ص × 1.1.1 سلسلة فورييه. سلسلة فورييه: تاريخ وتأثير الآلية الرياضية على تطور العلوم

توسيع سلسلة فورييه للوظائف الزوجية والفردية توسيع وظيفة معينة على فترة زمنية إلى سلسلة في الجيب أو جيب التمام سلسلة فورييه لوظيفة ذات فترة عشوائية تمثيل معقد لسلسلة فورييه سلسلة فورييه في الأنظمة المتعامدة العامة للوظائف سلسلة فورييه في النظام المتعامد الحد الأدنى من خاصية معاملات فورييه عدم مساواة بيسل مساواة بارسيفال الأنظمة المغلقة اكتمال الأنظمة وإغلاقها

توسيع سلسلة فورييه للوظائف الزوجية والفردية يتم استدعاء الدالة f(x)، المحددة على الفاصل الزمني \-1، حيث I > 0، حتى لو كان الرسم البياني للدالة الزوجية متماثلًا حول المحور الإحداثي. الدالة f(x)، المحددة في المقطع J)، حيث I > 0، تسمى غريبة إذا كان الرسم البياني للدالة الفردية متماثلًا بالنسبة إلى الأصل. مثال. أ) تكون الدالة زوجية في الفترة |-jt, jt)، نظرًا لأن جميع x e b) تكون الدالة فردية، نظرًا لأن توسيع متسلسلة فورييه للدوال الزوجية والفردية هو توسيع دالة معطاة في فترة إلى سلسلة في الجيب أو جيب التمام سلسلة فورييه لوظيفة ذات فترة تعسفية تمثيل معقد لسلسلة فورييه سلسلة فورييه للأنظمة المتعامدة العامة للوظائف سلسلة فورييه لنظام متعامد خاصية الحد الأدنى لمعاملات فورييه عدم مساواة بيسل مساواة بارسيفال الأنظمة المغلقة اكتمال وإغلاق الأنظمة ج) الوظيفة f (x)=x2-x، حيث لا تنتمي إلى الدوال الزوجية أو الفردية، حيث دع الدالة f(x)، التي تحقق شروط النظرية 1، تكون زوجية في الفترة x|. ثم للجميع أي. /(x) cos nx هي دالة زوجية، وf(x) sinnx هي دالة فردية. لذلك، فإن معاملات فورييه للدالة الزوجية f(x) ستكون متساوية، وبالتالي فإن سلسلة فورييه للدالة الزوجية لها الشكل f(x) sin х - دالة زوجية. لذلك، سيكون لدينا وهكذا، فإن متسلسلة فورييه للدالة الفردية لها الشكل مثال 1. قم بتوسيع الدالة 4 إلى متسلسلة فورييه على الفاصل الزمني -x ^ x ^ n بما أن هذه الدالة زوجية وتفي بشروط النظرية 1، ثم تكون متسلسلة فورييه الخاصة بها على شكل أوجد معاملات فورييه. لدينا تطبيق التكامل بالأجزاء مرتين، نحصل على ذلك، تبدو سلسلة فورييه لهذه الوظيفة كما يلي: أو، في شكل موسع، هذه المساواة صالحة لأي x €، لأنه عند النقاط x = ±ir مجموع تتزامن السلسلة مع قيم الدالة f(x) = x2، حيث أن الرسوم البيانية للدالة f(x) = x ومجموع السلسلة الناتجة موضحة في الشكل. تعليق. تتيح لنا متسلسلة فورييه هذه إيجاد مجموع إحدى السلاسل العددية المتقاربة، أي أنه بالنسبة لـ x = 0 نحصل على المثال 2. قم بتوسيع الدالة /(x) = x إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني. الدالة /(x) تحقق شروط النظرية 1، وبالتالي يمكن توسيعها إلى متسلسلة فورييه، والتي، بسبب غرابة هذه الدالة، سيكون لها شكل التكامل بالأجزاء، نجد معاملات فورييه. سلسلة فورييه من هذه الدالة لها الشكل هذه المساواة تنطبق على جميع x B عند النقاط x - ±t مجموع سلسلة فورييه لا يتطابق مع قيم الدالة /(x) = x، لأنها تساوي خارج الفترة [-*, i-] مجموع المتسلسلة هو استمرار دوري للدالة /(x) = x; يظهر الرسم البياني الخاص به في الشكل. 6. § 6. توسيع الدالة المعطاة على الفاصل الزمني إلى سلسلة في الجيب أو جيب التمام دع وظيفة رتيبة محدودة / تُعطى على الفاصل الزمني. قيم هذه الدالة على الفاصل الزمني 0| يمكن تعريفها بشكل أكبر بطرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكنك تحديد دالة / في المقطع tc] بحيث يكون /. في هذه الحالة يقولون أن) "يمتد إلى الجزء 0] بطريقة متساوية"؛ سوف تحتوي سلسلة فورييه الخاصة بها على جيب التمام فقط. إذا تم تعريف الدالة /(x) في الفاصل الزمني [-l-, mc] بحيث يكون /()، فإن النتيجة تكون دالة فردية، ثم يقولون أن / "ممتد إلى الفاصل الزمني [-*, 0] "بطريقة غريبة"؛ في هذه الحالة، ستحتوي سلسلة فورييه على الجيوب فقط. وبالتالي، يمكن توسيع كل دالة رتيبة محدودة التعريف /(x) محددة على الفاصل الزمني إلى سلسلة فورييه في كل من جيب التمام وجيب التمام. مثال 1 قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه: أ) بواسطة جيب التمام؛ ب) بالجيوب. M هذه الدالة، مع استمراراتها الزوجية والفردية في المقطع |-x,0) ستكون محدودة ورتيبة. أ) مدد /(z) إلى المقطع 0) أ) مدد j\x) إلى المقطع (-π,0| بطريقة متساوية (الشكل 7)، ثم متسلسلة فورييه i سيكون لها الشكل Π = 1 حيث تكون معاملات فورييه متساوية، على التوالي، لذلك، ب) دعونا نمد /(z) إلى المقطع [-x,0] بطريقة غريبة (الشكل 8). ثم سلسلة فورييه §7. متسلسلة فورييه لدالة ذات فترة اختيارية (دع إصلاح الوظيفة) تكون دورية بفترة 21.1 ^ 0. لتوسيعها إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني حيث I > 0، نقوم بإجراء تغيير للمتغير عن طريق الإعداد x = jt . إذن الدالة F(t) = / ^tj ستكون دالة دورية للوسيطة t مع فترة ويمكن توسيعها على المقطع إلى متسلسلة فورييه وبالعودة إلى المتغير x أي الإعداد نحصل على جميع النظريات صالحة بالنسبة لسلسلة فورييه من الوظائف الدورية ذات الفترة 2π، تظل صالحة للوظائف الدورية ذات الفترة التعسفية 21. على وجه الخصوص، يظل المعيار الكافي لتحلل الوظيفة في سلسلة فورييه صالحًا أيضًا. مثال 1. قم بتوسيع دالة دورية إلى متسلسلة فورييه بدورة 21، معطاة في الفترة [-/,/] بالصيغة (الشكل 9). بما أن هذه الدالة زوجية، فإن متسلسلة فورييه الخاصة بها لها الشكل: باستبدال القيم الموجودة لمعاملات فورييه في متسلسلة فورييه، نحصل على خاصية واحدة مهمة للدوال الدورية. النظرية 5. إذا كانت الدالة لها فترة T وقابلة للتكامل، فإن المساواة m تحمل لأي رقم a. أي أن تكامل المقطع الذي يساوي طوله الفترة T له نفس القيمة بغض النظر عن موضع هذا المقطع على محور الرقم. في الواقع، قمنا بتغيير المتغير في التكامل الثاني، على افتراض. وهذا يعطي وبالتالي، هندسيًا، هذه الخاصية تعني أنه في حالة المنطقة المظللة في الشكل. 10 مناطق متساوية مع بعضها البعض. على وجه الخصوص، بالنسبة للدالة f(x) ذات الفترة التي نحصل عليها عند التوسيع إلى سلسلة فورييه من الدوال الزوجية والفردية، وتوسيع دالة معينة على فترة زمنية إلى سلسلة في الجيب أو جيب التمام الفترة التدوين المركب لسلسلة فورييه سلسلة فورييه بشكل عام وظائف الأنظمة المتعامدة سلسلة فورييه في نظام متعامد خاصية الحد الأدنى لمعاملات فورييه عدم مساواة بيسل مساواة بارسيفال الأنظمة المغلقة اكتمال وإغلاق الأنظمة مثال 2. الدالة x دورية مع فترة بسبب غرابة هذه الوظيفة، دون حساب التكاملات، يمكننا أن نذكر أنه بالنسبة لأي خاصية مثبتة، على وجه الخصوص، توضح أن معاملات فورييه للدالة الدورية f(x) مع فترة 21 يمكن حسابها باستخدام الصيغ حيث a هي اِعتِباطِيّ عدد حقيقي(لاحظ أن الدوال cos - وsin لها دورتها 2/). مثال 3. قم بتوسيع دالة معينة إلى سلسلة فورييه على فترة زمنية قدرها 2x (الشكل 11). 4 لنجد معاملات فورييه لهذه الدالة. وبوضع الصيغ نجد أن لذلك، فإن متسلسلة فورييه ستبدو هكذا: عند النقطة x = jt (نقطة عدم الاستمرارية من النوع الأول) لدينا §8. التسجيل المعقد لسلسلة فورييه يستخدم هذا القسم بعض عناصر التحليل المعقد (انظر الفصل الثلاثين، حيث يتم تبرير جميع الإجراءات التي يتم تنفيذها هنا باستخدام التعبيرات المعقدة بشكل صارم). دع الدالة f(x) تستوفي الشروط الكافية للتوسع في سلسلة فورييه. ثم في المقطع x] يمكن تمثيله بسلسلة من النموذج باستخدام صيغ أويلر استبدال هذه التعبيرات في سلسلة (1) بدلاً من cos πx وsin φx سيكون لدينا نقدم الترميز التالي ثم السلسلة (2) ستأخذ وهكذا يتم تمثيل متسلسلة فورييه (1) بشكل معقد (3). دعونا نجد تعبيرات للمعاملات من خلال التكاملات. لدينا بالمثل نجد أن الصيغ النهائية لـ с و с_п و с يمكن كتابتها على النحو التالي: . . تسمى المعاملات № معاملات فورييه المعقدة للدالة. بالنسبة لدالة دورية ذات فترة)، فإن الشكل المركب لمتسلسلة فورييه سيأخذ الشكل حيث يتم حساب المعاملات Cn باستخدام الصيغ. ) و (4) تُفهم على النحو التالي: تسمى المتسلسلة (3) و (4) متقاربة قيمة معينة ز، إذا كان هناك حدود مثال. قم بتوسيع دالة الفترة إلى متسلسلة فورييه معقدة، حيث تلبي هذه الدالة الشروط الكافية للتوسيع إلى متسلسلة فورييه. دعونا نجد معاملات فورييه المعقدة لهذه الدالة. لدينا عدد فردي لـ n، أو باختصار. باستبدال القيم)، نحصل أخيرًا على ملاحظة أنه يمكن أيضًا كتابة هذه المتسلسلة على النحو التالي: متسلسلة فورييه للأنظمة المتعامدة العامة للوظائف 