Входно ниво

Експоненциални уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

здравей Днес ще обсъдим с вас как да решавате уравнения, които могат да бъдат или елементарни (и се надявам, че след като прочетете тази статия, почти всички ще бъдат такива за вас), и тези, които обикновено се дават „за попълване“. Явно най-накрая да заспя. Но ще се опитам да направя всичко възможно, така че сега да не си навлечете проблеми, когато се сблъскате с този тип уравнения. Няма да се мотая повече, но веднага ще го отворя малка тайна: днес ще учим експоненциални уравнения.

Преди да премина към анализиране на начините за разрешаването им, веднага ще очертая за вас набор от въпроси (доста малки), които трябва да повторите, преди да побързате да атакувате тази тема. Така че, за най-добри резултати, моля повтарям:

1. Свойства и
2. Решение и уравнения

Повтаря се? невероятно! Тогава няма да ви е трудно да забележите, че коренът на уравнението е число. Разбирате ли как точно го направих? вярно ли е Тогава да продължим. Сега отговорете на въпроса ми, на какво е равно третата степен? Абсолютно си прав:. Каква степен на две е осем? Точно така - третият! защото. Е, сега нека се опитаме да решим следната задача: Нека умножа числото само по себе си веднъж и да получа резултата. Въпросът е колко пъти съм умножил по себе си? Разбира се, можете да проверите това директно:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( подравнявам)

Тогава можете да заключите, че съм умножил по себе си пъти. Как иначе можете да проверите това? Ето как: директно по дефиниция на степен: . Но трябва да признаете, че ако попитам колко пъти две трябва да се умножат по себе си, за да се получи, да речем, ще ми кажете: няма да се заблудя и да умножа само по себе си, докато не посинея. И би бил абсолютно прав. Защото как можеш запишете накратко всички стъпки(и краткостта е сестрата на таланта)

къде - това са същите "времена", когато умножите по себе си.

Мисля, че знаете (а ако не знаете, спешно, много спешно повторете степените!), че тогава проблемът ми ще бъде написан във формата:

Как можете разумно да заключите, че:

И така, незабелязано, записах най-простото експоненциално уравнение:

И дори го намерих корен. Не мислите ли, че всичко е напълно тривиално? Аз мисля абсолютно същото. Ето още един пример за вас:

Но какво да се прави? В края на краищата не може да се запише като степен на (разумно) число. Нека не се отчайваме и да отбележим, че и двете числа са перфектно изразени чрез степента на едно и също число. кое? Вдясно: . Тогава оригиналното уравнение се преобразува във формата:

Където, както вече разбрахте,. Да не отлагаме повече и да го запишем определение:

В нашия случай:.

Тези уравнения се решават чрез редуцирането им до формата:

последвано от решаване на уравнението

Всъщност в предишния пример направихме точно това: получихме следното: И решихме най-простото уравнение.

Изглежда, че няма нищо сложно, нали? Нека първо се упражняваме върху най-простите примери:

Отново виждаме, че дясната и лявата страна на уравнението трябва да бъдат представени като степени на едно число. Вярно, отляво това вече е направено, но отдясно има номер. Но всичко е наред, защото моето уравнение по чудо ще се трансформира в това:

Какво трябваше да използвам тук? Какво правило? Правилото на "градуси в градуси"който гласи:

Ами ако:

Преди да отговорите на този въпрос, нека попълним следната таблица:

Лесно е да забележим, че колкото по-малко, толкова по-малка стойност, но въпреки това всички тези стойности са по-големи от нула. И ВИНАГИ ЩЕ Е ТАКА!!! Същото свойство е вярно ЗА ВСЯКАКВА ОСНОВА С КАКЪВТО И ДА Е ИНДИКАТОР!! (за всякакви и). Тогава какво можем да заключим за уравнението? Ето какво е: то няма корени! Точно както всяко уравнение няма корени. Сега нека практикуваме и Нека решим прости примери:

Да проверим:

1. Тук от вас няма да се изисква нищо освен познаване на свойствата на степените (което, между другото, ви помолих да повторите!) Като правило всичко води до най-малката база: , . Тогава оригиналното уравнение ще бъде еквивалентно на следното: Всичко, от което се нуждая, е да използвам свойствата на степените: При умножение на числа с еднакви основи степените се събират, а при деление се изваждат.Тогава ще получа: Е, сега с чиста съвест ще премина от експоненциалното уравнение към линейното: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\край (подравняване)

2. Във втория пример трябва да бъдем по-внимателни: проблемът е, че от лявата страна не можем да представим същото число като степен. В този случай понякога е полезно представят числата като произведение на степени с различни основи, но еднакви показатели:

Лявата страна на уравнението ще изглежда така: Какво ни даде това? Ето какво: Числа с различни основи, но еднакви показатели могат да се умножават.В този случай базите се умножават, но индикаторът не се променя:

В моята ситуация това ще даде:

\начало(подравняване)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\край (подравняване)

Не е лошо, нали?

3. Не ми харесва, когато без нужда имам два члена от едната страна на уравнението и нито един от другата (понякога, разбира се, това е оправдано, но сега не е така). Ще преместя термина минус надясно:

Сега, както преди, ще напиша всичко по отношение на степените на три:

Събирам градусите отляво и получавам еквивалентно уравнение

Можете лесно да намерите неговия корен:

4. Както в пример три, минусът има място от дясната страна!

От лявата ми страна почти всичко е наред, с изключение на какво? Да, "грешната степен" на двете ме притеснява. Но мога лесно да поправя това, като напиша: . Еврика - отляво всички основи са различни, но всички степени са еднакви! Да размножаваме веднага!

Тук отново всичко е ясно: (ако не разбирате как магически получих последното равенство, направете почивка за минута, поемете дъх и прочетете отново много внимателно свойствата на степента. Кой каза, че можете да пропуснете степен с отрицателен показател Е, тук съм почти същото като никой). Сега ще получа:

\начало(подравняване)
& ((2)^(4\наляво((x) -9 \надясно)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\край (подравняване)

Ето някои задачи, които можете да упражните, на които аз ще дам само отговорите (но в „смесен“ вид). Решете ги, проверете ги и ние с вас ще продължим нашето проучване!

готова Отговорикато това:

1. произволен брой

Добре, добре, пошегувах се! Ето някои скици на решения (някои много кратки!)

Не мислите ли, че неслучайно едната дроб отляво е другата "обърната"? Би било грях да не се възползваме от това:

Това правило се използва много често при решаване на експоненциални уравнения, запомнете го добре!

Тогава оригиналното уравнение ще стане така:

Решавайки това квадратно уравнение, ще получите следните корени:

2. Друго решение: разделяне на двете страни на уравнението на израза отляво (или отдясно). Разделя на това, което е отдясно, тогава получавам:

Къде (защо?!)

3. Дори не искам да се повтарям, всичко вече е "сдъвкано" толкова много.

4. еквивалент квадратно уравнение, корени

5. Трябва да използвате формулата, дадена в първия проблем, тогава ще получите това:

Уравнението се превърна в тривиална идентичност, която е вярна за всеки. Тогава отговорът е всяко реално число.

Е, сега се упражнихте в решаването протозои експоненциални уравнения. Сега искам да ви дам няколко примера от реалния живот, които ще ви помогнат да разберете защо са необходими по принцип. Тук ще дам два примера. Единият от тях е съвсем ежедневен, но другият е по-скоро от научен, отколкото от практически интерес.

Пример 1 (меркантилен)Нека имате рубли, но искате да ги превърнете в рубли. Банката ви предлага да вземе тези пари от вас на годишна лихва с месечна капитализация на лихвата (месечно начисляване). Въпросът е за колко месеца трябва да отворите депозит, за да достигнете необходимата крайна сума? Доста светска задача, нали? Независимо от това, неговото решение е свързано с изграждането на съответното експоненциално уравнение: Нека - първоначалната сума, - крайната сума, - лихвеният процент за периода, - броят на периодите. След това:

В нашия случай (ако процентът е годишен, тогава се изчислява на месец). Защо е разделено на? Ако не знаете отговора на този въпрос, запомнете темата ""! Тогава получаваме това уравнение:

Това експоненциално уравнение може да бъде решено само с помощта на калкулатор (неговият външен виднамеква за това и това изисква познаване на логаритми, с които ще се запознаем малко по-късно), което ще направя: ... Така, за да получим милион, ще трябва да направим депозит за месец ( не много бързо, нали?).

Пример 2 (по-скоро научен).Въпреки известната му „изолация“, препоръчвам ви да му обърнете внимание: той редовно „се подхлъзва на Единния държавен изпит!! (задачата е взета от “реалната” версия) При разпадането на радиоактивен изотоп масата му намалява по закона, където (mg) е началната маса на изотопа, (min.) е времето, изминало от начален момент, (мин.) е полуживотът. В началния момент масата на изотопа е mg. Неговият полуживот е мин. След колко минути масата на изотопа ще бъде равна на mg? Всичко е наред: просто вземаме и заместваме всички данни във формулата, която ни е предложена:

Нека разделим двете части на "с надеждата", че отляво ще получим нещо смилаемо:

Е, ние сме големи късметлии! Това е отляво, тогава нека преминем към еквивалентното уравнение:

Къде е мин.

