (t – 3)2 = 0، t = 3، x = – 1.

الحالة 3. المعادلة (4) لها جذرين، لكن أحدهما لا يحقق المتراجحة t > 0. وهذا ممكن إذا

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

وبالتالي، عند a 0، يكون للمعادلة (4) جذر موجب واحد . ثم المعادلة (3) لها حل فريد

ل< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

اذا كان< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
إذا كانت أ = – 9، فإن س = – 1؛

إذا كان  0، ثم

دعونا نقارن طرق حل المعادلتين (1) و (3). لاحظ أنه عند حل المعادلة (1) تم اختزالها إلى معادلة تربيعية ومميزها مربع كامل؛ وبالتالي، تم حساب جذور المعادلة (2) على الفور من خلال صيغة جذور المعادلة التربيعية، ومن ثم تم استخلاص النتائج بشأن هذه الجذور. تم تحويل المعادلة (3) إلى معادلة تربيعية (4)، ومميزها ليس مربعًا كاملاً، لذلك عند حل المعادلة (3)، يُنصح باستخدام النظريات حول موقع جذور ثلاثي الحدود المربع و نموذج رسومي. لاحظ أنه يمكن حل المعادلة (4) باستخدام نظرية فييتا.

دعونا نحل المعادلات الأكثر تعقيدا.

المهمة 3. حل المعادلة

حل. ODZ: x1، x2.

دعونا نقدم بديلا. افترض أن 2x = t، t > 0، ونتيجة للتحولات، ستأخذ المعادلة الشكل t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) ابحث عن قيم a التي لها جذر واحد على الأقل المعادلة (*) تحقق الشرط t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

الإجابة: إذا كانت أ > - 13، أ  11، أ  5، ثم إذا كانت أ - 13،

أ = 11، أ = 5، إذن لا توجد جذور.

فهرس.

1. أسس جوزيف لتكنولوجيا التعليم.

2. تكنولوجيا جوزيف: من الاستقبال إلى الفلسفة.

م "مدير المدرسة" العدد 4، 1996

3. جوزيف و الأشكال التنظيميةتعلُّم.

4. جوزيف وممارسة تكنولوجيا التعليم المتكاملة.

م. "التعليم الشعبي"، 2001

5. جوزيف من أشكال الدرس - الندوة.

الرياضيات في المدرسة رقم 2، 1987، ص 9 - 11.

6. تقنيات سيليفكو التعليمية.

م. "التربية الشعبية"، 1998

7. يتعلم تلاميذ إبيشيفا الرياضيات.

م. "التنوير"، 1990

8. إيفانوف لإعداد الدروس – ورش العمل .

الرياضيات في المدرسة رقم 6، 1990، ص. 37-40.

9. نموذج سميرنوف لتدريس الرياضيات.

الرياضيات في المدرسة رقم 1، 1997، ص. 32-36.

10. طرق تاراسينكو لتنظيم العمل العملي.

الرياضيات في المدرسة رقم 1، 1993، ص. 27 - 28.

11. عن أحد أنواع العمل الفردي.

الرياضيات في المدرسة رقم 2، 1994، ص 63 - 64.

12. خزانكين المهارات الإبداعيةتلاميذ المدارس.

الرياضيات في المدرسة رقم 2، 1989، ص. 10.

13. سكانافي. الناشر، 1997

14. وآخرون الجبر وبدايات التحليل. المواد التعليمية ل

15. مهام كريفونوجوف في الرياضيات.

م. "الأول من سبتمبر"، 2002

16. تشيركاسوف. دليل لطلاب المدارس الثانوية و

دخول الجامعات. "أست - مدرسة الصحافة"، 2002

17. جيفنياك للمتقدمين للجامعات.

مينسك وRF "مراجعة"، 1996

18. كتابي د. التحضير للامتحان في الرياضيات. م. رولف، 1999

19. وغيرها تعلم حل المعادلات والمتباينات.

م. "الفكر - المركز"، 2003

20. وغيرها مواد تعليمية وتدريبية للتحضير لامتحان اللغة الإنجليزية.

م. "الفكر - المركز" 2003 و 2004

21 وغيرها.متغيرات CMM. مركز الاختبار التابع لوزارة الدفاع في الاتحاد الروسي، 2002، 2003

22. معادلات غولدبرغ. "الكم" رقم 3، 1971

23. فولوفيتش م. كيفية تدريس الرياضيات بنجاح.

الرياضيات، 1997 رقم 3.

24 أوكونيف للدرس يا أطفال! م. التنوير، 1988

25. ياكيمانسكايا - التعليم الموجه في المدرسة.

26. العمل في الدرس. م. المعرفة، 1975