9.1. أنظمة الوظائف المتعامدة دعنا نشير إلى مجموعة جميع الوظائف (الحقيقية) المحددة والقابلة للتكامل على الفاصل الزمني [a، 6] مع مربع، أي تلك التي يوجد لها تكامل. على وجه الخصوص، جميع الوظائف f(x) مستمرة على الفاصل الزمني [أ، 6]، تنتمي إلى 6]، وتتوافق قيم تكاملات ليبيغ الخاصة بهم مع قيم تكاملات ريمان. تعريف. يسمى نظام الوظائف، حيث، متعامدًا على الفترة [a، b\، إذا كان الشرط (1) يفترض، على وجه الخصوص، أن أياً من الوظائف لا يساوي الصفر المتماثل. يتم فهم التكامل بمعنى Lebesgue. ونحن نسمي الكمية معيار الدالة، وإذا كان لدينا نظام متعامد لأي n، فإن نظام الدوال يسمى متعامدًا. إذا كان النظام (y>«(x)) متعامدًا، فإن النظام مثال 1. النظام المثلثي متعامد على قطعة ما. نظام الدوال هو نظام متعامد للدوال، في المثال 2. نظام جيب التمام ونظام الجيب متعامدان. دعونا نقدم الإشارة إلى أنها متعامدة على الفترة (0، f|، ولكنها ليست متعامدة (من أجل I Ф- 2). بما أن معاييرها هي COS مثال 3. كثيرات الحدود المعرفة بالمساواة تسمى متعددات الحدود الأسطورية (متعددات الحدود). n = 0 لدينا يمكن إثبات أن الدوال تشكل نظامًا متعامدًا من الدوال على الفترة. دعنا نظهر، على سبيل المثال، تعامد كثيرات حدود ليجيندر. دع m > n. في هذه الحالة، التكامل n مرات بواسطة الأجزاء نجد أنه بالنسبة للدالة t/m = (z2 - I)m جميع المشتقات حتى الترتيب m - I شاملة تختفي في نهايات القطعة [-1,1). تعريف. يسمى نظام الدوال (pn(x)) متعامدًا على الفترة (a, b) بواسطة المتراكب p(x) إذا: 1) لكل n = 1,2,... هناك تكاملات. هنا هو يفترض أن دالة الوزن p(x) محددة وموجبة في كل مكان على الفاصل الزمني (a، b) مع استثناء محتمل لعدد محدود من النقاط حيث يمكن أن تختفي p(x). وبعد إجراء الاشتقاق في الصيغة (3) نجد. يمكن إثبات أن كثيرات حدود Chebyshev-Hermite متعامدة على الفاصل الزمني، المثال 4. نظام دوال Bessel (jL(pix)^ متعامد على الأصفار الفاصلة لدالة Bessel المثال 5. دعونا نفكر في كثيرات حدود Chebyshev-Hermite والتي يمكن تعريفها باستخدام المساواة. متسلسلة فورييه في نظام متعامد ليكن هناك نظام متعامد من الدوال في الفترة (a, 6) ودع المتسلسلة (cj = const) تتقارب في هذه الفترة إلى الدالة f(x): ضرب طرفي المساواة الأخيرة بواسطة - ثابت) والتكامل على x من a إلى 6، نظرًا لتعامد النظام، نحصل على أن هذه العملية لها، بشكل عام، طابع رسمي بحت. ومع ذلك، في بعض الحالات، على سبيل المثال، عندما تتقارب المتسلسلة (4) بشكل منتظم، وتكون جميع الدوال متصلة والفاصل الزمني (a، 6) محدود، تكون هذه العملية قانونية. ولكن بالنسبة لنا الآن فإن التفسير الرسمي هو المهم. لذا، دع الوظيفة تعطى. دعونا نشكل الأعداد c* حسب الصيغة (5) ونكتبها، السلسلة الموجودة على الجانب الأيمن تسمى متسلسلة فورييه للدالة f(x) بالنسبة للنظام (^n(i)). تسمى معاملات فورييه للدالة f(x) فيما يتعلق بهذا النظام. الإشارة ~ في الصيغة (6) تعني فقط أن الأرقام Cn مرتبطة بالدالة f(x) بالصيغة (5) (لا يُفترض أن السلسلة الموجودة على اليمين تتقارب على الإطلاق، ناهيك عن أنها تتقارب مع الدالة f (خ)). ولذلك فإن السؤال الذي يطرح نفسه بطبيعة الحال: ما هي خصائص هذه السلسلة؟ بأي معنى "تمثل" الدالة f(x)؟ 9.3. التقارب في المتوسط ​​التعريف. يتقارب التسلسل مع العنصر ] في المتوسط ​​إذا كان المعيار موجودًا في نظرية الفضاء 6. إذا كان التسلسل ) يتقارب بشكل منتظم، فإنه يتقارب في المتوسط. M دع التسلسل ()) يتقارب بشكل منتظم على الفاصل الزمني [a، b] للدالة /(x). هذا يعني أنه بالنسبة للجميع، لكل كبير بما فيه الكفاية، لدينا لذلك، والذي يتبعه بياننا. والعكس غير صحيح: فقد يتقارب التسلسل () في المتوسط ​​إلى /(x)، ولكنه لا يكون متقاربًا بشكل منتظم. مثال. خذ بعين الاعتبار التسلسل nx، فمن السهل أن نرى ذلك ولكن هذا التقارب ليس منتظمًا: يوجد e، على سبيل المثال، بحيث، بغض النظر عن حجم n، على الفاصل الزمني لجيب التمام، متسلسلة فورييه لدالة ذات فترة عشوائية تمثيل معقد من سلسلة فورييه سلسلة فورييه للأنظمة المتعامدة العامة للوظائف سلسلة فورييه لنظام متعامد خاصية الحد الأدنى لمعاملات فورييه متباينة بيسل مساواة بارسيفال الأنظمة المغلقة اكتمال وإغلاق الأنظمة ودعنا نشير بـ c* إلى معاملات فورييه للدالة /(x ) من خلال نظام متعامد ب النظر في مجموعة خطية حيث n ^ 1 هو عدد صحيح ثابت، والعثور على قيم الثوابت التي يأخذها التكامل الحد الأدنى للقيمة. دعونا نكتبها بمزيد من التفصيل، ونحصل على التكامل حدًا بعد حد، نظرًا لانتظام النظام، أول حدين على الجانب الأيمن من المساواة (7) مستقلان، والحد الثالث غير سالب. ولذلك فإن التكامل (*) يأخذ قيمة صغرى عند ak = sk. ويسمى التكامل تقريب مربع متوسط ​​الدالة /(x) من خلال مجموعة خطية من Tn(x). وبالتالي، فإن تقريب مربع جذر متوسط ​​الدالة /\ يأخذ قيمة دنيا عندما. عندما يكون Tn(x) هو المجموع الجزئي رقم 71 لسلسلة فورييه للدالة /(x) على النظام (. تحديد ak = sk، من (7) نحصل على المساواة (9) يسمى هوية بيسل. منذ يسارها الجانب غير سالب، ومن ثم تتبع متباينة بسل. وبما أنني هنا بشكل تعسفي، يمكن تمثيل متباينة بسل في شكل معزز، أي لأي دالة / تتقارب سلسلة معاملات فورييه المربعة لهذه الدالة في نظام متعامد. . بما أن النظام متعامد على الفترة [-x, m]، فإن عدم المساواة (10) المترجمة إلى التدوين المعتاد لسلسلة فورييه المثلثية تعطي العلاقة الصالحة لأي دالة /(x) مع مربع قابل للتكامل. إذا كانت f2(x) قابلة للتكامل، فذلك بسبب شرط ضروريتقارب المتسلسلة على الجانب الأيسر من عدم المساواة (11) نحصل على ذلك. مساواة بارسيفال بالنسبة لبعض الأنظمة (^"(x))، يمكن استبدال علامة عدم المساواة في الصيغة (10) (لجميع الوظائف f(x) 6 ×) بعلامة المساواة. وتسمى المساواة الناتجة بمساواة بارسيفال-ستيكلوف (شرط الاكتمال). تسمح لنا هوية بسل (9) بكتابة الشرط (12) بصيغة مكافئة، وبالتالي فإن استيفاء شرط الاكتمال يعني أن المجاميع الجزئية Sn(x) لسلسلة فورييه للدالة /(x) تتقارب مع الدالة /(x) في المتوسط، أي حسب قاعدة المساحة 6]. تعريف. يُسمى النظام المتعامد الطبيعي (مكتملًا في b2[ау b] إذا كان من الممكن تقريب كل دالة في المتوسط ​​بأي دقة من خلال مجموعة خطية من النموذج c بشكل كافٍ عدد كبيرالمصطلحات، أي إذا كان لكل دالة f(x) € b2[a, b\ ولأي e > 0 هناك عدد طبيعي nq والأرقام a\, a2y...، بحيث لا يتبع المنطق أعلاه النظرية 7. إذا كان النظام مكتملًا في الفضاء عن طريق التعامد، فإن سلسلة فورييه لأي دالة / فوق هذا النظام تتقارب مع f(x) على المتوسط، أي حسب القاعدة، يمكن إثبات أن النظام المثلثي مكتمل في الفضاء، وهذا يعني البيان. النظرية 8. إذا كانت الدالة /o فإن سلسلة فورييه المثلثية الخاصة بها تتقارب معها في المتوسط. 9.5. الأنظمة المغلقة. تعريف اكتمال وإغلاق الأنظمة. يُطلق على نظام الوظائف المتعامدة \ اسم مغلق إذا كان في الفضاء Li\a, b) لا توجد دالة غير صفرية متعامدة لجميع الوظائف. في الفضاء L2\a, b\، تتطابق مفاهيم الاكتمال والانغلاق للأنظمة المتعامدة. تمارين 1. قم بتوسيع الدالة 2 إلى سلسلة فورييه في الفترة (-i-، x) 2. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه في الفترة (-tr، tr) 3. قم بتوسيع الدالة 4 إلى سلسلة فورييه في الفاصل الزمني (-tr, tr) في سلسلة فورييه في دالة الفاصل الزمني (-jt, tr) 5. قم بتوسيع الدالة f(x) = x + x في سلسلة فورييه في الفاصل الزمني (-tr, tr). 6. قم بتوسيع الدالة n إلى سلسلة فورييه في الفترة (-jt, tr) 7. قم بتوسيع الدالة /(x) = sin2 x إلى سلسلة فورييه في الفترة (-tr, x). 8. قم بتوسيع الدالة f(x) = y إلى سلسلة فورييه في الفترة (-tr, jt) 9. قم بتوسيع الدالة f(x) = | الخطيئة س|. 10. قم بتوسيع الدالة f(x) = § إلى سلسلة فورييه في الفترة (-π-، π). 11. قم بتوسيع الدالة f(x) = sin § إلى سلسلة فورييه في الفترة (-tr, tr). 12. قم بتوسيع الدالة f(x) = n -2x، المعطاة في الفترة (0، x)، إلى سلسلة فورييه، وتوسيعها إلى الفترة (-x، 0): أ) بطريقة متساوية؛ ب) بطريقة غريبة. 13. قم بتوسيع الدالة /(x) = x2، المعطاة في الفترة (0، x)، إلى سلسلة فورييه في جيب الزاوية. 14. قم بتوسيع الدالة /(x) = 3، الواردة في الفترة (-2,2)، إلى متسلسلة فورييه. 15. قم بتوسيع الدالة f(x) = |x|، المعطاة في الفترة (-1,1)، إلى متسلسلة فورييه. 16. قم بتوسيع الدالة f(x) = 2x، المحددة في الفاصل الزمني (0،1)، إلى سلسلة فورييه في الجيوب.