Както можете да видите, експоненциалните уравнения имат много реални приложения на практика. Сега искам да ви покажа друг (прост) начин за решаване на експоненциални уравнения, който се основава на изваждане на общия множител извън скоби и след това групиране на членовете. Не се плашете от думите ми, вече сте се сблъсквали с този метод в 7 клас, когато сте учили полиноми. Например, ако трябва да факторизирате израза:

Нека групираме: първия и третия член, както и втория и четвъртия. Ясно е, че първото и третото са разликата на квадратите:

а второто и четвъртото имат общ множителтри:

Тогава оригиналният израз е еквивалентен на това:

Откъде да се изведе общият фактор вече не е трудно:

следователно

Това е приблизително това, което ще направим, когато решаваме експоненциални уравнения: потърсете „общност“ сред термините и я извадете от скоби, а след това - каквото и да стане, вярвам, че ще имаме късмет =)) Например:

Отдясно далеч не е степен на седем (проверих!) И отляво - малко по-добре, можете, разбира се, да „отрежете“ коефициента a от втория от първия термин и след това да се справите с това, което имаш, но нека бъдем по-разумни с теб. Не искам да се занимавам с дробите, които неизбежно се образуват при "избиране", така че не трябва ли по-скоро да го извадя? Тогава няма да имам никакви дроби: както се казва, вълците са нахранени и овцете са в безопасност:

Пресметнете израза в скоби. Магически, магически се оказва, че (изненадващо, но какво друго да очакваме?).

След това намаляваме двете страни на уравнението с този коефициент. Получаваме: , от.

Ето един по-сложен пример (доста малко, наистина):

Какъв проблем! Ние нямаме такъв тук обща основа! Не е съвсем ясно какво да правим сега. Нека направим каквото можем: първо преместете „четворките“ от едната страна, а „петиците“ от другата:

Сега нека извадим "генерала" отляво и отдясно:

И какво сега? Каква е ползата от такава тъпа група? На пръв поглед изобщо не се вижда, но нека погледнем по-дълбоко:

Е, сега ще се уверим, че отляво имаме само израза c, а отдясно - всичко останало. Как да направим това? Ето как: Разделете двете страни на уравнението първо на (така че да се отървем от експонентата отдясно), а след това разделете двете страни на (така че да се отървем от числовия фактор отляво). Накрая получаваме:

Невероятно! Отляво имаме израз, а отдясно имаме прост израз. Тогава веднага заключаваме, че

Ето още един пример за засилване:

Ще дам неговото кратко решение (без да се занимавам с обяснения), опитайте се да разберете сами всички „тънкости“ на решението.

Сега за окончателното консолидиране на покрития материал. Опитайте се да разрешите следните проблеми сами. Ще дам само кратки препоръки и съвети за решаването им:

1. Нека извадим общия множител извън скоби: Където:
2. Нека представим първия израз във формата: , разделяме двете страни на и получаваме това
3. , тогава първоначалното уравнение се преобразува във формата: Е, сега една подсказка - потърсете къде вие ​​и аз вече сме решили това уравнение!
4. Представете си как, как, ах, добре, след това разделете двете страни на, така че да получите най-простото експоненциално уравнение.
5. Извадете го от скобите.
6. Извадете го от скобите.

ПОКАЗИТЕЛНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Предполагам, че след като прочетох първата статия, в която се говори за какво представляват експоненциалните уравнения и как се решават, вие сте усвоили необходимия минимум знания, необходими за решаване на най-простите примери.

Сега ще разгледам друг метод за решаване на експоненциални уравнения, това е

„метод за въвеждане на нова променлива“ (или замяна).Той решава повечето "трудни" задачи по темата за експоненциалните уравнения (и не само уравнения). Този метод е един от най-често използваните в практиката. Първо, препоръчвам ви да се запознаете с темата.

Както вече разбрахте от името, същността на този метод е да се въведе такава промяна на променливата, че вашето експоненциално уравнение по чудо да се трансформира в такова, което можете лесно да разрешите. Всичко, което ви остава след решаването на това много „опростено уравнение“ е да направите „обратна замяна“: тоест да се върнете от замененото към замененото. Нека илюстрираме казаното с един много прост пример:

Пример 1:

Това уравнение се решава с помощта на „просто заместване“, както пренебрежително го наричат ​​математиците. Всъщност замяната тук е най-очевидна. Човек трябва само да види това

Тогава първоначалното уравнение ще се превърне в това:

Ако допълнително си представим как, тогава е абсолютно ясно какво трябва да бъде заменено: разбира се, . Какво тогава става оригиналното уравнение? Ето какво:

Можете лесно да намерите корените му сами: . Какво да правим сега? Време е да се върнете към първоначалната променлива. Какво забравих да спомена? А именно: при замяна на определена степен с нова променлива (т.е. при замяна на тип) ще се интересувам от само положителни корени!Вие сами лесно можете да отговорите защо. Така ние с вас не се интересуваме, но вторият корен е доста подходящ за нас:

Тогава откъде.

отговор:

Както можете да видите, в предишния пример заместник просто искаше нашите ръце. За съжаление не винаги е така. Нека обаче не преминаваме направо към тъжните неща, а нека се упражним с още един пример с доста проста замяна

Пример 2.

Ясно е, че най-вероятно ще трябва да направим замяна (това е най-малката от степените, включени в нашето уравнение), но преди да въведем замяна, нашето уравнение трябва да бъде „подготвено“ за това, а именно: , . След това можете да замените, като резултат получавам следния израз:

О, ужас: кубично уравнение с абсолютно ужасни формули за решаването му (е, казано на общ изглед). Но нека не се отчайваме веднага, а нека помислим какво трябва да направим. Ще предложа измама: знаем, че за да получим „красив“ отговор, трябва да го получим под формата на някаква степен на три (защо така, а?). Нека се опитаме да отгатнем поне един корен от нашето уравнение (ще започна да гадая със степени на три).

Първо предположение. Не е корен. Уви и ах...

.
Лявата страна е равна.
Дясна страна:!
Яжте! Познах първия корен. Сега нещата ще станат по-лесни!

Знаете ли за схемата за разделяне на „ъглите“? Разбира се, вие го използвате, когато разделяте едно число на друго. Но малко хора знаят, че същото може да се направи и с полиноми. Има една чудесна теорема:

Прилагайки към моята ситуация, това ми казва, че се дели без остатък на. Как се извършва разделянето? Ето как:

Гледам по кой моном трябва да умножа, за да получа Clearly, тогава:

Изваждам получения израз от, получавам:

Сега, по какво трябва да умножа, за да получа? Ясно е, че на, тогава ще получа:

и отново извадете получения израз от останалия:

Е, последната стъпка е да умножите и извадите от оставащия израз:

Ура, разделението приключи! Какво натрупахме насаме? Разбира се:.

Тогава получихме следното разширение на оригиналния полином:

Нека решим второто уравнение:

Има корени:

Тогава първоначалното уравнение:

има три корена:

Ние, разбира се, ще изхвърлим последния корен, тъй като той е по-малък от нула. И първите две след обратната замяна ще ни дадат два корена:

Отговор: ..

С този пример изобщо не исках да ви плаша; по-скоро целта ми беше да покажа, че въпреки че имахме доста проста замяна, тя все пак доведе до доста сложно уравнение, чието решение изискваше някои специални умения от нас. Е, никой не е имунизиран от това. Но замяната в този случай беше съвсем очевидна.

Ето един пример с малко по-малко очевидна замяна:

Изобщо не е ясно какво трябва да направим: проблемът е, че в нашето уравнение има две различни основи и едната основа не може да бъде получена от другата чрез повдигането й на каквато и да е (разумна, естествено) степен. Какво обаче виждаме? И двете бази се различават само по знака, а произведението им е разликата на квадратите, равна на единица:

определение:

По този начин числата, които са основите в нашия пример, са спрегнати.

В този случай умната стъпка би била умножете двете страни на уравнението по спрегнатото число.

Например, on, тогава лявата страна на уравнението ще стане равна на и дясната. Ако направим заместване, тогава първоначалното ни уравнение ще стане така:

неговите корени, тогава, и като си спомним това, получаваме това.

Отговор: , .

По правило методът на заместване е достатъчен за решаване на повечето „училищни“ експоненциални уравнения. Следните задачи са взети от Единния държавен изпит С1 ( повишено нивосложност). Вече сте достатъчно грамотни, за да решите тези примери сами. Ще дам само необходимата замяна.

1. Решете уравнението:
2. Намерете корените на уравнението:
3. Решете уравнението: . Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на сегмента:

А сега няколко кратки обяснения и отговори:

1. Тук е достатъчно да отбележим, че... Тогава първоначалното уравнение ще бъде еквивалентно на това: Това уравнение може да бъде решено чрез замяна Направете по-нататъшните изчисления сами. В крайна сметка задачата ви ще се сведе до решаване на прости тригонометрични задачи (в зависимост от синус или косинус). Ще разгледаме решения на подобни примери в други раздели.
2. Тук дори можете да направите без заместване: просто преместете субтрахенда надясно и представете двете основи чрез степени на две: и след това отидете направо към квадратното уравнение.
3. Третото уравнение също се решава съвсем стандартно: нека си представим как. След това, замествайки, получаваме квадратно уравнение: тогава,

   Вече знаете какво е логаритъм, нали? не? Тогава чети спешно темата!