متسلسلة فورييه هي تمثيل لدالة عشوائية ذات فترة محددة على شكل سلسلة. في منظر عام هذا القراريسمى تحلل العنصر على أساس متعامد. يعد توسيع الدوال إلى متسلسلة فورييه أداة قوية إلى حد ما لحل المشكلات المختلفة نظرًا لخصائص هذا التحويل أثناء التكامل والتمايز وكذلك تحويل التعبيرات عن طريق الوسيطة والالتواء.

الشخص الذي ليس على دراية بالرياضيات العليا، وكذلك أعمال العالم الفرنسي فورييه، على الأرجح لن يفهم ما هي هذه "السلسلة" وما هي الحاجة إليها. وفي الوقت نفسه، أصبح هذا التحول مدمجًا تمامًا في حياتنا. يتم استخدامه ليس فقط من قبل علماء الرياضيات، ولكن أيضًا من قبل الفيزيائيين والكيميائيين والأطباء وعلماء الفلك وعلماء الزلازل وعلماء المحيطات وغيرهم الكثير. دعونا أيضًا نلقي نظرة فاحصة على أعمال العالم الفرنسي العظيم الذي توصل إلى اكتشاف سابق لعصره.

الإنسان وتحويل فورييه

تعتبر متسلسلة فورييه إحدى الطرق (مع التحليل وغيره)، وتحدث هذه العملية في كل مرة يسمع فيها الإنسان صوتاً. تقوم أذننا تلقائيًا بالتحول الجسيمات الأوليةفي وسط مرن يتم وضعها في صفوف (على طول الطيف) لقيم مستوى جهارة الصوت المتتالية للنغمات ذات الارتفاعات المختلفة. بعد ذلك، يقوم الدماغ بتحويل هذه البيانات إلى أصوات مألوفة بالنسبة لنا. كل هذا يحدث دون رغبتنا أو وعينا، من تلقاء نفسه، ولكن لفهم هذه العمليات، سوف يستغرق الأمر عدة سنوات لدراسة الرياضيات العليا.

المزيد عن تحويل فورييه

يمكن إجراء تحويل فورييه باستخدام الطرق التحليلية والعددية وغيرها. تشير سلسلة فورييه إلى الطريقة العددية لتحليل أي عمليات تذبذبية - من المد والجزر في المحيطات والأمواج الضوئية إلى دورات النشاط الشمسي (والأجسام الفلكية الأخرى). باستخدام هذه التقنيات الرياضية، يمكنك تحليل الوظائف، وتمثيل أي عمليات تذبذبية كسلسلة من المكونات الجيبية التي تتحرك من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى والعودة. تحويل فورييه هو دالة تصف طور وسعة الجيوب الأنفية المقابلة لتردد معين. يمكن استخدام هذه العملية لحل جدا معادلات معقدةالتي تصف العمليات الديناميكية التي تنشأ تحت تأثير الحرارة أو الضوء أو طاقة كهربائية. كما تتيح سلسلة فورييه أيضًا عزل المكونات الثابتة في الإشارات التذبذبية المعقدة، مما يجعل من الممكن تفسير الملاحظات التجريبية التي تم الحصول عليها في الطب والكيمياء وعلم الفلك بشكل صحيح.