   Първият корен очевидно не принадлежи на сегмента, но вторият е неясен! Но много скоро ще разберем! Тъй като тогава (това е свойство на логаритъма!) Нека сравним:

   Извадете от двете страни, тогава получаваме:

   Лявата страна може да бъде представена като:

   умножете двете страни по:

   може да се умножи по, тогава

   След това сравнете:

   от тогава:

   Тогава вторият корен принадлежи на необходимия интервал

   отговор:

Както можете да видите, изборът на корени на експоненциални уравнения изисква доста задълбочено познаване на свойствата на логаритмите, затова ви съветвам да бъдете възможно най-внимателни при решаването на експоненциални уравнения. Както разбирате, в математиката всичко е взаимосвързано! Както каза моят учител по математика: „математиката, както и историята, не може да се прочете за една нощ.“

Като правило всички Трудността при решаването на задачи C1 е именно изборът на корените на уравнението.Нека се упражняваме с още един пример:

Ясно е, че самото уравнение се решава доста просто. Като правим заместване, редуцираме първоначалното си уравнение до следното:

Първо нека разгледаме първия корен. Нека сравним и: от тогава. (собственост логаритмична функция, при). Тогава е ясно, че първият корен не принадлежи на нашия интервал. Сега вторият корен: . Ясно е, че (тъй като функцията при нараства). Остава да сравним и...

тъй като, тогава, по същото време. По този начин мога да „забия колче“ между и. Това колче е число. Първият израз е по-малък, а вторият е по-голям. Тогава вторият израз е по-голям от първия и коренът принадлежи на интервала.

Отговор: .

И накрая, нека да разгледаме друг пример за уравнение, където заместването е доста нестандартно:

Нека започнем веднага с това какво може да се направи и какво по принцип може да се направи, но е по-добре да не го правите. Можете да си представите всичко чрез степените на три, две и шест. До какво ще доведе това? Това няма да доведе до нищо: бъркотия от степени, някои от които ще бъдат доста трудни за премахване. Какво тогава е необходимо? Нека отбележим, че a И какво ни дава това? И фактът, че можем да намалим решението на този пример до решението на сравнително просто експоненциално уравнение! Първо, нека пренапишем нашето уравнение като:

Сега нека разделим двете страни на полученото уравнение на:

Еврика! Сега можем да заменим, получаваме:

Е, сега е ваш ред да решавате демонстрационни задачи, а аз ще дам само кратки коментари към тях, за да не се заблудите! Успех!

1. Най-трудното! Толкова е трудно да се види заместник тук! Но въпреки това този пример може да бъде напълно решен с помощта на подчертаване на пълен квадрат. За да го разрешите, достатъчно е да отбележите, че:

Тогава ето го вашият заместител:

(Моля, имайте предвид, че тук по време на нашата замяна не можем да изхвърлим отрицателния корен!!! Защо мислите?)

Сега, за да решите примера, трябва да решите само две уравнения:

И двете могат да бъдат решени чрез „стандартна замяна“ (но втората в един пример!)

2. Забележете това и направете подмяна.

3. Разложете числото на взаимно прости множители и опростете получения израз.

4. Разделете числителя и знаменателя на дробта на (или, ако предпочитате) и направете заместването или.

5. Забележете, че числата и са спрегнати.

ПОКАЗИТЕЛНИ УРАВНЕНИЯ. НИВО ЗА НАПРЕДНАЛИ

В допълнение, нека да разгледаме друг начин - решаване на експоненциални уравнения по логаритмичния метод. Не мога да кажа, че решаването на експоненциални уравнения с този метод е много популярно, но само в някои случаи може да ни доведе до правилното решение на нашето уравнение. Особено често се използва за решаване на т.нар. смесени уравнения": тоест тези, при които се срещат функции от различни типове.

Например уравнение от формата:

в общия случай то може да бъде решено само чрез логаритмиране на двете страни (например към основата), при което първоначалното уравнение ще се превърне в следното:

Нека разгледаме следния пример:

Ясно е, че според ОДЗ на логаритмичната функция ни интересува само. Това обаче следва не само от ОДЗ на логаритъма, но и по още една причина. Мисля, че няма да ви е трудно да познаете коя е тя.

Нека вземем логаритъма на двете страни на нашето уравнение към основата:

Както можете да видите, вземането на логаритъм на нашето първоначално уравнение бързо ни доведе до правилния (и красив!) отговор. Нека се упражним с още един пример:

Тук също няма нищо лошо: нека вземем логаритъма на двете страни на уравнението към основата, тогава получаваме:

Да направим замяна:

Нещо обаче пропуснахме! Забелязахте ли къде направих грешка? В крайна сметка тогава:

което не отговаря на изискването (помислете откъде идва!)

отговор:

Опитайте се да запишете решението на експоненциалните уравнения по-долу:

Сега сравнете решението си с това:

1. Нека логаритмуваме двете страни на основата, като вземем предвид, че:

(вторият корен не е подходящ за нас поради подмяна)

2. Логаритъм към основата:

Нека трансформираме получения израз в следния вид:

ПОКАЗИТЕЛНИ УРАВНЕНИЯ. КРАТКО ОПИСАНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Експоненциално уравнение

Уравнение от формата:

наречен най-простото експоненциално уравнение.

Свойства на степените

Подходи за решение

• Намаляване на същата основа
• Намаляване до същия показател
• Замяна на променливи
• Опростяване на израза и прилагане на едно от горните.

Този урок е предназначен за тези, които тепърва започват да учат експоненциални уравнения. Както винаги, нека започнем с определението и прости примери.

Ако четете този урок, тогава подозирам, че вече имате поне минимално разбиране на най-простите уравнения - линейни и квадратни: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ и т.н. Възможността за решаване на такива конструкции е абсолютно необходима, за да не се „забиете“ в темата, която сега ще бъде обсъдена.

И така, експоненциални уравнения. Нека ви дам няколко примера:

\[((2)^(x))=4;\квад ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\квад ((9)^(x))=- 3\]

Някои от тях може да ви изглеждат по-сложни, докато други, напротив, са твърде прости. Но всички те имат една важна обща характеристика: тяхната нотация съдържа експоненциалната функция $f\left(x \right)=((a)^(x))$. И така, нека въведем определението:

Експоненциално уравнение е всяко уравнение, съдържащо експоненциална функция, т.е. израз във формата $((a)^(x))$. В допълнение към посочената функция, такива уравнения могат да съдържат всякакви други алгебрични конструкции - полиноми, корени, тригонометрия, логаритми и др.

Добре тогава. Подредихме определението. Сега въпросът е: как да разрешим всички тези глупости? Отговорът е едновременно прост и сложен.

Нека започнем с добрата новина: от моя опит в преподаването на много студенти мога да кажа, че повечето от тях намират експоненциални уравнения много по-лесно от същите логаритми и още повече тригонометрия.

Но има лоша новина: понякога съставителите на задачи за всякакви учебници и изпити са поразени от „вдъхновение“ и техният възпален от наркотици мозък започва да произвежда толкова брутални уравнения, че решаването им става проблематично не само за учениците - дори и за много учители зациклят на такива проблеми.

Все пак да не говорим за тъжни неща. И да се върнем към тези три уравнения, които бяха дадени в самото начало на историята. Нека се опитаме да разрешим всеки от тях.

Първо уравнение: $((2)^(x))=4$. Е, на каква степен трябва да повдигнете числото 2, за да получите числото 4? Вероятно второто? В крайна сметка $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - и получихме правилното числено равенство, т.е. наистина $x=2$. Е, благодаря, Кап, но това уравнение беше толкова просто, че дори моята котка можеше да го реши :)

Нека разгледаме следното уравнение:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Но тук е малко по-сложно. Много ученици знаят, че $((5)^(2))=25$ е таблицата за умножение. Някои също подозират, че $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ по същество е дефиницията на отрицателни степени (подобно на формулата $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

И накрая, само няколко избрани осъзнават, че тези факти могат да бъдат комбинирани и да доведат до следния резултат:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Така нашето първоначално уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Дясна стрелка ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Но това вече е напълно разрешимо! Отляво в уравнението има експоненциална функция, отдясно в уравнението има показателна функция, никъде няма нищо друго освен тях. Следователно можем да „изхвърлим“ базите и глупаво да приравним показателите:

Имаме най-простия линейно уравнение, която всеки ученик може да реши само с няколко реда. Добре, в четири реда:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Ако не разбирате какво се е случило в последните четири реда, не забравяйте да се върнете към темата „линейни уравнения“ и да я повторите. Тъй като без ясно разбиране на тази тема, е твърде рано за вас да се заемете с експоненциални уравнения.

\[((9)^(x))=-3\]

И така, как можем да разрешим това? Първа мисъл: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано, както следва:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

След това си спомняме, че когато повишаваме степен на степен, показателите се умножават:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

И за такова решение ще получим честно заслужена двойка. Защото с хладнокръвието на покемон изпратихме знака минус пред тримата на степен на точно това три. Но не можете да направите това. И ето защо. Разгледайте различните сили на три:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Когато компилирах тази таблетка, не изопачих нищо: разгледах положителните степени, и отрицателните, и дори дробните... е, къде е поне едно отрицателно число тук? Няма го! И не може да бъде, защото експоненциалната функция $y=((a)^(x))$, първо, винаги приема само положителни стойности (без значение колко едно се умножава или дели на две, пак ще бъде положително число), и второ, основата на такава функция - числото $a$ - по дефиниция е положително число!