مرجع تاريخي

الأب المؤسس لهذه النظرية هو عالم الرياضيات الفرنسي جان بابتيست جوزيف فورييه. وقد سمي هذا التحول فيما بعد باسمه. في البداية، استخدم العالم طريقته لدراسة وشرح آليات التوصيل الحراري - انتشار الحرارة المواد الصلبة. اقترح فورييه أن التوزيع الأولي غير المنتظم يمكن أن يتحلل إلى جيوب بسيطة، كل منها سيكون له الحد الأدنى والحد الأقصى لدرجة الحرارة الخاصة به، بالإضافة إلى الطور الخاص به. في هذه الحالة، سيتم قياس كل مكون من هذا القبيل من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى والعودة. وظيفة رياضية، الذي يصف القمم العلوية والسفلية للمنحنى، وكذلك مرحلة كل من التوافقيات، كان يسمى تحويل فورييه للتعبير عن توزيع درجة الحرارة. قام مؤلف النظرية باختزال دالة التوزيع العامة، التي يصعب وصفها رياضيًا، إلى سلسلة ملائمة جدًا من جيب التمام والجيب، والتي تعطي معًا التوزيع الأصلي.

مبدأ التحول وآراء المعاصرين

ولم يقبل معاصرو العالم - علماء الرياضيات البارزون في أوائل القرن التاسع عشر - هذه النظرية. كان الاعتراض الرئيسي هو تأكيد فورييه على أن الدالة المتقطعة، التي تصف خطًا مستقيمًا أو منحنى متقطعًا، يمكن تمثيلها كمجموع من التعبيرات الجيبية المستمرة. على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار خطوة هيفيسايد: قيمتها صفر على يسار الانقطاع وواحد على اليمين. تصف هذه الوظيفة التبعية التيار الكهربائيمن متغير مؤقت عند إغلاق الدائرة. لم يواجه معاصرو النظرية في ذلك الوقت أبدًا موقفًا مشابهًا عندما يتم وصف التعبير المتقطع بمزيج من المستمر، وظائف عادية، مثل الأسي أو الجيب أو الخطي أو التربيعي.

ما الذي حير علماء الرياضيات الفرنسيين حول نظرية فورييه؟

بعد كل شيء، إذا كان عالم الرياضيات على حق في بياناته، فمن خلال جمع متسلسلة فورييه المثلثية اللانهائية، يمكن للمرء الحصول على تمثيل دقيق للتعبير الخطوة حتى لو كان لديه العديد من الخطوات المماثلة. في بداية القرن التاسع عشر، بدا مثل هذا البيان سخيفا. لكن رغم كل الشكوك، قام العديد من علماء الرياضيات بتوسيع نطاق دراسة هذه الظاهرة، حيث أخذوها إلى ما هو أبعد من دراسة التوصيل الحراري. ومع ذلك، ظل معظم العلماء يتعذبون بالسؤال: "هل يمكن لمجموع المتسلسلة الجيبية أن يتقارب مع القيمة الدقيقة للدالة غير المتصلة؟"

تقارب متسلسلة فورييه: مثال

تنشأ مسألة التقارب عندما يكون من الضروري جمع سلسلة لا حصر لها من الأرقام. لفهم هذه الظاهرة، النظر المثال الكلاسيكي. هل ستتمكن يومًا ما من الوصول إلى الحائط إذا كان حجم كل خطوة لاحقة نصف حجم الخطوة السابقة؟ لنفترض أنك على بعد مترين من هدفك، والخطوة الأولى تأخذك إلى علامة منتصف الطريق، والخطوة التالية تأخذك إلى علامة الثلاثة أرباع، وبعد الخطوة الخامسة ستكون قد قطعت ما يقرب من 97 بالمائة من الطريق. ومع ذلك، بغض النظر عن عدد الخطوات التي تتخذها، فلن تحقق هدفك المقصود بالمعنى الرياضي الدقيق. باستخدام الحسابات العددية، يمكن إثبات أنه من الممكن في النهاية الاقتراب من مسافة معينة. وهذا البرهان يعادل إثبات أن مجموع النصف والربع وما إلى ذلك يميل إلى الوحدة.

مسألة التقارب: المجيء الثاني، أو جهاز اللورد كلفن

وقد أثيرت هذه المسألة مرة أخرى في نهاية القرن التاسع عشر، عندما حاولوا استخدام متسلسلة فورييه للتنبؤ بقوة المد والجزر. في هذا الوقت، اخترع اللورد كلفن أداة، وهي عبارة عن جهاز حاسوبي تناظري يسمح للبحارة البحريين العسكريين والتجار بتتبع هذا ظاهرة طبيعية. تحدد هذه الآلية مجموعات من المراحل والسعات من جدول ارتفاعات المد والجزر والنقاط الزمنية المقابلة، ويتم قياسها بعناية في ميناء معين على مدار العام. كانت كل معلمة مكونًا جيبيًا لتعبير ارتفاع المد وكانت أحد المكونات العادية. تم إدخال القياسات في أداة حساب اللورد كلفن، والتي قامت بتجميع منحنى يتنبأ بارتفاع الماء كدالة للوقت في العام التالي. وسرعان ما تم رسم منحنيات مماثلة لجميع موانئ العالم.

ماذا لو تعطلت العملية بسبب وظيفة متقطعة؟

في ذلك الوقت بدا من الواضح أن أداة التنبؤ بموجات المد والجزر بها كمية كبيرةيمكن حساب عناصر الحساب عدد كبير منالمراحل والسعات وبالتالي توفير تنبؤات أكثر دقة. ومع ذلك، فقد تبين أن هذا النمط لا يلاحظ في الحالات التي يحتوي فيها التعبير المدي الذي ينبغي تصنيعه على قفزة حادة، أي أنه كان متقطعا. إذا تم إدخال بيانات من جدول اللحظات الزمنية إلى الجهاز، فإنه يقوم بحساب عدة معاملات فورييه. تتم استعادة الوظيفة الأصلية بفضل المكونات الجيبية (وفقًا للمعاملات الموجودة). يمكن قياس التناقض بين التعبير الأصلي والمعاد بناؤه في أي وقت. عند إجراء الحسابات والمقارنات المتكررة، فمن الواضح أن قيمة الخطأ الأكبر لا تنخفض. ومع ذلك، فهي موضعية في المنطقة المقابلة لنقطة الانقطاع، وعند أي نقطة أخرى تميل إلى الصفر. وفي عام 1899، تم تأكيد هذه النتيجة نظريًا من قبل جوشوا ويلارد جيبس ​​من جامعة ييل.

تقارب متسلسلة فورييه وتطور الرياضيات بشكل عام

لا ينطبق تحليل فورييه على التعبيرات التي تحتوي على عدد لا حصر له من المسامير خلال فترة زمنية معينة. بشكل عام، متسلسلة فورييه، إذا تم تمثيل الدالة الأصلية بنتيجة قياس فيزيائي حقيقي، تتقارب دائمًا. قضايا التقارب هذه العمليةلفئات محددة من الوظائف أدى إلى ظهور فروع جديدة في الرياضيات، على سبيل المثال، نظرية الوظائف المعممة. وهي مرتبطة بأسماء مثل L. Schwartz وJ. Mikusinski وJ.Temple. وفي إطار هذه النظرية واضح ودقيق اساس نظرىتحت تعبيرات مثل دالة دلتا ديراك (وهي تصف منطقة من منطقة واحدة مركزة في منطقة متناهية الصغر من نقطة ما) و"خطوة هيفيسايد". بفضل هذا العمل، أصبحت متسلسلة فورييه قابلة للتطبيق في حل المعادلات والمسائل التي تتضمن مفاهيم بديهية: الشحنة النقطية، والكتلة النقطية، وثنائيات القطب المغناطيسي، والحمل المركز على الحزمة.

طريقة فورييه

تبدأ متسلسلة فورييه، وفقًا لمبادئ التداخل، بتحلل الأشكال المعقدة إلى أشكال أبسط. على سبيل المثال، التغيير تدفق الحرارةويفسر ذلك من خلال مروره عبر عوائق مختلفة مصنوعة من مواد عازلة للحرارة ذو شكل غير منتظمأو تغيير في سطح الأرض - زلزال، تغيير في المدار الجرم السماوي- تأثير الكواكب. كقاعدة عامة، يمكن حل المعادلات التي تصف الأنظمة الكلاسيكية البسيطة بسهولة لكل موجة على حدة. أظهر فورييه أنه يمكن أيضًا جمع الحلول البسيطة للحصول على حل أكثر المهام المعقدة. من الناحية الرياضية، تعد متسلسلة فورييه تقنية لتمثيل تعبير كمجموع التوافقيات - جيب التمام والجيب. لهذا هذا التحليلالمعروف أيضا باسم التحليل التوافقي.

سلسلة فورييه - تقنية مثالية قبل "عصر الكمبيوتر"

قبل إنشاء تكنولوجيا الكمبيوتر، كانت تقنية فورييه أفضل سلاح في ترسانة العلماء عند العمل مع الطبيعة الموجية لعالمنا. تتيح متسلسلة فورييه في شكلها المعقد حل ليس فقط المسائل البسيطة القابلة للتطبيق المباشر لقوانين نيوتن في الميكانيكا، بل أيضًا المعادلات الأساسية. إن معظم اكتشافات العلوم النيوتونية في القرن التاسع عشر لم تكن ممكنة إلا بفضل تقنية فورييه.

سلسلة فورييه اليوم

مع تطور أجهزة الكمبيوتر، ارتفعت تحويلات فورييه إلى مستوى جديد نوعيا. هذه التقنية راسخة في جميع مجالات العلوم والتكنولوجيا تقريبًا. ومن الأمثلة على ذلك الصوت والفيديو الرقمي. ولم يصبح تنفيذه ممكنا إلا بفضل النظرية التي طورها عالم الرياضيات الفرنسي في بداية القرن التاسع عشر. وهكذا، فإن سلسلة فورييه في شكل معقد جعلت من الممكن تحقيق اختراق في دراسة الفضاء الخارجي. بالإضافة إلى ذلك، فقد أثر على دراسة فيزياء المواد شبه الموصلة والبلازما، وصوتيات الموجات الدقيقة، وعلم المحيطات، والرادار، وعلم الزلازل.

سلسلة فورييه المثلثية

في الرياضيات، متسلسلة فورييه هي طريقة لتمثيل الدوال المعقدة بشكل عشوائي كمجموع من الدوال الأبسط. وفي الحالات العامة، يمكن أن يكون عدد هذه التعبيرات لا نهائيًا. علاوة على ذلك، كلما زاد عددهم في الحساب، كلما كانت النتيجة النهائية أكثر دقة. في أغلب الأحيان، يتم استخدام الدوال المثلثية لجيب التمام أو الجيب كأبسط الوظائف. في هذه الحالة، تسمى متسلسلة فورييه المثلثية، ويسمى حل هذه التعبيرات بالتوسع التوافقي. تلعب هذه الطريقة دورًا مهمًا في الرياضيات. بداية، توفر المتسلسلة المثلثية وسيلة لتصوير ودراسة الدوال، فهي الجهاز الرئيسي للنظرية. وبالإضافة إلى ذلك، فإنه يسمح لك بحل عدد من المسائل في الفيزياء الرياضية. أخيراً، هذه النظريةساهم في تطوير عدد من الأقسام المهمة جدًا العلوم الرياضية(نظرية التكاملات، نظرية الدوال الدورية). وبالإضافة إلى ذلك، كان بمثابة نقطة انطلاق للتنمية الوظائف التاليةالمتغير الحقيقي، كما وضع الأساس للتحليل التوافقي.

وهي بالفعل مملة جدًا. وأشعر أن اللحظة قد حانت عندما حان الوقت لاستخراج سلع معلبة جديدة من الاحتياطيات الاستراتيجية للنظرية. هل من الممكن توسيع الوظيفة إلى سلسلة بطريقة أخرى؟ على سبيل المثال، التعبير عن قطعة مستقيمة من حيث الجيب وجيب التمام؟ يبدو الأمر لا يصدق، ولكن مثل هذه الوظائف التي تبدو بعيدة يمكن أن تكون كذلك
"إعادة التوحيد". بالإضافة إلى الدرجات المألوفة من الناحية النظرية والتطبيقية، هناك طرق أخرى لتوسيع الدالة إلى سلسلة.

في هذا الدرس سوف نتعرف على متسلسلة فورييه المثلثية، ونتطرق إلى مسألة تقاربها ومجموعها، وبالطبع، سنحلل العديد من الأمثلة على مفكوك الدوال في متسلسلة فورييه. أردت بصدق أن أسمي المقال "متسلسلة فورييه للدمى"، لكن هذا سيكون مخادعًا، لأن حل المشكلات يتطلب معرفة بفروع أخرى من التحليل الرياضي وبعض الخبرة العملية. ولذلك فإن الديباجة سوف تشبه تدريب رواد الفضاء =)

أولا، يجب عليك التعامل مع دراسة مواد الصفحة في شكل ممتاز. نعسان ومرتاح ورصين. بدون مشاعر قوية حول مخلب الهامستر المكسور و أفكار هوسيةعن مصاعب الحياة لأسماك الزينة. ومع ذلك، ليس من الصعب فهم متسلسلة فورييه المهام العمليةإنها تتطلب ببساطة تركيزًا متزايدًا من الاهتمام - ومن الناحية المثالية، يجب عليك فصل نفسك تمامًا عن المحفزات الخارجية. ويتفاقم الوضع بسبب عدم وجود طريقة سهلة للتحقق من الحل والإجابة. وبالتالي، إذا كانت صحتك أقل من المتوسط، فمن الأفضل أن تفعل شيئا أسهل. هل هذا صحيح؟

ثانيا، قبل الطيران إلى الفضاء، من الضروري دراسة لوحة العدادات الخاصة بالمركبة الفضائية. لنبدأ بقيم الوظائف التي يجب النقر عليها على الجهاز:

لأي قيمة طبيعية:

1) . في الواقع، يقوم الشكل الجيبي "بغرز" المحور السيني من خلال كل "باي":
. متى القيم السلبيةالحجة، والنتيجة، بطبيعة الحال، ستكون هي نفسها: .

2) . ولكن لم يكن الجميع يعرف هذا. جيب التمام "pi" هو ما يعادل "الوامض":

الحجة السلبية لا تغير الأمر: .

ربما هذا يكفي.

وثالثًا، أعزائي طاقم رواد الفضاء، يجب أن تكونوا قادرين على... دمج .
على وجه الخصوص، بثقة تدرج الدالة تحت العلامة التفاضلية , دمج تدريجي ويكون في سلام مع صيغة نيوتن-لايبنتز . لنبدأ بتمارين ما قبل الرحلة المهمة. لا أنصح بشكل قاطع بتخطيه، حتى لا تتعرض لانعدام الوزن لاحقًا:

مثال 1

حساب التكاملات المحددة

حيث يأخذ القيم الطبيعية.

حل: يتم التكامل على المتغير "x" وفي هذه المرحلة يعتبر المتغير المنفصل "en" ثابتا. في جميع التكاملات ضع الدالة تحت العلامة التفاضلية :

تبدو النسخة القصيرة من الحل الذي سيكون من الجيد استهدافه كما يلي:

فلنعتاد على ذلك:

النقاط الأربع المتبقية هي لوحدك. حاول التعامل مع المهمة بضمير حي واكتب التكاملات بطريقة قصيرة. نماذج من الحلول في نهاية الدرس.

بعد أداء تمارين الجودة، نرتدي بدلات الفضاء
والاستعداد للبدء!

توسيع الدالة إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني

النظر في بعض الوظائف التي عازم على الأقل لفترة من الوقت (وربما لفترة أطول). إذا كانت هذه الدالة قابلة للتكامل على الفترة، فيمكن توسيعها إلى دالة مثلثية سلسلة فورييه:
، أين ما يسمى معاملات فورييه.

في هذه الحالة يتم استدعاء الرقم فترة التحلل، والرقم هو نصف عمر التحلل.

من الواضح أنه في الحالة العامة، تتكون سلسلة فورييه من جيب التمام وجيب التمام:

في الواقع، دعونا نكتب ذلك بالتفصيل:

عادةً ما يُكتب الحد الصفري للمتسلسلة بالصيغة .

يتم حساب معاملات فورييه باستخدام الصيغ التالية:

أفهم جيدًا أن أولئك الذين بدأوا دراسة الموضوع ما زالوا غير واضحين بشأن المصطلحات الجديدة: فترة التحلل, نصف دورة, معاملات فورييهإلخ. لا داعي للذعر، فهذا لا يمكن مقارنته بالإثارة قبل الذهاب إلى الفضاء الخارجي. دعونا نفهم كل شيء في المثال التالي، قبل تنفيذه الذي من المنطقي طرح أسئلة عملية ملحة:

ما الذي يجب عليك فعله في المهام التالية؟

قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه. بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يكون من الضروري تصوير رسم بياني لدالة، ورسم بياني لمجموع سلسلة، ومجموع جزئي، وفي حالة التخيلات الأستاذية المتطورة، افعل شيئًا آخر.

كيفية توسيع وظيفة إلى سلسلة فورييه؟

في الأساس، تحتاج إلى العثور عليها معاملات فورييهأي يؤلف ويحسب ثلاثة تكامل محدد .

يرجى نسخ النموذج العام لسلسلة فورييه وصيغ العمل الثلاثة في دفتر ملاحظاتك. أنا سعيد جدًا لأن بعض زوار الموقع يحققون حلم طفولتهم في أن يصبحوا رواد فضاء أمام عيني مباشرة =)

مثال 2

قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني. أنشئ رسمًا بيانيًا، رسمًا بيانيًا لمجموع المتسلسلة والمجموع الجزئي.

حل: الجزء الأول من المهمة هو توسيع الدالة إلى سلسلة فورييه.

البداية قياسية، تأكد من كتابة ما يلي:

في هذه المشكلة، تكون فترة التوسيع نصف فترة.

دعونا نوسع الدالة إلى متسلسلة فورييه على الفترة:

وباستخدام الصيغ المناسبة نجد معاملات فورييه. الآن نحن بحاجة إلى تكوين وحساب ثلاثة تكامل محدد . وللتيسير سأقوم بترقيم النقاط:

1) التكامل الأول هو الأبسط، ولكنه يتطلب أيضًا مقل العيون:

2) استخدم الصيغة الثانية:

وهذا التكامل معروف جيدا يأخذها قطعة قطعة :

تستخدم عند العثور عليها طريقة إدراج دالة تحت العلامة التفاضلية .