Е, как тогава да решим уравнението $((9)^(x))=-3$? Но няма как: няма корени. И в този смисъл експоненциалните уравнения са много подобни на квадратните уравнения - също може да няма корени. Но ако в квадратните уравнения броят на корените се определя от дискриминанта (положителен дискриминант - 2 корена, отрицателен - без корени), то в експоненциалните уравнения всичко зависи от това какво е вдясно от знака за равенство.

И така, нека формулираме ключовия извод: най-простото експоненциално уравнение от вида $((a)^(x))=b$ има корен тогава и само ако $b>0$. Познавайки този прост факт, можете лесно да определите дали предложеното ви уравнение има корени или не. Тези. Струва ли си изобщо да го решавате или веднага да запишете, че няма корени.

Това знание ще ни помогне много пъти, когато трябва да решим повече сложни задачи. Засега достатъчно текстове - време е да изучим основния алгоритъм за решаване на експоненциални уравнения.

Как да решаваме експоненциални уравнения

И така, нека формулираме проблема. Необходимо е да се реши експоненциалното уравнение:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Според „наивния“ алгоритъм, който използвахме по-рано, е необходимо да представим числото $b$ като степен на числото $a$:

Освен това, ако вместо променливата $x$ има някакъв израз, ще получим ново уравнение, което вече може да бъде решено. Например:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Стрелка надясно ((3)^(-x))=((3)^(4))\Стрелка надясно -x=4\Стрелка надясно x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Дясна стрелка ((5)^(2x))=((5)^(3))\Дясна стрелка 2x=3\Дясна стрелка x=\frac(3)( 2). \\\край (подравняване)\]

И колкото и да е странно, тази схема работи в около 90% от случаите. Какво ще кажете тогава за останалите 10%? Останалите 10% са леко „шизофренични“ експоненциални уравнения от вида:

\[((2)^(x))=3;\квад ((5)^(x))=15;\квад ((4)^(2x))=11\]

Добре, на каква степен трябва да повдигнете 2, за да получите 3? първо? Но не: $((2)^(1))=2$ не е достатъчно. Второ? Също така не: $((2)^(2))=4$ е твърде много. Кое тогава?

Знаещите студенти вероятно вече са се досетили: в такива случаи, когато не е възможно да се реши „красиво“, влиза в действие „тежката артилерия“ - логаритмите. Нека ви напомня, че с помощта на логаритми всяко положително число може да бъде представено като степен на всяко друго положително число (с изключение на едно):

Помните ли тази формула? Когато разказвам на учениците си за логаритми, винаги предупреждавам: тази формула (тя е и основното логаритмично тъждество или, ако желаете, дефиницията на логаритъм) ще ви преследва много дълго време и ще „изскочи“ в повечето неочаквани места. Е, тя изплува. Нека да разгледаме нашето уравнение и тази формула:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Ако приемем, че $a=3$ е нашето първоначално число отдясно и $b=2$ е самата основа на експоненциалната функция, до която толкова искаме да редуцираме дясната страна, получаваме следното:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Стрелка надясно ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Стрелка надясно x=( (\log )_(2))3. \\\край (подравняване)\]

Получихме малко странен отговор: $x=((\log )_(2))3$. В някоя друга задача мнозина биха имали съмнения при такъв отговор и биха започнали да проверяват решението си: ами ако някъде се е промъкнала грешка? Бързам да ви зарадвам: тук няма грешка, а логаритмите в корените на експоненциалните уравнения са напълно типична ситуация. Така че свиквайте.

Сега нека решим останалите две уравнения по аналогия:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Стрелка надясно ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Стрелка надясно 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\край (подравняване)\]

това е! Между другото, последният отговор може да бъде написан по различен начин:

Въведохме фактор в аргумента на логаритъма. Но никой не ни спира да добавим този фактор към основата:

Освен това и трите опции са правилни - това е просто различни формизаписи от същия номер. Кое да изберете и запишете в това решение зависи от вас да решите.

Така се научихме да решаваме всякакви експоненциални уравнения от вида $((a)^(x))=b$, където числата $a$ и $b$ са строго положителни. Суровата реалност на нашия свят обаче е, че такива прости задачи ще се срещат много, много рядко. По-често ще срещнете нещо подобно:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\край (подравняване)\]

И така, как можем да разрешим това? Може ли това изобщо да се реши? И ако е така, как?

Не изпадайте в паника. Всички тези уравнения могат бързо и лесно да бъдат сведени до прости формуликоито вече разгледахме. Просто трябва да запомните няколко трика от курса по алгебра. И разбира се, няма правила за работа с дипломи. Сега ще ви разкажа за всичко това. :)

Преобразуване на експоненциални уравнения

Първото нещо, което трябва да запомните: всяко експоненциално уравнение, независимо колко сложно може да бъде, по един или друг начин трябва да се сведе до най-простите уравнения - тези, които вече сме разгледали и които знаем как да решим. С други думи, схемата за решаване на всяко експоненциално уравнение изглежда така:

1. Запишете първоначалното уравнение. Например: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Направи някакви странни глупости. Или дори някакви глупости, наречени "преобразуване на уравнение";
3. На изхода вземете най-простите изрази от формата $((4)^(x))=4$ или нещо друго подобно. Освен това едно начално уравнение може да даде няколко такива израза наведнъж.

С първата точка всичко е ясно - дори моята котка може да напише уравнението на лист хартия. Третата точка също изглежда повече или по-малко ясна - вече сме решили цял куп такива уравнения по-горе.

Но какво да кажем за втората точка? Какви трансформации? Преобразуване на какво в какво? и как?

Е, нека разберем. На първо място бих искал да отбележа следното. Всички експоненциални уравнения са разделени на два вида:

1. Уравнението е съставено от експоненциални функции с една и съща основа. Пример: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Формулата съдържа експоненциални функции с различни основи. Примери: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ и $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Да започнем с уравненията от първия тип – те са най-лесни за решаване. И при решаването им ще ни помогне такава техника като подчертаване на стабилни изрази.

Изолиране на стабилен израз

Нека да разгледаме това уравнение отново:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

какво виждаме Четирите са издигнати на различни степени. Но всички тези степени са прости сборове на променливата $x$ с други числа. Ето защо е необходимо да запомните правилата за работа със степени:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\край (подравняване)\]

Просто казано, събирането може да се преобразува в произведение на степените, а изваждането може лесно да се преобразува в деление. Нека се опитаме да приложим тези формули към степените от нашето уравнение:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\край (подравняване)\]

Нека пренапишем оригиналното уравнение, като вземем предвид този факт, и след това съберем всички членове отляво:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\край (подравняване)\]

Първите четири члена съдържат елемента $((4)^(x))$ - нека го извадим от скобите:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\край (подравняване)\]

Остава да разделим двете страни на уравнението на дробта $-\frac(11)(4)$, т.е. по същество умножете по обърнатата дроб - $-\frac(4)(11)$. Получаваме:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\край (подравняване)\]

това е! Редуцирахме първоначалното уравнение до най-простата му форма и получихме крайния отговор.

В същото време в процеса на решаване открихме (и дори го извадихме от скобата) общия множител $((4)^(x))$ - това е стабилен израз. Тя може да бъде обозначена като нова променлива или можете просто да я изразите внимателно и да получите отговора. както и да е ключов принципРешенията са както следва:

Намерете в оригиналното уравнение стабилен израз, съдържащ променлива, която лесно се различава от всички експоненциални функции.

Добрата новина е, че почти всяко експоненциално уравнение ви позволява да изолирате такъв стабилен израз.

Но лошата новина е, че тези изрази могат да бъдат доста трудни и могат да бъдат доста трудни за идентифициране. Така че нека да разгледаме още един проблем:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Може би някой сега има въпрос: „Паша, убит ли си? Тук има различни бази - 5 и 0,2.” Но нека опитаме да преобразуваме степента към основа 0,2. Например, нека се отървем от десетичен знак, довеждайки го до обичайното:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Както можете да видите, числото 5 все пак се появи, макар и в знаменателя. В същото време индикаторът беше пренаписан като отрицателен. А сега нека си припомним един от най-важните правиларабота със степени:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Тук, разбира се, малко се излъгах. Тъй като за пълно разбиране формулата за премахване на отрицателните индикатори трябваше да бъде написана така:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ надясно))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

От друга страна, нищо не ни пречеше да работим само с дроби:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ дясно))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Но в този случай трябва да можете да повишите степен до друга степен (нека ви напомня: в този случай индикаторите се сумират). Но не трябваше да „обръщам“ дробите - може би това ще бъде по-лесно за някои.

Във всеки случай първоначалното експоненциално уравнение ще бъде пренаписано като:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\край (подравняване)\]

Така се оказва, че първоначалното уравнение може да бъде решено дори по-просто от разгледаното по-рано: тук дори не е необходимо да избирате стабилен израз - всичко е намалено от само себе си. Остава само да запомним, че $1=((5)^(0))$, от което получаваме:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\край (подравняване)\]

Това е решението! Получихме окончателния отговор: $x=-2$. В същото време бих искал да отбележа една техника, която значително опрости всички изчисления за нас:

В експоненциалните уравнения не забравяйте да се отървете от десетичните дроби и да ги преобразувате в обикновени. Това ще ви позволи да видите едни и същи бази от градуси и значително ще опрости решението.