في المهمة قيد النظر، يكون الأمر أكثر ملاءمة للاستخدام على الفور صيغة التكامل بالأجزاء في تكامل محدد :

بضع ملاحظات فنية. أولا، بعد تطبيق الصيغة يجب أن يكون التعبير بأكمله محاطًا بأقواس كبيرةلأنه يوجد ثابت قبل التكامل الأصلي. دعونا لا نفقدها! يمكن توسيع الأقواس في أي خطوة أخرى؛ لقد فعلت ذلك كملاذ أخير. في "القطعة" الأولى نحن نحرص بشدة على الاستبدال، كما ترون، لا يتم استخدام الثابت، ويتم استبدال حدود التكامل في المنتج. تم تمييز هذا الإجراء بين قوسين معقوفين. حسنًا، أنت على دراية بتكامل "الجزء" الثاني من الصيغة من مهمة التدريب؛-)

والأهم من ذلك - التركيز الشديد!

3) نبحث عن معامل فورييه الثالث:

يتم الحصول على قريب من التكامل السابق، وهو أيضا يدمج بشكل مجزأ :

هذا المثال أكثر تعقيدًا بعض الشيء، وسأعلق على الخطوات الإضافية خطوة بخطوة:

(1) التعبير محاط بالكامل بين قوسين كبيرين. لم أكن أريد أن أبدو مملا، فهم يفقدون الثابت في كثير من الأحيان.

(٢) في هذه الحالة، قمت على الفور بفتح هذه الأقواس الكبيرة. انتباه خاصنحن نكرس أنفسنا لـ "القطعة" الأولى: يدخن المستمر على الهامش ولا يشارك في استبدال حدود التكامل (و) في المنتج. ونظرًا لفوضى السجل، يُنصح مرة أخرى بتسليط الضوء على هذا الإجراء بين قوسين معقوفين. مع "القطعة" الثانية كل شيء أبسط: هنا ظهر الكسر بعد فتح قوسين كبيرين، والثابت - نتيجة لتكامل التكامل المألوف؛-)

(3) نجري التحويلات بين قوسين معقوفين، وفي التكامل الصحيح - نستبدل حدود التكامل.

(4) نزيل "الضوء الوامض" من الأقواس المربعة : ، ثم نفتح الأقواس الداخلية : .

(5) نحذف 1 و-1 بين قوسين ونقوم بالتبسيط النهائي.

وأخيرًا، تم العثور على معاملات فورييه الثلاثة:

دعونا نستبدلهم في الصيغة :

وفي الوقت نفسه، لا تنسى أن تقسم إلى النصف. في الخطوة الأخيرة، يتم أخذ الثابت ("ناقص اثنين")، الذي لا يعتمد على "en"، خارج المجموع.

وهكذا، حصلنا على توسيع الدالة إلى سلسلة فورييه على الفترة:

دعونا ندرس مسألة تقارب متسلسلة فورييه. وسأشرح النظرية على وجه الخصوص نظرية ديريشليت، حرفيا "على الأصابع"، لذلك إذا كنت بحاجة إلى صيغ صارمة، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي حول التحليل الرياضي (على سبيل المثال، المجلد الثاني من بوهان؛ أو المجلد الثالث من فيشتنهولتز، لكنه أكثر صعوبة).

يتطلب الجزء الثاني من المشكلة رسم رسم بياني، رسم بياني لمجموع سلسلة، ورسم بياني لمجموع جزئي.

الرسم البياني للوظيفة هو المعتاد خط مستقيم على متن الطائرة ، والتي يتم رسمها بخط منقط أسود:

دعونا معرفة مجموع السلسلة. كما تعلمون، سلسلة الوظائف تتلاقى مع الوظائف. في حالتنا، سلسلة فورييه التي تم إنشاؤها لأي قيمة "x"سوف تتقارب مع الوظيفة، والتي تظهر باللون الأحمر. هذه الوظيفة تتسامح تمزقات من النوع الأول في نقاط، ولكن يتم تعريفها أيضًا (النقاط الحمراء في الرسم)

هكذا: . من السهل أن نرى أنها مختلفة بشكل ملحوظ عن الوظيفة الأصلية، وهذا هو السبب في الإدخال يتم استخدام التلدة بدلا من علامة يساوي.

دعونا ندرس خوارزمية مناسبة لبناء مجموع السلسلة.

على الفاصل الزمني المركزي، تتقارب سلسلة فورييه مع الدالة نفسها (يتزامن الجزء الأحمر المركزي مع الخط الأسود المنقط للدالة الخطية).

الآن دعونا نتحدث قليلاً عن طبيعة التوسع المثلثي قيد النظر. سلسلة فورييه يتضمن فقط الوظائف الدورية (الثابت، وجيب التمام، وجيب التمام)، وبالتالي فإن مجموع السلسلة هي أيضا وظيفة دورية.

ماذا يعني هذا في منطقتنا مثال محدد؟ وهذا يعني أن مجموع السلسلة –بالتأكيد دوريةويجب تكرار الجزء الأحمر من الفاصل الزمني إلى ما لا نهاية على اليسار واليمين.

أعتقد أن معنى عبارة "فترة التحلل" أصبح الآن واضحا. بكل بساطة، في كل مرة يتكرر الوضع مرارا وتكرارا.

ومن الناحية العملية، عادة ما يكفي تصوير ثلاث فترات من التحلل، كما هو الحال في الرسم. حسنًا، وأيضًا "جذوع الأشجار" للفترات المجاورة - بحيث يكون من الواضح أن الرسم البياني مستمر.

ذات أهمية خاصة هي نقاط الانقطاع من النوع الأول . في مثل هذه النقاط، تتقارب سلسلة فورييه إلى قيم معزولة، والتي تقع بالضبط في منتصف "قفزة" الانقطاع (النقاط الحمراء في الرسم). كيفية معرفة إحداثيات هذه النقاط؟ أولاً، دعونا نوجد إحداثيات "الطابق العلوي": للقيام بذلك، نحسب قيمة الدالة عند أقصى يمين الفترة المركزية للتوسع: . أسهل طريقة لحساب إحداثيات "الطابق السفلي" هي اتخاذ الحد الأقصى القيمة اليسرىمن نفس الفترة: . إحداثي المتوسط ​​هو المتوسط المجموع الحسابي"فوق وتحت": . الحقيقة اللطيفة هي أنه عند إنشاء رسم، سترى على الفور ما إذا كان الوسط قد تم حسابه بشكل صحيح أم غير صحيح.

لنقم ببناء مجموع جزئي للمتسلسلة وفي نفس الوقت نكرر معنى مصطلح "التقارب". الدافع معروف أيضًا من الدرس مجموع سلسلة أرقام . دعونا نصف ثروتنا بالتفصيل:

لتكوين مجموع جزئي، عليك كتابة صفر + حدين آخرين من السلسلة. إنه،

يوضح الرسم الرسم البياني للوظيفة أخضر، وكما ترون، فإنه "يغلف" المبلغ بالكامل بإحكام شديد. إذا أخذنا في الاعتبار مجموعًا جزئيًا لخمسة حدود في السلسلة، فإن الرسم البياني لهذه الدالة سوف يقترب من الخطوط الحمراء بشكل أكثر دقة؛ إذا كان هناك مائة حد، فإن "الثعبان الأخضر" سيندمج تمامًا مع الأجزاء الحمراء، إلخ. وهكذا فإن متسلسلة فورييه تتقارب إلى مجموعها.

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن أي مبلغ جزئي هو وظيفة مستمرة ومع ذلك، فإن المجموع الإجمالي للسلسلة لا يزال متقطعا.

من الناحية العملية، ليس من النادر إنشاء رسم بياني للمجموع الجزئي. كيف افعلها؟ في حالتنا، من الضروري النظر في الدالة على المقطع، وحساب قيمها في نهايات المقطع وفي النقاط المتوسطة (كلما زاد عدد النقاط التي تضعها في الاعتبار، كلما كان الرسم البياني أكثر دقة). ثم يجب عليك وضع علامة على هذه النقاط على الرسم ورسم رسم بياني دقيق للفترة، ثم "تكراره" في فترات متجاورة. و إلا كيف؟ بعد كل شيء، التقريب هو أيضًا وظيفة دورية... ...يذكرني الرسم البياني الخاص به في بعض النواحي بإيقاع قلب منتظم على شاشة الجهاز الطبي.

إن تنفيذ البناء، بطبيعة الحال، ليس مريحًا للغاية، حيث يتعين عليك توخي الحذر الشديد، والحفاظ على دقة لا تقل عن نصف ملليمتر. ومع ذلك، سأسعد القراء الذين لا يشعرون بالراحة مع الرسم - في مشكلة "حقيقية"، ليس من الضروري دائمًا إجراء رسم؛ في حوالي 50٪ من الحالات، من الضروري توسيع الوظيفة إلى سلسلة فورييه وهذا كل شيء .