Нека сега да преминем към по-сложни уравнения, в които има различни бази, които изобщо не могат да бъдат сведени една до друга с помощта на степени.

Използване на свойството Degrees

Нека ви напомня, че имаме още две особено сурови уравнения:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\край (подравняване)\]

Основната трудност тук е, че не е ясно какво да се даде и на каква база. Къде са устойчивите изрази? Къде са същите основания? Няма нищо от това.

Но нека се опитаме да тръгнем по различен начин. Ако няма готови еднакви бази, можете да опитате да ги намерите чрез факторизиране на съществуващите бази.

Да започнем с първото уравнение:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\край (подравняване)\]

Но можете да направите обратното - да направите числото 21 от числата 7 и 3. Това е особено лесно да се направи отляво, тъй като показателите на двете степени са еднакви:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\край (подравняване)\]

това е! Извадихте експонентата извън продукта и веднага получихте красиво уравнение, което може да се реши в няколко реда.

Сега нека разгледаме второто уравнение. Тук всичко е много по-сложно:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

В този случай дробите се оказаха нередуцируеми, но ако нещо може да се намали, не забравяйте да го намалите. Често ще се появят интересни причини, с които вече можете да работите.

За съжаление не се появи нищо особено за нас. Но виждаме, че показателите отляво в продукта са противоположни:

Нека ви напомня: за да се отървете от знака минус в индикатора, просто трябва да „обърнете“ дробта. Е, нека пренапишем оригиналното уравнение:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\край (подравняване)\]

Във втория ред просто изпълнихме общ показателот продукта извън скоби съгласно правилото $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, а в последното просто умножи числото 100 по дроб.

Сега имайте предвид, че числата отляво (в основата) и отдясно са донякъде сходни. как? Да, очевидно е: те са степени на едно и също число! Ние имаме:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \десен))^(2)). \\\край (подравняване)\]

Така нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\вдясно))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

В този случай вдясно можете да получите и степен със същата основа, за която е достатъчно просто да „обърнете“ фракцията:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Нашето уравнение най-накрая ще приеме формата:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\край (подравняване)\]

Това е решението. Основната му идея се свежда до това, че дори и с на различни основанияние се опитваме, с кука или измама, да сведем тези бази до едно и също нещо. За това ни помагат елементарни трансформации на уравнения и правила за работа със степени.

Но какви правила и кога да използвате? Как разбирате, че в едно уравнение трябва да разделите двете страни на нещо, а в друго трябва да разложите основата на експоненциалната функция?

Отговорът на този въпрос ще дойде с опита. Първо опитайте ръката си прости уравнения, а след това постепенно усложнявайте задачите - и много скоро вашите умения ще бъдат достатъчни, за да решите всяко експоненциално уравнение от същия Единен държавен изпит или всяка независима / тестова работа.

И за да ви помогна в този труден въпрос, предлагам да изтеглите набор от уравнения за независимо решение. Всички уравнения имат отговори, така че винаги можете да се тествате.

Посетете youtube канала на нашия уебсайт, за да сте в крак с всички нови видео уроци.

Първо, нека си припомним основните формули на степените и техните свойства.

Произведение на число асе среща сам по себе си n пъти, можем да запишем този израз като a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Степенни или експоненциални уравнения– това са уравнения, в които променливите са в степен (или степен), а основата е число.

Примери за експоненциални уравнения:

IN в този примерчислото 6 е основата, винаги е най-отдолу, и променливата хстепен или показател.

Нека дадем още примери за експоненциални уравнения.
2 х *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Сега нека да разгледаме как се решават експоненциални уравнения?

Нека вземем едно просто уравнение:

2 x = 2 3

Този пример може да бъде решен дори в главата ви. Вижда се, че x=3. В крайна сметка, за да са равни лявата и дясната страна, трябва да поставите числото 3 вместо x.
Сега нека видим как да формализираме това решение:

2 x = 2 3
х = 3

За да решим такова уравнение, премахнахме идентични основания(тоест двойки) и записах какво е останало, това са степени. Получихме отговора, който търсехме.

Сега нека обобщим нашето решение.

Алгоритъм за решаване на експоненциалното уравнение:
1. Трябва да се провери идентичендали уравнението има основи отдясно и отляво. Ако причините не са същите, търсим варианти за разрешаване на този пример.
2. След като основите станат същите, приравнявамградуса и решете полученото ново уравнение.

Сега нека да разгледаме няколко примера:

Да започнем с нещо просто.

Основите от лявата и дясната страна са равни на числото 2, което означава, че можем да изхвърлим основата и да приравним мощностите им.

x+2=4 Получава се най-простото уравнение.
x=4 – 2
х=2
Отговор: x=2

IN следния примерЯсно е, че базите са различни: 3 и 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Първо, преместете деветте от дясната страна, получаваме:

Сега трябва да направите същите основи. Знаем, че 9=32. Нека използваме формулата за степен (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Получаваме 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 сега можете да видите това в ляво и дясната странаосновите са еднакви и равни на три, което означава, че можем да ги отхвърлим и да приравним степените.

3x=2x+16 получаваме най-простото уравнение
3x - 2x=16
х=16
Отговор: x=16.

Нека разгледаме следния пример:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Първо, разглеждаме основите, основи две и четири. И имаме нужда те да бъдат еднакви. Трансформираме четирите, използвайки формулата (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

И ние също използваме една формула a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Добавете към уравнението:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Дадохме пример по същите причини. Но други числа 10 и 24 ни притесняват. Какво да правим с тях? Ако се вгледате внимателно, можете да видите, че от лявата страна имаме 2 2x, повтарящи се, ето отговора - можем да поставим 2 2x извън скоби:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Нека изчислим израза в скоби:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Разделяме цялото уравнение на 6:

Нека си представим 4=2 2:

2 2x = 2 2 основите са еднакви, изхвърляме ги и приравняваме степените.
2x = 2 е най-простото уравнение. Разделяме го на 2 и получаваме
х = 1
Отговор: x = 1.

Нека решим уравнението:

9 x – 12*3 x +27= 0

Нека преобразуваме:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Получаваме уравнението:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Нашите основи са еднакви, равни на три. В този пример можете да видите, че първите три имат степен два пъти (2x) от втората (само x). В този случай можете да решите метод на замяна. Заменяме числото с най-малката степен:

Тогава 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Заменяме всички степени x в уравнението с t:

t 2 - 12t+27 = 0
Получаваме квадратно уравнение. Решавайки чрез дискриминанта, получаваме:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Връщане към променливата х.

Вземете t 1:
t 1 = 9 = 3 x

следователно

3 х = 9
3 x = 3 2
х 1 = 2

Намерен е един корен. Търсим втория от t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
х 2 = 1
Отговор: x 1 = 2; х 2 = 1.

На уебсайта можете да задавате въпроси, които ви интересуват в раздела ПОМОГНЕТЕ ДА РЕШИТЕ, ние определено ще ви отговорим.

Присъединете се към групата

Какво е експоненциално уравнение? Примери.

И така, експоненциално уравнение... Нов уникален експонат в нашата обща изложба от голямо разнообразие от уравнения!) Както почти винаги се случва, ключовата дума на всеки нов математически термин е съответното прилагателно, което го характеризира. Така е и тук. Ключова думав термина "експоненциално уравнение" е думата "показателен". Какво означава? Тази дума означава, че неизвестното (x) е локализирано по отношение на всякакви степени.И само там! Това е изключително важно.

Например тези прости уравнения:

3 х +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Или дори тези чудовища:

2 sin x = 0,5

Моля, веднага обърнете внимание на едно важно нещо: причиниградуси (отдолу) – само числа. Но в показателистепени (по-горе) - голямо разнообразие от изрази с X. Абсолютно всякакви.) Всичко зависи от конкретното уравнение. Ако внезапно x се появи някъде другаде в уравнението, в допълнение към индикатора (да речем, 3 x = 18 + x 2), тогава такова уравнение вече ще бъде уравнение смесен тип. Такива уравнения нямат ясни правила за решаването им. Затова няма да ги разглеждаме в този урок. За радост на учениците.) Тук ще разглеждаме само експоненциалните уравнения в техния “чист” вид.

Най-общо казано, не всички и не винаги дори чистите експоненциални уравнения могат да бъдат решени ясно. Но сред цялото богато разнообразие от експоненциални уравнения има определени видове, които могат и трябва да бъдат решени. Именно тези видове уравнения ще разгледаме. И определено ще решим примерите.) Така че нека се настаняваме удобно и тръгваме! Както в компютърните шутъри, нашето пътуване ще се проведе през нива.) От елементарно към просто, от просто към междинно и от средно към сложно. По пътя ще ви очаква и тайно ниво - техники и методи за решаване на нестандартни примери. Тези, за които няма да прочетете в повечето училищни учебници... Е, и накрая, разбира се, ви очаква финален шеф под формата на домашна работа.)

Ниво 0. Кое е най-простото експоненциално уравнение? Решаване на прости експоненциални уравнения.

Първо, нека да разгледаме някои откровени елементарни неща. Трябва да започнете отнякъде, нали? Например това уравнение:

2 x = 2 2

Дори без никакви теории, според простата логика и здрав разумЯсно е, че x = 2. Няма друг начин, нали? Никое друго значение на X не е подходящо... И сега нека насочим вниманието си към запис на решениетова готино експоненциално уравнение:

2 x = 2 2

X = 2

Какво стана с нас? И се случи следното. Всъщност го взехме и... просто изхвърлихме същите бази (две)! Напълно изхвърлен. И добрата новина е, че попаднахме в главите!

Да, наистина, ако в едно експоненциално уравнение има ляво и дясно идентиченчисла във всякакви степени, тогава тези числа могат да бъдат отхвърлени и просто да приравняват степените. Математиката позволява.) И тогава можете да работите отделно с индикаторите и да решите много по-просто уравнение. Страхотно, нали?

Ето го ключова идеярешения на всяко (да, точно всяко!) експоненциално уравнение: използвайки идентични трансформации, е необходимо да се гарантира, че лявата и дясната страна на уравнението са идентичен основни числа в различни степени. И тогава можете спокойно да премахнете същите основи и да приравните показателите. И работете с по-просто уравнение.

Сега да си спомним желязно правило: възможно е да се премахнат идентични основи, ако и само ако числата отляво и отдясно на уравнението имат базови числа в прекрасна изолация.

Какво означава, в прекрасна изолация? Това означава без никакви съседи и коефициенти. Нека обясня.

Например в ур.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Тройките не се премахват! защо Защото отляво имаме не само една самотна тройка на степен, а работа 3·3 x-5. Допълнителни три пречат: коефициентът, нали разбирате.)

Същото може да се каже и за уравнението

5 3 x = 5 2 x +5 x

И тук всички бази са еднакви – пет. Но отдясно нямаме нито една степен на пет: има сбор от степени!

Накратко, имаме право да премахваме идентични основи само когато нашето експоненциално уравнение изглежда така и само така:

аf (х) = a g (х)

Този тип експоненциално уравнение се нарича най-простият. Или, научно казано, каноничен . И каквото и заплетено уравнение да имаме пред себе си, ние по един или друг начин ще го редуцираме точно до тази най-проста (канонична) форма. Или в някои случаи да съвкупностуравнения от този тип. Тогава нашето най-просто уравнение може да бъде пренаписано в общ вид по следния начин:

F(x) = g(x)

това е всичко Това би било еквивалентно преобразуване. В този случай f(x) и g(x) могат да бъдат абсолютно всякакви изрази с x. Каквото и да е.

Може би особено любознателен ученик ще се чуди: защо, за бога, толкова лесно и просто отхвърляме едни и същи основи отляво и отдясно и приравняваме показателите? Интуицията си е интуиция, но какво ще стане, ако в някое уравнение и по някаква причина този подход се окаже неправилен? Винаги ли е законно да се изхвърлят едни и същи основания?За съжаление, за строг математически отговор на това интересен въпрострябва да се потопите доста дълбоко и сериозно в общата теория за структурата и поведението на функциите. И малко по-конкретно – във феномена строга монотонност.По-специално, строга монотонност експоненциална функцияг= a x. Тъй като експоненциалната функция и нейните свойства са в основата на решението на експоненциалните уравнения, да.) Подробен отговор на този въпрос ще бъде даден в отделен специален урок, посветен на решаването на сложни нестандартни уравнения, използвайки монотонността на различни функции.)

Подробното обяснение на тази точка сега само би взривило умовете на средностатистическия ученик и би го изплашило преди време със суха и тежка теория. Няма да направя това.) Защото основната ни задача в момента е научете се да решавате експоненциални уравнения!Най-простите! Затова нека все още не се притесняваме и смело да изхвърляме същите причини. това може, повярвайте на думата ми!) И след това решаваме еквивалентното уравнение f(x) = g(x). Като правило, по-проста от оригиналната експоненциална.

Предполага се, разбира се, че в момента хората вече знаят как да решават най-малко , и уравнения, без х в показатели.) За тези, които все още не знаят как, не се колебайте да затворите тази страница, следвайки съответните връзки и запълнете старите празнини. Иначе ще ти е трудно, да...

Не говоря за ирационални, тригонометрични и други брутални уравнения, които също могат да възникнат в процеса на елиминиране на основите. Но не се тревожете, засега няма да разглеждаме откровената жестокост по отношение на степени: твърде рано е. Ще тренираме само на най-простите уравнения.)

Сега нека разгледаме уравненията, които изискват допълнително усилие, за да ги сведем до най-простите. За разграничение нека ги наречем прости експоненциални уравнения. И така, нека преминем към следващото ниво!

Ниво 1. Прости експоненциални уравнения. Да разпознаем градусите! Натурални показатели.

Ключовите правила при решаването на всякакви експоненциални уравнения са правила за работа със степените. Без тези знания и умения нищо няма да работи. уви Така че, ако има проблеми с дипломите, първо сте добре дошли. Освен това ще ни трябват и . Тези трансформации (две от тях!) са основата за решаване на всички математически уравнения като цяло. И не само демонстративни. Така че, който е забравил, да погледне и линка: не просто ги слагам там.

Но само операции с правомощия и трансформации на идентичността не са достатъчни. Необходими са също лично наблюдение и изобретателност. Имаме нужда от същите причини, нали? Така че разглеждаме примера и ги търсим в явен или прикрит вид!

Например това уравнение:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Първи поглед към основания. Те са... различни! Три и двадесет и седем. Но е твърде рано за паника и отчаяние. Време е да си припомним това

27 = 3 3

Числата 3 и 27 са роднини по степен! И близките.) Следователно имаме всяко правозапиши:

27 x +2 = (3·3) x+2

Сега нека свържем знанията си за действия със степени(и ви предупредих!). Има една много полезна формула:

(a m) n = a mn

Ако сега го приложите в действие, ще се получи чудесно:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Оригиналният пример сега изглежда така:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Страхотно, основите на градусите се изравниха. Това искахме. Половината битка е свършена.) И сега стартираме основната трансформация на идентичността - преместете 3 3(x +2) надясно. Никой не е отменил елементарните математически операции, да.) Получаваме:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Какво ни дава този тип уравнение? И фактът, че сега нашето уравнение е намалено до канонична форма: отляво и отдясно има еднакви числа (тройки) по степени. Освен това и тримата са в прекрасна изолация. Чувствайте се свободни да премахнете тройките и да получите:

2x = 3(x+2)

Решаваме това и получаваме:

X = -6

Това е. Това е правилният отговор.)

Сега нека помислим за решението. Какво ни спаси в този пример? Знанието за силите на тримата ни спаси. Как точно? Ние идентифицираниномер 27 съдържа криптирана тройка! Този трик (кодиране на една и съща основа под различни числа) е един от най-популярните в експоненциалните уравнения! Освен ако не е най-популярният. Да, и по същия начин, между другото. Ето защо наблюдението и способността да се разпознават степени на други числа в числата са толкова важни в експоненциалните уравнения!

Практически съвети:

Трябва да знаете силата на популярните числа. В лицето!

Разбира се, всеки може да повдигне две на седма степен или три на пета степен. Не в съзнанието ми, но поне в чернова. Но в експоненциалните уравнения много по-често е необходимо да не се повдига на степен, а напротив, да се разбере какво число и на каква степен се крие зад числото, да речем, 128 или 243. И това е по-сложно отколкото просто повишаване, ще се съгласите. Усетете разликата, както се казва!

Тъй като способността за лично разпознаване на степени ще бъде полезна не само на това ниво, но и на следващите, ето една малка задача за вас:

Определете на какви степени и какви числа са числата:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Отговори (на случаен принцип, разбира се):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

да, да! Не се изненадвайте, че има повече отговори, отколкото задачи. Например 2 8, 4 4 и 16 2 са 256.

Ниво 2. Прости експоненциални уравнения. Да разпознаем градусите! Отрицателни и дробни показатели.

На това ниво ние вече използваме нашите познания за степени в най-голяма степен. А именно, ние включваме отрицателни и дробни индикатори в този завладяващ процес! да, да! Трябва да увеличим силата си, нали?

Например това ужасно уравнение:

Отново първият поглед е към основите. Причините са различни! И този път те дори малко не си приличат! 5 и 0,04... А за премахване на базите са необходими същите... Какво да се прави?

Всичко е наред! Всъщност всичко е същото, просто връзката между петицата и 0,04 е визуално слабо видима. Как можем да се измъкнем? Да преминем към числото 0,04 като обикновена дроб! И тогава, виждате ли, всичко ще се получи.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Уау! Оказва се, че 0,04 е 1/25! Е, кой би си помислил!)

Е как? Вече по-лесно ли се вижда връзката между числата 5 и 1/25? това е...

И сега според правилата за действия със степени с отрицателен показателМожете да пишете със стабилна ръка:

това е страхотно Така стигнахме до една и съща база - пет. Сега заместваме неудобното число 0,04 в уравнението с 5 -2 и получаваме:

Отново, според правилата за работа със степени, вече можем да напишем:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

За всеки случай ви напомням (ако някой не знае), че основни правиладействия с правомощия са валидни за всякаквииндикатори! Включително за отрицателните.) Така че, не се колебайте да вземете и умножете показателите (-2) и (x-1) по съответното правило. Нашето уравнение става все по-добро и по-добро:

всички! Освен самотни петици, в правомощията отляво и отдясно няма нищо друго. Уравнението се свежда до канонична форма. И след това - по набраздената писта. Премахваме петиците и приравняваме показателите:

х 2 –6 х+5=-2(х-1)

Примерът е почти решен. Всичко, което е останало, е математика в началното средно училище - отворете (правилно!) скобите и съберете всичко отляво:

х 2 –6 х+5 = -2 х+2

х 2 –4 х+3 = 0

Решаваме това и получаваме два корена:

х 1 = 1; х 2 = 3

Това е всичко.)