بعد الانتهاء من الرسم نكمل المهمة:

إجابة:

في العديد من المهام تعاني الوظيفة تمزق من النوع الأول الحق خلال فترة التحلل:

مثال 3

قم بتوسيع الدالة المعطاة في الفترة إلى سلسلة فورييه. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة والمجموع الإجمالي للسلسلة.

يتم تحديد الوظيفة المقترحة بطريقة تدريجية (ولاحظ فقط على المقطع)ويتحمل تمزق من النوع الأول عند نقطة . هل من الممكن حساب معاملات فورييه؟ لا مشكلة. كلا الجانبين الأيسر والأيمن من الدالة قابلان للتكامل في فتراتهما، لذلك يجب تمثيل التكاملات في كل من الصيغ الثلاث كمجموع تكاملين. دعونا نرى، على سبيل المثال، كيف يتم ذلك لمعامل صفر:

وتبين أن التكامل الثاني يساوي الصفر، مما أدى إلى تقليل العمل، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا.

يتم وصف معاملي فورييه الآخرين بالمثل.

كيفية إظهار مجموع السلسلة؟ على الفاصل الزمني الأيسر، نرسم قطعة خط مستقيم، وعلى الفاصل الزمني - قطعة خط مستقيم (نسلط الضوء على قسم المحور بالخط العريض والغامق). أي أنه في فترة التوسيع، يتطابق مجموع المتسلسلة مع الدالة في كل مكان باستثناء ثلاث نقاط "سيئة". عند نقطة انقطاع الدالة، ستتقارب متسلسلة فورييه إلى قيمة معزولة، والتي تقع بالضبط في منتصف "قفزة" الانقطاع. ليس من الصعب رؤيتها شفهيًا: الحد الأيسر: الحد الأيمن: ومن الواضح أن إحداثيات نقطة المنتصف هي 0.5.

نظرًا لدورية المجموع، يجب "مضاعفة" الصورة في الفترات المجاورة، على وجه الخصوص، يجب تصوير نفس الشيء على الفواصل الزمنية و . وفي الوقت نفسه، عند النقاط، ستتقارب متسلسلة فورييه مع القيم المتوسطة.

في الواقع، لا يوجد شيء جديد هنا.

حاول التعامل مع هذه المهمة بنفسك. عينة تقريبيةالتصميم النهائي والرسم في نهاية الدرس.

توسيع الدالة إلى سلسلة فورييه خلال فترة تعسفية

بالنسبة لفترة التوسع التعسفية، حيث "el" هو أي رقم موجب، تتميز صيغ متسلسلة فورييه ومعاملات فورييه بحجة أكثر تعقيدًا قليلاً للجيب وجيب التمام:

إذا، فسنحصل على صيغ الفترة التي بدأنا بها.

تم الحفاظ على الخوارزمية ومبادئ حل المشكلة بالكامل، ولكن التعقيد الفني للحسابات يزداد:

مثال 4

قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه ورسم المجموع.

حل: في الواقع تناظرية للمثال رقم 3 مع تمزق من النوع الأول عند نقطة . في هذه المشكلة، تكون فترة التوسيع نصف فترة. يتم تعريف الدالة فقط على نصف الفترة، ولكن هذا لا يغير الأمر - من المهم أن يكون كلا جزأين الدالة قابلين للتكامل.

دعونا نوسع الدالة إلى متسلسلة فورييه:

بما أن الدالة غير متصلة عند الأصل، فمن الواضح أنه يجب كتابة كل معامل فورييه كمجموع تكاملين:

1) سأكتب التكامل الأول بأكبر قدر ممكن من التفاصيل:

2) ننظر بعناية إلى سطح القمر:

التكامل الثاني خذها قطعة قطعة :

ما الذي يجب أن ننتبه إليه جيدًا بعد أن نفتح استمرار الحل بعلامة النجمة؟

أولا، نحن لا نفقد التكامل الأول ، حيث نقوم بالتنفيذ على الفور الاشتراك في العلامة التفاضلية . ثانيا، لا تنسى الثابت المشؤوم قبل القوسين الكبيرين و لا تخلط بين العلاماتعند استخدام الصيغة . لا تزال الأقواس الكبيرة أكثر ملاءمة لفتحها فورًا في الخطوة التالية.

والباقي هو مسألة تقنية، والصعوبات يمكن أن تكون ناجمة فقط عن عدم كفاية الخبرة في حل التكاملات.

نعم، لم يكن عبثا أن الزملاء البارزين لعالم الرياضيات الفرنسي فورييه كانوا ساخطين - كيف تجرأ على ترتيب الدوال في سلسلة مثلثية؟! =) بالمناسبة، ربما يكون الجميع مهتمين بالمعنى العملي للمهمة المعنية. عمل فورييه بنفسه على نموذج رياضي للتوصيل الحراري، وبعد ذلك بدأ استخدام السلسلة التي تحمل اسمه لدراسة العديد من العمليات الدورية المرئية وغير المرئية في العالم المحيط. الآن، بالمناسبة، وجدت نفسي أفكر أنه لم يكن من قبيل الصدفة أن أقارن الرسم البياني للمثال الثاني مع الإيقاع الدوري للقلب. ويمكن للمهتمين التعرف على التطبيق العملي تحويل فورييهفي مصادر الطرف الثالث. ...على الرغم من أنه من الأفضل عدم القيام بذلك - سيتم تذكره على أنه الحب الأول =)

3) مراعاة ما ورد مراراً وتكراراً روابط ضعيفةلننظر إلى المعامل الثالث:

دعونا نتكامل بالأجزاء:

دعونا نستبدل معاملات فورييه الموجودة في الصيغة ولا ننسى تقسيم معامل الصفر إلى النصف:

دعونا نرسم مجموع السلسلة. دعونا نكرر الإجراء بإيجاز: نرسم خطًا مستقيمًا على فترة، وخطًا مستقيمًا على فترة. إذا كانت قيمة "x" صفرًا، فإننا نضع نقطة في منتصف "قفزة" الفجوة و"نكرر" الرسم البياني للفترات المجاورة:


عند "تقاطعات" الفترات، سيكون المجموع أيضًا مساويًا لنقاط منتصف "قفزة" الفجوة.

مستعد. اسمحوا لي أن أذكرك أن الدالة نفسها يتم تعريفها حسب الشرط فقط على نصف فترة زمنية، ومن الواضح أنها تتطابق مع مجموع السلسلة على الفواصل الزمنية

إجابة:

في بعض الأحيان تكون الدالة المعطاة متعددة التعريف مستمرة خلال فترة التوسيع. أبسط مثال: . حل (انظر المجلد بوهان 2)كما في المثالين السابقين: رغماً استمرارية الوظيفة عند النقطة ، يتم التعبير عن كل معامل فورييه كمجموع تكاملين.

على فترة التحلل نقاط الانقطاع من النوع الأول و/أو قد يكون هناك المزيد من نقاط "التقاطع" في الرسم البياني (اثنتان، وثلاثة، وبشكل عام أي نقطة أخيركمية). إذا كانت الدالة قابلة للتكامل في كل جزء، فهي أيضًا قابلة للتوسيع في سلسلة فورييه. لكن من التجربة العملية لا أتذكر مثل هذا الشيء القاسي. ومع ذلك، هناك مهام أكثر صعوبة من تلك التي تم تناولها للتو، وفي نهاية المقال توجد روابط لسلسلة فورييه ذات التعقيد المتزايد للجميع.

في هذه الأثناء، دعونا نسترخي ونتكئ على كراسينا ونتأمل المساحات اللامتناهية من النجوم:

مثال 5

قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه على الفاصل الزمني ورسم مجموع السلسلة.

في هذه المشكلة الوظيفة مستمر على نصف فترة التوسع، مما يبسط الحل. كل شيء مشابه جدًا للمثال رقم 2. ليس هناك مفر من سفينة الفضاء - عليك أن تقرر =) نموذج تصميم تقريبي في نهاية الدرس، مرفق جدول زمني.

توسيع سلسلة فورييه للوظائف الزوجية والفردية

مع الوظائف الزوجية والفردية، يتم تبسيط عملية حل المشكلة بشكل ملحوظ. وهذا هو السبب. لنعد إلى توسيع دالة في متسلسلة فورييه بفترة "اثنين باي" والفترة التعسفية “اثنين إل” .

لنفترض أن وظيفتنا زوجية. الحد العام للسلسلة، كما ترون، يحتوي على جيب التمام وجيب التمام الفردية. وإذا كنا نقوم بفك دالة زوجية، فلماذا نحتاج إلى جيوب غريبة؟! دعونا نعيد ضبط المعامل غير الضروري: .