Сега нека помислим отново. В този пример отново трябваше да разпознаем едно и също число в различни степени! А именно да видите шифрована петица в числото 0,04. И този път - в отрицателна степен!Как направихме това? Веднага - няма как. Но след преминаването от десетичната дроб 0,04 към обикновената дроб 1/25 всичко стана ясно! И тогава цялото решение мина като часовник.)

Ето защо, още един зелен практичен съвет.

Ако едно експоненциално уравнение съдържа десетични дроби, тогава преминаваме от десетични дроби към обикновени дроби. IN обикновени дробиМного по-лесно е да разпознаете степените на много популярни числа! След разпознаването преминаваме от дроби към степени с отрицателни показатели.

Имайте предвид, че този трик се среща много, много често в експоненциални уравнения! Но човека не е в темата. Гледа, например, числата 32 и 0,125 и се разстройва. Без да знае, това са едно и също две, само че в различна степен... Но вие вече знаете!)

Решете уравнението:

В! Прилича на тих ужас... Външността обаче лъже. Това е най-простото експоненциално уравнение, въпреки плашещия му вид. И сега ще ви го покажа.)

Първо, нека разгледаме всички числа в основите и коефициентите. Те, разбира се, са различни, да. Но все пак ще рискуваме и ще се опитаме да ги направим идентичен! Нека се опитаме да стигнем до едно и също число в различни степени. Освен това, за предпочитане, числата са възможно най-малки. И така, нека започнем с декодирането!

Е, с четирите всичко е ясно веднага - това е 2 2. Така че, това вече е нещо.)

С част от 0,25 - все още не е ясно. Трябва да се провери. Нека използваме практически съвети - преминете от десетична дроб към обикновена дроб:

0,25 = 25/100 = 1/4

Вече много по-добре. Защото сега ясно се вижда, че 1/4 е 2-2. Страхотно, а числото 0,25 също е подобно на две.)

Дотук добре. Но най-лошото число от всички остава - корен квадратен от две!Какво да правя с този пипер? Може ли да се представи и като степен на две? И кой знае...

Е, нека отново се потопим в нашата съкровищница от знания за дипломите! Този път допълнително свързваме знанията си относно корените. От курса за 9-ти клас вие и аз трябваше да научим, че всеки корен, ако желаете, винаги може да бъде превърнат в степен с дробен индикатор.

като това:

В нашия случай:

Уау! Оказва се, че корен квадратен от две е 2 1/2. това е!

Това е страхотно! Всички наши неудобни номера всъщност се оказаха криптирани две.) Не споря, някъде много сложно криптирани. Но също така подобряваме професионализма си в разрешаването на такива шифри! И тогава всичко вече е очевидно. В нашето уравнение заменяме числата 4, 0,25 и корен от две със степени на две:

всички! Основите на всички степени в примера станаха еднакви - две. И сега се използват стандартни действия със степени:

a ma n = a m + п

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

За лявата страна получавате:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

За дясната страна ще бъде:

И сега нашето зло уравнение изглежда така:

За тези, които не са разбрали как точно се е появило това уравнение, тогава въпросът тук не е за експоненциални уравнения. Въпросът е за действия със степени. Помолих ви спешно да го повторите на тези, които имат проблеми!

Ето го финалната линия! Получена е каноничната форма на експоненциалното уравнение! Е как? Убедих ли ви, че всичко не е толкова страшно? ;) Махаме двойките и приравняваме показателите:

Всичко, което остава, е да се реши това линейно уравнение. как? С помощта на идентични трансформации, разбира се.) Решете какво се случва! Умножете двете страни по две (за да премахнете дробта 3/2), преместете членовете с X вляво, без X вдясно, донесете подобни, пребройте - и ще бъдете щастливи!

Всичко трябва да се окаже красиво:

X=4

Сега нека помислим отново за решението. В този пример ни помогна преходът от корен квадратен до степен с показател 1/2. Освен това само такава хитра трансформация ни помогна да достигнем една и съща база (две) навсякъде, което спаси ситуацията! И ако не беше това, тогава щяхме да имаме всички шансове да замръзнем завинаги и никога да не се справим с този пример, да...

Затова не пренебрегваме следните практически съвети:

Ако едно експоненциално уравнение съдържа корени, тогава преминаваме от корени към степени с дробни показатели. Много често само такава трансформация изяснява по-нататъшната ситуация.

Разбира се, отрицателните и дробните степени вече са много по-сложни от естествените степени. Поне от гледна точка на зрителното възприятие и особено на разпознаването отдясно наляво!

Ясно е, че директното повдигане, например, две на степен -3 или четири на степен -3/2 не е така голям проблем. За знаещите.)

Но отидете, например, веднага осъзнайте това

0,125 = 2 -3

или

Тук властват само практиката и богатият опит, да. И, разбира се, ясна идея, Какво е отрицателна и дробна степен?И също така - практически съвети! Да, да, същите тези зелено.) Надявам се, че те все пак ще ви помогнат да се ориентирате по-добре в цялото разнообразно разнообразие от степени и значително да увеличат шансовете ви за успех! Така че нека не ги пренебрегваме. Не съм напразно зеленоПиша понякога.)

Но ако се опознаете дори с такива екзотични степени като отрицателни и дробни, тогава възможностите ви за решаване на експоненциални уравнения ще се разширят неимоверно и ще можете да се справяте с почти всеки тип експоненциални уравнения. Е, ако не всички, то 80 процента от всички експоненциални уравнения - със сигурност! Да, да, не се шегувам!

И така, нашата първа част от нашето въведение в експоненциалните уравнения стигна до своя логичен завършек. И като междинна тренировка, традиционно предлагам да направите малко саморефлексия.)

Задача 1.

За да не отидат напразно думите ми за дешифрирането на отрицателни и дробни степени, предлагам да поиграем малко!

Изразете числата като степени на две:

Отговори (в безпорядък):

проработи ли Страхотно! След това изпълняваме бойна мисия - решаваме най-простите и прости експоненциални уравнения!

Задача 2.

Решете уравненията (всички отговори са бъркотия!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Отговори:

х = 16

х 1 = -1; х 2 = 2

х = 5

проработи ли Наистина е много по-просто!

След това решаваме следващата игра:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Отговори:

х 1 = -2; х 2 = 2

х = 0,5

х 1 = 3; х 2 = 5

И тези примери са един останал? Страхотно! Вие растете! След това ето още няколко примера, за да хапнете:

Отговори:

х = 6

х = 13/31

х = -0,75

х 1 = 1; х 2 = 8/3

И това решено ли е? Ами уважение! Свалям шапка.) Това означава, че урокът не е бил напразен и първоначалното ниво на решаване на експоненциални уравнения може да се счита за успешно усвоено. Предстоят следващи нива и по-сложни уравнения! И нови техники и подходи. И нестандартни примери. И нови изненади.) Всичко това е в следващия урок!

Нещо се обърка? Това означава, че най-вероятно проблемите са в . Или в. Или и двете едновременно. Тук съм безсилен. Мога отново да предложа само едно нещо - не бъдете мързеливи и следвайте връзките.)

Следва продължение.)

Лекция: “Методи за решаване на експоненциални уравнения.”

1 . Експоненциални уравнения.

Уравнения, съдържащи неизвестни в показатели, се наричат ​​експоненциални уравнения. Най-простото от тях е уравнението ax = b, където a > 0, a ≠ 1.

1) При b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) За b > 0, използвайки монотонността на функцията и теоремата за корена, уравнението има единствен корен. За да го намерим, b трябва да се представи във формата b = aс, аx = bс ó x = c или x = logab.

Експоненциалните уравнения чрез алгебрични трансформации водят до стандартни уравнения, които се решават с помощта на следните методи:

1) метод на намаляване до една база;

2) метод на оценка;

3) графичен метод;

4) метод за въвеждане на нови променливи;

5) метод на факторизация;

6) индикативен – степенни уравнения;

7) демонстративен с параметър.

2 . Начин на намаляване на една база.

Методът се основава на следното свойство на степените: ако две степени са равни и основите им са равни, тогава техните експоненти са равни, т.е. трябва да се опитаме да намалим уравнението до формата

Примери. Решете уравнението:

1 . 3x = 81;

Нека представим дясната страна на уравнението във формата 81 = 34 и напишем уравнението, еквивалентно на оригинала 3 x = 34; x = 4. Отговор: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">и нека преминем към уравнението за степени 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; х = 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Обърнете внимание, че числата 0,2, 0,04, √5 и 25 представляват степени на 5. Нека се възползваме от това и да трансформираме оригиналното уравнение, както следва:

, откъдето 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, от което намираме решението x = -1. Отговор: -1.

5. 3x = 5. По дефиниция на логаритъм x = log35. Отговор: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Нека пренапишем уравнението във формата 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, т.е..png" width="181" height="49 src="> Следователно x – 4 =0, x = 4. Отговор: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Използвайки свойствата на степените, записваме уравнението във формата 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, след което 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, т.е. т.е. x+1 = 2, x =1. Отговор: 1.

Проблемна банка №1.

Решете уравнението:

Тест №1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) няма корени
	1) 7;1 2) няма корени 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Тест No2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) няма корени 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Метод на оценка.

Коренна теорема: ако функцията f(x) нараства (намалява) в интервала I, числото a е всяка стойност, взета от f в този интервал, тогава уравнението f(x) = a има един корен в интервала I.

При решаване на уравнения с помощта на метода на оценка се използват тази теорема и свойствата на монотонността на функцията.

Примери. Решете уравнения: 1. 4x = 5 – x.

Решение. Нека пренапишем уравнението като 4x +x = 5.

1. ако x = 1, тогава 41+1 = 5, 5 = 5 е вярно, което означава, че 1 е коренът на уравнението.

Функция f(x) = 4x – нараства върху R, и g(x) = x – нараства върху R => h(x)= f(x)+g(x) нараства върху R, като сумата от нарастващите функции, тогава x = 1 е единственият корен на уравнението 4x = 5 – x. Отговор: 1.

2.

Решение. Нека пренапишем уравнението във формата .

1. ако x = -1, тогава , 3 = 3 е вярно, което означава, че x = -1 е коренът на уравнението.

2. докаже, че е единственият.

3. Функция f(x) = - намалява върху R, а g(x) = - x – намалява върху R=> h(x) = f(x)+g(x) – намалява върху R, като сумата от намаляващи функции. Това означава, че според теоремата за корена x = -1 е единственият корен на уравнението. Отговор: -1.

Проблемна банка №2. Решете уравнението

а) 4x + 1 =6 – x;

б)

в) 2x – 2 =1 – x;

4. Метод за въвеждане на нови променливи.

Методът е описан в параграф 2.1. Въвеждането на нова променлива (заместване) обикновено се извършва след трансформации (опростяване) на членовете на уравнението. Нека да разгледаме примерите.

Примери. РРешете уравнението: 1. .

Нека пренапишем уравнението по различен начин: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> т.е..png" width="210" height = "45">

Решение. Нека пренапишем уравнението по различен начин:

Да обозначим https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - не е подходящо.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - ирационално уравнение. Отбелязваме, че

Решението на уравнението е x = 2,5 ≤ 4, което означава, че 2,5 е коренът на уравнението. Отговор: 2.5.

Решение. Нека пренапишем уравнението във формата и разделим двете му страни на 56x+6 ≠ 0. Получаваме уравнението

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Корените на квадратното уравнение са t1 = 1 и t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Решение . Нека пренапишем уравнението във формата

и имайте предвид, че това е хомогенно уравнение от втора степен.

Разделяме уравнението на 42x, получаваме

Нека заменим https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Отговор: 0; 0,5.

Проблемна банка №3. Решете уравнението

б)

G)

Тест No3 с избор на отговори. Минимално ниво.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) няма корени 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) няма корени 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Тест No4 с избор на отговори. Общо ниво.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) няма корени

5. Метод на факторизиране.

1. Решете уравнението: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Решение..png" width="169" height="69"> , от където

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Решение. Нека поставим 6х извън скоби от лявата страна на уравнението и 2х от дясната страна. Получаваме уравнението 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Тъй като 2x >0 за всички x, можем да разделим двете страни на това уравнение на 2x, без да се страхуваме от загуба на решения. Получаваме 3x = 1ó x = 0.

3.

Решение. Нека решим уравнението, като използваме метода на факторизиране.

Нека изберем квадрата на бинома

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 е коренът на уравнението.

Уравнение x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Тест No6 Общо ниво.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Експоненциално – степенни уравнения.

В съседство с експоненциалните уравнения са така наречените уравнения с експоненциална степен, т.е. уравнения с формата (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ако е известно, че f(x)>0 и f(x) ≠ 1, тогава уравнението, подобно на експоненциалното, се решава чрез приравняване на показателите g(x) = f(x).

Ако условието не изключва възможността f(x)=0 и f(x)=1, тогава трябва да вземем предвид тези случаи, когато решаваме експоненциално уравнение.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Решение. x2 +2x-8 – има смисъл за всяко x, защото е полином, което означава, че уравнението е еквивалентно на съвкупността

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

б)

7. Експоненциални уравнения с параметри.

1. За какви стойности на параметъра p има уравнение 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) единственото решение?

Решение. Нека въведем замяната 2x = t, t > 0, тогава уравнение (1) ще приеме формата t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Дискриминант на уравнение (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Уравнение (1) има уникално решение, ако уравнение (2) има един положителен корен. Това е възможно в следните случаи.

1. Ако D = 0, т.е. p = 1, тогава уравнение (2) ще приеме формата t2 – 2t + 1 = 0, следователно t = 1, следователно уравнение (1) има уникално решение x = 0.

2. Ако p1, тогава 9(p – 1)2 > 0, тогава уравнение (2) има два различни корена t1 = p, t2 = 4p – 3. Условията на задачата са изпълнени от набор от системи

Замествайки t1 и t2 в системите, имаме

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Решение. Нека тогава уравнение (3) ще приеме формата t2 – 6t – a = 0. (4)

Нека намерим стойностите на параметъра a, за които поне един корен от уравнение (4) отговаря на условието t> 0.

Нека въведем функцията f(t) = t2 – 6t – a. Възможни са следните случаи.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Случай 2. Уравнение (4) има единствено положително решение, ако

D = 0, ако a = – 9, тогава уравнение (4) ще приеме формата (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Случай 3. Уравнение (4) има два корена, но единият от тях не удовлетворява неравенството t > 0. Това е възможно, ако

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Така, за a 0, уравнение (4) има един положителен корен . Тогава уравнение (3) има единствено решение

Когато а< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ако а< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ако a = – 9, тогава x = – 1;

ако a  0, тогава

Нека сравним методите за решаване на уравнения (1) и (3). Обърнете внимание, че при решаването на уравнение (1) се сведе до квадратно уравнение, чийто дискриминант е перфектен квадрат; По този начин корените на уравнение (2) бяха незабавно изчислени с помощта на формулата за корените на квадратно уравнение и след това бяха направени заключения относно тези корени. Уравнение (3) е намалено до квадратно уравнение (4), чийто дискриминант не е перфектен квадрат, следователно, когато се решава уравнение (3), е препоръчително да се използват теореми за местоположението на корените на квадратен трином и графичен модел. Обърнете внимание, че уравнение (4) може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета.

Нека решим по-сложни уравнения.

Задача 3: Решете уравнението

Решение. ODZ: x1, x2.

Да въведем заместител. Нека 2x = t, t > 0, тогава в резултат на трансформации уравнението ще приеме формата t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Нека намерим стойностите на a, за които поне един корен от уравнението (*) удовлетворява условието t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Отговор: ако a > – 13, a  11, a  5, тогава ако a – 13,

a = 11, a = 5, тогава няма корени.

Списък на използваната литература.

1. Гузеев основите на образователната технология.

2. Технология Гузеев: от рецепция до философия.

М. „Училищен директор” № 4, 1996 г

3. Гузеев и организационни формиобучение.

4. Гузеев и практиката на интегралната образователна технология.

М. „Народно образование“, 2001 г

5. Гузеев от формите на урок - семинар.

Математика в училище № 2, 1987 г. с. 9 – 11.

6. Seleuko образователни технологии.

М. „Народно образование“, 1998 г

7. Episheva ученици да учат математика.

М. "Просвещение", 1990 г

8. Иванова изготвя уроци – работилници.

Математика в училище № 6, 1990 стр. 37 – 40.

9. Модел на обучение по математика на Смирнов.

Математика в училище № 1, 1997 г., стр. 32 – 36.

10. Тарасенко начини за организиране на практическа работа.

Математика в училище № 1, 1993 p. 27 – 28.

11. За един от видовете самостоятелна работа.

Математика в училище No2, 1994, с. 63 – 64.

12. Хазанкин креативностученици.

Математика в училище № 2, 1989 стр. 10.

13. Сканави. Издателство, 1997г

14. и др. Алгебра и наченки на анализа. Дидактически материали за

15. Задачи на Кривоногов по математика.

М. „Първи септември“, 2002 г

16. Черкасов. Помагало за гимназисти и

влизане в университети. “A S T - пресшкола”, 2002г

17. Жевняк за постъпващите във ВУЗ.

Минск и Руската федерация „Ревю“, 1996 г

18. Писмена Г. Готвим се за изпита по математика. М. Ролф, 1999

19. и т. Научаване за решаване на уравнения и неравенства.

М. "Интелект - център", 2003 г

20. и др. Образователни и обучителни материали за подготовка за EGE.

М. "Разузнаване - център", 2003 и 2004 г.

21 и други опции. Изпитателен център на Министерството на отбраната на Руската федерация, 2002, 2003 г.

22. Уравнения на Голдберг. "Квант" № 3, 1971 г

23. Волович М. Как успешно да преподаваме математика.

Математика, 1997 №3.

24 Окунев за урока, деца! М. Образование, 1988

25. Yakimanskaya - ориентирано обучение в училище.

26. Liimets работят в клас. М. Знание, 1975