هكذا، يمكن توسيع الدالة الزوجية في سلسلة فورييه فقط في جيب التمام:

بسبب ال تكاملات الدوال الزوجية على طول قطعة التكامل المتناظرة بالنسبة إلى الصفر، يمكن مضاعفتها، ثم يتم تبسيط معاملات فورييه المتبقية.

بالنسبة للفجوة:

لفترة تعسفية:

ل أمثلة الكتب المدرسية، والتي توجد تقريبًا في أي كتاب مدرسي عن التحليل الرياضي، تتضمن توسعات في الدوال الزوجية . بالإضافة إلى ذلك، فقد واجهتهم عدة مرات في ممارستي الشخصية:

مثال 6

يتم إعطاء الوظيفة. مطلوب:

1) قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه مع النقطة، حيث يوجد رقم موجب تعسفي؛

2) اكتب التوسع في الفترة، وأنشئ دالة، ثم ارسم المجموع الإجمالي للمتسلسلة رسمًا بيانيًا.

حل: في الفقرة الأولى يقترح حل المشكلة بشكل عام، وهذا مريح للغاية! إذا دعت الحاجة، فقط استبدل القيمة الخاصة بك.

1) في هذه المشكلة تكون فترة التمدد نصف فترة. أثناء الإجراءات الإضافية، خاصة أثناء التكامل، يعتبر "el" ثابتًا

الدالة زوجية، مما يعني أنه يمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه فقط في جيب التمام: .

نحن نبحث عن معاملات فورييه باستخدام الصيغ . انتبه إلى مزاياها غير المشروطة. أولاً، يتم التكامل على الجزء الإيجابي من التوسيع، مما يعني أننا نتخلص بأمان من الوحدة مع الأخذ في الاعتبار علامة "X" فقط للقطعتين. وثانيا، تم تبسيط التكامل بشكل ملحوظ.

اثنين:

دعونا نتكامل بالأجزاء:

هكذا:
بينما الثابت الذي لا يعتمد على "en" يؤخذ خارج المجموع.

إجابة:

2) دعونا نكتب الموسع على الفترة؛ للقيام بذلك، نعوض بقيمة نصف الفترة المطلوبة في الصيغة العامة:

محاضرة رقم 60

6.21. متسلسلة فورييه للدوال الزوجية والفردية.

نظرية:بالنسبة لأي دالة زوجية، تتكون سلسلة فورييه من جيب التمام فقط.

لأي وظيفة غريبة:
.

دليل: من تعريف الدوال الزوجية والفردية يترتب على ذلك أنه إذا كانت ψ(x) دالة زوجية، إذن

.

حقًا،

منذ تعريف الدالة الزوجية ψ(- x) = ψ(x).

وبالمثل، يمكننا إثبات أنه إذا كانت ψ(x) دالة فردية، إذن

إذا تم توسيع الدالة الفردية ƒ(x) إلى سلسلة فورييه، فإن المنتج ƒ(x) ·coskx هو أيضًا دالة فردية، وƒ(x) ·sinkx هو دالة زوجية؛ لذلك،

(21)

أي أن سلسلة فورييه للدالة الفردية تحتوي على "الجيب فقط".

إذا تم توسيع دالة زوجية إلى سلسلة فورييه، فإن المنتج ƒ(x)·sinkx هو دالة فردية، وƒ(x)·coskx هو دالة زوجية، إذًا:

(22)

أي أن سلسلة فورييه للدالة الزوجية تحتوي على "جيب التمام فقط".

تتيح الصيغ الناتجة تبسيط الحسابات عند إيجاد معاملات فورييه في الحالات التي تكون فيها دالة معينة زوجية أو فردية، وكذلك الحصول على توسيع سلسلة فورييه لدالة محددة على جزء من الفاصل الزمني .

في العديد من المهام الوظيفة
تم تحديده في الفاصل الزمني
. مطلوب تمثيل هذه الوظيفة كمجموع لا نهائي من جيب التمام وجيب التمام للزوايا التي هي مضاعفات الأعداد الطبيعية، أي. من الضروري توسيع الدالة إلى سلسلة فورييه. عادة في مثل هذه الحالات يتابعون على النحو التالي.

لتوسيع دالة معينة في جيب التمام، الدالة
تحديد بالإضافة إلى ذلك في الفترة الفاصلة
بطريقة متساوية، أي. بحيث في الفترة الفاصلة

. إذن، بالنسبة للدالة الزوجية "الموسعة"، تكون جميع الوسيطات الواردة في الفقرة السابقة صالحة، وبالتالي، يتم تحديد معاملات متسلسلة فورييه بواسطة الصيغ

,

هذه الصيغ، كما نرى، تشمل قيم الدالة
، المحدد فقط في الفاصل الزمني
. لتوسيع وظيفة
، المحدد في الفاصل الزمني
، بواسطة الجيوب، من الضروري تحديد هذه الوظيفة بشكل أكبر في الفاصل الزمني
بطريقة غريبة، أي. بحيث في الفترة الفاصلة

.

ثم يجب إجراء حساب معاملات سلسلة فورييه باستخدام الصيغ

.

النظرية 1.يمكن توسيع الدالة المعطاة على فترة بعدد لا حصر له من الطرق إلى متسلسلة فورييه المثلثية، خاصة في cos أو sin.

تعليق.وظيفة
، المحدد في الفاصل الزمني
يمكن تعريفها بشكل أكبر في الفاصل الزمني
بأي شكل من الأشكال، وليس فقط كما حدث أعلاه. ولكن مع إعادة تعريف اعتباطية للدالة، فإن التوسع في متسلسلة فورييه سيكون أكثر تعقيدًا من ذلك الذي يتم الحصول عليه عند التوسع في جيب التمام أو جيب التمام.

مثال.قم بتوسيع الوظيفة في سلسلة فورييه في جيب التمام
، المحدد في الفاصل الزمني
(الشكل 2 أ).

حل.دعونا نحدد الوظيفة
في الفاصل الزمني
حتى (الرسم البياني متماثل حول المحور
)

,

لأن
، الذي - التي

في

,

في

6.22. سلسلة فورييه لوظيفة محددة على فترة تعسفية

لقد تناولنا حتى الآن دالة محددة في الفترة
معتبرا أنها دورية خارج هذه الفترة بفترة
.

دعونا الآن نفكر في الوظيفة
، والتي تكون دورتها 2 ل، أي.
على الفاصل الزمني
، وإظهار أن الوظيفة في هذه الحالة
يمكن توسيعها إلى سلسلة فورييه.

هيا نضع
، أو
. ثم عند التغيير من - لقبل لمتغير جديد يختلف من
قبل وبالتالي الوظيفة يمكن اعتبارها وظيفة محددة في الفاصل الزمني من
قبل ودورية خارج هذه الفترة، مع فترة
.

لذا،
.

بعد أن انتشرت
في متسلسلة فورييه نحصل على

,

.

الانتقال إلى المتغيرات القديمة، أي. الاعتقاد

، نحن نحصل
,
و
.

أي سلسلة فورييه للدالة
، المحدد في الفاصل الزمني
، سيبدو مثل:

,

,

.

إذا كانت الوظيفة
حتى، يتم تبسيط الصيغ لتحديد معاملات سلسلة فورييه:

,

,

.

في حالة الوظيفة
غريب:

,

,

.

إذا كانت الوظيفة
المحدد في الفاصل الزمني
، ثم يمكن أن يستمر في الفاصل الزمني
سواء حتى أو فرديا. في حالة استمرار الوظيفة في الفاصل الزمني

,

.

في حالة الامتداد الغريب للدالة في الفترة
تم العثور على معاملات سلسلة فورييه من خلال الصيغ

,

.

مثال. قم بتوسيع الدالة إلى سلسلة فورييه

على طول جيوب أقواس متعددة.

حل. يظهر الرسم البياني للوظيفة المحددة في الشكل 3. دعونا نواصل الوظيفة بطريقة غريبة (الشكل 4)، أي. سنقوم بتنفيذ التوسع من حيث الجيوب.

جميع الاحتمالات

,

دعونا نقدم البديل
. ثم في
نحن نحصل
، في
لدينا
.

هكذا

.

6.23. .مفهوم توسيع سلسلة فورييه للوظائف غير الدورية

يمكن تمديد الوظيفة المحددة في المنطقة الرئيسية (-ℓ، ℓ) بشكل دوري إلى ما بعد المنطقة الرئيسية باستخدام العلاقة الوظيفية ƒ(x+2 ℓ) = ƒ(x).

بالنسبة للدالة غير الدورية ƒ(x) (-∞

φ(س)=
(2.18)

ستكون الصيغة (2.18) صحيحة على المحور -∞ بأكمله< x< ∞ . Можно написать подобное разложение для функции

ƒ(س)=
(2.19)

ستكون الصيغة (2.19) صحيحة فقط على فترة زمنية محدودة (-ℓ، ℓ)، حيث أن ƒ(x) وφ(x) يتطابقان في هذه الفترة.

وهكذا، يمكن توسيع الدالة غير الدورية إلى سلسلة فورييه على فترة محدودة.